Apostila Circuitos_Teoria

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SENAI – Serviço Nacional de Aprendizagem Industrial 
Curso Superior de Tecnologia em Automação Industrial 
Disciplina: Circuitos Elétricos 
Professor: Moisés Gregório da Silva 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Goiânia, agosto de 2008. 
 
 2 
VISTO NAS LISTAS DE EXERCÍCIOS 
 
 
Data marcada 
para mostrar 
Data em que 
foi mostrada Visto Nota OBS 
Lista1 
Lista2 
Lista3 
Lista4 
Lista5 
Lista6 
Lista7 
Lista8 
Lista9 
Lista10 
Lista11 
Lista12 
 
 
Média 
 
 
 
 
 
 
SITUAÇÃO Nota 
Lista completa e sem atraso 10,0 
Lista atrasada e/ou incompleta 5,0 
Não mostrar a lista ou mostrar após a data da prova 0,0 
 
 
 
 
 
Aluno: _____________________________________ 
 
 3 
PROGRAMA DA DISCIPLINA 
 
1 Conceitos básicos de eletricidade e noções de eletrostática. Carga elétrica, tensão 
elétrica, corrente elétrica, fontes, potência e energia elétrica. 
 
2 Conceitos de resistência elétrica, resistividade, influência da temperatura na resistência 
elétrica, Leis de Ohm, consumo de potência nos resistores. Valores nominais e tolerância 
dos resistores. Código de cores dos resistores. Circuito aberto e curto circuito. 
 
3 Circuitos CC série e paralelo. Conceitos gerais – Nós, ramos, malhas, laços, etc. Lei de 
Kirchhoff das Tensões (LTK). Lei de Kirchhoff das correntes (LCK). Divisor de tensão e de 
corrente. 
 
4 Análise de circuitos CC – Regra de Cramer. Transformação de fontes. Análise de Malhas. 
Análise de Nós. 
 
5 Principais Teoremas de Circuitos elétricos. Teorema de Thévenin, Norton, Superposição, 
máxima transferência de potência e Millman. 
 
6 Introdução aos circuitos eletro-eletrônicos. Conceitos básicos dos principais dispositivos. 
Capacitores e indutores. Características, construção e aplicações dos capacitores e 
indutores. 
 
7 Conceitos de Circuitos de Corrente Alternada. Ondas Senoidais e Co-senoidais. Relação 
de fase, Valor médio e valor eficaz (rms), Resposta senoidal de um resistor, de um 
indutor e de um capacitor. Reatância capacitiva e indutiva. 
 
8 Introdução ao estudo dos fasores. 
 
9 Uso de instrumentos de medição e componentes de laboratório, tais como 
potenciômetro, década resistiva, voltímetro, amperímetro, ohmímetro, multímetro digital 
e analógico, etc. 
 
10 Verificação experimental de teoremas e conceitos de circuitos elétricos, tais como 
geradores, leis de Ohm, de Kirchhoff Teorema da Máxima transferência de Potência, etc. 
 
11 Uso do osciloscópio em laboratório. Medições das principais formas de onda. Análise e 
interpretação dos resultados. 
 
12 Introdução aos Simuladores de Circuitos Eletro-eletrônicos e Modeladores matemáticos. 
 
 
 4 
BIBLIOGRAFIA 
 
1. Análise de Circuitos – John O’ Malley; Makron Books, Segunda Edição, São Paulo, 1993. 
2. Introdução à Análise de Circuitos – Boylestad, Robert L. Pearson Prentice Hall - 10ª 
Edição, 2004 
3. Análise de Circuitos em Engenharia – J. D. Irwing, Pearson Makron Books, Quarta 
Edição, São Paulo, 2000. 
4. Circuitos Elétricos – James W. Nilsson e Susan A. Reidel, Livros Técnicos e Científicos 
Editora S.A., Quinta Edição, 1999. 
5. Fundamentos de Análise de Circuitos Elétricos – D. E. Johnson, J. L. Hilburn e J. R. 
Johnson, Prentice Hall do Brasil, 4a Edição, 1990. 
6. Circuitos elétricos Corrente Contínua e Corrente Alternada – Otávio Markus; Editora 
Érica 5º Edição. 
7. Introdução aos Circuitos Elétricos – Richard C. Dorf, James A. Svoboda, LTC, 9º edição, 
Rio de Janeiro, 2003. 
8. Apostila de Circuitos Elétricos – Prof. Moisés Gregório da Silva 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 5 
AVALIAÇÕES 
P1 – Prova 1 
P2 – Prova 2 
P3 – Prova 3 
P4 – Prova 4 - Prova de Laboratório - Substituirá a menor nota 
PF – Prova Final 
ML – Média das Listas 
 
MÉDIA 
 
• Média = (3.P1+3.P2 + 3.P3 + 1.ML)/10 
 
* Prova 4 - Prova de Laboratório - Substituirá a menor nota 
 
 
• Média Final = (Média + Prova Final) / 2 
 
 
 
TABELA PARA ACOMPANHAMENTO DE NOTAS 
 
P1 P2 P3 P4 Média Situação Prova Final Média Final 
Situação 
Final 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 6 
PROVA SUBSTITUTIVA 
 
1. Como será desconsiderada a menor nota, caso o aluno falte a uma das avaliações, não 
haverá prova substitutiva. 
2. Caso o aluno falte a duas avaliações, este deverá fazer a prova final cuja nota será 
substituída também por uma das provas em que esteve ausente. Não haverá prova 
substitutiva. 
3. Todas as provas serão baseadas nas listas de exercícios. 
4. As datas das avaliações serão definidas em sala de aula ao longo do semestre letivo. 
 
 
DATAS 
 
P1 _____ de _____________ de ______. Matéria_______________________________ 
 
P2 _____ de _____________ de ______. Matéria_______________________________ 
 
P3 _____ de _____________ de ______. Matéria_______________________________ 
 
P4 _____ de _____________ de ______. Matéria_______________________________ 
 
PF______ de _____________de ______. Matéria_______________________________ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TEXTO PARA REFLEXÃO 
 
 
 
O PROFESSOR ESTÁ SEMPRE ERRADO! 
 
Quando... 
É jovem, não tem experiência. 
É velho, está superado. 
Não tem automóvel, é um coitado. 
Tem automóvel, chora de “barriga cheia”. 
Fala em voz alta, vive gritando. 
Fala em tom normal, ninguém escuta. 
Não falta ao colégio, é um “Caxias”. 
Precisa faltar, é “turista”. 
Conversa com os outros professores, está “malhando” os alunos. 
Não conversa, é um desligado. 
Dá muita matéria, não tem dó dos alunos. 
Dá pouca matéria, não prepara os alunos. 
Brinca com a turma, é metido a engraçado. 
Não brinca com a turma, é um chato. 
Chama a atenção, é um grosso. 
Não chama a atenção, não sabe se impor. 
A prova é longa, não dá tempo. 
A prova é curta, tira as chances do aluno. 
Escreve muito, não explica. 
Explica muito, o caderno não tem nada. 
Fala corretamente, ninguém entende. 
Fala a “língua” do aluno, não tem vocabulário. 
Exige, é rude. 
Elogia, é debochado. 
O aluno é reprovado, é perseguição. 
O aluno é aprovado, “deu mole”. 
É, o professor está sempre errado, mas, se você conseguiu ler até aqui, agradeça a ele! 
 
 
Texto extraído da Revista do Professor de Matemática nº 36, publicada pela Sociedade Brasileira 
de Matemática. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 8 
ALFABETO GREGO 
 
 
 Nome Símbolos 
 Maiúsculas Minúsculas 
1 Alfa Α α 
2 Beta Β β 
3 Gama Γ γ 
4 Delta Δ δ 
5 Épsilon Ε ε 
6 Zeta Ζ ζ 
7 Eta Η η 
8 Téta Θ θ 
9 Iota Ι ι 
10 Capa Κ κ 
11 Lambda Λ λ 
12 Miu Μ μ 
13 Niu Ν ν 
14 Csi Ξ ξ 
15 Omicron Ο ο 
16 Pi Π π 
17 Ró Ρ ρ 
18 Sigma Σ σ 
19 Tau Τ τ 
20 Upsilon Υ υ 
21 Fi Φ ϕ 
22 Chi Χ χ 
23 Psi Ψ ψ 
24 Omega Ω ω 
 
 9 
SUMÁRIO 
 
CAPÍTULO I - CONCEITOS BÁSICOS..................................................... 10 
LISTA 1............................................................................................ 18 
CAPÍTULO II – ELEMENTOS DE CIRCUITOS ........................................... 21 
LISTA 2............................................................................................ 29 
CAPÍTULO III – CIRCUITOS RESISTIVOS .............................................. 32 
LISTA 3............................................................................................ 43 
CAPÍTULO IV – TÉCNICAS DE ANÁLISE DE CIRCUITOS ........................... 48 
LISTA 4............................................................................................ 56 
CAPÍTULO V – TEOREMAS DE ANÁLISEDE CIRCUITOS ........................... 59 
LISTA 5............................................................................................ 71 
LISTA 6............................................................................................ 73 
LISTA 7............................................................................................ 74 
LISTA 8............................................................................................ 75 
CAPÍTULO VI – CAPACITORES E INDUTORES......................................... 76 
LISTA 9............................................................................................ 88 
CAPÍTULO VII – TENSÕES E CORRENTES AC ......................................... 90 
LISTA 10 .........................................................................................107 
ANEXO - APLICAÇÕES DA TEORIA DE CIRCUITOS ELÉTRICOS ................110 
ROTEIROS LABORATORIAIS ...............................................................115 
 
 10 
 
CAPÍTULO I - CONCEITOS BÁSICOS 
 
1.1 Sistemas de Unidades 
 
Medida é um processo de comparação de grandezas elétricas de mesma espécie, ou 
seja, de grandeza que se definem de um padrão único e comum a ambas. 
Quando duas grandezas se apresentam como de mesma espécie, diz-se que elas têm 
a mesma dimensão. Medir uma grandeza é, portanto, compará-la com grandeza de mesma 
espécie, e determinar a proporção entre ambas. A grandeza que serve de comparação é 
denominada “grandeza unitária” ou “padrão unitário”. 
As grandezas físicas são englobadas em duas categorias: 
 
· Grandezas derivadas; 
· Grandezas fundamentais. 
 
As grandezas derivadas são aquelas cuja definição se baseia em outras grandezas 
físicas. Por exemplo: velocidade, aceleração, etc... 
As grandezas fundamentais são as grandezas definidas operacionalmente, e não 
como função de outras grandezas físicas. Essas definições ficaram mais claras na seqüência. 
Escolhidas e definidas as grandezas fundamentais, determinam-se as grandezas 
derivadas. Estabelecida à coerência dimensional entre as grandezas fundamentais e 
derivadas, faz-se a sua nomenclatura, determina-se o método de obtenção dos múltiplos e 
dos submúltiplos e têm-se estruturado um sistema de unidade. 
No decorrer da evolução da física, qualquer sistema de unidade era estabelecido 
conforme as conveniências do trabalho. As grandezas fundamentais eram arbitradas de 
acordo com a conveniência e, não raro, ocorria à situação de uma grandeza se apresentar 
como fundamental em um sistema e derivada em outro. 
Procurou a ciência por fim a esse estado de coisas, objetivando a necessidade de um 
sistema de unidades completo (que abrangesse todos os fenômenos físicos), racional (com 
um mínimo de constantes de transformação) e coerente (com algumas poucas dimensões se 
definem todas as grandezas derivadas). 
Em 1901, o engenheiro italiano Giorgi elaborou um sistema de padrão de unidades 
bastante coerente. Denominado de MKS, o Sistema Giorgi constitui, com algumas 
alterações, a base sobre a qual se definiu o sistema internacional de unidades, 
conhecido pela sigla SI. 
O SI foi internacionalmente oficializado na 11º Conferência Geral de Pesos e Medidas 
em 1960. O emprego do SI no Brasil se fez logo em seguida, em 28 de fevereiro de 1967, 
pelo decreto lei número 240. O SI adota algumas grandezas fundamentais. Essas grandezas 
são mostradas na tabela abaixo. 
 
Tabela 1.1 – Unidades do Sistema Internacional (SI) 
Grandeza Grandeza Símbolo 
Comprimento metro m 
Massa quilograma kg 
Tempo segundo S 
Corrente elétrica ampère A 
Temperatura kelvin K 
Intesidade luminosa candela cd 
Quantidade de materia mol mol 
Grau radianos rad 
 
 11 
A tabela abaixo apresenta as principais grandezas utilizadas em teoria de circuitos 
elétricos. 
 
Tabela 1.2 – Unidades úteis em teoria de Circuitos Elétricos 
Grandeza Nome/símbolo Fórmula dimensional
Freqüência Hertz (Hz) s-1 
Força Newton (N) kg.m/ s2 
Energia ou trabalho Joule (J) N.m 
Potência Watt (W) J/s 
Carga elértrica Coulomb (C) A.s 
Potencial elértrico Volt (V) W/A 
Resistência elétrica Ohm (Ω ) V/A 
Condutância elértrica Siemens (S) A/V 
Capacitância Farad (F) C/V 
Fluxo magnético Weber (Wb) V.s 
Indutância Henry (H) Wb/A 
 
 
1.1.1 Regras Gerais do SI 
 
a) Grafia dos nomes de unidades 
Quando escritos por extenso, os nomes de unidades começam por letra minúscula, mesmo 
quando têm o nome de um cientista (por exemplo, ampère, kelvin, newton, etc...), exceto o 
grau Celsius (ou no início de frase). 
Na expressão do valor numérico de uma grandeza, a respectiva unidade pode ser 
escrita por extenso ou representada por seu símbolo (por exemplo, cinco quilovolts por 
milímetro ou 5 kV/mm). Não são admitidas combinações de parte escrita por extenso com 
parte expressa por símbolo, como, por exemplo, “5 kohm.m”, em vez de cinco quiloohms-
metros ou 5 kΩ.m. 
 
b) Grafia dos símbolos de unidades 
Os símbolos são invariáveis, não sendo admitido colocar, após o símbolo, ponto de 
abreviatura, “s” de plural, sinais, letras ou índices. Por exemplo, metros = m (e não “m.”, 
“ms” ou “mt”); Up = 5 mV (e não “U = 5 mVp”), Imáx = 50mA (e não “I = 5 mAMax”). 
O símbolo deve ser escrito no mesmo alinhamento do número a que se refere. 
Os símbolos SI podem coexistir num símbolo composto por multiplicação ou divisão. 
Ex: kΩ.mA; kV/ms. Contudo, não devem ser utilizados prefixos decimais combinados. Por 
exemplo: “2,2 kpF” em vez de 2,2 nF ou “4,7µµF” em vez de 4,7 pF. 
Os símbolos de uma mesma unidade podem coexistir num símbolo composto por divisão. 
Por exemplo: Ωmm2/m, kWh, etc.... 
O símbolo de uma unidade composta por multiplicação pode ser formado pela 
justaposição dos símbolos componentes, e que não cause ambigüidade (VA, kWh, etc...), ou 
mediante a colocação de um ponto entre os símbolos componentes, na base da linha ou a 
meia altura (N.m, ou N×m, m.s-1, etc...). Exemplo de um caso ambíguo: 7 m.V (sete metros 
volts) é diferente de 7 mV (sete milivolts). 
 
 12 
O símbolo de uma unidade que contém divisão pode ser formado por uma das três 
maneiras exemplificadas a seguir: W/(sr.m2), W.sr-1.m-2 ou 2.msr
W
. 
Quando um símbolo com prefixo tem expoente, deve-se entender que esse expoente 
afeta o conjunto prefixo-unidade, como se esse conjunto estivesse entre parênteses. Por 
exemplo: dm3 = 10-3 m3; mm3 = 10-9 m3. 
É incorreto intercalar-se símbolos entre partes inteiras e decimais. Exemplo: 5K6Ω 
em vez de 5,6 kΩ. 
Não é incomum se encontrar falhas e omissões conflitantes como os exemplos 
citados na Tabela 1.3. 
 
Tabela 1.3 - Erros comuns no emprego de prefixos e unidades 
 
 
 
 
 13 
1.2 Múltiplos e submúltiplos 
 
 Algumas unidades de medidas são muito grandes outras muito pequenas, sendo, 
portanto necessário o conhecimento dos múltiplos e submúltiplos usuais das unidades de 
medidas mostradas na tabela abaixo. 
 
Tabela 1.4 – Múltiplos e submúltiplos do SI 
 
 
 
1.3 Grandezas Elétricas 
 
1.3.1 Carga elétrica 
 
Carga elétrica é a propriedade elétrica das partículas atômicas que compõem a 
matéria, medida em coulomb (C). Existem três propriedades fundamentais relacionadas à 
carga elétrica: 
 
(a) O coulomb é uma unidade muito grande. Em 1 C cabem 6,24·1018 elétrons. Portanto, 
valores observados em laboratório são da ordem de pC, nC ou µC. 
 
(b) A lei de conservação de carga afirma que não se pode criar ou destruir cargas elétricas, 
apenas as transferir. Portanto, a soma algébrica das cargas elétricas em um sistema não 
pode ser alterada. 
 
(c) De acordo com observações experimentais, as únicas cargas que podem ocorrer na 
natureza são múltiplos da carga eletrônica e = -1,602·10-19 C. Ou seja, a carga elétrica é 
uma grandeza quantizada. Assim pode-se dizer que: 
 
enQ .±=(1.1) 
 
Onde: 
Q – Carga elétrica (Coulomb) 
e – Carga elementar (e = 1,602.10-19 Coulomb) 
n – Número inteiro (n Є Z) 
 
 14 
1.3.2 Corrente elétrica 
 
Corrente elétrica é a taxa de variação de cargas elétricas em relação ao tempo e é 
medida em ampères, ou seja, é a quantidade de cargas elétricas que atravessam uma 
superfície de referência por unidade de tempo: 
 
dt
dqi = [A] (1.2) 
 
 
 
Figura 1.1 – corrente elétrica em um condutor 
 
 
1.3.3 Tensão elétrica 
 
A tensão elétrica ou diferença de potencial (ddp) entre dois pontos ‘a’ e ‘b’ de um 
circuito é a energia necessária para mover uma unidade de carga deste ponto ‘a’ para o 
ponto ‘b’. Sua unidade de medida é o volt (V) e pela definição fica evidente que 1 V 
corresponde a um joule por coulomb: 
 
)(
)(
)(
Qoulombs
Jaules
volts Q
W
V = [V] (1.3) 
 
1.3.4 Potência 
 
Da física, potência é o trabalho em função da variação do tempo. Então: 
 
t
W
tempo
trabalhoP Δ
Δ== (1.4) 
 
Supõe-se que ΔQ (uma carga que pode ser considerada infinitesimal) se desloca do 
ponto A para o ponto B de um condutor como mostra a figura 1.2. 
 
 
Figura 1.2 – Movimento da carga em um condutor 
 
 15 
Então para o movimento dessa carga: 
 
QUUW ba Δ−= ).( (1.5) 
 
Considerando U = Ua - Ub 
 
Então: 
 
W =U.ΔQ (1.6) 
 
Logo: 
 
I
QUP Δ
Δ= .. (1.7) 
 
 
Contudo, utilizando a definição de corrente, vista na equação (1.2) tem-se que: 
 
IUP .= (1.8) 
 
A potência no resistor é dissipada na forma de calor num efeito denominado Efeito 
Joule. 
No SI a unidade de medida da potência é o watt [W], porém na prática outras 
unidades são comuns, tais como o horsepower (hp). A relação é: 
 
1hp = 746W 
 
 
1.3.5 Energia 
 
A energia elétrica consumida ou produzida é definida como o produto da potência 
elétrica P pelo intervalo de tempo Δt: 
 
E = P. Δt (1.9) 
 
 
No SI a unidade de Energia é o joule [J], mas quando se trata de energia elétrica é 
usual o kWh, cuja relação é: 
 
1kWh = 3,6.106 joules 
 
 
 16 
1.3.6 Eficiência 
 
A figura 1.3 ilustra o fluxo de energia em um sistema no qual a energia muda de 
forma. Observe em particular que a quantidade de energia de saída é sempre menor do que 
a que entrou no sistema devido às perdas e, às vezes, ao armazenamento de energia no 
interior do sistema. 
 
Figura 1.3 – Fluxo de energia em um sistema 
 
 
A eficiência de operação (η) é definida como: 
 
in
out
P
P=η (1.10) 
 
Onde η (letra grega eta minúscula) é um número decimal. 
 
 
Em termos percentuais: 
 
%100% x
P
P
in
out=η (1.11) 
 
1.3.7 Sistema em Cascata 
 
A eficiência total de um sistema em cascata, como mostrado na figura 1.4 é o 
produto das eficiências individuais: 
 
n
in
out
total P
P ηηηηη ...... 321== (1.12) 
 
 
Figura 1.4 – Sistema em cascata 
 
 17 
1.4 Elementos Ativos e Passivos 
 
Elementos ativos são aqueles que fornecem potência para o circuito (P=U·I > 0). 
Os sinais positivos e negativos para um elemento ativo são convencionados conforme 
mostra na figura 1.5. 
 
 
Figura 1.5 – Convenção de Elemento Ativo 
 
 
Elementos passivos são aqueles que recebem potência do circuito (P=U·I < 0) e a 
convenção de sinais é mostrada na figura 1.6. 
 
 
Figura 1.6 – Convenção de Elemento Passivo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 18 
LISTA 1
1) - Encontre a carga total em coulomb de: 
(a) 6,28 x 1021 elétron 
(b) 8,76 x 1020 prótons 
Resp. (a) -1006 C, (b) 140 C 
 
2) - Quantos elétrons formam uma carga 
total de -4 nC? 
Resp. 2,5 x 1010 elétrons 
 
3) - Encontre a corrente que flui através de 
uma chave para um deslocamento de cargas 
de: 
(a) 90 C em 6s 
(b) 900 C em 20 min 
(c) 4 x 1023 elétrons em 5 h. 
Resp. (a) 15 A, (b) 0,75 A, (c) 3,56 A 
 
4) - Um capacitor é um componente elétrico 
que armazena cargas elétricas. Se a carga 
de um capacitor acontece em uma taxa de 
10 mC em 0,02 ms, e sua descarga em 1µs, 
quais as correntes de carga e descarga? 
Resp. 500 A, 10 000 A 
 
5) - Encontre o tempo, em um teste de 
curto-circuito, que 120 C podem fluir em 
um circuito que se abre com 20 A, sem que 
ocorra sua abertura. 
Resp. 6s 
 
6) - Por quanto tempo uma bateria de 4,5 
Ah, 15V, pode fornecer uma corrente de 100 
mA? 
Resp. 45 h 
 
7) - Qual a energia química gasta por uma 
bateria de 1,25 V para produzir uma 
corrente de 130 mA durante 5 min? 
Resp. 48,8 J 
 
8) - Qual a potencia consumida por um 
relógio elétrico se ele opera com uma 
corrente de 27,3 mA para uma tensão de 
110V? Resp. 3 W 
 
9) - Encontre a corrente que circula em um 
ferro de passar roupa de 1000 W, 120 V. 
Resp. 8,33 A 
 
10) - Encontre a potência média de 
entrada para uma taxa de consumo de 
4500 J em 3 min. Resp. 25 W 
11) - Encontre queda de tensão sobre 
uma torradeira que consome 7500 J 
quando percorrida por uma corrente de 
13,64 A durante 5s. 
Resp. 110 V 
 
12) - Quantos joules uma lâmpada de 40 
W consome em um dia? 
Resp. 3,46 MJ 
 
13) - Encontre a corrente estabelecida em 
um motor CC, 110V, que desenvolve um 
potência de 2 hp. Considere uma eficiência 
de 100%. 
Resp. 13,6 A 
 
14) - Encontre a eficiência de operação de 
um motor que desenvolve 1 hp enquanto 
sua potência de entrada é 900W. 
Resp. 82,9% 
 
15) - Qual a eficiência de operação de um 
motor CC que desenvolve uma potência de 
1 hp enquanto estabelece uma corrente de 
7,45 A para uma tensão de 115 V? 
Resp. 87% 
 
16) - Encontre a corrente estabelecida em 
um motor CC, 100 V, que opera com uma 
eficiência de 85% quando desenvolve uma 
potencia de 0,5 hp. 
Resp. 4,39 A 
 
17) - Qual a potência em hp produzida 
pelo motor de um carro onde é 
estabelecida uma corrente de 250 A por 
uma bateria de 12V, operando com uma 
eficiência de 90%? 
Resp. 3,62 hp 
 
18) - Um motor elétrico CA aciona um 
gerador CC. Se um motor opera com uma 
eficiência de 90% e o gerador com uma 
eficiência de 80%, e se a potência de 
entrada do motor é de 5 kW, encontre a 
potência de saída do gerador. Resp. 3,6kW 
 
 
 19 
19) - Encontre a energia total consumida em 
um ano (365 dias) por um rádio AM-FM de 
20 W que fica ligado 5 h por dia. 
Resp. 36,5 kWh 
 
20) - Para se ter um consumo de apenas 70 
kWh, por quanto tempo pode funcionar um 
motor de 5hp operando com uma eficiência 
de 85%? 
Resp. 16 h 
 
21) - Calcule a energia total consumida em 
um mês na utilização de oito lâmpadas de 
100 W por 50 h cada, dez lâmpadas de 60 
W por 70 h cada, um ar-condicionado de 2 
kW por 80 h, um grupo de cargas de 3 kW 
por 45 h, uma TV de 420 W por 180 h e um 
refrigerador de 300W por 75 h. 
Resp. 475,1 kWh 
 
22) – Supondo que o kWh de energia 
elétrica com os impostos tenha um custo de 
R$ 0,43 qual o custo mensal da energia 
consumida no problema anterior? 
Resp. R$ 204,30 
 
23) - Um jovem casal instalou em sua 
residência uma ducha elétrica moderna de 
7700 watts / 220volts. No entanto, os 
jovens verificaram, desiludidos, que toda 
vez que ligavam à ducha na potência 
máxima, desarmava-se o disjuntor ea 
ducha deixava de aquecer. Pretendia até 
recolocar no lugar o velho chuveiro de 3300 
watts / 220 volts, que nuca falhou. 
Felizmente, um amigo tecnólogo os 
socorreu. Após verificar que as instalações 
elétricas suportavam, substituiu o velho 
disjuntor por outro, de maneira que a ducha 
funcionasse normalmente. 
A partir desses dados, assinale a única 
opção que descreve corretamente a possível 
troca efetuada pelo amigo. 
 
a) Substitui o velho disjuntor de 20A por um 
novo de 30A. 
b) Substitui o velho disjuntor de 10A por um 
novo de 40A. 
c) Substitui o velho disjuntor de 30A por um 
novo de 20A. 
d) Substitui o velho disjuntor de 40A por um 
novo de 20A. 
e) Substitui o velho disjuntor de 20A por um 
novo de 40A. 
Resp. Letra E 
 
24) - Em uma residência moram três 
pessoas que tomam em média 2 banhos 
por dia com duração de 10minutos cada. 
Se a potência do chuveiro é de 4,4kW e o 
custo do kWh com os impostos é de R$ 
0,40 (quarenta centavos), qual o custo 
mensal relativo a este chuveiro? 
Resp. R$ 52,80 
 
25) - Um chuveiro elétrico tem potência 
de 2800W, e uma lâmpada incandescente 
tem potência de 40W. O tempo que a 
lâmpada deve ficar ligada para consumir a 
mesma energia gasta pelo chuveiro em 
dez minutos de funcionamento é: 
a) 1 hora e 10 minutos 
b) 700horas 
c) 70 horas 
d) 11 horas e 40 minutos 
e) nda 
Resp. Letra D 
 
26) – Defina os seguintes termos: 
Carga elétrica; Corrente elétrica; Tensão 
elétrica; Potência elétrica; Elemento Ativo 
e Elemento Passivo. 
 
27) – (CELG-2004) O número de KWh 
consumidos por um chuveiro de 3000 W 
funcionando durante 20 minutos é de 
a) 0,5 KWh. 
b) 1 KWh. 
c) 1,5 KWh. 
d) 1,2 KWh. 
e) 0,6 KWh. 
 
28) Próxima página. 
Gabarito Letra b 
 
 20 
29) - Preencha o quadro abaixo indicando o nome da unidade por extenso, o símbolo e a grandeza física, conforme o modelo: 
 
CIENTÍSTA HOMENAGEADO UNIDADE DE MEDIDA SÍMBOLO GRANDEZA FÍSICA 
André-Marie Ampère ampère A Corrente elétrica 
Anders Celsius 
Gerorg Simon Ohm 
James Watt 
James Prescot Joule 
Charles Augustin Coulomb 
Michel Faraday 
Joseph Henry 
Heinrich Hertz 
Alessandro Volta 
William Thomson Kelvin 
 
 21 
CAPÍTULO II – ELEMENTOS DE CIRCUITOS 
 
2.1 Introdução 
Um dos objetivos do estudo de circuitos elétricos é a compreensão de projetos e 
produção de dispositivos que atendam às necessidades humanas. Para tanto, é necessário 
que se conheçam os componentes e se estabeleçam modelos matemáticos para simular os 
seus comportamentos físicos. Este capítulo trata de alguns elementos básicos e seus 
modelos matemáticos. 
 
2.2 Resistores – Lei de Ohm 
O resistor é um elemento passivo que possui uma propriedade chamada resistência 
elétrica que é medida em ohms (Ω). A resistência elétrica, como o próprio nome sugere, é a 
capacidade que um elemento possui de se opor à passagem de corrente elétrica. Um resistor 
ôhmico oferece um relacionamento linear entre tensão e corrente em seus terminais. Assim, 
o gráfico da tensão pela corrente num resistor ôhmico, tem a forma mostrada na figura 2.1 
abaixo. 
 
 
 
Figura 2.1 – Gráfica da tensão por corrente para um elemento resistivo ideal 
 
Por definição a grandeza denominada resistência elétrica é o coeficiente angular da 
reta que representa esse gráfico, ou seja: 
 
U = Ri (2.1) 
 
Onde: 
U é a tensão nos terminais do resistor; 
i é a corrente que o atravessa; 
R é a resistência do resistor; 
 
A lei que rege essa equação é chamada Lei de Ohm e os elementos resistivos que 
obedecem a essa lei são denominados ôhmicos. É importante observar nesta relação que 
quando R = 0, U = 0, e conseqüentemente há um curto-circuito. Se R tende para o infinito, 
então i tende para 0 e tem-se um circuito aberto. 
 
 22 
2.2.1 Resistividade elétrica 
 
A figura a seguir mostra o símbolo de um resistor linear. 
 
 
Figura 2.2 – Símbolo do resistor linear 
 
 
Quatro fatores principais influenciam no valor de resistência de um resistor: 
 
 
· Material com que foi confeccionado; 
· Área da sua secção transversal; 
· Comprimento do resistor; 
· Temperatura; 
 
 
A resistência de um condutor de seção reta uniforme é diretamente proporcional ao 
comprimento do condutor e inversamente proporcional à área de seção transversal. A 
equação que relaciona estes termos é: 
 
A
lR .ρ= (2.2) 
 
 
Onde: 
ρ (letra grega rô) - é a resistividade elétrica característica do material [Ω.m] 
l - é o comprimento do material [m] 
A – é área da secção transversal do condutor [m2] 
R – é a resistência elétrica [Ω] 
 
Embora a temperatura não apareça explicitamente na equação 2.2, ela está 
denotada implicitamente no fator ρ (resistividade elétrica do material). 
 
 
 
Figura 2.3 – Parâmetros de um resistor 
 
 
 
 23 
2.2.2 Condutores não ôhmicos 
Num condutor não ôhmico (exemplo o diodo) a resistência depende da tensão 
aplicada aos seus terminais. Para este tipo de condutores, não faz sentido falar de 
resistência a uma dada temperatura. A figura abaixo mostra a característica tensão X 
corrente para um componente não linear (elemento não ôhmico). 
 
 
Figura 2.4 – Gráfica da tensão por corrente para um componente não linear 
 
 
2.2.3 Influência da temperatura 
Para os metais e resistores lineares em geral, o aumento da temperatura acarreta, 
no aumento da resistividade elétrica e, conseqüentemente, de sua resistência elétrica, isto 
é, a resistência é dependente da variação de temperatura do metal (fig. 2.5). 
Esta variação da resistividade é não linear para certas faixas de temperatura, mas 
seu comportamento é praticamente linear na faixa que compreende a temperatura ambiente 
(em torno da qual residem as temperaturas de trabalho), normalmente considerada como 
sendo 20ºC, onde é tabelada esta propriedade. 
 
 
Figura 2.5 – Variação da resistência elétrica com a temperatura 
 
 
Uma forma de encontrar a resistência R2 em uma determinada temperatura T2 é pela 
equação: 
 
)](1[ 12112 TTRR TTT −+= α (2.3) 
 
Onde αT1 (unidade ºC-1) é o parâmetro que descreve a proporcionalidade entre 
resistência elétrica e temperatura e é chamado coeficiente de variação da resistividade com 
 
 24 
a temperatura ou coeficiente de temperatura da resistividade. Este parâmetro é definido, 
portanto, para uma determinada temperatura de referência T1. 
Como os coeficientes α dos materiais são normalmente tabelados a 20ºC, ou seja, T1 
= 20ºC, logo para a temperatura de referência 20ºC, da Eq. 2.3 tem-se que a resistência 
elétrica RT a uma temperatura qualquer T será: 
 
)]20(1[ 22020 −+= TRRT α (2.4) 
 
A tabela a seguir mostra os valores dos coeficientes de temperatura e da 
resistividade de alguns materiais. 
 
Tabela 2.1 – Coeficiente de temperatura e resistividade de alguns materiais 
Condutor α (ºC-1) a 20ºC ρ (Ω.m) a 20º 
prata 3,8.10-3 1,64.10-8 
cobre 3,93.10-3 1,72.10-8 
alumino 3,91.10-3 2,83.10-8 
ouro 3,4.10-3 2,4.10-8 
tungstênio 4,5.10-3 5.10-8 
constantan 8.10-6 49.10-8 
Carbono (grafite) - 5.10-4 3500.10-8 
 
 
Exemplo de aplicação é em Termômetros de resistência de platina, usado para medir com 
precisão temperaturas entre -200 ºC e 1200 ºC, como mostrado abaixo. 
 
 
 
Figura 2.6 – Esquema de um termômetro de resistência elétrica 
 
 
2.2.4 Condutividade e condutividade 
 
Condutância elétrica (G) é o inverso da resistência elétrica. A unidade derivada do 
SI de condutância é o siemens (símbolo S, igual a Ω-1). Em Setembro de1885, Oliver 
Heaviside criou esse termo. Condutância elétrica não deve ser confundida com 
condutividade elétrica, que é uma característica específica de um material e recíproca a 
resistividade elétrica. 
 
Condutividade elétrica (σ) é usada para especificar o caráter elétrico de um 
material. Ela é simplesmente o inverso da resistividade, e indicativa a facilidade com a qual 
um material é capaz de conduzir uma corrente elétrica. A unidade é o inverso de Ω.m, isto 
é, (Ω.m)-1 = S/m 
 
 
 25 
Equacionando para a condutância (G) obtém-se: 
 
R
G 1= (2.5) 
Onde: 
G – Condutância - siemens (S) 
R – Resistência – ohm (Ω) 
 
 
Equacionando para a condutividade (σ) tem-se: 
 
ρσ
1= (2.6) 
 
Onde: 
σ – Condutividade – siemens/metro (S/m) [σ – Letra grega sigma minúscula] 
ρ – Resistividade ohms.metro (Ω.m) 
 
 
Um bom condutor possui uma resistividade próxima de 10-8Ω.m. A prata, que é o 
melhor condutor metálico, é muito cara para uma larga utilização. Metais como o cobre e o 
alumínio são mais utilizados. 
 Materiais sólidos exibem uma espantosa faixa de condutividades. De fato, uma 
maneira de classificar materiais sólidos é de acordo com a facilidade com que conduzem 
uma corrente elétrica; dentro deste esquema de classificação existem 3 grupos a saber: 
 
 
Condutores Resistividade próxima de 10-8 Ω.m 
 
Isolantes Resistividade maior que 1010 Ω.m 
 
Semicondutores Resistividade entre 10-7 Ω.m e 10-4 Ω.m 
 
 
 
2.2.5 Consumo de potência no resistor 
Como visto na equação 1.8 a potência consumida por um componente elétrico é o 
produto da tensão pela corrente, P = UI. Porém da equação 2.1, para os resistores tem-se a 
lei de Ohm, ou seja, U = Ri, assim, efetuando as substituições obtém-se a potência 
dissipada por um resistor, que será dado por: 
 
IUP .= (2.7) 
Ou ainda, 
 
R
UP
2
= (2.8) 
 
Ou ainda, 
 
2RIP = (2.9) 
 
 26 
2.2.6 Valor nominal e tolerância 
A fig. 2.7 mostra o corpo de um resistor em corte. Os resistores são compostos de 
um corpo cilíndrico de material de baixa constante dielétrica, que recebe a cobertura 
resistiva que determinará o valor do resistor. Este conjunto é solidamente ligado a terminais 
metálicos e a cobertura recebe ainda uma metalização para a realização de uma solda de 
alto ponto de fusão (~300ºC) com os terminais do resistor isto para que os ferros de soldar 
comuns, que têm pontos de fusão de 180 ºC, não provoquem qualquer abalo nesta ligação. 
O conjunto é coberto externamente por um material isolante (por exemplo: esmalte, 
cimento, silicone, etc) para acabamento e proteção do usuário. 
 
 
Figura 2.7 – Corte axial em um resistor 
 
 
O valor de sua resistência, dado em Ohms (Ω), e sua tolerância (erro percentual 
mínimo e máximo) são indicados no seu corpo através de duas maneiras: Diretamente 
impresso em seu corpo, ou pelo código de cores. 
 
Diretamente impresso: este sistema utiliza a impressão direta do valor ôhmico no corpo 
do resistor e é usado geralmente em resistores de maior potência (>2W). Consiste na 
impressão de dígitos numéricos combinados com uma letra (R para ohms, K para quiloohms, 
e M para megaohms) para indicar um multiplicador, sendo que a posição da letra pode 
indicar a posição da vírgula no valor ôhmico. Veja os exemplos: 
 
470R = resistor de 470Ω; 
 
4K7 = resistor de 4,7kΩ; 
 
47K = resistor de 47kΩ. 
 
A potência (até 50 W) e a tolerância (até 20%) deste tipo também vêm impressas no 
corpo do resistor. São geralmente fabricados com fios de ligas metálicas resistivas. 
 
 
Código de cores: este sistema utiliza faixas pintadas no corpo do resistor a partir de uma 
extremidade, com as equivalências numéricas dadas na tabela 2.2. As duas primeiras faixas 
(X e Y na tabela) formam uma dezena, sendo a primeira (X) correspondente ao algarismo de 
maior ordem do valor ôhmico (1º dígito da dezena) e a segunda (Y) correspondendo ao 2º 
dígito da dezena. A terceira faixa indica o número de zeros, isto é, corresponde a multiplicar 
a dezena formada pelas duas primeiras cores por 10Z, sendo Z o número correspondente à 
cor dada na tabela 2.2. A quarta cor corresponde à tolerância do resistor: cor ouro para 5%, 
 
 27 
cor prata para 10% e incolor para 20%, sendo que os de maior precisão, de 1% ou menos, 
vem geralmente impresso. A potência destes tipos de resistores refere-se ao tamanho físico 
dos mesmos (maior tamanho, maior potência), variando de 1/8 a 2 W. 
 
Desse modo, o valor ôhmico do resistor será dado por: 
 
R = [ XY x 10Z ] Ω ± T % (2.10) 
 
X = dígito mais significativo 
Y = dígito menos significativo 
Z = expoente da base 
T = tolerância 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.8 – barras de cores do corpo de um resistor 
 
 
Exemplo: para a seqüência de cores a partir de uma extremidade: amarela-violeta-laranja-
prata, a resistência será: 
 
R = 47 x 103 Ω ± 10% ou seja R = 47kΩ ± 10% 
 
 
Tabela 2.2 – Código de cores para leitura dos resistores 
DÍGITOS 
CORES X Y Z T 
Preto 0 0 0 - 
Marrom 1 1 1 - 
Vermelho 2 2 2 - 
Laranja 3 3 3 - 
Amarelo 4 4 4 - 
Verde 5 5 5 - 
Azul 6 6 6 - 
Roxo/ Violeta 7 7 7 - 
Cinza 8 8 - - 
Branco 9 9 - - 
Ouro - - -1 5% 
Prata - - -2 10% 
Incolor - - - 20% 
 
 
X Y Z T 
 
 28 
2.2.7 Circuito aberto e curto circuito 
Como visto no item 2.2, sobre a lei de Ohm (U = RI), é importante observar nesta 
relação que quando R= 0, U= 0, e conseqüentemente há um curto-circuito. 
Neste caso a resistência será nula e a tensão também, independente do valor da 
corrente. 
 
 
Figura 2.9 – Curto-circuito 
 
 
Se R tende para o infinito, então i tende para 0 e tem-se um circuito aberto. 
Neste caso a resistência será infinita e corrente nula, independente do valor da 
tensão. 
 
Figura 2.10 – Circuito aberto 
 
 29 
LISTA 2 
 
1) - Qual a resistência interna de uma 
secadora de roupas que solicita uma 
corrente de 23,3A alimentada em 220V? 
Resp. 9,44 Ω 
 
2) - Se um voltímetro possui uma 
resistência interna de 500 k Ω, encontre a 
corrente que circula por ele quando o 
mesmo indica 86 V. 
Resp. 172 µA 
 
3) - Se um amperímetro possui uma 
resistência de 2 mΩ, encontre a tensão 
sobre ele quando uma corrente de 10 A, 
está sendo indicada. 
Resp. 20 mV 
 
4) - Qual a condutância de um resistor de 
39 Ω? 
Resp. 25,6 mS 
 
5) - Qual a condutância de um voltímetro 
que indica 150 V quando percorrido por 
uma corrente de 0,3 mA? 
Resp. 2 µS 
 
6) - Encontre a resistência a 20 ºC de um 
condutor de cobre de 2 m de comprimento 
e uma seção reta retangular de 1 cm x 4 
cm? 
Resp. 86 µΩ 
 
7) - Qual a resistência de um condutor 
circular de cobre recozido que possui um 
comprimento de 500 m e um diâmetro de 
0,404 mm? 
Resp. 67,1 Ω 
 
8) - A resistência de um condutor é de 25 
Ω. Outro condutor do mesmo material e à 
mesma temperatura possui o dobro do 
diâmetro e seis vezes o comprimento. 
Encontre a resistência do segundo 
condutor. 
Resp. 37,5 Ω 
 
9) - Um cabo de 40 m de comprimento e 
diâmetro de 0,574 mm possui uma 
resistência de 75,7 Ω a 20º C. De que 
material esse cabo é feito? 
Resp. Constantan 
10) - Qual o comprimento de um condutor 
de constantan 30 AWG (0,254 mm de 
diâmetro) a 20ºC que possui uma 
resistência de 200 Ω? 
Resp. 20,7 m 
 
11) - A condutância de um cabo é 2,5 S. 
Outro condutor de mesmo material e 
mesma temperatura possui 1/4 do 
diâmetro e o dobro do comprimento.Encontre a condutância do segundo 
condutor. 
Resp. 78,1 mS 
 
12) - Encontre a condutância de um fio de 
5 m de Nicromo que possui um diâmetro 1 
mm, dado resistividade do Nicromo igual a 
100.10-8 Ω.m. 
Resp. 157 mS 
 
13) - Se um cabo de alta tensão de 
alumínio possui uma resistência de 80 Ω a 
30ºC, qual a sua resistência quando sua 
temperatura vai a -10 ºC? 
Resp. 68 Ω 
 
14) Se uma resistência de um fio de 
constantan é 2 MΩ a -150 C, qual sua 
resistência a 200ºC? 
Resp. 2,006 MΩ 
 
15) - Qual a resistência a 90º C de uma 
haste de carbono que possui uma 
resistência de 25 Ω a 20 C? 
Resp. 24,1 Ω 
 
16) - Qual a corrente máxima que um 
resistor de 56 kΩ, 1 W, pode suportar sem 
se danificar? 
Resp. 4,23 mA 
 
17) - Qual a máxima tensão que pode ser 
aplicada com segurança sobre um resistor 
de 91 Ω, 0,5 W? 
Resp. 6,75 V 
 
18) - Qual a resistência de um aquecedor 
elétrico de 240 V, 5600 W? 
Resp. 10,3 Ω 
 
 
 30 
19) - Um resistor não-linear possui uma 
relação tensão x corrente dada por V= 2I2 
+ 3I + 10. Encontre a corrente solicitada 
por esse resistor quando 37 V são 
aplicados sobre ele. 
Resp. 3 A 
 
20) - Se um diodo possui uma relação 
corrente x tensão dada por: 
I = 10-14(e40V – 1) qual a tensão no diodo 
quando a corrente é 150 mA? 
Resp. 0,758 V 
 
21) - Qual a faixa de resistência de um 
resistor 75kΩ, 5%? 
Resp. 71,25 a 78,75 kΩ 
 
22) - Uma corrente de 12,1 mA circula por 
um resistor 2,7 kΩ, 10%. Qual a faixa do 
valor de tensão que deve estar sobre esse 
resistor? 
Resp. 29,4 a 35,9 V 
 
23) - Quais as cores das faixas dos 
resistores (a) 0,18 Ω, 10%, (b) 39 kΩ, 5% 
e (c) 20 MΩ, 20%? 
Resp. 
(a) marrom-cinza-prata-prata, 
(b) laranja-branco-laranja-ouro, 
(c) vermelho-preto-azul-incolor 
 
24) - Encontre a tolerância e o valor 
nominal da resistência correspondente ao 
código de cores a seguir: 
(a) marron-marron-prata-ouro 
(b) verde-marrom-marrom-incolor 
(c) azul-cinza-vermelho-prata. 
Resp. (a) 0,11 Ω, 5%, (b) 510 Ω, 20%, (c) 
6,8 kΩ, 10% 
 
25) - Uma bateria fornece uma tensão de 
6 V quando um circuito aberto e de 5,4 V 
quando operando com uma corrente de 6 
A. Qual a resistência interna dessa 
bateria? 
Resp. 0,1 Ω 
 
26) - Em um automóvel, o motor de 
arranque elétrico de 3 hp opera com 
eficiência de 85% alimentado por uma 
bateria de 12 V. Qual a resistência interna 
dessa bateria se ela apresenta uma tensão 
em seus terminais de 10 V quando 
energizando o motor? Resp. 7,60 mΩ 
27) - Um curto-circuito nos terminais de 
uma fonte de corrente faz circular uma 
corrente de 20 A. Quando essa fonte está 
em circuito aberto, a tensão em seus 
terminais é de 600 V. Encontre a 
resistência interna dessa fonte. 
Resp. 30 Ω 
 
 
 31 
PROBLEMA DESAFIO 
 
28) (SANEAGO – 2008) O ramal monofásico de ligação de uma unidade consumidora é de 
50 m, conforme figura acima. O cabo utilizado neste ramal é um fio de cobre de 4 mm2 de 
seção transversal (condutor fase e neutro). No intervalo entre 18h e 21h, a corrente nesta 
unidade consumidora é de 20 A, e a tensão no ponto de derivação da distribuição é de 220 
V. Qual é a tensão no ponto de entrega durante o intervalo de tempo especificado? 
Considere a resistividade do cobre como 2 x 10−8Ω.m a 25ºC. 
 
a) 210 V 
b) 200 V 
c) 215 V 
d) 198 V 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resp. Letra A 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 32 
CAPÍTULO III – CIRCUITOS RESISTIVOS 
 
3.1 – Introdução 
 
Neste capítulo serão estudadas as leis de Kirchhoff, utilizando-se de circuitos 
resistivos que são mais facilmente analisados. O estudo dessas leis é aplicado em seguida 
nas deduções de associação de resistores e fontes. Além disso, as leis de Kirchhoff serão 
essenciais para capítulos procedentes a este, pois abrangem o princípio para análise de 
circuitos. 
 
3.2 – Fontes ideais 
 
Uma fonte é um elemento ativo capaz de gerar energia. Existem dois tipos de fontes 
ideais: 
 
(a) Fonte independente ideal é um elemento ativo que fornece tensão ou corrente 
independentemente das outras variáveis do circuito. Os símbolos comumente utilizados para 
representar as fontes de tensão independentes são mostrados na figura 3.1 a seguir: 
 
 
 
Figura 3.2 – Símbolo da fonte de tensão e fonte de corrente independente 
 
Onde: 
Figura 3.2 (a) – Fonte de tensão independente 
Figura 3.2 (b) – Fonte de tensão independente 
Figura 3.2 (c) – Fonte de corrente independente 
 
A figura a seguir mostra um exemplo de valor de fonte de tensão ideal, bem como 
sua característica tensão X corrente. 
 
 
Figura 3.3 – Exemplo de fonte de tensão ideal e independente 
 
 33 
A figura a seguir mostra um exemplo de valor de fonte de corrente ideal, bem como 
sua característica tensão X corrente. 
 
 
Figura 3.4 – Exemplo de fonte de corrente ideal e independente 
 
 
(b) Fonte dependente ideal ou fonte controlada ideal é fonte que estabelece uma 
tensão ou corrente que depende do valor da tensão ou corrente em um outro ponto do 
circuito. Sua simbologia é mostrada na figura a seguir. 
 
 
Figura 3.5 – Símbolo da fonte de tensão e fonte de corrente dependente 
 
Onde: 
Figura 3.5 (a) – Fonte de tensão dependente 
Figura 3.5 (b) – Fonte de corrente dependente 
 
 
Existem quatro tipos de fontes controladas mostradas na próxima página. 
 
 
 34 
1 - Fonte de tensão controlada por tensão (FTCT) 
 
Figura 3.6 – FTCT 
 
 
2 - Fonte de tensão controlada por corrente (FTCC) 
 
Figura 3.7 – FTCC 
 
 
3 - Fonte de corrente controlada por corrente (FCCC) 
 
Figura 3.8 – FCCC 
 
 
4 - Fonte de corrente controlada por tensão (FCCT) 
 
Figura 3.9 – FCCT 
 
 
 35 
3.3 – Conceitos de circuitos 
 
Para se definir as leis de Kirchhoff serão feitas algumas considerações e serão 
definidos alguns termos como se segue. 
 
a) Nó: É um ponto do circuito comum a dois ou mais elementos. 
 
b) Ramo: É um “caminho” entre dois nós. 
 
c) Laço: É o caminho fechado em um circuito passando apenas uma vez em cada nó e 
terminando no nó de partida. 
 
d) Malha: É o laço que não possui caminho fechado em seu interior. 
 
e) Será considerado que os circuitos são ideais, ou seja, os elementos que os constituem 
são ideais e mantém suas características indefinidamente. Segue-se abaixo uma relação dos 
componentes e suas características ideais. 
 
Resistor ideal: Não varia o valor de sua resistência com a temperatura e suporta qualquer 
corrente e tensão. 
 
Fonte de tensão ideal: Mantém a tensão nos terminais e é capaz de fornecer qualquer 
corrente. 
 
Fonte de corrente ideal: Mantém a corrente constante e alimenta qualquer circuito com 
tal corrente. 
 
f) Será considerado que os circuitos estão em regime permanente, ou seja, estão ligados 
a algum tempo, de modo que todas as correntes e tensões já estão estáveis. 
 
 
Figura 3.10 – Exemplo de conceitos de circuitos 
 
 
Para o circuito acima tem-se: 
4 nós 
3 laços 
2 malhas 
 
 
 
 36 
03211 =+++− RRR VVVE
03211 =+++− iRiRiRE
3.4 – Lei das tensões de Kirchhoff (LTK) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para exemplificar a LTK veja a figura abaixo de um circuito contendo uma fonte de 
tensão E1 e três resistores, e apenas uma malha. Ao lado as equações obtidas pela 
aplicação da Lei das Tensões de Kirchhoff. 
 
 
 
Figura 3.11 – Exemplo da TLK 
 
 
 
 
 
Gustav Robert Kirchhoff – Alemão 
(1824-1887), Físico, foi professor de 
Física da Universidade de Heidelberg. 
Embora tenha contribuído em 
diversos campos da física é mais 
conhecido por seu trabalho no campo 
da eletricidade com suas definições 
relacionando as correntes e tensões 
em um circuitopublicado em 1847. 
 
“A soma algébrica das tensões em qualquer laço de 
um circuito é sempre nula”. 
 
0
1
=∑
=
N
n
nv (3.1) 
 
 
 37 
Associação de resistores em série 
Uma associação de resistores é dita em série quando são percorridos pela mesma 
corrente elétrica como mostrado pela figura a seguir. 
 
 
Figura 3.12 – Associação de resistores em série 
 
 
Neste caso, pela LTK, tem-se que: 
 
 
nVVVVV ++++= ...321 ou ainda iRiRiRiRiR neq ++++= ...321 
 
De onde se tem que: 
 
 
neq RRRRR ++++= ...321 (3.2) 
 
 
3.5 – Lei das correntes de Kirchhoff (LCK) 
 
“A soma algébrica das correntes em qualquer nó de um circuito é sempre nula”. 
 
Ou seja: 
0
0
=∑
=
n
i
ni (3.3) 
 
 
Ou ainda: 
 
“A soma das correntes que chegam a um nó é igual à soma das correntes que deixam este 
nó” 
∑∑
==
=
n
i
saem
n
i
chegam ii
00
 (3.4) 
 
 
 
 
 38 
Associação de resistores em paralelo 
Uma associação de resistores é dita em paralelo quando são submetidas à mesma 
tensão elétrica, como mostrada a seguir. 
 
Figura 3.13 – Associação de resistores em paralelo 
 
 
Neste caso, pela LCK, tem-se que: 
 
 
nIIIII ++++= ...321 ou ainda 
n
n
eq R
V
R
V
R
V
R
V
R
V ++++= ...
3
3
2
2
1
1 como nVVVVV ...321 ==== 
 
Finalmente encontra-se: 
 
 
neq RRRRR
1...1111
321
++++= (3.5) 
 
OBSERVAÇÕES IMPORTANTES: 
 
• Para o caso particular e muito utilizado de dois resistores em paralelo a equação acima 
se reduz a: 
 
21
21.
RR
RRReq += (3.6) 
 
 
 
Figura 3.14 – Associação de dois resistores em paralelo 
 
• Para o caso particular de termos N resistores em paralelo e todos com a mesma 
resistência elétrica R, a resistência equivalente será: 
 
N
RReq = (3.7) 
3.6 – Divisor de tensão 
 
 39 
Um divisor de tensão se aplica para resistores em série. Essa lei fornece a tensão 
sobre qualquer resistor em função de sua resistência e da tensão sobre todos os resistores 
em série. 
 
Figura 3.15 – Divisor de tensão para dois resistores 
 
 
Para o circuito acima a tensão sobre os resistores V1 e V2 são respectivamente dados 
por: 
 
21
1
1 . RR
RVV += (3.8) 
 
21
2
2 . RR
RVV += (3.9) 
 
A figura abaixo mostra a aplicação do divisor de tensão genericamente para N 
resistores em série. 
 
Figura 3.16 – Divisor de tensão para N resistores 
 
Neste caso tem-se que: 
 
nRRRR
RVV ++++= .... 321
1
1 (3.10) 
 
 40 
3.7 – Divisor de corrente 
Um divisor de corrente se aplica para resistores em paralelo. Essa lei fornece a 
corrente através de qualquer resistor em função de sua resistência e da corrente na 
combinação paralela. 
 
Figura 3.17 – Divisor de corrente para dois resistores 
 
 
Para o circuito acima a corrente através dos resistores R1 e R2 são respectivamente 
dados por: 
 
21
2
1 . RR
RII += (3.11) 
 
21
1
2 . RR
RII += (3.12) 
 
 
A figura abaixo mostra a aplicação do divisor de corrente genericamente para N 
resistores em paralelo. 
 
 
Figura 3.18 – Divisor de corrente 
 
 
Neste caso tem-se que: 
 
nGGGG
GII ++++= .... 321
1
1 (3.13) 
 
 
 
 41 
3.8 – Interpretação de esquemas elétricos 
A figura abaixo mostra uma placa de terminais muito utilizada em laboratórios. 
 
 
Figura 3.19 – Placa de terminais 
 
 
Muitos alunos encontram dificuldades em compreender o significado de diagramas 
elétricos e esquemáticos, como mostrado na figura abaixo. Muito desta dificuldade advém da 
incompreensão do papel dos símbolos e das conexões entre eles. A figura a seguir mostra 
três maneiras de ligar duas lâmpadas em paralelo a uma bateria. 
 
Figura 3.20 – Diversas maneiras de representar duas lâmpadas ligadas em paralelo 
 
 
Veja na figura abaixo duas maneiras de se implementar o circuito esquematizado na 
figura acima. Acompanhe as ligações em cada um deles e verifique se o circuito é o mesmo. 
Observe que a bateria foi substituída pela fonte de tensão. 
 
 
Figura 3.21 – Duas maneiras de se implementar o circuito esquematizado na figura 
anterior 
 
 
 42 
3.9 – Protoboard ou matriz de contatos 
Uma Matriz de Contatos (ou Protoboard) é uma placa com milhares de furos e 
conexões condutoras para montagem de circuitos elétricos experimentais. A grande 
vantagem do protoboard na montagem de circuitos eletrônicos é a facilidade de inserção de 
componentes pois não necessita soldagem. As placas variam de 1600 furos até 6000 furos, 
as conexões são verticais e horizontais. A figura abaixo mostra um exemplo. 
 
 
Figura 3.22 – Protoboard ou Matriz de contatos 
 
 
 43 
LISTA 3 
 
1) - Determine o número de nós, ramos, 
malhas e laços no circuito mostrado na 
figura abaixo. 
 
Resp. 6 nós, 8 ramos, 3 malhas e 7 laços 
 
2) - Encontre V1, V2 e V3 para o circuito 
mostrado na figura acima. 
Resp. V1 = 2V, V2 = -21V, V3 = 26V 
 
3) - Quatro resistores em série possuem 
uma resistência total de 500 Ω. Se três 
dos resistores possuem resistência de 100, 
150 e 200 Ω, qual a resistência do quarto 
resistor? 
Resp. 50 Ω 
 
4) - Encontre a condutância total dos 
quatro resistores de 2, 4, 8 e 10 S 
conectados em série. 
Resp. 1,03 S 
 
5) - Um circuito série consiste em uma 
fonte de tensão CC e em resistores de 4, 5 
e 6 Ω. Se a corrente é 7 A, encontre a 
tensão da fonte. 
Resp. 105 V 
 
6) - Uma bateria de 12V com uma 
resistência interna de 0,3Ω é carregada 
por uma fonte de 15V. Se a corrente de 
carga não deve exceder 2A, qual a mínima 
resistência de um resistor em série que 
limitará a corrente para garantir esse valor 
de segurança? 
Resp.1,2 Ω 
 
7) - Um resistor em série com outro 
resistor de 100 Ω absorve 80 W quando 
ambos são conectados a uma rede de 240 
V. Encontre a resistência desconhecida. 
Resp. 20 ou 500 Ω 
 
8) - Um circuito série é formado por uma 
fonte de 4 V e resistores de 2, 4 e 6 Ω. 
Qual a mínima potência para a qual os 
resistores devem ser especificados, se são 
disponíveis no mercado resistores de 0,5 
W, 1 W e 2 W? 
Resp. P2 = 0,5W, P4 = 0,5W, P6 = 1W 
 
9) - Encontre Vab no circuito mostrado na 
Figura abaixo. 
Resp. 20 V 
 
 
10) – Encontre a tensão V4 no circuito 
mostrado na figura acima. 
Resp. -8 V 
 
11) - Um circuito série é formado por uma 
fonte de 100 V e pelos resistores de 4, 5, 
6, 7 e 8 Ω. Use divisão de tensão para 
encontrar a tensão sobre o resistor de 6 
Ω. 
Resp. 20 V 
 
12) - Determine I no circuito da figura a 
seguir. 
Resp. 3 A 
 
 
 
 44 
13) - Encontre V sobre o circuito aberto da 
figura abaixo. 
Resp. -45 V 
 
 
 
14)-Encontre as correntes desconhecidas 
indicadas nos circuitos a seguir. 
Resp. I1 = 2A, I2= -6A, I3 = -5A, I4 = 3A 
 
 
 
 
15) - Encontre a corrente de curto-circuito 
I no circuito da Figura abaixo. 
Resp. 3 A 
 
 
 
 
16) - Calcule V1 no circuito da figura 
abaixo. 
Resp. 96 V 
 
 
 
17) - Quais os valores diferentes de 
resistênciaque podem ser obtidos com a 
associação de três resistores de 4 Ω? 
Resp. 1,33, 2, 2,67, 4, 6, 8 e 12 Ω 
 
18) - Um resistor de 100 Ω está em 
paralelo com outro resistor e possuem 
uma resistência equivalente de 75 Ω. Qual 
a resistência do outro resistor? 
Resp. 300 Ω 
 
19) - Encontre a resistência equivalente de 
quatro resistores em paralelo de 
resistências 2, 4, 6 e 8 Ω. 
Resp. 0,96 Ω 
 
20) - Três resistores em paralelo têm 
condutância equivalente de 2 mS. Se duas 
das resistências são 1 e 5 kΩ, qual a 
terceira resistência? 
Resp. 1,25 kΩ 
 
21) - A resistência equivalente de três 
resistores em paralelo é 10 Ω. Se dois dos 
resistores possuem resistência de 40 e 60 
Ω, qual a resistência do terceiro resistor? 
Resp. 17,1 Ω 
 
22) - Determine RT em que: 
RT = (24//48 + 24)//10 
Resp. 8 Ω 
 
23) - Determine RT em que: 
RT = (6//12 + 10//40)//(6 + 2 ) 
Resp. 4,8 Ω 
 
 
 45 
24) - Encontre a resistência total RT do 
circuito mostrado na figura abaixo. 
Resp. 26,6 KΩ 
 
 
 
25) - Repita o problema anterior com 
todas as resistências com valor dobrado. 
Resp. 53,2 kΩ 
 
26) - No circuito mostrado na figura a 
seguir, encontre RT: 
a) com os terminais a e b abertos 
b) com os terminais a e b curto-
circuitados. 
Resp. (a) 18,2 Ω, (b) 18,1 Ω 
 
 
 
27) - Uma corrente de 15 mA circula em 
quatro resistores em paralelo que 
possuem resistências de 4, 6, 8 e 12 kΩ. 
Encontre a corrente em cada resistor. 
Resp. I4 = 6mA, I6 = 4mA, I8 = 2mA, 
I12 = 2mA 
 
28) - Repita o Problema anterior com 
todas as resistências com o valor dobrado. 
Resp. As mesmas correntes 
 
29) - Encontre R1 e R2 para o circuito 
mostrado a seguir. 
Resp. R1 = 20 Ω e R2 = 5 Ω 
 
 
 
 
 
30) - No circuito mostrado na figura 
acima, faça R1 = 6 Ω e R2 = 12 Ω. Então 
use divisão de corrente para calcular a 
nova corrente em R1. 
Resp. 1,33 A 
 
31) - Uma corrente de 60 A circula por 
uma associação de resistores descrita por 
RT = 40//(12 + 40//10). Encontre a 
corrente no resistor de 10 Ω. 
Resp. 32 A 
 
32) - Uma fonte de 620 V conectada a 
uma associação de resistores descrita por 
RT = 50 + R//20 fornece uma tensão de 
120 V sobre o resistor de 20 Ω. Qual o 
valor de R? 
Resp. 30 Ω 
 
33) - Encontre I no circuito mostrado a 
seguir. 
Resp. 4 A 
 
 
 
 46 
34) - No circuito mostrado na figura 
abaixo existe uma lâmpada de 120 
V/60W. Qual deve ser a tensão de 
alimentação VS para que a lâmpada opere 
nessas condições? 
Resp. 285 V 
 
 
 
35) - No circuito da figura abaixo, calcule I 
e a potência absorvida pela fonte 
dependente. 
Resp. 2 A, 560 W 
 
 
36) - Use divisão de tensão por duas 
vezes para encontrar a tensão V no 
circuito abaixo. 
Resp. 36 V 
 
 
37) - No circuito mostrado na figura a 
seguir, use divisão de corrente por duas 
vezes para calcular a corrente I no resistor 
de carga RL para: 
(a) RL = 0 Ω 
(b) RL = 5 Ω 
(c) RL = 20 Ω 
Resp. (a) 16A, (b) 9,96A, (c) 4,67A 
 
 
 
 
38) - Use divisão de corrente várias vezes 
para encontrar a corrente I no circuito da 
figura abaixo. 
Resp. 4 mA 
 
 
39) - Um rádio AM/FM portátil funciona, 
em condições normais de operação, com 
as seguintes especificações 3V/450mW. 
O valor de R2 para que este rádio opere a 
partir de uma fonte de 12V, conforme a 
montagem abaixo está: 
a) abaixo de 50Ω 
b) entre 50Ω e 60Ω 
c) entre 60Ω e 70Ω 
d) entre 70Ω e 80Ω 
e) acima de 80Ω 
 
 
Resp. Letra D 
 
40) - (CFOPM-DF-2008) Considerando 
que, no circuito esquematizado abaixo, a 
fonte e o amperímetro sejam ideais e que 
a força eletromotriz da bateria seja igual a 
12 V, julgue os seguintes itens. 
 
 47 
I - A potência dissipada pelo resistor de 
resistência igual a 2Ω é menor que 12 W. 
II - A leitura registrada pelo amperímetro 
é igual a 1 A. 
III - Se o amperímetro e a fonte fossem 
trocados de posição, a medida da corrente 
registrada pelo amperímetro não mudaria. 
 
Gabarito F,V,V 
 
41) (SGADF-2006) A figura abaixo mostra 
um circuito elétrico alimentado por fonte 
de tensão contínua. No circuito, há uma 
fonte de tensão que é controlada pela 
corrente da fonte de alimentação i. 
Considerando que os valores dos 
resistores sejam dados em ohms, julgue 
os seguintes itens. 
 
I - A corrente i que flui pela fonte é igual a 
2,5 A. 
II - A tensão E no circuito é igual a 5 V. 
 
 
Gabarito V,V 
 
42) – (CELG-2004) A associação dos 
resistores abaixo é alimentada por 170 
volts. A corrente no resistor de 30 Ohms é 
de 
a) 6 ampères. 
b) 10 ampères. 
c) 4 ampères. 
d) 5 ampères. 
e) 2,6 ampères. 
 
 
 
 
 
 
43)(AGETOP-2006) Observe a figura a 
seguir: 
 
Utilizando-se a convenção passiva para os 
elementos de circuitos elétricos da figura, 
é CORRETO afirmar: 
a) Os elementos 1 e 2 são fontes. 
b) A potência dissipada pela carga 1 é 
igual à potência dissipada pela carga 2. 
c) A potência elétrica fornecida difere da 
potência elétrica consumida. 
d) A fonte de tensão controlada por 
corrente fornece a potência total 
consumida pelo circuito. 
 
Gabarito Letra b 
 
 
Gabarito Letra c 
 
 48 
CAPÍTULO IV – TÉCNICAS DE ANÁLISE DE CIRCUITOS 
 
4.1 – Introdução 
Analisar um circuito é obter um conjunto de equações ou valores que demonstram as 
características de funcionamento do circuito. A análise é fundamental para que se possa 
sintetizar e implementar um circuito, ou seja, a partir da análise de circuitos, pode-se 
arranjar elementos que uma vez interconectados e alimentados, comportam-se de uma 
forma desejada. 
 
 
REGRA DE CRAMER 
 
A regra de Cramer é um método popular para a resolução de equações simultâneas 
na análise de circuitos. Algum conhecimento de determinantes é necessário para a utilização 
desta regra. 
Uma determinante é um arranjo quadrado, de números entre duas linhas verticais 
como mostrado a seguir: 
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
 
 
Onde: 
Cada termo “a” é um número. 
O 1º índice indica a linha a que o número pertence. 
O 2º índice indica a coluna a que o número pertence. 
 
Exemplo: 
a23 – indica que o número está na 2º linha e 3º coluna. 
 
Uma determinante com duas linhas e duas colunas é chamada determinante de 
segunda ordem, com três linhas e três colunas é de terceira ordem e assim sucessivamente. 
As determinantes têm um valor como será visto a seguir. 
 
DETERMINANTE 2X2 
 
O valor de um determinando 2 x 2 (dois por dois) ou de segunda ordem é obtido por: 
 
 
21122211
2221
1211 .. aaaa
aa
aa
D −== (4.1) 
 
 
DETERMINANTE 3X3 
 
O método mais indicado para o cálculo de uma determinante de 3º ordem consiste 
em repetir as duas primeiras colunas à direita da terceira coluna e então fazer a soma dos 
produtos dos números das diagonais indicadas pelas setas para a esquerda e subtrair deste 
resultado a soma dos produtos dos números das diagonais indicadas pelas setas para a 
direita, como mostrado. 
 
 49 
 
a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 - a31a22a13 - a32a23a11 - a33a21a12 
 
4.2 – Transformação de fontes 
Dependendo do tipo de análise, um circuito sem fontes de corrente ou sem fontes de 
tensão pode ser preferível. Por isso, toma-se conveniente, às vezes, a conversão de uma 
fonte de corrente em uma fonte de tensão equivalente e vice-versa. Para a transformação 
cada fonte de tensão deve ter uma resistência interna em série e cada fonte de corrente 
deve ter uma resistência interna em paralelo. 
A figura a seguir mostra a transformação de uma fonte de tensão em uma fonte de 
corrente equivalente, e a transformação de uma fonte de corrente em uma fonte de tensão 
equivalente. Essa equivalência é aplicada apenas a circuitos externosconectados a essas 
fontes. 
As tensões e correntes nesse circuito externo serão as mesmas para ambas as 
fontes, mas internamente essas fontes não são equivalentes. 
 
 
Figura 4.1 – Transformação de fontes 
 
EXEMPLO 4.1 
A figura a seguir mostra uma fonte de tensão de 6V sendo convertida em uma fonte 
de corrente, ambas alimentando um resistor de carga de 4Ω. Determine para os dois 
circuitos: 
a) a corrente pelo resistor de carga (IL); 
b) a tensão sobre o resistor de carga (Vab); 
c) a potência dissipada pelo resistor de 4Ω (PL) 
 
Figura 4.2 – Exemplo de transformação de fontes 
RESPOSTAS: 
a) IL = 1A 
b) Vab = 4V 
c) PL = 4W 
 
 
 50 
RESOLUÇÃO DO EXEMPLO 4.1 
 
 51 
4.3 – Análise de Malhas 
A análise de malhas ou método das correntes das malhas é baseada na Lei das 
Tensões de Kirchhoff (LTK). Para aplicação desse método é necessário verificar se o circuito 
é planar ou não planar, pois esse método só se aplica aos circuitos planares. O circuito 
planar é aquele que pode ser desenhado em um único plano sem que dois ramos se cruzem. 
Veja os circuitos das figuras abaixo. 
 
 
Figura 4.3 – Circuito Planar 
 
 
 
Figura 4.4 – Circuito Não-Planar 
 
 
Para aplicação da análise de malhas deve-se ter em mente que o método: 
 
• É baseada na Lei de Kirchhoff para Tensões (LTK); 
 
• Incógnitas são correntes; 
 
• Número de incógnitas = Número de correntes de malha; 
 
 
 
PROCEDIMENTO: 
 
a. Converter as condutâncias em resistências; 
b. Associar em cada malha uma corrente de malha no sentido horário; 
c. Aplicar a LTK em cada malha; 
d. Resolver o sistema de equações, obtendo o valor das correntes de malha. 
 
 
 
 52 
EXEMPLO 4.2 
 Determine as correntes de malha (I1 e I2) e as correntes nos ramos (i1; i2 e i3) no 
circuito mostrado a seguir. 
 
Figura 4.5 – Exemplo 4.2 
 
 
Resolvendo para as correntes de malha obtém-se: 
 
LTK (Malha1): 
0211 =++− RR VVV 0)( 212111 =−++− IIRIRV 
 
LTK (Malha2): 
0322 =+++ RR VVV 0)( 231222 =+−++ IRIIRV 
 
Resolvendo as equações anteriores obtém-se: 
 
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+−
−+
2
1
2
1
322
221 .
)(
)(
V
V
I
I
RRR
RRR
 
 
As correntes de ramos (i1; i2 e i3) são dadas em função das correntes de malha (I1 e I2) por: 
 
i1 = I1 
 
i2 = I2 
 
i3 = I1 – I3 
 
Genericamente o método da Análise de malha pode ser escrito por: 
 [ ][ ] [ ]VIR =. (4.2) 
 
Onde: 
[R] – Matriz das resistências 
[I] – Vetor das correntes de malha 
[V] – Vetor das tensões 
 
A matriz [R] será simétrica apenas para circuitos com fontes independentes de 
tensão e correntes de malha no sentido horário. 
 
Resolva você agora um exemplo de circuito com fonte controlada de tensão. 
 
 
 53 
EXEMPLO 4.3 
Para o circuito abaixo determine: 
a) - as correntes de malha (I1, I2 e I3) 
b) – a corrente pelo resistor de 20Ω; 
c) – a tensão fornecida pela fonte dependente 
 
 
Figura 4.6 – Exemplo 4.3 
 
 
RESOLUÇÃO DO EXEMPLO 4.3 
RESPOSTAS 
 
a) I1 = 29,6A; I2 = 26A; I3 = 28A 
b) Iφ = 1,6A 
c) 24V 
 
 
 54 
4.4 – Análise de Nós 
Para aplicação da análise de Nós (Análise nodal) deve-se ter em mente que o método: 
 
• É baseada na Lei de Kirchhoff para correntes (LCK). 
 
• Incógnitas são tensões. 
 
• No de tensões incógnitas = No de nós – 1. 
 
 
PROCEDIMENTO 
a. Converter as resistências em condutâncias; 
b. Escolher o nó de referência, atribuindo-lhe tensão nula; 
c. Associar o cada nó (exceto o nó de referência, que tem tensão nula) uma tensão incógnita 
(tensão de nó); 
d. Aplicar a LCK em cada nó (exceto ao nó de referência) considerando todas as correntes 
saindo do nó (por convenção); 
e. Resolver o sistema de equações. 
 
 
 
 
Figura 4.7 – Polaridade de um elemento em função da corrente 
 
 
EXEMPLO 4.4 
Para o circuito abaixo determine as tensões nodais (V1 e V2): 
 
Figura 4.8 – Exemplo 4.4 
 
Aplicando a Lei das correntes de Kirchhoff (LCK) aos nós 1 e 2 obtém-se: 
 
LCK (Nó 1): 
0)(226 211 =−++− VVV 
 
LCK (Nó 2): 
035)(2 212 =−+− VVV 
 
 
 55 
Em termos matriciais obtém-se: 
 
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
−
3
6
.
72
24
2
1
V
V
 
 
E finalmente: 
 
V1 = 2V; V2 = 1V 
 
 
Genericamente o método da Análise de Nós (nodal) pode ser escrito por: 
 [ ][ ] [ ]IVG =. (4.3) 
 
Onde: 
 
[G] – Matriz das condutâncias 
[V] – Vetor das tensões nodais 
[I] – Vetor das correntes 
 
 56 
LISTA 4 
Assuntos: Transformação de fontes. Análise de Malhas e Análise Nodal 
 
1) - Calcule as seguintes determinantes: 
 
 (a)
62
34
−− b) 5642
308 −
 
Resp. (a) -18, (b) 1708 
 
2) - Calcule as seguintes determinantes: 
 
a) 
456
123
498
−
−
−
 
 
b) 
182113
191532
25016
−
−−
−
 
Resp. (a) -30, (b) 23.739 
 
3) - Use a regra de Cramer para encontrar 
as incógnitas em: 
 
a) 
1563018
1241826
21
21
=+−
−=−
VV
VV
 
 
b) 
7082112
5601216
21
21
−=+−
=−
II
II
 
Resp. 
(a) V1 = -2 V, V2 = 4 V 
(b) I1 = 17 A, I2 = -24 A 
 
4) - Use a regra de Cramer para encontrar 
as incógnitas em: 
 
13110
75509
13565
321
321
321
=−+
=−+
−=++−
VVV
VVV
VVV
 
Resp. V1 = 5V, V2 = 7V, V3 = -6V 
 
5) - Qual a fonte de corrente equivalente a 
uma bateria de 12 V com uma resistência 
interna de 0,5 Ω? 
Resp. I = 24 A, R = 0,5 Ω 
 
6) - Qual a fonte de tensão equivalente a 
uma fonte de corrente de 3 A em paralelo 
com um resistor de 2 kΩ? 
Resp. V = 6 kV, R = 2 kΩ 
 
7) - Encontre as correntes de malha no 
circuito mostrado na figura abaixo. 
Resp. I1 = 3A, I2 = -8A, I3 = 7A 
 
 
 
8) - Resolva por correntes de malha o 
circuito mostrado na figura abaixo. 
Resp. I1 = 5 mA, I2 = -2 mA 
 
 
 
9) - Duas baterias de 12 V em paralelo 
fornecem corrente a uma lâmpada que 
possui uma resistência de 0,5Ω, quando 
aquecida. Se as resistências internas das 
baterias são 0,1 Ω e 0,2Ω, encontre a 
potência consumida pela lâmpada. 
Resp. 224 W 
 
10) - Calcule as correntes de malha no 
circuito da figura a seguir. 
Resp. I1 = 2 mA, I2 = -3 mA, I3 = 4 mA 
 
 
 57 
 
 
11) - Calcule as correntes de malha no 
circuito da figura a seguir. 
Resp. I1 = -2 mA, I2 = 6 mA, I3 = 4 mA 
 
 
 
12) – Obtenha as correntes de malha no 
circuito da figura a seguir. 
Resp. I1 = - 0,879mA, I2 = -6,34mA, 
I3 = -10,1mA 
 
 
 
13) – Obtenha as tensões nodais no 
circuito abaixo. 
Resp. V1 = -8V, V2 = 3V e V3 = 7V 
 
 
14) - Encontre as tensões nodais no 
circuito da figura a seguir. 
Resp. V1 = 5V, V2 = -2V 
 
 
15) - Encontre as tensões nodais no 
circuito mostrado abaixo. 
Resp. V1 = -63,5 V, V2 = 105,9 V 
 
 
16) - Encontre as tensões nodais no 
circuito mostrado na figura abaixo. 
Resp. V1 = -2 V, V2 = 6 V, V3 = 4 V 
 
 
 
 
17) – Obtenha as tensões nodais no 
circuito abaixo. 
Resp. V1 =4V, V2 = 6V; V3 = 2V e V4 = -2V 
 
 
 
18) – Obtenha a potência dissipada pelo 
resistor de 10Ω do circuito abaixo. 
 
 58 
 
Resp. P = 2W 
 
 
 
 59 
CAPÍTULO V – TEOREMAS DE ANÁLISE DE CIRCUITOS 
 
5.1 – Introdução 
 
Neste capítulo serão estudados os principais teoremas para análise de circuitos. Isso 
inclui os teoremas de Thévenin, de Norton, damáxima transferência de potência, de Millman 
e teorema da superposição. É importante a compreensão clara destes teoremas para 
diversas aplicações que serão vistas em outros cursos. Logicamente existe uma grande 
variedade de teoremas de circuitos elétricos, sendo o objetivo deste material, apenas 
apresentar os principais teoremas e não esgotar todo o assunto. 
 
 
5.2 – Teorema de Thévenin 
Antes da explicação propriamente dita do teorema de Thévenin, vamos a alguns 
conceitos importantes. 
 
Circuito linear é aquele que possui elementos lineares e fontes independentes. 
 
Elemento linear é aquele que possui uma relação excitação-resposta linear, ou seja, 
dobrando-se a excitação, a resposta também dobra, triplicando-se a excitação, a resposta 
também triplica e assim por diante. 
 
Circuito bilateral é composto por elementos bilaterais e fontes independentes. 
 
Elemento bilateral é aquele que opera da mesma forma sobre uma excitação reversa 
exceto que a resposta é também reversa. 
 
• Resistores são ao mesmo tempo lineares e bilaterais quando possuem uma 
característica V x I que obedecem à lei de Ohm. 
 
Em muitos casos práticos existe a necessidade de determinar a tensão, corrente e 
potência em apenas um ramo (componente) do circuito. Assim, não existe a necessidade de 
determinação das tensões e correntes em todos os ramos do circuito. Neste contexto, os 
Teoremas de Thévenin e Norton permitem que seja determinado um circuito equivalente 
simples a partir de dois terminais, o qual pode substituir uma rede complexa e simplificar a 
resolução. 
 
O Teorema de Thévenin afirma que: 
 
“Qualquer circuito de corrente contínua linear bilateral de dois terminais pode ser substituído 
por um circuito equivalente constituído por uma fonte de tensão em série e um resistor em 
série como mostrado abaixo”. 
 
 
Figura 5.1 – Circuito equivalente de Thévenin 
 
 
 60 
A seqüência de passos a seguir nos conduzirá aos valores corretos de VTh e RTh. 
 
Procedimento: 
1. Remova a parte do circuito para o qual deseja obterá um equivalente de Thévenin. 
2. Assinale os terminais do circuito remanescente. 
3. Coloque todas as fontes em zero (substitua as fontes de tensão por curto-circuito e as 
fontes de corrente por circuito aberto) e em seguida determine a resistência equivalente 
entre os dois terminais escolhidos. (Ou seja, calcule RTh) [Veja figura 5.2] 
4. Retorne todas as fontes às suas posições originais no circuito e em seguida determine a 
tensão entre os dois terminais. (Ou seja, calcule VTh). VTh deve ser calculada com o 
circuito aberto entre os terminais assinalados. Por isso VTh é as vezes designado por VOC. 
5. Desenhe o circuito equivalente de Thévenin e recoloque entre os terminais do circuito 
equivalente a parte que foi removida. 
 
Voc - Tensão de circuito aberto (Open Circuit). 
 
 
 
Figura 5.2 – Remoção dos efeitos de fontes ideais 
 
 
EXEMPLO 5.1 
 
Determine o circuito equivalente de Thévenin para a parte sombreada do circuito abaixo. 
 
Figura 5.3 – Exemplo 5.1 
 
 
Passos 1 e 2: Removendo o resistor de carga RL e rotulando os terminais a e b obtém-se o 
circuito abaixo. 
 
Figura 5.4 – Exemplo 5.1 - Continuação 
Passo 3: Substituindo a fonte de tensão por um curto obtém-se o circuito abaixo. 
 
 61 
 
 
Figura 5.5 – Exemplo 5.1 - Continuação 
 
Em que: Rth = R1//R2 = 3//6 = 2Ω 
 
 
Passo 4: Introduzindo novamente a fonte de tensão encontra-se o seguinte circuito: 
 
Figura 5.6 – Exemplo 5.1 - Continuação 
 
 
Pelo divisor de tensão pode-se calcular a tensão de circuito aberto: 
 
 
 
V
RR
R
EVEV ThThOC 663
69
21
2
1 =+=+=== 
 
 
Passo 5: Desenhando o circuito equivalente: 
 
Figura 5.7 – Exemplo 5.1 - Continuação 
 
 
 
 62 
5.3 – Teorema de Norton 
 
O Teorema de Norton afirma que: 
 
“Qualquer circuito de corrente contínua linear bilateral de dois terminais pode ser substituído 
por um circuito equivalente constituído por uma fonte de corrente e um resistor em paralelo 
como mostrado abaixo”. 
 
 
Figura 5.8 – Teorema de Norton 
 
 
A seqüência de passos a seguir nos conduzirá aos valores corretos de IN e RN. 
 
 
Procedimento: 
1. Remova a parte do circuito para o qual deseja obterá um equivalente de Norton. 
2. Assinale os terminais do circuito remanescente. 
3. Coloque todas as fontes em zero (substitua as fontes de tensão por curto-circuito e 
as fontes de corrente por circuito aberto) e em seguida determine a resistência 
equivalente entre os dois terminais escolhidos. (Ou seja, calcule RN). Como RN = RTh este 
passo é idêntico ao passo 3 descrito para o teorema de Thévenin. [Veja figura 5.2] 
4. Retorne todas as fontes às suas posições originais no circuito e em seguida determine a 
corrente de curto circuito (ISC) entre os terminais assinalados. Esta corrente é a própria 
corrente de Norton (IN). 
5. Desenhe o circuito equivalente de Norton Thévenin e recoloque entre os terminais do 
circuito equivalente a parte que foi removida. 
 
ISC - Corrente de Curto Circuito (Short Circuit). 
 
 
 
EXEMPLO 5.2 
Determine o circuito equivalente de Norton para a parte sombreada do circuito abaixo. 
 
Figura 5.9 – Exemplo 5.2 
 
 
 
 63 
Passos 1 e 2: Removendo o resistor de carga RL e rotulando os terminais a e b obtém-se o 
circuito abaixo. 
 
Figura 5.10 – Exemplo 5.2 - Continuação 
 
Passo 3: Substituindo a fonte de tensão por um curto obtém-se o circuito abaixo. 
 
 
Figura 5.11 – Exemplo 5.2 - Continuação 
 
Em que: RN = R1//R2 = 3//6 = 2Ω 
 
Passo 4: Introduzindo novamente a fonte de tensão encontra-se o seguinte circuito: 
 
Figura 5.12 – Exemplo 5.2 - Continuação 
 
Como neste caso não há corrente pelo resistor R2, assim: 
 
VIRV 0)0.(6222 === 
AV
R
EII NSC 33
9
1
=Ω=== 
 
Passo 5: Desenhando o circuito equivalente: 
 
Figura 5.13 – Exemplo 5.2 – Continuação 
 
 64 
Uma simples conversão indica que os circuitos de Thévenin e Norton, são de fato, os 
mesmos. Veja a figura abaixo. 
 
 
Figura 5.14 – Conversão entre circuitos equivalentes de Thévenin e Norton 
 
 
5.4 – Teorema da Máxima transferência de potência 
O objetivo do teorema da Máxima transferência de potência é obter a máxima 
potência possível de uma rede qualquer. 
 
 
O teorema da Máxima transferência de Potência afirma que: 
 
 
“A potência transferida a uma carga por um circuito de corrente contínua linear 
bilateral será máxima quando a resistência desta carga for exatamente igual à resistência de 
Thévenin do circuito ligado a esta carga”. 
 
 
 
Figura 5.15 – Máxima transferência de Potência 
 
 
No caso da figura acima a potência fornecida à carga será máxima quando: 
 
THL RR = (5.1) 
 
 
Nas condições de máxima transferência de potência (RL=RTH), a potência fornecida 
para a carga (RL) será: 
 
TH
TH
L R
VP
4
2
= (5.2) 
 
 65 
O gráfico a seguir mostra a curva da Potência na carga (PL) em função da resistência 
da carga (RL) para o circuito da figura 5.13. 
 
 
Figura 5.16 – PL em função de RL para o circuito mostrado na figura anterior 
 
 
 
EXEMPLO 5.3 
 
Para o circuito abaixo determine: 
a) O Valor de RL que produz a máxima dissipação de potência na carga. 
b) A máxima potência dissipada pela carga nas condições do item a. 
c) Plote o gráfico da potência na carga PL em função da resistência de carga (RL) 
 
Figura 5.17 – Exemplo 5.3 
 
 
RESOLUÇÃO DO EXEMPLO 5.3 
RESPOSTAS 
 
a) RL = 9Ω 
b) PLmax = 100W 
c) No caderno 
 
 66 
CONTINUAÇÃO DA RESOLUÇÃO DO EXEMPLO 5.3 
 
 67 
5.5 – Teorema de Millman 
Por meio da aplicação do teoremade Millman, qualquer número de fontes de 
tensão em paralelo pode ser reduzido a apenas uma, como mostra a figura abaixo, para três 
fontes em paralelo. 
 
Figura 5.18 – Teorema de Millman 
 
 
 
Sendo: 
G – Condutância (cuja unidade é o Siemes) [S] 
VM – Tensão de Millman 
RM – Resistor de Millman 
 
 
Onde: 
 
N
NN
M GGGG
VGVGVGVGV
...
...
321
332211
+++
±±±±= (5.3) 
 
e 
 
N
M GGGG
R
...
1
321 +++
= (5.4) 
 
 
 
 68 
5.6 – Teorema de Superposição 
O teorema da Superposição especifica que: 
 
“Em um circuito linear contendo várias fontes independentes, a corrente ou tensão em um 
elemento do circuito é igual à soma algébrica das tensões ou das correntes produzidas por 
fontes independentes atuando sozinhas”. 
 
 
Figura 5.19 – Princípio do teorema da Superposição 
 
 
 
 
 
 
Observações importantes para aplicação do Teorema da Superposição: 
 
• Fonte de tensão em repouso V = 0 (curto-circuito) 
 
• Fonte de corrente em repouso I = 0 (circuito aberto) 
 
• Fontes controladas não devem ser colocadas em repouso. 
 
• Veja figura 5.2 – Remoção dos efeitos de fontes ideais. 
 
 
 
 69 
EXEMPLO 5.4 
Usando o teorema da Superposição, determine a corrente (I2) no resistor de 6Ω do circuito 
mostrado a seguir. 
 
Figura 5.20 – Exemplo 5.4 - Teorema da Superposição 
 
 
SOLUÇÃO: 
 
I) – Considerando o efeito da fonte de tensão tem-se o circuito mostrado abaixo: 
 
 
 
Figura 5.21 – Exemplo 5.4 - Teorema da Superposição 
 
 
Neste caso a corrente I’2 será: 
 
 
AV
RR
E
R
EI
T
2
612
36
21
'
2 =Ω+Ω=+== 
 
 
II) – Considerando o efeito da fonte de corrente tem-se o circuito mostrado a seguir: 
 
 70 
 
Figura 5.22 – Exemplo 5.4 - Teorema da Superposição 
 
 
Neste caso a corrente I’’2 será obtida pelo divisor de corrente: 
 
 
AAA
RR
RII 6
18
108
612
12.9
21
1''
2 ==Ω+Ω
Ω=+= 
 
 
A corrente total no resistor de 6Ω será: 
 
AAAIII 862''2
'
22 =+=+= 
 
Observe que as correntes I’2 e I’’2 têm o mesmo sentido. 
 
 
Figura 5.23 – Exemplo 5.4 - Teorema da Superposição
 
 71 
LISTA 5 
Assuntos: Teorema de Thévenin e Norton 
 
1) – Determine o circuito equivalente de 
Thévenin para o circuito externo ao 
resistor R mostrado abaixo. A seguir 
determine a corrente em R considerando 
que a resistência tenha valores de 2Ω, 30 
Ω e 100Ω. 
Resp. RTh = 6Ω; VTh = 6V as correntes são 
respectivamente iguais a: 0,75A; 0,1667A; 
0,057A 
 
 
2) – Determine o circuito equivalente de 
Thévenin para a parte sombreada do 
circuito mostrado abaixo. 
Resp. RTh = 6Ω; VTh = 48V 
 
 
3) – Determine o circuito equivalente de 
Thévenin para a parte sombreada do 
circuito mostrado abaixo. 
Resp. RTh = 2,4Ω; VTh = 4,8V 
 
 
4) – Determine o circuito equivalente de 
Thévenin para um grupo de quatro 
baterias em paralelo. As tensões em 
circuito aberto e as resistências internas 
para cada uma das baterias 
separadamente são: (12,2V e 0,5Ω); 
(12,1V e 0,1 Ω); (12,4V e 0,16Ω); (12,4V 
e 0,2Ω). 
Resp. RTh = 0,043Ω e VTh = 12,3V 
 
5) - Encontre o Thévenin equivalente pra o 
circuito mostrado na figura a seguir, com 
referência positiva de Vth em direção ao 
terminal a. 
Resp. 12 Ω, 12 V 
 
 
 
6) - No circuito mostrado abaixo encontre 
o circuito Norton equivalente com a seta 
de corrente em direção ao terminal a. 
Resp. RN = 12 Ω, IN = 1A 
 
7) - Para o circuito da figura a seguir, 
encontre o equivalente de Norton com IN 
com referência positiva em direção ao 
terminal a. 
Resp. RN = 4 Ω, IN = -3 A 
 
 
 
8) - Encontre o equivalente de Norton da 
figura abaixo. Referência de IN para cima. 
Resp. RN = 8 Ω, IN = 8 A 
 
 
 72 
 
 
 
9) - Determine o equivalente de Norton 
para o circuito da figura abaixo. 
Referência de IN para cima. 
Resp. RN = 78 Ω, IN = 1,84 A 
 
 
 
 
 
 73 
LISTA 6 
Assuntos: Teorema da Máxima transferência de Potência 
 
1) – A análise de um circuito 
transistorizado teve como resultado o 
circuito equivalente abaixo. Determine o 
valor de RL necessário para que seja 
transferida para RL a máxima potência e 
calcule essa potência. 
Resp. RL = 40kΩ; PL = 1W 
 
 
 
2) – Determine, para o circuito abaixo, o 
valor de R que faz com que a potência 
fornecida a este resistor seja a máxima e 
calcule o valor desta potência. 
Resp. R = 10Ω; PLmax = 0,4W 
 
 
 
3) – Determine, para o circuito abaixo, o 
valor de RL que faz com que a potência 
fornecida a este resistor seja a máxima e 
calcule o valor desta potência. 
Resp. RL = 15Ω; PLmax = 273,07W 
 
 
 
 
4) – Determine, para o circuito abaixo, o 
valor de RL que faz com que a potência 
fornecida a este resistor seja a máxima e 
calcule o valor desta potência. 
Resp. RL = 6Ω; PL = 1,5W 
 
 
5) – Qual a máxima potência que uma 
bateria de 12V pode fornecer se sua 
resistência interna é 0,5Ω? 
Resp. PL = 72W 
 
6) – O que diz o teorema da máxima 
transferência de potência? 
 
7) – (CEMIG/2005) Qual o valor da 
resistência RL no circuito abaixo, para 
obtermos a máxima potência dissipada 
nessa resistência? 
 
a)25Ω 
b)50Ω 
c)100Ω 
d)150Ω 
 
 
Gabarito Letra b 
 
 74 
LISTA 7 
 
Assuntos: Teorema da Máxima transferência de Potência 
 
1) – Para o circuito abaixo determine: 
 
a) O valor de R para que a potência nesse resistor seja máxima. 
b) O valor dessa potência. 
c) Esboce o gráfico da potência dissipada em R em função de R [PR = f(R)] para R igual a 
1/4 ; ½; ¾; 1; 1,25; 1,5; 1,75; 2; e 4 vezes o valor obtido no item (a). 
 
 
 
Resposta 
a) R=2 Ω 
b) P = 60,5 W 
 
 
2) - Plote o gráfico esboçado acima utilizando o MS - Excel. Utilize pelo menos 50 pontos 
para traçar o gráfico. 
 
 
 75 
LISTA 8 
 
Assunto: Teorema de Millman e Teorema da Superposição 
 
1) – Utilize o teorema de Millman, na 
figura abaixo e determine a corrente e a 
tensão sobre o resistor RL 
Resp. IL = 0,519A e VL = 1,557V 
 
 
2) – Utilize o teorema de Millman, na 
figura abaixo e determine a corrente sobre 
o resistor R3 e a potência por ele 
dissipada. 
Resp. I3 = 2A e P3 = 8W 
 
 
3) – Utilize o teorema de Millman, para 
encontrar a corrente em um resistor de 
0,2Ω alimentado por quatro baterias em 
paralelo. Cada bateria tem uma tensão de 
12,8V em circuito aberto e resistências 
internas de 0,1; 0,12; 0,2 e 0,25Ω. 
Resp. I = 54,1A 
 
4) – Utilize o teorema de Millman, para 
encontrar a corrente em um resistor de 5Ω 
alimentado por quatro baterias em 
paralelo. As tensões em circuito aberto e 
as resistências internas das baterias são 
18V e 1 Ω, 20V e 2Ω, 22V e 5 Ω e 24 Ω e 
4 Ω. 
Resp. I = 3,57A 
 
5) – Um gerador de automóvel operando 
em paralelo com uma bateria alimenta 
uma carga de 0,8Ω. A tensão em circuito 
aberto e a resistência interna são 14,8V e 
0,4Ω para o gerador, e 12,8V e 0,5Ω para 
a bateria. Utilize o teorema de Millman 
para encontrar a corrente de carga. 
Resp. I = 13,6A 
 
6) Usando o teorema da superposição, 
determine a corrente I3 no circuito abaixo. 
Resp. I3 = 2,5A 
 
 
 
 
 76 
CAPÍTULO VI – CAPACITORES E INDUTORES 
 
6.1. Introdução 
 
Neste capítulo serão estudados dois elementos armazenadores de energia conhecidos 
como capacitor e indutor. O primeiro consiste em um elemento que armazena energia em 
forma de campo elétrico e o segundo armazena energia em forma de campo magnético. 
Será visto equações e conceitos que envolvem o funcionamento desses elementos que são 
utilizados com freqüência em rádios, televisões, radares, transformadores, microondas e 
diversos outros equipamentoseletroeletrônicos. 
 
 
6.2 Capacitor 
 
Um capacitor é um dispositivo usado para armazenar energia elétrica na forma de 
campo elétrico. Ë constituído de duas placas metálicas planas e paralelas. Ao ser ligado a 
uma tensão, o capacitor ficará carregado com a mesma tensão da fonte, armazenando uma 
carga Q cujo valor é função da tensão aplicada e de uma característica do capacitor 
chamada de capacitância (C). 
Seja um condutor isolado com carga Q e sob potencial V. Variando-se sua carga para 
nQ observa-se que seu potencial se altera para nV, tal que a relação Q/V se matem 
constante, ou seja, a carga de um condutor e o seu potencial são grandezas proporcionais. 
Esta relação é chamada capacitância (C) e depende da forma geométrica e do dielétrico que 
envolve o condutor, mas independe da natureza do condutor. 
Um conjunto constituído por duas superfícies condutoras separadas por um dielétrico 
e com a função específica de armazenar energia na forma de campo elétrico (isto é, 
armazenar cargas elétricas), é chamado capacitor, sendo, então, a capacitância do conjunto 
a grandeza que descreve esta capacidade. O meio dielétrico pode ser o ar ou o vácuo, mas é 
usual o uso de um dielétrico sólido de alguns materiais tais como: papel parafinado, óleo, 
mica, etc. 
 
 
 
 
Figura 6.1 – Campo elétrico em um Capacitor 
 
 
 
 77 
Uma capacitor possui uma capacitância de 1 farad (1F) se uma carga de um coulomb 
(1C) for depositada em suas placas por uma diferença de potencial de 1 volt (1V). 
 
Expressa em forma de equação a capacitância é definida por: 
 
V
QC = (6.1) 
 
Onde: 
 
C = Capacitância do capacitor (farad) [F] 
Q = Carga elétrica armazenada pelo capacitor (coulomb) [C] 
V = tensão aplicada entre as placas do capacitor (volt)[V] 
 
 
Permissividade elétrica (constante dielétrica) 
 
 A permissividade elétrica (ε) é uma medida da facilidade com que o dielétrico 
“permite” o estabelecimento de linhas de campo em seu interior. Quando maior for este 
valor, maior a quantidade de carga depositada nas placas e, consequentemente, maior a 
densidade de fluxo para uma mesma área. 
Para o vácuo, o valor de ε (representado por ε0) é 8,854 x 10-12 F/m. A razão entre a 
permissividade de qualquer dielétrico e a permissividade do vácuo é denominada 
permissividade relativa (εr). Ela simplesmente compara a permissividade do dielétrico com a 
do vácuo. Em forma de equação tem-se: 
 
0ε
εε =r (6.2) 
 
 
Observe que εr é uma grandeza adimensional. A permissividade relativa, ou 
constante dielétrica (k), como é freqüentemente denominada é fornecida na tabela 6.1 
para alguns materiais dielétricos. 
 
 
Tabela 6.1 – constantes dielétricas de alguns materiais isolantes 
 
 
 
 
 78 
A capacitância de um capacitor de placas paralelas, como mostrado na figura a 
seguir, pode ser calculada a partir da equação: 
 
d
AC ε= (6.3) 
 
Onde: 
 
C - é uma constante de proporcionalidade denominada capacitância (F); 
ε - é a permissividade do dielétrico, ou seja do meio isolante (F/m); 
A - é a área de cada uma das placas (m2); 
 
 
Figura 6.2 – Aspectos construtivos de um Capacitor (esquema) 
 
 
Da equação 6.1 pode-se concluir que para uma carga e tensão variável a capacitância será: 
 
)(
)(
tv
tqC = (6.4) 
 
 
Ou ainda: 
)(.)( tvCtq = (6.5) 
 
Como estudado no capítulo 1 
 
dt
tdqti )()( = (6.6) 
 
Então: 
dt
tdvCti )()( = (6.7) 
 
Que é a equação que expressa a corrente em um capacitor. Se desejarmos obter a 
tensão, basta isolar v(t) na equação acima, o resultado será: 
 
)()()( 0
0
tvdttiCtv
t
t
+= ∫ (6.8) 
 
 79 
OBSERVAÇÃO IMPORTANTE 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6.2.1 Capacitores em série 
Os capacitores podem ser associados em série ou em paralelo como os resistores. 
Considere uma associação em série como mostrado na figura abaixo. 
 
 
Figura 6.3 – Capacitores em série 
 
No caso de capacitores conectados em série, a carga é a mesma em todos os capacitores. 
 
nT QQQQ ...Q 321 ==== (6.9) 
 
 
Aplicado a LTK no circuito da figura anterior tem-se: 
 
nvvvvv ++++= ...321 (6.10) 
 
 
Entretanto V = Q/C 
 
 
De forma que a equação 6.10 fica: 
 
n
n
T
T
C
Q
C
Q
C
Q
C
Q
C
Q ++++= ...
3
3
2
2
1
1 (6.11) 
 
 
Usando a equação 6.9 e dividindo os dois lados da equação acima por QT obtém-se: 
 
nT CCCCC
1...1111
321
++++= (6.12) 
De acordo com a equação 6.7, quando o capacitor está sujeito a uma corrente 
contínua, tem-se que 0)( =
dt
tdv
 e o capacitor se comporta como um circuito aberto. 
 
 80 
6.2.2 Capacitores em paralelo 
No caso de capacitores em paralelo, como mostra a figura abaixo, a tensão é a 
mesma entre os terminais de todos os capacitores, e a carga total é a soma das cargas dos 
capacitores: 
nT QQQQ ++++= ...Q 321 (6.13) 
 
 
 
 
Figura 6.4 – Capacitores em paralelo 
 
 
Entretanto como visto anteriormente Q = CV. Assim a equação acima ficará: 
 
nnTT VCVCVCVCVC ++++= ... 332211 
 
Como: 
 
nT VVVVV ===== ...321 
 
Obtém-se: 
nT CCCC ++++= ...C 321 (6.14) 
 
 
6.2.3 Energia armazenada em Capacitores 
 O capacitor ideal não dissipa a energia que lhe é fornecida, mas a armazena na 
forma de campo elétrico entre as superfícies condutoras. Isso ocorre porque, quando o 
capacitor esta sujeito a uma diferença de potencial, haverá um acúmulo de cargas nas 
placas do capacitor. É este acúmulo de cargas que representa um armazenamento de 
energia em campo elétrico. 
Do capítulo 1 sabe-se que potência [p(t)] é a taxa de realização de trabalho(w) pelo 
tempo, ou energia consumida/armazenada pelo tempo, ou seja: 
 
)().()( titv
dt
dwtp == (6.15) 
Ou 
 
dwdttp =)( (6.16) 
 
Que integrando obtém-se: 
 
 
 81 
∫∫ = W
W
t
t
dwdttp
00
)( (6.17) 
 
Como 
 
dt
tdvtvC
dt
tdvCtvtitvtp )().(.)().()().()( === (6.18) 
 
 
O primeiro membro da equação (6.17) ficará: 
 
[ ]∫∫∫ −=== t
t
t
t
t
t
tvtvCtdvtvCdt
dt
tdvtvCdttp
000
2
0
2 )()(
2
1)().()().(.)( (6.19) 
 
 
Admitindo a condição inicial nula, isto é, v(t0) = 0 obtém-se: 
 
2)(
2
1)(
0
tCvdttp
t
t
=∫ (6.20) 
 
 
E o segundo membro da equação (6.17) ficará: 
 
)()( 0
0
twtwdw
W
W
−=∫ (6.21) 
 
Admitindo a condição inicial nula, isto é, w(t0) = 0 obtém-se: 
)(
0
twdw
W
W
=∫ (6.22) 
 
 Comparando as equações (6.17), (6.20) e (6.22) obtém-se finalmente: 
 
)(..
2
1)( 2 tvCtw = (6.23) 
Onde: 
 
w(t) – é a energia armazenada pelo capacitor dada em joules (J) 
C – é a capacitância do capacitor dada em farads (F) 
v(t) – é a tensão sobre o capacitor dada em volts (V)82 
6.3 Indutores 
Indutores são dispositivos que armazenam energia sob a forma de campo magnético. 
A diferença fundamental entre campo elétrico e campo magnético é que o campo elétrico se 
refere ao campo gerado por cargas em repouso já o campo magnético se refere ao campo 
gerado por cargas em movimento ou por imãs permanentes. 
 
Efeito Orsted e Lei de Faraday 
Em 1820, Hans Christian Orsted, observou que ao aproximar uma bússola de um fio 
percorrido por uma corrente, há deflexão da agulha da bússola. Observou também que ao 
inverter o sentido da corrente a bússola girava 180°. A esse fenômeno chamou de efeito 
orsted. A figura abaixo mostra as linhas de densidade de campo magnético que aparecem 
em torno de um fio condutor percorrido por corrente bem como o campo magnético que 
surge em uma bobina também percorrida por corrente. 
 
 
Figura 6.5 – a) campo magnético em torno de um fio percorrido por corrente. 
 b) campo magnético gerado em uma bobina devido a corrente i. 
 
 
Mais tarde, em 1831, Michael Faraday realizou experimentos para a Royal Society e a 
partir de suas observações concluiu que uma variação de fluxo magnético no interior de uma 
espira pode gerar uma fem em seus terminais. A equação que relaciona a variação de fluxo 
magnético com a ddp gerada em uma espira é: 
 
dt
dfem φ−= (6.24) 
 
Esta lei será importante para explicitar a relação entre corrente e tensão no indutor. 
O sinal negativo dessa equação, postulado por Lenz, indica que há conservação de energia, 
ou seja, se uma variação de campo magnético ocorre em um sentido, a fem induzida e 
conseqüente corrente, geram um campo de sentido oposto. 
 
 
 83 
6.3.1 Características do Indutor 
Basicamente o Indutor é um dispositivo de 2 terminais composto de um fio condutor, 
enrolado em espiral. As principais caracterísiticas são: 
 
• O comportamento dos indutores se baseia em fenômenos associados a campos 
magnéticos; 
 
• A aplicação de uma corrente variável no indutor produz um campo magnético 
variável no seu redor. 
 
• Um campo magnético variável induz uma tensão nos terminais do indutor e essa 
tensão é proporcional à taxa de variação de corrente que o atravessa. 
 
 
Figura 6.6 – Característica de um indutor 
 
Matematicamente: 
 
dt
diLv = (6.25) 
v – tensão em volts (V) 
i – corrente em ampères (A) 
t – tempo em segundos (s) 
L – indutância em henry (H) 
 
 
Os símbolos mais usuais dos indutores estão mostrados abaixo: 
 
 
Figura 6.7 – Símbolos do indutor 
 
 84 
OBSERVAÇÃO IMPORTANTE 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Indutância: 
 A propriedade de uma bobina de se opor a qualquer variação de corrente é medida 
pela sua indutância, cuja unidade de medida é o henries (H) em homenagem ao físico norte-
americano Joseph Henry. 
Os indutores são bobinas de dimensões diversas projetadas para introduzir 
quantidades específicas de indutância em um circuito. A indutância de uma bobina varia com 
as propriedades magnéticas de seu núcleo. 
 
 
Permeabilidade magnética 
A propriedade permeabilidade magnética (μ) é o parâmetro que descreve a maior 
ou menor facilidade com que um meio se deixa atravessar pelo fluxo magnético circulante 
(tem, assim, conceito análogo à condutividade elétrica), resistindo em maior ou menor grau 
à orientação dos dipolos magnéticos no sentido do fluxo, ou ainda, quantifica a capacidade 
do material em atrair as linhas de fluxo magnético. Sua unidade é o H/m (H = Henry). Por 
exemplo, a permeabilidade magnética do vácuo (μo) é uma constante universal, dada por: 
μo = µ0 = 4. π.10-7 H/m. 
A permeabilidade magnética dos materiais é geralmente fornecida com referência à 
do vácuo, denominada permeabilidade relativa μr, sendo, portanto, adimensional e dada 
por: 
 
0μ
μμ meior = (6.26) 
 
 
Figura 6.8 – Orientação dos dipolos magnéticos 
 a)sem campo magnético externo b)com campo magnético externo 
 
 
De acordo com a equação 6.25, quando o indutor está sujeito a uma corrente 
contínua, tem-se que 0)( =
dt
tdi
 e o indutor se comporta como um curto circuito. 
 
 85 
Geometria de indutores 
 Diversas formas de indutâncias e bobinas podem ser encontradas, tais como o 
solenóide e o toróide (figura abaixo). A indutância dessas bobinas pode ser obtida com boa 
aproximação pela seguinte equação: 
 
l
AN
L meio
μ2= (6.27) 
 
Onde: 
N – é o número de espiras 
μmeio – é a permeabilidade magnética do material do núcleo da bobina (H/m) 
A – é a área da seção reta do núcleo (m2) 
l – é o comprimento do núcleo (m) 
L – é a indutância da bobina (H) 
Equações para indutância de bobinas diferentes das mostradas abaixo podem ser 
encontradas em manuais. A maioria das equações é mais complexas que a mostrada 
anteriormente. 
 
 
Figura 6.9 – Geometria de indutores – Solenóide e toróide respectivamente 
 
 
6.4 Associação de Indutores 
Os indutores, como os resistores e os capacitores, podem ser conectados em série ou 
em paralelo. 
 
 
6.4.1 Indutores em série 
 No caso de indutores em série, a tensão total é a soma das tensões em cada indutor. 
 
 
Figura 6.10 – Associação de indutores em série 
 
 
Ou seja: 
 
)(...)()()()( 321 tvtvtvtvtv n++++= (6.28) 
 
 86 
 
Como 
dt
diLv = obtém-se: 
 
dt
diL
dt
diL
dt
diL
dt
diL
dt
diL neq ++++= ...321 (6.29) 
 
Ou ainda: 
 
neq LLLLL ++++= ...321 (6.30) 
 
 
6.4.1 Indutores em paralelo 
 No caso de indutores em paralelo, a tensão corrente total é a soma das correntes 
cada indutor. 
 
 
Figura 6.10 – Associação de indutores em paralelo 
 
Ou seja: 
 
)(...)()()()( 321 tititititi n++++= (6.31) 
 
Como 
dt
diLv = então ∫= t
t
dttv
L
i
0
)(1 , admitindo às condições iniciais nulas a equação (6.31) 
ficará: 
 
∫∫∫∫ ++= t
tn
t
t
t
t
t
teq
dttv
L
dttv
L
dttv
L
dttv
L
0000
)(1...)(1)(1)(1
21
 (6.32) 
 
De onde se obtém: 
 
neq LLLLL
1...1111
321
++++= (6.33) 
 
 
 
 87 
6.5 Energia armazenada em Indutores 
Como foi dito na introdução, o indutor é capaz de armazenar energia num campo 
magnético. Isto ocorre porque, quando o indutor é percorrido por uma corrente elétrica, a lei 
de Faraday providencia um acúmulo de cargas positivas na entrada do indutor e negativas 
na saída. É este acúmulo de cargas que representa um armazenamento de energia em 
campo magnético. 
De modo análogo ao desenvolvido no item 6.2.3 para o armazenamento de energia 
em capacitores, pode-se demonstrar que a energia [w(t)] armazenada em um indutor é 
dada por: 
 
)(..
2
1)( 2 tiLtw = (6.23) 
Onde: 
 
w(t) – é a energia armazenada pelo indutor dada em joules (J) 
L – é a indutância do indutor dada em henry (H) 
i(t) – é a corrente sobre o indutor dada em ampères (A) 
 
 88 
LISTA 9 
Assunto: Capacitores e indutores 
 
1 – Qual a carga armazenada em um capacitor 
de 2µF com uma tensão de 10V sobre ele? 
Resp. 20µC 
 
2 – Encontre a capacitância de um capacitor de 
placas paralelas se a dimensão de cada placa 
retangular é 1 x 0,5 cm, a distância entre as 
placas é 0,1 mm e o dielétrico é o ar. 
Determine novamente a capacitância se o 
dielétrico ar for substituído pela mica (εr = 5). 
Resp. 4,43pF e 22,1pF 
 
3 – Para o capacitor da figura denúcleo ar: 
a) Determine a capacitância. 
b) Determine a carga resultante se uma tensão 
de 450V for aplicado entre as placas. 
c) A energia armazenada no capacitor para a 
condição do item anterior. 
Dado: ε0 = 8,85.10-12 F/m 
 
 
 
 
Resp. 
a) 59pF 
b)26,55nC 
c) 5,97µJ 
 
4 – Para o circuito abaixo: 
a) Determine a capacitância total; 
b) Determine a carga em cada placa; 
c) Calcule a tensão entre os terminais de cada 
capacitor. 
 
 
Resp. 
a) 8µF 
b)QT = Q1 = Q2 = Q3 = 480µC 
c) V1 = 2,4V; V2 = 9,6V; V3 = 48V 
 
5 – Para o circuito a seguir determine: 
a) A capacitância total; 
b) A carga em cada capacitor; 
c) A carga total 
 
Resp. 
a) 2060µF 
b)Q1 = 38,4mC; Q2 = 2,88mC e Q3 = 57,6mC 
c) QT = 98,88mC 
 
 
6 – Determine a indutância da bobina de 
núcleo ar abaixo. Dado µ0 = 4. π.10-7 H/m. 
Resp. 1,58µH 
 
 
 
7 –Suponha que o núcleo de ar da bobina 
acima seja substituído por um núcleo de ferro, 
mantido as demais características. Determine a 
nova indutância. Dado. µr = 5000. 
Resp. 7,9mH 
 
 
8 – Reduza o circuito a seguir à forma mais 
simples. 
Resp. L = 1,01H em série com R = 1,2kΩ 
 
 
 
 
 
 
 89 
9 – Determine a corrente I1 no circuito a seguir 
considerando que todas as correntes e tensões 
tenham atingidos seus valores finais. 
Resp. I1 = 5A; 
 
 
 
 
10 – Determine a corrente I1 e a energia 
armazenada pelo indutor de 6mH no circuito 
abaixo considerando que todas as correntes e 
tensões tenham atingidos seus valores finais. 
Resp. I1 = 7A; w = 147mJ 
 
 
 
11 – Determine a corrente IL e a tensão Vc 
considerando que todas as correntes e tensões 
tenham atingidos seus valores finais. 
Resp. IL = 2A Vc = 6V 
 
 
 
12 – Qual a indutância de uma bobina se uma 
corrente crescendo uniformemente de 30mA 
até 80mA em 100µs induz nela uma tensão de 
50mV? 
Resp. L = 0,1mH 
 
13 – Uma bobina de 3H como a ilustrada 
abaixo possui 2000 voltas. Quantas voltas 
deverão ser adicionadas para a indutância 
aumentar para 5H? 
Resp. 582 voltas 
 
 
14 - (CELG-2004) Associando-se dois 
capacitores C1 = 10 μF e C2 = 1 μF em série, 
obtém-se um capacitor equivalente de 
a) Ceq = 11 μF 
b) Ceq = 0,90 μF 
c) Ceq = 0,55 μF 
d) Ceq = 1,1 μF 
e) Ceq = 0,11 μF 
 
 
 
Gabarito Letra b 
 
 90 
CAPÍTULO VII – TENSÕES E CORRENTES AC 
 
7.1 - Introdução 
 
Vamos agora dirigir nossa atenção para análise de circuitos nos quais a intensidade 
da fonte varia de certa maneira. É particularmente importante estudarmos a tensão variante 
no tempo fornecida pelas concessionárias de energia elétrica, a qual é denominada de 
tensão CA (Corrente Alternada) ou AC (alternate current). 
O termo alternada indica apenas que o valor da tensão ou da corrente se alterna, ao 
longo do tempo, regularmente entre dois níveis, veja figura abaixo. O sinal particularmente 
importante é a forma de onda alternada senoidal. 
 
 
Figura 7.1 - Formas de onda alternada 
 
 
7.2 - Conceitos 
A forma de onda senoidal, com seus principais parâmetros, é vista na figura abaixo e 
será utilizada como modelo para a definição de alguns termos básicos. 
 
 
Figura 7.2 – Principais parâmetros de uma forma de onda senoidal 
 
 
 91 
Forma de onda: Gráfico de uma grandeza como tensão ou corrente em função de uma 
variável como tempo, posição, graus, radianos, etc. 
 
Valor instantâneo: Amplitude de uma forma de onda em um instante de tempo qualquer. 
É representada pelas letras minúsculas (e1, e2) no gráfico. 
 
Amplitude de pico: Valor máximo de uma forma de onda em relação ao valor médio. É 
representada por letra maiúscula. No gráfico acima está representado pela por Em 
 
Valor de pico: Valor máximo de uma função medido a partir do nível zero. No caso da 
forma de onda acima, a amplitude de pico e o valor de pico são iguais, pois o valor médio é 
da função é zero volt. 
 
Valor de pico a pico: Diferença entre os valores de pico positivo e negativo, isto é, a soma 
dos módulos das amplitudes positiva e negativa. No gráfico está representado por Ep-p. 
 
Forma de onda periódica: Forma de onda que se repete continuamente após certo 
intervalo de tempo constante. 
 
Período (T): Intervalo de tempo entre repetições sucessivas de uma forma de onda 
periódica (T1 = T2 = T3). Pontos similares sucessivos podem ser utilizados para determinar o 
período T. 
 
Ciclo: Parte de uma forma de onda contida em um intervalo de tempo igual a um período. 
 
Freqüência (f): O número de ciclos que ocorre em um segundo. 
 
 
 
Figura 7.3 – Definição de ciclo e período de uma forma de onda senoidal 
 
 
 
Figura 7.4 – Ilustração do efeito da mudança de freqüência 
 
 92 
Pela figura (7.4) vemos que as freqüências das formas de onda são: 
 
figura (a): 1 ciclo por segundo 
figura (b): 2,5 ciclos por segundo 
figura (c): 2 ciclos por segundo 
 
 
A unidade de medida de freqüência é o hertz (Hz), em homenagem ao cientista 
Alemão Heinrich Rudolph Hertz. 
 
1 hertz (Hz) = 1 ciclo por segundo (c/s) 
 
Como a freqüência é inversamente proporcional ao período, as duas grandezas estão 
relacionadas por: 
 
T
f 1= ou 
f
T 1= (7.1) 
 
O radiano: 
 A unidade radianos (rad) é uma unidade de medida alternativa para graus e a 
unidade de ângulo do SI. 
 
Um radiano é o ângulo subentendido para um arco de na circunferência de um 
círculo se o arco possui comprimento igual ao raio. 
 
 
Figura 7.5 – Definição de radiano 
 
 
Como o comprimento de uma circunferência de raio r é igual a 2. п .r, então, 360º 
correspondem a 2 п radianos. Assim 1 radiano é equivalente a: 
 
°=== 296,57180
2
3601 ππrad 
Para efetuar a conversão de grau para radiano ou vice-versa basta 
lembrarmos que 180º corresponde a п radianos e efetuar uma regra de três 
simples. 
 
 93 
Velocidade angular (ω) 
 Há um interesse particular no fato 
de a forma de onda senoidal poder ser 
obtida a partir das projeções de um vetor 
girando com movimento circular uniforme 
em torno de um ponto fixo. Este vetor é 
chamado de fasor. Traçamos um ciclo 
completo da senóide após o vetor radial 
completar uma rotação de 360º em torno 
do centro. Veja a figura ao lado. 
A velocidade com que o fasor gira 
em torno do centro é denominada 
velocidade angular (ω) e pode ser 
determinada pela seguinte relação. 
 
 
gastotempo
percorridoângulo
_
_=ω (7.2) 
 
 
Para completar uma volta completa 
o ângulo percorrido é 360º = 2 п radianos 
e o tempo gasto é o próprio período (T), 
assim a equação acima fica: 
 
 
T
πω 2= (7.3) 
 
 
Como visto 
f
T 1= assim a equação 
acima pode ser reescrita como: 
 
 
f.2πω = (7.4) 
 
 
A unidade de ω é o rad/s 
 
 
Figura 7.6 – Conceito de fasor 
 
 94 
7.3 Expressão geral para tensões ou correntes senoidais 
A expressão matemática geral para uma forma de onda senoidal é: 
 
)()( Vm tsenVtv θϖ += (7.5) 
 
Onde: 
v(t) – é o valor instantâneo da tensão [V] 
Vm - é o valor de pico (valor máximo) da senóide [V] 
ω – é a freqüência angular [rad/s] 
t – é um instante de tempo [s] 
θV – é o ângulo de fase inicial da tensão e expressa o ângulo, em graus ou radianos, que a 
forma de onda foi deslocada [graus ou rad]. 
 
 
EXEMPLO 7.1 
Faça o gráfico da função senoidal v(t) = 20sen(377t). 
a) No domínio do tempo (t) em ms; 
b) No domínio do ângulo (α = ωt) em radianos e em graus; 
 
RESOLUÇÃO DO EXEMPLO 7.1 
 
 95 
EXEMPLO 7.2 
Para a forma de onda mostrada abaixo determine: 
a) o período da onda 
b) a freqüência em Hz 
c) freqüência angular em rad/s 
d) a fase inicial 
e) o valor depico da tensão 
f) a amplitude da tensão 
g) o valor de pico a pico 
h) a expressão matemática da tensão em função do tempo v(t) 
i) o valor de v(t) quando t = 2ms 
j) o valor de v(t) quando t = 8ms 
 
 
Figura 7.7 – Exemplo 7.2 
 
RESOLUÇÃO DO EXEMPLO 7.2 
 
 96 
7.4 Relação de fase 
Os termos adiantados e atrasados são usados para indicar diferenças de fase entre 
duas formas de ondas senoidais de mesma freqüência plotadas no mesmo gráfico. Na figura 
abaixo dizemos que: 
 
• A curva da função co-seno está adiantada 90º em relação à função seno; 
• O gráfico da função seno está atrasado 90º em relação ao co-seno; 
• O defasamento angular (diferença de fase) entre as funções é 90º. 
 
 
Figura 7.8 – Relação de fase entre seno e co-seno. 
 
 
Quando duas formas de onda interceptam o eixo horizontal no mesmo ponto e com 
mesma inclinação, elas estão em fase (defasamento = 0º). 
 
 
A diferença de fase entre duas senóides pode ser encontrada pela diferença entre os 
ângulos de fase das duas, considerando que: 
a) ambas tenham a forma seno ou co-seno 
b) as amplitudes tenham o mesmo sinal (positivo ou negativo) 
c) as freqüências sejam as mesmas. 
 
 
Sejam duas funções dadas abaixo v1(t) e v2(t): 
 
)()(
)()(
22
11
βϖ
αϖ
+=
+=
tsenItv
tsenVtv
p
p
 (7.6) 
 
 
Então a diferença de fase será θ = α – β 
v1(t) está adiantado de θ em relação a v2(t) 
 
 
 97 
Muitas vezes é necessário realizar manipulações algébricas para se determinar a 
relação de fase entre duas funções. As relações trigonométricas entre diversas formas das 
funções seno e co-seno podem ser deduzidas a partir da figura abaixo. 
 
 
Figura 7.9 – Método gráfico para encontrar relações trigonométricas entre seno e co-seno. 
 
 
Da figura anterior podemos ver que: 
 
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
−=+=−
±=−
−=
+=
...
)º90()º270(cos
)º180(
)º90cos(
)º90(cos
Etc
sensen
sensen
sen
sen
ααα
αα
αα
αα
 (7.7) 
 
 
Além disso, não devemos esquecer que: 
 
 
αα
αα
cos)cos(
)()(
=−
−=− sensen
 (7.8) 
 
 
Outras relações trigonométricas importantes são: 
 
 
2
2cos1cos
2
2cos1
2
2
αα
αα
+=
−=sen
 (7.9) 
 
 
 
 98 
EXEMPLO 7.3 
Determine a relação de fase entre as funções: )º30377(100)( −= tsentv e 
)º10377cos(40)( += tti . 
 
 
 
 
 
 
 
 
RESOLUÇÃO DO EXEMPLO 7.3 
 
RESPOSTA: 
 
v(t) está adiantada de -130º em relação a i(t). Ou 
ainda v(t) está atrasada de +130º em relação a 
i(t). 
 
 99 
7.5 Valor médio 
O conceito de valor médio é importante para todos os ramos do conhecimento. Na 
figura abaixo, por exemplo, pode ser necessário conhecer a altura média do monte de areia 
para determinar o volume de areia disponível. A altura média do monte de areia é a altura 
que será obtida se mantivermos constante a distância entre as extremidades do monte e 
espalharmos a areia até que a altura fique uniforme (figura 7.10 b). A área da secção reta 
da figura 7.10(a) será então igual à área da seção retangular da figura 7.10(b), que é dada 
por: A = b x h. É claro que a profundidade do monte deve ser a mesma para que os 
volumes sejam os mesmos. 
 
Figura 7.10 – Conceito do valor médio 
 
Se existe uma depressão no terreno, como mostrado abaixo, uma parte da areia é 
usada para preencher a depressão, resultando num valor médio ainda menor. 
 
 
Figura 7.11 – Influência de depressões (valores negativos) sobre o valor médio 
 
 100 
Se representarmos por G o valor médio temos: 
 
curvadaocompriment
áreadaébricaaSomaG
__
__lg_= (7.10) 
 
 
Para uma onda periódica o valor médio será: 
 
 
tempo
áreadaébricaaSomaG __lg_= (7.11) 
 
 
Ou ainda para uma forma de onda periódica de tensão v(t) qualquer temos: 
 
∫= T dttvTG 0 )(1 (7.12) 
 
 
OBSERVE QUE: 
 
a) A área a ser considerada é a área contida entre a forma de onda corresponde a e o 
eixo do tempo em um intervalo igual a um período; 
b) Áreas acima do eixo do tempo são consideradas positivas e áreas abaixo são 
negativas; 
c) O valor médio de uma senóide é sempre zero, porque, em um período, as áreas 
negativas e positivas se cancelam na soma. 
 
 
EXEMPLO 7.4 
Determine o valor médio das formas de onda vistas a seguir. 
 
 
Figura 7.11 – Exemplo 7.4 
 
 
 101 
RESOLUÇÃO DO EXEMPLO 7.4 
 
 102 
7.6 Valor eficaz 
Por definição o valor eficaz ou de uma onda de tensão ou corrente periódica (Vef ou 
Ief) é a tensão ou corrente CC positiva que produz a mesma perda de potência média em um 
resistor. 
 
Figura 7.13 – Arranjo experimental para estabelecer uma relação entre grandezas AA e CA 
 
 
Outro nome muito utilizado para valor eficaz é valor rms (root mean square) que 
significa valor médio quadrático. Este nome se origina em função do procedimento 
utilizado para obtenção dos valores eficazes de qualquer onda de tensão ou corrente 
periódica (não apenas senoidais). 
 
O procedimento é: 
 
1. Eleve ao quadrado (square) a tensão ou corrente periódica; 
 
2. Encontre a média (mean) dessa onda quadrada em um período; 
 
3. Encontre a raiz (root) quadrada desse resultado. 
 
 
O valor eficaz da tensão ou corrente, cuja variação com o tempo é conhecida pode 
ser, pode ser calculado a partir das seguintes equações respectivamente: 
 
 ∫== Trmsef dttvTVV 0 2 )(1 (7.13) 
 
∫== Trmsef dttiTII 0 2 )(1 (7.14) 
 
IMPORTANTE 
 
 
 
 
 
 
 
 
Onde Vm e Im são os valores de pico da tensão e da corrente respectivamente. 
Para uma onda de tensão o corrente senoidal o valor eficaz pode ser obtido por: 
2
m
rmsef
VVV == e 
2
m
rmsef
III == 
 
 103 
7.7 Resposta Senoidal de um resistor 
 Se um resistor de R ohms possui uma tensão )()( θϖ += tsenVtv m sobre ele, a 
corrente será pela lei de Ohm: )(
)()()( θϖθϖ +=+== tsen
R
V
R
tsenV
R
tvti mm . O fator 
R
Vm é a 
corrente de pico, ou seja, 
R
VI mm = . Assim podemos ver que a corrente e a tensão em um 
resistor estão em fase. 
 
 A potência instantânea dissipada pelo resistor será dada por: 
 
)().()( titvtp = (7.15) 
 
De onde obtemos: 
 )22cos(
22
)( θϖ +−= tIVIVtp mmmm (7.16) 
 
 
Observe que p(t) ≥ 0 Um resistor nunca fornece potência para um circuito. Ele 
apenas dissipa sob a forma de calor. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A potência média (Pméd) fornecida a um resistor é: 
 
2
.
22
22 RI
R
VIVP mmmmméd === (7.17) 
EXEMPLO 7.5 
Demonstre como obter a equação (7.16) a partir da equação (7.15) 
 
RESOLUÇÃO DO EXEMPLO 7.5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 104 
7.8 Resposta Senoidal de um indutor 
Se um indutor de L henrys possui uma corrente )()( θϖ += tsenIti m fluindo por ele, a 
tensão sobre ele será 
dt
tdiLtv )()( = como visto no capítulo anterior. De onde obtemos: 
)cos()( θϖϖ += tLItv m . O fato mLIϖ é a tensão de pico Vm, ou seja: mm LIV ϖ= 
 
Por comparação vemos que o termo Lϖ possui um efeito limitador de corrente similar 
à resistência R de um resistor. 
 
O termo Lϖ é chamado reatância indutiva do indutor seu símbolo é XL e a unidade 
de medida é o ohm (Ω).LX L ω= (7.18) 
 
 Pela equação acima também é possível verificar que para freqüências muito elevadas 
o indutor é um circuito aberto e para freqüências muito baixa aproximadamente 0 Hz ou CC 
o indutor é um curto-circuito. 
 
A partir da comparação das senóides de tensão e corrente no indutor, pode-se 
observar que a tensão está adiantada 90º da corrente, ou a corrente está atrasada 90º. 
Como visto, para um circuito puramente indutivo temos: 
 
 
)cos()(
)()(
θϖ
θϖ
+=
+=
tVtv
tsenIti
m
m (7.19) 
 
 
A potência instantânea absorvida por um indutor é: 
 
)().cos()().()( θϖθϖ ++== tsenItVtitvtp mm (7.20) 
 
 
A partir de identidades trigonométricas obtemos: 
 
)22()22(
2
)( θϖθϖ +=+= tsenIVtsenIVtp rmsrmsmm (7.21) 
 
Em termos de energia, nos instantes em que p(t) é positivo, o indutor absorve 
energia, e quando p(t) é negativo, o indutor devolve energia ao circuito e age como uma 
fonte. 
 
 
EXEMPLO 7.6 
Demonstre que sendo )()( θϖ += tsenIti m a corrente em um indutor, então a tensão será 
dada por )cos()( θϖϖ += tLItv m . 
 
 
 105 
RESOLUÇÃO DO EXEMPLO 7.6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 106 
7.9 Resposta Senoidal de um capacitor 
Se um capacitor de C farads possui uma tensão )()( θϖ += tsenVtv m sobre ele, a 
corrente no capacitor será: 
dt
tdvCti )()( = como visto no capítulo anterior. De onde obtemos: 
)cos()( θϖϖ += tCVti m . O fato mCVϖ é a corrente de pico Im, ou seja: mm CVI ϖ= 
 
Por comparação vemos que o termo Lϖ/1 possui um efeito limitador de corrente 
similar à resistência R de um resistor. 
 
O termo Cϖ/1 é chamado reatância capacitiva do capacitor seu símbolo é XC e a 
unidade de medida é o ohm (Ω). Para diferenciar a reatância capacitiva da indutiva um sinal 
de menos é incluído. Assim: 
C
X C ω
1−= (7.22) 
 
 Pela equação acima também é possível verificar que para freqüências muito elevadas 
o capacitor é um curto circuito e para freqüências muito baixa aproximadamente 0 Hz ou CC 
o capacitor é um circuito aberto. 
 
A partir da comparação das senóides de tensão e corrente no capaciotor, pode-se 
observar que a tensão está atrasada 90º da corrente, ou a corrente está adiantada 90º. 
 
Como visto, para um circuito puramente capacitivo temos: 
 
)()(
)cos()(
θϖ
θϖ
+=
+=
tsenVtv
tIti
m
m (7.23) 
 
 
A potência instantânea absorvida por um capacitor é: 
 
)cos().()().()( θϖθϖ ++== tItsenVtitvtp mm (7.24) 
 
A partir de identidades trigonométricas obtemos: 
 
)22()22(
2
)( θϖθϖ +=+= tsenIVtsenIVtp rmsrmsmm (7.25) 
 
Que é igual à absorvida por um indutor. 
 
Em termos de energia, nos instantes em que p(t) é positivo, o capacitor absorve 
energia, e quando p(t) é negativo, o capacitor devolve energia ao circuito e age como uma 
fonte. 
Tanto o capacitor quanto o indutor absorve potência média zero. Ou seja, em um 
período um capacitor ou indutor fornece apenas a energia que recebeu (desprezando as 
perdas). 
 
 
 
 107 
LISTA 10 
 
1) Encontre os períodos das correntes que 
tem freqüência de: 
(a) 1,2 mHz, (b) 2,31 kHz e (c) 16,7 MHz. 
Resp. (a) 833 s, (b) 433 µs, (c) 59,9 ns 
 
2) Quais as freqüências dos sinais 
periódicos que tem períodos de: 
(a) 18,3 s, (b) 42,3 s, e (c) 1 dia? 
Resp. a) 54,6 mHz, b) 23,6 mHz, c) 11,6 µHz 
 
3) Quais são o período e a freqüência de 
uma corrente periódica que tem 423 ciclos 
em 6,19 ms? 
Resp. 14,6 µs, 68,3 kHz 
 
4) Converta os seguintes ângulos em 
graus para ângulos em radianos: 
(a) -40º, (b) -1123º e (c) 78º. 
Resp. (a) – 0,698 rad (b) –19,6 rad (c) 1,36 rad 
 
5) Converta os seguintes ângulos em 
radianos para ângulos em graus: 
(a) 13,4 rad, (b) 0,675 rad e (c) -11,7 
rad. 
Resp. (a) 768 º, (b) 38,7 º, (c) – 670 º 
 
6) Encontre o período das tensões 
senoidais que têm as seguintes 
freqüências em radianos: (a) 120π rad/s, 
(b) 0,625 rad/s e (c) 62,1 krad/s. 
Resp. (a) 16,7 ms, (b) 10,1 s (c) 101 µs. 
 
7) Encontre a freqüência angular das 
correntes senoidais que tem os períodos 
de (a) 17,6 µs, (b) 4,12 ms e (c) 1 dia 
Resp. (a) 357 krad/s, (b) 1,53 krad/s, (c) 72,7 
µrad/s 
 
8) Quais são as amplitudes e freqüências 
de (a) -63,7 cos (754t - 50o) e (b) 429 
sen (4000t + 15°)? 
Resp. (a) 63,7, 120Hz, (b) 429,637 Hz 
 
9) Encontre os valores instantâneos de 
i = 80 sen 500t mA em (a) t = 4 ms e t = 
2,1 s. 
Resp. (a) 72,7 mA, (b) 52 mA 
 
10) Qual a freqüência de um onda de seno 
de tensão que tem 45 V de pico e que 
aumenta continuamente a partir de 0 V 
em t = 0 s até 24 V em t = 46,2 ms? 
Resp. 1,94 Hz 
 
11) Se uma onda co-seno de tensão tem 
um pico de 20 V em t = 0 s, e se ela leva 
0,123 s para decrescer de 20 para 17 V, 
encontre a tensão em t = 4,12 s. 
Resp. 19,3 V 
 
12) Quais os valores instantâneos de i = 
13,2 cos (377t + 50º) mA em: 
(a) t = - 42,1 ms e (b) t = 6,3 s? 
Resp. (a) – 10 mA, (b) 7,91 mA 
 
13) Encontre uma expressão para um 
corrente senoidal de 400 Hz que tem um 
pico positivo de 2,3 A em t = - 0,45 ms. 
Resp. i = 2,3 cos (800πt + 64,8º) 
 
14) Encontre os períodos de: 
(a) 4 + 3 sen (800πt – 15º) 
(b) 8,1 cos2(9πt) 
(c) 8 sen(16t).cos(16t) 
Resp. (a) 2,5 ms, (b) 111 ms, (c) 196 ms 
 
15) Encontre as relações de fase entre os 
seguintes pares de senóides: 
(a) v = 6 sen (30t -40º) V, 
 i = 10 sen (30t – π/3) mA 
(b) v1 = -8 sen (40t -80º) V, 
 v2 = -10 sen (40t – 50o) V 
Resp. 
(a) v está adiantada 20º de i 
(b) v1 está atrasada 30º de v2 
 
16) Encontre o valor médio de uma tensão 
senoidal retificada em meia onda que tem 
um pico de 12 V. Essa onda consiste 
apenas nos semiciclos positivos de uma 
tensão senoidal. Ela é zero nos intervalos 
de tempo em que a senóide é negativa. 
Resp. 3,82 V 
 
17) Encontre o valor médio das ondas 
periódicas mostradas nas Figuras abaixo 
Resp. (a) 3,5 (b) 15 
 
 108 
 
 
(b) 
 
18) Encontre o valor eficaz de uma 
corrente periódica que tem um valor de 40 
mA para dois terços de um período e 25 
mA para o um terço restante. O valor 
eficaz seria diferente se a corrente fosse – 
25 mA em vez de 25 mA para um terço do 
período? 
Resp. 35,7 mA, não 
 
19) Encontre o valor eficaz de uma 
corrente periódica que em um período de 
20 ms tem um valor de 0,761 A para 4 
ms, de 0 A para 2 ms, de – 0,925 A para 8 
ms e de 1,23 A para os 6 ms restantes. O 
valor eficaz seria diferente se os intervalos 
de tempo fossem em segundos em vez de 
em milissegundos? 
Resp. 0,955 A, não 
 
20) Qual a potência média absorvida por 
um componente de circuito que tem uma 
tensão v = 10 V sobre ele quando a 
corrente que circula por ele é i = 5 + 6 cos 
33t A? 
Resp. 50 W 
 
21) Qual a condutância de um resistor que 
tem uma tensão v = 50,1 sen (200πt + 
30º) V sobre ele quando uma corrente i = 
6.78 sen (200πt + 30º) mA circula por 
ele? 
Resp. 135 µS 
 
22) Se a tensão v = 150 cos (377t + 45º) 
V está sobre um resistor de 33 kΩ, qual é 
a corrente no resistor? 
Resp. i = 4,55 cos (377t + 45º) mA 
 
23) Encontre a potência média absorvida 
por um resistor de 82 Ω que tem uma 
tensão v =311 cos (377t – 45º) V sobre 
ele. 
Resp. 590 W 
 
24) Qual a potência média absorvida por 
um resistor de 910 Ω que tem uma 
corrente i = 9,76 sen (754t – 36º) mA 
circulando por ele? 
Resp. 43,3 mW 
 
25) Encontre a potência média absorvida 
por um resistor que tem uma tensão v = 
87,7 cos (400πt – 15º) V sobre ele e uma 
corrente i = 2,72 cos (400πt – 15º) mA 
circulando por ele. 
Resp. 119 mW 
 
26) Qual a leitura de um amperímetro CA 
que está em sériecom um resistor de 470 
Ω que tem uma tensão v = 150 cos (377t 
+ 30º) V sobre ele? 
Resp. 226 mA 
 
27) Qual a leitura de um amperímetro CA 
que está em série com um resistor de 270 
Ω que tem um pico de dissipação de 
potência de 10 W? 
Resp. 136 mA 
 
28) Qual a expressão para uma onda co-
seno de corrente de 400 Hz que tem um 
valor eficaz de 13,2 mA? 
Resp. i = 18,7 cos 800πt mA 
 
29) Encontre as reatâncias de um indutor 
de 180 mH em (a) 754 rad/s, (b) 400 Hz e 
(c) 250 kHz. 
Resp. (a) 136 Ω, (b) 452 Ω, (c) 283 kΩ 
 
30) Encontre as indutâncias dos indutores 
que têm as reatâncias de (a) 72,1 Ω em 
754 rad/s, (b) 11,9 Ω em 12 kHz e (c) 
42,1 kΩ em 2,1 MHz. 
Resp. (a) 95,6 mH, (b) 158 µH, (c) 3,19 mH 
 
 109 
31) Quais são as freqüências para as quais 
um indutor de 120 mH tem reatância de 
(a) 45 Ω e (b) 97,1 kΩ? 
Resp. (a) 59,7 Hz, (b) 129 kHz 
 
32) Qual a corrente que circula por um 
indutor de 80 mH que tem um tensão de 
120 V, 60 Hz, sobre ele? 
Resp. 3,98 A 
 
33) Qual a indutância de um indutor que 
irá solicitar uma corrente de 250 mA 
quando conectado a uma tensão de 120V, 
60 Hz? 
Resp. 1,27 H 
 
34) Quais são as correntes que circulam 
por um indutor de 500 mH para as 
tensões: 
(a) v = 170 sen (400t + π/6) V 
(b) v = 156 cos (1000t + 10º) V? 
Resp. (a) i = 0,85 sen (400t – 60º) A, 
(b) i = 0,312 sen (1000t + 10º) A 
 
35) Encontre a reatância de um capacitor 
de 0,25 µF em (a) 754 rad/s, (b) 400 Hz e 
(c) 2 MHz. 
Resp. (a) – 5,31 kΩ, (b) – 1,59 kΩ, (c) – 0,318 
Ω 
 
36) Encontre as capacitâncias dos 
capacitores que têm as reatâncias de: 
(a) – 700 Ω em 377 rad/s; 
(b) – 450 Ω em 400 Hz; 
(c) – 1,23kΩ em 25 kHz. 
Resp. (a) 3,79 µF, (b) 0,884 µF, (c) 5,18 nF 
 
37) Encontre a freqüência na qual um 
capacitor de 0,1 µF e um indutor de 
120mH têm o mesmo valor de reatância. 
Resp. 1,45 kHz 
 
38) Qual a capacitância de um capacitor 
que solicita uma corrente de 150 mA 
quando conectado a uma fonte de tensão 
de 100 V/400 Hz? 
Resp. 0,597 µF 
 
39) Quais as correntes que circulam por 
um capacitor de 0,5 µF para uma tensão 
no capacitor de: 
(a) v = 190 sen (377t + 15º) V 
(b) v = 200 cos (1000t – 40º) V 
 
Resp. (a) i = 35,8 cos (377t + 15º) mA 
 (b) i = 0,1 cos (1000t + 50º) A? 
40) Qual a tensão sobre um capacitor de 2 
µF para uma corrente de: 
i = 7 sen (754t + 15º)mA 
Resp. v = 4,64 sen (754t – 75º) V 
 
41) Um chuveiro elétrico residencial tem o 
circuito interno e especificações dadas a 
seguir. As potências especificadas são as 
potências médias dissipadas pelas 
resistências internas. Determine o valor de 
R1. 
 
Alimentação: 220Vrms 
Potencia Inverno: 3,5kW 
Potência Verão: 2,5kW 
 
 Resp. R2 = 5,53 Ω 
 
42) Explique com suas palavras o que é 
valor eficaz ou RMS? 
 
 110 
ANEXO - APLICAÇÕES DA TEORIA DE CIRCUITOS ELÉTRICOS 
 
INTRODUÇÃO 
A teoria de circuitos elétricos é aplicada nos mais diversos campos do saber. Apenas 
a título de curiosidade, serão mostradas algumas de suas aplicações mais usuais do nosso 
cotidiano. 
Ao se analisar dispositivos na área de Engenharia Elétrica, Automação, Eletricidade, 
Mecatrônica, etc, é usual representar o dispositivo através de um circuito equivalente 
apropriado. Desta forma, a análise em profundidade e o projeto, bem como a precisão dos 
cálculos, são facilitados pela aplicação direta de técnicas da teoria de Circuitos Elétricos. 
Assim, circuitos equivalentes são deduzidos para o transformador, para motores CC e CA, 
para dispositivos microeletrônicos momo o transistor, para Linhas de Transmissão do 
Sistema Elétrico de Potência, etc. Em geral, o circuito equivalente é apenas uma 
interpretação de circuito das equações que descrevem o comportamento do dispositivo. 
Vejamos alguns exemplos. 
 
 
APLICAÇÃO EM MOTORES 
 Para dimensionar um corretamente um motor para uma determinada aplicação é 
necessário saber algumas grandezas do mesmo, tais como: conjugado, energia e potência 
elétrica, energia e potência mecânica, velocidade nominal, corrente nominal, potência 
aparente, potência ativa, potência reativa, etc. Assim motores como os mostrados na figura 
abaixo, podem ser modelados por circuitos semelhantes ao visto na figura A1.2. 
 
 
 (a) (b) 
 
Figura A1.1 – (a) Motor Assíncrono de rotor de anéis (b) Motor Assíncrono de rotor gaiola 
 
 
Figura A1.2 – Circuito equivalente por fase de uma máquina síncrona 
 
 111 
APLICAÇÃO EM INSTALAÇÕES ELÉTRICAS 
Ao se efetuar o projeto elétrico de uma instalação residencial ou industrial é 
necessário calcular e dimensionar vários componentes tais como: 
Dimensionar os condutores; 
Dimensionar os dispositivos de proteção; 
Calcular a queda de tensão nos condutores; 
Calcular a demanda; 
Calcular a carga instalada; 
Dimensionar eletrodutos; 
Dimensionar os quadros e barramentos; 
Etc. 
Para efetuar estes e muitos outros cálculos, a teoria de circuitos será extremamente 
necessária. 
 
 
Figura A1.3 – Sistema de aterramento de ponto único para equipamentos eletrônicos 
 
 
 
 
 112 
APLICAÇÃO EM SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA 
Um sistema elétrico de potência (SEP) é um conjunto complexo e organizado de 
estruturas, procedimentos e equipamentos inter-relacionados capazes de manipular e 
transformar diversas formas de energia em energia elétrica, transmiti-la, controlá-la e 
distribuí-la segundo um plano determinado e eficiente, visando produzir trabalho mecânico, 
calor, luz, etc e propiciar o funcionamento de outros sistemas, tais como de informação, de 
telecomunicações etc. Um SEP consiste em três divisões principais: Geração, transmissão e 
distribuição. Veja estas partes na figura abaixo. 
 
 
(a) (b) 
 
 
(c) (d) 
Figura A1.4 – Principais partes de um SEP (a) Geração; (b) Transmissão; (c) Distribuição; (d) consumo 
 
Para efetuar os diversos cálculos, este sistema é representado por um diagrama 
trifilar simplificado, como mostrado abaixo. 
 
Figura A1.5 - Sistema de subtransmissão, transmissão e distribuição típico 
 
 113 
APLICAÇÃO EM MICROELETRÔNICA 
Um circuito básico de um controle de luminosidade em um painel de um automóvel 
com valores típicos está mostrado na figura abaixo. Quando a chave da iluminação é 
acionada (normalmente por um botão de controle fora do painel), uma corrente é 
estabelecida passando através do reostato de 50Ω e pelas diversas lâmpadas do painel. À 
medida que o botão da chave de controle é girado, varia a resistência entre os pontos a e b 
do reostato. Quanto maior a resistência entre os pontos a e b, menor a corrente e, 
consequentemente, menor o brilho das diversas lâmpadas. 
 
 
Figura A1.6 – Controle de luminosidade do painel de um automóvel 
 
 
Outra aplicação largamente utilizada em eletrônica é a de circuitos retificadores 
(fontes) existente em carregadores de celulares, aparelho de TV, microcomputadores, etc. A 
figura abaixo mostra um exemplo, bem como o circuito equivalente. 
 
 
 
Figura A1.7 – Circuito retificador 
 
 114 
APLICAÇÃO EM ESTUDO DOS EFEITOS DO CHOQUE ELÉTRICO 
Choque elétrico é a perturbação de natureza e efeitos diversos que se manifesta no 
organismo, quando é percorrido por uma corrente elétrica. 
A gravidade do choque elétrico é determinada pela intensidade da corrente elétrica 
que o provocou e está relacionada aos principais fatores: 
 
- Diferença de potencial a que foi submetido o corpo; 
- Área de contato do corpo; 
- Pressão de contato; 
- Umidade da superfície de contato; 
- Duração do contato; 
- Condições fisiológicas. 
 
Limite de largar: é o valor máximo de corrente que uma pessoa, tendo à mão um objeto 
energizado, pode ainda largar. A tabela abaixo mostraestes valores. 
 
Tabela A1.1 – Limite de largar 
 
 
A passagem da corrente elétrica pelo corpo humano é acompanhada do 
desenvolvimento de calor por efeito joule, podendo causar queimaduras, parada respiratória 
contrações musculares e até a morte. A figura abaixo mostra um modelo equivalente de 
impedância do corpo humano. 
 
 
 
 
Figura A1.8 – Modelo equivalente de impedância do corpo humano 
 
 
Zpele – impedância equivalente da pele humana 
Zinterna – impedância interna do corpo humano 
Ztotal – impedância total do corpo humano 
 
 
 115 
ROTEIROS LABORATORIAIS