Circuitos elétricos e instrumentação eletrônica

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 ELETRÔ
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Circuitos 
elétricos e 
instrumentação 
eletrônica
Fernando Alves Negrão
Daniele Aparecida Maia Cleto
Charles William Polizelli Pereira
Giancarlo Michelino Gaeta Lopes
Circuitos elétricos 
e instrumentação 
eletrônica
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) 
 Negrão, Fernando Alves 
 
 
 ISBN 978-85-8482-971-2
 1. Aparelhos e materiais eletrônicos. 2. Circuitos 
 elétricos. I. Cleto, Daniele Aparecida Maia. II. Pereira, Charles 
 William Polizelli. III. Lopes, Giancarlo Michelino Gaeta. IV. 
 Título.
 CDD 621.3815 
Fernando Alves Negrão, Daniele Aparecida Maia Cleto, 
Charles William Polizelli Pereira, Giancarlo Michelino Gaeta 
Lopes. – Londrina : Editora e Distribuidora Educacional S.A., 
2017.
 240 p.
N385c Circuitos elétricos e instrumentação eletrônica / 
© 2017 por Editora e Distribuidora Educacional S.A.
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Revisão Técnica
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Editorial
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2017
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e-mail: editora.educacional@kroton.com.br
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Unidade 1 | Circuitos elétricos
Seção 1 - Capacitores e indutores 
1.1 | Unidades de medida 
1.2 | Corrente e carga elétricas 
 1.2.1 | Sentido da corrente 
 1.2.2 | Corrente contínua e corrente alternada 
1.3 | Tensão (diferença de potencial V) 
1.4 | Potência 
1.5 | Energia elétrica 
1.6 | Resistência elétrica 
 1.6.1 | Primeira Lei de Ohm 
 1.6.2 | Segunda Lei de Ohm 
1.7 | Primeira Lei de Kirchhoff (Lei dos nós) 
 1.7.1 | Segunda Lei de Kirchhoff (Lei das malhas) 
1.8 | Método da análise de malhas (Leis de Kirchhoff) 
1.9 | Método de Maxwell 
1.10 | Teorema da superposição 
1.11 | Teoremas de Thévenin 
1.12 | Teoremas de Norton
Unidade 2 | Circuitos armazenadores de energia
Seção 1 - Capacitores e indutores 
1.1 | Capacitor 
 1.1.1 | Capacitância 
1.2 | Indutores 
 1.2.1 | Indutância
 
Seção 2 - Circuitos de primeira ordem 
2.1 | Circuito RC de primeira ordem sem fonte 
2.2 | Circuito RL de primeira ordem sem fonte
Seção 3 - Circuitos magnéticos e eletromagnetismo 
3.1 | Circuitos magnéticos e eletromagnetismo
Unidade 3 | Circuitos eletrônicos
Seção 1 - Circuitos com diodos 
1.1 | Semicondutores 
1.2 | Dopagem 
 1.2.1 | Material Tipo n 
 1.2.2 | Material Tipo p 
1.3 | Diodo semicondutor 
 1.3.1 | Polarização direta (VD>0) 
 1.3.2 | Polarização reversa (VD<0) 
 1.3.3 | Gráfico do diodo 
 1.3.4 | Circuito equivalente do diodo 
 1.3.5 | Diodos em tensão contínua 
 1.3.6 | Diodo em corrente alternada (C.A.) 
1.4 | Retificadores 
Sumário
9
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14 
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16
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103 
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105
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113 
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U1 - Circuitos elétricos4
 1.4.1 | Retificador de meia onda 
 1.4.2 | Retificador de onda completa 
 1.4.3 | Retificador de Onda Completa em Ponte 
1.5 | Filtragem 
 1.5.1 | Corrente de surto 
1.6 | Diodo zener 
 1.6.1 | Funcionamento do diodo zener 
 1.6.2 | Regulador de tensão utilizando diodo zener 
1.7 | Circuitos limitadores ou ceifadores 
1.8 | Circuitos grampeadores 
 1.8.1 | Circuitos detectores de pico
 
Seção 2 - Transistores bipolares de junção 
2.1 | Polarizando o transistor 
2.2 | Variáveis importantes 
 2.2.1 | Alfa CC 
 2.2.2 | Beta CC 
 2.2.3 | Tensões de ruptura 
2.3 | Configurações básicas 
 2.3.1 | Configuração emissor comum 
 2.3.2 | Gráficos de entrada e de saída 
 2.3.3 | Ponto quiescente ou ponto de operação 
 2.3.4 | Transistor como chave 
 2.3.5 | Transistor como fonte de corrente
 
Seção 3 - Circuitos de polarização de transistores 
3.1 | Polarização da base 
3.2 | Polarização com realimentação do emissor 
3.3 | Polarização com realimentação do coletor 
3.4 | Polarização por divisão de tensão 
3.5 | Polarização do emissor
Seção 4 - Amplificadores de pequenos sinais 
4.1 | Capacitor de acoplamento 
4.2 | Capacitor de derivação 
4.2 | Análise CA da polarização do transistor 
 4.2.1 | Ganho de corrente e de tensão CA 
 4.2.2 | Amplificador com emissor aterrado 
 4.2.3 | Modelo CA de um emissor comum 
 4.2.4 | Amplificador com realimentação parcial da resistência do emissor
Unidade 4 | Aplicação de circuitos eletrônicos
Seção 1 - Amplificadores operacionais 
1.1 | Amplificadores operacionais 
 1.1.1 | Amplificador inversor 
 1.1.2 | Amplificador não inversor 
 1.1.3 | Amplificador somador não inversor 
 1.1.4 | Amplificador somador inversor 
 1.1.5 | Amplificador subtrator 
 1.1.6 | Amplificador integrador 
 1.1.7 | Amplificador diferenciador
 
Seção 2 - Osciladores 
2.1 | Oscilador com ponte de Wien 
2.2 | Osciladores Colpitts 
2.1 | Oscilador a cristal 
2.4 | Temporizador 555 
 2.4.1 | Operação monoestável 
2.5 | Operação astável
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200
202
204
206 
206
207
U1 - Circuitos elétricos 5
Seção 3 - Sensores de tensão e corrente 
3.1 | Transformadores de instrumentação 
3.2 | Sensores de corrente por efeito Hall 
3.3 | Sensor de corrente por resistor série
Seção 4 - Circuitos condicionadores de sinais de tensão e corrente
4.1 | Amplificador de instrumentação 
4.2 | Fonte de corrente constante 
4.3 | Fontes de tensão regulada
211 
212
214
216
220
221
224
228
U1 - Circuitos elétricos6
Apresentação
Este material didático possui a função de apresentar conceitos 
relacionados a circuitos elétricos e instrumentação eletrônica. 
Assim, é possível dizer que este material condensa fundamentos 
que permitirão a análise e a elaboração de circuitos elétricos e 
eletrônicos básicos. Para isso, serão abordados temas que são 
fundamentais a qualquer engenheiro, seja ele da área elétrica ou 
não, aumentando a abrangência da formação em engenharia.
É esperado que ao final do estudo deste material você seja capaz 
de identificar, compreender e analisar circuitos elétricos e conhecer os 
princípios magnéticos e eletromagnéticos que são utilizados em diversas 
aplicações. Espera-se também que conheça os circuitos eletrônicos 
básicos, bem como os componentes eletrônicos que fazem parte 
destes circuitos e como eles funcionam. Assim, você será capaz de 
entender o funcionamento de diversos tipos de sensores e transdutores, 
e também projetar circuitos de condicionamento que venham a ser 
necessários para o funcionamento devido de tais circuitos. 
Um diferencial deste material é o fato dele condensar os 
principais conceitos da área eletrônica, apresentando somente os 
temas pertinentes e que serão utilizados na prática da engenharia. 
Com isso, é possível dizer que o material tem o objetivo de 
desenvolver conceitos que são utilizados de fato durante a carreira 
de um engenheiro. Para tanto, apresenta exemplos e exercícios 
que transcrevem situações práticas que podem ser encontradas 
no dia a dia do profissional de engenharia.Na Unidade 1, você está convidado a estudar conceitos de 
circuitos elétricos, conhecendo os componentes básicos, leis e 
métodos de análise. Aprenderá também conceitos relacionados 
aos teoremas de Thevenin e Norton, que permitem a análise dos 
mais diversos tipos de circuitos elétricos.
A Unidade 2 apresenta assuntos relacionados a circuitos com 
componentes armazenadores de energia, tornando-o capaz de 
trabalhar na análise de capacitores e indutores. Assim, será possível 
o aprendizado das equações que regem o funcionamento de tais 
componentes dentro de um circuito e também suas características 
de carregamento e descarregamento.
Os conceitos base que dizem respeito aos circuitos eletrônicos 
estão apresentados na Unidade 3. Nesta unidade, você estudará os 
dois componentes eletrônicos mais básicos que existem, o diodo e 
o transistor. Também estudará os circuitos que são utilizados para a 
polarização destes componentes e como eles podem ser utilizados.
Por fim, na Unidade 4, você é convidado a trabalhar em uma área 
dentro da engenharia que é chamada de instrumentação eletrônica. 
Para isso, são apresentados conceitos básicos de amplificadores 
operacionais, seguido das aplicações destes circuitos. Com isso, o 
aluno será capaz de projetar e analisar circuitos de condicionamento 
de sinais e também conhecer diversos tipos de sensores e como 
utilizá-los em diversas aplicações.
Desta forma, vamos estudar estes assuntos que são de grande 
importância para sua formação, aprofundando seus conhecimentos 
em circuitos elétricos e eletrônicos.
Bons estudos!
Unidade 1
Circuitos elétricos
Olá aluno, bem-vindo!
Nesta unidade curricular, você será apresentado aos 
principais tópicos de circuitos elétricos, tais como: circuitos 
elétricos, circuitos armazenadores de energia, circuitos 
eletrônicos e aplicação de circuitos eletrônicos.
O seu material é composto pelo livro didático, que 
apresenta os principais temas que deverão ser estudados; 
além deste, você também pode contar com a orientação das 
atividades apresentadas nas webaulas e ainda, os momentos 
de orientação, mediação, explicação e interação que ocorrem 
no decorrer das aulas.
Participe ativamente das atividades! A estrutura de seu livro 
didático contempla 4 (quatro) unidades de ensino. São elas:
Circuitos elétricos: apresentam o estudo de introdução 
e conceitos básicos, leis básicas, métodos de análise e 
teoremas de circuitos. Nesta seção serão apresentadas as 
unidades de medidas, as duas quantidades que acompanham 
em circuitos elétricos e eletrônicos: voltagem e corrente, os 
modelos que descrevem os principais componentes dos 
circuitos elétricos e os conceitos a eles associados, bem 
como as leis fundamentais que governam tais circuitos. 
Na parte final, estudos de casos são apresentados a fim de 
ilustrar a aplicação dos conceitos e leis.
Circuitos Armazenadores de energia: apresenta o estudo de 
capacitores e indutores, circuitos de primeira ordem, circuitos 
de segunda ordem, circuitos magnéticos e eletromagnetismo. 
Nesta seção serão estudados elementos armazenadores de 
Objetivos de aprendizagem
Daniele Aparecida Maia Cleto 
energia conhecidos como indutor e capacitor. O primeiro 
consiste em um elemento que armazena energia em campo 
magnético e o segundo armazena energia em campo elétrico. 
Será visto equações e conceitos que envolvem o funcionamento 
desses elementos que são utilizados com freqüência em rádios, 
televisões, radares, transformadores, microondas e uma porção 
de outros equipamentos eletroeletrônicos. Porém, antes de 
apresentar esses elementos, faz-se uma sucinta explicação 
de alguns conceitos físicos relevantes como lei de Coulomb, 
campo elétrico e magnético, efeito Oersted e lei de Faraday.
Circuitos Eletrônicos: apresenta o estudo de circuitos 
com diodo, fontes de tensão reguladas, transistores de 
junção bipolar e circuitos de polarização de transistores.
Aplicação de circuitos eletrônicos: apresenta o 
estudo de amplificadores de pequenos sinais, osciladores, 
amplificadores operacionais, sensores de tensão e corrente 
e circuitos condicionadores de sinais de tensão e corrente.
Prezado Estudante, mantenha uma rotina de estudos 
que o possibilite dedicar-se aos processos de leitura, 
participação e realização das atividades propostas. E de 
extrema importância para que você obtenha sucesso tanto 
em construção e desenvolvimento de aprendizagem, quanto 
em sua aplicação. Desde já desejo a você bons estudos!
Introdução à unidade
Esta unidade serve como livro-texto para o curso inicial de 
análise de circuitos elétricos. Nesta unidade há uma ênfase 
especial às unidades de medidas, conceitos básicos, leis básicas, 
métodos de análise e teoremas de circuitos. Nesta seção, o aluno 
aprenderá a resolver circuitos elétricos por três métodos: Método 
da análise de malhas e nós (Leis de Kirchhoff) e Método da análise 
de malhas por Maxwell. A melhor técnica de análise e uso para 
resolver um circuito vai depender de sua complexidade, dessa 
forma, iremos aperfeiçoar o estudo com algumas ferramentas 
apropriadas para facilitar o trabalho algébrico. Nesse item, vamos 
aprender sobre os seguintes teoremas: Teorema da superposição, 
de Thevenin e Norton.
U1 - Circuitos elétricos12
Seção 1
Capacitores e indutores
1.1 Unidades de medida
Introdução à seção
Esta unidade serve como livro-texto para o curso inicial de 
análise de circuitos elétricos. Nesta unidade há uma ênfase especial 
às unidades de medidas, conceitos básicos, leis básicas, métodos de 
análise e teoremas de circuitos. Nesta seção, o aluno aprenderá a 
resolver circuitos elétricos por três métodos: método da análise de 
malhas e nós (Leis de Kirchhoff) e método da análise de malhas por 
Maxwell. A melhor técnica de análise e uso para resolver um circuito 
dependerá de sua complexidade, dessa forma, aperfeiçoaremos 
o estudo com algumas ferramentas apropriadas para facilitar o 
trabalho algébrico. Nesse item, vamos aprender sobre os seguintes 
teoremas: Teorema da superposição, de Thevenin e Norton.
A conversão de medidas é importante para resolver questões que 
envolvem cálculos matemáticos, assim como de física e química. 
Quando um problema apresenta diferentes unidades de medida, 
a conversão é necessária para que seja possível compreendê-la e 
solucioná-la. O Sistema Internacional de Unidades (SI) será adotado 
em todo o livro e está formado por sete unidades básicas e dezesseis 
unidades derivadas, como apresentam as Tabelas 1.1 e 1.2.
Para saber mais
Para saber mais sobre o Teorema de superposição de Thevenin e 
Norton, consulte a obra a seguir:
BOYLESTAD, Robert L. Introdução à análise de circuitos. 10. ed. 
São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2004.
U1 - Circuitos elétricos 13
 Fonte: Inmetro (2012, p. 30).
Fonte: Inmetro (2012, p. 30).
Tabela 1.1 | Unidades básicas
Tabela 1.2 | Unidades derivadas
Grandeza
Unidades Básicas
Nome Símbolo
Comprimento metro m
Massa quilograma kg
Tempo segundo s
Corrente elétrica ampère A
Temperatura termodinâmica kelvin K
Quantidade de matéria mole mol
Intensidade luminosa candela cd
Grandeza
Unidades SI Derivadas
Nome Símbolo Unidades
Capacitância farad F m kg s A− −⋅ ⋅ ⋅2 1 4 2
Carga elétrica coulomb S A s⋅
Condutância siemens C m Kg s A− −⋅ ⋅ ⋅2 1 3 2
Energia joule J m Kg s2 2⋅ ⋅ −
Fluxo luminoso lúmen Im cd
Fluxo magnético weber Wb m Kg s A2 2 1⋅ ⋅ ⋅− −
Força newton N kg m s⋅ ⋅ −2
Frequência hertz Hz s−1
Indutância henry H m Kg s A2 2 2⋅ ⋅ ⋅− −
Intensidade de 
campo magnético
tesla T Kg s A⋅ ⋅− −2 1
Luminosidade lux Ix cd m⋅ −2
Potência watt W m Kg s2 3⋅ ⋅ −
Pressão pascal Pa m Kg s− −⋅ ⋅1 2
Resistência elétrica ohm Ω m Kg s A2 3 2⋅ ⋅ ⋅− −
Tensão elétrica volt V m Kg s A2 3 1⋅ ⋅ ⋅− −
U1 - Circuitos elétricos14
Fonte: Inmetro (2012, p. 34)
Tabela 1.3 | Prefixos oficiais do SI
Prefixo Símbolo Fator
yotta Y 1024
zetta Z 1021
exa E 1018
peta P 1015
tera T 1012
giga G 109
mega M 106
quilo k 103
hecto h 102
deca da 101
PrefixoSímbolo Fator
nenhum 100
centi d 10−1
centi c 10−2
miali m 10−3
micro µ 10−6
nano n 10−9
pico p 10−12
femto f 10−15
atto a 10−18
zepto z 10−21
yocto y 10-24
Múltiplos e submúltiplos decimais são frequentemente 
encontrados na prática científica. Para facilitar a manipulação dos 
números, utilizam-se potências de dez. Os símbolos e os prefixos 
dados na Tabela 1.3 permitem que se reconheça facilmente as 
potências de dez envolvidas nas representações simplificadas de 
um número em notação científica.
1.2 Corrente e carga elétricas
A corrente elétrica é o fluxo ordenado de partículas portadoras 
de carga elétrica, sendo a taxa de variação da carga elétrica que 
passa em um determinado ponto de um circuito. A intensidade da 
corrente elétrica é definida como a quantidade de carga elétrica 
que atravessa a seção transversal de um condutor em um intervalo 
de tempo. A carga elétrica é uma propriedade que está relacionada 
com as partículas elementares que formam os átomos, sendo os 
prótons positivos, os elétrons negativos e os nêutrons neutros. 
“A forma derivada de carga, o coulomb (C) é equivalente a um 
ampère por segundo: 1 1 1A C s= ⋅ − ou 1 1C A s= ⋅ ” (EDMINISTER, 
1985, p. 3). A corrente elétrica é dada em C/s que é o ampère (A), 
mas é comum expressar em miliampères (mA) ou microampères (
∝A). A carga elétrica é proporcional ao número de elétrons: 
U1 - Circuitos elétricos 15
(1.1)
(1.3)
(1.2)
Q N e= ⋅
Carga Celétron = = ×
= × −Qe
1
6 242 10
1 6 1018
19
,
,
i Q
t
=
i
Q
t
=
=
=
corrente elétrica em ampère (A)
carga em coulomb (C)
,
 tempo em segundos (s)
Para calcular a intensidade da corrente elétrica i na seção reta 
circular de um condutor, considera-se a carga que passa por ele 
em um intervalo de tempo, ou seja:
Um coulomb equivale à aproximadamente a carga de elétrons. 
A carga associada a um elétron pode, então, ser determinada a 
partir da equação 1.1:
Em que:
1.2.1 Sentido da corrente
A corrente elétrica é tradicionalmente representada como o 
movimento de cargas positivas. Essa convenção foi criada por 
Benjamin Franklin, o primeiro grande cientista americano a estudar 
a eletricidade. Naturalmente, hoje sabemos que o movimento de 
carga nos condutores metálicos é o resultado do movimento de 
elétrons que possuem carga negativa. Mesmo assim, descrevemos 
a corrente como um movimento de cargas positivas, de acordo 
com a convenção adotada no passado. A Figura 1.1 ilustra o 
esquema do sentido das correntes: real e convencional.
Fonte: elaborada pela autora.
Figura 1.1 | Esquema do sentido das correntes
U1 - Circuitos elétricos16
V V V E
QA B AB
AB− = =
V
E
AB
AB
=
=
diferençaa de potencial em (V)
energia em joule (J)
QQ = carga em coulomb (C)
1.2.2 Corrente contínua e corrente alternada
Corrente contínua (CC) é aquela que não altera seu sentido, ou 
seja, é sempre negativa ou positiva, esse tipo de corrente é gerado 
por pilhas, baterias de automóveis ou motos, entre outros.
Corrente Alternada (CA) ocorre quando o fluxo de elétrons 
dentro do condutor realiza movimentos de vai e vem em seu 
interior, ou seja, o sentido da corrente varia com o tempo.
1.3 Tensão (diferença de potencial V)
Tensão elétrica (V), também conhecida como diferença de 
potencial (ddp), é uma grandeza física que está relacionada ao 
conceito de corrente elétrica. Falamos sobre corrente elétrica 
anteriormente, porém para existir corrente elétrica entre dois 
terminais é necessário que haja uma diferença de potencial entre 
eles. A unidade de medida é o volt, em homenagem ao físico 
italiano Alessandro Volta. A ddp entre dois terminais é medida 
pelo trabalho (energia) realizado por unidade de carga de um 
terminal para o outro. O volt é a diferença de potencial (ddp) 
entre dois terminais, quando é necessário o trabalho de 1 joule 
para transferência de uma carga de 1 coulomb de um terminal 
ao outro: 1 volt = 1 joule/coulomb (EDMINISTER, 1991). A tensão 
elétrica entre dois terminais é dada pela equação 1.4.
Em que:
Em circuitos elétricos, a diferença de potencial é fornecida por 
fontes de tensão que podem ser divididas em duas categorias: 
alternada e contínua. A Figura 1.2 apresenta os símbolos de fontes 
de tensão contínua e alternada. O traço maior do símbolo, terminal 
positivo (+), indica o ponto de maior potencial.
(1.4)
U1 - Circuitos elétricos 17
Fonte: elaborada pela autora.
Figura 1.2 | Símbolo para fonte de tensão contínua e tensão alternada
1.4 Potência
Potência elétrica ( )P é a taxa com a qual o trabalho ou energia 
( )E é realizado em um intervalo de tempo ( )∆t ,como apresenta 
a equação 1.5, ou a potência também pode ser calculada pelo 
produto da tensão aplicada ( )V pela corrente ( )i , como apresenta 
a equação 1.6.
Em que:
Ou, em termos de grandezas elétricas:
Através da Lei de Ohm, a equação para o cálculo de potência 
pode ser reescrita como mostram as equações: 
ou
P E
t
=
∆
P
E
t
=
=
=
potÍ ncia em watt (W)
energia em joule (J)
intervalo d∆ ee tempo em segundos (s)
P V i= ⋅
P R i i
P R i
= ⋅ ⋅
= ⋅ 2
P V i V V
R
P V
R
= ⋅ = ⋅
=
2
(1.6)
(1.7)
(1.8)
(1.5)
U1 - Circuitos elétricos18
1.5 Energia elétrica 
A energia elétrica é a capacidade de uma corrente elétrica 
realizar trabalho, devido a isso, podemos rearranjar a equação 1.5 
e obter a energia elétrica, conforme a equação 1.9, ou seja:
A unidade da energia elétrica pode ser dada por watt-segundo 
(W s)⋅ ou por joule ( )J , porém a unidade mais utilizada para a 
energia elétrica é o quilowatt-hora (kWh) , que corresponde a 
3 6 106, × J . 
E P t= ⋅ ∆
1 3 6 106 kWh J= ×,
P V i
i
i A
= ⋅
= ⋅
= =
2400 110
2400
110
21 8,
E P t
E
= ⋅
= ⋅ ⋅ = =
∆
2400 0 33 30 23760 23 76( , ) , Wh kWh
V i
V
i
∝
= constante
Exemplo 1
Um chuveiro tem as especificações 2400W/110V, calcule: 
a) A corrente consumida pelo chuveiro:
b) A energia consumida (em KWh) durante 1 mês (30 dias), se 
todos os dias o chuveiro é ligado por 20 minutos:
Se em 1 hora temos 60 minutos, então, em 20 minutos teremos 
0,33 horas.
1.6 Resistência elétrica
Resistência é a propriedade física de um componente ou 
dispositivo que se opõe à passagem de corrente elétrica, é 
representada pelo símbolo R. Um componente que possui uma 
resistência R é chamado de resistor. Quando a Lei de Ohm, Eq. 1.10, 
é obedecida, a relação entre i e V é linear (DORF; SVOBODA, 2012).
(1.09)
U1 - Circuitos elétricos 19
R V
i
=
R
V
i
=
=
=
Resistência elétrica em Ohm(©)
tensão em volts (V)
corrrente elétrica em ampères (A)
Ou seja,
Em que:
O resistor é utilizado na elétrica e eletrônica com a finalidade 
de transformar energia elétrica em energia térmica por meio do 
efeito joule, ou com a finalidade de limitar a corrente elétrica em 
um circuito, a Figura 1.3(b) mostra um resistor. Trata-se de um 
componente físico cuja característica principal é oferecer uma 
oposição à passagem de corrente elétrica, através de seu material. 
Comercialmente, esses componentes são chamados de resistência 
elétrica, mas lembre-se, resistência elétrica é uma propriedade e 
não um componente. Em um circuito, o resistor é representado 
por um dos símbolos mostrados na Figura 1.3(a).
Alguns resistores indicam os valores de resistência e potência 
impresso no próprio componente, outros utilizam apenas um 
código de cor para indicar seus valores, como mostra a Figura 1.4. 
Para resistores de quatro faixas é utilizada a Figura 1.4, conforme 
as seguintes orientações:
• 1ª Faixa: mostra o primeiro algarismo do valor da resistência.
• 2ª Faixa: mostra o segundo algarismo da resistência.
• 3ª Faixa: mostra quantos zeros devem ser adicionados à 
resistência.
• 4ª Faixa: mostra a tolerância que o componente terá.
Fonte: (a) elaborada pela autora. (b) < http://www.arduino-tutorials.com/ee101-resistors>. Acesso em: 20 abr. 2017. 
Figura 1.3 | Representação gráfica de um resistor (a) e resistor comercial com 
código de cores (b).
(1.10)
U1 - Circuitos elétricos20
Fonte: <https://goo.gl/2CMOYu>.Acesso em: 17 abr. 2017.
Figura 1.4 | Códigos de cores dos resistores
Para resistores de cinco faixas é utilizada a Figura 1.4, de acordo 
com as seguintes orientações:
• 1ª Faixa: mostra o primeiro algarismo do valor da resistência.
• 2ª Faixa: mostra o segundo algarismo da resistência.
• 3ª Faixa: mostra o terceiro algarismo da resistência.
• 4ª Faixa: mostra quantos zeros devem ser adicionados à 
resistência.
• 5ª Faixa: mostra a tolerância que o componente terá.
U1 - Circuitos elétricos 21
1.6.1 Primeira Lei de Ohm
O físico alemão Georg Simon Ohm, em 1826, verificou 
experimentalmente a relação entre tensão, corrente e resistência 
elétrica em resistores. Das inúmeras experiências realizadas com 
diversos tipos de condutores, Ohm verificou que a tensão aplicada 
nos terminais de um condutor é proporcional à corrente elétrica 
que o percorre, ou seja, rearranjando a equação 1.10, temos:
A equação 1.11 é válida somente para resistores ôhmicos. Em 
resistores não ôhmicos R não é uma constante. Ao plotar um 
gráfico que envolve V i× para resistores ôhmicos, podemos 
verificar que a inclinação da reta no gráfico fornece o valor 
constante da resistência, como apresenta a Figura 1.5. 
Para condutores não ôhmicos, verificamos que o gráfico de V i× 
não é linear, conforme os dois exemplos de possíveis formas de 
curvas para condutores não ôhmicos representados na Figura 1.6.
Fonte: elaborada pela autora.
Figura 1.5 | Gráfico referente à diferença de potencial (V) versus a intensidade de 
corrente (i), para condutores ôhmicos
V R i= ⋅ (1.11)
U1 - Circuitos elétricos22
1.6.2 Segunda Lei de Ohm
Ohm também verificou que a resistência elétrica de um 
condutor depende do comprimento do objeto, das características 
do material de que ele é composto e de sua espessura. Segundo 
Ohm, a resistência elétrica ( )R é diretamente proporcional ao seu 
comprimento ( )L e a resistividade ( )ρ é inversamente proporcional 
à área da seção transversal ( )A do condutor homogêneo, ou seja:
Em que:
A resistividade é uma característica de cada material que define 
o quanto ele se opõe à passagem do fluxo de uma corrente elétrica. 
Quanto maior a resistividade do material, maior a resistência do 
condutor. A Tabela 1.4 apresenta a resistividade e coeficiente 
térmico de alguns materiais.
Fonte: elaborada pela autora.
Figura 1.6 | Gráfico referente à diferença de potencial (V) versus a intensidade de 
corrente (i), para condutores não ôhmicos
R L
A
= ρ
R =
=
resistência em Ohm (Ω)
resitividade em Ohm por metro (Ωρ x )
comprimento em metro (m)
Área da seção transversal 
L
A
=
= eem metro quadrado (m )2
m
(1.12)
U1 - Circuitos elétricos 23
Quando há um aumento de temperatura, a resistência elétrica 
também é elevada, isso ocorre devido à agitação térmica das 
partículas, ocasionando colisões no interior do condutor. Tal fato, 
obedece à relação da equação 1.13. 
Em que:
Fonte: Boylestad (2004, p. 7).
Tabela 1.4 | Tabela referente a valores de resistividade e coeficiente térmico de 
alguns materiais
Material Resistividade (Ω.m)
Coeficiente Térmico 
α = −C 1 
Temperatura 
ºC
Alumínio 2 9 10 8, × − 0,0038 0
Bronze 6 7 10 8, × − 0,00200 20
Borracha 1013 -
Cobre , 10 8 × −1 7 0,00430 0
Estanho 1 2 10 7, × − 0,00420 20
Grafite 1 3 10 5, × − 0,00050 20
Latão 6 7 10 8, × − 0,00200 20
Mercúrio 9 6 10 7, x − 0,00089 20
Níquel 8 7 10 8, x − 0,00600 20
Ouro 2 4 10 8, x − 0,00340 20
Platina 11 10 7, x − 0,00250 20
Prata 1 6, 10 8 × − 0,00380 20
Silício 2 5 102, x -0,07000 20
Tungstênio 5 5 10 8, x − 0,00450 20
Vidro 1010 a 1014 -
Zinco 5 6 10 8, x − 0,00380 20
ρ ρ α θ= +0 1( )∆
( )
( )ρ É a resistividade do material na temperatura final em Cell C θ
 É a resistividade do material na temperat
f
ρ0 uura inicial em Celsius ºC θ 
 É a variação da temperat
0
∆θ uura 
sius º
(1.13)
U1 - Circuitos elétricos24
1.7 Primeira Lei de Kirchhoff (Lei dos nós)
Para analisar um circuito elétrico, podemos escrever e resolver 
um sistema de equações que relaciona as correntes e as tensões 
em todos os componentes do circuito aos valores desses 
componentes. Algumas dessas equações são obtidas aplicando ao 
circuito as Leis de Kirchhoff para tensões e para correntes, outras 
são obtidas aplicando equações constitutivas, como a Lei de Ohm, 
a componentes isolados. Os valores das tensões e correntes nos 
componentes, que são as incógnitas, são obtidos resolvendo o 
sistema de equações. Um nó é identificado através de um ponto 
de ligação no circuito elétrico em que são ligados três ou mais 
condutores, a Figura 1.7 apresenta um esquema dos nós. Em 
qualquer nó, a soma algébrica das correntes é sempre igual a zero, 
ou seja, em qualquer nó a soma das correntes que entram é igual 
a soma das correntes que saem.
Ramo ou braço é um trecho do circuito elétrico compreendido 
entre dois nós principais consecutivos, ou seja:
Fonte: elaborada pela autora.
Figura 1.7 | Esquema representativo da Lei dos nós
ouii
i
n
=
=
∑ 0
1
i ii
i
n
j
j
m
chega saem
=
= =
∑ ∑
1 1
U1 - Circuitos elétricos 25
• Nós: B e E.
• Ramo ou braço: BADE, BCFE e BE.
1.7.1 Segunda Lei de Kirchhoff (Lei das malhas)
A segunda Lei de Kirchhoff (Lei das malhas ou tensões) relata 
que a soma algébrica das forças eletromotrizes (f.e.m) que têm o 
mesmo sentido do percurso é igual à soma das (f.e.m) que têm 
sentido contrário. Isso quer dizer que a soma das tensões em 
uma malha ou laço é nula. Laço é qualquer caminho fechado no 
circuito que não repete os nós (exceto o nó inicial e final). Malha é o 
caminho fechado pelo qual uma corrente elétrica pode percorrer, 
ou seja, laço que não contém outro laço dentro. Analisando a 
Figura 1.9, nota-se que há três malhas: ABEDA, BCFEB e ABCFEDA. 
Fonte: elaborada pela autora.
Fonte: elaborada pela autora.
Figura 1.8 | Circuito elétrico com dois nós
Figura 1.9 | Circuito elétrico com dois nós e três malhas
U1 - Circuitos elétricos26
1.8 Método da análise de malhas (Leis de Kirchhoff)
Para resolver um circuito elétrico, é necessário determinar as 
correntes de todos os seus ramos. Para tal finalidade, a aplicação 
dos métodos das malhas baseia-se em alguns passos principais, 
como apresenta o exemplo 2.
• Identificar os nós, ramos, malhas ou laços do circuito elétrico.
• Para cada ramo do circuito atribuir um sentido para a corrente 
elétrica.
• Orientar as tensões do circuito, tomando como referência 
essas correntes.
• Havendo nós, montar equações utilizando as Leis de Kirchhoff, 
em número igual ao de correntes de ramo (incógnitas) existentes. 
Obtendo-se:
 = nnú = nnúnúmero mero meroequações de malhas malhas nós
• Resolução dos sistemas de equações.
Exemplo 2
Determine as correntes do circuito da Figura 1.10, utilizando o 
Método de Kirchhoff.
Fonte: elaborada pela autora.
Figura 1.10 | Circuito elétrico
U1 - Circuitos elétricos 27
Seguindo os passos do Método de Kirchhoff, temos:
1° Identificar 2 nós B e E, 3 ramos BADE, BCFE e BE, 2 malhas 
internas ABEDA e BCFEB e 1 malha externa ABCFEDA.
2° Orientar as correntes.
3° Orientar as tensões.
4° Montar as equações através da Lei dos nós.
i i i1 2 3 0+ + =
Vamos aplicar a segunda Lei de Kirchhoff para as malhas internas.
Malha M1 Malha M2
10 15 25
2 3 5
2 3 5
1 2
1 2
1 2
i i
i i
i i
= +
= +
− =
10 15 45
2 3 9
2 3 9
3 2
3 2
3 2
i i
i i
i i
= +
= +
− = 
O próximo passo é resolver o sistema de 3 equações e 3 
incógnitas.
i i i
i i
i i
1 2 3
1 2
3 2
0
2 3 5
2 3 9
+ + =
− =
− =
Isolando i1 e i3 da segunda e terceira equações.
i i
i i
1
2
3
2
3 5
2
3 10
2
=
+
=
+
Substituindo na primeira equação, temos i1 , i2 e i3 :
Podemos concluir que a corrente negativa i i2 1 e significa que 
o sentido da corrente proposta no esquema da figura está invertido. 
Analisando os resultados obtidos, conclui-se que o gerador de 45 
V prevalece sobre o de 25 V, por causa da orientação de ambos. A 
parcela de i1 devida ao gerador de 45V é maior que a do gerador 
3 5
2
3 9
2
0
4 7
7
4
1 75
2
2
2
2
2
2
i i i
i
i
i A
+
+ +
+
=
= −
= −
= − ,
i i
i
i A
1
2
1
1
3 5
2
3 1 75 5
2
0 125
=
+
=
⋅ − +
= −
( , )
,
i i
i
i A
3 2
3
3
3 10
3 1 75 9
2
1 875
= +
=
⋅ − +
=
( , )
,
U1 - Circuitos elétricos28
de 25 V (o que pode ser analisado pelo Método da superposição 
de efeitos, que será estudado no item 1.10).
1.9 Método de Maxwell
Para utilizar o Método de Maxwell, é necessário que tenha 
compreendido o Método de Kirchhoff. O Método de Maxwell é 
utilizado quando há um número muito grande de malhas, pois 
ele diminui a quantidade de incógnitas. Verifique os passos para 
resolução com o Método de Maxwell:
• Adota-se um sentido para cada corrente fictícia de malha 
interna existente no circuito. Para diferenciar as correntes de ramo 
das correntes de malha, representam-se estas últimas por letras 
gregas (a, b etc.). Então, deixam-se de lado as correntes de ramo, 
que serão utilizadas apenas na análise final da solução.
• Montam-se, com base na segunda Lei de Kirchhoff, equações de 
tensões para as malhas internas do circuito. O sentido dessas tensões 
segue a orientação das correntes de malha adotadas (fictícias).
• Oriente as tensões em cada malha e escreva suas equações. 
Utilize a equação: 
V R i R= ⋅ −∑∑∑ malha ramo
Exemplo 3
Determine as correntes do circuito a seguir, utilizando o Método 
de Maxwell. 
Fonte: elaborada pela autora.
Figura 1.11 | Circuito elétrico com duas malhas M1 e M2
U1 - Circuitos elétricos 29
1º Oriente a corrente das duas malhas, veja figura.
2° Oriente as tensões e escreva as equações.
Malha M1 Malha M2
25 15 10 15
25 25 15
= + −
= −
α α β
α β
− = + −
− = −
45 15 10 15
45 25 15
β β α
β α
Dividindo ambos os valores das malhas por 5, temos:
Malha M1 Malha M2
5 5 3= −α β − = −9 5 3β α
Com essas duas equações têm um sistema.
5 5 3
9 3 5
= −
− = − +
α β
α β
← ⋅
← ⋅
3
5
15 15 9
45 15 25
= −
− = − +
α β
α β
Agora, somaremos as equações e descobrir os valores de α β e 
− =
= − = −
30 16
30
16
1 875
β
β , A
15 15 9 1 875
15 15 16 875
15 15 16 875
15 1 875
0 12
= − ⋅ −
= +
= −
= −
= −
α
α
α
α
α
,
,
,
,
, 55
Substituindo os valores nas equações de ramo, temos:
i A
i A
i A
1
2
3
0 125
1 75
1 875
= = −
= − + = −
= − =
α
α β
β
,
,
,
Conclui-se que a corrente negativa para α β e mostra que o 
sentido da corrente proposta no esquema da figura está invertido 
ao adotado. Os resultados obtidos são os mesmos da solução pelo 
Método de Kirchhoff, porém com trabalho matemático menor.
1.10 Teorema da superposição
O Teorema da superposição para circuitos elétricos consiste 
em afirmar que a corrente elétrica total em qualquer ramo de 
um circuito bilateral linear é igual à soma algébrica das correntes 
produzidas por cada fonte atuando separadamente no circuito. 
Este teorema deve ser utilizado quando um circuito obtiver várias 
fontes de corrente ou tensão independentes que não estejam em 
série ou paralelo. 
U1 - Circuitos elétricos30
Exemplo 4
Determine as correntes do circuito da figura a seguir, utilizando 
o Método da superposição.
Escolhendo para análise o gerador 1 de 25 V, o gerador 2 nesse 
caso, passa a ser representado como um curto-circuito, como 
mostra a figura:
No circuito novo, com um único gerador, orientam-se as 
correntes de ramo existentes, lembrando que a corrente “sai” do 
polo positivo do gerador.
Fonte: elaborada pela autora
Fonte: elaborada pela autora.
Figura 1.12 | Circuito elétrico
Figura 1.13 | Circuito com gerador retirado
U1 - Circuitos elétricos 31
Utilizando qualquer método para solução de circuito conhecido 
(Kirchhoff, Maxwell etc.), determinam-se as correntes de ramo para 
o gerador escolhido.
Repetindo os passos anteriores para o gerador de 45 V, temos 
o seguinte circuito.
Fonte: elaborada pela autora.
Fonte: elaborada pela autora.
Figura 1.14 | Circuito simplificado
Figura 1.15 | Circuito simplificado
R
i A
V R i V
i
a
a
a
'
' '
,
, ,
=
⋅
+
=
=
+
=
= ⋅ = ⋅ =
=
15 10
15 10
6
25
10 6
1 56
1 56 6 9 36
1
1
2
Ω
VV A
i V Aa
'
'
, ,
, ,
15
9 36
15
0 624
10
9 36
10
0 9363
= =
= = =
U1 - Circuitos elétricos32
Agora, vamos encontrar as correntes i
1
, i
2
 e i
3
.
O valor encontrado das correntes foi igual aos métodos 
anteriores.
1.11 Teoremas de Thévenin
O Teorema de Thévenin é usado para simplificar e resolver 
um circuito, este teorema afirma que podemos substituir todo 
o circuito, com exceção ao bipolo em questão, por um circuito 
equivalente, contendo uma fonte de tensão em série com um 
resistor, como apresenta a Figura 1.16. 
Exemplo 5
Determine a corrente que percorre a resistência de 8 Ω no 
circuito da Figura 1.17, utilizando o Teorema de Thévenin.
Fonte: elaborada pela autora.
Figura 1.16 | Esquema representativo do circuito equivalente de Thévenin
R
i A
V V
i V
b
b
''
,
'' , ,
''
=
⋅
+
=
=
+
=
= ⋅ =
=
10 15
10 15
6
45
10 6
2 81
2 81 6 16 86
1
3
2
Ω
55
16 86
15
112
10
16 86
10
1 681
= =
= = =
, ,
'' , ,
A
i V Ab
i i i
i i i
i
a b
a b
1 1 1
2 2 2
3
1 56 1 68 0 125
0 624 112 1 75
= − = − = −
= − − = − − = −
, , ,
, , ,
== − + = − + =i ia b3 3 0 936 2 81 1 875, , ,
U1 - Circuitos elétricos 33
Retirando a resistência de 8 Ω, obtém-se o circuito da Figura 
1.18.
Substitua os geradores de tensão por curto-circuito, como na 
Figura 1.19.
Fonte: elaborada pela autora.
Fonte: elaborada pela autora.
Figura 1.17 | Circuito elétrico
Figura 1.18 | Circuito simplificado aberto
U1 - Circuitos elétricos34
A partir da Figura 1.19, podemos encontrar RTh
R Th =
⋅
+
+ =
15 10
15 10
2 8 Ω
Como o circuito está aberto entre os pontos A e B, não circula 
corrente pela resistência de 2 Ω, logo, não há tensão sobre ela. 
Portanto, para efeitos de tensão, pode-se eliminar a resistência de 
2 Ω, Figura 1.20.
Para facilitar a solução, deixa-se de lado, temporariamente, o 
gerador de 45 V e determina-se a tensão entre os pontos C e B, 
como mostra a Figura 1.21.
Fonte: elaborada pela autora.
Fonte: elaborada pela autora.
Figura 1.19 | Circuito com geradores substituídos por curto-circuito
Figura 1.20 | Circuito com resistência em aberto eliminada
U U VCB R= =
⋅
+
=
15
25 15
15 10
15
U1 - Circuitos elétricos 35
A Figura 1.22 mostra o circuito representado apenas pelas 
tensões.
Como o gerador de 45 V, prevalece o de 15 V
E U VTh BA= = − =45 15 30
Portanto, o gerador de Thévenin entre os pontos A e B será o 
da Figura 1.23:
Fonte: elaborada pela autora.
Fonte: elaborada pela autora.
Figura 1.21 | Circuito parcial, sem o gerador de 45 V
Figura 1.22 | Simplificação do circuito
U1 - Circuitos elétricos36
Recolocando no circuito a resistência de 10 Ω (ver Figura 1.24), 
pode-se calcular a corrente que a atravessa.
i =
+
=
30
8 8
1 875, A
O valor da corrente foi de 1,875 A.
1.12 Teoremas de Norton
O Teorema de Norton é mais uma dentre as inúmeras opções 
que temos para cálculos de grandezas pertinentes a circuitos 
elétricos. Ele se assemelha ao Teorema de Thèvenin e tem a 
mesma aplicabilidade. A diferença fundamental é que o circuito 
equivalente consta de uma fonte de corrente em paralelo com 
uma resistência, como apresenta a Figura 1.25. 
Fonte: elaborada pela autora.
Fonte: elaborada pela autora.
Figura 1.23 | Gerador equivalente de Thévenin
Figura 1.24 | Gerador de Thévenin conectado à resistência
U1 - Circuitos elétricos 37
Exemplo 6
Determine a corrente que percorre a resistência de 8 Ω no 
circuito da Figura 1.26, utilizando o Teorema de Norton.
Este circuito foi resolvido pelo Teorema de Thévenin, para resolver 
pelo Teorema de Norton, teremos que determinar a corrente de ramo 
do circuito. Escolhidos dois pontos do circuito elétrico, os efeitos do 
circuito sobre esses dois pontos (em vazio, sem carga) podem ser 
representados por um gerador de corrente, com uma resistência em 
paralelo, chamado gerador equivalente de Norton(Figura 1.27).
Fonte: elaborada pela autora.
Fonte: elaborada pela autora.
Fonte: elaborada pela autora.
Figura 1.25 | Esquema representativo do circuito equivalente de Norton
Figura 1.26 | Circuito elétrico
Figura 1.27 | Gerador equivalente de Norton
U1 - Circuitos elétricos38
Da mesma forma que no gerador de Thévenin, escolhem-se 
dois pontos A e B entre os quais se pretende determinar a corrente. 
Nesse caso, é como se ambos os pontos fossem colocados em 
curto-circuito por um amperímetro, ver Figura 1.28.
A resistência do gerador de Norton é a mesma do gerador de 
Thévenin. Logo, pela dualidade entre os geradores de tensão e 
corrente, temos:
R R
E R
Th N
Th N N
=
= ⋅ i
O uso de geradores de corrente não é muito comum. Sugere-
se a utilização da dualidade entre os geradores e consequente 
solução por Thévenin e depois nova conversão por dualidade para 
o gerador de corrente de Norton.
Fonte: elaborada pela autora.
Figura 1.28 | Gerador de Norton, os pontos A e B estão em curto-circuito
Questão para reflexão
Quais são as relações entre os componentes de um circuito?
U1 - Circuitos elétricos 39
Atividades de aprendizagem
1. Qual é o número de elétrons retirado de um corpo cuja carga elétrica 
é Q C= 34µ .
2. Um fio condutor foi ligado a um gerador ideal, que mantém entre 
seus terminais uma tensão V = 14 volts. Determine o valor da resistência 
desse fio.
3. A potência elétrica de um chuveiro elétrico de uma residência é de 
5500 W.
a) Qual é a energia elétrica consumida durante um banho de 10 minutos? 
Dê a resposta em kWh.
b) Considerando-se que 1 kWh custa R$ 0,30, qual é o custo da energia 
elétrica consumida pelo chuveiro, durante um mês (30 dias), sabendo-se 
que a residência tem 3 moradores que tomam um banho diário, cada um 
de 10 minutos?
4. Um resistor de forma cilíndrica tem resistência elétrica de 20 W. 
Determine a resistência elétrica de outro resistor de forma cilíndrica, de 
mesmo material, com o dobro do comprimento e com o dobro do raio 
de seção reta.
U1 - Circuitos elétricos40
Para concluir o estudo da unidade
Fique ligado
Caro aluno, nesta unidade, vimos os principais conceitos sobre 
introdução a circuitos e métodos de análises de circuitos elétricos. 
A unidade está estruturada de forma que seus tópicos e exercícios 
propostos correlatos facilitem o planejamento do processo 
ensino-aprendizagem. O estudo dessa unidade não esgotou todo 
o conteúdo a respeito dos tópicos abordados, esse estudo deve 
servir como base para o seu aprofundamento, pois ele não termina 
com o fim da unidade. Nunca deixe de estudar, é o segredo para o 
crescimento e a evolução constante. Bons estudos!
Nessa unidade foram estudados vários elementos importantes 
sobre elétrica e eletrônica, entre eles:
- Introdução a circuitos.
- Conceitos básicos.
- Leis básicas.
- Métodos de análise.
- Teoremas de circuitos.
Todos esses itens são importantes para a formação do 
engenheiro, pois estão presentes na composição das máquinas e 
de produtos eletrônicos e serão necessários em outras disciplinas 
e durante a vida profissional.
U1 - Circuitos elétricos 41
Atividades de aprendizagem da unidade
1. Expresse os números a seguir como potência de dez:
a) 10.000
b) 100
c) 0,00001
d) 0,0001
e) 10 / 1000
f) 100 / 0,001
g) (50.000)(0,002)
h) 0,003 / 30,0000
i) 2000 / 0,0004
2. Preencha as lacunas nas seguintes conversões:
a) 4 · 103 = · 106
b) 6 · 10-4 = · 10-6
c) 50 · 105 = · 103 = · 106 = · 109
3. Em um dia chuvoso, um trovão descarrega um total de n elétrons 
durante apenas 0,0000001 segundo, com intensidade de corrente 
elétrica igual a 7 52 1026, ⋅ A. Qual a quantidade de elétrons medido no 
ponto onde o raio caiu?
4. Em uma lâmpada está escrito 500W/220V. Calcule a corrente 
consumida pela lâmpada.
5. Determine a corrente elétrica resultante quando conectamos uma 
bateria de 9 V aos terminais de um circuito cuja a resistência é de 2,2Ω.
U1 - Circuitos elétricos42
6. Observe a Figura 1.29 e verifique o valor correspondente de sua 
resistência.
7. No circuito dado a seguir, calcule suas correntes de ramo existentes, 
utilizando a Lei de Kirchhoff.
8. No circuito a seguir, indique a quantidade de nós, ramos e calcule suas 
correntes de ramos existentes, utilizando a Lei de Maxwell.
Fonte: <http://www.arduino-tutorials.com/ee101-resistors>. Acesso em: 20 abr. 2017.
Fonte: elaborada pela autora.
Fonte: elaborada pela autora.
Figura 1.29 | Resistor
Figura 1.30 | Circuito elétrico utilizando a Lei de Kirchhoff
Figura 1.31 | Circuito elétrico utilizando a Lei de Maxwell
U1 - Circuitos elétricos 43
Referências
ALEXANDER, Charles K.; SADIKU, Matthew N. O. Fundamentos de circuitos 
elétricos. Porto Alegre: Bookman, 2003.
BOYLESTAD, Robert L. Introdução à análise de circuitos. 10. ed. São Paulo: 
Pearson Prentice Hall, 2004.
DORF, Richard C.; SVOBODA, James A. Introdução aos circuitos elétricos. 8. ed. 
São Paulo: Pearson, 2012.
EDMINISTER, Joseph A. Circuitos elétricos. Reedição da edição clássica. São 
Paulo: McGraw-Hill Ltda., 1991.
. Circuitos elétricos. 2. ed. São Paulo: McGraw-Hill Ltda., 1985.
INSTITUTO NACIONAL DE METROLOGIA, QUALIDADE E TECNOLOGIA 
(INMETRO). Sistema Internacional de Unidades: SI. 1. ed. Duque de Caxias - 
RJ: INMETRO, 2012. 94 p. Traduzido de: Le Système international d’unités - The 
International System of Units 8. ed. 2006. Disponível em: <http://www.inmetro.
gov.br/inovacao/publicacoes/si_versao_final.pdf>. Acesso em: 18 mar. 2017.
JOHNSON, David E.; HILBURN, John L.; JOHNSON, Johnny R. Fundamentos de 
análise de circuitos elétricos. 4. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2000.
SVOBODA, James A., Richard C. Dorf. Introdução aos circuitos elétricos. Tradução 
Ronaldo Sérgio de Biasi. 9. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2016.
DORF, Richard C.; SVOBODA, James A. Introdução aos circuitos elétricos. 
Tradução Ronaldo Sérgio de Biasi. 9. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2016.
WALKER, Halliday R. Fundamentos de física. 6. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2002.
U1 - Circuitos elétricos44
Unidade 2
Circuitos armazenadores 
de energia
Nesta unidade, você conhecerá os elementos 
armazenadores de energia mais comumente usados 
em circuitos elétricos e eletrônicos, os capacitores e os 
indutores, e suas aplicações. Além disso, você aprenderá 
sobre a construção básica e os fatores que determinam 
a capacidade de armazenamento de cada elemento, 
como também a aplicação desses elementos em circuitos 
elétricos e eletrônicos. Ao final da unidade, você será 
introduzido aos conceitos de circuitos magnéticos e 
de transformadores.
Objetivos de aprendizagem
Nesta seção, você aprenderá sobre os conceitos de capacitores e 
indutores, características construtivas e a associação série e paralelo.
Seção 1 | Capacitores e indutores
Nesta seção, você estudará o comportamento de dois tipos de 
circuitos, primeiramente, formados por resistores e capacitores e outro 
formado por resistores e indutores, conhecidos como os circuitos RC 
e RL, respectivamente. Aprenderá sobre o comportamento no tempo 
desses circuitos, quando apesentam condições de carga inicial e também 
quando excitados por fontes de tensão independente.
Seção 2 | Circuitos de primeira ordem
Nesta seção, você tomará conhecimento da similaridade entre circuitos 
magnéticos e circuitos elétricos. Desenvolverá uma compreensão dos 
Seção 3 | Circuitos magnéticos e eletromagnetismo
Fernando Alves Negrão
parâmetros importantes do circuito magnético e aprenderá os conceitos 
do transformador elétrico.
Introdução à unidade
Nesta unidade, serão abordados os elementos armazenadores 
de energia, como o capacitor e o indutor. Serão tratadas as 
equações e as características desses elementos, assim como 
a análise do comportamento de circuitos compostos por esses 
elementos. Os circuitos estudados serão os de primeira ordem, 
RC e RL, como também os de segunda ordem, RLC. Para cada 
circuito serão estudadas duas situações, primeiro considerando 
os elementos com valores iniciais e o segundoconsiderando a 
utilização de fontes independentes. Após a análise dos elementos 
armazenadores de energia e seus circuitos, será estudado o 
circuito magnético, considerando a sua similaridade com a análise 
de circuitos elétricos.
U2 - Circuitos armazenadores de energia48
Seção 1
Capacitores e indutores
1.1 Capacitor 
Introdução à seção
Nesta seção, abordaremos as características de dois importantes 
elementos de circuitos elétricos, o capacitor e o indutor. Será 
apresentada uma breve revisão sobre os conceitos e as teorias que 
descrevem o comportamento desses elementos. Inicialmente, 
estudaremos o capacitor e veremos como associá-lo em série e 
paralelo, na sequência, faremos o mesmo com os indutores. Por 
esses elementos terem a capacidade de armazenar energia, são 
largamente utilizados em circuitos elétricos e eletrônicos, como 
veremos ao final desta seção. 
O capacitor é um componente elétrico constituído por dois 
elementos condutores, normalmente representados por placas, 
dispostas em paralelo e separadas por um material isolante (dielétrico). 
Em algumas aplicações práticas, as placas são normalmente folhas 
de alumínio e o dielétrico pode ser ar, cerâmica, papel ou mica 
(NILSON; RIEDEL, 2009); (ALEXANDER; SADIKU, 2013). A Figura 2.1 
mostra um exemplo de capacitor comum.
Fonte: Alexandre e Sadiku (2013).
Figura 2.1 | Capacitor comum 
U2 - Circuitos armazenadores de energia 49
Na Figura 2.1, pode-se ver as duas placas, o dielétrico com 
permissividade ε
1
, e a separação entre as placas, distância d. 
Existe uma grande variedade de modelos de capacitores disponíveis 
no mercado, entre eles os cerâmicos, o poliéster, os eletrolíticos, o 
tântalo etc. A Figura 2.2 mostra essa variedade de modelos. 
Figura 2.2 | Tipos de capacitores
Fonte: adaptada de: <http://marinenotes.blogspot.com.br/2012/09/identify-various-capacitors-and.html>. 
Acesso em: 14 fev. 2017.
U2 - Circuitos armazenadores de energia50
A Figura 2.2 mostra apenas uma parte da variedade de capacitores 
existentes no mercado. Utilizando-se de uma ferramenta de 
busca na internet, pode-se encontrar uma infinidade de outros 
modelos e aplicações dos capacitores, não só como elementos 
armazenadores de energia, mas também utilizados para supressão 
de ruídos, correção de fator de potência, redução da interferência 
eletromagnética, filtros de fontes CC, filtros para sistema de áudio, 
partida de motores, osciladores, controles de sistemas eletrônicos, 
temporizadores, entre outras aplicações. 
1.1.1 Capacitância
Quando se aplica uma fonte de tensão entre as placas do 
capacitor, forma-se um campo elétrico entre as placas, acumulando 
carga positiva sobre uma placa e carga negativa sobre a outra, 
conforme mostra a Figura 2.3. 
Para saber mais
Devido à grande variedade de capacitores disponíveis no mercado, os 
fabricantes disponibilizam tabelas de seleção de componentes para 
ajudar os projetistas a encontrarem o modelo adequado à aplicação. 
Para conhecer sobre capacitores comerciais, acesse os sites:
Disponível em:
• <https://www.mundodaeletrica.com.br/tipos-de-capacitores/>. 
Acesso em: 12 abr. 2017.
• <http://www.sabereletrica.com.br/entenda-o-funcionamento-
dos-capacitores/>. Acesso em: 12 abr. 2017.
Para um material mais completo, acesse o guia do fabricante 
TDK®, em inglês, para ajudar na escolha de capacitores cerâmicos 
multicamadas (MLCC – Multilayer Ceramic Chip Capacitor). 
Disponível em: <https://product.tdk.com/info/en/products/capacitor/
ceramic/mlcc/productguide/index.html>. Acesso em: 12 abr. 2017.
Além de capacitores MLCC, a TDK® também fornece outros modelos 
de capacitores, como pode ser conferido no link: <https://product.tdk.
com/info/en/products/capacitor/index.html>. Acesso em: 12 abr. 2017.
U2 - Circuitos armazenadores de energia 51
A Figura 2.3 mostra uma tensão v aplicada ao capacitor e as cargas 
q+ e q- acumuladas nas respectivas placas. Dessa forma, o capacitor 
armazena energia em forma de carga elétrica, e a quantidade de 
carga armazenada é representada pela equação (2.1)
Em que q é a carga armazenada no capacitor em coulombs 
(C), v é tensão aplicada aos terminais do capacitor em volts (V) e 
é uma constante de proporcionalidade, chamada de capacitância, 
em farad (F). Essa unidade é uma homenagem ao químico e físico 
inglês Michel Faraday (1791 - 1867) (ALEXANDER; SADIKU, 2013).
q = C · v
Para saber mais
O cientista experimental Michel Faraday nunca recebeu uma 
educação formal e, ainda assim, fez importantes descobertas e 
contribuições para a ciência nas áreas de física, química e engenharia. 
Entre suas contribuições estão a interação entre campos elétricos e 
magnéticos, as correntes autoinduzidas e introduziu os conceitos de 
linhas de campo de força magnética (BOYLESTAD, 2012). Acesse o 
texto sobre Michael Faraday. Disponível em: <www.famousscientists.
org/michael-faraday/>. Acesso em: 15 fev. 2017.
Figura 2.3 | Capacitor com tensão aplicada
Fonte: Alexander e Sadiku (2013).
U2 - Circuitos armazenadores de energia52
A capacitância C de um capacitor é devido às suas características 
físicas, ou seja, é proporcional ao tamanho das placas (área), à 
distância de separação entre elas e ao tipo de dielétrico utilizado 
entre as placas. A equação de cálculo de capacitância do capacitor 
é dada pela equação (2.2).
Em que C é a capacitância em farad (F), A é a área em m2, d é 
a distância em metros e ε é a permissividade dielétrica do material 
entre as placas.
Um fator importante para a determinação do valor da 
capacitância é o material utilizado como dielétrico (ε). No entanto, 
todos os materiais utilizados como dielétricos para a construção 
de capacitores devem ser materiais isolantes e ter a capacidade de 
estabelecer um campo elétrico em seu interior (BOYLESTAD, 2012). 
A Tabela 2.1 apresenta uma lista de materiais comuns, utilizados 
como isolantes elétricos. O termo permissividade é aplicado como 
medida de quão facilmente se forma o campo elétrico no interior 
Questão para reflexão
No mercado, encontram-se capacitores de diversos modelos 
e matérias de fabricação. Os valores desses capacitores variam 
de unidades de pF (pico farad) a milhares de µF (micro farad). 
Segundo a equação 2.2, quanto maior a área do capacitor e menor 
a distância entre as placas, maior será o valor da capacitância. 
Assim, em capacitores comerciais, os componentes de maiores 
capacitâncias são geralmente para aplicações de tensões mais 
baixas, assim como os componentes de tensões mais altas são de 
valores de capacitância mais baixa. Por exemplo, os capacitores 
de poliéster, que podem ser utilizados em tensões de 220 V, estão 
na faixa de nF, enquanto capacitores eletrolíticos para utilização 
em 50 V podem chegar a 4700µF. Quando é necessário que 
capacitores para aplicações em altas tensões tenham valores de 
capacitância elevados, estes se tornam de volume elevado. Reflita 
as causas dessa relação entre a tensão x capacitância x volume nos 
capacitores comerciais. 
C A
d
= ε
U2 - Circuitos armazenadores de energia 53
do material (BOYLESTAD, 2012). Assim, a permissividade relativa é 
a comparação da permissividade do material com a permissividade 
do vácuo (ε0), e é dada pela equação (2.3).
Na equação (2.3), ε0 é a permissividade do vácuo e vale 
8,85x10-12 F/m, ε
r
 é a permissividade relativa do material e ε é a 
permissividade do material. 
Substituindo a equação 2.3, na equação 2.2, obtém-se a 
equação do cálculo de capacitância (equação 2.4), utilizando a 
permissividade relativa da Tabela 2.1.
Tabela 2.1 | Permissividade relativa de várias substâncias
Fonte: Boylestad (2012).
ε
ε
εr
=
0
C A
dr
= ε ε0
U2 - Circuitos armazenadores de energia54
Capacitores, assim como resistores, podem ser associados em 
série ou em paralelo, e obter valores de capacitâncias diferentes. A 
Figura 2.5 mostra a associação em série de capacitores.
Quando há capacitores conectados em série, a carga q é 
a mesma em todos os capacitores, ou seja,q=q
1
=q
2
=q
3
=q
n
. 
Aplicando a Lei de Kirchhoff das tensões ao longo da malha 
mostrada na Figura 2.5, obtém-se a equação (2.5).
Considerando v=q/C, e substituindo em (2.5), tem-se: 
Para a utilização do capacitor em circuitos elétricos, deve-se 
utilizar o símbolo mostrado na Figura 2.4.
Figura 2.4 | Símbolo do capacitor
Figura 2.5 | Associação de capacitores em série
Fonte: elaborada pelo autor.
Fonte: elaborada pelo autor.
v v v v vn= + + +1 2 3
q
C
q
C
q
C
q
C
q
Ct
n
n
= + + +1
1
2
2
3
3
U2 - Circuitos armazenadores de energia 55
Dividindo os dois lados da equação (2.6) pela carga q, obtém-se 
a equação (2.7). 
A equação (2.7) fornece o cálculo da capacitância equivalente 
para associação em série de capacitores, ou seja, o inverso do valor 
de capacitância equivalente será a soma dos inversos dos valores de 
capacitância dos capacitores associados em série (BOYLESTAD, 2012).
A Figura 2.6 mostra um circuito com associação de capacitores 
em paralelo.
Quando se tem capacitores associados em paralelo, a carga 
total é a soma das cargas individuais dos capacitores do circuito, 
q=q
1
+q
2
+q
3
+q
n
. Se Q=C.V, pode-se, então, escrever a equação (2.8).
Sabendo que no circuito da Figura 2.6 as tensões em todos os 
capacitores têm o mesmo valor, que é igual ao valor da tensão da 
fonte (v), divide-se os dois lados da equação (2.8) por v e obtém-se 
a equação (2.9):
A equação (2.9) fornece o cálculo da capacitância total 
para associação de capacitores em paralelo, ou seja, o valor da 
capacitância total é o valor da soma dos capacitores individuais. 
Assim, quando for necessário aumentar o valor da capacitância 
do circuito, deve-se associar capacitores em paralelo, conforme a 
equação (2.9). Já quando é necessário trabalhar valores de tensão 
no circuito superiores ao valor de tensão nominal do capacitor, 
Figura 2.6 | Associação em paralelo de capacitores
Fonte: elaborada pelo autor.
1 1 1 1 1
1 2 3C C C C Ct n
= + + +
C v C v C v C v C vt n n= + + +1 1 2 2 3 3
C C C C Ct n= + + +1 2 3
U2 - Circuitos armazenadores de energia56
deve-se associar capacitores em série, lembrando que o valor 
da capacitância total será sempre menor que a capacitância do 
capacitor de menor valor associado, conforme a equação (2.7).
1.2 Indutores 
O indutor é um dos três componentes básicos (os outros dois 
são os resistores e os capacitores) mais encontrados em circuitos 
eletroeletrônicos (BOYLESTAD, 2012) e é projetado para armazenar 
energia em seu campo magnético (ALEXANDER; SADIKU, 2013). 
Um indutor é formado por uma bobina cilíndrica, com várias 
espiras de fio condutor e um núcleo, que pode ser magnético ou 
não. Resumidamente, qualquer bobina de fio pode se comportar 
como um indutor. A Figura 2.7 mostra um indutor típico. 
A Figura 2.7 mostra a construção de um indutor típico, que 
está montado sobre um núcleo cilíndrico de área transversal A, 
comprimento l e um número de espiras N.
Indutores podem ser construídos utilizando-se uma grande 
variedade de núcleos. Além do núcleo cilíndrico mostrado na 
Figura 2.7, pode-se usar também núcleos toroidais, núcleos EE, 
núcleos EI, de materiais como ferrites, chapas de aço-silício de 
grãos orientados (GO) ou não (GNO), ou mesmo o ar. A Figura 2.8 
mostra uma variedade de núcleos e peças de ferrites, enquanto 
a Figura 2.9, mostra chapas de aço-silício GO para utilização em 
núcleos de indutores e transformadores.
Figura 2.7 | Indutor
Fonte: Alexander e Sadiku (2013).
U2 - Circuitos armazenadores de energia 57
Figura 2.8 | Núcleos e peças de ferrites
Figura 2.9 | Núcleos de chapas de aço-silício (GO)
Fonte: <http://www.thornton.com.br/produtos.htm>. Acesso em: 16 fev. 2017.
Fonte: <https://goo.gl/91dTdQ>. Acesso em: 16 fev. 2017.
U2 - Circuitos armazenadores de energia58
Núcleos de ferrites são utilizados em aplicações em que é 
necessário a utilização em altas frequências, por exemplo, fontes 
chaveadas como as de computadores e adaptadores CA/CC 
usados em notebooks. Já as chapas de aço-silício são utilizadas em 
aplicações de baixa frequência, como a frequência da rede elétrica 
(60Hz), exemplos de utilização dessas chapas em indutores são os 
reatores utilizados em iluminação pública. 
Os indutores, por serem de construção relativamente fácil, 
comparados com a construção do capacitor, podem ser adquiridos 
prontos de algum fabricante, ou montados, adquirindo os núcleos, 
como os mostrados nas Figuras 2.8 e 2.9. A Figura 2.10 mostra 
uma variedade de indutores comerciais utilizados em circuitos 
eletrônicos de baixa tensão. 
Figura 2.10 | Exemplo de indutores comerciais
Fonte: <http://www.hicoelectronics.in/electronicscomponents.php>. Acesso em: 16 fev. 2017.
Indutores comerciais, assim com os capacitores, podem ser 
encontrados para diversas aplicações, em diferentes formatos, 
valores e capacidade de correntes. O fabricante de origem japonesa 
Murata® <www.murata.com> é um exemplo de fabricante que 
fornece indutores encapsulados para circuitos de montagem de 
Para saber mais
U2 - Circuitos armazenadores de energia 59
1.2.1 Indutância
Quando uma corrente flui através dos terminais do indutor, 
gera-se um campo magnético no interior da bobina, proporcional 
ao valor da indutância. A indutância de um indutor depende de suas 
dimensões físicas e do material da bobina (ALEXANDER; SADIKU, 
2013). Para o indutor da Figura 2.7, o cálculo da indutância é dado 
pela equação (2.10).
Em que L é a indutância em henries (H), N é o número de espiras, 
A é a área da seção transversal (m2) do núcleo e l é o comprimento 
do núcleo em m e µ é a permeabilidade do material do núcleo em 
Wb/A.m. 
Assim como na permissividade (ε) utilizada para o cálculo do 
capacitor, a permeabilidade (µ) pode ser expressa em relação à 
permeabilidade absoluta. O valor da permeabilidade no vácuo é de 
4π x 10-7 Wb/A.m (BOYLESTAD, 2012) e a permeabilidade relativa 
µr é dada pela equação (2.11).
Para saber mais
superfície (SMD). Mais informações sobre os indutores fornecidos por 
esse fabricante podem ser encontradas no seguinte link. Disponível 
em:<http://www.murata-ps.com/en/products/magnetics/inductors.
html>. Acesso em: 12 abr. 2017.
Outro fabricante importante, que vale a pena conhecer, é a 
Ferroxcube, com sede em Taiwan. Disponível em: <http://www.
ferroxcube.com/>. Acesso em: 12 abr. 2017.
No Brasil, encontram-se fabricantes como a Toroide do Brasil® 
<http://toroid.com.br/site/produtos/id/1/categoria/26>, a Magmattec 
<http://magmattec.com/>, Multitrafos <http://www.multitrafos.com.
br/indutores.html>, MGS Eletrônica Ltda. <http://www.mgsel.com.
br/>, entre outras. Acessos em: 12 abr. 2017.
L N A= µ
2
l
µ
µ
µr
=
0
U2 - Circuitos armazenadores de energia60
Substituindo µ da equação (2.11) na equação (2.10), obtém-se 
a equação de cálculo de indutância em função da permeabilidade 
relativa µ
r
. 
A Tabela 2.2 traz alguns valores de permeabilidade relativa (µr) 
para alguns materiais conhecidos e a Tabela 2.3 traz alguns valores 
comerciais para núcleos de ferrites da fabricante nacional Thornton. 
Material Composição (%p)
Permeabilidade 
Relativa inicial (µ
r
)
Lingote de ferro comercial 99,95 Fe 150
Ferro-silício (orientado) 97 Fe, 3 Si 1.400
Permalói 45 55 Fe, 45 Ni 2.500
Supermalói 79 Ni, 15 Fe, 5 Mo, 0,5 Mn 75.000
Ferroxcube A 48 MnFe2O4, 52 ZnFe2O4 1.400
Ferroxcube B 36 NiFe2O4, 64 ZnFe2O4 650
Tabela 2.2 | Permeabilidade de vários materiais magnéticos
Tabela 2.3 | Permeabilidade de núcleos de ferrite do fabricante Thornton®
Fonte: Callister e Rethwisch (2016).
Fonte: Thornton Eletrônica Ltda. (2015).
L N Ar= µ µ0
2
l
U2 - Circuitos armazenadores de energia 61
O símbolo elétrico mostrado na Figura 2.11 é a representação 
do indutor para utilização em circuitos elétricos.
Assim como nos resistores e capacitores, os indutores podem 
ser associados em série ou paralelo, e obter valores diferentes dos 
disponíveis. A Figura 2.12 mostra a associação de indutores em série.Assim como para os resistores, para os indutores em série da 
Figura 2.12, a indutância total é a soma das indutâncias individuais, 
conforme mostra a equação (2.13). 
Já a Figura 2.13 mostra uma associação de indutores em paralelos. 
Figura 2.11 | Símbolo de indutor
Fonte: elaborada pelo autor.
Figura 2.12 | Associação de indutores em série
Figura 2.13 | Associação de indutores em paralelo
Fonte: Alexander e Sadiku (2013).
Fonte: Alexandere e Sadiku (2013).
L L L L Lt N= + + +1 2 3
U2 - Circuitos armazenadores de energia62
No caso da Figura 2.13, associação de indutores em paralelo, 
a forma de se encontrar a indutância total é a mesma utilizada 
para associação de resistores em paralelo, ou seja, o inverso da 
indutância equivalente é a soma dos inversos das indutâncias 
conectadas em paralelo, conforme mostrado na equação (2.14). 
Segundo as equações (2.13) e (2.14), quando se deseja um valor 
maior da indutância, deve-se associar indutores em série, já quando 
a necessidade for a redução do valor da indutância total, deve-se 
conectar os indutores disponíveis em paralelo. Vale lembrar que 
no caso de associação em paralelo de indutores, assim como na 
associação de resistores, o valor equivalente será sempre menor 
que o valor da menor indutância conectada em paralelo.
Questão para reflexão
Você já reparou que a maioria dos circuitos eletrônicos utiliza 
indutores de núcleos de ferrites? Reflita sobre por que esses 
indutores são feitos com núcleos de ferrites, que possuem um 
custo relativamente alto, e não com núcleos de ar ou ferro, que os 
deixariam muito mais baratos, se comparados com os indutores de 
núcleo de ferrite.
Atividades de aprendizagem
1. (ALEXANDER; SADIKU, 2013) Qual a carga em um capacitor de 5 F 
quando ele é conectado a uma fonte de 120 V?
a) 600 C.
b) 300 C.
c) 24 C.
d) 12 C.
1 1 1 1 1
1 2 3L L L L Lt N
= + + +
U2 - Circuitos armazenadores de energia 63
2. (BOYLESTAD, 2012) Determine a capacitância de um capacitor 
de placas paralelas se 1.200µC de carga se acumulam em suas placas 
quando a tensão aplicada é de 24 V. 
3. (BOYLESTAD, 2012) A capacitância de um capacitor cujo dielétrico é 
o ar, é 1360pF. Quando inserimos um novo dielétrico entre as placas, a 
capacitância aumenta para 6,8nF. De que material é feito o dielétrico? 
4. (ALEXANDER; SADIKU, 2013) Capacitores de 20 pF e 60 pF conectados 
em série são associados em paralelo com capacitores de 30pF e 70pF 
conectados em série. Determine a capacitância equivalente.
5. (ALEXANDER; SADIKU, 2013) A capacitância equivalente nos terminais 
a-b no circuito da Figura 2.14 é 30µF. Calcule o valor de C.
Figura 2.14 | Exercício 5
Fonte: Alexander e Sadiku (2013).
U2 - Circuitos armazenadores de energia64
6. (BOYLESTAD, 2012) Para um indutor cilíndrico, igual ao da Figura 2.7, 
com 200 espiras, 2,5cm de comprimento, diâmetro do núcleo de ar de 
0,5 cm, calcule a indutância L. 
7. Se for utilizado um núcleo cilíndrico de material IP6 da Thornton, qual 
será o valor da nova indutância? 
8. (ALEXANDER; SADIKU, 2013) Determina a indutância total do circuito 
da Figura 2.15. Considere que todos os indutores são de 10mH. 
9. (ALEXANDER; SADIKU, 2013) Um circuito armazenador de energia 
é formado por indutores conectados em série de 16 mH e 14 mH 
associados em paralelo com indutores conectados em série de 24 mH e 
36 mH. Calcule a indutância equivalente.
Figura 2.15 | Exercício 8
Fonte: Alexander e Sadiku (2013).
U2 - Circuitos armazenadores de energia 65
Seção 2
Circuitos de primeira ordem
2.1 Circuito RC de primeira ordem sem fonte
Introdução à seção
Nesta seção, abordaremos as características de resposta de 
circuitos de primeira ordem, que são os circuitos nos quais suas 
respostas são representadas por uma equação diferencial de 
primeira ordem. Serão vistos dois tipos de circuitos simples, um 
formado por um resistor e um capacitor (RC) e o outro por um 
resistor e um indutor (RL). Esses circuitos podem ser utilizados com 
fontes independentes ou sem fontes, nesse último caso, utilizando 
apenas a energia armazenada nos elementos armazenadores de 
energia (capacitor e indutor).
Circuitos RC de primeira ordem sem fonte são os que têm 
a energia armazenada no capacitor no início da análise. Essa 
condição pode ser obtida quando, após carregado o circuito 
utilizando-se de uma fonte, essa fonte é retirada e a energia no 
capacitor começa a se dissipar no resistor, gerando uma resposta 
transitória (ALEXANDER; SADIKU, 2013).
A relação de corrente e tensão em um capacitor, é dada pela 
equação (2.15).
A equação (2.15) mostra que a corrente no capacitor só existe 
quando se tem variação da tensão sobre o capacitor. Em caso de 
não ocorrer variação da tensão, após o período transitório, a corrente 
tende a ser zero, com isso o capacitor passa a ser um circuito aberto. 
Integrando dois lados da equação (2.15), pode-se obter a relação de 
tensão-corrente no capacitor, expressa pela equação (2.16).
i t C dv
dt
( ) =
v t
C
i d v t
t
t
( ) ( ) ( )= +∫
1
0
0τ τ
U2 - Circuitos armazenadores de energia66
A equação (2.16) mostra que o valor da tensão no capacitor 
depende do histórico da corrente. Considere o circuito RC da 
Figura 2.16.
O capacitor da Figura 2.16 está carregado e no instante t = 0 
possui tensão igual a V0, ou seja, v(0) = V
0
. Então, é conectada a 
resistência R ao capacitor e a corrente i(t) começa a existir para 
t>0. Considerando que a corrente no capacitor é igual à corrente 
do resistor, aplicando a Lei de Kirchhoff das correntes no circuito, 
pode-se escrever a equação (2.17).
Em que i
c
 é a corrente no capacitor e i
R
 é a corrente no resistor 
(i
R
=V/R). Sabendo que a corrente no capacitor é dada em (2.15), 
pode-se reescrever a equação (2.17) na equação (2.18):
Dividindo-se os dois lados da equação por C, obtém-se (2.19):
A equação (2.19) é uma equação diferencial de primeira ordem, 
uma vez que somente a primeira derivada de v está envolvida.
Resolvendo a equação (2.19), pode-se encontrar a resposta 
natural do circuito, já que a equação (2.20) representa a resposta do 
Figura 2.16 | Circuito RC sem fonte
Fonte: elaborada pelo autor.
i iC R+ = 0
C dv
dt
v
R
+ = 0
dv
dt
v
RC
+ = 0
U2 - Circuitos armazenadores de energia 67
circuito, devida unicamente às suas características sem influência 
de fontes de tensão ou corrente externa (JOHNSON; HILBURN; 
JOHNSON, 1994). 
Em que V
0
 é a condição de tensão inicial do capacitor, e 
a resposta para t>0 será uma queda exponencial desse valor. A 
Figura 2.17 mostra a resposta de tensão do circuito RC sem fonte. 
Na Figura 2.17, pode-se ver que em t=0, a tensão no circuito 
é igual a V
0
 e para t>0, a tensão sobre o circuito começa a decair 
exponencialmente até ser muito próximo de zero. 
A constante τ = RC é chamada constante de tempo do circuito, é 
medida em unidade de tempo e equivale ao tempo em que a tensão 
decaiu 36,8% do valor de V
0
 (BOYLESTAD, 2012), ou seja, para cada 
tempo igual a τ, a tensão reduz em 36,8%. Na prática, a partir de 
cinco vezes o valor de τ, a tensão no circuito pode ser considerada 
nula, ou seja, esse é o tempo considerado como fase transitória do 
circuito, tanto para a carga como para a descarga do capacitor.
Exemplo 1: (ALEXANDER; SADIKU, 2013) Considere o circuito 
da Figura 2.18, se v
c
(0)=15V, determine vc, v
x
 e i
x
 para t>0;
Figura 2.17 | Resposta do circuito RC
Fonte: Alexander e Sadiku (2013).
v t V e
t
RC( ) = −0
U2 - Circuitos armazenadores de energia68
Inicialmente, é necessário encontrar o circuito equivalente, para 
que fique conforme o circuito da Figura 2.16, ou seja, com apenas 
uma resistência e uma capacitância. Nele, tem-se os resistores de 
8Ω e de 12Ω em série, que são equivalentes a 20Ω. O resistor de 
5Ω está em paralelo com o capacitor e com o resistor equivalente 
de 20Ω, então, calcula-se o equivalente como segue:
Do circuito da Figura 2.19, pode-se encontrar a constante de 
tempo τ:
Então, se a tensãoinicial do capacitor for 15 V, tem-se: 
Redefinindo o circuito da Figura 2.18, tem-se: 
Figura 2.18 | Circuito RC do exemplo 1
Figura 2.19 | Circuito RC equivalente
Fonte: elaborada pelo autor.
Fonte: elaborada pelo autor.
R xt = +
=
20 5
20 5
4Ω
τ = = =R C x seq 4 0 1 0 4, ,
v t e e Vc
t
t( ) , ,= =
− −15 150 4 2 5
U2 - Circuitos armazenadores de energia 69
Para encontrar v
x
 que é a tensão sobre o resistor de 12Ω, deve-
se fazer uso do cálculo do divisor resistivo, portanto:
Por último, o cálculo de i
x
:
2.2 Circuito RL de primeira ordem sem fonte
Assim como no circuito RC de primeira ordem sem fonte, o 
circuito RL de primeira ordem sem filtro armazena no indutor a 
energia inicial do circuito. A energia no indutor é armazenada em 
forma de campo magnético e é proporcional à corrente que passa 
pelo indutor. A Figura 2.20 mostra um circuito RL sem fonte.
Para a análise do circuito com indutor, adota-se como variável 
a corrente no indutor. A relação entre a tensão e a corrente no 
indutor é dada pela equação (2.25).
Figura 2.20 | Circuito RL sem fonte
Fonte: elaborada pelo autor.
A equação mostra que para existir tensão sobre o indutor, 
deve-se variar a corrente que passa sobre ele. Caso a correte seja 
contínua e sem variação sobre o indutor, não haverá tensão, e o 
indutor se comportará como um curto-circuito. Integrando ambos 
v v e V e Vx c
t t=
+
= =− −
12
12 8
0 6 15 92 5 2 5, ( ), ,
i v
R
e e Ax x
t
t= = =
−
−
12
2 5
2 59
12
0 75
Ω
,
,,
v t L di
dt
( ) =
U2 - Circuitos armazenadores de energia70
os lados da equação (2.25), obtém-se a relação de corrente-tensão 
no indutor, mostrada na equação (2.26). 
A equação (2.26) mostra que a corrente no indutor depende 
do histórico da tensão. Aplicando a Lei de Kirchhoff da tensão no 
circuito da Figura 2.20, encontra-se: 
Em que v
L
 é a corrente no capacitor e v
R
 é a corrente no resistor 
(v
r
=R.i). Como a tensão no indutor é dada em (2.25), pode-se 
reescrever a equação (2.27) na equação (2.28):
Assim como ocorreu com o circuito RC, a equação (2.29) 
também é uma equação diferencial de primeira ordem, uma vez 
que somente a primeira derivada de i está envolvida.
Resolvendo a equação (2.29), encontra-se a resposta natural do 
circuito, dado em (2.30):
A resposta natural do circuito RL é uma queda exponencial da 
corrente inicial do indutor, conforme pode-se ver na Figura 2.21
Simplificando, tem-se (2.29):
i t
L
v d i t
t
t
( ) ( ) ( )= +∫
1
0
0τ τ
v vL R+ = 0
L di
dt
R i+ =. 0
di
dt
R
L
i+ = 0
i t i e
tR
L( ) = −0
U2 - Circuitos armazenadores de energia 71
Para o circuito RL de primeira ordem, a constante de tempo é 
dada por:
Em que a constante do circuito τ é dada em segundos. 
Exemplo 2: (JOHNSON; HILBURN; JOHNSON, 1994) Determinar 
i e v no circuito da Figura 2.22, assumir que antes da chave se abrir, o 
circuito está em regime permanente.
Inicialmente, deve-se determinar a corrente inicial, i(t=0) 
do indutor, para t<0. Como em regime permanente, o indutor 
comporta-se como um curto-circuito, a corrente antes da abertura 
da chave do circuito é limitada apenas pelo resistor de 50Ω. 
Figura 2.21 | Resposta do circuito RL
Figura 2.22 | Circuito do exemplo 2
Fonte: Alexander e Sadiku (2013).
Fonte: Johnson, Hilburn e Johnson (1994).
τ =
L
R
U2 - Circuitos armazenadores de energia72
Então, em t=0 a corrente do indutor será 2A. Para o cálculo da 
corrente e da tensão, é necessário encontrar o circuito equivalente 
com apenas um resistor e um indutor. Analisando o circuito da 
Figura 2.22, encontra-se que o resistor de 50Ω está em série com 
o indutor e os outros dois (150Ω e 75Ω) estão em paralelo. Assim, 
o cálculo da resistência equivalente é:
Com a resistência determinada em 2.33, pode-se calcular a 
constante de tempo do circuito: 
Assim, através da equação 2.35 encontra-se a corrente em 
função do tempo.
A tensão v é a soma da tensão sobre o indutor e o resistor de 
50Ω, mas também é a tensão sobre o equivalente paralelo entre 
os resistores de 150Ω e 75Ω. Conforme mostra a Figura 2.22, a 
corrente que sai do indutor entra no resistor de 50Ω pelo terminal 
marcado como negativo (-), assim, deve-se considerar o sinal de 
negativo para o cálculo da tensão, conforme (2.36).
2.5 Resposta ao degrau de circuito RC e RL de primeira ordem
Quando se liga uma chave de alimentação, conecta-se uma 
fonte a um circuito, ou até mesmo quando um circuito comuta uma 
linha, energizando-a, esses circuitos estão recebendo um degrau de 
tensão ou corrente. Pode-se dizer também que é quando se aplica 
repentinamente uma tensão CC em um circuito RC ou RL. A resposta 
a um degrau é a do circuito decorrente de uma aplicação súbita de 
uma fonte de tensão ou de corrente (ALEXANDER; SADIKU, 2013).
i V A( )0 100
50
2= =
Ω
Req = + +
=50 75 150
75 150
100( )( ) Ω
τ = = =
L
R
s10
100
0 1,
i t i e e A
tR
L t( ) = =− −0
102
v t i t R e e Vt t( ) ( ) ( ) ( )( )/ /= − = − +
= −− −150 75
10 102 75 150
75 150
100
U2 - Circuitos armazenadores de energia 73
Para estudo do comportamento de uma chave fechando sobre 
um circuito RC (resposta ao degrau de tensão), considere os 
circuitos da Figura 2.23 (a) e (b).
Para análise do circuito, adota-se a tensão sobre o capacitor. 
Antes do fechamento (t<0), ou seja, antes da aplicação do degrau 
de tensão, a tensão no capacitor será considerada como V
0
, Figura 
2.23(a). Pode se representar o circuito pela Figura 2.23(b) na qual 
a função u(t) representa o degrau unitário. A partir dessa nova 
condição, pode-se encontra a tensão sobre o capacitor aplicando 
a Lei de Kirchhoff da corrente, para t>0:
Em que v é a tensão no capacitor, Vs é a tensão da fonte, R é a 
resistência e C é a capacitância. Manipulando a equação, tem-se: 
Resolvendo a equação (2.37), obtém-se a resposta ao degrau 
de um circuito RC. 
Ou pode-se reescrever a resposta completa ao degrau de um 
circuito RC: 
Figura 2.23 | Circuito RC com degrau de tensão
Fonte: Alexander e Sadiku (2013).
C dv
dt
v Vs
R
+
−
= 0
dv
dt
v Vs
RC
= −
−
v t V V V e ts s
t
( ) ( ) ,= + − >−0 0τ
v t
V t
V V V e ts s
t( )
,
( ) ,
=
<
+ − >




−
0
0
0
0τ
U2 - Circuitos armazenadores de energia74
A Figura 2.24 mostra a resposta ao degrau, considerando a 
tensão inicial no capacitor igual a V
0
.
Exemplo 3: Calcule a tensão no capacitor para a resposta ao 
degrau causado pelo fechamento da chave em t=0. Considere que 
a chave está na posição A tempo suficiente para atingir a estabilidade. 
Encontre o valor da tensão no capacitor para t=1s e t=4s.
Figura 2.24 | Resposta ao degrau de um Circuito RC
Figura 2.25 | Circuito do exemplo 3
Fonte: Alexander e Sadiku (2013).
Fonte: Alexander e Sadiku (2013).
U2 - Circuitos armazenadores de energia 75
Agora, é só substituir os valores encontrados na equação (2.40).
Primeiro, deve-se encontrar a tensão V
0
 no capacitor. Como a 
chave está na posição já há bastante tempo, pode-se considerar 
que nessa condição o capacitor está totalmente carregado e 
comporta-se como circuito aberto, assim, a tensão V
0
 é resultado 
do divisor resistivo, produzido pelos resistores de 3kΩ e 5kΩ.
Dessa forma, a condição inicial de tensão é 15 V. Ao fechar a 
chave, apenas o resistor de 4kΩ está presente entre a fonte e o 
capacitor, afinal todos os outros resistores foram desconectados 
do capacitor. Assim, pode-se calcular a constante de tempo do 
circuito para t>0:
Para encontrar o valor da tensão no capacitor para os instantes 
t=1s e t=4s, basta substituir na equação encontrada, mostrada em 
(2.43). Assim, tem-se as respostas do exemplo: 
v k
k k
V( )0 24 5
5 3
15=
+
=
τ = = =RC k m s( )( , )4 0 5 2
v t
V t
e tt
( )
,
( ),,
=
<
− >




−
15 0
30 15 00 5
v e V
v e V
( ) ( ) ,
( ) ( ) ,
, ( )
, ( )
1 30 15 20 9
4 30 15 27 97
0 5 1
0 5 4
= − =
= − =
−
−
A Figura 2.26 mostra um circuito RL com uma chave que se 
fecha no instante t=0, provocando o degrau de corrente no indutor.
U2 -