AP2 - Matemática para Administradores (Tipo B) - Gabarito (2014.1)

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Gabarito da Avaliação Presencial – AP 2 
Período – 2014 / 1 
Disciplina: Matemática para Administradores 
Notemos que as três primeiras questões da AP2 Tipo A e Tipo B são iguais. Logo colocaremos a resposta 
apenas na Tipo A. 
 
TIPO A 
QUESTÃO 1 – (Valor 1,0 – cada item): Justifique porque em cada gráfico abaixo a função não é contínua 
em x = 1. 
1.1) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.2) 
)1()(lim
1
fxf
x
≠
→
 
 
)(lim
1
xf
x→
∃/
 
 
QUESTÃO 2 – (Valor 0,5 – cada item): Calcule os seguintes limites: 
 
2.1) 2
2
73
23lim
x
x
x +
+−
−∞→
= 7
3
07
03
)/37(
)/23(lim)/37(
)/23(lim 2
2
22
22
−=
+
+−
=
+
+−
=
+
+−
−∞→−∞→ x
x
xx
xx
xx
 
2.2) ( )2341lim xx
x
−−
+∞→
 = ( ) ( ) −∞=−−=−−
+∞→+∞→
300lim3/4/1lim 222 xxxx
xx
 
2.3) 
xx
x
x 52
1lim 3 +
+
−∞→
 = 0
1
)52(
)/11(lim)52(
)/11(lim 22 =
∞
=
+
+
=
+
+
−∞→−∞→ x
x
xx
xx
xx
 
2.4) +−
→
=
−
=
−−
−
− 0
1
0
1
82
3lim 24 xx
x
x
= +∞ (Lembre-se que este limite é do tipo constante sobre zero e 
precisamos saber o sinal da função na vizinhança à esquerda de x = 4). 
 
QUESTÃO 3 – (Valor 2,0): Uma população de abelhas varia de acordo a função 




≥+−
<−
= 5 ,725
5 ,43
)(
2
t
t
tt
tP , 
onde t é o tempo em meses após a aplicação de um medicamento para evitar doenças nas abelhas. Pede-se: 
3.1) qual será a população quando t tende a +∞ ? 
 
72720725lim)(lim =+=+−=
+∞→+∞→ t
tP
tt
 
 
3.2) esta função é contínua para t = 5 meses? Primeiramente vamos calcular os limites laterais para saber se 
o limite existe em t = 5. 
7172172
5
5725lim)(lim
55
=+−=+−=+−=
++ →→ t
tP
tt
 
 
y 
x 1 
y 
x 1 
714754)5(343lim)(lim 22
55
=−=−=−=
−− →→
ttP
tt
 
Logo existe limite da função P(t) em t = 5meses, ou seja, 
5
lim
→
∃
t
e este limite é 71 abelhas. Para calcular 
P(5) usamos a lei 725 +−
t
, pois esta é válida para t = 5! Portanto, 7172172
5
5)5( =+−=+−=P e 
assim concluímos que P é contínua em t = 5, pois )5(71)(lim
5
PtP
t
==
→
. 
 
 
Os cálculos das questões 4 e 5 não serão considerados. O aluno só precisa marcar a resposta correta à caneta. 
QUESTÃO 4 – (Valor 0,5 – cada item): Derive as funções da Primeira Coluna no ponto xo indicado e 
corresponda a segunda coluna de acordo com a primeira. 
Primeira Coluna Segunda Coluna 
(A)
2
8)(
2
−
−
=
x
x
xf em xo = 0 
2
2
2
22
2
2
)2(
84
)2(
842
)2(
)8()2(2)(
−
+−
=
−
+−−
=
−
−−−
=′
x
xx
x
xxx
x
xxx
xf 
2
4
8
)20(
80.40)0( 2
2
==
−
+−
=′f 
2
7 ( B) 
(B) 51
2
)( 2
3
+−=
x
x
xf em xo = 1 
3
232 4
2
30)2(
2
3)(
x
xxxxf +=+−−=′ − 
2
72
2
3
)1(
2)1(
2
3)1( 32 =+=+=′f 
 
8 ( C ) 
(C) x
xx
xf 312)( 2 +−= em xo = -1 
3143)2(2)( 323 ++−=++−=′ −−
xx
xxxf 
83143
)1(
1
)1(
4)1( 3 =++=+
−
+
−
−=−′f 
3 ( D ) 
(D) xxxxf +−=
2
2)(
2
3
 em xo = 4 
131
2
2
2
32)( 21 +−=+−=′ xxxxxf 
3146161443)4( =+−=+=+−=′f 
2 (A) 
 
QUESTÃO 5 – (Valor 2,0): A função custo de fabricação de um produto é 1102
3
2
3
++−= xx
xCT e a 
função demanda do mesmo produto é p = 10 – x. Que preço p deve ser cobrado para maximizar o lucro? 
a) 6 b) 8 c) 9 d) 7 e) N.R.A. 
Escolha (a)s opção(ões) acima e considere que N.R.A. significa Nenhuma das Respostas Anteriores. 
 
RT = (Preço de venda) . (quantidade) = (10 – x) x = 10x – x2 
LT = RT – CT = 10x – x2 11023
2
3
−−+− xx
x
 = 1
3
2
3
−+− x
x
 
L’T = – x2 + 2x = x (–x + 2) = 0 ⇒ x = 0 ou x = 2. O zero ou o dois são candidatos a máximos ou 
mínimos locais. São chamados de números críticos. Para saber se são ou não máximos ou mínimos 
podemos fazer o Teste da Primeira ou Segunda Derivada. Desta vez vamos fazer o Teste da Segunda 
Derivada. 
 
Teste da Segunda Derivada para Extremos Relativos: Seja f derivável em ]a;b[. Se xo ∈ ]a;b[ é tal 
que f ‘(x) existe e é contínua numa vizinhança de xo, então: 
a) se f ” (xo) < 0, é o ponto máximo relativo. 
b) se f ”(xo) > 0, é o ponto mínimo relativo. 
 
Desta forma, vamos calcular LT’’(x) = – 2x + 2. Calculando L’’T (0) = 2 > 0 então x = 0 é abscissa de 
ponto de mínimo. LT’’ (2) = –2 (2) +2 = –2 < 0, que é abscissa de ponto de máximo. 
 
Podemos dizer que a quantidade x = 2 maximiza o Lucro. Para saber o preço que está associado a esta 
quantidade é só utilizar a função demanda p = 10 – x, logo p = 10 – 2 = 8 u.m. Resposta: Letra B. 
 
 
TIPO B 
Os cálculos das questões 4 e 5 não serão considerados. O aluno só precisa marcar a resposta correta à caneta. 
QUESTÃO 4 – (Valor 0,5 – cada item): Derive as funções da Primeira Coluna no ponto xo indicado e 
corresponda a segunda coluna de acordo com a primeira. 
Primeira Coluna Segunda Coluna 
(A)
2
2)(
2
−
+
=
x
x
xf em xo = 0 
2
2
2
22
2
2
)2(
24
)2(
242
)2(
)2()2(2)(
−
−−
=
−
−−−
=
−
+−−
=′
x
xx
x
xxx
x
xxx
xf 
2
1
4
2
)20(
20.40)0( 2
2
=−=
−
−−
=′f 
0 ( C ) 
(B) 51
2
)(
3
−−=
x
x
xf em xo = 1 
3
232 1
2
30)1(
2
3)(
x
xxxxf +=+−−=′ − 
2
51
2
3
)1(
1)1(
2
3)1( 32 =+=+=′f 
 
 
2
1
− ( A ) 
(C) x
xx
xf 312)( 2 −+= em xo = -1 
3143)2(2)( 323 −−−=−−−=′ −−
xx
xxxf 
03143
)1(
1
)1(
4)1( 3 =−−=−
−
−
−
−=−′f 
7 ( D ) 
(D) xxxxf −−=
2
4)(
2
3
 em xo = 4 
161
2
2
2
34)( 21 −−=−−=′ xxxxxf 
714121446)4( =−−=−−=′f 
2
5
 ( B ) 
QUESTÃO 5 – (Valor 2,0): A função custo de fabricação de um produto é 1102
3
2
3
++−= xx
xCT e a 
função demanda do mesmo produto é p = 10 – x. Qual a quantidade x que deve ser produzida para maximizar o 
lucro? 
a) 7 b) 9 c) 6 d) 2 e) N.R.A. 
Escolha (a)s opção(ões) acima e considere que N.R.A. significa Nenhuma das Respostas Anteriores. 
 
RT = (Preço de venda) . (quantidade) = (10 – x) x = 10x – x2 
LT = RT – CT = 10x – x2 11023
2
3
−−+− xx
x
 = 1
3
2
3
−+− x
x
 
L’T = – x2 + 2x = x (–x + 2) = 0 ⇒ x = 0 ou x = 2. O zero ou o dois são candidatos a máximos ou 
mínimos locais. São chamados de números críticos. Para saber se são ou não máximos ou mínimos 
podemos fazer o Teste da Primeira ou Segunda Derivada. Desta vez vamos fazer o Teste da Segunda 
Derivada. 
 
Teste da Segunda Derivada para Extremos Relativos: Seja f derivável em ]a;b[. Se xo ∈ ]a;b[ é tal 
que f ‘(x) existe e é contínua numa vizinhança de xo, então: 
a) se f ” (xo) < 0, é o ponto máximo relativo. 
b) se f ”(xo) > 0, é o ponto mínimo relativo. 
 
Desta forma, vamos calcular LT’’(x) = – 2x + 2. Calculando L’’T (0) = 2 > 0 então x = 0 é abscissa de 
ponto de mínimo. LT’’ (2) = –2 (2) +2 = –2 < 0, que é abscissa de ponto de máximo. 
 
Podemos dizer que a quantidade x = 2 maximiza o Lucro. Resposta: Letra D.