estruturas hiperestática

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Introdução
Método dos Esforços
	Deslocamentos nas Estruturas
	Formulação do Método
Método dos Deslocamentos
	Ações de Engastamento Perfeito
	Formulação do Método
ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS
Universidade Federal do Espírito Santo
Prof. Pedro Sá
Bibliografia
Análise de Estruturas Reticuladas
	James Gere e William Weaver, Jr.
Curso de Análise Estrutural, Vols. 2 e 3
	José Carlos Süssekind
Análise Matricial de Estruturas
	Domício Falcão Moreira
Análise de Estruturas Reticuladas
	Humberto Lima Soriano e Sílvio Lima
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Introdução
Teoria das Estruturas
A Teoria das Estruturas estuda a distribuição, ao longo da extensão de um corpo sólido, dos esforços e deslocamentos que surgem em suas seções planas, provocados pelas cargas que ele recebe de agentes externos.
Estrutura é o conjunto das partes do corpo destinadas a receber, absorver e transmitir estas cargas.
As cargas são denominadas esforços externos ativos (previamente conhecidos) e provocam os esforços externos reativos e os esforços internos (ambos incógnitos).
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Introdução
Teoria das Estruturas
Este curso aborda a solução de Estruturas Reticuladas, isto é, constituídas por um conjunto de barras retas.
viga
pórtico plano
pórtico espacial
grelha
treliça plana
treliça espacial
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Introdução
Conceitos Básicos
Eixo: Lugar geométrico dos centróides das seções das barras que compõem a estrutura.
Nós: Pontos discretos dos eixos das barras, onde se pretende determinar os esforços e deslocamentos incógnitos.
São nós, obrigatoriamente, as extremidades das barras e os pontos que representam os apoios da estrutura.
Membro ou Elemento: segmento entre dois nós consecutivos.
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Introdução
Conceitos Básicos
Sistema Global (x,y,z) – SG: Sistema de eixos cartesianos ortogonais de referência da estrutura como um todo.
Sistemas Locais (xM,yM,zM) – SL: Sistemas de eixos cartesianos ortogonais de referência de cada membro ou elemento.
i: membro ou elemento
j: nó inicial
k: nó final
i
j
k
x
y
z
zM
xM
yM
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Introdução
Conceitos Básicos
Tipos de Nós:
Nó Rígido
Nó Flexível ou Rotulado
Nó Rígido - Rotulado
Nó Rígido: Transmite forças e momentos
Nó Flexível: Transmite apenas forças
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Introdução
Conceitos Básicos
Tipos de Apoios:
No plano x-y:
a: 
b: 
c: 
d: 
e: 
f: 
g: 
a
b
d
e
f
g
c
x
y
z
SG
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Introdução
Conceitos Básicos
Tipos de Elementos:
Elementos de pórtico espacial:
x
y
z
N,dz
T,qz
Mx,qx
Vx,dx
My,qy
Vy,dy
Elementos de pórtico plano:
x
y
z
N,dz
Mx,qx
Vy,dy
Elementos de grelha:
x
y
z
T,qz
Mx,qx
Vy,dy
Elementos de viga:
x
y
z
Mx,qx
Vy,dy
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Introdução
Conceitos Básicos
Tipos de Elementos:
Elementos de treliça espacial:
Elementos de treliça plana:
x
y
z
N, dz
dx
dy
x
y
z
dy
N, dz
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Introdução
O Problema da Teoria das Estruturas
As incógnitas de um problema de Análise de Estruturas Reticuladas são as reações de apoio e os esforços internos nos seus elementos, além dos deslocamentos de suas seções transversais (ou pontos dos seus eixos).
R1
R2
R3
R4
R5
d1
d2
d3
d4
Reações de Apoio: R1 a R5
Deslocamentos: d1 a d4
Os esforços internos são determinados pelo Método das Seções
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Introdução
Definição de Estrutura Hiperestática
As reações de apoio podem ser determinadas pelas equações de equilíbrio da Estática, levando em conta todos os esforços externos ativos e reativos da estrutura, e os esforços internos, pelo Método das Seções, o qual também utiliza as equações de equilíbrio da Estática, porém levando em conta os esforços internos numa determinada seção transversal e os esforços externos em um dos lados desta seção.
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Introdução
Definição de Estrutura Hiperestática
Em suma, o cálculo das reações de apoio e dos esforços internos pode ser feito por meio das equações de equilíbrio da Estática, escritas com base na aplicação do Método das Seções, isolando cada nó da estrutura.
Desta forma, as equações de equilíbrio dos esforços externos utilizadas para a determinação das reações de apoio estarão implicitamente consideradas.
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Introdução
Definição de Estrutura Hiperestática
Exemplo: 
Incógnitas: R1, R2, V1, V2, M1, M2
Equilíbrio do Nó 1:
Equilíbrio do Nó 2:
R1
V1
M1
1
M2
V2
3
R2
2
V2
M2
M1
V1
z
R1
R2
q
y
S1
S2
z1
z2
1
2
3
L1
L2
Equilíbrio do Nó 3:
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Definição de Estrutura Hiperestática
Se a estrutura contém vínculos que oferecem um número de ações externas reativas (reações apoio) superiores ao número de Equações de Equilíbrio da Estática, relativas somente aos esforços externos, ela é dita externamente hiperestática.
R1
R2
R3
q
z
y
Equações de Equilíbrio:
2 equações e 3 incógnitas
Incógnitas: R1, R2, R3
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Definição de Estrutura Hiperestática
Se a estrutura possui um número de elementos tal que o número de esforços internos incógnitos seja superior ao número de Equações de Equilíbrio da Estática oferecido pelo Método das Seções, ela é dita internamente hiperestática.
Equações de Equilíbrio:
3 equações e 6 incógnitas
R1
R2
R3
P1
x
y
P2
P3
S1
R2
P3
S1
V1
V2
M1
M2
N1
N2
Incógnitas: N1, M1, V1 , N2,M2, V2
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Introdução
Definição de Estrutura Hiperestática
O Grau de Hiperestaticidade ou de indeterminação estática de uma estrutura é a diferença entre o número de esforços incógnitos e o número de equações de equilíbrio da Estática aplicáveis, isto é, o número de equações complementares necessárias ao cálculo de todos os esforços na estrutura.
De um modo geral, pode ser calculado pela diferença entre o número de esforços incógnitos (o número de reações de apoio somado ao número de esforços internos em todos os elementos da estrutura) e o número de equações de equilíbrio da Estática, escritas com base na aplicação do Método das Seções, isolando cada um dos seus nós.
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Definição de Estrutura Hiperestática
Grau de Hiperestaticidade (g):
onde 
r é o número de reações de apoio,
i é o número esforços internos na seção do elemento,
m é o número de membros ou de elementos da estrutura,
e é o número equações de equilíbrio da Estática aplicáveis a cada nó da estrutura,
n é o número de nós da estrutura e
nr é o número de equações de equilíbrio adicionais, devidas às seções rotuladas.
Observação: Podem existir nós e elementos de natureza distinta na estrutura; nestes casos, os produtos im e en da fórmula podem se desdobrar em mais de uma parcela. 
número de incógnitas = r+Sim
número de equações = Sen+nr
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Introdução
Definição de Estrutura Hipergeométrica
Se a estrutura contém vínculos suficientespara evitar deslocamentos dos nós ou que, de alguma forma, se conheça todos os seus deslocamentos de nós, ela é dita isogeométrica. Caso contrário, a estrutura é hipergeométrica.
estrutura isogeométrica
estrutura hipergeométrica
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Introdução
Definição de Estrutura Hipergeométrica
O Grau de Hipergeometria ou de indeterminação cinemática de uma estrutura é o número de deslocamentos de nós incógnitos da estrutura, isto é, o número de equações necessárias à determinação destes deslocamentos.
O grau de hipergeometria de uma estrutura é facilmente determinado e é também conhecido como o número de graus de liberdade da estrutura, para deslocamentos de nós.
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Definição de Estrutura Hipergeométrica
Grau de Hipergeometria (d):
onde 
dL é o número de direções livres de cada nó e
n é o número de nós da estrutura.
Um nó de uma estrutura plana pode ter até três graus de liberdade. 
Nó de pórtico plano: dL = 3, dois deslocamentos lineares e um angular;
Nó de grelha: dL = 3, dois angulares e um linear;
Nó de viga: dL = 2, um linear e um angular.
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Definição de Estrutura Hipergeométrica
Como os elementos de treliça não transmitem momento, seus nós não estão sujeitos a deslocamentos angulares. 
Um nó de uma estrutura espacial pode ter até seis graus de liberdade. dL = 6, três deslocamentos lineares e três angulares.
Grau de Hipergeometria (d):
Nó de treliça plana: dL = 2, dois deslocamentos lineares;
Nó de treliça espacial: dL = 3, três deslocamentos lineares.
Nó de pórtico espacial: dL = 6, três deslocamentos lineares e três angulares.
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Definição de Estrutura Hipergeométrica
a
b
d
e
f
g
c
x
y
z
SG
Grau de Hipergeometria (d):
Apoios no plano x-y:
a,b: dL = 2,
c,d,e: dL = 1,
f,g: dL = 0
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Introdução
Métodos de Cálculo
Existem dois métodos de obtenção dos esforços e dos deslocamentos:
MÉTODO DOS ESFORÇOS ou MÉTODO DIRETO
MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS ou MÉTODO INDIRETO
O objeto da Teoria das Estruturas é a determinação de todos os esforços (externos e internos) que atuam numa determinada estrutura e dos deslocamentos de suas seções, isto é, da sua deformada.
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Introdução
Métodos de Cálculo
O Método dos Esforços ou Método Direto, também conhecido por Método da Flexibilidade, determina inicialmente os esforços e, posteriormente, os deslocamentos.
O Método dos Deslocamentos ou Método Indireto, também conhecido por Método da Rigidez, determina inicialmente os deslocamentos e, posteriormente, os esforços.
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Introdução
Métodos de Cálculo
As equações utilizadas são obtidas por meio de comparações entre a estrutura dada e uma outra estrutura, denominada Sistema Principal (SP), obtida da estrutura original por alterações nos seus vínculos.
No Método dos Esforços, o SP é uma estrutura isostática que, portanto, pode ser resolvida a partir das Equações de Equilíbrio da Estática.
As equações utilizadas neste método são Equações de Compatibilidade de Deslocamentos de Nós entre as duas estruturas.
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Métodos de Cálculo
As equações utilizadas são obtidas por meio de comparações entre a estrutura dada e uma outra estrutura, denominada Sistema Principal (SP), obtida da estrutura original por alterações nos seus vínculos.
No Método dos Deslocamentos, o SP é uma estrutura isogeométrica que pode ser resolvida pelo Método Direto.
As equações utilizadas são Equações de Equilíbrio de Esforços nos Nós correspondentes nas duas estruturas.
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Métodos de Cálculo
v
estrutura hiperestática
SP – Método Direto
SP – Método Indireto
M1
M21
M22
M3
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Métodos de Cálculo
v
Equação Utilizada pelo Método Direto:
v = 0
As alterações dos vínculos provocam o desaparecimento de esforços incógnitos que, por sua vez são aplicados ao SP. As equações utilizadas pelo Método Direto refletem a compatibilização entre os deslocamentos dos dois sistemas.
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Métodos de Cálculo
Equações Utilizadas pelo Método Indireto:
M1 = 0
M21 + M22 = 0
M3 = 0
As alterações dos vínculos provocam o desaparecimento de deslocamentos incógnitos que, por sua vez são impostos ao SP. As equações utilizadas pelo Método Indireto refletem as condições de equilíbrio dos esforços que atuam nos nós do SP, comparados aos que atuam na estrutura original.
M1
M21
M22
M3
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Fim do Capítulo
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