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SENAI – Serviço Nacional de Aprendizagem Industrial Curso Superior de Tecnologia em Automação Industrial Disciplina: Circuitos Elétricos Professor: Moisés Gregório da Silva Goiânia, agosto de 2008. 2 VISTO NAS LISTAS DE EXERCÍCIOS Data marcada para mostrar Data em que foi mostrada Visto Nota OBS Lista1 Lista2 Lista3 Lista4 Lista5 Lista6 Lista7 Lista8 Lista9 Lista10 Lista11 Lista12 Média SITUAÇÃO Nota Lista completa e sem atraso 10,0 Lista atrasada e/ou incompleta 5,0 Não mostrar a lista ou mostrar após a data da prova 0,0 Aluno: _____________________________________ 3 PROGRAMA DA DISCIPLINA 1 Conceitos básicos de eletricidade e noções de eletrostática. Carga elétrica, tensão elétrica, corrente elétrica, fontes, potência e energia elétrica. 2 Conceitos de resistência elétrica, resistividade, influência da temperatura na resistência elétrica, Leis de Ohm, consumo de potência nos resistores. Valores nominais e tolerância dos resistores. Código de cores dos resistores. Circuito aberto e curto circuito. 3 Circuitos CC série e paralelo. Conceitos gerais – Nós, ramos, malhas, laços, etc. Lei de Kirchhoff das Tensões (LTK). Lei de Kirchhoff das correntes (LCK). Divisor de tensão e de corrente. 4 Análise de circuitos CC – Regra de Cramer. Transformação de fontes. Análise de Malhas. Análise de Nós. 5 Principais Teoremas de Circuitos elétricos. Teorema de Thévenin, Norton, Superposição, máxima transferência de potência e Millman. 6 Introdução aos circuitos eletro-eletrônicos. Conceitos básicos dos principais dispositivos. Capacitores e indutores. Características, construção e aplicações dos capacitores e indutores. 7 Conceitos de Circuitos de Corrente Alternada. Ondas Senoidais e Co-senoidais. Relação de fase, Valor médio e valor eficaz (rms), Resposta senoidal de um resistor, de um indutor e de um capacitor. Reatância capacitiva e indutiva. 8 Introdução ao estudo dos fasores. 9 Uso de instrumentos de medição e componentes de laboratório, tais como potenciômetro, década resistiva, voltímetro, amperímetro, ohmímetro, multímetro digital e analógico, etc. 10 Verificação experimental de teoremas e conceitos de circuitos elétricos, tais como geradores, leis de Ohm, de Kirchhoff Teorema da Máxima transferência de Potência, etc. 11 Uso do osciloscópio em laboratório. Medições das principais formas de onda. Análise e interpretação dos resultados. 12 Introdução aos Simuladores de Circuitos Eletro-eletrônicos e Modeladores matemáticos. 4 BIBLIOGRAFIA 1. Análise de Circuitos – John O’ Malley; Makron Books, Segunda Edição, São Paulo, 1993. 2. Introdução à Análise de Circuitos – Boylestad, Robert L. Pearson Prentice Hall - 10ª Edição, 2004 3. Análise de Circuitos em Engenharia – J. D. Irwing, Pearson Makron Books, Quarta Edição, São Paulo, 2000. 4. Circuitos Elétricos – James W. Nilsson e Susan A. Reidel, Livros Técnicos e Científicos Editora S.A., Quinta Edição, 1999. 5. Fundamentos de Análise de Circuitos Elétricos – D. E. Johnson, J. L. Hilburn e J. R. Johnson, Prentice Hall do Brasil, 4a Edição, 1990. 6. Circuitos elétricos Corrente Contínua e Corrente Alternada – Otávio Markus; Editora Érica 5º Edição. 7. Introdução aos Circuitos Elétricos – Richard C. Dorf, James A. Svoboda, LTC, 9º edição, Rio de Janeiro, 2003. 8. Apostila de Circuitos Elétricos – Prof. Moisés Gregório da Silva 5 AVALIAÇÕES P1 – Prova 1 P2 – Prova 2 P3 – Prova 3 P4 – Prova 4 - Prova de Laboratório - Substituirá a menor nota PF – Prova Final ML – Média das Listas MÉDIA • Média = (3.P1+3.P2 + 3.P3 + 1.ML)/10 * Prova 4 - Prova de Laboratório - Substituirá a menor nota • Média Final = (Média + Prova Final) / 2 TABELA PARA ACOMPANHAMENTO DE NOTAS P1 P2 P3 P4 Média Situação Prova Final Média Final Situação Final 6 PROVA SUBSTITUTIVA 1. Como será desconsiderada a menor nota, caso o aluno falte a uma das avaliações, não haverá prova substitutiva. 2. Caso o aluno falte a duas avaliações, este deverá fazer a prova final cuja nota será substituída também por uma das provas em que esteve ausente. Não haverá prova substitutiva. 3. Todas as provas serão baseadas nas listas de exercícios. 4. As datas das avaliações serão definidas em sala de aula ao longo do semestre letivo. DATAS P1 _____ de _____________ de ______. Matéria_______________________________ P2 _____ de _____________ de ______. Matéria_______________________________ P3 _____ de _____________ de ______. Matéria_______________________________ P4 _____ de _____________ de ______. Matéria_______________________________ PF______ de _____________de ______. Matéria_______________________________ TEXTO PARA REFLEXÃO O PROFESSOR ESTÁ SEMPRE ERRADO! Quando... É jovem, não tem experiência. É velho, está superado. Não tem automóvel, é um coitado. Tem automóvel, chora de “barriga cheia”. Fala em voz alta, vive gritando. Fala em tom normal, ninguém escuta. Não falta ao colégio, é um “Caxias”. Precisa faltar, é “turista”. Conversa com os outros professores, está “malhando” os alunos. Não conversa, é um desligado. Dá muita matéria, não tem dó dos alunos. Dá pouca matéria, não prepara os alunos. Brinca com a turma, é metido a engraçado. Não brinca com a turma, é um chato. Chama a atenção, é um grosso. Não chama a atenção, não sabe se impor. A prova é longa, não dá tempo. A prova é curta, tira as chances do aluno. Escreve muito, não explica. Explica muito, o caderno não tem nada. Fala corretamente, ninguém entende. Fala a “língua” do aluno, não tem vocabulário. Exige, é rude. Elogia, é debochado. O aluno é reprovado, é perseguição. O aluno é aprovado, “deu mole”. É, o professor está sempre errado, mas, se você conseguiu ler até aqui, agradeça a ele! Texto extraído da Revista do Professor de Matemática nº 36, publicada pela Sociedade Brasileira de Matemática. 8 ALFABETO GREGO Nome Símbolos Maiúsculas Minúsculas 1 Alfa Α α 2 Beta Β β 3 Gama Γ γ 4 Delta Δ δ 5 Épsilon Ε ε 6 Zeta Ζ ζ 7 Eta Η η 8 Téta Θ θ 9 Iota Ι ι 10 Capa Κ κ 11 Lambda Λ λ 12 Miu Μ μ 13 Niu Ν ν 14 Csi Ξ ξ 15 Omicron Ο ο 16 Pi Π π 17 Ró Ρ ρ 18 Sigma Σ σ 19 Tau Τ τ 20 Upsilon Υ υ 21 Fi Φ ϕ 22 Chi Χ χ 23 Psi Ψ ψ 24 Omega Ω ω 9 SUMÁRIO CAPÍTULO I - CONCEITOS BÁSICOS..................................................... 10 LISTA 1............................................................................................ 18 CAPÍTULO II – ELEMENTOS DE CIRCUITOS ........................................... 21 LISTA 2............................................................................................ 29 CAPÍTULO III – CIRCUITOS RESISTIVOS .............................................. 32 LISTA 3............................................................................................ 43 CAPÍTULO IV – TÉCNICAS DE ANÁLISE DE CIRCUITOS ........................... 48 LISTA 4............................................................................................ 56 CAPÍTULO V – TEOREMAS DE ANÁLISEDE CIRCUITOS ........................... 59 LISTA 5............................................................................................ 71 LISTA 6............................................................................................ 73 LISTA 7............................................................................................ 74 LISTA 8............................................................................................ 75 CAPÍTULO VI – CAPACITORES E INDUTORES......................................... 76 LISTA 9............................................................................................ 88 CAPÍTULO VII – TENSÕES E CORRENTES AC ......................................... 90 LISTA 10 .........................................................................................107 ANEXO - APLICAÇÕES DA TEORIA DE CIRCUITOS ELÉTRICOS ................110 ROTEIROS LABORATORIAIS ...............................................................115 10 CAPÍTULO I - CONCEITOS BÁSICOS 1.1 Sistemas de Unidades Medida é um processo de comparação de grandezas elétricas de mesma espécie, ou seja, de grandeza que se definem de um padrão único e comum a ambas. Quando duas grandezas se apresentam como de mesma espécie, diz-se que elas têm a mesma dimensão. Medir uma grandeza é, portanto, compará-la com grandeza de mesma espécie, e determinar a proporção entre ambas. A grandeza que serve de comparação é denominada “grandeza unitária” ou “padrão unitário”. As grandezas físicas são englobadas em duas categorias: · Grandezas derivadas; · Grandezas fundamentais. As grandezas derivadas são aquelas cuja definição se baseia em outras grandezas físicas. Por exemplo: velocidade, aceleração, etc... As grandezas fundamentais são as grandezas definidas operacionalmente, e não como função de outras grandezas físicas. Essas definições ficaram mais claras na seqüência. Escolhidas e definidas as grandezas fundamentais, determinam-se as grandezas derivadas. Estabelecida à coerência dimensional entre as grandezas fundamentais e derivadas, faz-se a sua nomenclatura, determina-se o método de obtenção dos múltiplos e dos submúltiplos e têm-se estruturado um sistema de unidade. No decorrer da evolução da física, qualquer sistema de unidade era estabelecido conforme as conveniências do trabalho. As grandezas fundamentais eram arbitradas de acordo com a conveniência e, não raro, ocorria à situação de uma grandeza se apresentar como fundamental em um sistema e derivada em outro. Procurou a ciência por fim a esse estado de coisas, objetivando a necessidade de um sistema de unidades completo (que abrangesse todos os fenômenos físicos), racional (com um mínimo de constantes de transformação) e coerente (com algumas poucas dimensões se definem todas as grandezas derivadas). Em 1901, o engenheiro italiano Giorgi elaborou um sistema de padrão de unidades bastante coerente. Denominado de MKS, o Sistema Giorgi constitui, com algumas alterações, a base sobre a qual se definiu o sistema internacional de unidades, conhecido pela sigla SI. O SI foi internacionalmente oficializado na 11º Conferência Geral de Pesos e Medidas em 1960. O emprego do SI no Brasil se fez logo em seguida, em 28 de fevereiro de 1967, pelo decreto lei número 240. O SI adota algumas grandezas fundamentais. Essas grandezas são mostradas na tabela abaixo. Tabela 1.1 – Unidades do Sistema Internacional (SI) Grandeza Grandeza Símbolo Comprimento metro m Massa quilograma kg Tempo segundo S Corrente elétrica ampère A Temperatura kelvin K Intesidade luminosa candela cd Quantidade de materia mol mol Grau radianos rad 11 A tabela abaixo apresenta as principais grandezas utilizadas em teoria de circuitos elétricos. Tabela 1.2 – Unidades úteis em teoria de Circuitos Elétricos Grandeza Nome/símbolo Fórmula dimensional Freqüência Hertz (Hz) s-1 Força Newton (N) kg.m/ s2 Energia ou trabalho Joule (J) N.m Potência Watt (W) J/s Carga elértrica Coulomb (C) A.s Potencial elértrico Volt (V) W/A Resistência elétrica Ohm (Ω ) V/A Condutância elértrica Siemens (S) A/V Capacitância Farad (F) C/V Fluxo magnético Weber (Wb) V.s Indutância Henry (H) Wb/A 1.1.1 Regras Gerais do SI a) Grafia dos nomes de unidades Quando escritos por extenso, os nomes de unidades começam por letra minúscula, mesmo quando têm o nome de um cientista (por exemplo, ampère, kelvin, newton, etc...), exceto o grau Celsius (ou no início de frase). Na expressão do valor numérico de uma grandeza, a respectiva unidade pode ser escrita por extenso ou representada por seu símbolo (por exemplo, cinco quilovolts por milímetro ou 5 kV/mm). Não são admitidas combinações de parte escrita por extenso com parte expressa por símbolo, como, por exemplo, “5 kohm.m”, em vez de cinco quiloohms- metros ou 5 kΩ.m. b) Grafia dos símbolos de unidades Os símbolos são invariáveis, não sendo admitido colocar, após o símbolo, ponto de abreviatura, “s” de plural, sinais, letras ou índices. Por exemplo, metros = m (e não “m.”, “ms” ou “mt”); Up = 5 mV (e não “U = 5 mVp”), Imáx = 50mA (e não “I = 5 mAMax”). O símbolo deve ser escrito no mesmo alinhamento do número a que se refere. Os símbolos SI podem coexistir num símbolo composto por multiplicação ou divisão. Ex: kΩ.mA; kV/ms. Contudo, não devem ser utilizados prefixos decimais combinados. Por exemplo: “2,2 kpF” em vez de 2,2 nF ou “4,7µµF” em vez de 4,7 pF. Os símbolos de uma mesma unidade podem coexistir num símbolo composto por divisão. Por exemplo: Ωmm2/m, kWh, etc.... O símbolo de uma unidade composta por multiplicação pode ser formado pela justaposição dos símbolos componentes, e que não cause ambigüidade (VA, kWh, etc...), ou mediante a colocação de um ponto entre os símbolos componentes, na base da linha ou a meia altura (N.m, ou N×m, m.s-1, etc...). Exemplo de um caso ambíguo: 7 m.V (sete metros volts) é diferente de 7 mV (sete milivolts). 12 O símbolo de uma unidade que contém divisão pode ser formado por uma das três maneiras exemplificadas a seguir: W/(sr.m2), W.sr-1.m-2 ou 2.msr W . Quando um símbolo com prefixo tem expoente, deve-se entender que esse expoente afeta o conjunto prefixo-unidade, como se esse conjunto estivesse entre parênteses. Por exemplo: dm3 = 10-3 m3; mm3 = 10-9 m3. É incorreto intercalar-se símbolos entre partes inteiras e decimais. Exemplo: 5K6Ω em vez de 5,6 kΩ. Não é incomum se encontrar falhas e omissões conflitantes como os exemplos citados na Tabela 1.3. Tabela 1.3 - Erros comuns no emprego de prefixos e unidades 13 1.2 Múltiplos e submúltiplos Algumas unidades de medidas são muito grandes outras muito pequenas, sendo, portanto necessário o conhecimento dos múltiplos e submúltiplos usuais das unidades de medidas mostradas na tabela abaixo. Tabela 1.4 – Múltiplos e submúltiplos do SI 1.3 Grandezas Elétricas 1.3.1 Carga elétrica Carga elétrica é a propriedade elétrica das partículas atômicas que compõem a matéria, medida em coulomb (C). Existem três propriedades fundamentais relacionadas à carga elétrica: (a) O coulomb é uma unidade muito grande. Em 1 C cabem 6,24·1018 elétrons. Portanto, valores observados em laboratório são da ordem de pC, nC ou µC. (b) A lei de conservação de carga afirma que não se pode criar ou destruir cargas elétricas, apenas as transferir. Portanto, a soma algébrica das cargas elétricas em um sistema não pode ser alterada. (c) De acordo com observações experimentais, as únicas cargas que podem ocorrer na natureza são múltiplos da carga eletrônica e = -1,602·10-19 C. Ou seja, a carga elétrica é uma grandeza quantizada. Assim pode-se dizer que: enQ .±=(1.1) Onde: Q – Carga elétrica (Coulomb) e – Carga elementar (e = 1,602.10-19 Coulomb) n – Número inteiro (n Є Z) 14 1.3.2 Corrente elétrica Corrente elétrica é a taxa de variação de cargas elétricas em relação ao tempo e é medida em ampères, ou seja, é a quantidade de cargas elétricas que atravessam uma superfície de referência por unidade de tempo: dt dqi = [A] (1.2) Figura 1.1 – corrente elétrica em um condutor 1.3.3 Tensão elétrica A tensão elétrica ou diferença de potencial (ddp) entre dois pontos ‘a’ e ‘b’ de um circuito é a energia necessária para mover uma unidade de carga deste ponto ‘a’ para o ponto ‘b’. Sua unidade de medida é o volt (V) e pela definição fica evidente que 1 V corresponde a um joule por coulomb: )( )( )( Qoulombs Jaules volts Q W V = [V] (1.3) 1.3.4 Potência Da física, potência é o trabalho em função da variação do tempo. Então: t W tempo trabalhoP Δ Δ== (1.4) Supõe-se que ΔQ (uma carga que pode ser considerada infinitesimal) se desloca do ponto A para o ponto B de um condutor como mostra a figura 1.2. Figura 1.2 – Movimento da carga em um condutor 15 Então para o movimento dessa carga: QUUW ba Δ−= ).( (1.5) Considerando U = Ua - Ub Então: W =U.ΔQ (1.6) Logo: I QUP Δ Δ= .. (1.7) Contudo, utilizando a definição de corrente, vista na equação (1.2) tem-se que: IUP .= (1.8) A potência no resistor é dissipada na forma de calor num efeito denominado Efeito Joule. No SI a unidade de medida da potência é o watt [W], porém na prática outras unidades são comuns, tais como o horsepower (hp). A relação é: 1hp = 746W 1.3.5 Energia A energia elétrica consumida ou produzida é definida como o produto da potência elétrica P pelo intervalo de tempo Δt: E = P. Δt (1.9) No SI a unidade de Energia é o joule [J], mas quando se trata de energia elétrica é usual o kWh, cuja relação é: 1kWh = 3,6.106 joules 16 1.3.6 Eficiência A figura 1.3 ilustra o fluxo de energia em um sistema no qual a energia muda de forma. Observe em particular que a quantidade de energia de saída é sempre menor do que a que entrou no sistema devido às perdas e, às vezes, ao armazenamento de energia no interior do sistema. Figura 1.3 – Fluxo de energia em um sistema A eficiência de operação (η) é definida como: in out P P=η (1.10) Onde η (letra grega eta minúscula) é um número decimal. Em termos percentuais: %100% x P P in out=η (1.11) 1.3.7 Sistema em Cascata A eficiência total de um sistema em cascata, como mostrado na figura 1.4 é o produto das eficiências individuais: n in out total P P ηηηηη ...... 321== (1.12) Figura 1.4 – Sistema em cascata 17 1.4 Elementos Ativos e Passivos Elementos ativos são aqueles que fornecem potência para o circuito (P=U·I > 0). Os sinais positivos e negativos para um elemento ativo são convencionados conforme mostra na figura 1.5. Figura 1.5 – Convenção de Elemento Ativo Elementos passivos são aqueles que recebem potência do circuito (P=U·I < 0) e a convenção de sinais é mostrada na figura 1.6. Figura 1.6 – Convenção de Elemento Passivo 18 LISTA 1 1) - Encontre a carga total em coulomb de: (a) 6,28 x 1021 elétron (b) 8,76 x 1020 prótons Resp. (a) -1006 C, (b) 140 C 2) - Quantos elétrons formam uma carga total de -4 nC? Resp. 2,5 x 1010 elétrons 3) - Encontre a corrente que flui através de uma chave para um deslocamento de cargas de: (a) 90 C em 6s (b) 900 C em 20 min (c) 4 x 1023 elétrons em 5 h. Resp. (a) 15 A, (b) 0,75 A, (c) 3,56 A 4) - Um capacitor é um componente elétrico que armazena cargas elétricas. Se a carga de um capacitor acontece em uma taxa de 10 mC em 0,02 ms, e sua descarga em 1µs, quais as correntes de carga e descarga? Resp. 500 A, 10 000 A 5) - Encontre o tempo, em um teste de curto-circuito, que 120 C podem fluir em um circuito que se abre com 20 A, sem que ocorra sua abertura. Resp. 6s 6) - Por quanto tempo uma bateria de 4,5 Ah, 15V, pode fornecer uma corrente de 100 mA? Resp. 45 h 7) - Qual a energia química gasta por uma bateria de 1,25 V para produzir uma corrente de 130 mA durante 5 min? Resp. 48,8 J 8) - Qual a potencia consumida por um relógio elétrico se ele opera com uma corrente de 27,3 mA para uma tensão de 110V? Resp. 3 W 9) - Encontre a corrente que circula em um ferro de passar roupa de 1000 W, 120 V. Resp. 8,33 A 10) - Encontre a potência média de entrada para uma taxa de consumo de 4500 J em 3 min. Resp. 25 W 11) - Encontre queda de tensão sobre uma torradeira que consome 7500 J quando percorrida por uma corrente de 13,64 A durante 5s. Resp. 110 V 12) - Quantos joules uma lâmpada de 40 W consome em um dia? Resp. 3,46 MJ 13) - Encontre a corrente estabelecida em um motor CC, 110V, que desenvolve um potência de 2 hp. Considere uma eficiência de 100%. Resp. 13,6 A 14) - Encontre a eficiência de operação de um motor que desenvolve 1 hp enquanto sua potência de entrada é 900W. Resp. 82,9% 15) - Qual a eficiência de operação de um motor CC que desenvolve uma potência de 1 hp enquanto estabelece uma corrente de 7,45 A para uma tensão de 115 V? Resp. 87% 16) - Encontre a corrente estabelecida em um motor CC, 100 V, que opera com uma eficiência de 85% quando desenvolve uma potencia de 0,5 hp. Resp. 4,39 A 17) - Qual a potência em hp produzida pelo motor de um carro onde é estabelecida uma corrente de 250 A por uma bateria de 12V, operando com uma eficiência de 90%? Resp. 3,62 hp 18) - Um motor elétrico CA aciona um gerador CC. Se um motor opera com uma eficiência de 90% e o gerador com uma eficiência de 80%, e se a potência de entrada do motor é de 5 kW, encontre a potência de saída do gerador. Resp. 3,6kW 19 19) - Encontre a energia total consumida em um ano (365 dias) por um rádio AM-FM de 20 W que fica ligado 5 h por dia. Resp. 36,5 kWh 20) - Para se ter um consumo de apenas 70 kWh, por quanto tempo pode funcionar um motor de 5hp operando com uma eficiência de 85%? Resp. 16 h 21) - Calcule a energia total consumida em um mês na utilização de oito lâmpadas de 100 W por 50 h cada, dez lâmpadas de 60 W por 70 h cada, um ar-condicionado de 2 kW por 80 h, um grupo de cargas de 3 kW por 45 h, uma TV de 420 W por 180 h e um refrigerador de 300W por 75 h. Resp. 475,1 kWh 22) – Supondo que o kWh de energia elétrica com os impostos tenha um custo de R$ 0,43 qual o custo mensal da energia consumida no problema anterior? Resp. R$ 204,30 23) - Um jovem casal instalou em sua residência uma ducha elétrica moderna de 7700 watts / 220volts. No entanto, os jovens verificaram, desiludidos, que toda vez que ligavam à ducha na potência máxima, desarmava-se o disjuntor ea ducha deixava de aquecer. Pretendia até recolocar no lugar o velho chuveiro de 3300 watts / 220 volts, que nuca falhou. Felizmente, um amigo tecnólogo os socorreu. Após verificar que as instalações elétricas suportavam, substituiu o velho disjuntor por outro, de maneira que a ducha funcionasse normalmente. A partir desses dados, assinale a única opção que descreve corretamente a possível troca efetuada pelo amigo. a) Substitui o velho disjuntor de 20A por um novo de 30A. b) Substitui o velho disjuntor de 10A por um novo de 40A. c) Substitui o velho disjuntor de 30A por um novo de 20A. d) Substitui o velho disjuntor de 40A por um novo de 20A. e) Substitui o velho disjuntor de 20A por um novo de 40A. Resp. Letra E 24) - Em uma residência moram três pessoas que tomam em média 2 banhos por dia com duração de 10minutos cada. Se a potência do chuveiro é de 4,4kW e o custo do kWh com os impostos é de R$ 0,40 (quarenta centavos), qual o custo mensal relativo a este chuveiro? Resp. R$ 52,80 25) - Um chuveiro elétrico tem potência de 2800W, e uma lâmpada incandescente tem potência de 40W. O tempo que a lâmpada deve ficar ligada para consumir a mesma energia gasta pelo chuveiro em dez minutos de funcionamento é: a) 1 hora e 10 minutos b) 700horas c) 70 horas d) 11 horas e 40 minutos e) nda Resp. Letra D 26) – Defina os seguintes termos: Carga elétrica; Corrente elétrica; Tensão elétrica; Potência elétrica; Elemento Ativo e Elemento Passivo. 27) – (CELG-2004) O número de KWh consumidos por um chuveiro de 3000 W funcionando durante 20 minutos é de a) 0,5 KWh. b) 1 KWh. c) 1,5 KWh. d) 1,2 KWh. e) 0,6 KWh. 28) Próxima página. Gabarito Letra b 20 29) - Preencha o quadro abaixo indicando o nome da unidade por extenso, o símbolo e a grandeza física, conforme o modelo: CIENTÍSTA HOMENAGEADO UNIDADE DE MEDIDA SÍMBOLO GRANDEZA FÍSICA André-Marie Ampère ampère A Corrente elétrica Anders Celsius Gerorg Simon Ohm James Watt James Prescot Joule Charles Augustin Coulomb Michel Faraday Joseph Henry Heinrich Hertz Alessandro Volta William Thomson Kelvin 21 CAPÍTULO II – ELEMENTOS DE CIRCUITOS 2.1 Introdução Um dos objetivos do estudo de circuitos elétricos é a compreensão de projetos e produção de dispositivos que atendam às necessidades humanas. Para tanto, é necessário que se conheçam os componentes e se estabeleçam modelos matemáticos para simular os seus comportamentos físicos. Este capítulo trata de alguns elementos básicos e seus modelos matemáticos. 2.2 Resistores – Lei de Ohm O resistor é um elemento passivo que possui uma propriedade chamada resistência elétrica que é medida em ohms (Ω). A resistência elétrica, como o próprio nome sugere, é a capacidade que um elemento possui de se opor à passagem de corrente elétrica. Um resistor ôhmico oferece um relacionamento linear entre tensão e corrente em seus terminais. Assim, o gráfico da tensão pela corrente num resistor ôhmico, tem a forma mostrada na figura 2.1 abaixo. Figura 2.1 – Gráfica da tensão por corrente para um elemento resistivo ideal Por definição a grandeza denominada resistência elétrica é o coeficiente angular da reta que representa esse gráfico, ou seja: U = Ri (2.1) Onde: U é a tensão nos terminais do resistor; i é a corrente que o atravessa; R é a resistência do resistor; A lei que rege essa equação é chamada Lei de Ohm e os elementos resistivos que obedecem a essa lei são denominados ôhmicos. É importante observar nesta relação que quando R = 0, U = 0, e conseqüentemente há um curto-circuito. Se R tende para o infinito, então i tende para 0 e tem-se um circuito aberto. 22 2.2.1 Resistividade elétrica A figura a seguir mostra o símbolo de um resistor linear. Figura 2.2 – Símbolo do resistor linear Quatro fatores principais influenciam no valor de resistência de um resistor: · Material com que foi confeccionado; · Área da sua secção transversal; · Comprimento do resistor; · Temperatura; A resistência de um condutor de seção reta uniforme é diretamente proporcional ao comprimento do condutor e inversamente proporcional à área de seção transversal. A equação que relaciona estes termos é: A lR .ρ= (2.2) Onde: ρ (letra grega rô) - é a resistividade elétrica característica do material [Ω.m] l - é o comprimento do material [m] A – é área da secção transversal do condutor [m2] R – é a resistência elétrica [Ω] Embora a temperatura não apareça explicitamente na equação 2.2, ela está denotada implicitamente no fator ρ (resistividade elétrica do material). Figura 2.3 – Parâmetros de um resistor 23 2.2.2 Condutores não ôhmicos Num condutor não ôhmico (exemplo o diodo) a resistência depende da tensão aplicada aos seus terminais. Para este tipo de condutores, não faz sentido falar de resistência a uma dada temperatura. A figura abaixo mostra a característica tensão X corrente para um componente não linear (elemento não ôhmico). Figura 2.4 – Gráfica da tensão por corrente para um componente não linear 2.2.3 Influência da temperatura Para os metais e resistores lineares em geral, o aumento da temperatura acarreta, no aumento da resistividade elétrica e, conseqüentemente, de sua resistência elétrica, isto é, a resistência é dependente da variação de temperatura do metal (fig. 2.5). Esta variação da resistividade é não linear para certas faixas de temperatura, mas seu comportamento é praticamente linear na faixa que compreende a temperatura ambiente (em torno da qual residem as temperaturas de trabalho), normalmente considerada como sendo 20ºC, onde é tabelada esta propriedade. Figura 2.5 – Variação da resistência elétrica com a temperatura Uma forma de encontrar a resistência R2 em uma determinada temperatura T2 é pela equação: )](1[ 12112 TTRR TTT −+= α (2.3) Onde αT1 (unidade ºC-1) é o parâmetro que descreve a proporcionalidade entre resistência elétrica e temperatura e é chamado coeficiente de variação da resistividade com 24 a temperatura ou coeficiente de temperatura da resistividade. Este parâmetro é definido, portanto, para uma determinada temperatura de referência T1. Como os coeficientes α dos materiais são normalmente tabelados a 20ºC, ou seja, T1 = 20ºC, logo para a temperatura de referência 20ºC, da Eq. 2.3 tem-se que a resistência elétrica RT a uma temperatura qualquer T será: )]20(1[ 22020 −+= TRRT α (2.4) A tabela a seguir mostra os valores dos coeficientes de temperatura e da resistividade de alguns materiais. Tabela 2.1 – Coeficiente de temperatura e resistividade de alguns materiais Condutor α (ºC-1) a 20ºC ρ (Ω.m) a 20º prata 3,8.10-3 1,64.10-8 cobre 3,93.10-3 1,72.10-8 alumino 3,91.10-3 2,83.10-8 ouro 3,4.10-3 2,4.10-8 tungstênio 4,5.10-3 5.10-8 constantan 8.10-6 49.10-8 Carbono (grafite) - 5.10-4 3500.10-8 Exemplo de aplicação é em Termômetros de resistência de platina, usado para medir com precisão temperaturas entre -200 ºC e 1200 ºC, como mostrado abaixo. Figura 2.6 – Esquema de um termômetro de resistência elétrica 2.2.4 Condutividade e condutividade Condutância elétrica (G) é o inverso da resistência elétrica. A unidade derivada do SI de condutância é o siemens (símbolo S, igual a Ω-1). Em Setembro de1885, Oliver Heaviside criou esse termo. Condutância elétrica não deve ser confundida com condutividade elétrica, que é uma característica específica de um material e recíproca a resistividade elétrica. Condutividade elétrica (σ) é usada para especificar o caráter elétrico de um material. Ela é simplesmente o inverso da resistividade, e indicativa a facilidade com a qual um material é capaz de conduzir uma corrente elétrica. A unidade é o inverso de Ω.m, isto é, (Ω.m)-1 = S/m 25 Equacionando para a condutância (G) obtém-se: R G 1= (2.5) Onde: G – Condutância - siemens (S) R – Resistência – ohm (Ω) Equacionando para a condutividade (σ) tem-se: ρσ 1= (2.6) Onde: σ – Condutividade – siemens/metro (S/m) [σ – Letra grega sigma minúscula] ρ – Resistividade ohms.metro (Ω.m) Um bom condutor possui uma resistividade próxima de 10-8Ω.m. A prata, que é o melhor condutor metálico, é muito cara para uma larga utilização. Metais como o cobre e o alumínio são mais utilizados. Materiais sólidos exibem uma espantosa faixa de condutividades. De fato, uma maneira de classificar materiais sólidos é de acordo com a facilidade com que conduzem uma corrente elétrica; dentro deste esquema de classificação existem 3 grupos a saber: Condutores Resistividade próxima de 10-8 Ω.m Isolantes Resistividade maior que 1010 Ω.m Semicondutores Resistividade entre 10-7 Ω.m e 10-4 Ω.m 2.2.5 Consumo de potência no resistor Como visto na equação 1.8 a potência consumida por um componente elétrico é o produto da tensão pela corrente, P = UI. Porém da equação 2.1, para os resistores tem-se a lei de Ohm, ou seja, U = Ri, assim, efetuando as substituições obtém-se a potência dissipada por um resistor, que será dado por: IUP .= (2.7) Ou ainda, R UP 2 = (2.8) Ou ainda, 2RIP = (2.9) 26 2.2.6 Valor nominal e tolerância A fig. 2.7 mostra o corpo de um resistor em corte. Os resistores são compostos de um corpo cilíndrico de material de baixa constante dielétrica, que recebe a cobertura resistiva que determinará o valor do resistor. Este conjunto é solidamente ligado a terminais metálicos e a cobertura recebe ainda uma metalização para a realização de uma solda de alto ponto de fusão (~300ºC) com os terminais do resistor isto para que os ferros de soldar comuns, que têm pontos de fusão de 180 ºC, não provoquem qualquer abalo nesta ligação. O conjunto é coberto externamente por um material isolante (por exemplo: esmalte, cimento, silicone, etc) para acabamento e proteção do usuário. Figura 2.7 – Corte axial em um resistor O valor de sua resistência, dado em Ohms (Ω), e sua tolerância (erro percentual mínimo e máximo) são indicados no seu corpo através de duas maneiras: Diretamente impresso em seu corpo, ou pelo código de cores. Diretamente impresso: este sistema utiliza a impressão direta do valor ôhmico no corpo do resistor e é usado geralmente em resistores de maior potência (>2W). Consiste na impressão de dígitos numéricos combinados com uma letra (R para ohms, K para quiloohms, e M para megaohms) para indicar um multiplicador, sendo que a posição da letra pode indicar a posição da vírgula no valor ôhmico. Veja os exemplos: 470R = resistor de 470Ω; 4K7 = resistor de 4,7kΩ; 47K = resistor de 47kΩ. A potência (até 50 W) e a tolerância (até 20%) deste tipo também vêm impressas no corpo do resistor. São geralmente fabricados com fios de ligas metálicas resistivas. Código de cores: este sistema utiliza faixas pintadas no corpo do resistor a partir de uma extremidade, com as equivalências numéricas dadas na tabela 2.2. As duas primeiras faixas (X e Y na tabela) formam uma dezena, sendo a primeira (X) correspondente ao algarismo de maior ordem do valor ôhmico (1º dígito da dezena) e a segunda (Y) correspondendo ao 2º dígito da dezena. A terceira faixa indica o número de zeros, isto é, corresponde a multiplicar a dezena formada pelas duas primeiras cores por 10Z, sendo Z o número correspondente à cor dada na tabela 2.2. A quarta cor corresponde à tolerância do resistor: cor ouro para 5%, 27 cor prata para 10% e incolor para 20%, sendo que os de maior precisão, de 1% ou menos, vem geralmente impresso. A potência destes tipos de resistores refere-se ao tamanho físico dos mesmos (maior tamanho, maior potência), variando de 1/8 a 2 W. Desse modo, o valor ôhmico do resistor será dado por: R = [ XY x 10Z ] Ω ± T % (2.10) X = dígito mais significativo Y = dígito menos significativo Z = expoente da base T = tolerância Figura 2.8 – barras de cores do corpo de um resistor Exemplo: para a seqüência de cores a partir de uma extremidade: amarela-violeta-laranja- prata, a resistência será: R = 47 x 103 Ω ± 10% ou seja R = 47kΩ ± 10% Tabela 2.2 – Código de cores para leitura dos resistores DÍGITOS CORES X Y Z T Preto 0 0 0 - Marrom 1 1 1 - Vermelho 2 2 2 - Laranja 3 3 3 - Amarelo 4 4 4 - Verde 5 5 5 - Azul 6 6 6 - Roxo/ Violeta 7 7 7 - Cinza 8 8 - - Branco 9 9 - - Ouro - - -1 5% Prata - - -2 10% Incolor - - - 20% X Y Z T 28 2.2.7 Circuito aberto e curto circuito Como visto no item 2.2, sobre a lei de Ohm (U = RI), é importante observar nesta relação que quando R= 0, U= 0, e conseqüentemente há um curto-circuito. Neste caso a resistência será nula e a tensão também, independente do valor da corrente. Figura 2.9 – Curto-circuito Se R tende para o infinito, então i tende para 0 e tem-se um circuito aberto. Neste caso a resistência será infinita e corrente nula, independente do valor da tensão. Figura 2.10 – Circuito aberto 29 LISTA 2 1) - Qual a resistência interna de uma secadora de roupas que solicita uma corrente de 23,3A alimentada em 220V? Resp. 9,44 Ω 2) - Se um voltímetro possui uma resistência interna de 500 k Ω, encontre a corrente que circula por ele quando o mesmo indica 86 V. Resp. 172 µA 3) - Se um amperímetro possui uma resistência de 2 mΩ, encontre a tensão sobre ele quando uma corrente de 10 A, está sendo indicada. Resp. 20 mV 4) - Qual a condutância de um resistor de 39 Ω? Resp. 25,6 mS 5) - Qual a condutância de um voltímetro que indica 150 V quando percorrido por uma corrente de 0,3 mA? Resp. 2 µS 6) - Encontre a resistência a 20 ºC de um condutor de cobre de 2 m de comprimento e uma seção reta retangular de 1 cm x 4 cm? Resp. 86 µΩ 7) - Qual a resistência de um condutor circular de cobre recozido que possui um comprimento de 500 m e um diâmetro de 0,404 mm? Resp. 67,1 Ω 8) - A resistência de um condutor é de 25 Ω. Outro condutor do mesmo material e à mesma temperatura possui o dobro do diâmetro e seis vezes o comprimento. Encontre a resistência do segundo condutor. Resp. 37,5 Ω 9) - Um cabo de 40 m de comprimento e diâmetro de 0,574 mm possui uma resistência de 75,7 Ω a 20º C. De que material esse cabo é feito? Resp. Constantan 10) - Qual o comprimento de um condutor de constantan 30 AWG (0,254 mm de diâmetro) a 20ºC que possui uma resistência de 200 Ω? Resp. 20,7 m 11) - A condutância de um cabo é 2,5 S. Outro condutor de mesmo material e mesma temperatura possui 1/4 do diâmetro e o dobro do comprimento.Encontre a condutância do segundo condutor. Resp. 78,1 mS 12) - Encontre a condutância de um fio de 5 m de Nicromo que possui um diâmetro 1 mm, dado resistividade do Nicromo igual a 100.10-8 Ω.m. Resp. 157 mS 13) - Se um cabo de alta tensão de alumínio possui uma resistência de 80 Ω a 30ºC, qual a sua resistência quando sua temperatura vai a -10 ºC? Resp. 68 Ω 14) Se uma resistência de um fio de constantan é 2 MΩ a -150 C, qual sua resistência a 200ºC? Resp. 2,006 MΩ 15) - Qual a resistência a 90º C de uma haste de carbono que possui uma resistência de 25 Ω a 20 C? Resp. 24,1 Ω 16) - Qual a corrente máxima que um resistor de 56 kΩ, 1 W, pode suportar sem se danificar? Resp. 4,23 mA 17) - Qual a máxima tensão que pode ser aplicada com segurança sobre um resistor de 91 Ω, 0,5 W? Resp. 6,75 V 18) - Qual a resistência de um aquecedor elétrico de 240 V, 5600 W? Resp. 10,3 Ω 30 19) - Um resistor não-linear possui uma relação tensão x corrente dada por V= 2I2 + 3I + 10. Encontre a corrente solicitada por esse resistor quando 37 V são aplicados sobre ele. Resp. 3 A 20) - Se um diodo possui uma relação corrente x tensão dada por: I = 10-14(e40V – 1) qual a tensão no diodo quando a corrente é 150 mA? Resp. 0,758 V 21) - Qual a faixa de resistência de um resistor 75kΩ, 5%? Resp. 71,25 a 78,75 kΩ 22) - Uma corrente de 12,1 mA circula por um resistor 2,7 kΩ, 10%. Qual a faixa do valor de tensão que deve estar sobre esse resistor? Resp. 29,4 a 35,9 V 23) - Quais as cores das faixas dos resistores (a) 0,18 Ω, 10%, (b) 39 kΩ, 5% e (c) 20 MΩ, 20%? Resp. (a) marrom-cinza-prata-prata, (b) laranja-branco-laranja-ouro, (c) vermelho-preto-azul-incolor 24) - Encontre a tolerância e o valor nominal da resistência correspondente ao código de cores a seguir: (a) marron-marron-prata-ouro (b) verde-marrom-marrom-incolor (c) azul-cinza-vermelho-prata. Resp. (a) 0,11 Ω, 5%, (b) 510 Ω, 20%, (c) 6,8 kΩ, 10% 25) - Uma bateria fornece uma tensão de 6 V quando um circuito aberto e de 5,4 V quando operando com uma corrente de 6 A. Qual a resistência interna dessa bateria? Resp. 0,1 Ω 26) - Em um automóvel, o motor de arranque elétrico de 3 hp opera com eficiência de 85% alimentado por uma bateria de 12 V. Qual a resistência interna dessa bateria se ela apresenta uma tensão em seus terminais de 10 V quando energizando o motor? Resp. 7,60 mΩ 27) - Um curto-circuito nos terminais de uma fonte de corrente faz circular uma corrente de 20 A. Quando essa fonte está em circuito aberto, a tensão em seus terminais é de 600 V. Encontre a resistência interna dessa fonte. Resp. 30 Ω 31 PROBLEMA DESAFIO 28) (SANEAGO – 2008) O ramal monofásico de ligação de uma unidade consumidora é de 50 m, conforme figura acima. O cabo utilizado neste ramal é um fio de cobre de 4 mm2 de seção transversal (condutor fase e neutro). No intervalo entre 18h e 21h, a corrente nesta unidade consumidora é de 20 A, e a tensão no ponto de derivação da distribuição é de 220 V. Qual é a tensão no ponto de entrega durante o intervalo de tempo especificado? Considere a resistividade do cobre como 2 x 10−8Ω.m a 25ºC. a) 210 V b) 200 V c) 215 V d) 198 V Resp. Letra A 32 CAPÍTULO III – CIRCUITOS RESISTIVOS 3.1 – Introdução Neste capítulo serão estudadas as leis de Kirchhoff, utilizando-se de circuitos resistivos que são mais facilmente analisados. O estudo dessas leis é aplicado em seguida nas deduções de associação de resistores e fontes. Além disso, as leis de Kirchhoff serão essenciais para capítulos procedentes a este, pois abrangem o princípio para análise de circuitos. 3.2 – Fontes ideais Uma fonte é um elemento ativo capaz de gerar energia. Existem dois tipos de fontes ideais: (a) Fonte independente ideal é um elemento ativo que fornece tensão ou corrente independentemente das outras variáveis do circuito. Os símbolos comumente utilizados para representar as fontes de tensão independentes são mostrados na figura 3.1 a seguir: Figura 3.2 – Símbolo da fonte de tensão e fonte de corrente independente Onde: Figura 3.2 (a) – Fonte de tensão independente Figura 3.2 (b) – Fonte de tensão independente Figura 3.2 (c) – Fonte de corrente independente A figura a seguir mostra um exemplo de valor de fonte de tensão ideal, bem como sua característica tensão X corrente. Figura 3.3 – Exemplo de fonte de tensão ideal e independente 33 A figura a seguir mostra um exemplo de valor de fonte de corrente ideal, bem como sua característica tensão X corrente. Figura 3.4 – Exemplo de fonte de corrente ideal e independente (b) Fonte dependente ideal ou fonte controlada ideal é fonte que estabelece uma tensão ou corrente que depende do valor da tensão ou corrente em um outro ponto do circuito. Sua simbologia é mostrada na figura a seguir. Figura 3.5 – Símbolo da fonte de tensão e fonte de corrente dependente Onde: Figura 3.5 (a) – Fonte de tensão dependente Figura 3.5 (b) – Fonte de corrente dependente Existem quatro tipos de fontes controladas mostradas na próxima página. 34 1 - Fonte de tensão controlada por tensão (FTCT) Figura 3.6 – FTCT 2 - Fonte de tensão controlada por corrente (FTCC) Figura 3.7 – FTCC 3 - Fonte de corrente controlada por corrente (FCCC) Figura 3.8 – FCCC 4 - Fonte de corrente controlada por tensão (FCCT) Figura 3.9 – FCCT 35 3.3 – Conceitos de circuitos Para se definir as leis de Kirchhoff serão feitas algumas considerações e serão definidos alguns termos como se segue. a) Nó: É um ponto do circuito comum a dois ou mais elementos. b) Ramo: É um “caminho” entre dois nós. c) Laço: É o caminho fechado em um circuito passando apenas uma vez em cada nó e terminando no nó de partida. d) Malha: É o laço que não possui caminho fechado em seu interior. e) Será considerado que os circuitos são ideais, ou seja, os elementos que os constituem são ideais e mantém suas características indefinidamente. Segue-se abaixo uma relação dos componentes e suas características ideais. Resistor ideal: Não varia o valor de sua resistência com a temperatura e suporta qualquer corrente e tensão. Fonte de tensão ideal: Mantém a tensão nos terminais e é capaz de fornecer qualquer corrente. Fonte de corrente ideal: Mantém a corrente constante e alimenta qualquer circuito com tal corrente. f) Será considerado que os circuitos estão em regime permanente, ou seja, estão ligados a algum tempo, de modo que todas as correntes e tensões já estão estáveis. Figura 3.10 – Exemplo de conceitos de circuitos Para o circuito acima tem-se: 4 nós 3 laços 2 malhas 36 03211 =+++− RRR VVVE 03211 =+++− iRiRiRE 3.4 – Lei das tensões de Kirchhoff (LTK) Para exemplificar a LTK veja a figura abaixo de um circuito contendo uma fonte de tensão E1 e três resistores, e apenas uma malha. Ao lado as equações obtidas pela aplicação da Lei das Tensões de Kirchhoff. Figura 3.11 – Exemplo da TLK Gustav Robert Kirchhoff – Alemão (1824-1887), Físico, foi professor de Física da Universidade de Heidelberg. Embora tenha contribuído em diversos campos da física é mais conhecido por seu trabalho no campo da eletricidade com suas definições relacionando as correntes e tensões em um circuitopublicado em 1847. “A soma algébrica das tensões em qualquer laço de um circuito é sempre nula”. 0 1 =∑ = N n nv (3.1) 37 Associação de resistores em série Uma associação de resistores é dita em série quando são percorridos pela mesma corrente elétrica como mostrado pela figura a seguir. Figura 3.12 – Associação de resistores em série Neste caso, pela LTK, tem-se que: nVVVVV ++++= ...321 ou ainda iRiRiRiRiR neq ++++= ...321 De onde se tem que: neq RRRRR ++++= ...321 (3.2) 3.5 – Lei das correntes de Kirchhoff (LCK) “A soma algébrica das correntes em qualquer nó de um circuito é sempre nula”. Ou seja: 0 0 =∑ = n i ni (3.3) Ou ainda: “A soma das correntes que chegam a um nó é igual à soma das correntes que deixam este nó” ∑∑ == = n i saem n i chegam ii 00 (3.4) 38 Associação de resistores em paralelo Uma associação de resistores é dita em paralelo quando são submetidas à mesma tensão elétrica, como mostrada a seguir. Figura 3.13 – Associação de resistores em paralelo Neste caso, pela LCK, tem-se que: nIIIII ++++= ...321 ou ainda n n eq R V R V R V R V R V ++++= ... 3 3 2 2 1 1 como nVVVVV ...321 ==== Finalmente encontra-se: neq RRRRR 1...1111 321 ++++= (3.5) OBSERVAÇÕES IMPORTANTES: • Para o caso particular e muito utilizado de dois resistores em paralelo a equação acima se reduz a: 21 21. RR RRReq += (3.6) Figura 3.14 – Associação de dois resistores em paralelo • Para o caso particular de termos N resistores em paralelo e todos com a mesma resistência elétrica R, a resistência equivalente será: N RReq = (3.7) 3.6 – Divisor de tensão 39 Um divisor de tensão se aplica para resistores em série. Essa lei fornece a tensão sobre qualquer resistor em função de sua resistência e da tensão sobre todos os resistores em série. Figura 3.15 – Divisor de tensão para dois resistores Para o circuito acima a tensão sobre os resistores V1 e V2 são respectivamente dados por: 21 1 1 . RR RVV += (3.8) 21 2 2 . RR RVV += (3.9) A figura abaixo mostra a aplicação do divisor de tensão genericamente para N resistores em série. Figura 3.16 – Divisor de tensão para N resistores Neste caso tem-se que: nRRRR RVV ++++= .... 321 1 1 (3.10) 40 3.7 – Divisor de corrente Um divisor de corrente se aplica para resistores em paralelo. Essa lei fornece a corrente através de qualquer resistor em função de sua resistência e da corrente na combinação paralela. Figura 3.17 – Divisor de corrente para dois resistores Para o circuito acima a corrente através dos resistores R1 e R2 são respectivamente dados por: 21 2 1 . RR RII += (3.11) 21 1 2 . RR RII += (3.12) A figura abaixo mostra a aplicação do divisor de corrente genericamente para N resistores em paralelo. Figura 3.18 – Divisor de corrente Neste caso tem-se que: nGGGG GII ++++= .... 321 1 1 (3.13) 41 3.8 – Interpretação de esquemas elétricos A figura abaixo mostra uma placa de terminais muito utilizada em laboratórios. Figura 3.19 – Placa de terminais Muitos alunos encontram dificuldades em compreender o significado de diagramas elétricos e esquemáticos, como mostrado na figura abaixo. Muito desta dificuldade advém da incompreensão do papel dos símbolos e das conexões entre eles. A figura a seguir mostra três maneiras de ligar duas lâmpadas em paralelo a uma bateria. Figura 3.20 – Diversas maneiras de representar duas lâmpadas ligadas em paralelo Veja na figura abaixo duas maneiras de se implementar o circuito esquematizado na figura acima. Acompanhe as ligações em cada um deles e verifique se o circuito é o mesmo. Observe que a bateria foi substituída pela fonte de tensão. Figura 3.21 – Duas maneiras de se implementar o circuito esquematizado na figura anterior 42 3.9 – Protoboard ou matriz de contatos Uma Matriz de Contatos (ou Protoboard) é uma placa com milhares de furos e conexões condutoras para montagem de circuitos elétricos experimentais. A grande vantagem do protoboard na montagem de circuitos eletrônicos é a facilidade de inserção de componentes pois não necessita soldagem. As placas variam de 1600 furos até 6000 furos, as conexões são verticais e horizontais. A figura abaixo mostra um exemplo. Figura 3.22 – Protoboard ou Matriz de contatos 43 LISTA 3 1) - Determine o número de nós, ramos, malhas e laços no circuito mostrado na figura abaixo. Resp. 6 nós, 8 ramos, 3 malhas e 7 laços 2) - Encontre V1, V2 e V3 para o circuito mostrado na figura acima. Resp. V1 = 2V, V2 = -21V, V3 = 26V 3) - Quatro resistores em série possuem uma resistência total de 500 Ω. Se três dos resistores possuem resistência de 100, 150 e 200 Ω, qual a resistência do quarto resistor? Resp. 50 Ω 4) - Encontre a condutância total dos quatro resistores de 2, 4, 8 e 10 S conectados em série. Resp. 1,03 S 5) - Um circuito série consiste em uma fonte de tensão CC e em resistores de 4, 5 e 6 Ω. Se a corrente é 7 A, encontre a tensão da fonte. Resp. 105 V 6) - Uma bateria de 12V com uma resistência interna de 0,3Ω é carregada por uma fonte de 15V. Se a corrente de carga não deve exceder 2A, qual a mínima resistência de um resistor em série que limitará a corrente para garantir esse valor de segurança? Resp.1,2 Ω 7) - Um resistor em série com outro resistor de 100 Ω absorve 80 W quando ambos são conectados a uma rede de 240 V. Encontre a resistência desconhecida. Resp. 20 ou 500 Ω 8) - Um circuito série é formado por uma fonte de 4 V e resistores de 2, 4 e 6 Ω. Qual a mínima potência para a qual os resistores devem ser especificados, se são disponíveis no mercado resistores de 0,5 W, 1 W e 2 W? Resp. P2 = 0,5W, P4 = 0,5W, P6 = 1W 9) - Encontre Vab no circuito mostrado na Figura abaixo. Resp. 20 V 10) – Encontre a tensão V4 no circuito mostrado na figura acima. Resp. -8 V 11) - Um circuito série é formado por uma fonte de 100 V e pelos resistores de 4, 5, 6, 7 e 8 Ω. Use divisão de tensão para encontrar a tensão sobre o resistor de 6 Ω. Resp. 20 V 12) - Determine I no circuito da figura a seguir. Resp. 3 A 44 13) - Encontre V sobre o circuito aberto da figura abaixo. Resp. -45 V 14)-Encontre as correntes desconhecidas indicadas nos circuitos a seguir. Resp. I1 = 2A, I2= -6A, I3 = -5A, I4 = 3A 15) - Encontre a corrente de curto-circuito I no circuito da Figura abaixo. Resp. 3 A 16) - Calcule V1 no circuito da figura abaixo. Resp. 96 V 17) - Quais os valores diferentes de resistênciaque podem ser obtidos com a associação de três resistores de 4 Ω? Resp. 1,33, 2, 2,67, 4, 6, 8 e 12 Ω 18) - Um resistor de 100 Ω está em paralelo com outro resistor e possuem uma resistência equivalente de 75 Ω. Qual a resistência do outro resistor? Resp. 300 Ω 19) - Encontre a resistência equivalente de quatro resistores em paralelo de resistências 2, 4, 6 e 8 Ω. Resp. 0,96 Ω 20) - Três resistores em paralelo têm condutância equivalente de 2 mS. Se duas das resistências são 1 e 5 kΩ, qual a terceira resistência? Resp. 1,25 kΩ 21) - A resistência equivalente de três resistores em paralelo é 10 Ω. Se dois dos resistores possuem resistência de 40 e 60 Ω, qual a resistência do terceiro resistor? Resp. 17,1 Ω 22) - Determine RT em que: RT = (24//48 + 24)//10 Resp. 8 Ω 23) - Determine RT em que: RT = (6//12 + 10//40)//(6 + 2 ) Resp. 4,8 Ω 45 24) - Encontre a resistência total RT do circuito mostrado na figura abaixo. Resp. 26,6 KΩ 25) - Repita o problema anterior com todas as resistências com valor dobrado. Resp. 53,2 kΩ 26) - No circuito mostrado na figura a seguir, encontre RT: a) com os terminais a e b abertos b) com os terminais a e b curto- circuitados. Resp. (a) 18,2 Ω, (b) 18,1 Ω 27) - Uma corrente de 15 mA circula em quatro resistores em paralelo que possuem resistências de 4, 6, 8 e 12 kΩ. Encontre a corrente em cada resistor. Resp. I4 = 6mA, I6 = 4mA, I8 = 2mA, I12 = 2mA 28) - Repita o Problema anterior com todas as resistências com o valor dobrado. Resp. As mesmas correntes 29) - Encontre R1 e R2 para o circuito mostrado a seguir. Resp. R1 = 20 Ω e R2 = 5 Ω 30) - No circuito mostrado na figura acima, faça R1 = 6 Ω e R2 = 12 Ω. Então use divisão de corrente para calcular a nova corrente em R1. Resp. 1,33 A 31) - Uma corrente de 60 A circula por uma associação de resistores descrita por RT = 40//(12 + 40//10). Encontre a corrente no resistor de 10 Ω. Resp. 32 A 32) - Uma fonte de 620 V conectada a uma associação de resistores descrita por RT = 50 + R//20 fornece uma tensão de 120 V sobre o resistor de 20 Ω. Qual o valor de R? Resp. 30 Ω 33) - Encontre I no circuito mostrado a seguir. Resp. 4 A 46 34) - No circuito mostrado na figura abaixo existe uma lâmpada de 120 V/60W. Qual deve ser a tensão de alimentação VS para que a lâmpada opere nessas condições? Resp. 285 V 35) - No circuito da figura abaixo, calcule I e a potência absorvida pela fonte dependente. Resp. 2 A, 560 W 36) - Use divisão de tensão por duas vezes para encontrar a tensão V no circuito abaixo. Resp. 36 V 37) - No circuito mostrado na figura a seguir, use divisão de corrente por duas vezes para calcular a corrente I no resistor de carga RL para: (a) RL = 0 Ω (b) RL = 5 Ω (c) RL = 20 Ω Resp. (a) 16A, (b) 9,96A, (c) 4,67A 38) - Use divisão de corrente várias vezes para encontrar a corrente I no circuito da figura abaixo. Resp. 4 mA 39) - Um rádio AM/FM portátil funciona, em condições normais de operação, com as seguintes especificações 3V/450mW. O valor de R2 para que este rádio opere a partir de uma fonte de 12V, conforme a montagem abaixo está: a) abaixo de 50Ω b) entre 50Ω e 60Ω c) entre 60Ω e 70Ω d) entre 70Ω e 80Ω e) acima de 80Ω Resp. Letra D 40) - (CFOPM-DF-2008) Considerando que, no circuito esquematizado abaixo, a fonte e o amperímetro sejam ideais e que a força eletromotriz da bateria seja igual a 12 V, julgue os seguintes itens. 47 I - A potência dissipada pelo resistor de resistência igual a 2Ω é menor que 12 W. II - A leitura registrada pelo amperímetro é igual a 1 A. III - Se o amperímetro e a fonte fossem trocados de posição, a medida da corrente registrada pelo amperímetro não mudaria. Gabarito F,V,V 41) (SGADF-2006) A figura abaixo mostra um circuito elétrico alimentado por fonte de tensão contínua. No circuito, há uma fonte de tensão que é controlada pela corrente da fonte de alimentação i. Considerando que os valores dos resistores sejam dados em ohms, julgue os seguintes itens. I - A corrente i que flui pela fonte é igual a 2,5 A. II - A tensão E no circuito é igual a 5 V. Gabarito V,V 42) – (CELG-2004) A associação dos resistores abaixo é alimentada por 170 volts. A corrente no resistor de 30 Ohms é de a) 6 ampères. b) 10 ampères. c) 4 ampères. d) 5 ampères. e) 2,6 ampères. 43)(AGETOP-2006) Observe a figura a seguir: Utilizando-se a convenção passiva para os elementos de circuitos elétricos da figura, é CORRETO afirmar: a) Os elementos 1 e 2 são fontes. b) A potência dissipada pela carga 1 é igual à potência dissipada pela carga 2. c) A potência elétrica fornecida difere da potência elétrica consumida. d) A fonte de tensão controlada por corrente fornece a potência total consumida pelo circuito. Gabarito Letra b Gabarito Letra c 48 CAPÍTULO IV – TÉCNICAS DE ANÁLISE DE CIRCUITOS 4.1 – Introdução Analisar um circuito é obter um conjunto de equações ou valores que demonstram as características de funcionamento do circuito. A análise é fundamental para que se possa sintetizar e implementar um circuito, ou seja, a partir da análise de circuitos, pode-se arranjar elementos que uma vez interconectados e alimentados, comportam-se de uma forma desejada. REGRA DE CRAMER A regra de Cramer é um método popular para a resolução de equações simultâneas na análise de circuitos. Algum conhecimento de determinantes é necessário para a utilização desta regra. Uma determinante é um arranjo quadrado, de números entre duas linhas verticais como mostrado a seguir: 333231 232221 131211 aaa aaa aaa Onde: Cada termo “a” é um número. O 1º índice indica a linha a que o número pertence. O 2º índice indica a coluna a que o número pertence. Exemplo: a23 – indica que o número está na 2º linha e 3º coluna. Uma determinante com duas linhas e duas colunas é chamada determinante de segunda ordem, com três linhas e três colunas é de terceira ordem e assim sucessivamente. As determinantes têm um valor como será visto a seguir. DETERMINANTE 2X2 O valor de um determinando 2 x 2 (dois por dois) ou de segunda ordem é obtido por: 21122211 2221 1211 .. aaaa aa aa D −== (4.1) DETERMINANTE 3X3 O método mais indicado para o cálculo de uma determinante de 3º ordem consiste em repetir as duas primeiras colunas à direita da terceira coluna e então fazer a soma dos produtos dos números das diagonais indicadas pelas setas para a esquerda e subtrair deste resultado a soma dos produtos dos números das diagonais indicadas pelas setas para a direita, como mostrado. 49 a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 - a31a22a13 - a32a23a11 - a33a21a12 4.2 – Transformação de fontes Dependendo do tipo de análise, um circuito sem fontes de corrente ou sem fontes de tensão pode ser preferível. Por isso, toma-se conveniente, às vezes, a conversão de uma fonte de corrente em uma fonte de tensão equivalente e vice-versa. Para a transformação cada fonte de tensão deve ter uma resistência interna em série e cada fonte de corrente deve ter uma resistência interna em paralelo. A figura a seguir mostra a transformação de uma fonte de tensão em uma fonte de corrente equivalente, e a transformação de uma fonte de corrente em uma fonte de tensão equivalente. Essa equivalência é aplicada apenas a circuitos externosconectados a essas fontes. As tensões e correntes nesse circuito externo serão as mesmas para ambas as fontes, mas internamente essas fontes não são equivalentes. Figura 4.1 – Transformação de fontes EXEMPLO 4.1 A figura a seguir mostra uma fonte de tensão de 6V sendo convertida em uma fonte de corrente, ambas alimentando um resistor de carga de 4Ω. Determine para os dois circuitos: a) a corrente pelo resistor de carga (IL); b) a tensão sobre o resistor de carga (Vab); c) a potência dissipada pelo resistor de 4Ω (PL) Figura 4.2 – Exemplo de transformação de fontes RESPOSTAS: a) IL = 1A b) Vab = 4V c) PL = 4W 50 RESOLUÇÃO DO EXEMPLO 4.1 51 4.3 – Análise de Malhas A análise de malhas ou método das correntes das malhas é baseada na Lei das Tensões de Kirchhoff (LTK). Para aplicação desse método é necessário verificar se o circuito é planar ou não planar, pois esse método só se aplica aos circuitos planares. O circuito planar é aquele que pode ser desenhado em um único plano sem que dois ramos se cruzem. Veja os circuitos das figuras abaixo. Figura 4.3 – Circuito Planar Figura 4.4 – Circuito Não-Planar Para aplicação da análise de malhas deve-se ter em mente que o método: • É baseada na Lei de Kirchhoff para Tensões (LTK); • Incógnitas são correntes; • Número de incógnitas = Número de correntes de malha; PROCEDIMENTO: a. Converter as condutâncias em resistências; b. Associar em cada malha uma corrente de malha no sentido horário; c. Aplicar a LTK em cada malha; d. Resolver o sistema de equações, obtendo o valor das correntes de malha. 52 EXEMPLO 4.2 Determine as correntes de malha (I1 e I2) e as correntes nos ramos (i1; i2 e i3) no circuito mostrado a seguir. Figura 4.5 – Exemplo 4.2 Resolvendo para as correntes de malha obtém-se: LTK (Malha1): 0211 =++− RR VVV 0)( 212111 =−++− IIRIRV LTK (Malha2): 0322 =+++ RR VVV 0)( 231222 =+−++ IRIIRV Resolvendo as equações anteriores obtém-se: ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ +− −+ 2 1 2 1 322 221 . )( )( V V I I RRR RRR As correntes de ramos (i1; i2 e i3) são dadas em função das correntes de malha (I1 e I2) por: i1 = I1 i2 = I2 i3 = I1 – I3 Genericamente o método da Análise de malha pode ser escrito por: [ ][ ] [ ]VIR =. (4.2) Onde: [R] – Matriz das resistências [I] – Vetor das correntes de malha [V] – Vetor das tensões A matriz [R] será simétrica apenas para circuitos com fontes independentes de tensão e correntes de malha no sentido horário. Resolva você agora um exemplo de circuito com fonte controlada de tensão. 53 EXEMPLO 4.3 Para o circuito abaixo determine: a) - as correntes de malha (I1, I2 e I3) b) – a corrente pelo resistor de 20Ω; c) – a tensão fornecida pela fonte dependente Figura 4.6 – Exemplo 4.3 RESOLUÇÃO DO EXEMPLO 4.3 RESPOSTAS a) I1 = 29,6A; I2 = 26A; I3 = 28A b) Iφ = 1,6A c) 24V 54 4.4 – Análise de Nós Para aplicação da análise de Nós (Análise nodal) deve-se ter em mente que o método: • É baseada na Lei de Kirchhoff para correntes (LCK). • Incógnitas são tensões. • No de tensões incógnitas = No de nós – 1. PROCEDIMENTO a. Converter as resistências em condutâncias; b. Escolher o nó de referência, atribuindo-lhe tensão nula; c. Associar o cada nó (exceto o nó de referência, que tem tensão nula) uma tensão incógnita (tensão de nó); d. Aplicar a LCK em cada nó (exceto ao nó de referência) considerando todas as correntes saindo do nó (por convenção); e. Resolver o sistema de equações. Figura 4.7 – Polaridade de um elemento em função da corrente EXEMPLO 4.4 Para o circuito abaixo determine as tensões nodais (V1 e V2): Figura 4.8 – Exemplo 4.4 Aplicando a Lei das correntes de Kirchhoff (LCK) aos nós 1 e 2 obtém-se: LCK (Nó 1): 0)(226 211 =−++− VVV LCK (Nó 2): 035)(2 212 =−+− VVV 55 Em termos matriciais obtém-se: ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ − − 3 6 . 72 24 2 1 V V E finalmente: V1 = 2V; V2 = 1V Genericamente o método da Análise de Nós (nodal) pode ser escrito por: [ ][ ] [ ]IVG =. (4.3) Onde: [G] – Matriz das condutâncias [V] – Vetor das tensões nodais [I] – Vetor das correntes 56 LISTA 4 Assuntos: Transformação de fontes. Análise de Malhas e Análise Nodal 1) - Calcule as seguintes determinantes: (a) 62 34 −− b) 5642 308 − Resp. (a) -18, (b) 1708 2) - Calcule as seguintes determinantes: a) 456 123 498 − − − b) 182113 191532 25016 − −− − Resp. (a) -30, (b) 23.739 3) - Use a regra de Cramer para encontrar as incógnitas em: a) 1563018 1241826 21 21 =+− −=− VV VV b) 7082112 5601216 21 21 −=+− =− II II Resp. (a) V1 = -2 V, V2 = 4 V (b) I1 = 17 A, I2 = -24 A 4) - Use a regra de Cramer para encontrar as incógnitas em: 13110 75509 13565 321 321 321 =−+ =−+ −=++− VVV VVV VVV Resp. V1 = 5V, V2 = 7V, V3 = -6V 5) - Qual a fonte de corrente equivalente a uma bateria de 12 V com uma resistência interna de 0,5 Ω? Resp. I = 24 A, R = 0,5 Ω 6) - Qual a fonte de tensão equivalente a uma fonte de corrente de 3 A em paralelo com um resistor de 2 kΩ? Resp. V = 6 kV, R = 2 kΩ 7) - Encontre as correntes de malha no circuito mostrado na figura abaixo. Resp. I1 = 3A, I2 = -8A, I3 = 7A 8) - Resolva por correntes de malha o circuito mostrado na figura abaixo. Resp. I1 = 5 mA, I2 = -2 mA 9) - Duas baterias de 12 V em paralelo fornecem corrente a uma lâmpada que possui uma resistência de 0,5Ω, quando aquecida. Se as resistências internas das baterias são 0,1 Ω e 0,2Ω, encontre a potência consumida pela lâmpada. Resp. 224 W 10) - Calcule as correntes de malha no circuito da figura a seguir. Resp. I1 = 2 mA, I2 = -3 mA, I3 = 4 mA 57 11) - Calcule as correntes de malha no circuito da figura a seguir. Resp. I1 = -2 mA, I2 = 6 mA, I3 = 4 mA 12) – Obtenha as correntes de malha no circuito da figura a seguir. Resp. I1 = - 0,879mA, I2 = -6,34mA, I3 = -10,1mA 13) – Obtenha as tensões nodais no circuito abaixo. Resp. V1 = -8V, V2 = 3V e V3 = 7V 14) - Encontre as tensões nodais no circuito da figura a seguir. Resp. V1 = 5V, V2 = -2V 15) - Encontre as tensões nodais no circuito mostrado abaixo. Resp. V1 = -63,5 V, V2 = 105,9 V 16) - Encontre as tensões nodais no circuito mostrado na figura abaixo. Resp. V1 = -2 V, V2 = 6 V, V3 = 4 V 17) – Obtenha as tensões nodais no circuito abaixo. Resp. V1 =4V, V2 = 6V; V3 = 2V e V4 = -2V 18) – Obtenha a potência dissipada pelo resistor de 10Ω do circuito abaixo. 58 Resp. P = 2W 59 CAPÍTULO V – TEOREMAS DE ANÁLISE DE CIRCUITOS 5.1 – Introdução Neste capítulo serão estudados os principais teoremas para análise de circuitos. Isso inclui os teoremas de Thévenin, de Norton, damáxima transferência de potência, de Millman e teorema da superposição. É importante a compreensão clara destes teoremas para diversas aplicações que serão vistas em outros cursos. Logicamente existe uma grande variedade de teoremas de circuitos elétricos, sendo o objetivo deste material, apenas apresentar os principais teoremas e não esgotar todo o assunto. 5.2 – Teorema de Thévenin Antes da explicação propriamente dita do teorema de Thévenin, vamos a alguns conceitos importantes. Circuito linear é aquele que possui elementos lineares e fontes independentes. Elemento linear é aquele que possui uma relação excitação-resposta linear, ou seja, dobrando-se a excitação, a resposta também dobra, triplicando-se a excitação, a resposta também triplica e assim por diante. Circuito bilateral é composto por elementos bilaterais e fontes independentes. Elemento bilateral é aquele que opera da mesma forma sobre uma excitação reversa exceto que a resposta é também reversa. • Resistores são ao mesmo tempo lineares e bilaterais quando possuem uma característica V x I que obedecem à lei de Ohm. Em muitos casos práticos existe a necessidade de determinar a tensão, corrente e potência em apenas um ramo (componente) do circuito. Assim, não existe a necessidade de determinação das tensões e correntes em todos os ramos do circuito. Neste contexto, os Teoremas de Thévenin e Norton permitem que seja determinado um circuito equivalente simples a partir de dois terminais, o qual pode substituir uma rede complexa e simplificar a resolução. O Teorema de Thévenin afirma que: “Qualquer circuito de corrente contínua linear bilateral de dois terminais pode ser substituído por um circuito equivalente constituído por uma fonte de tensão em série e um resistor em série como mostrado abaixo”. Figura 5.1 – Circuito equivalente de Thévenin 60 A seqüência de passos a seguir nos conduzirá aos valores corretos de VTh e RTh. Procedimento: 1. Remova a parte do circuito para o qual deseja obterá um equivalente de Thévenin. 2. Assinale os terminais do circuito remanescente. 3. Coloque todas as fontes em zero (substitua as fontes de tensão por curto-circuito e as fontes de corrente por circuito aberto) e em seguida determine a resistência equivalente entre os dois terminais escolhidos. (Ou seja, calcule RTh) [Veja figura 5.2] 4. Retorne todas as fontes às suas posições originais no circuito e em seguida determine a tensão entre os dois terminais. (Ou seja, calcule VTh). VTh deve ser calculada com o circuito aberto entre os terminais assinalados. Por isso VTh é as vezes designado por VOC. 5. Desenhe o circuito equivalente de Thévenin e recoloque entre os terminais do circuito equivalente a parte que foi removida. Voc - Tensão de circuito aberto (Open Circuit). Figura 5.2 – Remoção dos efeitos de fontes ideais EXEMPLO 5.1 Determine o circuito equivalente de Thévenin para a parte sombreada do circuito abaixo. Figura 5.3 – Exemplo 5.1 Passos 1 e 2: Removendo o resistor de carga RL e rotulando os terminais a e b obtém-se o circuito abaixo. Figura 5.4 – Exemplo 5.1 - Continuação Passo 3: Substituindo a fonte de tensão por um curto obtém-se o circuito abaixo. 61 Figura 5.5 – Exemplo 5.1 - Continuação Em que: Rth = R1//R2 = 3//6 = 2Ω Passo 4: Introduzindo novamente a fonte de tensão encontra-se o seguinte circuito: Figura 5.6 – Exemplo 5.1 - Continuação Pelo divisor de tensão pode-se calcular a tensão de circuito aberto: V RR R EVEV ThThOC 663 69 21 2 1 =+=+=== Passo 5: Desenhando o circuito equivalente: Figura 5.7 – Exemplo 5.1 - Continuação 62 5.3 – Teorema de Norton O Teorema de Norton afirma que: “Qualquer circuito de corrente contínua linear bilateral de dois terminais pode ser substituído por um circuito equivalente constituído por uma fonte de corrente e um resistor em paralelo como mostrado abaixo”. Figura 5.8 – Teorema de Norton A seqüência de passos a seguir nos conduzirá aos valores corretos de IN e RN. Procedimento: 1. Remova a parte do circuito para o qual deseja obterá um equivalente de Norton. 2. Assinale os terminais do circuito remanescente. 3. Coloque todas as fontes em zero (substitua as fontes de tensão por curto-circuito e as fontes de corrente por circuito aberto) e em seguida determine a resistência equivalente entre os dois terminais escolhidos. (Ou seja, calcule RN). Como RN = RTh este passo é idêntico ao passo 3 descrito para o teorema de Thévenin. [Veja figura 5.2] 4. Retorne todas as fontes às suas posições originais no circuito e em seguida determine a corrente de curto circuito (ISC) entre os terminais assinalados. Esta corrente é a própria corrente de Norton (IN). 5. Desenhe o circuito equivalente de Norton Thévenin e recoloque entre os terminais do circuito equivalente a parte que foi removida. ISC - Corrente de Curto Circuito (Short Circuit). EXEMPLO 5.2 Determine o circuito equivalente de Norton para a parte sombreada do circuito abaixo. Figura 5.9 – Exemplo 5.2 63 Passos 1 e 2: Removendo o resistor de carga RL e rotulando os terminais a e b obtém-se o circuito abaixo. Figura 5.10 – Exemplo 5.2 - Continuação Passo 3: Substituindo a fonte de tensão por um curto obtém-se o circuito abaixo. Figura 5.11 – Exemplo 5.2 - Continuação Em que: RN = R1//R2 = 3//6 = 2Ω Passo 4: Introduzindo novamente a fonte de tensão encontra-se o seguinte circuito: Figura 5.12 – Exemplo 5.2 - Continuação Como neste caso não há corrente pelo resistor R2, assim: VIRV 0)0.(6222 === AV R EII NSC 33 9 1 =Ω=== Passo 5: Desenhando o circuito equivalente: Figura 5.13 – Exemplo 5.2 – Continuação 64 Uma simples conversão indica que os circuitos de Thévenin e Norton, são de fato, os mesmos. Veja a figura abaixo. Figura 5.14 – Conversão entre circuitos equivalentes de Thévenin e Norton 5.4 – Teorema da Máxima transferência de potência O objetivo do teorema da Máxima transferência de potência é obter a máxima potência possível de uma rede qualquer. O teorema da Máxima transferência de Potência afirma que: “A potência transferida a uma carga por um circuito de corrente contínua linear bilateral será máxima quando a resistência desta carga for exatamente igual à resistência de Thévenin do circuito ligado a esta carga”. Figura 5.15 – Máxima transferência de Potência No caso da figura acima a potência fornecida à carga será máxima quando: THL RR = (5.1) Nas condições de máxima transferência de potência (RL=RTH), a potência fornecida para a carga (RL) será: TH TH L R VP 4 2 = (5.2) 65 O gráfico a seguir mostra a curva da Potência na carga (PL) em função da resistência da carga (RL) para o circuito da figura 5.13. Figura 5.16 – PL em função de RL para o circuito mostrado na figura anterior EXEMPLO 5.3 Para o circuito abaixo determine: a) O Valor de RL que produz a máxima dissipação de potência na carga. b) A máxima potência dissipada pela carga nas condições do item a. c) Plote o gráfico da potência na carga PL em função da resistência de carga (RL) Figura 5.17 – Exemplo 5.3 RESOLUÇÃO DO EXEMPLO 5.3 RESPOSTAS a) RL = 9Ω b) PLmax = 100W c) No caderno 66 CONTINUAÇÃO DA RESOLUÇÃO DO EXEMPLO 5.3 67 5.5 – Teorema de Millman Por meio da aplicação do teorema
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