Circuitos elétricos e instrumentação eletrônica

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 ELETRÔ
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Circuitos 
elétricos e 
instrumentação 
eletrônica
Fernando Alves Negrão
Daniele Aparecida Maia Cleto
Charles William Polizelli Pereira
Giancarlo Michelino Gaeta Lopes
Circuitos elétricos 
e instrumentação 
eletrônica
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) 
 Negrão, Fernando Alves 
 
 
 ISBN 978-85-8482-971-2
 1. Aparelhos e materiais eletrônicos. 2. Circuitos 
 elétricos. I. Cleto, Daniele Aparecida Maia. II. Pereira, Charles 
 William Polizelli. III. Lopes, Giancarlo Michelino Gaeta. IV. 
 Título.
 CDD 621.3815 
Fernando Alves Negrão, Daniele Aparecida Maia Cleto, 
Charles William Polizelli Pereira, Giancarlo Michelino Gaeta 
Lopes. – Londrina : Editora e Distribuidora Educacional S.A., 
2017.
 240 p.
N385c Circuitos elétricos e instrumentação eletrônica / 
© 2017 por Editora e Distribuidora Educacional S.A.
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Revisão Técnica
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Editorial
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2017
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e-mail: editora.educacional@kroton.com.br
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Unidade 1 | Circuitos elétricos
Seção 1 - Capacitores e indutores 
1.1 | Unidades de medida 
1.2 | Corrente e carga elétricas 
 1.2.1 | Sentido da corrente 
 1.2.2 | Corrente contínua e corrente alternada 
1.3 | Tensão (diferença de potencial V) 
1.4 | Potência 
1.5 | Energia elétrica 
1.6 | Resistência elétrica 
 1.6.1 | Primeira Lei de Ohm 
 1.6.2 | Segunda Lei de Ohm 
1.7 | Primeira Lei de Kirchhoff (Lei dos nós) 
 1.7.1 | Segunda Lei de Kirchhoff (Lei das malhas) 
1.8 | Método da análise de malhas (Leis de Kirchhoff) 
1.9 | Método de Maxwell 
1.10 | Teorema da superposição 
1.11 | Teoremas de Thévenin 
1.12 | Teoremas de Norton
Unidade 2 | Circuitos armazenadores de energia
Seção 1 - Capacitores e indutores 
1.1 | Capacitor 
 1.1.1 | Capacitância 
1.2 | Indutores 
 1.2.1 | Indutância
 
Seção 2 - Circuitos de primeira ordem 
2.1 | Circuito RC de primeira ordem sem fonte 
2.2 | Circuito RL de primeira ordem sem fonte
Seção 3 - Circuitos magnéticos e eletromagnetismo 
3.1 | Circuitos magnéticos e eletromagnetismo
Unidade 3 | Circuitos eletrônicos
Seção 1 - Circuitos com diodos 
1.1 | Semicondutores 
1.2 | Dopagem 
 1.2.1 | Material Tipo n 
 1.2.2 | Material Tipo p 
1.3 | Diodo semicondutor 
 1.3.1 | Polarização direta (VD>0) 
 1.3.2 | Polarização reversa (VD<0) 
 1.3.3 | Gráfico do diodo 
 1.3.4 | Circuito equivalente do diodo 
 1.3.5 | Diodos em tensão contínua 
 1.3.6 | Diodo em corrente alternada (C.A.) 
1.4 | Retificadores 
Sumário
9
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14 
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16
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103 
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105
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113 
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U1 - Circuitos elétricos4
 1.4.1 | Retificador de meia onda 
 1.4.2 | Retificador de onda completa 
 1.4.3 | Retificador de Onda Completa em Ponte 
1.5 | Filtragem 
 1.5.1 | Corrente de surto 
1.6 | Diodo zener 
 1.6.1 | Funcionamento do diodo zener 
 1.6.2 | Regulador de tensão utilizando diodo zener 
1.7 | Circuitos limitadores ou ceifadores 
1.8 | Circuitos grampeadores 
 1.8.1 | Circuitos detectores de pico
 
Seção 2 - Transistores bipolares de junção 
2.1 | Polarizando o transistor 
2.2 | Variáveis importantes 
 2.2.1 | Alfa CC 
 2.2.2 | Beta CC 
 2.2.3 | Tensões de ruptura 
2.3 | Configurações básicas 
 2.3.1 | Configuração emissor comum 
 2.3.2 | Gráficos de entrada e de saída 
 2.3.3 | Ponto quiescente ou ponto de operação 
 2.3.4 | Transistor como chave 
 2.3.5 | Transistor como fonte de corrente
 
Seção 3 - Circuitos de polarização de transistores 
3.1 | Polarização da base 
3.2 | Polarização com realimentação do emissor 
3.3 | Polarização com realimentação do coletor 
3.4 | Polarização por divisão de tensão 
3.5 | Polarização do emissor
Seção 4 - Amplificadores de pequenos sinais 
4.1 | Capacitor de acoplamento 
4.2 | Capacitor de derivação 
4.2 | Análise CA da polarização do transistor 
 4.2.1 | Ganho de corrente e de tensão CA 
 4.2.2 | Amplificador com emissor aterrado 
 4.2.3 | Modelo CA de um emissor comum 
 4.2.4 | Amplificador com realimentação parcial da resistência do emissor
Unidade 4 | Aplicação de circuitos eletrônicos
Seção 1 - Amplificadores operacionais 
1.1 | Amplificadores operacionais 
 1.1.1 | Amplificador inversor 
 1.1.2 | Amplificador não inversor 
 1.1.3 | Amplificador somador não inversor 
 1.1.4 | Amplificador somador inversor 
 1.1.5 | Amplificador subtrator 
 1.1.6 | Amplificador integrador 
 1.1.7 | Amplificador diferenciador
 
Seção 2 - Osciladores 
2.1 | Oscilador com ponte de Wien 
2.2 | Osciladores Colpitts 
2.1 | Oscilador a cristal 
2.4 | Temporizador 555 
 2.4.1 | Operação monoestável 
2.5 | Operação astável
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200
202
204
206 
206
207
U1 - Circuitos elétricos 5
Seção 3 - Sensores de tensão e corrente 
3.1 | Transformadores de instrumentação 
3.2 | Sensores de corrente por efeito Hall 
3.3 | Sensor de corrente por resistor série
Seção 4 - Circuitos condicionadores de sinais de tensão e corrente
4.1 | Amplificador de instrumentação 
4.2 | Fonte de corrente constante 
4.3 | Fontes de tensão regulada
211 
212
214
216
220
221
224
228
U1 - Circuitos elétricos6
Apresentação
Este material didático possui a função de apresentar conceitos 
relacionados a circuitos elétricos e instrumentação eletrônica. 
Assim, é possível dizer que este material condensa fundamentos 
que permitirão a análise e a elaboração de circuitos elétricos e 
eletrônicos básicos. Para isso, serão abordados temas que são 
fundamentais a qualquer engenheiro, seja ele da área elétrica ou 
não, aumentando a abrangência da formação em engenharia.
É esperado que ao final do estudo deste material você seja capaz 
de identificar, compreender e analisar circuitos elétricos e conhecer os 
princípios magnéticos e eletromagnéticos que são utilizados em diversas 
aplicações. Espera-se também que conheça os circuitos eletrônicos 
básicos, bem como os componentes eletrônicos que fazem parte 
destes circuitos e como eles funcionam. Assim, você será capaz de 
entender o funcionamento de diversos tipos de sensores e transdutores, 
e também projetar circuitos de condicionamento que venham a ser 
necessários para o funcionamento devido de tais circuitos. 
Um diferencial deste material é o fato dele condensar os 
principais conceitos da área eletrônica, apresentando somente os 
temas pertinentes e que serão utilizados na prática da engenharia. 
Com isso, é possível dizer que o material tem o objetivo de 
desenvolver conceitos que são utilizados de fato durante a carreira 
de um engenheiro. Para tanto, apresenta exemplos e exercícios 
que transcrevem situações práticas que podem ser encontradas 
no dia a dia do profissional de engenharia.Na Unidade 1, você está convidado a estudar conceitos de 
circuitos elétricos, conhecendo os componentes básicos, leis e 
métodos de análise. Aprenderá também conceitos relacionados 
aos teoremas de Thevenin e Norton, que permitem a análise dos 
mais diversos tipos de circuitos elétricos.
A Unidade 2 apresenta assuntos relacionados a circuitos com 
componentes armazenadores de energia, tornando-o capaz de 
trabalhar na análise de capacitores e indutores. Assim, será possível 
o aprendizado das equações que regem o funcionamento de tais 
componentes dentro de um circuito e também suas características 
de carregamento e descarregamento.
Os conceitos base que dizem respeito aos circuitos eletrônicos 
estão apresentados na Unidade 3. Nesta unidade, você estudará os 
dois componentes eletrônicos mais básicos que existem, o diodo e 
o transistor. Também estudará os circuitos que são utilizados para a 
polarização destes componentes e como eles podem ser utilizados.
Por fim, na Unidade 4, você é convidado a trabalhar em uma área 
dentro da engenharia que é chamada de instrumentação eletrônica. 
Para isso, são apresentados conceitos básicos de amplificadores 
operacionais, seguido das aplicações destes circuitos. Com isso, o 
aluno será capaz de projetar e analisar circuitos de condicionamento 
de sinais e também conhecer diversos tipos de sensores e como 
utilizá-los em diversas aplicações.
Desta forma, vamos estudar estes assuntos que são de grande 
importância para sua formação, aprofundando seus conhecimentos 
em circuitos elétricos e eletrônicos.
Bons estudos!
Unidade 1
Circuitos elétricos
Olá aluno, bem-vindo!
Nesta unidade curricular, você será apresentado aos 
principais tópicos de circuitos elétricos, tais como: circuitos 
elétricos, circuitos armazenadores de energia, circuitos 
eletrônicos e aplicação de circuitos eletrônicos.
O seu material é composto pelo livro didático, que 
apresenta os principais temas que deverão ser estudados; 
além deste, você também pode contar com a orientação das 
atividades apresentadas nas webaulas e ainda, os momentos 
de orientação, mediação, explicação e interação que ocorrem 
no decorrer das aulas.
Participe ativamente das atividades! A estrutura de seu livro 
didático contempla 4 (quatro) unidades de ensino. São elas:
Circuitos elétricos: apresentam o estudo de introdução 
e conceitos básicos, leis básicas, métodos de análise e 
teoremas de circuitos. Nesta seção serão apresentadas as 
unidades de medidas, as duas quantidades que acompanham 
em circuitos elétricos e eletrônicos: voltagem e corrente, os 
modelos que descrevem os principais componentes dos 
circuitos elétricos e os conceitos a eles associados, bem 
como as leis fundamentais que governam tais circuitos. 
Na parte final, estudos de casos são apresentados a fim de 
ilustrar a aplicação dos conceitos e leis.
Circuitos Armazenadores de energia: apresenta o estudo de 
capacitores e indutores, circuitos de primeira ordem, circuitos 
de segunda ordem, circuitos magnéticos e eletromagnetismo. 
Nesta seção serão estudados elementos armazenadores de 
Objetivos de aprendizagem
Daniele Aparecida Maia Cleto 
energia conhecidos como indutor e capacitor. O primeiro 
consiste em um elemento que armazena energia em campo 
magnético e o segundo armazena energia em campo elétrico. 
Será visto equações e conceitos que envolvem o funcionamento 
desses elementos que são utilizados com freqüência em rádios, 
televisões, radares, transformadores, microondas e uma porção 
de outros equipamentos eletroeletrônicos. Porém, antes de 
apresentar esses elementos, faz-se uma sucinta explicação 
de alguns conceitos físicos relevantes como lei de Coulomb, 
campo elétrico e magnético, efeito Oersted e lei de Faraday.
Circuitos Eletrônicos: apresenta o estudo de circuitos 
com diodo, fontes de tensão reguladas, transistores de 
junção bipolar e circuitos de polarização de transistores.
Aplicação de circuitos eletrônicos: apresenta o 
estudo de amplificadores de pequenos sinais, osciladores, 
amplificadores operacionais, sensores de tensão e corrente 
e circuitos condicionadores de sinais de tensão e corrente.
Prezado Estudante, mantenha uma rotina de estudos 
que o possibilite dedicar-se aos processos de leitura, 
participação e realização das atividades propostas. E de 
extrema importância para que você obtenha sucesso tanto 
em construção e desenvolvimento de aprendizagem, quanto 
em sua aplicação. Desde já desejo a você bons estudos!
Introdução à unidade
Esta unidade serve como livro-texto para o curso inicial de 
análise de circuitos elétricos. Nesta unidade há uma ênfase 
especial às unidades de medidas, conceitos básicos, leis básicas, 
métodos de análise e teoremas de circuitos. Nesta seção, o aluno 
aprenderá a resolver circuitos elétricos por três métodos: Método 
da análise de malhas e nós (Leis de Kirchhoff) e Método da análise 
de malhas por Maxwell. A melhor técnica de análise e uso para 
resolver um circuito vai depender de sua complexidade, dessa 
forma, iremos aperfeiçoar o estudo com algumas ferramentas 
apropriadas para facilitar o trabalho algébrico. Nesse item, vamos 
aprender sobre os seguintes teoremas: Teorema da superposição, 
de Thevenin e Norton.
U1 - Circuitos elétricos12
Seção 1
Capacitores e indutores
1.1 Unidades de medida
Introdução à seção
Esta unidade serve como livro-texto para o curso inicial de 
análise de circuitos elétricos. Nesta unidade há uma ênfase especial 
às unidades de medidas, conceitos básicos, leis básicas, métodos de 
análise e teoremas de circuitos. Nesta seção, o aluno aprenderá a 
resolver circuitos elétricos por três métodos: método da análise de 
malhas e nós (Leis de Kirchhoff) e método da análise de malhas por 
Maxwell. A melhor técnica de análise e uso para resolver um circuito 
dependerá de sua complexidade, dessa forma, aperfeiçoaremos 
o estudo com algumas ferramentas apropriadas para facilitar o 
trabalho algébrico. Nesse item, vamos aprender sobre os seguintes 
teoremas: Teorema da superposição, de Thevenin e Norton.
A conversão de medidas é importante para resolver questões que 
envolvem cálculos matemáticos, assim como de física e química. 
Quando um problema apresenta diferentes unidades de medida, 
a conversão é necessária para que seja possível compreendê-la e 
solucioná-la. O Sistema Internacional de Unidades (SI) será adotado 
em todo o livro e está formado por sete unidades básicas e dezesseis 
unidades derivadas, como apresentam as Tabelas 1.1 e 1.2.
Para saber mais
Para saber mais sobre o Teorema de superposição de Thevenin e 
Norton, consulte a obra a seguir:
BOYLESTAD, Robert L. Introdução à análise de circuitos. 10. ed. 
São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2004.
U1 - Circuitos elétricos 13
 Fonte: Inmetro (2012, p. 30).
Fonte: Inmetro (2012, p. 30).
Tabela 1.1 | Unidades básicas
Tabela 1.2 | Unidades derivadas
Grandeza
Unidades Básicas
Nome Símbolo
Comprimento metro m
Massa quilograma kg
Tempo segundo s
Corrente elétrica ampère A
Temperatura termodinâmica kelvin K
Quantidade de matéria mole mol
Intensidade luminosa candela cd
Grandeza
Unidades SI Derivadas
Nome Símbolo Unidades
Capacitância farad F m kg s A− −⋅ ⋅ ⋅2 1 4 2
Carga elétrica coulomb S A s⋅
Condutância siemens C m Kg s A− −⋅ ⋅ ⋅2 1 3 2
Energia joule J m Kg s2 2⋅ ⋅ −
Fluxo luminoso lúmen Im cd
Fluxo magnético weber Wb m Kg s A2 2 1⋅ ⋅ ⋅− −
Força newton N kg m s⋅ ⋅ −2
Frequência hertz Hz s−1
Indutância henry H m Kg s A2 2 2⋅ ⋅ ⋅− −
Intensidade de 
campo magnético
tesla T Kg s A⋅ ⋅− −2 1
Luminosidade lux Ix cd m⋅ −2
Potência watt W m Kg s2 3⋅ ⋅ −
Pressão pascal Pa m Kg s− −⋅ ⋅1 2
Resistência elétrica ohm Ω m Kg s A2 3 2⋅ ⋅ ⋅− −
Tensão elétrica volt V m Kg s A2 3 1⋅ ⋅ ⋅− −
U1 - Circuitos elétricos14
Fonte: Inmetro (2012, p. 34)
Tabela 1.3 | Prefixos oficiais do SI
Prefixo Símbolo Fator
yotta Y 1024
zetta Z 1021
exa E 1018
peta P 1015
tera T 1012
giga G 109
mega M 106
quilo k 103
hecto h 102
deca da 101
PrefixoSímbolo Fator
nenhum 100
centi d 10−1
centi c 10−2
miali m 10−3
micro µ 10−6
nano n 10−9
pico p 10−12
femto f 10−15
atto a 10−18
zepto z 10−21
yocto y 10-24
Múltiplos e submúltiplos decimais são frequentemente 
encontrados na prática científica. Para facilitar a manipulação dos 
números, utilizam-se potências de dez. Os símbolos e os prefixos 
dados na Tabela 1.3 permitem que se reconheça facilmente as 
potências de dez envolvidas nas representações simplificadas de 
um número em notação científica.
1.2 Corrente e carga elétricas
A corrente elétrica é o fluxo ordenado de partículas portadoras 
de carga elétrica, sendo a taxa de variação da carga elétrica que 
passa em um determinado ponto de um circuito. A intensidade da 
corrente elétrica é definida como a quantidade de carga elétrica 
que atravessa a seção transversal de um condutor em um intervalo 
de tempo. A carga elétrica é uma propriedade que está relacionada 
com as partículas elementares que formam os átomos, sendo os 
prótons positivos, os elétrons negativos e os nêutrons neutros. 
“A forma derivada de carga, o coulomb (C) é equivalente a um 
ampère por segundo: 1 1 1A C s= ⋅ − ou 1 1C A s= ⋅ ” (EDMINISTER, 
1985, p. 3). A corrente elétrica é dada em C/s que é o ampère (A), 
mas é comum expressar em miliampères (mA) ou microampères (
∝A). A carga elétrica é proporcional ao número de elétrons: 
U1 - Circuitos elétricos 15
(1.1)
(1.3)
(1.2)
Q N e= ⋅
Carga Celétron = = ×
= × −Qe
1
6 242 10
1 6 1018
19
,
,
i Q
t
=
i
Q
t
=
=
=
corrente elétrica em ampère (A)
carga em coulomb (C)
,
 tempo em segundos (s)
Para calcular a intensidade da corrente elétrica i na seção reta 
circular de um condutor, considera-se a carga que passa por ele 
em um intervalo de tempo, ou seja:
Um coulomb equivale à aproximadamente a carga de elétrons. 
A carga associada a um elétron pode, então, ser determinada a 
partir da equação 1.1:
Em que:
1.2.1 Sentido da corrente
A corrente elétrica é tradicionalmente representada como o 
movimento de cargas positivas. Essa convenção foi criada por 
Benjamin Franklin, o primeiro grande cientista americano a estudar 
a eletricidade. Naturalmente, hoje sabemos que o movimento de 
carga nos condutores metálicos é o resultado do movimento de 
elétrons que possuem carga negativa. Mesmo assim, descrevemos 
a corrente como um movimento de cargas positivas, de acordo 
com a convenção adotada no passado. A Figura 1.1 ilustra o 
esquema do sentido das correntes: real e convencional.
Fonte: elaborada pela autora.
Figura 1.1 | Esquema do sentido das correntes
U1 - Circuitos elétricos16
V V V E
QA B AB
AB− = =
V
E
AB
AB
=
=
diferençaa de potencial em (V)
energia em joule (J)
QQ = carga em coulomb (C)
1.2.2 Corrente contínua e corrente alternada
Corrente contínua (CC) é aquela que não altera seu sentido, ou 
seja, é sempre negativa ou positiva, esse tipo de corrente é gerado 
por pilhas, baterias de automóveis ou motos, entre outros.
Corrente Alternada (CA) ocorre quando o fluxo de elétrons 
dentro do condutor realiza movimentos de vai e vem em seu 
interior, ou seja, o sentido da corrente varia com o tempo.
1.3 Tensão (diferença de potencial V)
Tensão elétrica (V), também conhecida como diferença de 
potencial (ddp), é uma grandeza física que está relacionada ao 
conceito de corrente elétrica. Falamos sobre corrente elétrica 
anteriormente, porém para existir corrente elétrica entre dois 
terminais é necessário que haja uma diferença de potencial entre 
eles. A unidade de medida é o volt, em homenagem ao físico 
italiano Alessandro Volta. A ddp entre dois terminais é medida 
pelo trabalho (energia) realizado por unidade de carga de um 
terminal para o outro. O volt é a diferença de potencial (ddp) 
entre dois terminais, quando é necessário o trabalho de 1 joule 
para transferência de uma carga de 1 coulomb de um terminal 
ao outro: 1 volt = 1 joule/coulomb (EDMINISTER, 1991). A tensão 
elétrica entre dois terminais é dada pela equação 1.4.
Em que:
Em circuitos elétricos, a diferença de potencial é fornecida por 
fontes de tensão que podem ser divididas em duas categorias: 
alternada e contínua. A Figura 1.2 apresenta os símbolos de fontes 
de tensão contínua e alternada. O traço maior do símbolo, terminal 
positivo (+), indica o ponto de maior potencial.
(1.4)
U1 - Circuitos elétricos 17
Fonte: elaborada pela autora.
Figura 1.2 | Símbolo para fonte de tensão contínua e tensão alternada
1.4 Potência
Potência elétrica ( )P é a taxa com a qual o trabalho ou energia 
( )E é realizado em um intervalo de tempo ( )∆t ,como apresenta 
a equação 1.5, ou a potência também pode ser calculada pelo 
produto da tensão aplicada ( )V pela corrente ( )i , como apresenta 
a equação 1.6.
Em que:
Ou, em termos de grandezas elétricas:
Através da Lei de Ohm, a equação para o cálculo de potência 
pode ser reescrita como mostram as equações: 
ou
P E
t
=
∆
P
E
t
=
=
=
potÍ ncia em watt (W)
energia em joule (J)
intervalo d∆ ee tempo em segundos (s)
P V i= ⋅
P R i i
P R i
= ⋅ ⋅
= ⋅ 2
P V i V V
R
P V
R
= ⋅ = ⋅
=
2
(1.6)
(1.7)
(1.8)
(1.5)
U1 - Circuitos elétricos18
1.5 Energia elétrica 
A energia elétrica é a capacidade de uma corrente elétrica 
realizar trabalho, devido a isso, podemos rearranjar a equação 1.5 
e obter a energia elétrica, conforme a equação 1.9, ou seja:
A unidade da energia elétrica pode ser dada por watt-segundo 
(W s)⋅ ou por joule ( )J , porém a unidade mais utilizada para a 
energia elétrica é o quilowatt-hora (kWh) , que corresponde a 
3 6 106, × J . 
E P t= ⋅ ∆
1 3 6 106 kWh J= ×,
P V i
i
i A
= ⋅
= ⋅
= =
2400 110
2400
110
21 8,
E P t
E
= ⋅
= ⋅ ⋅ = =
∆
2400 0 33 30 23760 23 76( , ) , Wh kWh
V i
V
i
∝
= constante
Exemplo 1
Um chuveiro tem as especificações 2400W/110V, calcule: 
a) A corrente consumida pelo chuveiro:
b) A energia consumida (em KWh) durante 1 mês (30 dias), se 
todos os dias o chuveiro é ligado por 20 minutos:
Se em 1 hora temos 60 minutos, então, em 20 minutos teremos 
0,33 horas.
1.6 Resistência elétrica
Resistência é a propriedade física de um componente ou 
dispositivo que se opõe à passagem de corrente elétrica, é 
representada pelo símbolo R. Um componente que possui uma 
resistência R é chamado de resistor. Quando a Lei de Ohm, Eq. 1.10, 
é obedecida, a relação entre i e V é linear (DORF; SVOBODA, 2012).
(1.09)
U1 - Circuitos elétricos 19
R V
i
=
R
V
i
=
=
=
Resistência elétrica em Ohm(©)
tensão em volts (V)
corrrente elétrica em ampères (A)
Ou seja,
Em que:
O resistor é utilizado na elétrica e eletrônica com a finalidade 
de transformar energia elétrica em energia térmica por meio do 
efeito joule, ou com a finalidade de limitar a corrente elétrica em 
um circuito, a Figura 1.3(b) mostra um resistor. Trata-se de um 
componente físico cuja característica principal é oferecer uma 
oposição à passagem de corrente elétrica, através de seu material. 
Comercialmente, esses componentes são chamados de resistência 
elétrica, mas lembre-se, resistência elétrica é uma propriedade e 
não um componente. Em um circuito, o resistor é representado 
por um dos símbolos mostrados na Figura 1.3(a).
Alguns resistores indicam os valores de resistência e potência 
impresso no próprio componente, outros utilizam apenas um 
código de cor para indicar seus valores, como mostra a Figura 1.4. 
Para resistores de quatro faixas é utilizada a Figura 1.4, conforme 
as seguintes orientações:
• 1ª Faixa: mostra o primeiro algarismo do valor da resistência.
• 2ª Faixa: mostra o segundo algarismo da resistência.
• 3ª Faixa: mostra quantos zeros devem ser adicionados à 
resistência.
• 4ª Faixa: mostra a tolerância que o componente terá.
Fonte: (a) elaborada pela autora. (b) < http://www.arduino-tutorials.com/ee101-resistors>. Acesso em: 20 abr. 2017. 
Figura 1.3 | Representação gráfica de um resistor (a) e resistor comercial com 
código de cores (b).
(1.10)
U1 - Circuitos elétricos20
Fonte: <https://goo.gl/2CMOYu>.Acesso em: 17 abr. 2017.
Figura 1.4 | Códigos de cores dos resistores
Para resistores de cinco faixas é utilizada a Figura 1.4, de acordo 
com as seguintes orientações:
• 1ª Faixa: mostra o primeiro algarismo do valor da resistência.
• 2ª Faixa: mostra o segundo algarismo da resistência.
• 3ª Faixa: mostra o terceiro algarismo da resistência.
• 4ª Faixa: mostra quantos zeros devem ser adicionados à 
resistência.
• 5ª Faixa: mostra a tolerância que o componente terá.
U1 - Circuitos elétricos 21
1.6.1 Primeira Lei de Ohm
O físico alemão Georg Simon Ohm, em 1826, verificou 
experimentalmente a relação entre tensão, corrente e resistência 
elétrica em resistores. Das inúmeras experiências realizadas com 
diversos tipos de condutores, Ohm verificou que a tensão aplicada 
nos terminais de um condutor é proporcional à corrente elétrica 
que o percorre, ou seja, rearranjando a equação 1.10, temos:
A equação 1.11 é válida somente para resistores ôhmicos. Em 
resistores não ôhmicos R não é uma constante. Ao plotar um 
gráfico que envolve V i× para resistores ôhmicos, podemos 
verificar que a inclinação da reta no gráfico fornece o valor 
constante da resistência, como apresenta a Figura 1.5. 
Para condutores não ôhmicos, verificamos que o gráfico de V i× 
não é linear, conforme os dois exemplos de possíveis formas de 
curvas para condutores não ôhmicos representados na Figura 1.6.
Fonte: elaborada pela autora.
Figura 1.5 | Gráfico referente à diferença de potencial (V) versus a intensidade de 
corrente (i), para condutores ôhmicos
V R i= ⋅ (1.11)
U1 - Circuitos elétricos22
1.6.2 Segunda Lei de Ohm
Ohm também verificou que a resistência elétrica de um 
condutor depende do comprimento do objeto, das características 
do material de que ele é composto e de sua espessura. Segundo 
Ohm, a resistência elétrica ( )R é diretamente proporcional ao seu 
comprimento ( )L e a resistividade ( )ρ é inversamente proporcional 
à área da seção transversal ( )A do condutor homogêneo, ou seja:
Em que:
A resistividade é uma característica de cada material que define 
o quanto ele se opõe à passagem do fluxo de uma corrente elétrica. 
Quanto maior a resistividade do material, maior a resistência do 
condutor. A Tabela 1.4 apresenta a resistividade e coeficiente 
térmico de alguns materiais.
Fonte: elaborada pela autora.
Figura 1.6 | Gráfico referente à diferença de potencial (V) versus a intensidade de 
corrente (i), para condutores não ôhmicos
R L
A
= ρ
R =
=
resistência em Ohm (Ω)
resitividade em Ohm por metro (Ωρ x )
comprimento em metro (m)
Área da seção transversal 
L
A
=
= eem metro quadrado (m )2
m
(1.12)
U1 - Circuitos elétricos 23
Quando há um aumento de temperatura, a resistência elétrica 
também é elevada, isso ocorre devido à agitação térmica das 
partículas, ocasionando colisões no interior do condutor. Tal fato, 
obedece à relação da equação 1.13. 
Em que:
Fonte: Boylestad (2004, p. 7).
Tabela 1.4 | Tabela referente a valores de resistividade e coeficiente térmico de 
alguns materiais
Material Resistividade (Ω.m)
Coeficiente Térmico 
α = −C 1 
Temperatura 
ºC
Alumínio 2 9 10 8, × − 0,0038 0
Bronze 6 7 10 8, × − 0,00200 20
Borracha 1013 -
Cobre , 10 8 × −1 7 0,00430 0
Estanho 1 2 10 7, × − 0,00420 20
Grafite 1 3 10 5, × − 0,00050 20
Latão 6 7 10 8, × − 0,00200 20
Mercúrio 9 6 10 7, x − 0,00089 20
Níquel 8 7 10 8, x − 0,00600 20
Ouro 2 4 10 8, x − 0,00340 20
Platina 11 10 7, x − 0,00250 20
Prata 1 6, 10 8 × − 0,00380 20
Silício 2 5 102, x -0,07000 20
Tungstênio 5 5 10 8, x − 0,00450 20
Vidro 1010 a 1014 -
Zinco 5 6 10 8, x − 0,00380 20
ρ ρ α θ= +0 1( )∆
( )
( )ρ É a resistividade do material na temperatura final em Cell C θ
 É a resistividade do material na temperat
f
ρ0 uura inicial em Celsius ºC θ 
 É a variação da temperat
0
∆θ uura 
sius º
(1.13)
U1 - Circuitos elétricos24
1.7 Primeira Lei de Kirchhoff (Lei dos nós)
Para analisar um circuito elétrico, podemos escrever e resolver 
um sistema de equações que relaciona as correntes e as tensões 
em todos os componentes do circuito aos valores desses 
componentes. Algumas dessas equações são obtidas aplicando ao 
circuito as Leis de Kirchhoff para tensões e para correntes, outras 
são obtidas aplicando equações constitutivas, como a Lei de Ohm, 
a componentes isolados. Os valores das tensões e correntes nos 
componentes, que são as incógnitas, são obtidos resolvendo o 
sistema de equações. Um nó é identificado através de um ponto 
de ligação no circuito elétrico em que são ligados três ou mais 
condutores, a Figura 1.7 apresenta um esquema dos nós. Em 
qualquer nó, a soma algébrica das correntes é sempre igual a zero, 
ou seja, em qualquer nó a soma das correntes que entram é igual 
a soma das correntes que saem.
Ramo ou braço é um trecho do circuito elétrico compreendido 
entre dois nós principais consecutivos, ou seja:
Fonte: elaborada pela autora.
Figura 1.7 | Esquema representativo da Lei dos nós
ouii
i
n
=
=
∑ 0
1
i ii
i
n
j
j
m
chega saem
=
= =
∑ ∑
1 1
U1 - Circuitos elétricos 25
• Nós: B e E.
• Ramo ou braço: BADE, BCFE e BE.
1.7.1 Segunda Lei de Kirchhoff (Lei das malhas)
A segunda Lei de Kirchhoff (Lei das malhas ou tensões) relata 
que a soma algébrica das forças eletromotrizes (f.e.m) que têm o 
mesmo sentido do percurso é igual à soma das (f.e.m) que têm 
sentido contrário. Isso quer dizer que a soma das tensões em 
uma malha ou laço é nula. Laço é qualquer caminho fechado no 
circuito que não repete os nós (exceto o nó inicial e final). Malha é o 
caminho fechado pelo qual uma corrente elétrica pode percorrer, 
ou seja, laço que não contém outro laço dentro. Analisando a 
Figura 1.9, nota-se que há três malhas: ABEDA, BCFEB e ABCFEDA. 
Fonte: elaborada pela autora.
Fonte: elaborada pela autora.
Figura 1.8 | Circuito elétrico com dois nós
Figura 1.9 | Circuito elétrico com dois nós e três malhas
U1 - Circuitos elétricos26
1.8 Método da análise de malhas (Leis de Kirchhoff)
Para resolver um circuito elétrico, é necessário determinar as 
correntes de todos os seus ramos. Para tal finalidade, a aplicação 
dos métodos das malhas baseia-se em alguns passos principais, 
como apresenta o exemplo 2.
• Identificar os nós, ramos, malhas ou laços do circuito elétrico.
• Para cada ramo do circuito atribuir um sentido para a corrente 
elétrica.
• Orientar as tensões do circuito, tomando como referência 
essas correntes.
• Havendo nós, montar equações utilizando as Leis de Kirchhoff, 
em número igual ao de correntes de ramo (incógnitas) existentes. 
Obtendo-se:
 = nnú = nnúnúmero mero meroequações de malhas malhas nós
• Resolução dos sistemas de equações.
Exemplo 2
Determine as correntes do circuito da Figura 1.10, utilizando o 
Método de Kirchhoff.
Fonte: elaborada pela autora.
Figura 1.10 | Circuito elétrico
U1 - Circuitos elétricos 27
Seguindo os passos do Método de Kirchhoff, temos:
1° Identificar 2 nós B e E, 3 ramos BADE, BCFE e BE, 2 malhas 
internas ABEDA e BCFEB e 1 malha externa ABCFEDA.
2° Orientar as correntes.
3° Orientar as tensões.
4° Montar as equações através da Lei dos nós.
i i i1 2 3 0+ + =
Vamos aplicar a segunda Lei de Kirchhoff para as malhas internas.
Malha M1 Malha M2
10 15 25
2 3 5
2 3 5
1 2
1 2
1 2
i i
i i
i i
= +
= +
− =
10 15 45
2 3 9
2 3 9
3 2
3 2
3 2
i i
i i
i i
= +
= +
− = 
O próximo passo é resolver o sistema de 3 equações e 3 
incógnitas.
i i i
i i
i i
1 2 3
1 2
3 2
0
2 3 5
2 3 9
+ + =
− =
− =
Isolando i1 e i3 da segunda e terceira equações.
i i
i i
1
2
3
2
3 5
2
3 10
2
=
+
=
+
Substituindo na primeira equação, temos i1 , i2 e i3 :
Podemos concluir que a corrente negativa i i2 1 e significa que 
o sentido da corrente proposta no esquema da figura está invertido. 
Analisando os resultados obtidos, conclui-se que o gerador de 45 
V prevalece sobre o de 25 V, por causa da orientação de ambos. A 
parcela de i1 devida ao gerador de 45V é maior que a do gerador 
3 5
2
3 9
2
0
4 7
7
4
1 75
2
2
2
2
2
2
i i i
i
i
i A
+
+ +
+
=
= −
= −
= − ,
i i
i
i A
1
2
1
1
3 5
2
3 1 75 5
2
0 125
=
+
=
⋅ − +
= −
( , )
,
i i
i
i A
3 2
3
3
3 10
3 1 75 9
2
1 875
= +
=
⋅ − +
=
( , )
,
U1 - Circuitos elétricos28
de 25 V (o que pode ser analisado pelo Método da superposição 
de efeitos, que será estudado no item 1.10).
1.9 Método de Maxwell
Para utilizar o Método de Maxwell, é necessário que tenha 
compreendido o Método de Kirchhoff. O Método de Maxwell é 
utilizado quando há um número muito grande de malhas, pois 
ele diminui a quantidade de incógnitas. Verifique os passos para 
resolução com o Método de Maxwell:
• Adota-se um sentido para cada corrente fictícia de malha 
interna existente no circuito. Para diferenciar as correntes de ramo 
das correntes de malha, representam-se estas últimas por letras 
gregas (a, b etc.). Então, deixam-se de lado as correntes de ramo, 
que serão utilizadas apenas na análise final da solução.
• Montam-se, com base na segunda Lei de Kirchhoff, equações de 
tensões para as malhas internas do circuito. O sentido dessas tensões 
segue a orientação das correntes de malha adotadas (fictícias).
• Oriente as tensões em cada malha e escreva suas equações. 
Utilize a equação: 
V R i R= ⋅ −∑∑∑ malha ramo
Exemplo 3
Determine as correntes do circuito a seguir, utilizando o Método 
de Maxwell. 
Fonte: elaborada pela autora.
Figura 1.11 | Circuito elétrico com duas malhas M1 e M2
U1 - Circuitos elétricos 29
1º Oriente a corrente das duas malhas, veja figura.
2° Oriente as tensões e escreva as equações.
Malha M1 Malha M2
25 15 10 15
25 25 15
= + −
= −
α α β
α β
− = + −
− = −
45 15 10 15
45 25 15
β β α
β α
Dividindo ambos os valores das malhas por 5, temos:
Malha M1 Malha M2
5 5 3= −α β − = −9 5 3β α
Com essas duas equações têm um sistema.
5 5 3
9 3 5
= −
− = − +
α β
α β
← ⋅
← ⋅
3
5
15 15 9
45 15 25
= −
− = − +
α β
α β
Agora, somaremos as equações e descobrir os valores de α β e 
− =
= − = −
30 16
30
16
1 875
β
β , A
15 15 9 1 875
15 15 16 875
15 15 16 875
15 1 875
0 12
= − ⋅ −
= +
= −
= −
= −
α
α
α
α
α
,
,
,
,
, 55
Substituindo os valores nas equações de ramo, temos:
i A
i A
i A
1
2
3
0 125
1 75
1 875
= = −
= − + = −
= − =
α
α β
β
,
,
,
Conclui-se que a corrente negativa para α β e mostra que o 
sentido da corrente proposta no esquema da figura está invertido 
ao adotado. Os resultados obtidos são os mesmos da solução pelo 
Método de Kirchhoff, porém com trabalho matemático menor.
1.10 Teorema da superposição
O Teorema da superposição para circuitos elétricos consiste 
em afirmar que a corrente elétrica total em qualquer ramo de 
um circuito bilateral linear é igual à soma algébrica das correntes 
produzidas por cada fonte atuando separadamente no circuito. 
Este teorema deve ser utilizado quando um circuito obtiver várias 
fontes de corrente ou tensão independentes que não estejam em 
série ou paralelo. 
U1 - Circuitos elétricos30
Exemplo 4
Determine as correntes do circuito da figura a seguir, utilizando 
o Método da superposição.
Escolhendo para análise o gerador 1 de 25 V, o gerador 2 nesse 
caso, passa a ser representado como um curto-circuito, como 
mostra a figura:
No circuito novo, com um único gerador, orientam-se as 
correntes de ramo existentes, lembrando que a corrente “sai” do 
polo positivo do gerador.
Fonte: elaborada pela autora
Fonte: elaborada pela autora.
Figura 1.12 | Circuito elétrico
Figura 1.13 | Circuito com gerador retirado
U1 - Circuitos elétricos 31
Utilizando qualquer método para solução de circuito conhecido 
(Kirchhoff, Maxwell etc.), determinam-se as correntes de ramo para 
o gerador escolhido.
Repetindo os passos anteriores para o gerador de 45 V, temos 
o seguinte circuito.
Fonte: elaborada pela autora.
Fonte: elaborada pela autora.
Figura 1.14 | Circuito simplificado
Figura 1.15 | Circuito simplificado
R
i A
V R i V
i
a
a
a
'
' '
,
, ,
=
⋅
+
=
=
+
=
= ⋅ = ⋅ =
=
15 10
15 10
6
25
10 6
1 56
1 56 6 9 36
1
1
2
Ω
VV A
i V Aa
'
'
, ,
, ,
15
9 36
15
0 624
10
9 36
10
0 9363
= =
= = =
U1 - Circuitos elétricos32
Agora, vamos encontrar as correntes i
1
, i
2
 e i
3
.
O valor encontrado das correntes foi igual aos métodos 
anteriores.
1.11 Teoremas de Thévenin
O Teorema de Thévenin é usado para simplificar e resolver 
um circuito, este teorema afirma que podemos substituir todo 
o circuito, com exceção ao bipolo em questão, por um circuito 
equivalente, contendo uma fonte de tensão em série com um 
resistor, como apresenta a Figura 1.16. 
Exemplo 5
Determine a corrente que percorre a resistência de 8 Ω no 
circuito da Figura 1.17, utilizando o Teorema de Thévenin.
Fonte: elaborada pela autora.
Figura 1.16 | Esquema representativo do circuito equivalente de Thévenin
R
i A
V V
i V
b
b
''
,
'' , ,
''
=
⋅
+
=
=
+
=
= ⋅ =
=
10 15
10 15
6
45
10 6
2 81
2 81 6 16 86
1
3
2
Ω
55
16 86
15
112
10
16 86
10
1 681
= =
= = =
, ,
'' , ,
A
i V Ab
i i i
i i i
i
a b
a b
1 1 1
2 2 2
3
1 56 1 68 0 125
0 624 112 1 75
= − = − = −
= − − = − − = −
, , ,
, , ,
== − + = − + =i ia b3 3 0 936 2 81 1 875, , ,
U1 - Circuitos elétricos 33
Retirando a resistência de 8 Ω, obtém-se o circuito da Figura 
1.18.
Substitua os geradores de tensão por curto-circuito, como na 
Figura 1.19.
Fonte: elaborada pela autora.
Fonte: elaborada pela autora.
Figura 1.17 | Circuito elétrico
Figura 1.18 | Circuito simplificado aberto
U1 - Circuitos elétricos34
A partir da Figura 1.19, podemos encontrar RTh
R Th =
⋅
+
+ =
15 10
15 10
2 8 Ω
Como o circuito está aberto entre os pontos A e B, não circula 
corrente pela resistência de 2 Ω, logo, não há tensão sobre ela. 
Portanto, para efeitos de tensão, pode-se eliminar a resistência de 
2 Ω, Figura 1.20.
Para facilitar a solução, deixa-se de lado, temporariamente, o 
gerador de 45 V e determina-se a tensão entre os pontos C e B, 
como mostra a Figura 1.21.
Fonte: elaborada pela autora.
Fonte: elaborada pela autora.
Figura 1.19 | Circuito com geradores substituídos por curto-circuito
Figura 1.20 | Circuito com resistência em aberto eliminada
U U VCB R= =
⋅
+
=
15
25 15
15 10
15
U1 - Circuitos elétricos 35
A Figura 1.22 mostra o circuito representado apenas pelas 
tensões.
Como o gerador de 45 V, prevalece o de 15 V
E U VTh BA= = − =45 15 30
Portanto, o gerador de Thévenin entre os pontos A e B será o 
da Figura 1.23:
Fonte: elaborada pela autora.
Fonte: elaborada pela autora.
Figura 1.21 | Circuito parcial, sem o gerador de 45 V
Figura 1.22 | Simplificação do circuito
U1 - Circuitos elétricos36
Recolocando no circuito a resistência de 10 Ω (ver Figura 1.24), 
pode-se calcular a corrente que a atravessa.
i =
+
=
30
8 8
1 875, A
O valor da corrente foi de 1,875 A.
1.12 Teoremas de Norton
O Teorema de Norton é mais uma dentre as inúmeras opções 
que temos para cálculos de grandezas pertinentes a circuitos 
elétricos. Ele se assemelha ao Teorema de Thèvenin e tem a 
mesma aplicabilidade. A diferença fundamental é que o circuito 
equivalente consta de uma fonte de corrente em paralelo com 
uma resistência, como apresenta a Figura 1.25. 
Fonte: elaborada pela autora.
Fonte: elaborada pela autora.
Figura 1.23 | Gerador equivalente de Thévenin
Figura 1.24 | Gerador de Thévenin conectado à resistência
U1 - Circuitos elétricos 37
Exemplo 6
Determine a corrente que percorre a resistência de 8 Ω no 
circuito da Figura 1.26, utilizando o Teorema de Norton.
Este circuito foi resolvido pelo Teorema de Thévenin, para resolver 
pelo Teorema de Norton, teremos que determinar a corrente de ramo 
do circuito. Escolhidos dois pontos do circuito elétrico, os efeitos do 
circuito sobre esses dois pontos (em vazio, sem carga) podem ser 
representados por um gerador de corrente, com uma resistência em 
paralelo, chamado gerador equivalente de Norton(Figura 1.27).
Fonte: elaborada pela autora.
Fonte: elaborada pela autora.
Fonte: elaborada pela autora.
Figura 1.25 | Esquema representativo do circuito equivalente de Norton
Figura 1.26 | Circuito elétrico
Figura 1.27 | Gerador equivalente de Norton
U1 - Circuitos elétricos38
Da mesma forma que no gerador de Thévenin, escolhem-se 
dois pontos A e B entre os quais se pretende determinar a corrente. 
Nesse caso, é como se ambos os pontos fossem colocados em 
curto-circuito por um amperímetro, ver Figura 1.28.
A resistência do gerador de Norton é a mesma do gerador de 
Thévenin. Logo, pela dualidade entre os geradores de tensão e 
corrente, temos:
R R
E R
Th N
Th N N
=
= ⋅ i
O uso de geradores de corrente não é muito comum. Sugere-
se a utilização da dualidade entre os geradores e consequente 
solução por Thévenin e depois nova conversão por dualidade para 
o gerador de corrente de Norton.
Fonte: elaborada pela autora.
Figura 1.28 | Gerador de Norton, os pontos A e B estão em curto-circuito
Questão para reflexão
Quais são as relações entre os componentes de um circuito?
U1 - Circuitos elétricos 39
Atividades de aprendizagem
1. Qual é o número de elétrons retirado de um corpo cuja carga elétrica 
é Q C= 34µ .
2. Um fio condutor foi ligado a um gerador ideal, que mantém entre 
seus terminais uma tensão V = 14 volts. Determine o valor da resistência 
desse fio.
3. A potência elétrica de um chuveiro elétrico de uma residência é de 
5500 W.
a) Qual é a energia elétrica consumida durante um banho de 10 minutos? 
Dê a resposta em kWh.
b) Considerando-se que 1 kWh custa R$ 0,30, qual é o custo da energia 
elétrica consumida pelo chuveiro, durante um mês (30 dias), sabendo-se 
que a residência tem 3 moradores que tomam um banho diário, cada um 
de 10 minutos?
4. Um resistor de forma cilíndrica tem resistência elétrica de 20 W. 
Determine a resistência elétrica de outro resistor de forma cilíndrica, de 
mesmo material, com o dobro do comprimento e com o dobro do raio 
de seção reta.
U1 - Circuitos elétricos40
Para concluir o estudo da unidade
Fique ligado
Caro aluno, nesta unidade, vimos os principais conceitos sobre 
introdução a circuitos e métodos de análises de circuitos elétricos. 
A unidade está estruturada de forma que seus tópicos e exercícios 
propostos correlatos facilitem o planejamento do processo 
ensino-aprendizagem. O estudo dessa unidade não esgotou todo 
o conteúdo a respeito dos tópicos abordados, esse estudo deve 
servir como base para o seu aprofundamento, pois ele não termina 
com o fim da unidade. Nunca deixe de estudar, é o segredo para o 
crescimento e a evolução constante. Bons estudos!
Nessa unidade foram estudados vários elementos importantes 
sobre elétrica e eletrônica, entre eles:
- Introdução a circuitos.
- Conceitos básicos.
- Leis básicas.
- Métodos de análise.
- Teoremas de circuitos.
Todos esses itens são importantes para a formação do 
engenheiro, pois estão presentes na composição das máquinas e 
de produtos eletrônicos e serão necessários em outras disciplinas 
e durante a vida profissional.
U1 - Circuitos elétricos 41
Atividades de aprendizagem da unidade
1. Expresse os números a seguir como potência de dez:
a) 10.000
b) 100
c) 0,00001
d) 0,0001
e) 10 / 1000
f) 100 / 0,001
g) (50.000)(0,002)
h) 0,003 / 30,0000
i) 2000 / 0,0004
2. Preencha as lacunas nas seguintes conversões:
a) 4 · 103 = · 106
b) 6 · 10-4 = · 10-6
c) 50 · 105 = · 103 = · 106 = · 109
3. Em um dia chuvoso, um trovão descarrega um total de n elétrons 
durante apenas 0,0000001 segundo, com intensidade de corrente 
elétrica igual a 7 52 1026, ⋅ A. Qual a quantidade de elétrons medido no 
ponto onde o raio caiu?
4. Em uma lâmpada está escrito 500W/220V. Calcule a corrente 
consumida pela lâmpada.
5. Determine a corrente elétrica resultante quando conectamos uma 
bateria de 9 V aos terminais de um circuito cuja a resistência é de 2,2Ω.
U1 - Circuitos elétricos42
6. Observe a Figura 1.29 e verifique o valor correspondente de sua 
resistência.
7. No circuito dado a seguir, calcule suas correntes de ramo existentes, 
utilizando a Lei de Kirchhoff.
8. No circuito a seguir, indique a quantidade de nós, ramos e calcule suas 
correntes de ramos existentes, utilizando a Lei de Maxwell.
Fonte: <http://www.arduino-tutorials.com/ee101-resistors>. Acesso em: 20 abr. 2017.
Fonte: elaborada pela autora.
Fonte: elaborada pela autora.
Figura 1.29 | Resistor
Figura 1.30 | Circuito elétrico utilizando a Lei de Kirchhoff
Figura 1.31 | Circuito elétrico utilizando a Lei de Maxwell
U1 - Circuitos elétricos 43
Referências
ALEXANDER, Charles K.; SADIKU, Matthew N. O. Fundamentos de circuitos 
elétricos. Porto Alegre: Bookman, 2003.
BOYLESTAD, Robert L. Introdução à análise de circuitos. 10. ed. São Paulo: 
Pearson Prentice Hall, 2004.
DORF, Richard C.; SVOBODA, James A. Introdução aos circuitos elétricos. 8. ed. 
São Paulo: Pearson, 2012.
EDMINISTER, Joseph A. Circuitos elétricos. Reedição da edição clássica. São 
Paulo: McGraw-Hill Ltda., 1991.
. Circuitos elétricos. 2. ed. São Paulo: McGraw-Hill Ltda., 1985.
INSTITUTO NACIONAL DE METROLOGIA, QUALIDADE E TECNOLOGIA 
(INMETRO). Sistema Internacional de Unidades: SI. 1. ed. Duque de Caxias - 
RJ: INMETRO, 2012. 94 p. Traduzido de: Le Système international d’unités - The 
International System of Units 8. ed. 2006. Disponível em: <http://www.inmetro.
gov.br/inovacao/publicacoes/si_versao_final.pdf>. Acesso em: 18 mar. 2017.
JOHNSON, David E.; HILBURN, John L.; JOHNSON, Johnny R. Fundamentos de 
análise de circuitos elétricos. 4. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2000.
SVOBODA, James A., Richard C. Dorf. Introdução aos circuitos elétricos. Tradução 
Ronaldo Sérgio de Biasi. 9. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2016.
DORF, Richard C.; SVOBODA, James A. Introdução aos circuitos elétricos. 
Tradução Ronaldo Sérgio de Biasi. 9. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2016.
WALKER, Halliday R. Fundamentos de física. 6. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2002.
U1 - Circuitos elétricos44
Unidade 2
Circuitos armazenadores 
de energia
Nesta unidade, você conhecerá os elementos 
armazenadores de energia mais comumente usados 
em circuitos elétricos e eletrônicos, os capacitores e os 
indutores, e suas aplicações. Além disso, você aprenderá 
sobre a construção básica e os fatores que determinam 
a capacidade de armazenamento de cada elemento, 
como também a aplicação desses elementos em circuitos 
elétricos e eletrônicos. Ao final da unidade, você será 
introduzido aos conceitos de circuitos magnéticos e 
de transformadores.
Objetivos de aprendizagem
Nesta seção, você aprenderá sobre os conceitos de capacitores e 
indutores, características construtivas e a associação série e paralelo.
Seção 1 | Capacitores e indutores
Nesta seção, você estudará o comportamento de dois tipos de 
circuitos, primeiramente, formados por resistores e capacitores e outro 
formado por resistores e indutores, conhecidos como os circuitos RC 
e RL, respectivamente. Aprenderá sobre o comportamento no tempo 
desses circuitos, quando apesentam condições de carga inicial e também 
quando excitados por fontes de tensão independente.
Seção 2 | Circuitos de primeira ordem
Nesta seção, você tomará conhecimento da similaridade entre circuitos 
magnéticos e circuitos elétricos. Desenvolverá uma compreensão dos 
Seção 3 | Circuitos magnéticos e eletromagnetismo
Fernando Alves Negrão
parâmetros importantes do circuito magnético e aprenderá os conceitos 
do transformador elétrico.
Introdução à unidade
Nesta unidade, serão abordados os elementos armazenadores 
de energia, como o capacitor e o indutor. Serão tratadas as 
equações e as características desses elementos, assim como 
a análise do comportamento de circuitos compostos por esses 
elementos. Os circuitos estudados serão os de primeira ordem, 
RC e RL, como também os de segunda ordem, RLC. Para cada 
circuito serão estudadas duas situações, primeiro considerando 
os elementos com valores iniciais e o segundoconsiderando a 
utilização de fontes independentes. Após a análise dos elementos 
armazenadores de energia e seus circuitos, será estudado o 
circuito magnético, considerando a sua similaridade com a análise 
de circuitos elétricos.
U2 - Circuitos armazenadores de energia48
Seção 1
Capacitores e indutores
1.1 Capacitor 
Introdução à seção
Nesta seção, abordaremos as características de dois importantes 
elementos de circuitos elétricos, o capacitor e o indutor. Será 
apresentada uma breve revisão sobre os conceitos e as teorias que 
descrevem o comportamento desses elementos. Inicialmente, 
estudaremos o capacitor e veremos como associá-lo em série e 
paralelo, na sequência, faremos o mesmo com os indutores. Por 
esses elementos terem a capacidade de armazenar energia, são 
largamente utilizados em circuitos elétricos e eletrônicos, como 
veremos ao final desta seção. 
O capacitor é um componente elétrico constituído por dois 
elementos condutores, normalmente representados por placas, 
dispostas em paralelo e separadas por um material isolante (dielétrico). 
Em algumas aplicações práticas, as placas são normalmente folhas 
de alumínio e o dielétrico pode ser ar, cerâmica, papel ou mica 
(NILSON; RIEDEL, 2009); (ALEXANDER; SADIKU, 2013). A Figura 2.1 
mostra um exemplo de capacitor comum.
Fonte: Alexandre e Sadiku (2013).
Figura 2.1 | Capacitor comum 
U2 - Circuitos armazenadores de energia 49
Na Figura 2.1, pode-se ver as duas placas, o dielétrico com 
permissividade ε
1
, e a separação entre as placas, distância d. 
Existe uma grande variedade de modelos de capacitores disponíveis 
no mercado, entre eles os cerâmicos, o poliéster, os eletrolíticos, o 
tântalo etc. A Figura 2.2 mostra essa variedade de modelos. 
Figura 2.2 | Tipos de capacitores
Fonte: adaptada de: <http://marinenotes.blogspot.com.br/2012/09/identify-various-capacitors-and.html>. 
Acesso em: 14 fev. 2017.
U2 - Circuitos armazenadores de energia50
A Figura 2.2 mostra apenas uma parte da variedade de capacitores 
existentes no mercado. Utilizando-se de uma ferramenta de 
busca na internet, pode-se encontrar uma infinidade de outros 
modelos e aplicações dos capacitores, não só como elementos 
armazenadores de energia, mas também utilizados para supressão 
de ruídos, correção de fator de potência, redução da interferência 
eletromagnética, filtros de fontes CC, filtros para sistema de áudio, 
partida de motores, osciladores, controles de sistemas eletrônicos, 
temporizadores, entre outras aplicações. 
1.1.1 Capacitância
Quando se aplica uma fonte de tensão entre as placas do 
capacitor, forma-se um campo elétrico entre as placas, acumulando 
carga positiva sobre uma placa e carga negativa sobre a outra, 
conforme mostra a Figura 2.3. 
Para saber mais
Devido à grande variedade de capacitores disponíveis no mercado, os 
fabricantes disponibilizam tabelas de seleção de componentes para 
ajudar os projetistas a encontrarem o modelo adequado à aplicação. 
Para conhecer sobre capacitores comerciais, acesse os sites:
Disponível em:
• <https://www.mundodaeletrica.com.br/tipos-de-capacitores/>. 
Acesso em: 12 abr. 2017.
• <http://www.sabereletrica.com.br/entenda-o-funcionamento-
dos-capacitores/>. Acesso em: 12 abr. 2017.
Para um material mais completo, acesse o guia do fabricante 
TDK®, em inglês, para ajudar na escolha de capacitores cerâmicos 
multicamadas (MLCC – Multilayer Ceramic Chip Capacitor). 
Disponível em: <https://product.tdk.com/info/en/products/capacitor/
ceramic/mlcc/productguide/index.html>. Acesso em: 12 abr. 2017.
Além de capacitores MLCC, a TDK® também fornece outros modelos 
de capacitores, como pode ser conferido no link: <https://product.tdk.
com/info/en/products/capacitor/index.html>. Acesso em: 12 abr. 2017.
U2 - Circuitos armazenadores de energia 51
A Figura 2.3 mostra uma tensão v aplicada ao capacitor e as cargas 
q+ e q- acumuladas nas respectivas placas. Dessa forma, o capacitor 
armazena energia em forma de carga elétrica, e a quantidade de 
carga armazenada é representada pela equação (2.1)
Em que q é a carga armazenada no capacitor em coulombs 
(C), v é tensão aplicada aos terminais do capacitor em volts (V) e 
é uma constante de proporcionalidade, chamada de capacitância, 
em farad (F). Essa unidade é uma homenagem ao químico e físico 
inglês Michel Faraday (1791 - 1867) (ALEXANDER; SADIKU, 2013).
q = C · v
Para saber mais
O cientista experimental Michel Faraday nunca recebeu uma 
educação formal e, ainda assim, fez importantes descobertas e 
contribuições para a ciência nas áreas de física, química e engenharia. 
Entre suas contribuições estão a interação entre campos elétricos e 
magnéticos, as correntes autoinduzidas e introduziu os conceitos de 
linhas de campo de força magnética (BOYLESTAD, 2012). Acesse o 
texto sobre Michael Faraday. Disponível em: <www.famousscientists.
org/michael-faraday/>. Acesso em: 15 fev. 2017.
Figura 2.3 | Capacitor com tensão aplicada
Fonte: Alexander e Sadiku (2013).
U2 - Circuitos armazenadores de energia52
A capacitância C de um capacitor é devido às suas características 
físicas, ou seja, é proporcional ao tamanho das placas (área), à 
distância de separação entre elas e ao tipo de dielétrico utilizado 
entre as placas. A equação de cálculo de capacitância do capacitor 
é dada pela equação (2.2).
Em que C é a capacitância em farad (F), A é a área em m2, d é 
a distância em metros e ε é a permissividade dielétrica do material 
entre as placas.
Um fator importante para a determinação do valor da 
capacitância é o material utilizado como dielétrico (ε). No entanto, 
todos os materiais utilizados como dielétricos para a construção 
de capacitores devem ser materiais isolantes e ter a capacidade de 
estabelecer um campo elétrico em seu interior (BOYLESTAD, 2012). 
A Tabela 2.1 apresenta uma lista de materiais comuns, utilizados 
como isolantes elétricos. O termo permissividade é aplicado como 
medida de quão facilmente se forma o campo elétrico no interior 
Questão para reflexão
No mercado, encontram-se capacitores de diversos modelos 
e matérias de fabricação. Os valores desses capacitores variam 
de unidades de pF (pico farad) a milhares de µF (micro farad). 
Segundo a equação 2.2, quanto maior a área do capacitor e menor 
a distância entre as placas, maior será o valor da capacitância. 
Assim, em capacitores comerciais, os componentes de maiores 
capacitâncias são geralmente para aplicações de tensões mais 
baixas, assim como os componentes de tensões mais altas são de 
valores de capacitância mais baixa. Por exemplo, os capacitores 
de poliéster, que podem ser utilizados em tensões de 220 V, estão 
na faixa de nF, enquanto capacitores eletrolíticos para utilização 
em 50 V podem chegar a 4700µF. Quando é necessário que 
capacitores para aplicações em altas tensões tenham valores de 
capacitância elevados, estes se tornam de volume elevado. Reflita 
as causas dessa relação entre a tensão x capacitância x volume nos 
capacitores comerciais. 
C A
d
= ε
U2 - Circuitos armazenadores de energia 53
do material (BOYLESTAD, 2012). Assim, a permissividade relativa é 
a comparação da permissividade do material com a permissividade 
do vácuo (ε0), e é dada pela equação (2.3).
Na equação (2.3), ε0 é a permissividade do vácuo e vale 
8,85x10-12 F/m, ε
r
 é a permissividade relativa do material e ε é a 
permissividade do material. 
Substituindo a equação 2.3, na equação 2.2, obtém-se a 
equação do cálculo de capacitância (equação 2.4), utilizando a 
permissividade relativa da Tabela 2.1.
Tabela 2.1 | Permissividade relativa de várias substâncias
Fonte: Boylestad (2012).
ε
ε
εr
=
0
C A
dr
= ε ε0
U2 - Circuitos armazenadores de energia54
Capacitores, assim como resistores, podem ser associados em 
série ou em paralelo, e obter valores de capacitâncias diferentes. A 
Figura 2.5 mostra a associação em série de capacitores.
Quando há capacitores conectados em série, a carga q é 
a mesma em todos os capacitores, ou seja,q=q
1
=q
2
=q
3
=q
n
. 
Aplicando a Lei de Kirchhoff das tensões ao longo da malha 
mostrada na Figura 2.5, obtém-se a equação (2.5).
Considerando v=q/C, e substituindo em (2.5), tem-se: 
Para a utilização do capacitor em circuitos elétricos, deve-se 
utilizar o símbolo mostrado na Figura 2.4.
Figura 2.4 | Símbolo do capacitor
Figura 2.5 | Associação de capacitores em série
Fonte: elaborada pelo autor.
Fonte: elaborada pelo autor.
v v v v vn= + + +1 2 3
q
C
q
C
q
C
q
C
q
Ct
n
n
= + + +1
1
2
2
3
3
U2 - Circuitos armazenadores de energia 55
Dividindo os dois lados da equação (2.6) pela carga q, obtém-se 
a equação (2.7). 
A equação (2.7) fornece o cálculo da capacitância equivalente 
para associação em série de capacitores, ou seja, o inverso do valor 
de capacitância equivalente será a soma dos inversos dos valores de 
capacitância dos capacitores associados em série (BOYLESTAD, 2012).
A Figura 2.6 mostra um circuito com associação de capacitores 
em paralelo.
Quando se tem capacitores associados em paralelo, a carga 
total é a soma das cargas individuais dos capacitores do circuito, 
q=q
1
+q
2
+q
3
+q
n
. Se Q=C.V, pode-se, então, escrever a equação (2.8).
Sabendo que no circuito da Figura 2.6 as tensões em todos os 
capacitores têm o mesmo valor, que é igual ao valor da tensão da 
fonte (v), divide-se os dois lados da equação (2.8) por v e obtém-se 
a equação (2.9):
A equação (2.9) fornece o cálculo da capacitância total 
para associação de capacitores em paralelo, ou seja, o valor da 
capacitância total é o valor da soma dos capacitores individuais. 
Assim, quando for necessário aumentar o valor da capacitância 
do circuito, deve-se associar capacitores em paralelo, conforme a 
equação (2.9). Já quando é necessário trabalhar valores de tensão 
no circuito superiores ao valor de tensão nominal do capacitor, 
Figura 2.6 | Associação em paralelo de capacitores
Fonte: elaborada pelo autor.
1 1 1 1 1
1 2 3C C C C Ct n
= + + +
C v C v C v C v C vt n n= + + +1 1 2 2 3 3
C C C C Ct n= + + +1 2 3
U2 - Circuitos armazenadores de energia56
deve-se associar capacitores em série, lembrando que o valor 
da capacitância total será sempre menor que a capacitância do 
capacitor de menor valor associado, conforme a equação (2.7).
1.2 Indutores 
O indutor é um dos três componentes básicos (os outros dois 
são os resistores e os capacitores) mais encontrados em circuitos 
eletroeletrônicos (BOYLESTAD, 2012) e é projetado para armazenar 
energia em seu campo magnético (ALEXANDER; SADIKU, 2013). 
Um indutor é formado por uma bobina cilíndrica, com várias 
espiras de fio condutor e um núcleo, que pode ser magnético ou 
não. Resumidamente, qualquer bobina de fio pode se comportar 
como um indutor. A Figura 2.7 mostra um indutor típico. 
A Figura 2.7 mostra a construção de um indutor típico, que 
está montado sobre um núcleo cilíndrico de área transversal A, 
comprimento l e um número de espiras N.
Indutores podem ser construídos utilizando-se uma grande 
variedade de núcleos. Além do núcleo cilíndrico mostrado na 
Figura 2.7, pode-se usar também núcleos toroidais, núcleos EE, 
núcleos EI, de materiais como ferrites, chapas de aço-silício de 
grãos orientados (GO) ou não (GNO), ou mesmo o ar. A Figura 2.8 
mostra uma variedade de núcleos e peças de ferrites, enquanto 
a Figura 2.9, mostra chapas de aço-silício GO para utilização em 
núcleos de indutores e transformadores.
Figura 2.7 | Indutor
Fonte: Alexander e Sadiku (2013).
U2 - Circuitos armazenadores de energia 57
Figura 2.8 | Núcleos e peças de ferrites
Figura 2.9 | Núcleos de chapas de aço-silício (GO)
Fonte: <http://www.thornton.com.br/produtos.htm>. Acesso em: 16 fev. 2017.
Fonte: <https://goo.gl/91dTdQ>. Acesso em: 16 fev. 2017.
U2 - Circuitos armazenadores de energia58
Núcleos de ferrites são utilizados em aplicações em que é 
necessário a utilização em altas frequências, por exemplo, fontes 
chaveadas como as de computadores e adaptadores CA/CC 
usados em notebooks. Já as chapas de aço-silício são utilizadas em 
aplicações de baixa frequência, como a frequência da rede elétrica 
(60Hz), exemplos de utilização dessas chapas em indutores são os 
reatores utilizados em iluminação pública. 
Os indutores, por serem de construção relativamente fácil, 
comparados com a construção do capacitor, podem ser adquiridos 
prontos de algum fabricante, ou montados, adquirindo os núcleos, 
como os mostrados nas Figuras 2.8 e 2.9. A Figura 2.10 mostra 
uma variedade de indutores comerciais utilizados em circuitos 
eletrônicos de baixa tensão. 
Figura 2.10 | Exemplo de indutores comerciais
Fonte: <http://www.hicoelectronics.in/electronicscomponents.php>. Acesso em: 16 fev. 2017.
Indutores comerciais, assim com os capacitores, podem ser 
encontrados para diversas aplicações, em diferentes formatos, 
valores e capacidade de correntes. O fabricante de origem japonesa 
Murata® <www.murata.com> é um exemplo de fabricante que 
fornece indutores encapsulados para circuitos de montagem de 
Para saber mais
U2 - Circuitos armazenadores de energia 59
1.2.1 Indutância
Quando uma corrente flui através dos terminais do indutor, 
gera-se um campo magnético no interior da bobina, proporcional 
ao valor da indutância. A indutância de um indutor depende de suas 
dimensões físicas e do material da bobina (ALEXANDER; SADIKU, 
2013). Para o indutor da Figura 2.7, o cálculo da indutância é dado 
pela equação (2.10).
Em que L é a indutância em henries (H), N é o número de espiras, 
A é a área da seção transversal (m2) do núcleo e l é o comprimento 
do núcleo em m e µ é a permeabilidade do material do núcleo em 
Wb/A.m. 
Assim como na permissividade (ε) utilizada para o cálculo do 
capacitor, a permeabilidade (µ) pode ser expressa em relação à 
permeabilidade absoluta. O valor da permeabilidade no vácuo é de 
4π x 10-7 Wb/A.m (BOYLESTAD, 2012) e a permeabilidade relativa 
µr é dada pela equação (2.11).
Para saber mais
superfície (SMD). Mais informações sobre os indutores fornecidos por 
esse fabricante podem ser encontradas no seguinte link. Disponível 
em:<http://www.murata-ps.com/en/products/magnetics/inductors.
html>. Acesso em: 12 abr. 2017.
Outro fabricante importante, que vale a pena conhecer, é a 
Ferroxcube, com sede em Taiwan. Disponível em: <http://www.
ferroxcube.com/>. Acesso em: 12 abr. 2017.
No Brasil, encontram-se fabricantes como a Toroide do Brasil® 
<http://toroid.com.br/site/produtos/id/1/categoria/26>, a Magmattec 
<http://magmattec.com/>, Multitrafos <http://www.multitrafos.com.
br/indutores.html>, MGS Eletrônica Ltda. <http://www.mgsel.com.
br/>, entre outras. Acessos em: 12 abr. 2017.
L N A= µ
2
l
µ
µ
µr
=
0
U2 - Circuitos armazenadores de energia60
Substituindo µ da equação (2.11) na equação (2.10), obtém-se 
a equação de cálculo de indutância em função da permeabilidade 
relativa µ
r
. 
A Tabela 2.2 traz alguns valores de permeabilidade relativa (µr) 
para alguns materiais conhecidos e a Tabela 2.3 traz alguns valores 
comerciais para núcleos de ferrites da fabricante nacional Thornton. 
Material Composição (%p)
Permeabilidade 
Relativa inicial (µ
r
)
Lingote de ferro comercial 99,95 Fe 150
Ferro-silício (orientado) 97 Fe, 3 Si 1.400
Permalói 45 55 Fe, 45 Ni 2.500
Supermalói 79 Ni, 15 Fe, 5 Mo, 0,5 Mn 75.000
Ferroxcube A 48 MnFe2O4, 52 ZnFe2O4 1.400
Ferroxcube B 36 NiFe2O4, 64 ZnFe2O4 650
Tabela 2.2 | Permeabilidade de vários materiais magnéticos
Tabela 2.3 | Permeabilidade de núcleos de ferrite do fabricante Thornton®
Fonte: Callister e Rethwisch (2016).
Fonte: Thornton Eletrônica Ltda. (2015).
L N Ar= µ µ0
2
l
U2 - Circuitos armazenadores de energia 61
O símbolo elétrico mostrado na Figura 2.11 é a representação 
do indutor para utilização em circuitos elétricos.
Assim como nos resistores e capacitores, os indutores podem 
ser associados em série ou paralelo, e obter valores diferentes dos 
disponíveis. A Figura 2.12 mostra a associação de indutores em série.Assim como para os resistores, para os indutores em série da 
Figura 2.12, a indutância total é a soma das indutâncias individuais, 
conforme mostra a equação (2.13). 
Já a Figura 2.13 mostra uma associação de indutores em paralelos. 
Figura 2.11 | Símbolo de indutor
Fonte: elaborada pelo autor.
Figura 2.12 | Associação de indutores em série
Figura 2.13 | Associação de indutores em paralelo
Fonte: Alexander e Sadiku (2013).
Fonte: Alexandere e Sadiku (2013).
L L L L Lt N= + + +1 2 3
U2 - Circuitos armazenadores de energia62
No caso da Figura 2.13, associação de indutores em paralelo, 
a forma de se encontrar a indutância total é a mesma utilizada 
para associação de resistores em paralelo, ou seja, o inverso da 
indutância equivalente é a soma dos inversos das indutâncias 
conectadas em paralelo, conforme mostrado na equação (2.14). 
Segundo as equações (2.13) e (2.14), quando se deseja um valor 
maior da indutância, deve-se associar indutores em série, já quando 
a necessidade for a redução do valor da indutância total, deve-se 
conectar os indutores disponíveis em paralelo. Vale lembrar que 
no caso de associação em paralelo de indutores, assim como na 
associação de resistores, o valor equivalente será sempre menor 
que o valor da menor indutância conectada em paralelo.
Questão para reflexão
Você já reparou que a maioria dos circuitos eletrônicos utiliza 
indutores de núcleos de ferrites? Reflita sobre por que esses 
indutores são feitos com núcleos de ferrites, que possuem um 
custo relativamente alto, e não com núcleos de ar ou ferro, que os 
deixariam muito mais baratos, se comparados com os indutores de 
núcleo de ferrite.
Atividades de aprendizagem
1. (ALEXANDER; SADIKU, 2013) Qual a carga em um capacitor de 5 F 
quando ele é conectado a uma fonte de 120 V?
a) 600 C.
b) 300 C.
c) 24 C.
d) 12 C.
1 1 1 1 1
1 2 3L L L L Lt N
= + + +
U2 - Circuitos armazenadores de energia 63
2. (BOYLESTAD, 2012) Determine a capacitância de um capacitor 
de placas paralelas se 1.200µC de carga se acumulam em suas placas 
quando a tensão aplicada é de 24 V. 
3. (BOYLESTAD, 2012) A capacitância de um capacitor cujo dielétrico é 
o ar, é 1360pF. Quando inserimos um novo dielétrico entre as placas, a 
capacitância aumenta para 6,8nF. De que material é feito o dielétrico? 
4. (ALEXANDER; SADIKU, 2013) Capacitores de 20 pF e 60 pF conectados 
em série são associados em paralelo com capacitores de 30pF e 70pF 
conectados em série. Determine a capacitância equivalente.
5. (ALEXANDER; SADIKU, 2013) A capacitância equivalente nos terminais 
a-b no circuito da Figura 2.14 é 30µF. Calcule o valor de C.
Figura 2.14 | Exercício 5
Fonte: Alexander e Sadiku (2013).
U2 - Circuitos armazenadores de energia64
6. (BOYLESTAD, 2012) Para um indutor cilíndrico, igual ao da Figura 2.7, 
com 200 espiras, 2,5cm de comprimento, diâmetro do núcleo de ar de 
0,5 cm, calcule a indutância L. 
7. Se for utilizado um núcleo cilíndrico de material IP6 da Thornton, qual 
será o valor da nova indutância? 
8. (ALEXANDER; SADIKU, 2013) Determina a indutância total do circuito 
da Figura 2.15. Considere que todos os indutores são de 10mH. 
9. (ALEXANDER; SADIKU, 2013) Um circuito armazenador de energia 
é formado por indutores conectados em série de 16 mH e 14 mH 
associados em paralelo com indutores conectados em série de 24 mH e 
36 mH. Calcule a indutância equivalente.
Figura 2.15 | Exercício 8
Fonte: Alexander e Sadiku (2013).
U2 - Circuitos armazenadores de energia 65
Seção 2
Circuitos de primeira ordem
2.1 Circuito RC de primeira ordem sem fonte
Introdução à seção
Nesta seção, abordaremos as características de resposta de 
circuitos de primeira ordem, que são os circuitos nos quais suas 
respostas são representadas por uma equação diferencial de 
primeira ordem. Serão vistos dois tipos de circuitos simples, um 
formado por um resistor e um capacitor (RC) e o outro por um 
resistor e um indutor (RL). Esses circuitos podem ser utilizados com 
fontes independentes ou sem fontes, nesse último caso, utilizando 
apenas a energia armazenada nos elementos armazenadores de 
energia (capacitor e indutor).
Circuitos RC de primeira ordem sem fonte são os que têm 
a energia armazenada no capacitor no início da análise. Essa 
condição pode ser obtida quando, após carregado o circuito 
utilizando-se de uma fonte, essa fonte é retirada e a energia no 
capacitor começa a se dissipar no resistor, gerando uma resposta 
transitória (ALEXANDER; SADIKU, 2013).
A relação de corrente e tensão em um capacitor, é dada pela 
equação (2.15).
A equação (2.15) mostra que a corrente no capacitor só existe 
quando se tem variação da tensão sobre o capacitor. Em caso de 
não ocorrer variação da tensão, após o período transitório, a corrente 
tende a ser zero, com isso o capacitor passa a ser um circuito aberto. 
Integrando dois lados da equação (2.15), pode-se obter a relação de 
tensão-corrente no capacitor, expressa pela equação (2.16).
i t C dv
dt
( ) =
v t
C
i d v t
t
t
( ) ( ) ( )= +∫
1
0
0τ τ
U2 - Circuitos armazenadores de energia66
A equação (2.16) mostra que o valor da tensão no capacitor 
depende do histórico da corrente. Considere o circuito RC da 
Figura 2.16.
O capacitor da Figura 2.16 está carregado e no instante t = 0 
possui tensão igual a V0, ou seja, v(0) = V
0
. Então, é conectada a 
resistência R ao capacitor e a corrente i(t) começa a existir para 
t>0. Considerando que a corrente no capacitor é igual à corrente 
do resistor, aplicando a Lei de Kirchhoff das correntes no circuito, 
pode-se escrever a equação (2.17).
Em que i
c
 é a corrente no capacitor e i
R
 é a corrente no resistor 
(i
R
=V/R). Sabendo que a corrente no capacitor é dada em (2.15), 
pode-se reescrever a equação (2.17) na equação (2.18):
Dividindo-se os dois lados da equação por C, obtém-se (2.19):
A equação (2.19) é uma equação diferencial de primeira ordem, 
uma vez que somente a primeira derivada de v está envolvida.
Resolvendo a equação (2.19), pode-se encontrar a resposta 
natural do circuito, já que a equação (2.20) representa a resposta do 
Figura 2.16 | Circuito RC sem fonte
Fonte: elaborada pelo autor.
i iC R+ = 0
C dv
dt
v
R
+ = 0
dv
dt
v
RC
+ = 0
U2 - Circuitos armazenadores de energia 67
circuito, devida unicamente às suas características sem influência 
de fontes de tensão ou corrente externa (JOHNSON; HILBURN; 
JOHNSON, 1994). 
Em que V
0
 é a condição de tensão inicial do capacitor, e 
a resposta para t>0 será uma queda exponencial desse valor. A 
Figura 2.17 mostra a resposta de tensão do circuito RC sem fonte. 
Na Figura 2.17, pode-se ver que em t=0, a tensão no circuito 
é igual a V
0
 e para t>0, a tensão sobre o circuito começa a decair 
exponencialmente até ser muito próximo de zero. 
A constante τ = RC é chamada constante de tempo do circuito, é 
medida em unidade de tempo e equivale ao tempo em que a tensão 
decaiu 36,8% do valor de V
0
 (BOYLESTAD, 2012), ou seja, para cada 
tempo igual a τ, a tensão reduz em 36,8%. Na prática, a partir de 
cinco vezes o valor de τ, a tensão no circuito pode ser considerada 
nula, ou seja, esse é o tempo considerado como fase transitória do 
circuito, tanto para a carga como para a descarga do capacitor.
Exemplo 1: (ALEXANDER; SADIKU, 2013) Considere o circuito 
da Figura 2.18, se v
c
(0)=15V, determine vc, v
x
 e i
x
 para t>0;
Figura 2.17 | Resposta do circuito RC
Fonte: Alexander e Sadiku (2013).
v t V e
t
RC( ) = −0
U2 - Circuitos armazenadores de energia68
Inicialmente, é necessário encontrar o circuito equivalente, para 
que fique conforme o circuito da Figura 2.16, ou seja, com apenas 
uma resistência e uma capacitância. Nele, tem-se os resistores de 
8Ω e de 12Ω em série, que são equivalentes a 20Ω. O resistor de 
5Ω está em paralelo com o capacitor e com o resistor equivalente 
de 20Ω, então, calcula-se o equivalente como segue:
Do circuito da Figura 2.19, pode-se encontrar a constante de 
tempo τ:
Então, se a tensãoinicial do capacitor for 15 V, tem-se: 
Redefinindo o circuito da Figura 2.18, tem-se: 
Figura 2.18 | Circuito RC do exemplo 1
Figura 2.19 | Circuito RC equivalente
Fonte: elaborada pelo autor.
Fonte: elaborada pelo autor.
R xt = +
=
20 5
20 5
4Ω
τ = = =R C x seq 4 0 1 0 4, ,
v t e e Vc
t
t( ) , ,= =
− −15 150 4 2 5
U2 - Circuitos armazenadores de energia 69
Para encontrar v
x
 que é a tensão sobre o resistor de 12Ω, deve-
se fazer uso do cálculo do divisor resistivo, portanto:
Por último, o cálculo de i
x
:
2.2 Circuito RL de primeira ordem sem fonte
Assim como no circuito RC de primeira ordem sem fonte, o 
circuito RL de primeira ordem sem filtro armazena no indutor a 
energia inicial do circuito. A energia no indutor é armazenada em 
forma de campo magnético e é proporcional à corrente que passa 
pelo indutor. A Figura 2.20 mostra um circuito RL sem fonte.
Para a análise do circuito com indutor, adota-se como variável 
a corrente no indutor. A relação entre a tensão e a corrente no 
indutor é dada pela equação (2.25).
Figura 2.20 | Circuito RL sem fonte
Fonte: elaborada pelo autor.
A equação mostra que para existir tensão sobre o indutor, 
deve-se variar a corrente que passa sobre ele. Caso a correte seja 
contínua e sem variação sobre o indutor, não haverá tensão, e o 
indutor se comportará como um curto-circuito. Integrando ambos 
v v e V e Vx c
t t=
+
= =− −
12
12 8
0 6 15 92 5 2 5, ( ), ,
i v
R
e e Ax x
t
t= = =
−
−
12
2 5
2 59
12
0 75
Ω
,
,,
v t L di
dt
( ) =
U2 - Circuitos armazenadores de energia70
os lados da equação (2.25), obtém-se a relação de corrente-tensão 
no indutor, mostrada na equação (2.26). 
A equação (2.26) mostra que a corrente no indutor depende 
do histórico da tensão. Aplicando a Lei de Kirchhoff da tensão no 
circuito da Figura 2.20, encontra-se: 
Em que v
L
 é a corrente no capacitor e v
R
 é a corrente no resistor 
(v
r
=R.i). Como a tensão no indutor é dada em (2.25), pode-se 
reescrever a equação (2.27) na equação (2.28):
Assim como ocorreu com o circuito RC, a equação (2.29) 
também é uma equação diferencial de primeira ordem, uma vez 
que somente a primeira derivada de i está envolvida.
Resolvendo a equação (2.29), encontra-se a resposta natural do 
circuito, dado em (2.30):
A resposta natural do circuito RL é uma queda exponencial da 
corrente inicial do indutor, conforme pode-se ver na Figura 2.21
Simplificando, tem-se (2.29):
i t
L
v d i t
t
t
( ) ( ) ( )= +∫
1
0
0τ τ
v vL R+ = 0
L di
dt
R i+ =. 0
di
dt
R
L
i+ = 0
i t i e
tR
L( ) = −0
U2 - Circuitos armazenadores de energia 71
Para o circuito RL de primeira ordem, a constante de tempo é 
dada por:
Em que a constante do circuito τ é dada em segundos. 
Exemplo 2: (JOHNSON; HILBURN; JOHNSON, 1994) Determinar 
i e v no circuito da Figura 2.22, assumir que antes da chave se abrir, o 
circuito está em regime permanente.
Inicialmente, deve-se determinar a corrente inicial, i(t=0) 
do indutor, para t<0. Como em regime permanente, o indutor 
comporta-se como um curto-circuito, a corrente antes da abertura 
da chave do circuito é limitada apenas pelo resistor de 50Ω. 
Figura 2.21 | Resposta do circuito RL
Figura 2.22 | Circuito do exemplo 2
Fonte: Alexander e Sadiku (2013).
Fonte: Johnson, Hilburn e Johnson (1994).
τ =
L
R
U2 - Circuitos armazenadores de energia72
Então, em t=0 a corrente do indutor será 2A. Para o cálculo da 
corrente e da tensão, é necessário encontrar o circuito equivalente 
com apenas um resistor e um indutor. Analisando o circuito da 
Figura 2.22, encontra-se que o resistor de 50Ω está em série com 
o indutor e os outros dois (150Ω e 75Ω) estão em paralelo. Assim, 
o cálculo da resistência equivalente é:
Com a resistência determinada em 2.33, pode-se calcular a 
constante de tempo do circuito: 
Assim, através da equação 2.35 encontra-se a corrente em 
função do tempo.
A tensão v é a soma da tensão sobre o indutor e o resistor de 
50Ω, mas também é a tensão sobre o equivalente paralelo entre 
os resistores de 150Ω e 75Ω. Conforme mostra a Figura 2.22, a 
corrente que sai do indutor entra no resistor de 50Ω pelo terminal 
marcado como negativo (-), assim, deve-se considerar o sinal de 
negativo para o cálculo da tensão, conforme (2.36).
2.5 Resposta ao degrau de circuito RC e RL de primeira ordem
Quando se liga uma chave de alimentação, conecta-se uma 
fonte a um circuito, ou até mesmo quando um circuito comuta uma 
linha, energizando-a, esses circuitos estão recebendo um degrau de 
tensão ou corrente. Pode-se dizer também que é quando se aplica 
repentinamente uma tensão CC em um circuito RC ou RL. A resposta 
a um degrau é a do circuito decorrente de uma aplicação súbita de 
uma fonte de tensão ou de corrente (ALEXANDER; SADIKU, 2013).
i V A( )0 100
50
2= =
Ω
Req = + +
=50 75 150
75 150
100( )( ) Ω
τ = = =
L
R
s10
100
0 1,
i t i e e A
tR
L t( ) = =− −0
102
v t i t R e e Vt t( ) ( ) ( ) ( )( )/ /= − = − +
= −− −150 75
10 102 75 150
75 150
100
U2 - Circuitos armazenadores de energia 73
Para estudo do comportamento de uma chave fechando sobre 
um circuito RC (resposta ao degrau de tensão), considere os 
circuitos da Figura 2.23 (a) e (b).
Para análise do circuito, adota-se a tensão sobre o capacitor. 
Antes do fechamento (t<0), ou seja, antes da aplicação do degrau 
de tensão, a tensão no capacitor será considerada como V
0
, Figura 
2.23(a). Pode se representar o circuito pela Figura 2.23(b) na qual 
a função u(t) representa o degrau unitário. A partir dessa nova 
condição, pode-se encontra a tensão sobre o capacitor aplicando 
a Lei de Kirchhoff da corrente, para t>0:
Em que v é a tensão no capacitor, Vs é a tensão da fonte, R é a 
resistência e C é a capacitância. Manipulando a equação, tem-se: 
Resolvendo a equação (2.37), obtém-se a resposta ao degrau 
de um circuito RC. 
Ou pode-se reescrever a resposta completa ao degrau de um 
circuito RC: 
Figura 2.23 | Circuito RC com degrau de tensão
Fonte: Alexander e Sadiku (2013).
C dv
dt
v Vs
R
+
−
= 0
dv
dt
v Vs
RC
= −
−
v t V V V e ts s
t
( ) ( ) ,= + − >−0 0τ
v t
V t
V V V e ts s
t( )
,
( ) ,
=
<
+ − >




−
0
0
0
0τ
U2 - Circuitos armazenadores de energia74
A Figura 2.24 mostra a resposta ao degrau, considerando a 
tensão inicial no capacitor igual a V
0
.
Exemplo 3: Calcule a tensão no capacitor para a resposta ao 
degrau causado pelo fechamento da chave em t=0. Considere que 
a chave está na posição A tempo suficiente para atingir a estabilidade. 
Encontre o valor da tensão no capacitor para t=1s e t=4s.
Figura 2.24 | Resposta ao degrau de um Circuito RC
Figura 2.25 | Circuito do exemplo 3
Fonte: Alexander e Sadiku (2013).
Fonte: Alexander e Sadiku (2013).
U2 - Circuitos armazenadores de energia 75
Agora, é só substituir os valores encontrados na equação (2.40).
Primeiro, deve-se encontrar a tensão V
0
 no capacitor. Como a 
chave está na posição já há bastante tempo, pode-se considerar 
que nessa condição o capacitor está totalmente carregado e 
comporta-se como circuito aberto, assim, a tensão V
0
 é resultado 
do divisor resistivo, produzido pelos resistores de 3kΩ e 5kΩ.
Dessa forma, a condição inicial de tensão é 15 V. Ao fechar a 
chave, apenas o resistor de 4kΩ está presente entre a fonte e o 
capacitor, afinal todos os outros resistores foram desconectados 
do capacitor. Assim, pode-se calcular a constante de tempo do 
circuito para t>0:
Para encontrar o valor da tensão no capacitor para os instantes 
t=1s e t=4s, basta substituir na equação encontrada, mostrada em 
(2.43). Assim, tem-se as respostas do exemplo: 
v k
k k
V( )0 24 5
5 3
15=
+
=
τ = = =RC k m s( )( , )4 0 5 2
v t
V t
e tt
( )
,
( ),,
=
<
− >




−
15 0
30 15 00 5
v e V
v e V
( ) ( ) ,
( ) ( ) ,
, ( )
, ( )
1 30 15 20 9
4 30 15 27 97
0 5 1
0 5 4
= − =
= − =
−
−
A Figura 2.26 mostra um circuito RL com uma chave que se 
fecha no instante t=0, provocando o degrau de corrente no indutor.
U2 -Circuitos armazenadores de energia76
Figura 2.26 | Circuito RL com degrau de corrente
Fonte: Alexander e Sadiku (2013).
Conforme examina-se a equação (2.40) e a resposta do exemplo 
3, equação (2.43), pode-se reescrever essas equações em funções 
dos estados iniciais e finais da resposta do circuito, ou seja, pode-
se reescrever a resposta em função de um estado transitório e um 
estado final em regime permanente (BOYLESTAD, 2012). 
Assim, pode-se reescrever a equação (2.40) da seguinte forma, 
para t>0:
(a) (b)
Em que V
f
 é a tensão após a estabilização do circuito e V
i
 é o 
valor inicial da tensão. 
Para o cálculo da corrente no indutor, é necessário determinar 
os valores iniciais e finais de sua corrente. Como a corrente não 
pode mudar instantaneamente, o valor inicial da corrente depende 
dos parâmetros do circuito antes do fechamento da chave (t<0). 
Após a fase transitória (5τ), o indutor passa a comportar-se como 
um curto-circuito e a corrente é determinada através desse 
elemento (BOYLESTAD, 2012). Dessa forma, pode-se determinar a 
corrente para o circuito RL: 
v t V V V e tf i f
t
( ) ( ) ,= + − >− τ 0
i t I I I e tf i f
t
( ) ( ) ,= + − >− τ 0
U2 - Circuitos armazenadores de energia 77
Na equação, I
f
 é a corrente após o estado transitório e I
i
 é o valor 
inicial da corrente. A corrente do indutor em regime estacionário, 
é dada por:
Considerando o circuito já com uma condição inicial de 
corrente, I
0
, pode-se reescrever a equação da resposta do indutor 
ao degrau como: 
A Figura 2.27 mostra a resposta ao degrau do circuito RL, com I
0
=0.
Exemplo 4: (ALEXANDER; SADIKU, 2013) Determine a corrente 
i(t) para t>0; para o circuito da Figura 2.28.
Figura 2.27 | Resposta ao degrau do circuito RL
Fonte: Alexander e Sadiku (2013).
I
V
Rf
s=
i t
V
R
I
V
R
e ts s
t
( ) ,= + −




 >
−
0 0τ
U2 - Circuitos armazenadores de energia78
Para resolver esse exercício, faz-se necessário que se encontre o 
valor de corrente inicial do indutor. Como no instante t<0, a chave 
está fechada e considerando que o indutor se encontra totalmente 
carregado e comporta-se como um curto-circuito, a corrente será:
Já para o instante quando a chave é aberta, os resistores de 3Ω 
e 2Ω passam a ficar em série, assim, para se calcular o valor final 
da corrente, faz-se: 
Assim, a corrente do indutor passa de 5A, condição inicial (I0), 
para condição final (If) de 2A. Substituindo os valores de corrente e 
da constante de tempo na equação (2.48), encontra-se a resposta 
ao degrau do circuito RL da Figura 2.28. 
Para cálculo da constante de tempo do circuito, usa-se a 
resistência equivalente de 5Ω e a indutância. 
Figura 2.28 | Circuito do exemplo 4
Fonte: Alexander e Sadiku (2013).
I
V
R
As0
2
10
2
5= = =
Ω
I
V
R
Af
s
t
= =
+
=
10
2 3
2
τ = = =
L
R
s
1
3
5
1
15
i t e A tt( ) ( ) ,= + >−2 3 015
U2 - Circuitos armazenadores de energia 79
Questão para reflexão
Modelos de linhas de transmissão de dados, como trilhas de placas 
de circuito impresso, placas de computadores, transferências de 
dados, cabos de sinais, conexão entre impressoras e computadores, 
cabos USB, RS232, entre outros, são modelados como circuitos 
compostos de resistências, capacitores e indutores. Reflita sobre a 
importância do conhecimento da resposta ao degrau de circuitos 
RC e RL em linhas de transmissão de dados. 
Para saber mais
Existe uma infinidade de aplicações para os circuitos de RC de 
primeira ordem, como temporizadores e flash de máquinas 
fotográficas, você pode encontrar mais aplicações e exemplos 
resolvidos dos circuitos de primeira ordem nos livros.
ALEXANDER, C. K.; SADIKU, M. N. O. Fundamentos de circuitos 
elétricos. 5. ed. Porto Alegre: AMGH, 2013. 
BOYLESTAD, R. L. Introdução à análise de circuitos. 12. ed. São 
Paulo: Pearson Prentice Hall, 2012.
JOHNSON, D. E.; HILBURN, J. R.; JOHNSON, J. R. Fundamentos 
de análise de circuitos elétricos. 4. ed. [s.l.] Prentice Hall, 1994.
U2 - Circuitos armazenadores de energia80
Figura 2.29 | Circuito do exercício 1
Figura 2.30 | Circuito do exercício 2
Figura 2.31 | Circuito do exercício 3
Fonte: Johnson, Hilburn e Johnson (1994).
Fonte: Johnson, Hilburn e Johnson (1994).
Fonte: Johnson, Hilburn e Johnson (1994).
Atividades de aprendizagem
1. (JOHNSON; HILBURN; JOHNSON, 1994) Calcule v(t) para t>0, se v(0) =10V.
2. (JOHNSON; HILBURN; JOHNSON, 1994) Se o circuito está em regime 
permanente em t=0, calcule v(t) para t>0.
3. (JOHNSON; HILBURN; JOHNSON, 1994) Se o circuito está em regime 
permanente em t=0-, calcule i para t>0.
U2 - Circuitos armazenadores de energia 81
Figura 2.32 | Circuito do exercício 4
Fonte: Alexander e Sadiku (2013).
4. (ALEXANDER; SADIKU, 2013) No circuito da Figura 2.32 supondo que a 
chave já se encontre na posição a por um longo período, determine:
a) i
1
(0), i
2
(0), e v
o
(0).
b) i
L
(t).
c) i
1
(∞), i2(∞), e v
o
(∞).
U2 - Circuitos armazenadores de energia82
Seção 3
Circuitos magnéticos e eletromagnetismo
3.1 Circuitos magnéticos e eletromagnetismo
Introdução à seção
Nesta seção será estudada a similaridade entre circuitos 
magnéticos e circuitos elétricos, os parâmetros importantes do 
circuito magnético e os conceitos do transformador elétrico. 
Há uma grande semelhança entre análise de circuitos 
magnéticos e circuitos elétricos, por exemplo, a semelhança entre 
o fluxo magnético e o fluxo de elétrons, a corrente elétrica. Os 
efeitos magnéticos estão presentes no cotidiano das pessoas, 
desde aparelhos de áudio, como autofalantes, até nas indústrias, 
como nos motores elétricos, de um simples ímã de geladeira 
aos grandes ímãs usados para levitação magnética de trens 
(BOYLESTAD, 2012), como apresentado na Figura 2.33.
Fonte: <http://chc.org.br/desafio-a-gravidade/>. Acesso em: 19 fev. 2017.
Figura 2.33 | Protótipo de trem de levitação magnética desenvolvido pela Coppe
U2 - Circuitos armazenadores de energia 83
O início do estudo de circuitos magnéticos inicia-se pela revisão 
de alguns conceitos já estudados nas disciplinas do ciclo básico do 
curso de Engenharia. O primeiro é o campo magnético, no qual a 
densidade de fluxo é definida conforme a equação (2.53)
Em que B é a densidade de fluxo magnético em Wb/m2, Φ é o 
fluxo magnético em weber (Wb) e A é a área em m2.
Outra relação importante é a que a força magnetomotriz aplica 
com a corrente e do número de espira da bobina magnetizante. 
Em que, F é a força magnetomotriz em ampere-espira (Ae), N 
é o número de espiras e I a corrente (A).
O fluxo magnético no interior de um núcleo de material 
ferromagnético é função direta da permeabilidade. Materiais 
ferromagnéticos já foram estudados na seção sobre indutores, mas 
vale lembrar a equação de permeabilidade relativa, considerando 
como base a permeabilidade do vácuo.
Em que µ
r
 é permeabilidade relativa, µ é a permeabilidade do 
material e µ
0
 é a permeabilidade do vácuo e vale 4π x10-7Wb/A.m. 
Na seção sobre indutores, foram fornecidas as permeabilidades 
em forma de tabela para valores iniciais da permeabilidade relativa. 
Como outras quantidades do circuito magnético influenciam na 
permeabilidade, os valores de µr não serão tabelados nesta seção. 
Para saber mais
O Maglev-Cobra é um trem de levitação magnética desenvolvido no 
Brasil pela Universidade Federal do Rio de Janeiro, que pode mover-se 
até setenta quilômetros por hora e totalmente elétrico. Disponível em: 
<http://www.coppe.ufrj.br/pt-br/a-coppe/coppe-produtos/maglev 
-cobra>. Acesso em: 17 abr. 2017. 
B
A
=
φ
F = NI
µ
µ
µr
=
0
U2 - Circuitos armazenadores de energia84
Assim como a resistência em um circuito elétrico resiste ao 
estabelecimento de um fluxo de cargas elétricas, a relutância de 
um material atua contra a tentativa do material estabelecer um 
fluxo magnético, e é dada por:
Em que ℜ é a relutância medida em Ae/Wb, l é o comprimento 
do circuito magnético e A é a área da seção transversal. 
Assim como na resistência, ao aumentara área, reduz-se o valor 
da resistência, o mesmo ocorre com a relutância. 
A Lei de Ohm é válida também para os circuitos magnéticos, a 
relação entre efeito, oposição e causa aqui também é verdadeira. 
No caso dos circuitos magnéticos, a causa do efeito esperado 
é a força magnetomotriz, assim como para o circuito elétrico 
é a tensão. Já a oposição ao efeito, no circuito magnético, é a 
relutância, assim como a resistência é no circuito elétrico. O efeito 
esperado no circuito elétrico é a corrente, já no circuito magnético 
o equivalente é o fluxo magnético. A Lei de Ohm para os circuitos 
magnéticos está apresentada na equação (2.57).
Levando em consideração a equação (2.54), conclui-se que o 
aumento de espiras ou da corrente gera um aumento no fluxo 
magnético.
A força magnetomotriz quando dividida pela unidade de 
comprimento l é chamada de força magnetizante (H), e é dada 
por (2.58).
Ou em função das espiras e da corrente: 
ℜ =
l
µA
φ =
ℜ
F
H = F
l
H NI=
l
U2 - Circuitos armazenadores de energia 85
A força magnetizante H é independente do material utilizado, 
depende apenas das variáveis do circuito, como corrente, número 
de espiras e comprimento do núcleo (BOYLESTAD, 2012). A 
permeabilidade magnética é influenciada pela força magnética, 
à medida que a força magnetizante aumenta, a permeabilidade 
aumenta, até um valor máximo, depois decresce (BOYLESTAD, 
2012). A relação entre força magnetizante (H), densidade de fluxo (B) 
e permeabilidade magnética (µ) é dada na equação (2.60) e tem o 
formato do gráfico apresentado na Figura 2.34.
A Figura 2.34 descreve a trajetória de um material 
magnético qualquer. Na curva, pode-se ver que ao aumentar 
a força magnetizante H, a densidade de fluxo B aumenta, 
proporcionalmente, até atingir um valor máximo (ponto A1). A 
partir desse ponto, um incremento na força magnetizante, por 
exemplo, um aumento na corrente da bobina magnetizante, 
não gera um aumento na densidade de fluxo. Ao reduzir a força 
magnetizante H, a curva vai do ponto A1 para o ponto A2, até 
a inversão do sentido de H, faz-se isso invertendo o sentido da 
corrente. No ponto A2, pode-se ver uma densidade de fluxo 
residual (B
r
), característico de cada material. Aqui nesse caso, 
se a força magnetizante for totalmente retirada, o material 
permanecerá magnetizado, formando um ímã permanente. Se a 
corrente continuar aumentado negativamente, levará a curva até 
Figura 2.34 | Curva de magnetização BxH
Fonte: Ulaby (2011).
B H= µ
U2 - Circuitos armazenadores de energia86
o ponto A4, que é o ponto de saturação de B negativo, a partir 
desse momento um incremento na corrente não gera incremento 
na densidade magnética B. Se a corrente na bobina inverter o 
sentido, a curva segue pela parte de baixo, até recomeçar o ciclo 
de histerese novamente.
Continuando com o desenvolvimento das teorias de circuitos 
magnéticos e a comparação dessas com as teorias de circuitos 
elétricos, tem-se a Tabela 2.4 
Por analogia com a Lei de Kirchhoff das tensões, pode-se deduzir 
a relação da Lei Circuital de Ampere, mostrada na equação (2.61)
Ou seja, a soma das forças magnetomotrizes dentro de um 
circuito magnético será zero, semelhante a LKT. 
A Figura 2.35 mostra um exemplo de utilização das equações 
em circuito magnético.
Tabela 2.4 | Comparação entre circuitos elétricos e magnéticos
Fonte: Boylestad (2012).
Figura 2.35 | Circuito magnético
Fonte: Boylestad (2012).
F∑ = 0
U2 - Circuitos armazenadores de energia 87
Para o equacionamento desse circuito, deve-se considerar 
que no trecho construído de ferro há uma elevação da força 
magnetomotriz (NI) causada pela bobina, nos outros trechos tem-se 
quedas da força magnetomotriz (HI), então:
O termo NI representa a elevação da força magnetomotriz e os 
termos Hl são as quedas de força magnetomotriz no circuito magnético. 
Para circuitos que possuem nó, aplica-se a lei análoga à Lei de 
Kirchhoff da corrente para o fluxo magnético, ou seja, a soma dos 
fluxos que entram em um nó é igual a soma dos que saem. 
Exemplo 1: (BOYLESTAD, 2012) Considere o circuito em série na 
Figura 2.36, (a) calcule o valor de I necessário para gerar um fluxo 
magnético Φ = 4x10-4Wb. (b) calcule o valor de µ e µ
r
 para o material.
O circuito magnético pode ser representado como um circuito 
equivalente, conforme a Figura 2.37:
Figura 2.36 | Circuito magnético série
Fonte: Boylestad (2012).
F∑ = 0
+NI - Hablab - Hbclbc - Hcalca =0
+NI = Hablab +Hbclbc +Hcalca
U2 - Circuitos armazenadores de energia88
A análise da Figura 2.37 mostra que se tem disponível o fluxo 
(Φ), a área A e o comprimento l. Assim, é necessário, para o item 
(a), inicialmente, encontrar a densidade de fluxo B através da 
equação (2.63)
Para o material especificado no exemplo e com a densidade 
de fluxo em mãos, deve-se consultar o gráfico BxH (final do texto) 
e encontrar o valor da força magnetomotriz (H), que para esse 
exemplo, tem-se H=170Ae/m (BOYLESTAD, 2012). 
Assim, é possível aplicar a Lei circuital de ampere:
Exemplo 2: esse exemplo explora o conceito de circuito série-
paralelo, igual aos circuitos elétricos. 
Determine a corrente I necessária para gerar um fluxo de 1,5x10-4 
Wb, no trecho indicado na Figura 2.39. A área de seção do núcleo é 
6x10-4m2, o comprimento é l
bcde
 =l
efab
=0,2m e lbe=0,05m.
Figura 2.37 | Circuito magnético em série
Fonte: elaborada pelo autor.
B
A
x
x
T= = =
−
−
φ 4 10
2 10
0 2
4
3 ,
H NI
I H
N
mA
l
l
=
= = =
( )( , )170 0 16
400
68
U2 - Circuitos armazenadores de energia 89
Pode-se gerar o circuito magnético equivalente, conforme 
mostra a Figura 2.38. 
Com o valor de B2, pode-se consultar a curva BxH (Figura 2.38) 
do material aço laminado conforme especificado, e assim, encontra-
se H
bcde
=40Ae/m. 
Utilizando a Lei circuital de ampere à malha 2, formada pelos 
pontos bcde, tem-se: 
Com o valor de Hbe, consultando a curva BxH, encontra-se 
B1=0,97T. 
Agora, já estão determinadas as variáveis dos trechos bcde e be, 
faltando apenas as variáveis do trecho efab, assim utiliza-se a LKT 
para o fluxo.
Figura 2.39 | Circuito magnético
Fonte: Boylestad (2012).
B
A
x
x
T2 2
4
4
1 5 10
6 10
0 25= = =
−
−
φ , ,
F∑ = 0
8
0 0
Hbelbe - Hbcdelbcde =0
Hbe(0,05m) - (40Ae / m)(0,2m)= 0
Hbe = , 55
160= Ae m/
φ1 1
4 2 40 97 6 10 5 82 10= = =− −B A T x m x Wb( , )( ) ,
φ φ φ
φ
t
r
x x x Wb
B
A
x
= + = + =
= =
− − −
−
1 2
4 4 4
4
5 82 10 1 5 10 7 53 10
7 53 10
( , ) ( , ) ,
,
66 10
1 224x
T− = ,
U2 - Circuitos armazenadores de energia90
Com o valor de B, encontra-se H consultando o gráfico e H
efab
 
= 400Ae.
Utiliza-se da Lei circuital de ampere e tem-se o valor da corrente I.
Questão para reflexão
Analisando o que foi aprendido reflita sobre as aplicações de 
circuitos magnéticos. Você consegue relacionar algum setor 
produtivo que não tenha pelo menos uma aplicação magnética? 
Atividades de aprendizagem
1. Determine a relutância de um circuito magnético se um fluxo 
Φ = 4,2x10
-4
Wb é estabelecido por uma fmm de 400Ae.
2. Para um núcleo toroidal de ferro fundido, comprimento médio de 0,2 
m, área constante em toda a seção de 3x10-3m2, com um enrolamento 
de 75 espiras, e apresentando um fluxo de Φ = 10,0x10-4 Wb, determine a 
força magnetizante (H) e a corrente I necessária para estabelecer o fluxo. 
Dica: utilize o gráfico da Figura 2.39 para encontrar a densidade de fluxo 
(H). 
+NI - Hefbalefba - Hbelbe =0
NI =(400)(0,2m) - (160Ae / m)(0,05m)= 0
I = 888
50
176= , A
U2 - Circuitos armazenadores de energia 91
Figura 2.40 | Grafico BxH normalizado
Fonte: Boylestad (2012).
Fique ligado
Nesta unidade foram estudados vários elementos importantes 
sobre elétrica e eletrônica, entre eles: 
- Capacitor e suas aplicações.
- Indutores e suas aplicações.
- Respostas naturais de circuitos de RC e RL.
- Respostas dos circuitos RC e RL ao degrau.
- Circuitos magnéticos.
Todos esses itens são importantes para a formação do 
engenheiro, pois estão presentesna composição das máquinas e 
de produtos eletrônicos e serão necessários em outras disciplinas 
e durante a vida profissional. 
U2 - Circuitos armazenadores de energia92
Para concluir o estudo da unidade
Caro estudante, nesta unidade, vimos vários elementos 
armazenadores de energia, aprendemos que eles possuem esse 
nome por armazenarem energia e disponibilizarem-na para o uso. 
Inicialmente, aprendemos sobre a construção desses elementos 
e na sequência estudamos algumas aplicações em circuitos. O 
estudo desta unidade não esgotou todo o conteúdo a respeito 
dos elementos armazenadores de energia, esse estudo deve servir 
como base para o seu aprofundamento, pois ele não termina com 
o fim da unidade. Procure mais informações em livros, artigos e na 
internet. Durante o desenvolver da Unidade 2, foram apresentados 
a você vários links em sites de fabricantes de componentes, não 
deixe de acessá-los e conhecê-los, pois serão úteis um dia, além 
do fato de que existem muitas informações disponibilizadas nesses 
sites que contribuirão com a sua formação profissional. Nunca 
deixe de estudar, é o segredo para o crescimento e a evolução 
constante. Bons estudos! 
Atividades de aprendizagem da unidade
1. (adaptado da prova do ENADE – Física 2011) Um circuito do tipo R-C 
possui os componentes: fonte de tensão elétrica, resistor e capacitor, 
todos ligados em série. Tanto a carga do capacitor como a corrente 
elétrica i são funções que variam exponencialmente com o tempo. A 
constante de tempo ou tempo de relaxação do circuito R-C representa o 
intervalo de tempo no qual a corrente no circuito R-C cai a um valor 1/e 
vezes o seu valor inicial. Um circuito do tipo R-L é constituído de: fonte 
de tensão elétrica, resistor e indutor, sendo que esses dois últimos estão 
ligados em série. A existência de um indutor L no circuito mantém mais 
estável a corrente elétrica no circuito. A constante de tempo do circuito 
R-L dá uma medida do tempo no qual a corrente i atinge cerca de 63% 
do seu valor final. Em um experimento para se analisar o comportamento 
da corrente elétrica i em função do tempo em dois circuitos distintos, 
um do tipo R-C e outro do tipo R-L, utilizou-se uma fonte de tensão 
elétrica E = 10 V, um capacitor com capacitância igual a C = 1 µF e um 
indutor de indutância L = 0,1 mH. Os gráficos I e II a seguir ilustram o 
comportamento da corrente elétrica i em função do tempo.
U2 - Circuitos armazenadores de energia 93
Com base, nas informações, é correto afirmar que:
a) O gráfico I ilustra a variação da corrente elétrica i em função do tempo 
para um circuito R-C em carga, enquanto o gráfico II ilustra a variação de i 
em função do tempo para um circuito R-L. A constante de tempo do circuito 
R-L vale: τL = 0,10 s. O tempo de relaxação do circuito R-C vale: τC = 1,0 s.
b) O gráfico I ilustra a variação da corrente elétrica i em função do tempo 
para um circuito R-C em carga, enquanto o gráfico II ilustra a variação 
de i em função do tempo para um circuito R-L. A constante de tempo do 
circuito R-L vale: τL = 0,10×105 s. O tempo de relaxação do R-C capacitor 
vale: τC = 1,0×10-5 s.
c) O gráfico I ilustra a variação da corrente elétrica i em função do tempo 
para um circuito R-L, enquanto o gráfico II ilustra a variação de i em função 
do tempo para um circuito R-C em carga. A constante de tempo do circuito 
R-L vale: τ
L
 =0,10 s. O tempo de relaxação do circuito R-C vale: τ
C
 = 1,0 s.
d) O gráfico I ilustra a variação da corrente elétrica i em função do tempo 
para um circuito R-L, enquanto o gráfico II ilustra a variação de i em 
função do tempo para um circuito R-C em carga. A constante de tempo 
do circuito R-L vale: τ
L
 = 1,0×106 s. O tempo de relaxação do circuito R-C 
vale: τ
C
 = 1,0×10-5 s.
e) O gráfico I ilustra a variação da corrente elétrica i em função do tempo 
para um circuito R-C em carga, enquanto o gráfico II ilustra a variação de i 
em função do tempo para um circuito R-L. A constante de tempo do circuito 
R-L vale: τ
L
 = 3,5 s. O tempo de relaxação do circuito R-C vale: τ
C
 = 0,45 s.
U2 - Circuitos armazenadores de energia94
2. Capacitores são elementos armazenadores de energia e não aceitam 
variações abruptas de tensão diretamente sobre seus terminais. Sabendo-se 
que a corrente no capacitor de 5mF é relacionada à variação de tensão sobre 
ele, foi aplicada uma tensão conforme mostra a figura a seguir: 
3. Capacitores podem ser associados em série e em paralelo. Cada 
associação gera um valor distinto de capacitância, que pode ser maior 
ou menor que os valores originais. Considere 4 capacitores de 4µF cada 
e assinale a afirmação correta:
a) A associação dos 4 capacitores em série, gera um capacitor equivalente 
de 16µF.
b) A associação de 3 capacitores em série e um em paralelo gera um 
capacitor equivalente a 5,33µF.
c) A associação dos 3 capacitores em paralelo e um em série gera um 
capacitor equivalente a 5,33µF
d) A associação dos 3 capacitores em paralelo gera um capacitor 
equivalente a 1,33µF.
e) A associação dos 4 capacitores em paralelo gera um capacitor 
equivalente a 1uF.
A respeito da tensão aplicada ao capacitor, é correto afirmar: 
a) A corrente do capacitor continua subindo até o instante 4s.
b) A corrente do capacitor no instante de 0-1s é 16A.
c) A corrente do capacitor no instante de 3-4s é 3,2A.
d) A corrente do capacitor no instante de 3-4s é 80mA.
e) A corrente do capacitor no instante de 1-3s constante é diferente de zero.
Fonte: Alexander e Sadiku (2013).
Figura 2.40: Figura do exercício 2
U2 - Circuitos armazenadores de energia 95
4. Indutores são bobinas magnéticas que armazenam energia em forma de 
campo magnético. Sabendo que a tensão do indutor está relacionada com 
a variação de corrente no indutor, e que o indutor não aceita mudanças 
abruptas da corrente sobre ele, análise a imagem a seguir. Considere que a 
corrente é aplicada diretamente sobre um indutor de 5 mH. 
Assinale a alternativa correta:
a) A tensão sobre o indutor é nula em todo o tempo.
b) Entre o tempo 2 e 6 segundos o indutor comporta-se como um curto-
circuito.
c) A tensão nos terminais do indutor entre os tempos 0 e 2 s é crescente.
d) A tensão nos terminais do indutor entre os tempos 4 e 6 s é decrescente.
e) A tensão nos terminais do indutor entre os tempos 4 e 6 s é constante.
Fonte: Alexander e Sadiku (2013).
Figura 2.41: Figura do exercício 4
U2 - Circuitos armazenadores de energia96
5. Existe uma grande semelhança entre as análises de circuitos elétricos 
e dos circuitos magnéticos. A respeito dessa semelhança, algumas 
grandezas podem ser comparadas, como as que estão nas colunas 1 e 2.
Assinale a alternativa que contém a associação correta entre as colunas: 
a) I–5; II–1; III–4.
b) I–1; II–5; III–4. 
c) I–2; II–1; III–3. 
d) I–2; II–3; III–2. 
e) I–5; II–2; III–3. 
Coluna a Coluna b
I E 1 φ
II I 2 H
III R 3 B
4 ℜ
5 F
U2 - Circuitos armazenadores de energia 97
Referências
ALEXANDER, C. K.; SADIKU, M. N. O. Fundamentos de Circuitos Elétricos. 5. ed. 
Porto Alegre: AMGH, 2013. 
BOYLESTAD, R. L. Introdução à análise de circuitos. 12. ed. São Paulo: Pearson 
Prentice Hall, 2012. 
CALLISTER, W. D.; RETHWISCH, D. G. Ciência e engenharia de materiais: uma 
Introdução. 9. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2016.
JOHNSON, D. E.; HILBURN, J. R.; JOHNSON, J. R. Fundamentos de análise de 
circuitos elétricos. 4. ed. São Paulo: Prentice Hall, 1994.
NILSON, J. W.; RIEDEL, S. A. Circuitos elétricos. 8. ed. São Paulo: Prentice Hall, 2009.
THORNTON ELETRÔNICA LTDA. Catálogo de ferrite. 2015. Disponível em: <www.
thornton.com.br>. Acesso em: 5 maio 2017.
ULABY, F. T. Eletromagnetismo para engenheiros. Porto Alegre: Bookman, 2011.
U3 - Circuitos eletrônicos 98
U3 - Circuitos eletrônicos 99
Unidade 3
Circuitos eletrônicos
Após o estudo desta unidade, você será capaz de:
• Entender a diferença entre condutor, isolante e 
semicondutor e o funcionamento de componentes 
semicondutores.
• Compreender a aplicação de diodos semicondutorese 
diodos zener em circuitos e o seu resultado nos mais diversos 
tipos de sinais.
• Entender o funcionamento do transistor e suas 
aplicações como chave e como fonte de corrente.
• Compreender as diversas topologias de polarização dos 
transistores utilizados em circuitos eletrônicos.
• Projetar circuitos utilizando diodos e transistores.
• Analisar e compreender a amplificação de pequenos 
sinais, com circuitos estáveis e com ganhos altos de tensão.
Objetivos de aprendizagem
Charles William Polizelli Pereira
Na Seção 1, será explorado circuitos que utilizam diodos em diversas 
aplicações, como retificadores de onda, grampeadores e limitadores de sinais, 
além de um diodo com uma operação diferenciada, que é o diodo zener.
Seção 1 | Circuitos com diodos
Já na Seção 2, será explorado o conceito do transistor TBJ, componente 
que revolucionou os computadores e o processamento de informações, 
devido à sua velocidade de operação e seu pequeno tamanho. O transistor 
tem duas aplicações, a sua operação como chave e a sua operação como 
fonte de corrente. Nessa seção, é explicado como ler os gráficos de saída 
do transistor e localizar o melhor ponto de operação, ou ponto quiescente
Seção 2 | Transistores bipolares de junção
U3 - Circuitos eletrônicos 100
Na Seção 3, são discutidos os circuitos de polarização de transistores, 
suas várias topologias e as vantagens e desvantagens na utilização da 
polarização de emissor-comum. Também é visto que a melhor topologia 
é a polarização por divisor de tensão.
Seção 3 | Circuitos de polarização de transistores
Por último, na Seção 4, é discutido sobre os amplificadores de pequenos 
sinais e a sua análise em corrente alternada (CA) e em corrente contínua 
(CC), bem como é mostrada a simplificação que pode ser feita para ajudar 
na análise da operação do amplificador. Além disso, são apresentadas duas 
propostas para aumentar o ganho sem gerar distorção, que são os estágios 
em cascata e a realimentação do emissor com terra CA.
Seção 4 | Amplificadores de pequenos sinais
U3 - Circuitos eletrônicos 101
Introdução à unidade
Esta unidade tem como objetivo explorar os conceitos de 
semicondutores, a grande invenção que proporcionou um avanço 
considerável na eletrônica que conhecemos hoje. 
Você já se perguntou por que se encostarmos em uma 
tomada tomamos choque e se encostarmos em uma placa de 
computador não sofremos descarga elétrica? Como convertemos 
tensão alternada da tomada na mesma tensão fornecida por uma 
saída USB de um computador? Como obtemos chaveamentos 
ultrarrápidos em computadores? Por que usamos amplificadores 
de som e, dependendo do volume, a música pode sofrer distorção?
Para responder a essas dúvidas, nesta unidade será exposto o 
conceito de semicondutor e como melhorar sua eficiência em 
diversas aplicações.
Na Seção 1, serão explorados circuitos que utilizam diodos em 
diversas aplicações, como retificadores de onda, grampeadores 
e limitadores de sinais, além de um diodo com uma operação 
diferenciada, que é o diodo zener.
Já na Seção 2, será explorado o conceito do transistor 
TBJ, componente que revolucionou os computadores e o 
processamento de informações, devido à sua velocidade de 
operação e seu pequeno tamanho. O transistor tem duas 
aplicações, a sua operação como chave e a sua operação como 
fonte de corrente. Nesta seção, é explicado como ler os gráficos 
de saída do transistor e localizar o melhor ponto de operação, ou 
ponto quiescente.
Na Seção 3, serão discutidos os circuitos de polarização de 
transistores, suas várias topologias e as vantagens e as desvantagens 
na utilização da polarização de emissor-comum. Também é visto 
que a melhor topologia é a polarização por divisor de tensão.
Por último, na Seção 4, será discutido sobre os amplificadores 
de pequenos sinais e a sua análise em corrente alternada (CA) e em 
corrente contínua (CC), bem como é mostrada a simplificação que 
pode ser feita para ajudar na análise da operação do amplificador. 
Além disso, são apresentadas duas propostas para aumentar o 
U3 - Circuitos eletrônicos 102
ganho sem gerar distorção, que são os estágios em cascata e a 
realimentação do emissor com terra CA.
Esperamos que você, aluno, faça bom proveito dos conceitos 
apresentados e que eles possam auxiliá-lo nos projetos de 
eletrônica e análise crítica na localização de defeitos.
U3 - Circuitos eletrônicos 103
Seção 1
Circuitos com diodos
1.1 Semicondutores
Introdução à seção
O primeiro dispositivo eletrônico a ser apresentado é o diodo, 
ele é o dispositivo semicondutor mais simples, no entanto, exerce 
um papel fundamental em sistemas eletrônicos e equipamentos 
das mais diversas aplicações. Um pequeno componente que tem 
inúmeras aplicações.
É utilizado em retificação de sinais, limitador de tensão, 
medição de tensão, proteção contra sobretensão, regulação de 
tensão, instrumentação, proteger motores, entre muitas outras. 
Como será possível ter tantas aplicações em diversas áreas? Isso 
se deve ao fato do diodo ser um semicondutor. E o que é um 
semicondutor?
Um material semicondutor é aquele que não é classificado nem 
como isolante e nem como condutor, ou seja, não é um ótimo 
condutor de energia, como os materiais condutores, e nem um 
péssimo condutor, como os isolantes.
O que define quanto um material pode conduzir ou não é a sua 
resistividade, conhecida pela letra grega ρ (rho) e a sua unidade 
é dada em Ω ⋅m ou Ω ⋅cm. A resistividade é inversamente 
proporcional à condutibilidade, enquanto um material condutor 
tem a sua resistividade baixa, um material isolante tem a sua 
resistividade alta, e de acordo com o material e suas dimensões se 
obtém a resistência por:
R L
A
= ⋅ρ .
Em que L é comprimento do material e A é a área de secção 
transversal desse material.
Os materiais semicondutores mais utilizados na eletrônica são 
o silício (Si) e o germânio (Ge), e para exemplificar a diferença entre 
U3 - Circuitos eletrônicos 104
os condutores e os isolantes, no Quadro 3.1 são apresentados os 
valores aproximados de resistividade.
Como pode ser visto, os valores de resistividade dessas três 
classes de materiais (condutor, semicondutor e isolante) são muito 
distantes umas das outras o que permite uma condutibilidade de 
energia “controlada” dos materiais semicondutores.
Para um material condutor começar a conduzir energia, pelo 
fluxo de elétrons, é necessário aplicar uma fonte com pequena 
energia entre seus terminais, como um fio que transporta corrente, 
ao se aplicar uma tensão, por menor que seja, aparecerá uma 
corrente nesse fio.
Já para o material isolante, ao aplicar uma fonte de energia, ele 
não conduzirá essa energia. No entanto, há um limite para essa 
não condução, por exemplo, os eletricistas de concessionárias 
de energia usam luvas isolantes para realizar manutenção nos fios 
energizados, e cada luva tem uma classe de isolamento, algumas 
de 15 mil Volts, outras 25 mil Volts. Se a luva de classe de 15 mil Volts 
for usada para manutenção nos fios de 25 mil Volts, certamente o 
material isolante romperá e conduzirá energia.
No material semicondutor é possível controlar, com um nível 
baixo de tensão, a sua condução ou não, como será visto nos 
diodos semicondutores e transistores, mais adiante.
Fonte: elaborado pelo autor.
Quadro 3.1 | Valores de resistividade de alguns materiais
Material Resistividade
Cobre (condutor) ρ ≅ × ⋅−1 7 10 6, Ω cm
Alumínio (condutor) ρ ≅ × ⋅−3 0 10 6, Ω cm
Germânio (semicondutor) ρ ≅ ⋅ ⋅101 Ω cm
Silício (semicondutor) ρ ≅ × ⋅50 103Ω cm
Mica (isolante) ρ ≅ ⋅1012Ω cm
Vidro (isolante) ρ ≅ ⋅1014Ω cm
U3 - Circuitos eletrônicos 105
1.2 Dopagem
Devido à posição do silício e do germânio na tabela periódica, 
eles detêm a característica de formarem cristais com alto nível 
de pureza e por isso são muito utilizados na fabricação de 
semicondutores. Essa característica facilita o fluxo de elétrons 
por causa da sua forma cristalina, ficando conhecido como 
semicondutorintrínseco.
Apesar dessa estrutura de cristalina ter boas características 
para a movimentação dos elétrons, em algumas aplicações 
o semicondutor intrínseco não tem elétrons livres suficientes 
para produzir uma corrente que seja utilizável. Para aumentar 
a disposição de cargas para se movimentarem dentro do 
semicondutor, é realizado o processo de dopagem, que consiste 
em adicionar impurezas na sua estrutura interna, liberando 
cargas na banda de valência, passando a ser conhecido como 
semicondutor extrínseco.
Há dois tipos de semicondutores extrínsecos, o material do 
Tipo n e o material do Tipo p.
1.2.1 Material Tipo n
A dopagem é uma técnica que tem o intuito de colocar impurezas 
na estrutura cristalina do semicondutor extrínseco para aumentar, 
no caso do tipo n, os elétrons livres. Ao se colocar um átomo de 
um elemento com um elétron que não faz ligação covalente na 
estrutura, sobra essa carga com mobilidade para se movimentar 
pela estrutura, a dopagem é realizada de modo controlado para 
introduzir um número predeterminado de átomos, no caso do 
silício é 1 átomo de dopagem para 1012 átomos de silício. Para 
o material tipo n são acrescentados átomos pentavalentes (com 
cinco elétrons de valência), produzindo assim um elétron livre, 
fazendo com que o material fique levemente negativo (tipo n). 
Os elementos mais comuns usados na dopagem são o arsênio, o 
antimônio e o fósforo.
1.2.2 Material Tipo p
No caso dos materiais do tipo p, são acrescentados átomos 
trivalentes, com três átomos de valência, deixando um espaço 
U3 - Circuitos eletrônicos 106
vazio na estrutura, conhecido como lacuna, fazendo com que o 
material tenha uma pequena carga positiva (tipo p). Os elementos 
mais utilizados na dopagem do tipo p são o alumínio, o boro, o 
gálio e o índio.
1.3 Diodo semicondutor
Ao se juntar um material do tipo n e outro do tipo p em uma 
pastilha, por um processo de fabricação específico, surge o diodo 
semicondutor. Ele possui algumas características que permitem 
a sua utilização em diversas aplicações, como conversão de 
corrente alternada (C.A.) em corrente contínua (C.C.), isolação 
de pequenos sinais (fotodiodos), conversão de energia elétrica em 
luminosa e vice-versa (LED e células fotocondutivas), entre outras.
O símbolo do diodo e seus terminais são apresentados na Figura 3.1.
O diodo é composto por dois terminais, o ânodo e o cátodo. 
Em linhas gerais, o diodo age como uma chave fechada quando a 
corrente circula do ânodo para o cátodo e se comporta como uma 
chave aberta quando a corrente circula do cátodo para o ânodo.
Esse controle entre condução ou não é dado pela região de 
depleção do diodo, que aparece na junção dos dois materiais (tipo 
n e tipo p), como mostra a Figura 3.2.
Fonte: elaborada pelo autor.
Figura 3.1 | Símbolo do diodo e sua equivalência de região p e n
U3 - Circuitos eletrônicos 107
Na região p e n, os átomos estão eletricamente neutros, fazendo 
com que as cargas livres caminhem até a junção, não atravessando-a, 
surgindo a camada de depleção. A região, ou camada de depleção, 
é formada pelas cargas que não se recombinaram. Ela serve como 
uma barreira que impede o fluxo contínuo de elétrons pelo diodo. 
Quando o diodo é polarizado diretamente, as cargas começam a 
se recombinar e a partir de um certo valor de tensão começam a 
conduzir. Esse valor de tensão produz uma queda de 0,7 V para o 
silício e de 0,3 V para o germânio.
Há duas formas de polarizar um diodo, a polarização direta e a 
polarização reversa.
1.3.1 Polarização direta (V
D
>0)
Ao polarizarmos o diodo com uma fonte de tensão, como 
na Figura 3.3, em que o terminal positivo da fonte está ligado ao 
material do tipo p do diodo e o terminal negativo da fonte está 
ligado ao material do tipo n do diodo.
Fonte: elaborada pelo autor.
Fonte: elaborada pelo autor.
Figura 3.2 | Junção dos materiais n e p
Figura 3.3 | Polarização direta de um diodo
U3 - Circuitos eletrônicos 108
As cargas positivas, ou lacunas, caminham até a camada de 
depleção e se recombinam com os elétrons e as cargas negativas, 
elétrons, caminham do terminal negativo da fonte e se recombinam 
com as lacunas na camada de depleção. A recombinação ocorre 
até um certo nível de tensão e a partir dessa tensão o diodo se 
comporta como uma chave fechada, conduzindo corrente 
do ânodo para o cátodo. Essa tensão é a barreira de potencial, 
conhecida também como tensão de polarização do diodo. Abaixo 
dessa tensão nada ocorre com o diodo, pois não há elétrons e 
lacunas suficientes para se recombinarem.
1.3.2 Polarização reversa (V
D
<0)
Ao invertermos a polaridade da fonte de tensão em relação 
à polarização direta, fazendo com que V
D
 seja negativo, como 
mostra a Figura 3.4, o diodo estará polarizado reversamente.
Nessa condição, as cargas positivas caminharão e se acumularão 
na camada de depleção do lado n e os elétrons irão se acumularão 
no lado p, ampliando a camada de depleção e se comportando 
como um circuito aberto.
Esse aumento da tensão reversa pode chegar até um valor 
máximo. Ao passar esse valor, a camada de depleção se rompe, 
Fonte: elaborada pelo autor.
Figura 3.4 | Polarização reversa do diodo
U3 - Circuitos eletrônicos 109
Fonte: elaborada pelo autor.
Fonte: elaborada pelo autor.
Figura 3.5 | Circuito de operação do diodo
Figura 3.6 | Gráfico do Diodo L
D
 em função de V
D
acontecendo o chamado efeito avalanche, em que o diodo permite 
a condução de corrente elétrica mesmo polarizado reversamente, 
isso é considerado na prática como a queima do diodo. O limite 
para essa tensão reversa é chamado de tensão de ruptura e acima 
do valor de tensão de ruptura, o diodo pode vir a queimar em 
aberto ou em curto, sendo necessário que o diodo opere abaixo 
dessa tensão.
1.3.3 Gráfico do diodo
Ao estudar a polarização e montar um circuito com uma fonte 
de tensão variável, um diodo e um resistor em série, como a Figura 
3.5, é possível construir o gráfico de operação do diodo.
Ao variar a tensão da fonte de valores negativos até valores 
positivos, e medindo a corrente que passa pelo diodo, é possível 
construir um gráfico da corrente em função da tensão, mostrado 
na Figura 3.6.
U3 - Circuitos eletrônicos 110
Na região de polarização direta, a partir de uma certa tensão, 
conhecida como Tensão de Joelho ou Tensão de Polarização 
(VD), a corrente começa a subir, mostrando a condução do diodo.
Para tensões negativas, região da polarização reversa, surge 
uma pequena corrente reversa, conhecida como corrente de fuga. 
No momento em que o diodo atinge a tensão de ruptura, a sua 
corrente aumenta indefinidamente, levando à queima, por isso, ao 
se utilizar um diodo em um projeto é necessário que ele opere 
entre a tensão de ruptura e a tensão de joelho. Para a maioria 
das aplicações é considerado que a corrente de fuga no diodo é 
inexistente devido ao seu valor extremamente pequeno.
1.3.4 Circuito equivalente do diodo
Pelo fato do diodo não ser um elemento linear, o seu 
comportamento depende de muitos fatores, os quais são difíceis 
de serem modelados matematicamente. Para circuitos com diodos 
são realizadas aproximações que, de acordo com a sua aplicação, 
o resultado fica próximo do seu verdadeiro comportamento. Na 
eletrônica há três aproximações para os diodos.
1. Primeira aproximação: diodo ideal
O diodo real conduz corrente muito bem no sentido de sua 
polarização direta, do ânodo para o cátodo, e conduz corrente 
precariamente no sentido reverso. Esse comportamento pode ser 
aproximado para um diodo ideal, em que ele age como chave 
fechada, conduzindo corrente na polarização direta e como uma 
chave aberta na polarização reversa, como mostra a Figura 3.7.
Fonte: elaborada pelo autor.
Figura 3.7 | Primeira aproximação do diodo
U3 - Circuitos eletrônicos 111
Essa aproximação é ideal para a compreensão do funcionamento 
de circuitos com diodos e identificar o comportamento esperado 
do circuito.
2. Segunda aproximação: diodo simplificado
Emanálises de sinais de pequenas amplitudes, o diodo ideal 
pode inserir uma distorção no resultado, cabendo uma segunda 
aproximação que consiste em se modelar junto ao diodo uma 
fonte de tensão que simboliza a queda de tensão da camada de 
depleção (VD), como mostra a Figura 3.8.
No sentido da polarização direta há uma queda de tensão de VD 
(para o diodo de silício V
D
=0,7 V e para o de germânio V
D
=0,3 V), 
em que a corrente só circula quando a tensão aplicada no ânodo 
for maior que a tensão da camada de depleção. No sentido da 
polarização reversa, o diodo continua se comportando como uma 
chave aberta.
3. Terceira aproximação: diodo linear por partes
Ao fazer a linearização ponto a ponto do gráfico do diodo da 
corrente em função da tensão (Figura 3.6), é obtido o modelo do 
circuito dado pela Figura 3.9.
Fonte: elaborada pelo autor.
Fonte: elaborada pelo autor.
Figura 3.8 | Segunda aproximação do diodo
Figura 3.9 | Terceira aproximação do diodo
U3 - Circuitos eletrônicos 112
O valor da resistência R
av
, intrínseca ao diodo, é representada 
pela resistência de corpo e resistência externa dos contatos. Em 
muitos casos esse valor de resistência pode ser desprezado devido 
ao seu baixo valor.
Na eletrônica, a segunda aproximação é a mais utilizada, e é 
a que será utilizada ao longo das nossas análises com diodo, a 
menos que seja feita alguma indicação em contrário.
1.3.5 Diodos em tensão contínua
Para resolver circuitos com diodos em tensão contínua, é 
necessário verificar qual o caminho que a corrente segue, de 
acordo com a polarização do diodo e assim considerar a queda 
de tensão no diodo V
D
. Para exemplificar, observe o circuito da 
Figura 3.10.
Analisando o circuito da primeira malha, que passa por D
1
 e R
1
, 
como mostrado no circuito da Figura 3.11(a) é gerado a corrente I
1
.
Fonte: elaborada pelo autor.
Fonte: elaborada pelo autor.
Figura 3.10 | Exemplo de circuito com diodo em corrente contínua
Figura 3.11 | (a) Corrente passando pela primeira malha e (b) corrente passando 
pela segunda malha
U3 - Circuitos eletrônicos 113
Para a corrente existir no circuito, é necessário que ela comece 
pela fonte de tensão no terminal positivo (barra maior de V
IN
) e 
termine o seu percurso no terminal negativo (barra menor de V
IN
). 
Na Figura 3.11(a), a corrente I
1
 passa pelo diodo D
1
 e pelo resistor 
R
1
 retornando à fonte de tensão V
IN
, completando o circuito. Na 
Figura 3.11(b), a corrente I
2
 chegaria no cátodo do diodo e não 
passaria por D
2
, pois ele se comporta como uma chave aberta, não 
terminando o caminho do circuito. Então no circuito da Figura 3.11 
só há corrente na resistência R
1
, e não há circulação de corrente 
em R
2
. 
Então da primeira malha, a análise do circuito pelas quedas de 
tensão é dada por:
V V R IIN D− − ⋅ =1 1 0
I V V
R
IN D
1
1
=
−
1.3.6 Diodo em corrente alternada (C.A.)
Até esse ponto, foi estudado o comportamento do diodo com 
alimentação de uma fonte de tensão contínua. Uma das formas de 
fornecimento de tensão contínua é através de baterias de processo 
químico, como as baterias de ácido-chumbo dos carros. 
No entanto, a energia elétrica que chega em nossas casas 
advém das concessionárias de energia, no formato conhecido 
como tensão alternada, ou tensão CA. Nesse caso, a tensão tem 
o formato de uma onda senoidal, a qual possui meio ciclo positivo 
(+) e meio ciclo negativo (–) e a frequência (inverso do período T) é 
de 60 Hz. Isso quer dizer que esse formato de onda se repete por 
60 vezes em um segundo, como mostra a Figura 3.12.
U3 - Circuitos eletrônicos 114
Fonte: elaborada pelo autor.
Fonte: elaborada pelo autor.
Figura 3.12 | Formato de onda senoidal
Figura 3.13 | Circuito com transformador
A tensão nominal obtida da tomada varia de 115 V até 254 V, 
dependendo da região do Brasil. Você sabia que essa tensão não 
é a tensão de pico?
A tensão que é fornecida da rede elétrica é dada em seu valor 
de Tensão RMS, e a relação da tensão RMS e a de pico é dada pela 
equação (3.1).
V Vpico RMS= ⋅ 2 (3.1)
Então, para uma tensão de 127 V
RMS
, a tensão de pico é de V = 
179 V
PICO
. Como esse nível de tensão é muito alto para ser usado na 
eletrônica, é necessário fazer a conversão desses valores para valores 
de extra-baixa tensão que não oferece perigo aos usuários. Os valores 
mais usuais na eletrônica são de 24 V, 18 V, 12 V, 9 V e 6 V.
Para fazer esse abaixamento de tensão são utilizados transformadores, 
que convertem tensão de baixa tensão em extra-baixa tensão. O símbolo 
de um transformador é mostrado na Figura 3.13.
U3 - Circuitos eletrônicos 115
O transformador faz essa conversão, de uma tensão mais 
alta para uma tensão mais baixa pela relação de transformação 
das espiras enroladas no seu núcleo de ferrite, no entanto, o 
transformador não altera o formato de onda da entrada, ou seja, 
se é aplicado uma onda senoidal na entrada, na saída será uma 
onda também senoidal de mesma frequência, só com a amplitude 
menor do que da entrada.
O primário é o terminal ligado na fonte de tensão vinda da 
tomada e o secundário é o terminal ligado nos circuitos eletrônicos.
Essa conversão é realizada por um circuito retificador com 
filtragem e regulagem. A primeira etapa dessa conversão é a 
retificação de sinais, usada também em outras aplicações de 
tratamento de sinais.
1.4 Retificadores
Os diodos são amplamente utilizados na conversão de 
energia de corrente alternada (sistema de transmissão de 
energia elétrica) para corrente contínua (utilizada em quase 
todos os equipamentos de nossas casas), e isso é realizado por 
um processo que é chamado de Retificação de Sinais. Há três 
processos de retificação, a Retificação de Meia Onda, de Onda 
Completa com tap central e de Onda Completa em Ponte. Para 
a simplificação das análises será considerado o diodo ideal nos 
gráficos de tensão de saída.
Questão para reflexão
Se a tensão que chega em nossas residências é alternada, como é 
feita essa conversão em tensão contínua?
U3 - Circuitos eletrônicos 116
Quando a tensão da fonte do circuito da Figura 3.14(a) está 
no semiciclo positivo, o diodo age como uma chave fechada 
fazendo com que a corrente circule pela carga, replicando a onda 
da tensão da entrada na carga, mostrado na Figura 3.14(b). No 
semiciclo negativo, o diodo bloqueia a corrente, não permitindo 
que a corrente termine o circuito, deixando o circuito em aberto, e 
a tensão na carga é igual a zero.
Uma das medidas importantes a serem realizadas nos circuitos 
de retificação é a tensão média, para os retificadores de meia onda 
a tensão média (VCC ) é dada pela equação (3.2).
V VCC pico= ⋅0 318 2, ( ) (3.2)
Em que V2(pico) é a tensão de pico do secundário do 
transformador.
Essa tensão é chamada de CC porque é o valor que o voltímetro 
CC indica, medindo a tensão contínua sobre a carga, que é obtida 
pelo deslocamento vertical da onda senoidal retificada, em que 
para cada formato de onda tem um valor.
(a) (b)
Fonte: elaborada pelo autor.
Figura 3.14 | (a) Retificador de meia onda e (b) seu gráfico da entrada e da carga
1.4.1 Retificador de meia onda
A retificação de meia onda é dada pela conversão da tensão 
alternada (positiva e negativa) em uma tensão CC pulsante, que 
dependendo do ciclo pode ser positiva ou zero, sobre uma certa 
carga, como mostra a Figura 3.14.
U3 - Circuitos eletrônicos 117
Para um diodo simplificado (segunda aproximação), a tensão 
média seria dada pela equação (3.3), onde é descontado o valor da 
tensão de condução do diodo.
V V VCC pico D= ⋅ −0 318 2, ( )( ) (3.3)
Em que VD é a queda de tensão do diodo quando polarizado 
diretamente.
Uma limitação do diodo é a corrente média que o diodo pode 
aguentar ao passar por ele, conhecida como ICC. Esse valor é 
obtido pela Lei de Ohm, da equação (3.4).
I V
RC
CC
L
= (3.4)
Em que R
L
 é ovalor da resistência da carga do circuito.
No retificador de meia onda, toda a corrente ICC passa pelo 
diodo, sendo necessário em um projeto escolher o diodo adequado 
com as necessidades do projeto, consultando a corrente máxima 
que ele suporta.
A tensão CC é diferente da tensão R
MS
, que no caso do retificador 
de meia onda é dada pela equação (3.5).
V VRMS pico= ⋅0 5 2, ( ) (3.5)
Uma outra limitação dos diodos é a Tensão de Pico Inversa (PIV 
ou PRV), que é a tensão que ele pode suportar até a sua ruptura, 
lembrando que após a tensão de ruptura ele pode queimar e perder 
suas características. A tensão negativa de pico da fonte tem que ser 
menor do que a tensão PIV que o diodo pode suportar.
Como esse retificador tem apenas um diodo, então na inversão 
da polarização a tensão PIV é igual a tensão de alimentação do 
secundário do transformador, ou seja,
PIV V pico= 2( )
Essas informações de limitação podem ser consultadas, para cada 
diodo, na sua folha de dados conhecida também como datasheet.
1.4.2 Retificador de onda completa
Ao usar o TAP central do secundário de um transformador 
é possível construir um retificador de onda completa, como 
mostrado na Figura 3.15.
U3 - Circuitos eletrônicos 118
A tensão entre os terminais A e B, nas pontas do secundário do 
transformador, é a tensão total V
2(pico)
, agora como se está usando 
o TAP central, cada circuito com diodo recebe metade da tensão 
do transformador, como mostra a equação (3.6).
V V Vc a pico pico AB picoarg ( ) ( ) ( ), ,= ⋅ = ⋅0 5 0 52 (3.6)
No semiciclo positivo a tensão passa pelo diodo D1, é bloqueado 
pelo diodo D2, passando por R
CARGA
 e terminando o circuito, sendo 
que a corrente entrou pelo lado positivo da carga. Já no semiciclo 
negativo, a tensão passa agora pelo diodo D2, é bloqueado por 
D1 e termina o circuito passando pela carga e entrando também 
pelo lado positivo da carga. Pelo fato de, em ambos os ciclos, a 
corrente entrar na carga pela mesma polaridade, os dois semiciclos 
de saída têm a mesma posição, no caso, positivos, só que a tensão 
máxima da carga é a metade da tensão de pico do secundário, 
como mostra a Figura 3.15(b).
Na equação (3.7) é mostrada a tensão CC do retificador de 
onda completa com TAP central.
V V VCC c a pico pico= ⋅ = ⋅0 636 0 318 2, ,arg ( ) ( ) (3.7)
Lembre-se de que a tensão de pico de saída é a metade do 
valor da tensão de pico do secundário do transformador, devido à 
ligação do tap central como referência de terra.
A corrente média CC é a tensão média do retificador de onda 
completa sobre a resistência de carga, como cada diodo tem 
metade da tensão, então, a corrente CC sobre cada diodo é a 
metade da corrente CC total.
Fonte: elaborada pelo autor.
Figura 3.15| (a) Retificador de onda completa e (b) seu gráfico da entrada e da carga
(a) (b)
U3 - Circuitos eletrônicos 119
A tensão RMS do retificador de onda completa é dada pela 
equação (3.8).
V V VRMS c a pico pico= ⋅ = ⋅0 707 0 354 2, ,arg ( ) ( ) (3.8)
A PIV será a tensão de pico do secundário, considerando a 
tensão total do transformador, ou seja:
PIV V pico= 2( )
Para um diodo simplificado, é só considerar a queda de tensão 
de VD na carga. Como no caso do retificador de onda completa 
só um diodo é usado em cada semiciclo, então, é descontado 
somente uma vez a tensão de polarização do diodo.
1.4.3 Retificador de Onda Completa em Ponte
Chamado por alguns autores apenas de Retificador em Ponte, 
ele usa quatro diodos para a retificação do sinal alternado. É a 
topologia mais utilizada, pois alcança a tensão de pico de um 
retificador de meia onda e o valor médio mais alto de um retificador 
de TAP central.
A topologia do retificador em ponte é mostrada na Figura 3.16.
Para analisar o funcionamento dessa topologia deve ser 
lembrado que o diodo conduz quando a tensão no ânodo é maior 
que a do cátodo.
No período da onda senoidal de entrada positiva, a polaridade 
do circuito é mostrada na Figura 3.17(a).
Fonte: elaborada pelo autor.
Figura 3.16 | (a) Retificador em ponte e (b) seu gráfico da entrada e da carga
(a) (b)
U3 - Circuitos eletrônicos 120
Em nossa análise se adotará o diodo ideal. Com a polaridade da 
Figura 3.17(a), a corrente segue pelo diodo D3, sendo bloqueada 
pelo diodo D4, entrando na carga, e terminando o caminho por 
D2, fechando o circuito, como mostrado na linha pontilhada.
Agora no semiciclo negativo da senoidal de entrada, o circuito 
adota a polaridade como mostrada na Figura 3.17(b). Seguindo a 
mesma lógica, a corrente primeiramente passa por D4, entra pela 
carga e termina o circuito passando por D1.
Como pode ser visto, a corrente nos dois casos entrou pela 
mesma polaridade da carga, gerando o gráfico de saída, como 
mostrado na Figura 3.16(b).
Para um diodo ideal, a tensão da entrada é a mesma da saída. 
Para o caso do diodo simplificado, como que em cada semiciclo, 
a corrente passou por dois diodos, então, a tensão da saída será 
a tensão da entrada menos a queda de tensão de dois diodos 
(equação 3.9), que para o diodo de silício a tensão de saída será a 
tensão de entrada descontada de 1,4 V.
V V VCARGA D= − ⋅2 2 (3.9)
A tensão CC é dada pela equação (3.10):
V V VCC c a pico pico= ⋅ = ⋅0 636 0 636 2, ,arg ( ) ( ) (3.10)
Em que a tensão de pico é a tensão total do secundário do 
transformador.
A tensão RMS da carga no retificador em ponte é dada pela 
equação (3.11).
Fonte: elaborada pelo autor.
Figura 3.17 | (a) Circulação de corrente no semiciclo positivo e (b) de corrente no 
semiciclo negativo
(a) (b)
U3 - Circuitos eletrônicos 121
V VRMS pico= ⋅0 707 2, ( ) (3.11)
A tensão que cada diodo terá que suportar na polaridade 
reversa será a mesma tensão de entrada, como mostra a equação 
que segue:
PIV V pico= 2( )
Devido à grande utilização do retificador em ponte, há alguns 
circuitos com quatro diodos em um único módulo, selados 
hermeticamente interligados e encapsulados em um único 
invólucro, tendo apenas dois pinos para entrada do secundário de 
um transformador e dois pinos para a saída da carga.
A onda senoidal possui uma certa frequência, que no Brasil é 
a frequência de 60 Hertz (Hz). Como visto nos gráficos dos três 
retificadores, o retificador de meia onda tem em sua saída uma onda 
na mesma frequência da entrada, já para os retificadores de onda 
completa, enquanto o ciclo da entrada aconteceu uma única vez, a 
saída acontece duas vezes, dobrando a frequência da entrada.
Para facilitar, é apresentado no Quadro 3.2 as principais 
características de cada retificador.
1.5 Filtragem
Até aqui foi vista a tensão pulsada retificada, essa tensão pulsada 
poderia ser utilizada em um carregador de baterias, mas para ligar 
um rádio, um computador, uma TV, ainda não seria suficiente.
Fonte: elaborado pelo autor.
Quadro 3.2 | Principais características dos três retificadores
Meia Onda Onda Completa Ponte
Número de diodos 1 2 4
Tensão de pico de saída V pico2( ) 0 5 2, ( )⋅V pico V pico2( )
Tensão CC de saída 0 318 2, ( )⋅V pico 0 318 2, ( )⋅V pico 0 636 2, ( )⋅V pico
Tensão RMS V VRMS pico= ⋅0 5 2, ( ) V VRMS pico= ⋅0 354 2, ( ) V VRMS pico= ⋅0 707 2, ( )
Corrente CC do diodo ICC 0 5, ⋅ ICC 0 5, ⋅ ICC
Tensão de pico reversa (PIV) V pico2( ) 0 5 2, ( )⋅V pico 0 5 2, ( )⋅V pico
Frequência da ondulação fENT 2 ⋅ fENT 2 ⋅ fENT
U3 - Circuitos eletrônicos 122
Para eliminar essa onda pulsante de tensão, dada nas saídas 
dos retificadores, é necessário armazenar a energia de alguma 
forma para que quando a tensão comece a diminuir, a energia 
armazenada fosse descarregada na carga, procurando manter 
uma tensão de saída constante.
O elemento que faz isso são os filtros, como o capacitor que 
armazena cargas elétricas e quando a tensão de entrada diminui, 
ele se descarrega sobre a carga, como mostra a Figura 3.18, em 
que a tensão pulsante Vin está em tracejado e a tensão após o 
capacitorVout está em linha contínua.
Na Figura 3.18(a) é apresentada a tensão de saída de um 
retificador de meia onda e na Figura 3.18(b) é apresentada a saída 
dos retificadores de onda completa, que depois de ter atingido o 
nível de +Vp, a sua tensão começa a cair, e é então que o capacitor 
entra em ação.
Como o capacitor começa a perder a sua carga, a tensão nos 
seus terminais começa a cair até que a tensão da fonte volte a 
ser maior que a tensão do capacitor e carregue o capacitor 
novamente, repetindo o ciclo. No caso exemplificado, o capacitor 
não descarrega totalmente porque a constante de tempo de 
descarregamento é muito maior que o período T da senoidal. Essa 
constante de tempo é dada pela equação (3.12).
T C RC CARGA= ⋅ (3.12)
Fonte: elaborada pelo autor.
Figura 3.18 | Tensão de saída do retificador de meia onda. (b) Saída do retificador 
de onda completa
(a) (b)
Questão para reflexão
Como fazer para obter uma onda contínua, ou que se aproxime de um 
sinal contínuo? A ideia é armazenar carga e fornecer essa carga quando 
a tensão começar diminuir, você consegue imaginar como fazer isso?
U3 - Circuitos eletrônicos 123
Fonte: elaborada pelo autor.
Figura 3.19 | Retificador de onda completa em ponte com filtro capacitivo
Para se obter um tempo de descarregamento grande, o produto 
da equação (3.12) mostra que o valor da capacitância tem que ser 
alto, no entanto, isso pode implicar em corrente de surto na carga, 
o que pode ocasionar estragos na filtragem do sinal.
A tensão da carga nesse ponto é quase uma onda contínua, 
só que há uma pequena oscilação que é causada pela descarga e 
carga do capacitor. Essa oscilação é conhecida como Tensão de 
Ripple e é dada pela equação (3.13).
V I
f CRIPPLE
CC=
⋅
 (3.13)
Em que I
CC
 é a corrente que a carga drena da fonte, f é a 
frequência dos pulsos e C é a capacitância do capacitor do filtro.
Lembrando que para os retificadores de onda completa, a 
frequência é o dobro quando comparado ao sinal senoidal e do 
retificador de meia onda. Por exemplo, para a frequência da onda 
senoidal de 60 Hz, a frequência dos pulsos de um retificador 
de meia onda será também 60 Hz e nos retificadores de onda 
completa será de 120 Hz.
A retificação em ponte, da Figura 3.19, é a mais utilizada em 
projetos. Quanto maior a capacitância do capacitor, maior será 
a constante de tempo de carregamento, e isso pode gerar uma 
correte excessiva chamada de corrente de surto.
1.5.1 Corrente de surto
No instante que o circuito é energizado, o capacitor está 
descarregado e se comporta como um curto, fazendo com que 
U3 - Circuitos eletrônicos 124
a corrente inicial seja muito grande, conhecida como corrente de 
surto.
A corrente de surto depende do valor da tensão de pico do 
secundário, das resistências internas do diodo e do enrolamento 
do transformador vista pelos terminais do capacitor, obtida pela 
resistência de Thevenin (RTH), que é dada pela equação (3.14).
I
V
RSURTO
pico
TH
= 2( ) (3.14)
A corrente de surto começa a diminuir com o carregamento 
do capacitor, e os diodos, dentro de certo limite, são fabricados 
para aguentar essa corrente sendo que os seus limites são dados 
nos datasheets, apresentado como I
SURTO
, I
FM(surto)
 ou I
FSM
. O maior 
problema está no fato do capacitor ter uma capacitância muito 
grande e demorar muito para se carregar, fazendo com que essa 
corrente de surto permaneça alta por alguns ciclos, podendo 
danificar o diodo.
Para resolver esse problema de corrente de surto, coloca-se 
um resistor de surto, geralmente de resistência ôhmica baixa e 
potência alta, como mostrado na Figura 3.20.
Para os casos em que é necessária uma alta corrente na carga, a 
ondulação de descarregamento do capacitor varia bastante, e para 
resolver esse problema de alta corrente de surto são realizados 
filtros RC e LC em seções, como mostra a Figura 3.21(a) e (b).
Fonte: elaborada pelo autor.
Figura 3.20 | Retificador de onda completa com resistência de surto
U3 - Circuitos eletrônicos 125
No Filtro RC, da Figura 3.21(a), o resistor R é pelo menos 10 
vezes maior que a impedância capacitiva X
c
 na frequência de 
ondulação, fazendo com que a ondulação seja atenuada por R ao 
invés de ser atenuada pela carga. A desvantagem desse filtro é a 
perda de tensão através de cada resistor R, sendo adequada a sua 
utilização apenas para resistência de carga alta.
Já o filtro LC, da Figura 3.21(b) é utilizado quando a corrente de 
carga é muito alta e o indutor é usado para suprir essa corrente alta 
para a carga. Isso é conseguido fazendo X
L
 muito maior que X
c
 na 
frequência de ondulação.
Atualmente, o filtro LC é pouco utilizado, tornando-se obsoleto 
devido às grandes dimensões e ao custo dos indutores. Nas fontes 
de alimentação de baixa tensão, o filtro LC vem sendo substituído 
por reguladores de tensão e filtros ativos que reduzem a ondulação 
e mantêm a tensão CC constante na saída.
Fonte: elaborada pelo autor.
Figura 3.21 | (a) Filtro RC. (b) Filtro LC
(a)
(b)
U3 - Circuitos eletrônicos 126
Para saber mais
Diodos retificadores - O que são e como utilizar
O vídeo apresenta de forma divertida as características gerais e 
principais aplicações dos diodos. São dados exemplos práticos de 
funcionamento do dispositivo, em que os circuitos de exemplo são 
montados em protoboard, expondo o que é possível ser feito com 
os diodos mais simples, os retificadores. Disponível em: <https://
youtu.be/HHryJ1K5ppA>. Acesso em: 2 abr. 2017.
1.6 Diodo zener
Como mostrado no gráfico da Figura 3.6, o diodo possui 
uma tensão de ruptura, conhecida também como tensão zener, 
e como visto, não é bom o diodo semicondutor operar nessa 
região, pois ele pode danificar-se. No entanto, foi criado um outro 
componente que opera somente nessa região, conhecido como 
diodo zener.
O diodo zener é um diodo otimizado para trabalhar na região de 
ruptura, usado em reguladores de tensão, pois mantém a tensão 
da carga praticamente constante, apesar das variações na tensão 
de entrada e da resistência da carga.
O símbolo do diodo zener é dado pela Figura 3.22(a) e é 
diferenciado do diodo semicondutor pelo fato do terminal cátodo 
lembrar a letra “z”, representando zener. É possível produzir diodos 
com valores de tensão zener de 2 V até 200 V, e isso se consegue 
aumentando o nível de dopagem.
U3 - Circuitos eletrônicos 127
1.6.1 Funcionamento do diodo zener
O diodo zener opera em estado ligado ou desligado. Para a 
operação no estado ligado, a tensão em seus terminais tem que ser 
maior que a sua tensão zener, fazendo com que ele se comporte 
como uma fonte de tensão contínua, fixando o valor de sua tensão 
de saída no valor de tensão zener.
No estado desligado, quando a tensão em seus terminais é 
menor que sua tensão zener, ele se comporta como um circuito 
aberto, como mostrado na Figura 3.22(c).
As Figuras 3.22(b) e (c) consideram o diodo zener como ideal, 
no entanto, o modelo real dele tem uma resistência associada em 
série com o diodo zener.
A potência dissipada no diodo zener é dada no seu datasheet e 
é obtida da equação (3.15).
P V IZ Z Z= ⋅ (3.15)
Como a tensão é fixa, pois é uma característica do próprio 
diodo zener, a potência é limitada pela corrente máxima que ele 
pode suportar. Os diodos zener têm potências que variam de ¼ W 
até mais de 50 W. Para explicar melhor o funcionamento do diodo 
zener, observe o circuito da Figura 3.23.
Fonte: elaborada pelo autor.
Figura 3.22 | (a) Símbolo do diodo zener. (b) Diodo zener operando em estado 
ligado. (c) Diodo zener operando em estado desligado
U3 - Circuitos eletrônicos 128
Fonte: elaborada pelo autor.
Fonte: elaborada pelo autor.
Figura 3.23 | Regulador zener básico
Figura 3.24 | (a) Diodo zener ligado. (b) Diodo zener desligado
Nesse circuito a tensão de entrada V
IN
 e a carga R
L
 são fixas, e é 
necessáriodividir em duas etapas a análise.
1. Determinar o estado de funcionamento do diodo zener
Para se verificar o estado do diodo zener, é preciso saber a 
tensão sobre o seus terminais, que é a mesma tensão da carga. Ao 
fazer um divisor de tensão, obtém-se a equação,
V V R
R R
VL L
L
IN= = +
⋅
Se V VZ≥ o diodo zener está ligado e o circuito é mostrado na 
Figura 3.24(a), no entanto, se V VZ< o diodo zener está desligado, 
estado equivalente dado pela Figura 3.24(b).
2. Substituir o circuito equivalente e determinar as variáveis 
do circuito
Para o circuito da Figura 3.24(b), não há interação com o diodo 
zener, não sendo necessária a análise desse caso. Já para o circuito 
da Figura 3.24(a), o zener está ligado e a tensão na carga é igual a 
U3 - Circuitos eletrônicos 129
Fonte: Marques (2012, p. 89).
Figura 3.25 | Esquema de retificação do sinal alternado para contínuo
Para estudar os reguladores de tensão, serão analisados dois 
casos, um em que a tensão de entrada V
IN
 é fixa e a carga R
L 
variável, e outro em que a carga R
L
 é fixa e a tensão de entrada 
V
IN
 variável.
tensão zener, ou seja,
V VL Z= .
A corrente no diodo zener é achada pela Lei de Kirchhoff para 
correntes, ou seja, a corrente sobre o resistor R se divide na carga 
e no zener (equação 3.16), ou:
I I IR Z CARGA= + , ou
I I IZ R CARGA= − (3.16)
Em que, I V
RCARGA
CARGA
L
= e I V
R
V V
RR
R IN CARGA= =
−
.
Como dito, a variável mais importante é a potência que o diodo 
pode dissipar, e o valor achado deve ser menor que a potência 
especificada do diodo zener, dada na sua folha de dados por PZM. 
Os diodos zener são usados em aplicações como reguladores de 
tensão e como tensão de referência.
1.6.2 Regulador de tensão utilizando diodo zener
Para tensões maiores que a necessária para ligar o diodo zener, 
a tensão na carga se mantém fixa em V
Z
, e isso chamamos de 
regulação de tensão ou estabilização de tensão, mais uma etapa da 
fonte de tensão linear, como mostrado no esquema da Figura 3.25.
U3 - Circuitos eletrônicos 130
1. V
IN
 fixa e R
L
 variável
Se a resistência de carga for muito pequena, para um certo valor 
de tensão de entrada, o diodo zener pode operar como desligado. 
Nesse caso, é necessário projetar o circuito limitado pelo valor 
mínimo da resistência de carga, do circuito da Figura 3.24(a).
Usando a equação (3.17) que determina a tensão da carga, e 
isolando a resistência da carga, é possível calcular a resistência de 
carga mínima, como mostrado na equação (3.17) e (3.18).
V V R
R R
VZ L L
L
IN= = +
⋅ (3.17)
R R V
V VL
Z
IN Z
(min)
=
⋅
−
 (3.18)
Para qualquer valor maior que R
L(min)
 o diodo zener entra em 
operação e a saída pode ser substituída por uma fonte V
Z
. Para o 
caso de uma R
L
 muito pequena, a corrente suportada pelo zener 
pode ficar acima das suas especificações, para isso se calcula a 
corrente máxima para a carga dada, pela equação (3.19).
I V
R
V
RL
L
L
Z
L
(max)
(min)
= = (3.19)
Quando o zener está no estado ligado, a tensão e a corrente 
sobre ele continuam fixas, como mostram as equações (3.20) e 
(3.21).
V V VR IN Z= −
 (3.20)
I V
RR
R= (3.21)
Como a corrente na resistência R é fixa, a corrente do diodo, 
dada pela equação (3.22), varia de acordo com a corrente da carga, 
e como a corrente no zener é limitada por um valor, dado pela sua 
folha de dados, a resistência de carga tem um valor máximo que 
pode ser adotada como mostrado na equação (3.23), ou seja:
I I IL R Z(min) (max)= − (3.22)
R V
IL
Z
L
(max)
(min)
= (3.23)
U3 - Circuitos eletrônicos 131
E a partir desses dados é possível determinar a potência dissipada 
no diodo zener. O outro caso é quando se tem na entrada, do 
circuito do diodo zener, uma tensão variável para uma resistência 
de carga fixa.
2. R
L
 fixa e V
IN
 variável
Quando o valor da resistência da carga é fixo e a tensão de 
entrada é variável, é preciso determinar a tensão mínima que liga 
o diodo, que é dada pela equação (3.24) em que se isola a tensão 
de entrada.
V R R
R
VIN L
L
Z(min)
( )
=
+
⋅
 (3.24)
Já a tensão máxima de entrada é limitada ao valor da corrente 
máxima do zener, ou seja:
I I IR Z L(max) (max)= − .
Como a tensão de entrada é a soma da tensão no resistor R e 
a tensão do zener, tem-se que a tensão máxima de entrada é dada 
pela equação (3.25).
V I R VIN R Z(max) (max)= ⋅ + (3.25)
Esse caso é utilizado quando se tem uma tensão obtida da 
filtragem de um retificador, como mostra a Figura 3.26, em que o 
objetivo é manter uma tensão CC constante e estável.
Fonte: Boylestad (2004, p. 70).
Figura 3.26 | Forma de onda gerada por um sinal retificado e filtrado
U3 - Circuitos eletrônicos 132
Apesar do diodo zener ter as características de manter uma tensão 
fixa na saída, ainda há uma certa ondulação dada pela variação da 
corrente I
D
 do gráfico, e para manter uma boa estabilidade algumas 
condições de projetos precisam ser satisfeitas, ou seja:
R RZ L≤ ⋅0 01,
Em que o R
Z
 é a resistência zener e é dada pela folha de dados 
(datasheet). Se não for possível satisfazer essas duas condições, ou 
se implementa um pré-regulador zener, como na Figura 3.27, ou 
se usa um transistor, que será visto mais adiante, para se obter um 
regulador de tensão mais estável.
Uma outra característica do diodo zener é o coeficiente de 
temperatura, em que a variação da temperatura da vizinhança do 
diodo zener traz uma variação na tensão zener. O coeficiente de 
temperatura de cada diodo zener é dado na sua folha de dados, e 
para aplicações em que é necessária uma tensão firme ao longo 
de uma extensa faixa de temperatura, o melhor é trabalhar com 
coeficientes mais próximos de zero.
1.7 Circuitos limitadores ou ceifadores
Os circuitos limitadores, às vezes conhecidos como ceifadores, 
são utilizados para retirar tensões do sinal de entrada acima ou 
abaixo de um certo valor. Devido à essa característica, eles servem 
também para proteger circuitos de análise de sinais.
Um exemplo de circuito ceifador é o retificador de meia onda, 
visto em retificação de sinais.
Fonte: elaborada pelo autor.
Figura 3.27 | Pré-regulador zener alimentando o regulador de saída
U3 - Circuitos eletrônicos 133
Como mostra a Figura 3.28, ao colocar uma onda quadrada na 
entrada, com valores negativos e positivos, na saída passará apenas 
a parte positiva do sinal, e, da mesma forma, ao colocar uma onda 
triangular positiva e negativa, na saída aparecerá somente o sinal 
positivo.
Os circuitos que “ceifam” a parte positiva do sinal de entrada 
são chamados de ceifadores positivos, e os que “ceifam” a parte 
negativa são chamados de ceifadores negativos.
Os ceifadores são divididos em duas categorias, de acordo com 
a sua topologia, que são os ceifadores em série, que possuem o 
diodo em série com a carga, e os em paralelo, que possuem o 
diodo em paralelo com a carga.
Os ceifadores em série simples são divididos em dois tipos, o 
positivo e o negativo, têm a mesma topologia que os retificadores 
de meia onda e seu funcionamento segue a mesma lógica que 
dos retificadores de meia onda, observando que ao inverter o 
diodo (ceifador em série simples negativo), a onda de saída será 
pulso negativo.
Há também os ceifadores em série polarizados nos quais é 
adicionado um sinal contínuo V, deslocando a onda de tensão de 
saída na direção vertical.
Fonte: Boylestad (2004, p. 58).
Figura 3.28 | (a) Circuito ceifador em série. (b) Sinal de entrada e de saída do 
ceifador em série
(a)
(b)
U3 - Circuitos eletrônicos 134
Os ceifadores, considerando os diodos ideais, são apresentados 
na Figura 3.29.
Os ceifadores em série simples têm o mesmo funcionamento 
que um retificador de meia onda, em que umdos semiciclos é 
eliminado. Agora para verificar o funcionamento de um ceifador 
polarizado, considere a Figura 3.30.
No circuito da Figura 3.30(b), a princípio suponha que a tensão 
V = 0V e considerando que o diodo seja ideal, o funcionamento 
é o mesmo para os ceifadores não polarizados, em que só passa 
para a saída o semiciclo positivo. Ao aumentar a tensão V em 1 V, o 
diodo começará a conduzir quando a tensão de entrada for de -1 V, 
Fonte: Boylestad (2004, p. 62).
Fonte: Boylestad (2004, p. 60).
Figura 3.29 | Circuitos ceifadores em série simples e polarizados
Figura 3.30 | (a) Sinal de entrada. (b) Ceifador em série polarizado. (c) Onda de saída=
U3 - Circuitos eletrônicos 135
Fonte: Boylestad (2004, p. 63).
Figura 3.31 | Circuitos ceifadores paralelos simples e polarizados
pois para o diodo, a tensão que chega no seu ânodo é a soma da 
tensão de entrada VIN e da fonte V, e ele por ser ideal começará a 
conduzir quando a tensão no seu anôdo for 0 V. Isso faz com que 
seja deslocada a onda da tensão de saída para cima. Imaginando 
que a tensão de pico de entrada for de VIN = 20 V e a fonte 
V = 5 V, o diodo vai conduzir a partir de -5 V até a tensão de pico da 
entrada, deixando apenas de conduzir quando a tensão de entrada 
for menor que 5V negativo.
Se o diodo for invertido, a análise do funcionamento segue a 
mesma lógica, invertendo apenas o sinal dos valores limitantes, ou 
seja, no exemplo da Figura 3.30 com diodo invertido, a saída será 
no semiciclo negativo e a tensão de pico da saída será a tensão de 
pico da entrada, descontando a tensão da fonte V. 
Os ceifadores em paralelo consistem em colocar em curto a 
saída, ou seja, quando a tensão for maior que a tensão do diodo 
na polarização direta, o diodo começa a conduzir e a saída será 
a tensão sobre os terminais do diodo, que no caso ideal é igual a 
zero. Os ceifadores em paralelo são mostrados na Figura 3.31.
U3 - Circuitos eletrônicos 136
Analisando o ceifador paralelo simples positivo da Figura 
3.32(a), quando a tensão é positiva, o diodo entra em condução, 
colocando o potencial terra na saída. Quando a entrada está no 
semiciclo negativo, o diodo bloqueia a tensão e na saída aparece o 
formato de onda do semiciclo negativo.
Esses circuitos ceifadores necessitam que a resistência R afete 
o mínimo possível a tensão de saída, necessitando que seu valor 
de resistência seja cem vezes menor que a resistência da carga, 
garantindo uma fonte estável na entrada.
Ao inverter o diodo, o resultado será o inverso do discutido, 
como pode ser acompanhado na Figura 3.31 que mostra todos os 
circuitos ceifadores.
Nos ceifadores em paralelo polarizado, o ponto é verificar a 
condução do diodo, e o funcionamento segue a mesma lógica 
que o ceifador em série. É possível fazer associações de ceifadores 
em paralelo, limitando a tensão entre dois valores de tensão. Essa 
aplicação é muito utilizada em conversores de sinais analógicos-
digitais e em microprocessadores para proteger contra queimas os 
componentes internos por sobretensão.
Para analisar os circuitos ceifadores com diodos no modelo 
simplificado, aproximando-se mais da realidade, a análise é 
equivalente aos ceifadores polarizados, em que é colocado uma 
fonte de tensão VD com a polaridade da Figura 3.33.
Fonte: Boylestad (2004, p. 61).
Figura 3.32 | (a) Circuito ceifador em paralelo. (b) Sinal de entrada e de saída do 
ceifador em paralelo
U3 - Circuitos eletrônicos 137
Como a implementação da fonte de tensão em série com o 
diodo não é prático, pois exigiria uma alimentação externa, então é 
utilizado em muitas aplicações diodos de silício em série (que cada 
diodo dá uma tensão de 0,7 V), ou diodos zener para se conseguir 
a tensão V que limitará a saída. Não há um limite para o número 
de diodos utilizados nos projetos para adquirir tensões desejadas, 
como mostra a Figura 3.34.
Fonte: Boylestad (2004, p. 61).
Fonte: elaborada pelo autor.
Figura 3.33 | (a) Circuito ceifador considerando o diodo com a segunda 
aproximação. (b) Onda de entrada e saída
Figura 3.34 | Circuito de compensadação com dois diodos
1.8 Circuitos grampeadores
Como foi visto, o capacitor é um elemento que se carrega e 
armazena cargas, e quando necessário libera essa energia na forma 
de tensão. Os circuitos grampeadores têm o intuito de justamente 
armazenar carga em um capacitor e em um momento propício 
liberar essa energia, dependendo do controle do diodo.
U3 - Circuitos eletrônicos 138
Os circuitos grampeadores podem ser divididos em dois tipos, 
o grampeador positivo e o grampeador negativo. Suponha que o 
tempo de carregamento do capacitor seja pequeno, ou seja, ele se 
carrega rapidamente, e o tempo de descarregamento seja muito 
grande, não dando tempo do capacitor perder sua carga totalmente.
A Figura 3.35 mostra um grampeador positivo, em que no 
primeiro semiciclo negativo da tensão de entrada o diodo 
conduz, carregando o capacitor até o pico da tensão de entrada e 
colocando a saída em curto.
Quando a tensão de entrada passa para o semiciclo positivo, o 
diodo deixa de conduzir, e a tensão da entrada aparece na saída, 
somada com a tensão de carregamento do capacitor.
O capacitor se comporta como uma fonte de tensão quando 
o diodo está bloqueado, fazendo com que a mesma excursão de 
entrada (valor de pico a pico) seja transferida para a saída a partir do 
eixo zero, dando como valor máximo de V VSAÍDA pico= ⋅2 2( ) .
No grampeador negativo, a lógica de funcionamento é a mesma 
do grampeador positivo. Em algumas aplicações é adicionada uma 
fonte de tensão com o diodo, fazendo com que na saída apareça 
uma tensão contínua, como mostra a Figura 3.36 com todos os 
circuitos grampeadores e seus efeitos.
Fonte: elaborada pelo autor.
Figura 3.35 | Grampeador positivo
U3 - Circuitos eletrônicos 139
Os circuitos grampeadores são amplamente utilizados em sinal 
de vídeo, em que é necessário somar uma tensão contínua ao sinal 
que sofreu um desacoplamento capacitivo, aplicação chamada de 
restaurador cc.
1.8.1 Circuitos detectores de pico
Há dois tipos de circuitos detectores de pico, um que detecta 
apenas o pico de uma tensão e outro que detecta o valor de pico 
a pico.
O circuito que detecta o valor de pico de tensão é mostrado na 
Figura 3.37.
Fonte: Boylestad (2004, p. 66).
Figura 3.36 | Cicuitos Grampeadores com entrada de onda quadrada
U3 - Circuitos eletrônicos 140
Quando a tensão de entrada é positiva o diodo conduz, carregando 
o capacitor com o valor máximo da tensão de entrada. Quando a 
tensão de entrada sofre uma diminuição no seu valor, o diodo entrará 
em corte, pois a tensão do capacitor é maior que a tensão de entrada, 
e a tensão na saída será o pico da tensão do capacitor, mostrando o 
valor de saída do último pico de tensão atingido. Para isso, é necessário 
que o tempo de descarregamento seja muito grande.
A Figura 3.38 mostra um detector de pico a pico, que é formado 
por um circuito grampeador e um detector de pico.
Como o sinal de entrada é grampeado positivamente, a entrada 
do detector de pico terá o valor de pico de 2
2
⋅V pico( ) 2.V2(PICO) com 
uma pequena ondulação, devido à descarga do capacitor.
Esse circuito de detector de pico a pico funciona como um 
voltímetro de sinal alternado, em que ele faz a leitura de toda a 
excursão do sinal.
Fonte: elaborada pelo autor.
Fonte: elaborada pelo autor.
Figura 3.37 | Circuito detector de pico
Figura 3.38 | Circuito detector de pico a pico
U3 - Circuitos eletrônicos 141
Fonte: elaborada pelo autor.
Figura 3.39 | Retificador em Ponte com resistor de surto
Atividades de aprendizagem
1. Calcule a tensão de saída mínima e máxima (considerando a ondulação 
dada pelo capacitor) e a corrente de saída do circuito a seguir, para uma 
tensão RMS do secundário do transformador de 22,7 V, RSURTO = 5Ω, C 
= 1700 µF e RL = 30 Ω, para diodos de silício.
2. Considerando a saída do circuito do exercício anterior, para uma 
carga fixa e uma tensão de entrada variável,projete o regulador com 
diodo zener para ter uma saída de 20 V estável para uma carga de 1kΩ. 
Dados do zener: VZ = 20 V e IZM = 60 mA.
U3 - Circuitos eletrônicos 142
Seção 2
Transistores bipolares de junção
Introdução à seção
Antes dos anos 1950, os equipamentos eletrônicos utilizavam 
grandes válvulas com bulbo de baixo brilho, consumindo muita 
potência com o seu aquecimento. Por isso, esses equipamentos 
à válvula exigiam fontes de tensão robustas e criavam grande 
quantidade de calor.
Naquela época, os computadores ocupavam uma sala inteira e 
custavam milhões de dólares. Com a invenção do transistor, nos 
laboratórios da Bell Telephone, pelos doutores Shockley, Bardeen 
e Brattain, nos anos de 1950, foi revolucionado o conceito de 
eletrônica que conhecemos hoje em dia.
O maior exemplo dessa mudança são os computadores, que além 
de custar, nos dias atuais, algumas centenas de dólares e, cabem em 
uma mochila, muito diferente dos computadores à válvula.
A abreviação TBJ, Transistor Bipolar de Junção (em inglês, 
Bipolar Junction Transistor – BJT) é aplicada à um dispositivo de 
três terminais: coletor, base e emissor, que pode ser dopado como 
NPN ou PNP, como mostrado na Figura 3.40.
Fonte: elaborada pelo autor.
Figura 3.40 | (a) Símbolo do diodo. (b) Esquema de um diodo NPN
(a) (b)
U3 - Circuitos eletrônicos 143
O transistor possui duas junções, uma entre o emissor e a base 
e outra entre a base e o coletor, e isso faz com que um transistor 
se assemelhe a dois diodos, os quais chamamos o diodo da 
esquerda (Figura 3.40(a)) de diodo emissor e o diodo da direita é o 
diodo coletor.
No entanto, se forem ligados dois diodos discretos, um de 
costas para o outro, não se obtém um transistor porque cada 
diodo tem duas regiões dopadas, de modo que o circuito possui 
quatro regiões dopadas. Além disso, o emissor, a base e o coletor 
têm diferentes níveis de dopagem e tamanho, em que o coletor 
tem o maior tamanho em relação às outras partes do transistor, 
pois é nesse terminal que o calor gerado será dissipado.
Como dito, há dois tipos de transistores, o NPN e o PNP que 
é complemento do NPN. A diferença do transistor PNP consiste 
em dizer que as correntes e as tensões envolvidas são opostas ao 
funcionamento de um transistor NPN, e para facilitar a explicação 
em nossos estudos nos concentraremos apenas no transistor NPN 
durante o decorrer desse capítulo.
Assim como o diodo, os transistores mais utilizados são os de 
silício, pois fornecem especificações de tensão e correntes mais 
altas e menor sensibilidade à temperatura, mas há também o 
transistor de germânio. A diferença na análise do funcionamento 
está no fato de que as camadas de depleção formadas pela junção 
emissor-base e base-coletor para o silício à 25 °C é de 0,7 V e para o 
germânio é de 0,3 V. No decorrer dos nossos estudos adotaremos 
apenas o transistor de silício.
2.1 Polarizando o transistor
Há três formas de se polarizar um transistor, e cada forma 
apresenta um comportamento distinto.
Questão para reflexão
Como há duas camadas de depleção, poderíamos substituir as 
regiões por dois diodos, um de costas para o outro. Se fizermos 
isso, os diodos se comportarão como um transistor?
U3 - Circuitos eletrônicos 144
Fonte: elaborada pelo autor.
Figura 3.41 | (a) Polarização direta nas duas junções. (b) Polarização reversa nas 
duas junções
(a) (b)
Na Figura 3.41(a), a fonte de tensão V
EE
 polariza diretamente 
o diodo emissor e a fonte de tensão V
CC
 polariza diretamente o 
diodo coletor, com isso os elétrons livres entram no emissor e 
no coletor do transistor e juntam-se na base, fluindo através do 
terminal comum das duas fontes de tensão, fazendo com que as 
correntes do emissor e do coletor sejam grandes.
Já na Figura 3.41(b) está outra forma de se polarizar o transistor, 
que é colocando os dois diodos reversamente polarizados, surgindo 
correntes reversas produzidas por causa da temperatura e por fuga 
superficial, com valores tão pequenos que são desprezíveis.
Essas duas primeiras formas de polarização são raramente 
utilizadas nos circuitos lineares, pois não têm nenhuma 
característica incomum.
Agora, se polarizarmos o transistor da forma mostrada pela 
Figura 3.42, polarizando o diodo emissor diretamente e o diodo 
coletor reversamente, acontece algo inesperado. Espera-se que 
haja uma grande corrente no emissor, e isso acontece, mas no 
coletor se espera que não haja corrente, no entanto, a corrente do 
coletor é tão grande quanto a corrente no emissor.
U3 - Circuitos eletrônicos 145
Fonte: elaborada pelo autor.
Figura 3.42 | Diodo emissor polarizado diretamente e diodo coletor reversamente
Isso acontece porque no instante em que o diodo emissor 
é polarizado diretamente, os elétrons do emissor ainda não 
penetraram na região da base. Quando V
EE
 é maior que o potencial 
da barreira de depleção (0,7 V para os de silício), os elétrons 
penetram na região da base e podem fluir em qualquer uma das 
duas direções: descendo pela base que é fina, surgindo a corrente 
de recombinação, ou passando para a região do coletor, fluindo 
pelo terminal externo do coletor, chegando no terminal positivo 
da fonte de tensão V
CC
. Na maioria dos transistores, mais de 95% 
dos elétrons injetados pelo emissor fluem para o coletor e apenas 
5% preenchem as lacunas da base e fluem através do terminal 
externo da base.
2.2 Variáveis importantes
2.2.1 Alfa CC
Por causa do fato de 95% dos elétrons injetados pelo emissor 
fluírem para o coletor, isso implica que a corrente do emissor seja 
aproximadamente igual a corrente do coletor. O alfa cc de um 
transistor é a variável que indica o quanto essas duas correntes 
se aproximam uma da outra, sendo definido de acordo com a 
equação 3.26.
αCC
C
E
I
I
= (3.26)
U3 - Circuitos eletrônicos 146
Quanto mais fina for a base, mais o αCC se aproximará da 
unidade. Praticamente todos os transistores têm um αCC maior 
que 0,95 e por essa razão a corrente de emissor pode ser dita que 
é igual a corrente de coletor.
2.2.2 Beta CC
Os transistores são utilizados como circuitos amplificadores, 
em que a entrada é amplificada na saída, e esse ganho é dado pela 
relação entre as correntes de coletor e da base, como mostrado 
na equação (3.27).
βCC
C
B
I
I
=
 (3.27)
O valor de βCC pode variar de 50 a mais de 400, podendo 
chegar em alguns transistores na ordem de 1000. Nas folhas 
de dados, o βCC é lido como hFE em que o índice FE significa, 
respectivamente, amplificação de corrente direta (forward) e da 
configuração emissor-comum, que será apresentada mais adiante.
2.2.3 Tensões de ruptura
Uma outra variável a ser considerada nos projetos é a tensão 
de ruptura nas polarizações do transistor. Como o transistor é 
formado por dois diodos (lembrando que não produz o mesmo 
efeito que dois diodos discretos em um circuito), a tensão reversa 
tem um limite de ruptura, que depende da largura da camada 
de depleção e dos níveis de dopagem. Devido ao alto nível de 
dopagem do emissor, a tensão β ⋅VBE é baixa, já como o coletor 
é menos densamente dopado, a tensão de ruptura é mais alta. 
Essas tensões são dadas na folha de dados do transistor.
Para a maioria das aplicações, o diodo coletor é polarizado 
reversamente, e quando a tensão coletor-base V
CB
 é grande demais, 
o diodo coletor pode ser danificado por dissipação excessiva de 
potência, que é uma outra variável obtida das folhas de dados dos 
transistores, de acordo com o seu fabricante.
U3 - Circuitos eletrônicos 147
2.3 Configurações básicas
Há três polarizações em que os transistores podem ser 
utilizados, que são Base Comum (BC), Emissor Comum (EC) e 
Coletor Comum (CC), nos quais o termo comum se refere ao 
terminal que é comum tanto na entrada quanto na saída, como 
mostrado na Figura 3.43, com os três tipos de polarizações.
Devido ao fato da polarização de emissor comum ser a mais 
utilizada emaplicações, os fabricantes apresentam as curvas 
relacionadas a esse tipo de polarização, e a partir dessa polarização 
serão explorados os gráficos de operação.
2.3.1 Configuração emissor comum
A polarização do transistor mais utilizada é a configuração 
emissor comum, sendo o terminal emissor comum em relação aos 
Para saber mais
Como usar a folha de dados (datasheet)
Saber ler um datasheet é algo primordial a um engenheiro, assim 
como conhecer os seus pormenores e saber extrair deles a 
informação necessária. Acompanhe na web um artigo que mostra 
a forma que deve ser lido um datasheet e os locais onde ele pode 
ser encontrado. Ao final do artigo são listados outros três artigos 
que dão mais informações de como deve ser feita a leitura de uma 
folha de dados e os principais pontos que se deve ter atenção. 
Disponível em: <http://www.newtoncbraga.com.br/index.php/
ingles-para-eletronica/548-datasheet-como-usar-o-quadro-de-
busca>. Acesso em: 2 abr. 2017.
Fonte: elaborada pelo autor.
Figura 3.43 | (a) Polarização de Base Comum. (b) Polarização de Emissor Comum. 
(c) Polariação de Coletor Comum
U3 - Circuitos eletrônicos 148
terminais de entrada (base) e de saída (coletor), como mostrado na 
Figura 3.44.
O funcionamento desse circuito se dá quando V
BB
 for maior do 
que 0,7 V, o emissor injeta elétrons na base, e como a base é fina 
os elétrons passam para o coletor, fluindo para a fonte externa V
CC
. 
Como o fluxo de corrente é contrário ao fluxo de elétrons, pela Lei 
de Kirchhoff, a corrente segue a equação (3.28),
I I IE C B= + (3.28)
Há três relações de correntes importantes que sempre devem 
ser lembradas quando se fala em transistores:
1. A corrente de emissor é a soma das correntes de coletor e 
da base.
I I IE C B= +
2. A corrente do coletor é aproximadamente igual à corrente 
do emissor.
I IC E≅
3. A corrente da base é muito menor que as correntes de 
emissor e de coletor.
I IB E<<
I IB C<<
Fonte: elaborada pelo autor.
Figura 3.44 | Circuito na configuração emissor comum
(a) (b)
U3 - Circuitos eletrônicos 149
Fonte: Boylestad (2004, p. 102).
Figura 3.45 | Curva devido ao efeito Early
2.3.2 Gráficos de entrada e de saída
O transistor é um componente em que a saída de tensão e 
corrente dependem da excitação da corrente de entrada. Na 
polarização emissor comum (EC), a base é a entrada e o coletor 
é a saída.
A curva da base é dada por um gráfico de I
B
 em função de V
BE
, 
como mostra a Figura 3.45.
Ao aumentar a tensão V
BB
 do circuito da Figura 3.44, até atingir a 
tensão de polarização do diodo emissor (no caso do silício é 0,7 V), 
a corrente de I
B
 se mantém em zero, só que a partir da polarização 
do diodo, para V
BE
 = 0,7 V, a corrente I
B
 aumenta indefinidamente. 
Se aumentarmos a tensão V
CC
, a tensão V
CE
 sofrerá um aumento, 
mas o gráfico da Figura 3.45 mostra que V
BE
 se alterará muito pouco 
em função do aumento de V
CE
. Esse fenômeno é conhecido como 
efeito Early e na maioria das aplicações pode ser ignorado.
U3 - Circuitos eletrônicos 150
Fonte: elaborada pelo autor.
Fonte: Boylestad (2004. p. 102).
Figura 3.46 | Circuito para medir a corrente e a tensão do coletor do transistor
Figura 3.47 | Curva carcaterística do transistor na configuração emissor comum
Já a curva da saída, conhecida como curva do coletor, é obtida 
ao analisar o circuito da Figura 3.46, e para montar o gráfico da 
corrente do coletor I
C
 em função da tensão V
CE
, é necessário fixar 
um valor para a corrente da base I
B
 e analisar o aumento na tensão 
V
CE
.
Depois de V
CE
 atingir a tensão de joelho, que é aproximadamente 
1 V, a corrente IC permanece constante para uma dada corrente de 
base I
B
, até atingir a tensão de ruptura. Fazendo isso para diversos 
valores de corrente de entrada, obtém-se o gráfico da Figura 3.47.
U3 - Circuitos eletrônicos 151
Fonte: Marques (2012, p. 135).
Figura 3.48 | Reta de carga CC
É importante que a tensão de ruptura do transistor nunca seja 
atingida, pois ela pode danificá-lo. Esse gráfico nos mostra que o 
transistor pode operar em três situações, em corte, em saturação 
ou de forma ativa.
2.3.3 Ponto quiescente ou ponto de operação
Polarizar um transistor significa fixar o seu funcionamento em 
um ponto de operação, conhecido como ponto quiescente, em 
corrente contínua de acordo com suas curvas características.
Para se utilizar esse gráfico, é necessário desenhar a reta de carga 
do transistor, pois ela apresenta todos os pontos quiescentes possíveis 
para uma polarização. O transistor pode ser utilizado de duas formas: 
transistor como chave e transistor como fonte de corrente. Para cada 
utilização há uma forma de se obter a reta de carga.
2.3.4 Transistor como chave
Essa é a forma mais simples de se utilizar um transistor, em que 
o transistor opera em corte ou em saturação. Quando o transistor 
está em saturação, é como uma chave fechada do coletor para o 
emissor e em corte é como uma chave aberta do emissor para o 
coletor, e a base é quem realiza o controle dessa chave.
U3 - Circuitos eletrônicos 152
Dado o circuito e o gráfico da Figura 3.49, pode ser feita a 
análise e estabelecer os valores para os resistores que façam o 
transistor operar como chave.
Primeiramente, é estabelecida a corrente de saída (corrente do 
coletor) que se deseja na aplicação. Com isso, a soma das tensões 
de saída (no coletor) do transistor é dada por:
V R I VCC C C CE− ⋅ − = 0
I V V
RC
CC CE
C
=
−
 (3.29)
De acordo com a equação (3.29), isolando I
C
, fazendo a 
combinação da fonte V
CC
 e R
C
, é possível estabelecer o ponto 
de saturação do transistor. Observe que V
CE
 é zero quando a 
corrente do coletor atingir o seu maior valor, surgindo a corrente 
de saturação do coletor,
I V
RC saturação
CC
C
( )
=
Como mostrado na equação (3.30), a corrente de base que 
controla a operação do transistor é dada por:
I IB C
CC
=
β (3.30)
Fonte: Marques (2012, p. 164).
Figura 3.49 | (a) Circuito de chaveamento do transistor. (b) Curva característica do 
transistor como chave
(a) (b)
U3 - Circuitos eletrônicos 153
Fonte: Marques (2012, p. 149).
Figura 3.50 | (a) Transistor usado como fonte de corrente. (b) Curva característica 
do transistor como fonte de corrente
Como o ganho βCC varia para cada transistor e devido à 
temperatura, faz-se necessário escolher um valor que faça com que 
o transistor sempre entre em saturação, independentemente do 
valor do ganho. Em projetos, é utilizada uma ferramenta chamada 
saturação forte, que consiste em adotar o valor de ganho igual a 
10, pois no pior caso de corrente e temperatura, o transistor com 
βCC maior que 10 sempre garantirá a saturação forte.
E, por último, depois de calcular um valor de I
B
 para o ganho de 
10 do transistor, fazendo a soma das tensões da entrada, podem ser 
definidos os valores para R
B
 e V
BB
, como mostra a equação (3.31).
V R I VBB B B BE− ⋅ − = 0
I V V
R
V
RB
BB BE
B
BB
B
=
−
=
− 0 7,
 (3.31)
O circuito da Figura 3.49(a) é muito sensível à variação da 
corrente de entrada, trabalhando ou em corte ou em saturação. 
Para trabalhar com o transistor como fonte de corrente, é 
necessário fazer uma pequena alteração.
2.3.5 Transistor como fonte de corrente
Para se usar um transistor como fonte de corrente, é necessário 
que o βCC não afete a polarização do transistor. Para isso, é 
colocado um resistor no emissor, tirando o resistor da base, como 
mostra a Figura 3.50(a).
(a) (b)
U3 - Circuitos eletrônicos 154
Fazendo a soma das tensões da saída e isolando a corrente do 
coletor, surge a equação (3.32).
V R I V R ICC C C CE E E− ⋅ − − ⋅ = 0
I V V
R RC
CC CE
C E
=
−
+
 (3.32)
Como a corrente IC é aproximadamente a mesma que passa 
no emissor IE, a equação (3.32) mostra a reta no gráfico da Figura 
3.53(b).
Essa é a equaçãoda reta de carga CC, com esse circuito é 
possível estabelecer uma corrente do coletor imune às variações 
de βCC .
Fazendo a soma das tensões de entrada, é possível achar a 
relação das variáveis do circuito, isolando a corrente do emissor, 
obtendo a equação (3.33).
V V R IBB BE E E− − ⋅ = 0
I V V
RE
BB BE
E
=
−
 (3.33)
Como a corrente do emissor pode ser arredondada para o 
mesmo valor que a corrente do coletor I
C
, é possível escolher 
adequadamente o valor de RE ao substituirmos as variáveis 
conhecidas da equação (3.33).
U3 - Circuitos eletrônicos 155
Atividades de aprendizagem
1. Calcule o valor para a resistência de base RB de forma que o 
transistor da figura opere como chave, com R
C
 = 1,5kΩ, V
CC
 = 25 V e 
V
BB
 = 5 V, considerando a saturação forte.
2. Uma das aplicações do transistor como fonte de corrente é o 
acionamento de um LED. Sabemos que a queda de tensão do LED 
quando polarizado é de 2,4 V e a máxima corrente que pode passar 
pelo LED é de 20 mA. Calcule o valor da resistência do emissor do 
circuito para que não passe mais do que a corrente permitida no LED e 
da queda de tensão do coletor-emissor para saber se o transistor está 
operando na região ativa, para V
BB
 = 5 V e V
CC
 = 20 V.
Fonte: elaborada pelo autor.
Fonte: elaborada pelo autor.
Figura 3.51 | Circuito com transistor operando como chave
Figura 3.52 | Aplicação do Transistor como Fonte de Corrente para acionar um LED
U3 - Circuitos eletrônicos 156
Seção 3
Circuitos de polarização de transistores
3.1 Polarização da base
Introdução à seção
Os transistores na configuração como chave são utilizados em 
circuitos digitais, pois são polarizados de forma a operar somente 
em corte ou saturação. Agora, os circuitos lineares são utilizados 
em fonte de corrente ou amplificador de sinais, pois operam em 
um ponto quiescente próximo ao meio da reta de carga CC, 
podendo um sinal alternado produzir flutuações acima e abaixo 
desse ponto quiescente e não levar o transistor nem ao corte e 
nem à saturação.
Esta seção apresentará formas de se polarizar um transistor para 
trabalhar de forma linear, próximo ao meio da reta de carga. Para 
isso, serão apresentados circuitos e as características principais 
para cada tipo de polarização.
Para se obter as variáveis do circuito, é importante fazer a análise 
pela malha de entrada e pela malha de saída, obtendo sempre 
duas equações que relacionam todas as correntes e tensões dos 
circuitos de polarização.
O circuito de polarização da base, também chamado de base 
fixa, é apresentado na Figura 3.53. Na polarização da base com 
emissor comum da Figura 3.53(a) é possível verificar que a base e o 
coletor são alimentados por fonte de tensão distintas, no entanto, 
em circuitos eletrônicos, dificilmente há duas ou mais fontes de 
tensão, então, na prática, a base é alimentada pela mesma tensão 
do coletor, como mostra a Figura 3.53(b).
U3 - Circuitos eletrônicos 157
Esse circuito apresenta um ponto de operação instável, não 
sendo usado em circuitos lineares. Sua utilização se dá nos circuitos 
digitais, usando a saturação forte para suprimir os efeitos de βCC .
3.2 Polarização com realimentação do emissor
Na realimentação do emissor, a intenção é usar a tensão no 
resistor do emissor para suprimir as variações de βCC , como no 
circuito da Figura 3.54.
Fonte: elaborada pelo autor.
Figura 3.53 | (a) Polarização da base. (b) Circuito simplificado
(a) (b)
Questão para reflexão
Você consegue equacionar e achar as equações do circuito de 
polarização da base? Tente fazer o equacionamento pela malha de 
entrada, que passa pela base e depois pela malha de saída, que passa 
por V
CE
 e isole nas duas equações o valor de I
C
. Você conseguiu ver a 
dependência do ganho nas equações? Em qual delas?
U3 - Circuitos eletrônicos 158
Fonte: elaborada pelo autor.
Figura 3.54 | Polarização com realimentação do emissor
Como visto, a fonte de alimentação do coletor e da base são 
as mesmas, por praticidade de circuito, mas a análise vale também 
para fontes de alimentações do coletor e da base diferentes. Na 
utilização prática desse circuito, o funcionamento não é como 
esperado, pois é necessário um resistor do emissor com o maior 
valor possível para que o efeito da realimentação compense o 
aumento da corrente do coletor, no entanto, é preciso um valor 
de resistência do emissor RE pequeno para não levar o transistor à 
saturação devido à variação de βCC .
Somando as tensões ao longo da malha do coletor do circuito 
da Figura 3.54, e substituindo IE = IC tem-se:
V R I V R ICC C C CE E E− ⋅ − − ⋅ = 0
V R I V R ICC C C CE E C− ⋅ − − ⋅ = 0
I R R V VC C E CC CE⋅ + = −( )
I V V
R RC
CC CE
C E
≅
−
+
 (3.34)
Fazendo a análise pela malha da base e substituindo I IB C= β 
(equação 3.30) e I IE C= , gera-se o equacionamento a seguir:
U3 - Circuitos eletrônicos 159
Fonte: elaborada pelo autor.
Figura 3.55 | Polarização com realimentação do coletor
V R I V R ICC B B BE E E− ⋅ − − ⋅ = 0
V R I V R ICC B C BE E C−
⋅
− − ⋅ =
β
0
I R R V VC B E CC BE⋅ +





 = −β
I V V
R R
C
CC BE
B
E
≅
−
+





β
 (3.35)
Para ignorar o efeito de βCC na equação (3.35), o valor de RE 
tem que ser muito maior que a relação RB CCβ , mas isso não é 
possível porque pela equação (3.34), o resistor RE alto anularia a 
função de RC.
3.3 Polarização com realimentação do coletor
Conhecida também como autopolarização, o circuito com 
realimentação do coletor é mostrado na Figura 3.55.
Em um primeiro momento, fazendo a soma da malha de 
tensão, passando por VCE e como IB é muito pequeno, podemos 
considerar IB = 0 , obtendo a equação (3.36):
U3 - Circuitos eletrônicos 160
V R I I VCC C C B CE− ⋅ + − =( ) 0
I V V
RC
CC CE
C
≅
−
 (3.36)
Fazendo a análise pela malha da base, obtém-se a equação (3.37):
V R I I R I VCC C C B B B BE− ⋅ + − ⋅ − =( ) 0
V R I R I VCC C C B B BE− ⋅ − ⋅ − = 0
I V V
R RC
CC BE
C B CC
≅
−
+ β
 (3.37)
Apesar de ainda depender do valor de βCC , a polarização com 
realimentação do coletor é usada na prática, pelo fato de ser simples 
e apresentar uma boa resposta em frequência dos sinais alternados.
Com relação ao circuito de polarização com realimentação do 
emissor da Figura 3.54, o circuito da polarização com realimentação 
do coletor é mais estável em relação às variações de βCC , e apesar 
de ainda não apresentar um ponto Q fixo e estável, esse circuito é 
bastante utilizado para circuitos de pequenos sinais.
3.4 Polarização por divisão de tensão
Conhecida como polarização universal, é a polarização mais 
usada em circuitos lineares, e o circuito é mostrado na Figura 3.56.
Fonte: elaborada pelo autor.
Figura 3.56 | Polarização por divisão de tensão 
U3 - Circuitos eletrônicos 161
A tensão da base é dada pelo divisor de tensão em R2, ou seja:
V R
R R
VTH CC= +
⋅2
1 2
Nessa configuração, o transistor age como uma fonte de 
corrente que não depende do valor de βCC , como mostra o 
equacionamento da malha da base (equação 3.38).
V V R IB BE E E− − ⋅ = 0
I I V V
RC E
B BE
E
≅ =
− (3.38)
Fazendo a análise da malha de saída, passando por VCE, 
lembrando que a corrente IE do emissor é igual à corrente do 
coletor IC, temos a equação (3.39).
V R I V R ICC C C CE E E− ⋅ − − ⋅ = 0
I V V
R RC
CC CE
C E
=
−
+
 (3.39)
Como em nenhuma das equações (3.38 e 3.39) relaciona o 
ganho βCC , essa polarização é imune às variações do ganho, 
podendo ser usado qualquer transistor para as aplicações. Para 
que a utilização do transistor seja estável e firme, é necessário 
que o divisor de tensão esteja estabilizado e, para isso, deve ser 
cumprida a relação,
R RCC E2 0 1≤ ⋅ ⋅, β
3.5 Polarização do emissor
Quando se dispõe de fontes de alimentações separadas, 
sendo uma negativa e outra positiva, o circuito mais utilizado é a 
polarização do emissor, comona Figura 3.57.
U3 - Circuitos eletrônicos 162
Fazendo a soma das tensões da malha da base e do emissor, e 
considerando RB pequeno o suficiente e que a queda de tensão 
sobre ele é zero, começando do terminal de terra da resistência de 
base, obtém-se a equação (3.40).
0 0− ⋅ − − ⋅ + =R I V R I VB B BE E E EE
I I V V R I
RC E
EE BE B B
E
≅ =
− − ⋅ (3.40)
Fazendo a análise pela malha do coletor, passando por VCE, 
temos a equação (3.41).
V R I V R I VCC C C CE E E EE− ⋅ − − ⋅ + = 0
I V V V
R RC
CC EE CE
C E
≅
+ −
+
 (3.41)
Esse tipo de configuração é utilizado em alguns amplificadores 
operacionais, o que explica o fato de alguns modelos necessitarem 
de duas fontes de tensão simétricas, como será visto mais adiante.
Fonte: elaborada pelo autor.
Figura 3.57 | Polarização do emissor
U3 - Circuitos eletrônicos 163
Fonte: elaborada pelo autor.
Figura 3.58 | Circuito com realimentação do emissor
Para saber mais
Transistor de efeito de campo – FET 
Nesse vídeo será visto o transistor de efeito de campo, que tem 
características parecidas com o transistor bipolar, mas aplicações um 
pouco diferentes, que o TBJ não atende. Será visto o funcionamento 
do FET e também analisadas as correntes e as tensões de circuito 
utilizando os FETs. Disponível em: <https://www.youtube.com/
watch?v=_jIOS7YqdcY>. Acesso em: 4 abr. 2017.
Atividades de aprendizagem
1. Para o circuito de polarização com realimentação do emissor, calcule 
a corrente de saturação do coletor e depois a corrente do coletor para 
os valores de βCC =150 e depois para βCC = 450 , e compare os 
resultados, com RC = 870Ω, RE = 100Ω, RB = 450kΩ e VCC = 20 V.
U3 - Circuitos eletrônicos 164
Fonte: elaborada pelo autor.
Figura 3.59 | Circuito com polarização por divisor de tensão
2. O circuito de polarização por divisor de tensão, possui um divisor de 
tensão de entrada estável. Calcule as coordenadas do ponto quiescente 
de operação, com os limites de corte e saturação, com RC = 3250Ω, RE 
= 500Ω, R1 = 1kΩ, R2 = 6,8kΩ e VCC = 30 V.
U3 - Circuitos eletrônicos 165
Seção 4
Amplificadores de pequenos sinais
4.1 Capacitor de acoplamento
Introdução à seção
Até agora foi mostrada a polarização CC, que apresenta como 
fazer o transistor começar a funcionar, buscando o melhor ponto 
de operação. Foi apresentado o transistor atuando como chave e 
amplificador de sinais.
Agora, imagine um sinal de áudio que precisa ser amplificado. 
Apenas com a polarização CC e com a análise feita até agora não 
é possível fazer a amplificação desse sinal. Para a amplificação de 
um sinal, é necessário fazer esse sinal passar pelo transistor na 
configuração de amplificador de modo que ele não atinja nem o 
corte e nem a saturação.
Esse sinal a ser amplificado precisa ser pequeno para que o 
transistor utilize apenas uma parcela da linha de carga, fazendo 
com que a operação seja linear e que o sinal alternado não 
influencie na polarização CC já estabelecida, para isso é utilizado 
um capacitor conhecido por capacitor de acoplamento.
Serão apresentados os amplificadores de emissor comum por 
serem mais utilizados, mas ainda existem os amplificadores de base 
comum e de coletor comum, que não serão abordados nesse livro.
Como já visto, a impedância capacitiva é dada por:
X
f CC
=
⋅ ⋅ ⋅
1
2 π
Matematicamente, para um sinal contínuo de frequência igual a 
zero, a reatância capacitiva tende ao infinito, mostrando que para 
os sinais contínuos, o capacitor se comporta como uma chave 
aberta. Já para um sinal alternado, em qualquer frequência, o 
capacitor se comporta como uma impedância que tende a zero 
com o aumento da frequência. Esse fenômeno faz com que todo 
sinal alternado passe por ele e o sinal contínuo seja bloqueado.
U3 - Circuitos eletrônicos 166
Essa característica do capacitor tem o intuito de filtrar a parte 
CC de um sinal, deixando passar por ele somente o sinal CA, para 
que o transistor não sature e não altere sua polarização CC, como 
mostra a Figura 3.60.
Para que haja um acoplamento estabilizado, é necessário que a 
corrente do circuito da figura 3.61 seja a mais resistiva possível, ou 
seja, o valor de XC não pode influenciar no resultado da corrente.
I V
R XC
=
+2 2
É possível verificar que XC tem que ser menor que R em uma razão 
de 10:1 na menor frequência do sinal alternado a ser amplificado.
Por exemplo, o nosso ouvido pode captar frequências de 20Hz 
a 20kHz e em uma aplicação é necessário projetar um amplificador 
de áudio com uma resistência total em série de 15kΩ. Para um 
valor de resistividade capacitiva estável, no máximo X
C
 tem que ser 
de 1,5kΩ e o capacitor de acoplamento tem que estar projetado 
para o menor valor de frequência, ou seja:
C
Hz k
F=
⋅ ⋅ ⋅ Ω
=
1
2 20 1 5
5 31
π
µ
,
,
4.2 Capacitor de derivação
Em alguns tipos de polarizações, é preciso obter um “terra 
CA” que consiste em acoplar um ponto desaterrado a um ponto 
Fonte: elaborada pelo autor.
Figura 3.60 | Capacitor de acoplamento entre a fonte e a carga
U3 - Circuitos eletrônicos 167
Fonte: elaborada pelo autor.
Figura 3.61 | Capacitor de derivação
aterrado, comportando-se como um curto para um sinal CA e 
circuito aberto para um sinal CC, como a Figura 3.61.
A maneira de obter o valor da capacitância de derivação é a 
mesma do capacitor de acoplamento, de forma que a derivação 
seja estabilizada, seguindo a regra de:
X R RC G L≤ ⋅0 1, ||
4.2 Análise CA da polarização do transistor
Para se analisar qualquer circuito considerando os sinais CC e CA 
ao mesmo tempo é muito difícil, no entanto, de acordo com a Teoria 
de análise de circuitos, em todos os circuitos podem ser usados o 
Teorema da superposição, que consiste em analisar separadamente 
os circuitos CA e CC e depois somar os seus efeitos. Tomamos 
como exemplo a polarização com emissor comum, como mostra 
a Figura 3.62.
U3 - Circuitos eletrônicos 168
Fonte: elaborada pelo autor.
Fonte: elaborada pelo autor.
Figura 3.62 | Circuito completo na configuração de emissor comum na polarização 
por divisão de tensão
Figura 3.63 | (a) Circuito equivalente CC. (b) Circuito equivalente CA
As etapas a serem seguidas são:
1) Aterrar as fontes de tensão CA e abrir as fontes de corrente 
CA (quando houver), abrir também todos os capacitores, restando 
apenas o circuito CC equivalente, obtendo os valores de tensão e 
corrente da polarização do transistor, como mostra a Figura 3.63(a).
(a) (b)
2) Depois de calcular as variáveis do circuito CC, aterre as fontes 
de tensão CC e abra as fontes de corrente CC, quando houver, 
U3 - Circuitos eletrônicos 169
Fonte: elaborado pelo autor.
Fonte: elaborado pelo autor.
Quadro 3.3 | Variáveis de sinais contínuos
Quadro 3.4 | Variáveis de sinais alternados
coloque os capacitores de acoplamento e derivação em curto, 
restando apenas o circuito equivalente CA, como mostra a Figura 
3.63(b), e calcule as correntes e tensões necessárias.
3) A tensão e a corrente total em cada parte do circuito é a 
soma dos dois circuitos equivalentes.
Como pode ser visto, a polarização CC tem efeito somente 
sobre o estágio de amplificação e o sinal CA tem efeito sobre a 
entrada e a saída do estágio de amplificação.
Antes de começar as análises CA e CC, é preciso adotar 
notações que diferenciem as correntes e as tensões CA e CC. Para 
as variáveis em CC, comumente usa-se letras maiúsculas com seu 
respectivo índice em maiúsculo também.
Para as variáveis em CA são utilizadas letras minúsculas e índices 
maiúsculos, como segue:
Quando se faz a análise do transistor, usa-se o modelo dado 
pela Figura 3.64(b). Esse modelo é conhecido como modelo de 
Ebers-Moll em que o terminal da base e do emissor são substituídos 
por um diodo.
I I IE C B, , Para as correntes CC.
V V VE C B, , Para as tensões CC em relação à terra.
V V VBE CE CB, , Para tensões CC entre os terminais.
i i iE C B, , Para as correntes CA.
v v vE C B, , Para as tensões CA em relação à terra.
v v vBE CE CB, , Para tensõesCA entre os terminais.
U3 - Circuitos eletrônicos 170
Fonte: elaborada pelo autor.
Figura 3.64 | (a) Ligação do transistor. (b) Modelo CC de Ebers-Moll
Como o diodo é um componente não linear, na análise CA 
quando um sinal alternado aciona um transistor, a corrente e a tensão 
no emissor variam, então, para aproximação na análise, o diodo 
base-emissor é substituído por uma resistência, conhecida como 
resistência CA do diodo emissor (r
’E
), como mostra a Figura 3.65.
(a) (b)
Fonte: elaborada pelo autor.
Figura 3.65 | Modelo CA de Ebers-Moll
U3 - Circuitos eletrônicos 171
O valor dessa resistência é dado pela equação (3.42), obtido 
da relação da tensão VBE e da corrente I
E
. Essa relação surge do 
gráfico de polarização do transistor e a variação ocorre em torno 
do ponto Q de polarização. Devido às características do diodo 
base-emissor, uma boa aproximação é fazer Vbe = 25mV.
r mV
IE E
' =
25 (3.42)
4.2.1 Ganho de corrente e de tensão CA
Como no caso da polarização CC, na análise CA se leva em 
consideração o ganho CA, dado pela equação (3.43).
β =
i
i
C
B
 (3.43)
Nas folhas de dados (datasheet) o ganho β é representado 
como hFE .
Com a corrente passando pela resistência da saída, há uma 
queda de tensão na saída que é proporcional à tensão de entrada 
e é dada por:
A
v
v
SAÍDA
ENTRADA
= (3.44)
A equação (3.44) mostra o ganho de tensão que o amplificador 
fornece e com essas informações agora é possível analisar os 
transistores aplicados em circuitos de amplificadores.
4.2.2 Amplificador com emissor aterrado
A topologia mais utilizada como amplificador é a polarização 
por divisão de tensão do emissor comum, como discutido 
anteriormente.
U3 - Circuitos eletrônicos 172
Fonte: elaborada pelo autor.
Fonte: elaborada pelo autor.
Figura 3.66 | Amplificador com emissor aterrado e os formatos de onda
Figura 3.67 | (a) Circuito CA equivalente de amplificador com emissor aterrado. (b) 
Modelo de Ebers-Moll usado para os transistores
Na Figura 3.66 é apresentado o circuito com todos os 
componentes para seu funcionamento real, considerando a 
polarização CC e a operação CA.
Ao colocar um pequeno sinal na base, são produzidas variações 
na corrente da base e, devido ao ganho de corrente, há uma 
variação na corrente do coletor de mesma frequência. Essa 
corrente passa através da resistência do coletor e produz uma 
tensão de saída amplificada.
No amplificador com emissor comum, a tensão de saída é 
invertida em relação à entrada, ou seja, no caso senoidal a saída 
está 180° defasada em relação à entrada. Isso é causado pelo fato 
de o sentido da corrente iC ser invertida em relação à tensão de 
saída, como mostra o modelo de Ebers-Moll para transistores, da 
Figura 3.67(b).
U3 - Circuitos eletrônicos 173
A Figura 3.67(a) representa o circuito CA equivalente de 
amplificador com emissor aterrado. A tensão de entrada vENT 
é colocada integralmente na base, e pode ser simplificado pelo 
modelo de Ebers-Moll como mostrado na Figura 3.67(b).
Como a tensão de entrada vENT está sobre o resistor rE
'
, a 
corrente do emissor é dada por:
i v
rE
ENT
E
= '
Já a corrente do coletor que flui pelo resistor RC produz uma 
tensão de saída dada por:
v i RSAÍDA E C≅ − ⋅
Como a corrente do coletor pode ser aproximada pela corrente 
do emissor, e ao substituir a corrente do emissor na tensão de 
saída, é possível chegar no resultado da equação (3.45).
i iC E≅
DAv
v R
rSAÍ
ENT C
E
≅ −
⋅
'
SA DA= ≅A
v
v
R
r
Í
ENT
C
E
− '
 (3.45)
Esse ganho de tensão significa que ao colocar um sinal CA na 
entrada, o valor na saída será a tensão de entrada multiplicada pelo 
ganho, lembrando que o sinal de entrada tem que ser pequeno o 
suficiente para não levar o transistor à saturação. O sinal negativo 
mostra que a tensão de saída é invertida em relação à entrada.
4.2.3 Modelo CA de um emissor comum
Quando fazemos a análise CA de um amplificador, é preciso 
conhecer quatro variáveis, a impedância de entrada, impedância 
de saída, a tensão de entrada e a tensão de saída. Utilizando o 
amplificador emissor comum, discutiremos essas variáveis e 
definiremos um modelo simplificado para análise CA.
O modelo CA do emissor comum é dado pela Figura 3.67(a), 
em que a fonte de entrada vê os resistores de polarização em 
paralelo com o diodo base-emissor ( zENT BASE( ) ).
U3 - Circuitos eletrônicos 174
A impedância da base é dada pela Lei de Ohm, como mostra a 
equação (3.46).
z v
iENT BASE
ENT
B
( )
= (3.46)
A tensão de entrada é dada também por:
v i rENT E E= ⋅
'
Como 
i i iE C B≅ ≅ ⋅β , rearranjando os termos da equação, é 
possível obter a impedância de entrada da base, na equação (3.47).
z i r
i
rENT BASE B E
B
E( )
'
'=
⋅ ⋅
= ⋅
β
β (3.47)
Não se pode esquecer o efeito dos resistores de polarização do 
emissor comum, sendo que a impedância total de entrada, visto 
pela fonte de tensão de entrada (V
G
 e R
G
), é dada pela associação 
em paralelo das resistências, como mostrado na equação (3.48) e 
na Figura 3.68.
z R R rENT E= ⋅1 2|| ||
'β (3.48)
A impedância de saída, vista no circuito da Figura 3.67(b) é 
obtida ao fazer a impedância de Thevenin dos terminais da saída, 
como mostra a equação (3.49).
z RSAÍDA C= (3.49)
A tensão de entrada é dada pela fonte que aciona a base 
do transistor, e a tensão de saída é obtida ao fazer a tensão de 
Thevenin dos terminais de saída, como dado na equação (3.50).
Fonte: elaborada pelo autor.
Figura 3.68 | Modelo CA de um amplificador com emissor aterrado
U3 - Circuitos eletrônicos 175
4.2.4 Amplificador com realimentação parcial da resistência 
do emissor
Em algumas aplicações, é necessário obter um amplificador 
o mais estável possível em relação à temperatura. O ganho do 
transistor pode variar de acordo com a temperatura, podendo até 
dobrar o ganho em altas temperaturas. Com o intuito de minimizar 
essa instabilidade, em alguns projetos se faz a realimentação parcial 
da resistência do emissor, como mostrado na Figura 3.70.
Fonte: elaborada pelo autor.
Figura 3.69 | (a) Amplificador de dois estágios com emissor aterrado. (b) Circuito 
CA equivalente
v A vSAÍDA ENT= ⋅ (3.50)
Como visto, o circuito da Figura 3.68 é mais simplificado e 
facilita a análise. Como a ideia é amplificar pequenos sinais para 
não levar o transistor à saturação, pode-se usar vários estágios em 
cascata, e analisar para cada estágio as variáveis, obtendo assim o 
ganho total, como mostra a Figura 3.69.
U3 - Circuitos eletrônicos 176
Fonte: elaborada pelo autor.
Figura 3.70 | (a) Amplificador com realimentação parcial. (b) Circuito CA equivalente
(a) (b)
O resistor r’
E
 depende da temperatura e do tipo de junção do 
diodo emissor, podendo variar de um para outro transistor e essa 
variação pode fazer com que o ganho seja alterado. A Figura 3.70 
mostra uma solução para esse efeito, que faz com que RE seja 
aterrado na análise CA e faz minimizar o efeito de rE
'
, fazendo 
com que o emissor não esteja mais ligado ao terra CA. Realimentar 
parcialmente o diodo emissor significa fazer rE pelo menos dez 
vezes maior que o maior valor possível de rE
'
, pois pela equação 
(3.51) o efeito de rE
'
 fica insignificante em relação a rE .
i v
r rE
ENT
E E
=
+ ' (3.51)
E fazendo o rearranjo na equação do ganho de tensão, é 
possível obter a equação (3.52).
A R
r r
C
E E
= −
+ '
 (3.52)
A grande vantagem da realimentação parcial do emissor é a 
redução da distorção, pois a maior parte do sinal alternado aparece 
no resistor de realimentação, e esse, por ser linear, é usado toda a 
linha de carga com uma distorção pequena.
U3 - Circuitos eletrônicos 177
Fonte: elaboradapelo autor.
Figura 3.71 | Modelo CA do amplificador com realimentação parcial
O modelo CA para um amplificador com realimentação parcial 
do resistor de emissor é dado pelo circuito da Figura 3.71.
A redução do ganho pode ser compensado ao se associar 
amplificadores em cascata, como foi visto anteriormente.
Para saber mais
Como fazer placa de circuito de modo profissional
Você já se perguntou como foi feita aquela placa eletrônica 
de circuito? Esse vídeo mostra o passo a passo de como fazer 
em casa aquela placa que vai parecer profissional. Lógico, se 
você não tem interesse na estética e sim na utilização, alguns 
passos podem ser pulados, mas nada melhor do que aprender 
a fazer bem feito. Disponível em: <https://www.youtube.com/
watch?v=NtVEvFsT46I>. Acesso em: 4 abr. 2017.
Questão para reflexão
Você consegue identificar que a desvantagem da polarização com 
realimentação parcial do resistor do emissor é a redução do ganho? 
E qual seria a alternativa para compensar essa redução de ganho?
U3 - Circuitos eletrônicos 178
Atividades de Aprendizagem
1. Para o amplificador em cascata, calcule a tensão da saída de 
acordo com a tensão de entrada de 1mV, com R
G
 = 1kΩ, R
1
 = 10Ω, 
R
2
 = 2,2kΩ, R
C
 = 3,6kΩ, R
E
 = 1kΩ, R
L
 = 1,5kΩ e V
CC
 = 10V, qual o ganho 
final obtido desse estágio em cascata?
2. Usando o circuito da questão anterior, dividindo a resistência do 
emissor e fazendo um terra CA com uma parte do resistor como mostrado 
na figura a seguir, calcule a tensão de saída, com RG = 1kΩ, R
1
 = 10Ω, 
R
2
 = 2,2kΩ, R
C
 = 3,6kΩ, r
‘e
 = 180Ω, r
E
 = 820Ω, V
G
 = 10 mV e V
CC
 = 10 V.
Fonte: elaborada pelo autor.
Fonte: elaborada pelo autor.
Figura 3.72 | Circuito em cascata para aumentar o ganho
Figura 3.73 | Amplificador com realimentação parcial do emissor
U3 - Circuitos eletrônicos 179
Fique ligado
Nesta unidade foram apresentados os semicondutores. Os 
semicondutores foram a grande invenção do século XX, pois toda 
a revolução tecnológica veio da invenção desse componente 
menor do que a cabeça de um alfinete e que nos proporciona o 
conforto que os equipamentos eletrônicos puderam trazer.
Nesta unidade, você acompanhou um pouco da história do 
semicondutor, aplicação como diodo e a infinidade de utilidades que 
podem ser realizadas com eles na questão de tratamento de sinais.
Além disso, foi apresentada boa parte da teoria que envolve o 
transistor, conhecida como chave eletrônica de altas velocidades, 
a sua aplicação e como calcular variáveis de projetos de circuitos, 
utilizando topologias de emissor comum.
Para concluir o estudo da unidade
Esperamos que essa unidade possa lhe auxiliar em projetos 
envolvendo diodos e transistores, que você consiga, com a teoria 
apresentada, projetar, entender e corrigir falhas em sistemas de 
eletrônica analógica.
Devido à sensibilidade dos componentes eletrônicos, a maioria 
dos defeitos de placas eletrônicas acontece nesses componentes, 
ou porque foram mal projetados ou porque estiveram sujeitos a uma 
grande variação de energia. Essa unidade trouxe para o leitor uma 
visão crítica e de projeto para as aplicações com diodos e transistores.
Bons estudos e continue pesquisando e implementando os mais 
diversos circuitos, disponíveis na internet e em livros de circuitos.
U3 - Circuitos eletrônicos 180
Atividades de aprendizagem da unidade
1. “Na polarização do diodo, a corrente circula do 
 para o , se comportando como uma chave 
fechada, enquanto que na polarização não há corrente 
circulando pelo circuito, se comportando como uma chave aberta”. 
Assinale a alternativa que preencha as lacunas do texto, na ordem 
correta:
a) Reversa – ânodo – cátodo – direta.
b) Reversa – cátodo – ânodo – direta.
c) Direta – ânodo – cátodo – reversa.
d) Direta – cátodo – ânodo –reversa.
e) Direta – ânodo – cátodo – direta.
2. Sabe-se que o diodo pode ser usado como chave em certas 
aplicações. Dado um lote de diodos, com alguns funcionando 
normalmente e outros com defeito, usando-se uma técnica de 
medição de resistência entre os seus terminais, elaborou-se o quadro 
3.5 a seguir:
Assinale a alternativa que apresenta somente os diodos com defeito:
a) Os diodos A e B estão com defeitos.
b) Os diodos C e D estão com defeitos.
c) Os diodos A, B e D estão com defeitos.
d) O diodo A está com defeito.
e) O diodo C está com defeito.
Fonte: elaborado pelo autor.
Quadro 3.5 | Impedância em polarização direta e reversa de diodos sem falhas e 
com falhas
Diodos Polarização Direta Polarização Reversa
A R = 270 kΩ R = 302 kΩ
B R = 32 Ω R = 27 Ω
C R = 3 MΩ R = 30 Ω
D R = 3 MΩ R = 3 MΩ
U3 - Circuitos eletrônicos 181
4. Os microprocessadores estão cada vez mais presentes em nosso 
cotidiano, no entanto, eles são muito sensíveis a variações de tensão. 
Para proteger de sobretensões em suas entradas, os projetistas 
colocam diodos zener e diodos semicondutores para que a tensão 
de entrada não ultrapasse um valor limite e não leve à queima o 
microprocessador. A entrada digital de um microprocessador tem 
a excursão de 0 a 5,7 V. Para a implementação desse circuito de 
proteção, verificou-se as opções de fazer combinação entre diodos 
zener, diodos de germânio e diodos de silícios. É necessário utilizar 
no mínimo um diodo de cada categoria e o quadro 3.6 de diodo 
zener está disponível a seguir:
3. Analise as afirmações a seguir:
I. Transistor polarizado como fonte de corrente é usado em 
circuitos digitais.
II. Transistor polarizado como chave é usado em circuitos digitais.
III. Os circuitos multiplicadores de tensão são utilizados em 
retificadores de tensão.
Assinale a alternativa que apresenta somente as afirmações 
verdadeiras:
a) Somente a afirmação I é verdadeira.
b) Somente as afirmações I e II são verdadeiras.
c) Somente as afirmações II e III são verdadeiras.
d) Somente a afirmação II é verdadeira.
e) Nenhuma das afirmações é verdadeira.
Assinale a alternativa que apresenta corretamente a combinação para 
atingir o valor de 5,7 V na entrada do microcontrolador.
a) Combinação de 1 diodo zener 1N750 com 1 diodo de silício e 1 
diodo de germânio.
b) Combinação de 1 diodo zener 1N751 com 1 diodo de silício e 1 
diodo de germânio.
Fonte: elaborado pelo autor.
Quadro 3.6 | Relação de alguns diodos zener
Código Tensão zener
1N749 4,3 V
1N750 4,7 V
1N751 5,1 V
1N752 5,6 V
U3 - Circuitos eletrônicos 182
c) Combinação de 1 diodo zener 1N749 com 2 diodos de silício e 1 
diodo de germânio.
d) Combinação de 1 diodo zener 1N752 com 1 diodo de silício e 1 
diodo de germânio.
e) Combinação de 1 diodo zener 1N749 com 3 diodos de silício e 1 
diodo de germânio.
5. O transistor é usado em muitas aplicações que vão desde circuitos 
de bancada de ensaios até a aplicações aeroespaciais. Analise as 
asserções a seguir e assinale a alternativa correta:
I. A topologia de polarização do transistor em emissor comum com 
realimentação parcial do emissor é usada para estabilizar o ganho de 
tensão.
II. Devido a algumas aplicações em ambientes agressivos, com altas 
variações de temperaturas, o transistor altera o seu ganho.
a) As asserções I e II são verdadeiras e a II justifica a I.
b) A asserção I é verdadeira e a II é falsa.
c) As asserções I e II são verdadeiras e a II não justifica a I.
d) A asserção II é verdadeira e a I é falsa.
e) As asserções I e II são falsas.
U3 - Circuitos eletrônicos 183
Referências
BOYLESTAD, R. L. Dispositivos eletrônicos e teoria de circuitos. 8. ed. São Paulo: 
Pearson Prentice Hall, 2004.
BRAGA, N. C. Entendendo as folhas de dados (ING003), 2014. Disponível em: 
<http://www.newtoncbraga.com.br/index.php/ingles-para-eletronica/547-
entendendo-as-folhas-de-dados-ing003>. Acesso em: 17 out. 2016.
CIPELLI, A. M. V. Teoria e desenvolvimento de projetos de circuitos eletrônicos. 
23. ed. São Paulo: Érica, 2007.
CRUZ, E. C. A. Eletrônica analógica básica. 2. ed. São Paulo: Érica, 2014.
. Eletrônica aplicada. 2. ed. São Paulo: Érica, 2008.
GARCIA, G. A. Sistemas eletroeletrônicos:dispositivos e aplicações. São Paulo: 
Érica, 2014.
HART, D. W. Eletrônica de potência. Porto Alegre: AMGH, 2011.
MALVINO, A.; BATES, D. J. Eletrônica. 7. ed. vol. 1. Porto Alegre: AMGH, 2011.
MARQUES, A. E. B. Dispositivos semicondutores: diodos e transistores. 13. ed. ver. 
São Paulo: Érica, 2012.
SCHULER, C. Eletrônica I. 7. ed. Porto Alegre: AMGH, 2013.
SEDRA, A. S.; SMITH, K. Microeletrônica. 5. ed. São Paulo: Pearson, 2010.
U3 - Circuitos eletrônicos 184
Unidade 4
Aplicação de circuitos 
eletrônicos
Esta unidade tem como objetivo permitir que você 
tome conhecimento de diversos tipos de circuitos que são 
utilizados na instrumentação eletrônica, permitindo que seja 
capaz de entender e projetar tais circuitos que são muito 
utilizados na prática.
Existe ainda o objetivo de conhecer alguns sensores e 
transdutores eletrônicos, que são utilizados para a medição 
das grandezas de tensão de corrente elétrica.
Objetivos de aprendizagem
Esta seção apresenta conceitos que o levarão a conhecer o 
funcionamento dos amplificadores operacionais. Além disso, você será 
capaz de fazer a análise de várias montagens feitas com amplificadores 
operacionais, que são utilizados no condicionamento de sinais para placas 
de aquisição de dados.
Seção 1 | Amplificadores operacionais
Nesta seção, apresentaremos conceitos que o levarão a conhecer 
vários circuitos osciladores, que são utilizados para gerar sinais alternados. 
Serão apresentados também circuitos, tendo como elementos base 
transistores, amplificadores operacionais ou CI dedicado. Estes circuitos 
são utilizados normalmente para a geração de sinais de referência de 
áudio e radiofrequência.
Seção 2 | Osciladores
A terceira seção desta unidade apresenta os sensores e os circuitos que 
são utilizados na medição de tensão e corrente contínua ou alternada. A 
medição de tensão é feita somente adequando-se o seu nível, o que pode 
Seção 3 | Sensores de tensão e corrente
Giancarlo Michelino Gaeta Lopes
A Seção 4 apresenta a forma como são elaborados circuitos 
condicionadores de sinais, permitindo que você se torne apto a projetar 
circuitos para a interface com sensores analógicos. São apresentados 
exemplos de circuitos de condicionamento que ilustram o modo como 
esses circuitos são projetados. Também são objeto de estudo da seção os 
reguladores de tensão.
Seção 4 | Circuitos condicionadores de sinais de tensão e corrente
ser feito por meio de circuitos resistivos ou transformadores. Já para a 
medição de corrente, existem alguns tipos de sensores que são indicados 
conforme a aplicação. Assim, é importante que você os conheça, para 
que quando utilizar algum deles, seja capaz de selecionar o modelo ideal.
Introdução à unidade
Nas outras unidades do livro, você foi convidado a estudar os 
componentes elétricos e eletrônicos básicos, como resistores, 
capacitores, indutores, transistores e diodos. Nesta unidade, serão 
apresentados circuitos eletrônicos que fazem a utilização destes 
componentes em sua composição. Assim, é recomendado que, 
caso tenha dúvidas sobre o funcionamento de algum destes 
componentes básicos, retorne às unidades anteriores e faça o seu 
estudo novamente. Isso pode ser dito, pois todos os conceitos que 
já foram apresentados no decorrer do livro servirão como base 
para o estudo.
Esta unidade também apresenta um novo componente 
eletrônico que é largamente utilizado na eletrônica analógica, 
o amplificador operacional. Com este elemento, o projetista de 
eletrônica é capaz de elaborar os mais diversos tipos de circuitos 
eletrônicos de condicionamento de sinais, que são a base da 
instrumentação eletrônica.
O estudo de circuitos que são utilizados na prática da 
instrumentação eletrônica é o objetivo principal desta unidade. Com 
isso, no decorrer das seções, são apresentados alguns circuitos 
eletrônicos que podem ser utilizados em diversas aplicações. 
Assim, ao fim da unidade, você será capaz de projetar os mais 
variados tipos de circuitos eletrônicos analógicos utilizados no 
condicionamento de sinais advindos de diversos tipos de sensores.
A Seção 1 deste livro apresenta os amplificadores operacionais, 
servindo como base para as outras seções. Na Seção 2 são 
apresentados os circuitos osciladores, a Seção 3 apresenta 
os sensores de tensão e corrente e a Seção 4 os circuitos 
condicionadores de sinais.
U4 - Aplicação de circuitos eletrônicos188
Seção 1
Amplificadores operacionais
1.1 Amplificadores operacionais
Introdução à seção
O amplificador operacional é um componente eletrônico 
que possui em sua estrutura interna uma junção de resistores, 
capacitores e transistores. Ele é amplamente utilizado para a 
realização de operações matemáticas, como soma, subtração e 
integração e para amplificação de sinais de baixa amplitude. Com 
isso, pode-se dizer que o amplificador operacional é um ótimo 
aliado do projetista de sistemas eletrônicos.
Idealmente, ele tem algumas características que são 
diferentes das encontradas na prática. Assim, na dedução dos 
equacionamentos, nesta seção será considerado sempre o 
amplificador ideal.
Para saber mais
Conheça as características dos amplificadores operacionais 
ideais acessando o link a seguir. Nele, é possível encontrar os 
principais conceitos que são utilizados nas deduções presentes 
nesta seção. Disponível em: <https://www.youtube.com/
watch?v=3EaXRKBMqiM>. Acesso em: 13 mar. 2017.
O amplificador operacional possui duas entradas denominadas 
inversora, representada pelo símbolo “–”, e não inversora, 
representada pelo símbolo “+”, e uma saída, como pode ser 
observado pela Figura 4.1.
U4 - Aplicação de circuitos eletrônicos 189
A saída deste componente tem o objetivo de multiplicar por um 
ganho a diferença das duas entradas, com isso, a equação básica 
do amplificador operacional pode ser escrita como sendo,
Em que Av representa o ganho do amplificador operacional, 
que varia conforme o modelo escolhido.
Uma consideração prática importante é que existem dois tipos 
de amplificadores operacionais: aqueles que são alimentados com 
tensão simples (Ex.: 12 V e GND) e com tensão simétrica (Ex.: +12 
V e -12 V). Desta forma, cabe ao projetista selecionar o modelo 
que se adéqua melhor ao seu projeto. Usualmente, é dada a 
preferência para a utilização de amplificadores com alimentação 
simples, dispensando o uso de uma fonte simétrica no circuito, 
algo que na maioria dos casos não é simples de se obter.
Nas seções a seguir estão apresentadas algumas das principais 
montagens possíveis para o amplificador operacional, mostrando a sua 
versatilidade e capacidade de adaptação às mais diversas necessidades.
1.1.1 Amplificador inversor
A montagem do amplificador operacional como um amplificador 
inversor pode ser observada na Figura 4.2. Neste tipo de circuito a 
tensão de entrada é amplificada e a polaridade é invertida.
Fonte: elaborada pelo autor.
Figura 4.1 | Amplificador operacional
V V V Ao v= −( ) ⋅+ −
U4 - Aplicação de circuitos eletrônicos190
Algumas das características do amplificador ideal são: 
impedância de entrada infinita, impedância de saída nula, ganho 
de tensão infinito e ausência de qualquer limitação em frequência 
e em amplitude do sinal de saída. Assim, como a impedância de 
entrada do amplificador é muito grande, não haverá corrente 
sendo drenada pelas entradas. Desta forma, não haverá diferença 
de potencial entre elas, ou seja, a tensão da entrada inversora será 
a mesma da entrada não inversora, caracterizando o chamado 
“curto-circuito virtual”.
Observando o circuito da Figura 4.2, verifica-se que um resistor 
está fazendo a ligação entre a entrada inversora e a saída do 
amplificador operacional, havendo assim o que pode ser chamado 
de realimentação negativa, que faz com que o ganho do circuito seja 
controlado. Unindo isso às características do “curto-circuito virtual”, 
pode-se aplicar técnicas de análise de circuitos elétricos e deduzir a 
equação que rege o funcionamentodo amplificador inversor.
Desta forma, pode-se dizer que I I1 2= e com o “curto-circuito 
virtual” presente no circuito, afirma-se que a tensão na entrada 
inversora é zero volts, pois essa tensão é a mesma da entrada não 
inversora para a montagem da Figura 4.2, que se encontra ligada 
ao terra. Assim, a partir da Lei de Ohm, é possível realizar a análise 
do circuito escrevendo as equações das correntes que passam 
por cada um dos resistores. Inicialmente para R1, percebe-se que 
o seu terminal direito está aterrado (ligado ao terra virtual). Dessa 
forma, qualquer tensão que for aplicada à entrada, proporcionará 
a circulação de corrente por ele, portanto:
Fonte: elaborada pelo autor.
Figura 4.2 | Amplificador inversor
U4 - Aplicação de circuitos eletrônicos 191
I V
R
i
1
1
= �
V R Ii = ⋅1 1
I V
R
o
2
2
= − �
V R Io = − ⋅2 2
A V
V
R I
R Iv
o
i
= =
− ⋅
⋅
2 2
1 1
A R
Rv
= − 2
1
De forma análoga, considerando agora R2, qualquer sinal da 
saída provocará circulação de corrente sobre ele, assim:
Em que o ganho do circuito é obtido pela relação entre a tensão 
de saída e a tensão de entrada:
Como já citado anteriormente, para este caso I I
1 2
= . Desta 
forma, o ganho do amplificador inversor pode ser obtido:
1.1.2 Amplificador não inversor
A montagem do amplificador operacional como um 
amplificador não inversor pode ser observada na Figura 4.3. Neste 
tipo de circuito, a tensão de entrada é amplificada e a polaridade 
do sinal é mantida.
Questão para reflexão
É possível haver alguma montagem com amplificador operacional 
em que a tensão em uma das entradas seja a mesma da saída?
U4 - Aplicação de circuitos eletrônicos192
A partir do conceito de “curto-circuito virtual”, afirma-se que 
a tensão na entrada inversora é igual à tensão na entrada não 
inversora e também que as correntes I1 e I2 são iguais. Com base 
nestas considerações, faz-se então a análise do circuito, partindo 
da afirmação de que as correntes são iguais:
A partir deste ponto, é possível obter o ganho do circuito:
Fonte: elaborada pelo autor.
Figura 4.3 | Amplificador não inversor
I I1 2=
V V V
R R
i o i− =
−0
1 2
V V V
R R R
i o i
1 2 2
= −
V V V
R R R
o i i
2 1 2
= +
V V V
R R R
o i i
2 1 2
= +
V V V
R
Ro i i= ⋅ +
1
2
A V
V
R
RV
o
i
= = +1 2
1
U4 - Aplicação de circuitos eletrônicos 193
Fonte: elaborada pelo autor.
Figura 4.4 | Amplificador somador não inversor
Conforme a análise apresentada, percebe-se que o ganho deste 
amplificador deve sempre ser maior que 1. Assim, quando se deseja 
aplicar uma atenuação em algum sinal, ou seja, aplicar um ganho 
menor que 1, deve-se optar pela utilização do amplificador inversor.
1.1.3 Amplificador somador não inversor
A montagem somadora não inversora com amplificadores 
operacionais realiza a soma de dois sinais ou níveis de tensão e 
também permite a amplificação desta soma. Esta configuração 
está apresentada pela Figura 4.4. 
Para saber mais
Conheça mais uma montagem com amplificador operacional 
conhecida como buffer. Essa montagem é utilizada comumente 
para desacoplar sinais, separando diferentes circuitos. Disponível 
em: <https://www.youtube.com/watch?v=0YwJDUyolcM>. Acesso 
em: 13 mar. 2017.
Utilizando o conceito do “curto-circuito virtual” e sabendo que 
não há entrada de corrente no amplificador operacional, torna-
se possível a análise do circuito. Nomeando a tensão presente 
na entrada inversora como V ' , que é igual à tensão presente na 
entrada não inversora, tem-se:
U4 - Aplicação de circuitos eletrônicos194
′ ⋅=
+
V R V
R R
o1
1 2
′
⋅ ⋅ ⋅
=
−( )
+
+ =
−( )
+
+
+( )V R V V
R R
V
R V V
R R
V R R
R
i i
i
i i i4 1 2
3 4
2
4 1 2
3 4
2 3 4
33 4
4 1
3 4
3 2
3 4+
=
+
+
+
⋅ ⋅
R
R V
R R
R V
R R
i i
Igualando as equações:
E, então, isolando-se Vo , tem-se:
Analisando a equação de Vo obtida, verifica-se que para a 
obtenção da soma dos sinais de entrada, deve-se fazer todos os 
resistores iguais, mantendo o ganho unitário no circuito.
1.1.4 Amplificador somador inversor
A montagem somadora inversora com amplificadores 
operacionais, assim como a somadora não inversora, realiza 
a soma de dois sinais ou níveis de tensão e também permite a 
amplificação desta soma, porém, inverte a polaridade da soma. 
Esta configuração está apresentada na Figura 4.5.
R V
R R
R V
R R
R V
R R
o i i1
1 2
4 1
3 4
3 2
3 4
⋅ ⋅ ⋅
+
=
+
+
+
V R
R
R V
R R
R V
R Ro
i i= +





 ⋅ +
+
+






⋅ ⋅1 2
1
4 1
3 4
3 2
3 4
Fonte: elaborada pelo autor.
Figura 4.5 | Amplificador somador inversor
U4 - Aplicação de circuitos eletrônicos 195
Utilizando o conceito do “curto-circuito virtual” e sabendo que 
não há entrada de corrente no amplificador operacional, é possível 
fazer a análise do circuito. Considerando que a corrente que passa 
por R é igual à corrente que passa R1 � mais a corrente que passa 
por R2 , sendo todas as correntes no sentido da esquerda para a 
direita, tem-se:
Isolando Vo , é obtida a relação:
Observando a equação obtida, percebe-se o sinal negativo, 
indicando que o resultado da soma das tensões é invertido. Pode-
se dizer também que caso seja necessário montar um sistema 
sem ganho, que apenas some os sinais de entrada e inverta a 
polaridade da soma, todos os resistores da montagem devem 
possuir o mesmo valor.
1.1.5 Amplificador subtrator
A montagem subtratora com amplificadores operacionais realiza 
a subtração de dois sinais ou níveis de tensão e também permite 
a amplificação desta subtração. Esta configuração, que subtrai o 
valor de tensão presente na entrada inversora da tensão presente na 
entrada não inversora, está apresentada pela Figura 4.6.
− = +
V
R
V
R
V
R
i i0 1
1
2
2
V V
R
V
R
i i
0
1
1
2
2
= − ⋅ +





R
Fonte: elaborada pelo autor.
Figura 4.6 | Amplificador subtrator
U4 - Aplicação de circuitos eletrônicos196
Utilizando o conceito do “curto-circuito virtual” e sabendo que não 
há entrada de corrente no amplificador operacional, torna-se possível 
a análise do circuito. Nomeando a tensão na entrada inversora, 
que é igual à tensão da entrada não inversora, como V ' , têm-se 
as equações:
Igualando as equações:
Isolando Vo , tem-se:
Analisando a resposta obtida, verifica-se que para a obtenção da 
simples subtração dos sinais de entrada, ou seja, a sua diferença, 
deve-se utilizar os resistores com valores iguais, mantendo o ganho 
unitário no circuito.
1.1.6 Amplificador integrador
O circuito integrador montado com amplificador operacional é 
responsável por realizar a operação matemática de integração do sinal 
de entrada. A montagem do integrador pode ser vista na Figura 4.7.
′ ⋅=
+
V R V
R R
i4 2
3 4
′
⋅ ⋅ ⋅
=
−( )
+
+ =
−( )
+
+
+( )
+
V
R V V
R R
V
R V V
R R
V R R
R
i
i
i i1 0 1
1 2
1
1 0 1
1 2
1 1 2
1 RR
R V
R R
R V
R R
i
2
1 0
1 2
2 1
1 2
=
+
+
+
⋅ ⋅
R V
R R
R V
R R
R V
R R
i i4 2
3 4
1 0
1 2
2 1
1 2
⋅ ⋅ ⋅
+
=
+
+
+
V R
R
R V
R R
R V
R Ro
i i= +





 ⋅ +
−
+






⋅ ⋅1 2
1
4 2
3 4
2 1
1 2
Fonte: elaborada pelo autor.
Figura 4.7 | Amplificador integrador
U4 - Aplicação de circuitos eletrônicos 197
Este circuito é muito utilizado para a conversão de sinais 
oscilantes, por exemplo, ao se aplicar uma onda quadrada em sua 
entrada, será obtida em sua saída uma onda triangular. 
O integrador como aparece na Figura 4.7 possui um ganho 
praticamente infinito em corrente contínua, já que o capacitor 
nesta condição funciona como um circuito aberto. Assim, o ganho 
desta montagem é dado pelo valor do ganho do amplificador 
operacional em malha aberta. Desta forma, é possível escrever 
a relação entre tensão de entrada e saída, para o capacitor 
inicialmente descarregado, como sendo:
V
C R
V t dtto i( ) ( )= ⋅
⋅∫-
1
R C
f
⋅ ≥
10
Portanto, o circuito integrador fornece em sua saída uma tensão 
que é proporcional à integral da tensão de entrada em relação ao 
tempo, em que CR é a constante de tempo deintegração.
Para montagens práticas é comum colocar um resistor em 
paralelo com o capacitor do circuito, com valor ao menos dez 
vezes maior que o resistor ligado entre a entrada do circuito e a 
entrada inversora do amplificador operacional. Esta medida faz com 
que o ganho seja limitado, evitando a saturação do amplificador 
operacional. Com isso, a montagem passa a ter um ganho em 
corrente contínua igual ao de um amplificador inversor, no caso, 
limitado em dez vezes.
Com o mesmo objetivo, de não saturar o amplificador 
operacional, quando se trabalha com ondas alternadas aplicadas 
na entrada, busca-se satisfazer a relação:
Para saber mais
Encontre mais informações sobre o amplificador integrador e 
como é obtida a relação entre entrada e saída no Capítulo 2.8.2 do 
livro Microeletrônica. 
Fonte: SEDRA, S.; SMITH, K. Microeletrônica. 4. ed. São Paulo: 
Pearson Makron Books, 2005.
U4 - Aplicação de circuitos eletrônicos198
1.1.7 Amplificador diferenciador
O amplificador diferenciador é responsável por realizar função 
matemática da diferenciação, ou seja, fazer a derivada do sinal de 
entrada. A sua montagem é feita invertendo a posição do capacitor 
e resistor em relação à montagem do integrador, como está 
apresentada na Figura 4.8.
Portanto, a equação que relaciona a entrada com a saída do 
circuito diferenciador é:
V V t
dt
to i( )
( )
= ⋅ ⋅R d-C
Para saber mais
Para saber mais
Encontre mais informações sobre o amplificador diferenciador e 
como é obtida a relação entre entrada e saída no Capítulo 2.8.3 do 
livro Microeletrônica.
Fonte: SEDRA, S.; SMITH, K. Microeletrônica. 4. ed. São Paulo: 
Pearson Makron Books, 2005.
Conheça as características dos amplificadores operacionais reais (não 
ideais) acessando o link a seguir. Lá é possível encontrar os principais 
parâmetros que são utilizados na escolha de um amplificador. 
Disponível em: <https://www.youtube.com/watch?v=sHGa8k7KZKA>. 
Acesso em: 13 mar. 2017.
Fonte: elaborada pelo autor.
Figura 4.8 | Amplificador diferenciador
U4 - Aplicação de circuitos eletrônicos 199
Atividades de aprendizagem
1. Para o circuito apresentado na Figura 4.9, identifique a topologia 
utilizada, calcule a tensão VOUT e o Ganho = VOUT/VIN. Considere que 
o amplificador operacional é ideal.
Fonte: elaborada pelo autor.
Figura 4.9 | Circuito da questão 1
2. Calcule o valor da tensão de saída VOUT do circuito apresentado na 
Figura 4.10. Considere que o amplificador operacional é ideal.
Fonte: elaborada pelo autor.
Figura 4.10 | Circuito da questão 2
U4 - Aplicação de circuitos eletrônicos200
Seção 2
Osciladores
2.1 Oscilador com ponte de Wien
Introdução à seção
Esta seção convida você a estudar os circuitos osciladores. Estes 
circuitos são utilizados para gerar sinais de tensão alternada, seja 
senoidal, triangular ou quadrada. Eles podem ser montados utilizando 
como base os amplificadores operacionais, transistores ou circuitos 
dedicados, como CI 555. Assim, nesta seção, serão apresentados 
alguns dos circuitos osciladores mais utilizados na prática.
O oscilador em ponte de Wien é um dos circuitos mais 
utilizados por projetistas de eletrônica quando se deseja gerar uma 
onda senoidal. Com isso, ele é considerado o oscilador padrão 
para frequências baixas e médias, entre 5 Hz e 1 MHz, sendo 
largamente utilizado em equipamentos em que é necessária a 
geração de sinais de áudio, como sirenes e alarmes.
Este oscilador é montado tendo como base um amplificador 
operacional, ao qual são ligados resistores e capacitores em 
formato de ponte, como pode ser visto na Figura 4.11. Os 
capacitores (C) e resistores (R) do circuito são responsáveis por 
determinar a frequência de oscilação e, consequentemente, da 
onda de saída. Já os resistores R’ e 2R’ formam o caminho para o 
ganho da realimentação.
U4 - Aplicação de circuitos eletrônicos 201
Para saber mais
Faça uma pesquisa sobre o que é um circuito de avanço-atraso. 
Recomenda-se a consulta do capítulo 23.2 do livro Eletrônica.
Fonte: MALVINO, Albert Paul. Eletrônica. v. 2. 7. ed. Porto Alegre: 
AMGH, 2007.
No circuito oscilador com ponte de Wien existe tanto a 
realimentação positiva quanto a negativa. No caminho da 
realimentação positiva entre a saída e a entrada não inversora, existe 
um circuito de avanço-atraso. Já o caminho da realimentação 
negativa é feito por meio de um divisor de tensão. Estas 
realimentações permitem que o circuito se torne um oscilador e 
gere uma onda senoidal em sua saída.
Quando o circuito em questão é ligado, existe uma maior 
realimentação positiva do que negativa, fazendo com que as 
oscilações cresçam. O crescimento ocorre até o ponto em que 
a saída alcança o nível desejado, momento em que o ganho da 
realimentação negativa se torna unitário.
A partir do circuito apresentado na Figura 4.11, é possível 
determinar a frequência de oscilação do circuito como sendo: 
Fonte: elaborada pelo autor.
Figura 4.11 | Oscilador com ponte de Wien
f
R Co
=
⋅ ⋅ ⋅
1
2 π
.
U4 - Aplicação de circuitos eletrônicos202
Para saber mais
Encontre como é obtida a fórmula da frequência de oscilação do 
circuito oscilador com ponte de Wien no Capítulo 13.2.1 do livro 
Microeletrônica.
Fonte: SEDRA, S.; SMITH, K. Microeletrônica. 4. ed. São Paulo: 
Pearson Makron Books, 2005.
Com isso, deve-se saber que os resistores e os capacitores 
indicados com as mesmas letras devem possuir os mesmos 
valores. Além de manter a relação entre as resistências na malha 
de realimentação negativa, em que um resistor (2R’) deve possuir o 
dobro do valor do outro (R’).
2.2 Osciladores Colpitts
Diferentemente do oscilador ponte de Wien, o oscilador Colpitts 
tem a capacidade de funcionar em altas frequências, podendo gerar 
sinais senoidais de poucos Hertz a até 500 MHz. Isso ocorre quando 
ele é montado tendo como elemento base um transistor, que 
não possui a mesma limitação em relação à largura de banda que 
ocorre no amplificador operacional. Contudo, ele pode também ser 
montado com esse componente, assim como com FETs.
A Figura 4.12 mostra a montagem do oscilador Colpitts com 
transistor e com amplificador operacional. Todos eles geram em 
sua saída uma onda senoidal e seguem a mesma equação que 
determina a sua frequência de oscilação:
Em que:
f
L Co eq
=
⋅ ⋅ ⋅
1
2 π
C C C
C Ceq
=
⋅
+
1 2
1 2
U4 - Aplicação de circuitos eletrônicos 203
Fonte: elaborada pelo autor.
Fonte: elaborada pelo autor.
Figura 4.12 | Oscilador Colpitts com transistor
Figura 4.13 | Oscilador Colpitts com amplificador operacional
U4 - Aplicação de circuitos eletrônicos204
2.1 Oscilador a cristal
Um oscilador a cristal é simplesmente um oscilador sintonizado 
por meio de um cristal piezoelétrico. O cristal tem uma estabilidade 
maior que os capacitores, resistores e indutores. Com isso, a 
frequência de oscilação se mantém fixa e praticamente invariável. 
Assim, este tipo de oscilador é utilizado quando é necessária 
uma grande estabilidade de frequência, como em sistemas de 
comunicação por radiofrequência. Diferentemente do apresentado 
nos outros tipos de osciladores, na saída deste circuito é gerada 
uma onda quadrada e não senoidal.
A Figura 4.14 apresenta uma das possíveis montagens do 
oscilador a cristal, tendo como elemento ativo o transistor. Neste 
circuito, o cristal é ligado na forma paralelo ressonante, em que 
sua impedância é máxima e sua conexão é feita em paralelo. Desta 
forma, o cristal apresenta a máxima reatância indutiva possível. 
Devido a isso, o circuito apresentado se assemelha ao oscilador 
Colpitts, substituindo-se apenas o indutor pelo cristal.
O oscilador a cristal também pode ser montado utilizando-se 
um amplificador operacional, como pode ser visto na Figura 4.15. 
Neste circuito, o cristal é conectado no modo série ressonante, 
operando na frequência relativa a este. Devido ao alto ganho do 
circuito (100 vezes), o sinal de saída é uma onda quadrada, com 
frequência igual à de oscilação nominal do cristal. A amplitudedesta onda é determinada pelo par de diodos zener colocados na 
saída, que fazem com que as amplitudes máxima e mínima sejam 
exatamente a tensão de zener.
U4 - Aplicação de circuitos eletrônicos 205
Fonte: elaborada pelo autor.
Fonte: elaborada pelo autor.
Figura 4.14 | Oscilador a cristal com transistor
Figura 4.15 | Oscilador a cristal com amplificador operacional
U4 - Aplicação de circuitos eletrônicos206
2.4 Temporizador 555
Devido à sua simplicidade, o temporizador 555 é um circuito 
integrado largamente utilizado quando se deseja gerar ondas 
quadradas de baixas e médias frequências. Para se gerar um sinal 
com este CI, basta ligar apenas um capacitor e um ou dois resistores 
em determinados pinos, o que facilita o projeto do circuito. Uma 
outra vantagem é o fato desse componente não necessitar de 
fonte simétrica para seu funcionamento, facilitando ainda mais o 
seu uso em diversas aplicações.
O CI 555 pode operar basicamente em dois modos: monoestável, 
em que um dos estados da oscilação é estável, ou astável, em que 
nenhum dos estados é estável. O modo monoestável permite que 
o componente gere em sua saída atrasos de tempo precisos, que 
podem variar de microssegundos até horas. Já o modo astável 
possibilita a geração de ondas retangulares em sua saída, com 
ciclo de trabalho variável, conforme a seleção dos componentes.
2.4.1 Operação monoestável
Na operação monoestável, o temporizador 555 possui 
inicialmente sua saída em nível baixo. Assim, quando ele recebe 
um disparo em seu respectivo pino, a tensão de saída comuta do 
nível baixo para o nível lógico alto, permanecendo nesse estado 
durante certo período de tempo. Então, a saída retorna para nível 
baixo, ficando neste estado até o momento em que outro pulso de 
disparo seja recebido.
A Figura 4.16 exibe a montagem do 555 em seu modo 
monoestável. Como pode-se perceber pela imagem, o circuito 
possui poucos componentes externos ao 555, sendo dois 
capacitores e um resistor. O capacitor C e o resistor R são 
responsáveis por determinar a largura do pulso de saída, de 
modo que quanto maior for o tempo de carregamento deste 
capacitor pela resistência, maior será a largura do pulso de saída. 
Questão para reflexão
Por que se procura montar circuitos que não utilizem alimentação 
simétrica (Ex.: +12 V e -12 V)?
U4 - Aplicação de circuitos eletrônicos 207
W R C= ⋅ ⋅11,
Com isso, levando em consideração as características internas 
de funcionamento do 555 e a equação de carga do capacitor, é 
possível determinar a equação da largura do pulso de saída, em 
segundos, como sendo:
Para se gerar um sinal de disparo válido para o 555, deve 
ser aplicado ao pino 2 uma tensão inferior a 1/3 de Vcc. Assim, 
comumente, coloca-se um resistor de pull-up neste pino, para 
que sua tensão esteja sempre igual a Vcc. Desta forma, quando se 
deseja ativar o monoestável, o pino em questão é conectado ao 
terra, por meio de uma chave mecânica ou eletrônica.
2.5 Operação astável
Na operação como oscilador astável, o temporizador 555 tem a 
função de gerar em sua saída uma onda quadrada, com frequência 
e largura de pulso variáveis, conforme os componentes externos 
selecionados. Este circuito se torna uma alternativa simples em 
relação a outros osciladores com mesma característica, como 
Fonte: elaborada pelo autor.
Figura 4.16 | Temporizador 555 monoestável
U4 - Aplicação de circuitos eletrônicos208
aqueles montados com amplificadores operacionais, de saída 
devido à necessidade de poucos componentes.
A Figura 4.17 apresenta o temporizador 555 montado como 
oscilador astável. A partir do funcionamento interno do 555 e 
dos resistores e capacitores externos ao componente, é possível 
escrever as equações pertinentes ao circuito apresentado. Como 
foi exposto, o circuito gera em sua saída uma onda quadrada, que 
possui período igual a:
Com isso, a frequência pode ser escrita como sendo:
Um outro parâmetro da onda de saída que pode ser definido é 
a largura do pulso em nível alto:
Assim, dividindo a largura de pulso em nível alto, pelo período 
total da onda, é possível determinar o ciclo de trabalho da onda:
Uma consideração a ser feita sobre o projeto deste tipo de 
circuito é sempre estar atento à razão cíclica obtida. Assim, é 
importante que o projetista escolha os valores de resistores de 
modo que a razão cíclica seja próxima a 0,5. Desta forma, a onda 
de saída terá metade do seu período em nível alto e metade em 
nível baixo, o que aumenta a quantidade de aplicações possíveis.
T R R C= ⋅ + ⋅ ⋅0 693 1 2 2, ( )
f
R R C
=
+ ⋅ ⋅
1 44
1 2 2
,
( )
W R R C= ⋅ + ⋅0 693 1 2, ( )
D R R
R R
=
+
+ ⋅
1 2
1 2 2
U4 - Aplicação de circuitos eletrônicos 209
Fonte: elaborada pelo autor.
Figura 4.17 | Temporizador 555 astável
Para saber mais
Conheça as características e o circuito interno do temporizador 
555. Neste link é possível encontrar também uma explicação sobre 
os seus pinos e o funcionamento interno, além dos principais 
circuitos que podem ser montados com ele. Disponível em: 
<https://youtu.be/zeFs8LXmxZQ>. Acesso em: 27 mar. 2017.
U4 - Aplicação de circuitos eletrônicos210
Atividades de aprendizagem
1. Faça o projeto de um oscilador ponte de Wien que gere em sua saída 
uma onda senoidal com frequência de 1 kHz.
2. Projete um circuito que gere um pulso com duração de 30 minutos 
quando um push button for acionado.
U4 - Aplicação de circuitos eletrônicos 211
Seção 3
Sensores de tensão e corrente
Introdução à seção
Existem diversas aplicações em que se é importante monitorar 
a tensão e a corrente que estão sendo utilizadas para alimentar 
determinado circuito, seja em corrente contínua ou alternada. 
Assim, esta seção vem apresentar diversos circuitos e sensores 
que são utilizados para amostrar a tensão e a corrente, e também 
condicioná-las de forma que seja possível a sua leitura por algum 
dispositivo digital, como um microcontrolador.
Os sensores são elementos que são capazes de converter uma 
medida não elétrica, por exemplo, temperatura, pressão, campo 
magnético, entre outras, em uma grandeza elétrica. Esta relação 
entre grandezas normalmente pode ser descrita por meio de uma 
equação, seja ela linear ou não. Nesta seção, são apresentados 
sensores que são utilizados para medir tensão e corrente, de forma 
indireta ou circuitos que apenas condicionam os sinais de modo que 
eles possam ser lidos pelo dispositivo que processará estes sinais.
Em sistemas embarcados, o elemento mais utilizado para 
o processamento de dados e controle é o microcontrolador. 
Assim, os circuitos apresentados nesta seção têm por objetivo 
gerar em suas saídas sinais que são possíveis de serem lidos pelos 
microcontroladores, como níveis de tensão ou ondas quadradas. 
Lembrando que a grande maioria dos microcontroladores possui 
alimentação de 3,3 V ou 5 V. Desta forma, os sinais em questão não 
podem ultrapassar estes níveis de tensão.
Os sensores de tensão e corrente podem ser divididos 
basicamente em dois tipos: os de corrente contínua e os de corrente 
alternada. Quando se trata de corrente contínua, a medição é mais 
simples, pois, na maioria dos casos, estão envolvidos valores baixos 
de tensão e corrente. Com isso, para a medição de tensão, na maioria 
das vezes, basta aplicar um divisor resistivo ou um circuito de ganho 
para atenuação do sinal. Para a corrente existem diversos tipos de 
medição, os mais utilizados são por efeito Hall ou resistor em série. 
U4 - Aplicação de circuitos eletrônicos212
As medições em corrente alternada normalmente estão relacionadas 
a grandes valores de tensão e corrente. Assim, além dos circuitos 
utilizados para corrente contínua, são utilizados transformadores, 
para adequar os níveis de tensão e isolar os circuitos, os chamados 
transformadores de instrumentação.
3.1 Transformadores de instrumentação
Os transformadores de instrumentação são elementos 
utilizados em subestações geradoras, transmissoras e distribuidoras 
de energia elétrica para aadequação e isolação dos níveis de 
tensão para que as medidas possam ser feitas por equipamentos 
de baixa tensão. Existem dois tipos desses transformadores: o 
transformador de potencial (TP), utilizado para medir a tensão 
(Figura 4.18) e o transformador de corrente (TC), ilustrado na Figura 
4.19. O transformador de potencial possui a função de abaixar a 
tensão a ser medida, convertendo valores da casa de centenas 
de quilovolts para poucos volts. Já o transformador de corrente é 
responsável por gerar uma corrente elétrica equivalente à corrente 
que está passando no condutor a ser medido. 
Fonte: <https://goo.gl/IQMj8Q>. Acesso em: 2 maio 2017.
Figura 4.18 | Transformador de potencial de alta tensão
U4 - Aplicação de circuitos eletrônicos 213
Tomando como exemplo uma linha de transmissão de uma 
subestação qualquer que opera em 13,8 kV, é necessário que 
haja equipamentos capazes de adequar e isolar a alta tensão dos 
condutores em níveis proporcionais, capazes de serem medidos 
pelos instrumentos de monitoramento. Assim, essa situação é um 
exemplo de aplicação dos transformadores de tensão e corrente 
citados anteriormente.
O transformador de corrente pode possuir uma montagem 
diferente do que é ilustrado na Figura 4.19. No caso, é apresentada 
uma montagem em que existe um núcleo ferromagnético sob o 
qual são colocados enrolamentos. Assim, a corrente que passa no 
condutor que se deseja medir a corrente, e que está alocado dentro 
do núcleo, gera um campo magnético, que por sua vez induz a 
circulação de corrente nos enrolamentos e, consequentemente, 
um nível de tensão. Existem casos de transformadores de corrente 
que o condutor não passa por dentro do núcleo, mas dá algumas 
voltas no núcleo, assim como os enrolamentos.
Os modelos de transformadores de instrumentação apresentados 
até este ponto são utilizados em média e alta tensão. No entanto, 
também existem os seus equivalentes para baixa tensão, utilizados 
para se amostrar a tensão da rede, em conversores DC-DC e AC-
DC, entre outras aplicações. A Figura 4.20 ilustra um exemplo de 
Fonte: <https://goo.gl/Z5p6gF>. Acesso em: 2 maio 2017.
Figura 4.19 | Transformador de corrente de alta tensão
U4 - Aplicação de circuitos eletrônicos214
Fonte: <https://goo.gl/FdX3Wj>. Acesso em: 2 maio 2017.
Figura 4.20 | Transformador para eletrônica
3.2 Sensores de corrente por efeito Hall
Supondo um pedaço de material semicondutor pelo qual 
passa uma corrente elétrica no sentido longitudinal e é colocado 
um voltímetro no sentido transversal, caso não haja um campo 
magnético externo sendo aplicado no material, a corrente fluirá de 
forma uniforme e a tensão observada será nula. Quando é aplicado 
um campo magnético neste material, a corrente que circula por 
ele tende a se acumular nas suas faces laterais. Essa distribuição 
não uniforme dos portadores de carga faz com que seja obtida 
uma tensão no voltímetro. Esse processo, chamado de efeito Hall, 
que está relacionado com a força de Lorentz, está ilustrado na 
Figura 4.21. Desta forma, a tensão que é medida pelo voltímetro é 
chamada de tensão de Hall.
transformador utilizado em eletrônica, que além de servir como 
um condicionador e isolador do sinal de tensão, pode ser utilizado 
em fontes de alimentação. Os transformadores de corrente para 
baixos níveis de tensão possuem as mesmas características daquele 
apresentado na Figura 4.19, contudo, com dimensões menores.
U4 - Aplicação de circuitos eletrônicos 215
Fonte: <http://www.eletrica.ufpr.br/edu/Sensores/2000/neis/fig2.gif>. Acesso em: 2 maio 2017.
Fonte: <https://goo.gl/EPkmV2>. Acesso em: 2 maio 2017.
Figura 4.21 | Funcionamento interno do sensor de corrente por efeito Hall de até 50 A
Figura 4.22 | Funcionamento interno do sensor de corrente por efeito Hall para 
corrente entre 50 A e 200 A
Assim, existem componentes integrados que fazem a leitura 
da corrente que passa por ele utilizando o princípio do efeito Hall. 
Esses componentes possuem um sensor de efeito Hall interno a seu 
encapsulamento, que é responsável em medir o campo magnético 
gerado pelo fluxo de corrente elétrica que passa por ele. Assim, a 
corrente a ser medida simplesmente passa por dentro do componente, 
que fica responsável em disponibilizar em um de seus pinos uma 
tensão proporcional à corrente que circula por ele. Essa metodologia 
de medição está ilustrada na Figura 4.22, que exibe o funcionamento 
interno de um componente eletrônico com as características citadas, 
indicado para medição de corrente de até 50 A. A Figura 4.23, ilustra 
também um componente que realiza a medição de corrente por efeito 
Hall, contudo para uma faixa de corrente mais alta, entre 50 A e 200 A.
U4 - Aplicação de circuitos eletrônicos216
Os componentes citados são fabricados pela Allegro e 
entre os dois tipos existem vários modelos. A diferença entre 
os modelos está relacionada à faixa otimizada de medição, 
sensibilidade, encapsulamento e capacidade de medição de 
corrente bidirecional ou unidirecional, ou seja, corrente contínua 
e alternada ou somente contínua.
Para exemplificar, pode ser feita a análise do componente 
mais utilizado da linha, o ACS712. Ele é capaz de medir correntes 
bidirecionais e possui sensibilidade de até 185 mV/A, ou seja, a 
cada 1 A que passa pelo componente, a sua saída variará em ±185 
mV, dependendo do sentido da corrente. Este modelo deve ser 
alimentado com 5 V e sua saída possui um offset de 2,5 V. Assim, 
considerando este modelo como exemplo, caso esteja passando 
por ele uma corrente de 2 A, a saída será de 2,870 V (0,185·2 + 
2,5). Já quando esteja passando uma corrente de -3 A, a saída 
será 1,945 V (0,185·-3 + 2,5). Desta forma, esse valor de tensão 
pode ser amostrado por um conversor A/D e processado por um 
microcontrolador.
3.3 Sensor de corrente por resistor série
A medição com a colocação de resistor em série é a forma 
mais simples de se medir corrente. Ela se baseia na Lei de Ohm, 
em que a medição é feita por meio da inserção de um resistor 
de valor conhecido em série com o circuito que se deseja medir 
a corrente. Dessa forma, haverá uma queda de tensão sobre o 
resistor proporcional à corrente que passa por ele. Avaliando essa 
tensão, consegue-se obter o valor da corrente.
O maior problema relacionado a este tipo de medição é a 
queda de tensão que o resistor vai causar. Quanto maior essa 
Para saber mais
Conheça mais das características e funcionamento do ACS712 
acessando o link a seguir. Este vídeo foi feito pela própria fabricante 
e explica por meio de animações a forma em que a corrente circula 
pelo componente e como o sensor de efeito Hall gera a tensão 
proporcional a essa corrente. Disponível em: <https://youtu.
be/7XIXOHnmOSo>. Acesso em: 27 mar. 2017.
U4 - Aplicação de circuitos eletrônicos 217
queda, maior a interferência da medição no circuito em que 
se deseja monitorar a tensão. Assim, quando se trabalha com 
circuitos eletrônicos que devem ter a sua tensão de alimentação 
estável, esta forma de medição não é a mais indicada. Por outro 
lado, quando se deseja monitorar o consumo de corrente 
de motores, por exemplo, esse método de medição é o mais 
utilizado devido a seu baixo custo.
Normalmente é utilizado um resistor do tipo shunt para a 
medição da corrente. Este resistor possui uma resistência inferior 
a 1 Ω, alta capacidade de dissipar calor e é estável a variações 
de temperatura. Assim, o maior problema deste tipo de medição 
é atenuado, fazendo com que a influência dos instrumentos de 
medição seja a mínima possível.
Como já foi dito, a medida da corrente é feita por meio da 
avaliação da queda de tensão sobre o resistor. Essa tensão pode ser 
medida por meio de montagens com amplificadores operacionais 
ou circuitos integrados específicos. Atualmente, a solução mais 
utilizada são os circuitos integrados monitores de corrente shunt. 
Estes componentes possuem toda a instrumentação eletrônica 
necessária para a medição, bastando apenas ao projetista ligaro 
resistor shunt nos pinos corretos e selecionar o ganho do circuito. 
O ganho é um parâmetro importante, pois a queda de tensão na 
maioria das vezes é da casa dos milivolts. Assim, quanto maior a 
sensibilidade dentro da faixa de medição, maior será a resolução 
na amostragem posterior desses dados pelo microcontrolador.
A Figura 4.23 apresenta um exemplo de um circuito monitor 
de corrente montado utilizando o CI INA138. Nessa montagem, 
o ganho do circuito é ajustado conforme a seleção do valor do 
resistor RL. Assim, ele pode ser utilizado em diversas aplicações, 
sendo capaz de medir diversas faixas de corrente. Como pode-se 
perceber pela imagem, este componente possui aplicação em 
uma configuração conhecida como high-side, em que o resistor 
shunt é colocado logo após alimentação. Existem outros modelos 
de CI que necessitam que o resistor shunt seja colocado ligado 
ao terra, sendo chamados de low-side.
U4 - Aplicação de circuitos eletrônicos218
Fonte: <https://goo.gl/72M3f9>. Acesso em: 2 maio 2017.
Figura 4.23 | Circuito monitor de corrente shunt montado com o INA138
Questão para reflexão
Para saber mais
Dentre os tipos de sensores de corrente que foram apresentados, 
qual é capaz de medir a corrente com maior exatidão? Qual é o 
mais indicado para medir a corrente em sistemas eletrônicos 
embarcados?
Consulte o datasheet (em inglês) do CI INA138 para saber sobre este 
componente que é largamente utilizado para o monitoramento 
de corrente nas mais diversas aplicações. Disponível em: <http://
www.ti.com/lit/ds/symlink/ina138.pdf>. Acesso em: 27 mar. 2017.
U4 - Aplicação de circuitos eletrônicos 219
Atividades de aprendizagem
1. Que tipo de instrumento é utilizado para medir a corrente elétrica em 
redes de distribuição? Por quê?
2. Qual a principal vantagem existente entre os sensores de corrente por 
efeito Hall e por resistor em série?
U4 - Aplicação de circuitos eletrônicos220
Seção 4
Circuitos condicionadores de sinais de tensão e 
corrente
Introdução à seção
Dentro da instrumentação eletrônica, quando se aborda o tópico 
de circuitos condicionadores de sinais de tensão e corrente, trata-se 
de circuitos que fazem o ajuste de um determinado sinal advindo 
de um sensor. Isso possibilita que este sinal possa ser amostrado por 
sistemas de aquisição de dados ou por um microntrolador. 
Existem vários tipos de sensores e transdutores que são capazes 
de converter grandezas físicas variadas em sinais elétricos de tensão 
ou corrente. No entanto, na maioria das vezes, estes sinais possuem 
amplitude muito baixa ou são ruidosos, impossibilitando que possam 
ser amostrados. Assim, torna-se necessário condicionar tais sinais 
para que possam ser amostrados e posteriormente processados.
Os sensores podem ser divididos em dois tipos, analógicos e 
digitais. Os sensores digitais são aqueles que sua saída é dada por 
meio de um protocolo de comunicação digital. Nesse caso, os 
dados são processados de forma embarcada pelo próprio sensor 
e não é necessário nenhum circuito de condicionamento. Alguns 
exemplos de sensores desse tipo são os sensores de temperatura 
TMP275, LM92 e DB18B20 e os sensores de umidade e temperatura 
SHT75 e Si7005. Os sensores analógicos são aqueles que apenas 
realizam a conversão de grandezas e, na maioria das vezes, 
necessitam de circuitos de condicionamento. Alguns exemplos de 
sensores analógicos são os termistores, potenciômetros, sliders, 
fotorresistores, fotodiodos, strain gauges, sensores piezoelétricos 
e transdutores de ultrassom. Cada tipo de sensor necessita de 
um tipo de condicionamento diferente, fazendo com que após 
o condicionamento exista um nível de tensão ou sinal digital que 
possa ser lido pelo sistema de aquisição de dados.
Um fator importante é o formato em que o condicionamento 
deve ser feito. Usualmente, utiliza-se um microcontrolador para 
amostrar os dados. Assim, é necessário que o sinal varie dentro 
U4 - Aplicação de circuitos eletrônicos 221
V R
R
VOUT
P
= +
⋅




 ⋅ −1
2
1 2(V )
4.1 Amplificador de instrumentação
da faixa de tensão do microcontrolador. Tomando como exemplo 
um microcontrolador que opera em 5 V, os sinais que ele pode 
ler em seu conversor A/D devem estar na faixa de 0 a 5 V. Desta 
forma, o primeiro passo de um circuito de condicionamento é 
fazer com que o sinal esteja dentro dessa faixa. Após isso, deve-se 
amplificar o sinal o máximo possível, de forma que ele excursione 
por toda essa faixa, o que faz com que o processo de conversão 
A/D tenha a maior precisão possível. 
A maioria dos circuitos de condicionamento faz uso das 
montagens com amplificadores operacionais, apresentadas na 
Seção 4.1, seja apenas uma delas, ou uma montagem com vários 
amplificadores em sequência. Com isso, estão apresentados nesta 
seção, circuitos que são utilizados para condicionar os sinais de 
alguns sensores.
O amplificador de instrumentação é um circuito montado 
tendo como base os amplificadores operacionais. Este circuito 
gera uma saída baseada na diferença entre suas duas entradas, 
multiplicada por um ganho, que é selecionado por meio da seleção 
dos resistores em sua montagem.
A Figura 4.24 ilustra o amplificador de instrumentação. Levando 
em consideração as montagens que compõem o circuito, é 
possível determinar o valor da tensão que será encontrada na sua 
saída como sendo:
U4 - Aplicação de circuitos eletrônicos222
Fonte: elaborada pelo autor.
Figura 4.24 | Amplificador de instrumentação
G k
RG
= +





1
50
Além da montagem com a utilização de três amplificadores 
operacionais, pode-se empregar um circuito integrado que possui 
essa montagem interna. Dessa forma, basta ao projetista selecionar 
o valor do ganho por meio de um resistor externo. Um exemplo de 
circuito integrado de amplificador de instrumentação é o INA121, 
que possui seu diagrama interno apresentado na Figura 4.25. 
Além dos pinos de alimentação, entrada, saída e para colocação 
do resistor de ganho, possui ainda o pino “Ref”, em que pode ser 
aplicada uma tensão a ser somada com o sinal de saída. Conforme 
dados do datasheet deste CI, o ganho pode ser calculado por:
U4 - Aplicação de circuitos eletrônicos 223
Fonte: <http://www.ti.com/lit/ds/symlink/ina121.pdf>. Acesso em: 3 maio 2017.
Figura 4.25 | Amplificador de instrumentação
O amplificador de instrumentação é muito utilizado quando se 
deseja amplificar pequenos valores de tensão diferenciais, como 
em sensores em que as variações de tensão a serem medidas 
são muito pequenas. Um exemplo de aplicação é a medição de 
deformações por meio de extensômetros.
O extensômetro, conhecido também como strain gage, é um 
elemento que quando deformado sofre variação de sua resistência 
e está ilustrado na Figura 4.26. Cada modelo de extensômetro 
possui um sentido de deformação ótimo, no caso do modelo 
apresentado, a deformação deve acontecer no sentido longitudinal, 
onde as linhas de resistência são mais longas. Este componente 
é muito utilizado em máquinas, equipamentos e estruturas para 
medir a sua deformação quando é aplicada uma tensão mecânica. 
Para se medir a variação de resistência de um extensômetro é 
utilizado um circuito conhecido como ponte de Wheatstone em 
conjunto com um amplificador de instrumentação, como está 
apresentado na Figura 4.27. Neste circuito, os resistores indicados 
como R possuem o mesmo valor, o que proporciona uma variação 
de tensão nos pontos internos da ponte, conforme a variação de 
resistência do strain gage. O potenciômetro POT em conjunto com o 
U4 - Aplicação de circuitos eletrônicos224
resistor R0, são utilizados para o ajuste de zero da ponte, caso haja um 
desbalanceamento devido a possíveis diferenças entre as resistências. 
O ganho do amplificador de instrumentação, dado pelo resistor RG, 
deve ser ajustado conforme a sensibilidade do strain gage. Como o 
valor de RG pode variar muito conforme a aplicação do extensômetro, 
usualmente é colocado um trimpot (resistor variável deprecisão) em 
substituição a um resistor de valor fixo.
4.2 Fonte de corrente constante
Existem alguns tipos de sensores e aplicações que necessitam 
de uma fonte de corrente constante, ou seja, um circuito que 
mantenha o fornecimento de corrente sempre o mesmo, 
independentemente da carga que é ligada a ele. Como a maioria 
Fonte: <http://br.omega.com/pressure/images/SGD_EXTRA-LONG_l.jpg>. Acesso em: 3 maio 2017.
Fonte: elaborada pelo autor.
Figura 4.26 | Exemplo de extensômetro
Figura 4.27 | Circuito de condicionamento para extensômetro (strain gage)
U4 - Aplicação de circuitos eletrônicos 225
V R V
R RREF
CC=
⋅
+
2
1 2
V V VR CC REF3 = −
DASAÍI
V
R
V V
R
R CC REF= =
−3
3 3
das fontes de energia elétrica são fontes de tensão, é necessário 
um circuito que, a partir de uma fonte de tensão, possa gerar essa 
corrente constante. 
A Figura 4.28 ilustra um circuito fonte de corrente constante 
montado, tendo como base um amplificador operacional e um 
transistor PNP. Neste circuito, o divisor resistivo montado com 
R1 e R2 é responsável por gerar uma tensão de referência, que é 
aplicada na entrada não inversora do amplificador operacional e 
pode ser escrita como sendo:
O amplificador operacional está montado em realimentação 
negativa, formada pelo emissor do transistor. Com isso, a tensão 
da porta inversora é igual à tensão da porta não inversora. Portanto, 
a tensão sobre o resistor R3 é:
Nesse circuito, fica claro que a tensão sobre a carga varia 
conforme a sua impedância. Como a tensão no emissor do 
transistor é fixa devido ao amplificador operacional, a variação de 
tensão que a carga pode causar é absorvida pelo transistor. Assim, 
pode-se dizer que a tensão VCE do transistor varia conforme a 
carga aplicada.
Como a corrente na base do transistor é muito pequena 
em comparação com a corrente no coletor, pode-se dizer que 
a corrente no emissor será igual à corrente no coletor. Assim, a 
corrente de saída do circuito será a mesma que passa por R3. 
Desta forma:
U4 - Aplicação de circuitos eletrônicos226
Um ponto importante relacionado ao circuito da Figura 4.28 está na 
estabilidade que a fonte de alimentação deve ter. Observando o circuito, 
caso o valor de VCC venha a variar, o valor da tensão VREF também 
variará. Consequentemente, a tensão sobre o resistor também sofrerá 
variações, fazendo com que a corrente gerada pelo circuito venha a 
variar. Assim, recomenda-se que seja utilizada uma fonte de tensão 
estável, que pode ser obtida por meio da utilização de um regulador de 
precisão, como será apresentado nas seções subsequentes.
Outro parâmetro relevante é que a tensão de referência do 
circuito, gerada por um divisor de tensão resistivo, pode ser gerada 
de outra forma, como por um diodo zener ou conversor D/A.
Uma das possíveis aplicações do circuito fonte de corrente 
constante é na medição de temperatura por meio de termistores. 
Os termistores são componentes que variam a sua resistência 
conforme a temperatura, em que o modelo mais conhecido 
e utilizado é o NTC, em que a sua resistência diminui com o 
aumento da temperatura. Assim, como o circuito apresentado 
nessa seção mantém a corrente constante, utilizando a Lei de 
Ohm, é possível determinar a resistência do termistor ao se avaliar 
a tensão sobre ele. Desta forma, é possível encontrar uma relação 
entre temperatura e tensão.
Fonte: elaborada pelo autor.
Figura 4.28 | Circuito fonte de corrente constante
U4 - Aplicação de circuitos eletrônicos 227
Considerando, ainda, o exemplo do termistor, existe a 
possibilidade da variação de tensão com a temperatura ser muito 
pequena. Sendo assim, faz-se necessária a utilização de um 
circuito de condicionamento, que permita uma maior variação 
de tensão dentro de uma faixa de temperatura determinada. Para 
isso, pode-se utilizar uma das montagens com amplificadores 
operacionais já apresentada nessa unidade, como o amplificador 
inversor ou o não inversor. Em alguns casos, também é necessária 
a utilização de um subtrator, que permita a subtração da tensão 
de início de escala do termistor antes da amplificação e também 
de um buffer, para desacoplar o sinal de tensão gerado pelo 
termistor. Levando em consideração o que foi dito, um possível 
circuito de condicionamento para um termistor está apresentado 
na Figura 4.29.
Fonte: elaborada pelo autor.
Figura 4.29 | Circuito de condicionamento para termistor
Para saber mais
Para conhecer um pouco mais sobre os termistores NTC, assista 
ao vídeo do link a seguir. No vídeo são apresentadas várias 
informações sobre os NTCs, é feita uma comparação entre 
modelos e um teste de funcionamento. Disponível em: <https://
youtu.be/Eaq6ToaoojA>. Acesso em: 27 mar. 2017.
U4 - Aplicação de circuitos eletrônicos228
Questão para reflexão
Existe uma outra forma de se realizar o condicionamento do sinal 
de tensão de um termistor? Como seria o circuito? É possível 
aplicar outro circuito para se medir a temperatura?
4.3 Fontes de tensão regulada
Para o funcionamento de todo e qualquer circuito eletrônico, 
é necessário que haja uma fonte de energia, permitindo que os 
diferentes componentes desempenhem seus papéis dentro do 
circuito. Entre os tipos de fonte de alimentação existem as fontes 
de tensão e corrente, podendo ser contínuas ou alternadas. Esta 
seção se limita a abordar somente as fontes de tensão contínua, 
apresentando como elas podem desenvolvidas e utilizadas.
Quando se trata das fontes de tensão, elas podem ser divididas 
em dois tipos: reguladas e não reguladas. As fontes reguladas são 
aquelas que possuem um ou vários componentes eletrônicos 
responsáveis por manter a tensão de saída regulada, sem variações 
de tensão conforme a variação da carga. Já na fonte de tensão não 
regulada, acontecem variações na sua tensão de saída conforme 
a carga aplicada varia. De modo geral, em uma fonte de tensão 
não regulada ou com regulação defeituosa, a tensão da fonte 
tende a diminuir com o aumento da carga, e consequentemente a 
exigência de uma maior corrente.
A forma mais simples de se obter uma tensão regulada é por meio 
dos reguladores lineares. Estes reguladores são componentes que 
internamente possuem uma montagem baseada em transistores, 
permitindo que uma tensão não regulada aplicada em sua entrada 
seja regulada. O CIs mais conhecidos que desempenham essa 
função são os da linha 78XX. Cada um dos modelos realiza a 
regulagem de tensão para determinado nível. Tomando como 
exemplo o 7805, ilustrado na Figura 4.30, ele disponibiliza em 
sua saída uma tensão regulada em 5 V. Um circuito exemplo de 
aplicação está apresentado na Figura 4.31.
U4 - Aplicação de circuitos eletrônicos 229
Existem aplicações que necessitam de uma regulação de tensão 
mais precisa que a encontrada nos reguladores mais comuns 
como os da linha 78XX, em que a saída pode variar em até 5 %. Tais 
reguladores são chamados de reguladores de precisão e utilizados 
na maioria das vezes para se gerar uma tensão de referência. Um 
exemplo de CI com essa característica é o LT1461, que possui uma 
variação máxima de sua saída em 0,04%.
Fonte: <https://goo.gl/z0c0hY>. Acesso em: 3 maio 2017.
Fonte: elaborada pelo autor.
Figura 4.30 | Circuito integrado 7805
Figura 4.31 | Exemplo de circuito com o CI 7805
U4 - Aplicação de circuitos eletrônicos230
Atividades de aprendizagem
1. Projete um circuito fonte de corrente que gere uma corrente constante 
de 20 mA para excitar um termistor NTC. A única tensão de alimentação 
disponível para a utilização é de 12 V. Procure utilizar uma tensão de 
referência de 5 V.
2. Qual a vantagem da utilização de um regulador de tensão convencional 
para um de precisão?
Fique ligado
Nesta unidade foram apresentados os seguintes tópicos:
• Conceitos gerais sobre o funcionamento dos amplificadores 
operacionais.
• Circuitos de condicionamento com amplificadores operacionais.
• Diferenças entre o amplificador operacional ideal e o real.
• Circuitos osciladores com transistorese amplificadores 
operacionais utilizando capacitores e indutores.
• Circuitos osciladores com cristais.
• Circuitos e funcionamento do temporizador 555.
• Métodos de medição de corrente e tensão.
• Transformadores de potencial e de corrente.
• Sensores de corrente por efeito Hall.
• Medidores de corrente por resistor shunt.
• Circuitos de condicionamento de sinais de tensão e corrente.
U4 - Aplicação de circuitos eletrônicos 231
• Circuito e funcionamento do amplificador de instrumentação.
• Circuito de condicionamento para extensômetro.
• Circuito fonte de corrente constante.
• Circuito de condicionamento para termistor.
• Fontes de tensão regulada.
• Reguladores de tensão convencionais e de precisão.
Para concluir o estudo da unidade
Ao final do estudo desta unidade, é esperado que você 
tenha conhecimento e seja capaz de projetar circuitos de 
condicionamento montados com amplificadores operacionais. 
Além disso, deve ser capaz de selecionar e projetar o melhor tipo 
de oscilador, conforme a aplicação.
Espera-se também que saiba realizar a medição de corrente nos 
mais diversos tipos de sistema e circuitos, bem como seja capaz 
de trabalhar com os mais diversos tipos de sensores analógicos, 
sabendo realizar o condicionamento necessário para que a leitura 
desse sensor possa ser feita por um sistema de aquisição de 
dados. Por fim, deve ser capaz de utilizar os mais diversos tipos de 
reguladores de tensão, conforme a aplicação.
Esta unidade apresenta os conceitos básicos da instrumentação 
eletrônica de forma resumida. Para que o aprendizado seja 
completo, é importante que você acesse todos os links 
apresentados no material, pois eles servem como complemento a 
aquilo que não está documentado no texto.
Bons estudos!
Para saber mais
Dois livros que podem ser utilizados no complemento dos estudos 
são Eletrônica e Dispositivos eletrônicos e teoria de circuitos.
Fonte: MALVINO, Albert Paul. Eletrônica. v. 2. 7. ed. Porto Alegre: 
AMGH, 2007.
U4 - Aplicação de circuitos eletrônicos232
BOYLESTAD, R.; NASHELESKY, L. Dispositivos eletrônicos e teoria 
de circuitos. 11. ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2013.
Estes livros são muito empregados no desenvolvimento de 
circuitos analógicos de condicionamento, pois apresentam uma 
grande quantidade de circuitos práticos, que podem ser utilizados 
nas mais diversas aplicações.
Atividades de aprendizagem da unidade
1. Os circuitos osciladores são muito utilizados para a geração de sinais 
elétricos alternados, de modo em que existem vários tipos de montagens 
que podem ser feitas para se gerar um mesmo sinal. A forma mais simples 
de se gerar uma onda quadrada é com a utilização do temporizador 
555. Tomando o circuito apresentado na Figura 4.32, calcule o valor da 
frequência e a razão cíclica da onda de saída.
Fonte: elaborada pelo autor.
Figura 4.32 | Circuito para a questão 1
U4 - Aplicação de circuitos eletrônicos 233
2. Os extensômetros, também conhecidos como strain gage, são 
elementos utilizados para medir a deformação de estruturas e objetos 
variados. Em determinada aplicação, um extensômetro de resistência 
nominal de 10 kΩ sofreu uma deformação que causou um aumento 
de 0,5% de sua resistência. Calcule o valor de tensão encontrado na 
saída do circuito de condicionamento apresentado na Figura 4.33 para 
a deformação citada. O amplificador de instrumentação utilizado é o 
INA121 que possui ganho igual a G k
RG
= +





1
50 .
3. Os circuitos osciladores são muito utilizados para a geração de sinais 
elétricos alternados, de modo em que existem vários tipos de montagens 
que podem ser feitas para se gerar um mesmo sinal. Considerando o 
circuito oscilador ponte de Wien apresentado na Figura 4.34, calcule o 
valor de frequência da onda senoidal de saída.
Fonte: elaborada pelo autor.
Fonte: elaborada pelo autor.
Figura 4.33 | Circuito para a questão 2
Figura 4.34 | Circuito para a questão 3
U4 - Aplicação de circuitos eletrônicos234
4. Existem aplicações que devem possuir uma fonte de corrente 
constante, por exemplo, na medição de sinais gerados por sensores 
resistivos. Considerando o circuito fonte de corrente apresentado na 
Figura 4.35, calcule o valor da corrente que estará passando sobre o 
resistor de RI.
Fonte: elaborada pelo autor.
Figura 4.35 | Circuito para a questão 4
U4 - Aplicação de circuitos eletrônicos 235
5. Os circuitos de condicionamento são muito utilizados para o 
condicionamento de sinais de sensores. Um exemplo de sensor 
é o termistor, que uma variação de temperatura causa a variação 
de sua resistência. O circuito da Figura 4.36 ilustra um exemplo de 
condicionamento para um termistor. A partir do circuito apresentado, 
calcule o valor da tensão de saída Vout.
Fonte: elaborada pelo autor.
Figura 4.36 | Circuito para a questão 5
U4 - Aplicação de circuitos eletrônicos236
Referências
ALEXANDER, C. K.; SADIKU, M. N. O. Fundamentos de circuitos elétricos. Porto 
Alegre: Bookman, 2003.
ALLEGRO MicroSystems, LCC. ACS712 datasheet. [s.d.]. Disponível em: <http://
www.allegromicro.com/~/media/files/datasheets/acs712-datasheet.ashx>. Acesso 
em: 29 mar. 2017.
BOYLESTAD, R.; NASHELESKY, L. Dispositivos eletrônicos e teoria de circuitos. 11. 
ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2013.
BRAGA, Newton C. Como funcionam os sensores de efeito Hall. 2014. Disponível 
em: <http://www.newtoncbraga.com.br/index.php/como-funciona/6640-como-
funcionam-os-sensores-de-efeito-hall-art1050>. Acesso em: 29 mar. 2017.
BURR-BROWN. INA121 datasheet. 1998. Disponível em: <http://www.ti.com/lit/
ds/symlink/ina121.pdf>. Acesso em: 29 mar. 2017.
LINEAR TECNOLOGY. LT1461 datasheet. [s.d.]. Disponível em: <http://cds.linear.
com/docs/en/datasheet/1461fb.pdf>. Acesso em: 29 mar. 2017.
MALVINO, Albert Paul. Eletrônica. v. 1 e 2. 7. ed. Porto Alegre: AMGH, 2007.
SEDRA, S.; SMITH, K. Microeletrônica. 4. ed. São Paulo: Pearson Makron Books, 
2005.
TEXAS INSTRUMENTS. INA138, INA168 datasheet. 2003. Disponível em: <https://
www.sparkfun.com/datasheets/Components/LM7805.pdf>. Acesso em: 29 mar. 2017.
Anotações
Anotações
Anotações
Anotações
U
N
O
PA
R
C
IRC
U
ITO
S ELÉTRICO
S E IN
STRU
M
EN
TA
Ç
Ã
O
 ELETRÔ
N
IC
A
Circuitos 
elétricos e 
instrumentação 
eletrônica