EDI 008 - 1

Prévia do material em texto

Aula 1 – Elementos Estruturais 
 
UNIDADE 1 – ANÁLISE ESTRUTURAL 
 
 
 
 
 
1 
 
 
Unidade 1 – Análise Estrutural 
 
Aula 1: Elementos Estruturais 
 
Para que consigamos entender bem os conceitos trabalhados nesta disciplina, é imprescindível 
que o aluno entenda bem alguns conceitos matemáticos envolvidos. Esta unidade inicial 
pretende relembrar alguns desses assuntos de forma rápida e concisa. Fica como sugestão 
uma consulta à literatura específica para que se rememore os temas das próximas aulas. 
 
1. Introdução à Análise Estrutural 
Pode-se definir estrutura como sendo: “A forma com que algo é composto“, “É o 
conjunto de elementos que compõe algo“. Essa definição pode ser aplicada a todo tipo de 
estrutura, organizacional, política, econômica, militar e civil dentre outras. Em se tratando 
de estruturas civis a estrutura é subdividida em “peças estruturais“ (elementos) como 
mostra a Figura. 
 
Cada parte que compõe a estrutura deve resistir aos esforços internos e retransmitir 
os esforços externos para as demais peças através dos vínculos que as unem, finalizando 
com a condução do esforço para o solo que deverá suportá-lo. A ciência responsável pelo 
estudo desses fenômenos referentes à estrutura civil é a engenharia estrutural, que é o 
Aula 1 – Elementos Estruturais 
 
ESTABILIDADE 
 
 
 
 
 
2 
 
 
ramo da engenharia civil dedicado primariamente ao projeto e cálculo de estruturas. De 
forma simplificada, é a aplicação da mecânica dos sólidos ao projeto de edifícios, pontes, 
muros de contenção, barragens, túneis e outras estruturas. 
2. Classificação dos Elementos Estruturais 
Os elementos estruturais em suas variedades podem ser classificados em três formas 
distintas: 
• Barras ou Fios: Caracterizado pela predominância de uma dimensão em 
relação às outras duas. Exemplos claros de elementos de barras ou fios são 
vigas (Figura), pilares, arcos, cabos etc. 
 
• Folhas: Caracterizado pela predominância de duas dimensões em relação a 
uma terceira. Os principais exemplos desse tipo de estrutura são as lajes e 
cascas. 
 
• Blocos: Em elementos classificados como blocos, não existe predominância 
entre as dimensões. Esse tipo de estrutura possui dimensões aproximadas nas 
Aula 1 – Elementos Estruturais 
 
UNIDADE 1 – ANÁLISE ESTRUTURAL 
 
 
 
 
 
3 
 
 
três direções. Os principais exemplos são as fundações tipos sapatas isoladas 
e blocos. 
 
2.1. Conceber Versus Dimensionar 
Pode-se começar a entender a definição dessas duas palavras da seguinte forma: é 
possível imaginar uma forma sem uma estrutura? É possível imaginar uma estrutura sem 
uma forma? “A estrutura e a forma, ou a estrutura e a arquitetura são um só objeto, e assim 
sendo, conceber uma implica em conceber a outra“. Na realidade tanto a estrutura e a 
forma dependem exclusivamente da sua destinação, em geral engenheiros têm como 
prioridade especificações técnicas e economia em detrimento a forma e estética, enquanto 
no ponto de vista de arquitetos a forma e a estética prevalece. 
2.2. Ações Sobre as Estruturas 
Como dito anteriormente a estrutura é o caminho de forças até o solo, desta feita, 
cabe-se perguntar: qual o melhor caminho estrutural a se seguir? A resposta para essa 
pergunta é um pouco complicada, uma vez a finalidade é importante em alguns casos 
estruturais. De uma forma geral as estruturas são compostas do conjunto viga, laje, pilar 
como representado na Figura: 
 
Aula 1 – Elementos Estruturais 
 
ESTABILIDADE 
 
 
 
 
 
4 
 
 
Em geral a melhor concepção tem que possuir: Funcionalidade, ser eficiente para o 
que foi prevista, Econômica e Bela, onde na maioria dos casos economia e beleza são 
inversamente proporcionais, ou seja, quanto mais bela menos econômica, ou quanto mais 
econômico menos belo. Para começar a entender o funcionamento e analisar as estruturas 
é de fundamental importância conhecer as forças que atuam sobre a mesma. 
 
Todas as ações dentro de um sistema estrutural são forças vetoriais, em sendo sua 
direção, sentido e intensidade influenciam diretamente na concepção estrutural da 
edificação. Adiante (futuras aulas) serão estudados os princípios básicos de manipulação de 
forças vetoriais. As ações sobre as estruturas verssão por dois tipos distintos, que são as 
cargas permanentes e as cargas acidentais. 
2.2.1. Cargas Permanentes 
As cargas permanentes sobre a estruturas são carregamentos que atuam em toda vida 
útil da mesma. Dentre as cargas permanentes pode-se exemplificar: peso próprio da 
estrutura, peso do revestimento, peso das paredes, etc. As cargas permanentes têm uma 
precisão numérica grande. 
2.2.2. Cargas Acidentais 
As cargas acidentais como o próprio nome diz acontece esporadicamente durante 
certo período de tempo, destacam-se as cargas: peso de ocupação de pessoas, peso dos 
móveis, peso dos veículos, força do vento, ação da chuva, etc. As cargas acidentais são 
geralmente tabeladas e normatizadas. As cargas acidentais previstas para o uso da 
construção correspondem normalmente a cargas verticais de uso da construção (prescritas 
na NBR 6118-2003), cargas móveis considerando o impacto vertical, impacto lateral, força 
longitudinal de frenagem ou aceleração e força centrífuga. 
3. Tipos de Solicitações em Estruturas 
As ações sobre as estruturas são as mais diversas possíveis, dentre as principais 
destacam-se: tração, torção, compressão, cisalhamento, flexão simples e composta, dentre 
outras. 
Aula 1 – Elementos Estruturais 
 
UNIDADE 1 – ANÁLISE ESTRUTURAL 
 
 
 
 
 
5 
 
 
 
Abaixo encontra−se a definição dessas solicitações: 
• Tração: caracteriza-se pela tendência de alongamento do elemento na 
direção da força atuante; 
• Compressão: a tendência é uma redução do elemento na direção da força de 
compressão; 
• Flexão: ocorre uma deformação na direção perpendicular à da força atuante; 
• Torção: forças atuam em um plano perpendicular ao eixo e cada seção 
transversal tende a girar em relação às demais; 
• Cisalhamento: forças atuantes tendem a produzir um efeito de corte, isto é, 
um deslocamento linear entre seções transversais. 
Além das solicitações sobre as estruturas, outro importante fator para se conceber 
uma estrutura são os critérios de projeto, a saber: 
• Equilíbrio: Conceber um arranjo estrutural capaz de absorver às solicitações 
externas e transmiti-las aos elementos de apoio mantendo-se em repouso; 
• Estabilidade: A configuração de equilíbrio do arranjo não pode ser alterada 
drasticamente na presença das imperfeições e das ações perturbadoras; 
• Resistência: O material das peças estruturais deve ser capaz de absorver o 
nível de solicitação interna gerado pelas ações externas sem comprometer a 
sua integridade física; 
• Rigidez: As peças estruturais devem ser capazes de absorver as ações externas 
sem apresentar grandes deslocamentos que comprometam sua 
funcionalidade. 
 
Aula 1 – Elementos Estruturais 
 
ESTABILIDADE 
 
 
 
 
 
6 
 
 
 
4. Unidades e Indexadores 
A unidades do Sistema Internacional se dão conforme tabelas abaixo. 
 
E ainda; 
 
Indexadores mais utilizados; 
 
 
Aula 1 – Elementos Estruturais 
 
UNIDADE 1 – ANÁLISE ESTRUTURAL 
 
 
 
 
 
7 
 
 
5. Introdução à Estática 
Os princípios da estática foram desenvolvidos por grandes cientistas que contribuíram 
para o incremento dessa parte da mecânica clássica. Aristóteles (384 a 322 a.C) deu início 
aos estudos dos movimentos de corpos celestes, desenvolvendo bases para formulação 
posterior de Newton sobre a lei fundamental da gravitação universal. 
Na era Alexandrina, (século IV a.C. até 30 a.C., ano da conquista do Egito por Roma), 
aparece duas figuras centrais,Euclides e Arquimedes, sendo Euclides responsável por uma 
das obras mais influentes da humanidade denominada, os "Elementos" (300 a.C.). 
Arquimedes (287 a 212 a.C) contempla com seus trabalhos o equilíbrio de alavancas, 
roldanas e polias, além da clássica lei do empuxo. Arquimedes é tido por muitos como o pai 
da matemática, uma de suas obras mais importantes é o livro "Sobre o Equilíbrio dos 
Planos", onde ele desenvolve as regras da estática. Ainda sobre Arquimedes destaca-se a 
celebre frase: "Dê-me um ponto de apoio e eu moverei a terra". 
Segundo (Arruda, 2001), o primeiro estudo ligado a resistência dos materiais deve ser 
atribuído a Leonardo da Vince (1452 - 1519), com os primeiros ensaios de tração em fios 
metálicos, entretanto a primeira abordagem científica desse assunto foi atribuída ao 
cientista nascido em Pisa chamado Galileu Galilei. 
Galileu Galilei (1564 a 1642) descobriu a lei dos corpos, enunciou o princípio a inércia e 
o conceito de referencial inerciai, ideias precursoras da Mecânica newtoniana. Os dois 
primeiros capítulos do seu livro "Diálogos sobre Duas Novas Ciências" traz referências ao 
estudo de barras e vigas engastadas (Figura). 
 
Aula 1 – Elementos Estruturais 
 
ESTABILIDADE 
 
 
 
 
 
8 
 
 
Um pouco antes da mecânica newtoniana se estabelecer como uma das maiores 
contribuições do homem a ciência, surge em Robert Hooke (1635 a 1703), que estudou a 
resistência dos materiais e deixou como legado a conhecida Lei de Hooke publicada em 
1676. 
Isaac Newton (1642 a 1727) Desenvolvedor da denominada Mecânica Newtoniana, sir 
Isaac Newton desenvolveu os princípios da Dinâmica enumerando as três leis, além da 
gravitação universal, cálculo diferencial e integral. 
No século 18, é marco para as maiores contribuições a mecânica dos sólidos, partindo 
dos princípios enumerados por Sir. Newton, os irmãos Bernoulli Jaques e Johan, 
desenvolveram estudos de vigas em balanço, rotação de vigas, problemas de dinâmica e o 
princípio dos deslocamentos virtuais. Seguindo os princípios de uma família de cientistas, o 
filho de Johan, Daniel Bernoulli, desenvolveu junto com seu então aluno Leonard Euler 
(1707-1783) a teoria de flexão em vigas batizada e ainda válida até hoje de teoria de Euler-
Bernoulli. 
Destaca-se ainda contribuições mais recentes a resistência dos materiais, como a 
teoria de Timoshenko (1878 a 1972), para vigas com cisalhamento, denominadas vigas de 
Timoshenko. 
Albert Einstein (1879 a 1955) descobriu as limitações da mecânica Newtoniana, 
entretanto em sistemas de Engenharia, a base está fundamentada na Mecânica Clássica de 
Newton. 
5.1. Mecânica Newtoniana 
A Mecânica de Newton é uma teoria que versa sobre o movimento dos corpos e suas 
causas. A essência da teoria foi publicada pelo inglês Isaac Newton no seu livro Phílosophíae 
Naturalís Príncípía Mathematíca (Princípios Matemáticos da Filosofia Natural) publicado no 
ano de 1687, mas notáveis contribuições à física já tinham sido feitas (principalmente por 
Galileu) ao fazer seus experimentos que contradisseram a teoria aristotélica. 
No entanto, a teoria como está aqui exposta se vale de uma nova roupagem 
matemática e conceitual desenvolvida nos séculos que se seguiram. Nos anos que se 
seguiram a Newton, diversos físicos e matemáticos aplicaram essa teoria ao movimento dos 
corpos na terra e também ao movimento dos corpos celestes, desenvolvendo assim o 
grande triunfo da teoria newtoniana: a Mecânica Celeste. 
Aula 1 – Elementos Estruturais 
 
UNIDADE 1 – ANÁLISE ESTRUTURAL 
 
 
 
 
 
9 
 
 
Essa teoria se aplicou com bastante sucesso aos resultados experimentais até 
enfrentar problemas no final do século XIX e início do século XX. A mecânica de Newton 
pode ser entendida pelos seis princípios fundamentais (Figura). 
 
5.1.1. Lei do Paralelogramo para Adição de Forças 
Estabelece que duas forças atuando numa partícula possam ser substituídas por uma 
única força, chamada resultante, obtida traçando a diagonal do paralelogramo que tem por 
lados as duas forças dadas (Figura). 
 
5.1.2. 1ª Lei de Newton 
Se a resultante das forças que atuam numa partícula é nula, esta permanecerá em 
repouso (se estava inicialmente em repouso) ou mover-se-á com velocidade constante 
segundo uma linha reta (se estava inicialmente em movimento). 
5.1.3. 2ª Lei de Newton 
Se a resultante que atua sobre um ponto material não é zero, este terá uma aceleração 
proporcional à intensidade da resultante e na direção desta, com o mesmo sentido, sendo 
sua equação descrita na forma simplificada pela Equação: 
Aula 1 – Elementos Estruturais 
 
ESTABILIDADE 
 
 
 
 
 
10 
 
 
F⃗ = m . a⃗ 
5.1.4. 3ª Lei de Newton 
As forças de ação e reação entre corpos interagindo têm as mesmas intensidades, 
mesmas linhas de ação e sentidos opostos. 
5.1.5. Princípio da Transmissibilidade 
Estabelece que as condições de equilíbrio ou de movimento de um corpo rígido não se 
alteram se substituirmos uma força atuando num ponto do corpo por outra força com a 
mesma intensidade, direção e sentido, mas atuando em um outro ponto do corpo, desde 
que ambas as forças possuam a mesma linha de ação. 
 
5.1.6. Lei da Gravitação Universal 
Estabelece que dois pontos materiais de massas M e m são mutuamente atraídas com 
forças iguais e opostas F e -F de intensidade F dada por 
F = 
M .m
r2
 . G 
onde r é a distância que separa os corpos e G é a constante da gravitação universal. O 
Exemplo abaixo ilustra como funcionam alguns a aplicação dos princípios da mecânica 
newtoniana. 
Exemplo: Dado o pórtico abaixo identificar os princípios da mecânica de newton. 
Aula 1 – Elementos Estruturais 
 
UNIDADE 1 – ANÁLISE ESTRUTURAL 
 
 
 
 
 
11 
 
 
 
Se as forças T = 2 kN e a força P = 1,5 kN, qual será a resultante? No caso numérico 
acima o método gráfico ilustra claramente a direção da força resultante, entretanto para se 
achar a intensidade da mesma deve-se recorrer às equações clássicas da matemática 
vetorial: a lei dos senos e dos cossenos. 
5.1.7. Lei dos Cossenos 
Dados dois vetores como indicado na Figura abaixo, a lei dos cossenos retornará a 
resultante desses vetores: 
r = √a2 + b2 + 2 . a . b . cos θ 
 
Aula 1 – Elementos Estruturais 
 
ESTABILIDADE 
 
 
 
 
 
12 
 
 
Para vetores com a posição ponta-cauda como mostrado na Figura abaixo, a lei dos 
cossenos se resume à Equação: 
r = √a2 + b2 − 2 . a . b . cos θ 
 
 
5.1.8. Lei dos Senos 
Uma segunda lei muito importante para o estudo da estabilidade das construções está 
na chamada lei dos senos. A lei dos senos leva em consideração o lado de um vetor fechado 
em forma de triângulo e seu respectivo ângulo oposto. 
 
𝑎
𝑠𝑒𝑛 𝛼
= 
𝑏
𝑠𝑒𝑛 𝛽
= 
𝑐
𝑠𝑒𝑛 𝛿
 
Exemplo: Encontrar a resultante dos vetores mostrados na figura abaixo e o ângulo 
que a resultante faz com o eixo horizontal. 
r = √a2 + b2 + 2 . a . b . cos θ 
r = √22 + 1,52 + 2 .2 . 1,5 . cos 120 
r = 1,083 𝑘𝑁 
Aula 1 – Elementos Estruturais 
 
UNIDADE 1 – ANÁLISE ESTRUTURAL 
 
 
 
 
 
13 
 
 
 
 
a
sen α
= 
b
sen β
= 
c
sen δ
 
R
sen 60
= 
P
sen x
 
sen x = 
1,5
1,803 . sen 60
 
x = 46,10o ∴ ÂnguloH = 16,10
o 
Exemplo: Calcule o a tração nos cabos da figura abaixo: 
 
Aula 1 – Elementos Estruturais 
 
ESTABILIDADE 
 
 
 
 
 
14 
 
 
∑ Fx = 0 e ∑ Fy = 0 
TAB . cos 30o - TAC . cos 50o = 0 
TAB . sen 30o + TAC sen 50o = 0 
0,866 . TAB – 0,643 . TAC = 0 
0,5 . TAB + 0,766 . TAC = 750 
TAB = 486,84 kN 
TAC = 657,89 kN 
 
 
 
 
 
 
 
Baseado e adaptado de 
Rodrigo Mero Sarmento da 
Silva. Edições sem prejuízo de 
conteúdo.