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Jogos Matemáticos
Alessandro Ferreira Alves
Sumário
CAPÍTULO 1 – Regime de Capitalização Simples ...............................................................05
Introdução ....................................................................................................................05
1.1 Conceitos Básicos ....................................................................................................06
1.1.1 Capital, Montante, Taxa e Prazo ........................................................................07
1.1.2 Diagrama de Fluxo de Caixa ............................................................................08
1.2 Fórmula Característica dos Juros Simples ....................................................................10
1.3 Taxas Proporcionais e Taxas Equivalentes ....................................................................14
1.3.1 Taxas Proporcionais .........................................................................................14
1.3.2 Taxas Equivalentes ...........................................................................................15
1.3.3 Capitais Equivalentes .......................................................................................16
1.4 Descontos no Regime de Capitalização Simples ...........................................................19
1.4.1 Desconto por Fora ou Desconto Bancário ..........................................................20
1.4.2 Desconto por Dentro ou Desconto Racional ........................................................21
Síntese ..........................................................................................................................23
Referências Bibliográficas ................................................................................................24
03
Capítulo 1 
Introdução
Ao longo do tempo, seja por motivo pessoal ou profissional, todos nós enfrentamos situações na 
área econômico-financeira que envolvem tomadas de decisões com alternativas que se aplicam 
aos estudos da área financeira. Não é uma tarefa simples tomar decisão quando falamos em 
finanças de uma forma geral. Nessa direção, especificamente falando, para que possamos ana-
lisar investimentos, devemos levar em consideração uma série de fatores, como o tipo de série de 
anuidade aplicada, o custo do capital utilizado, o prazo da operação, o retorno do investimento 
e a taxa implícita de juros para confirmarmos ou não a viabilidade do projeto em questão. Po-
demos enumerar uma série de exemplos práticos que envolvem a Matemática Financeira, tais 
como: Quais as melhores taxas e situações para adquirir um veículo zero quilômetro? Qual das 
opções de investimentos é a mais favorável para a minha empresa? É melhor comprar no siste-
ma SAC ou PRICE? Qual o regime de capitalização que incide na cobrança de juros do cheque 
especial? Saberia descrever, algebricamente, os juros relativos à sua caderneta de poupança, 
ou, ainda, relativos ao seu cartão de crédito? Todos esses questionamentos são pertinentes e 
analisados pela Matemática Financeira, que nos fornece subsídios e técnicas para sua adoção 
ou não. A grosso modo, a Matemática Financeira é uma subárea da Matemática Aplicada, que 
estuda a evolução do dinheiro ao longo do tempo, ou seja, é uma ferramenta indispensável para 
a maximização de resultados e de fundamental importância para o entendimento acerca do es-
quema pelo qual será cobrado o juro pelo aluguel de um capital em determinado período, que 
são chamados de regimes de capitalização. Segundo SAMANEZ (2006), postergar uma entrada 
de caixa (recebimento) por certo tempo envolve um sacrifício, o qual deve ser pago mediante 
uma recompensa, definida pelos juros. Dessa maneira, são os juros que efetivamente induzem 
o adiamento do consumo, permitindo a formação de poupanças e novos investimentos na Eco-
nomia. Um dos elementos básicos que apresentaremos na descrição da Matemática Financeira 
é o conceito de taxas de juros, porém tais taxas devem ser eficientes de maneira a remunerar:
•	 O risco envolvido na operação (empréstimo ou aplicação) representado em linhas gerais 
pela incerteza com relação ao futuro.
•	 A perda do poder de compra do capital motivada pela inflação. Note que a inflação, 
termo que ouvimos todos os dias, é um fenômeno que desgasta o capital, determinando 
o volume cada vez menor de compra com o mesmo montante.
•	 O capital emprestado/aplicado. Os juros devem gerar um lucro (ou ganho) ao proprietário 
do capital como forma de compensar a sua privação por determinado período de tempo.
Nesse sentido, o objetivo geral deste capítulo é apresentar a você a definição de regime de ca-
pitalização simples, além de analisar a resolução de problemas financeiros e comerciais básicos. 
Sendo assim, abordaremos os seguintes temas neste capítulo:
•	 conceitos básicos;
•	 fórmula de juros simples e montante;
•	 taxas proporcionais;
•	 desconto no regime de capitalização simples.
05
Regime de 
Capitalização Simples
06 Laureate- International Universities
Matemática para gestores
1.1 Conceitos Básicos
Nos dias atuais, sabemos que somos eternos consumidores, sendo que quase sempre compra-
mos por impulso, ou seja, não sabemos poupar para comprar à vista. Por exemplo, nos preços 
de vendas de objetos mostrados em vitrines de lojas de departamentos, geralmente observamos 
dizeres como R$	2.500,00	à	 vista ou em	4	prestação	de	R$	535,00. Obviamente, quando 
compramos a prazo, precisamos pagar por isso, ou seja, o preço irá aumentar. 
Na visão de quem vende, tudo ocorre como se ele emprestasse R$ 2.500,00 para quem compra, 
que terá de pagar um acréscimo referente ao aluguel do dinheiro por esse período, sendo que 
tal acréscimo é o que chamamos de juros. 
Analogamente, percebemos que o mesmo acontece nos empréstimos pessoais e empresarias 
em bancos ou nos financiamentos de bens. O que deve ser observado é que tais juros não são 
calculados usualmente da mesma forma. Sendo assim, temos de entender o esquema pelo qual 
eles são determinados. 
Quando os juros são determinados sobre a quantia inicial, temos o regime	de	capitalização	
simples (ou regime	linear	de	juros) e, quando os juros são calculados sobre a quantia do pe-
ríodo anterior, temos o regime	exponencial	de	juros (ou regime	de	juros	compostos).
Regime de
Capitalização
Simples
 São caracterizados como uma progressão
aritmética (PA), crescendo os juros de forma
linear ao longo do tempo. Nesse critério, os juros
são determinados apenas sobre a quantia inicial.
Regime de
Capitalização
Composto
 Existe a incorporação ao capital não somente dos
juros referentes a cada período, mas também dos juros
sobre os juros acumulados até o momento anterior. 
Equivale a uma progressão geométrica (PG). 
Popularmente, aparece o termo "juros sobre juros". 
Figura 1 – Diferenciando os regimes de capitalização.
Fonte: Elaborado pelo autor, 2015.
É importante salientar que diversos fatores podem interferir de forma direta na preferência ou não 
pela posse de dinheiro no momento atual. Ou seja, se você tem disponível certa quantia, você 
pode optar em aplicar essa quantia ou utilizá-la para comprar algo neste instante, ou, até mesmo, 
emprestar para alguém. Sendo assim, as razões que influenciam nessa escolha são as seguintes:
•	 Risco: sempre haverá o risco de não receber os valores programados em decorrência de 
fatos imprevistos.
•	 Utilidade: o investimento implica deixar de consumir hoje para consumir no futuro, o que 
somente será atraente se existir alguma compensação.
•	 Oportunidade: se os recursos monetários são limitados, a posse deles, no presente, 
permite aproveitar as oportunidades mais rentáveis que surgirem.
07
1.1.1 Capital, Montante, Taxa e Prazo
Cabe ressaltar que, independentemente de como serão caracterizados os jurosda operação fi-
nanceira a ser analisada, bem como para o entendimento das situações financeiras que cercam 
a Matemática Financeira e a Gestão de Negócios, a fundamentação de todas essas teorias são 
caracterizadas por elementos fundamentais, que são o capital	inicial, a taxa	de	juros, os juros, 
o tempo, o valor	futuro ou montante e o valor	da	prestação	em	uma	série	uniforme, que 
são descritos a você a seguir. Veja: 
•	 Valor	 Presente (ou Capital	 Inicial ou Principal): é a quantia inicial de moeda (ou 
dinheiro) que uma pessoa tem disponível para emprestar a outra por um período 
especificado de tempo mediante pagamento de relativa remuneração. É proveniente do 
inglês Present Value. As notações mais utilizadas são PV, P ou C.
•	 Taxa	 de	 Juros: proveniente do termo em inglês interest rate. A taxa de juros está 
associada ao seu modo de incidência, ou seja, ela pode ser mensurada diariamente, 
mensalmente, trimestralmente, anualmente etc. Podemos descrevê-la na forma percentual 
(2% ao mês, 12,5% ao ano) ou na forma unitária (0,02 ao mês, 0,125 ao ano). Usualmente 
é representada pela letra i.
•	 Juros: como dito anteriormente, os juros equivalem ao aluguel do dinheiro em determinado 
período, ou, ainda, é a nomenclatura que utilizamos para mensurar a remuneração paga 
para que alguém ceda por um determinado período o capital que possui disponível. 
Geralmente, utilizamos a notação J.
•	 Valor	Futuro ou Montante: é a soma entre o valor presente e os juros. É interessante 
frisar que nas operações padronizadas de desconto comercial ou desconto bancário o 
valor futuro também é chamado de valor	 nominal. Recebe este nome por conta da 
expressão inglesa Future Value. Utilizamos a notação FV ou M.
•	 Tempo ou período	de	capitalização: representa a duração (em dias, meses, trimestre, 
anos etc.) da operação financeira analisada. Geralmente, é descrito em unidades do 
período a que se refere. A notação a ser empregada é n.
•	 Valor	da	Prestação	em	uma	Série	Uniforme: é o valor de cada prestação da Série	
Uniforme (Periodic Payment) que ocorre no final de cada período, ou seja, corresponde 
ao valor monetário de cada uma das prestações iguais colocadas no diagrama padrão do 
fluxo de caixa quando n = 1, 2, 3 etc. Utiliza-se a representação PMT.
Present Value
(Valor Presente)
Taxa
de Juros Juros
Future Value
(Valor Futuro) Tempo
Valor da
Prestação em uma
Série Uniforme
Figura 2 – Elementos básicos da Matemática Financeira.
Fonte: Elaborado pelo autor, 2015.
08 Laureate- International Universities
Matemática para gestores
A taxa de juros na verdade representa o valor do juro em uma certa unidade de tempo 
que pode ser expressa como uma porcentagem do capital.
NÓS QUEREMOS SABER!
1.1.2 Diagrama de Fluxo de Caixa
Sobre essa importante ferramenta gráfica para a interpretação das operações financeiras, acom-
panhe a situação introdutória a seguir.
Alessandro viaja com sua família em um final de semana para a cidade de Poços de Caldas, em 
Minas Gerais. Seu filho Cauã, de 8 anos, olha a vitrine de uma loja e fica interessado em uma blu-
sa. Alessandro pergunta à vendedora o valor da blusa e esta lhe fala que a blusa custa R$ 100,00 
à vista ou pode ser comprada em duas prestações iguais (entrada no ato da compra) no valor de 
R$ 60,00. Dessa maneira, qual é a taxa mensal de juros cobrada pela loja nessa situação?
Se fôssemos responder de forma rápida e direta, poderíamos pensar que a taxa de juros é de 
20%, já que o preço à vista é de R$ 100,00 e o valor total parcelado é de R$ 120,00, ou seja, 
R$ 20,00 de juros. 
Todavia, esse raciocínio não é coerente, pois, em verdade, o valor financiado no momento inicial 
seria de R$ 40,00 (R$ 100,00 menos a entrada de R$ 60,00), e como Alessandro teria que pagar 
mais R$ 60,00 em 30 dias (1 mês), ele pagaria R$ 20,00 de juros sobre o valor financiado de 
R$ 40,00. Sendo assim, 50% é o valor da taxa de juros nessa situação. 
Tal situação introdutória nos mostra que, mesmo sendo uma situação simples e comum do nosso 
cotidiano, é de fundamental importância o perfeito entendimento dos juros. Assim, para situ-
ações como essa e outras mais complexas, devemos utilizar o Diagrama	de	Fluxo	de	Caixa	
(DFC), representação geométrica que permite a interpretação da movimentação de recursos ao 
longo do tempo (entradas e saídas	de	caixa). 
Em linhas gerais, com relação a um DFC, temos os seguintes elementos: 
•	 A escala	horizontal representando o tempo, que pode ser expresso em meses, trimestres, 
anos etc.
•	 Os pontos 0 e n indicando as posições relativas entre as datas. Assim, o 0 representa a 
data	inicial, enquanto o ponto n representa o número de períodos passados.
•	 As entradas	de	dinheiro correspondendo aos recebimentos, sendo que tais entradas 
são identificadas com o sinal	positivo e descritas geometricamente por setas	para	cima.
•	 As saídas	 de	 dinheiro equivalendo aos pagamentos, sendo que tais saídas são 
identificadas com o sinal	negativo e descritas geometricamente por setas	para	baixo.
Observe na figura 3 as duas situações gerais representadas em um diagrama de fluxo de caixa. 
09
Operação de Empréstimo
Valor Presente
0 0n n
Valor Presente
Período de capitalização
Período de capitalização
Operação de Aplicação
Valor Futuro
Valor Presente
+
Juros
Valor Futuro
Valor Presente
+
Juros
Figura 3 – Elementos básicos da Matemática Financeira.
Fonte: Elaborado pelo autor, 2015.
A figura abaixo nos mostra a representação do DFC da situação introdutória. Veja: 
$100,00
$60,00 $60,00
$60,00
$40,00$40,00
0 1 00 1
Fluxo de caixaFluxo de caixa
líquido da operaçãolíquido da operação
Figura 4 – O DFC da situação introdutória.
Fonte: Elaborado pelo autor, 2015.
O livro Matemática Financeira: aplicações à análise de investimentos, de Carlos P. 
Samanez (2007), traz mais exemplos sobre a aplicabilidade do Diagrama de Fluxo de 
Caixa na gestão financeira.
NÃO DEIXE DE LER...
Vejamos, a seguir, mais um exemplo envolvendo o DFC.
10 Laureate- International Universities
Matemática para gestores
A AFA Logística está empreendendo um novo negócio na cidade de São Paulo. Tal empresa pensa 
em abrir uma nova instalação física, com um investimento inicial de R$ 900.000,00. Os gastos 
anuais relacionados aos seis anos de vida do negócio são mensurados em R$ 80.000, enquanto 
as receitas são mensuradas em R$ 200.000,00. Qual seria a representação gráfica do diagrama 
associado a essa operação realizada pela AFA Logística?
Nesse caso, temos a seguinte disposição gráfica:
R$ 200.000,00
R$ 120.000,00
0 1 2 3 4 5 6
0 1 2 3 4 5 6
R$ 900.000,00
R$ 80.000,00
Figura 5 – O DFC do exemplo em questão.
Fonte: Elaborado pelo autor, 2015.
Agora que já apresentamos a você os conceitos e técnicas introdutórias da Matemática Financei-
ra, iremos descrever algebricamente o regime de capitalização simples. 
1.2 Fórmula Característica dos Juros Simples
Vimos que os juros são calculados periodicamente ao final de um mês, quadrimestre, ano ou de 
qualquer outro período estabelecido. 
Especificamente falando sobre o regime de capitalização simples, podemos dizer que tal regime 
é o esquema pelo qual os juros incidem apenas sobre a quantia inicial, ou seja, os juros são 
calculados tendo como referência o valor presente ou capital inicial. 
Para identificarmos as fórmulas referentes a esse regime, vamos considerar uma nova situação 
introdutória. Consideremos que Pedro realizou um empréstimo no Banco AFS no valor de R$ 
3.000,00, pelo qual deverá pagar 5% de juros simples ao mês. Para saber qual o valor dos juros 
ao final de um mês que Pedro terá de pagar, basta fazermos a seguinte conta:
5%	de	R$	3.000,00	=	0,05	x	(3000)	=	R$	150,00
Além disso, com relação ao segundo mês, esses juros dobram de valor, enquanto que no terceiromês eles triplicam, e assim por diante. Em símbolos, podemos escrever:
Juros	=	0,05	x	(3000)	x	n
11
Observe que, em linhas gerais, os juros simples J, resultantes da aplicação de um capital PV, 
a uma taxa i, durante um período n de tempo, podem ser calculados pela seguinte expressão:
J	=	PV	x	i	x	n
Que representa a fórmula característica do cálculo dos juros no regime de capitalização simples.
Você já ouviu as nomenclaturas ano comercial e mês comercial? No contexto da gestão 
financeira, utilizamos 1 ano = 360 dias e 1 mês = 30 dias, sendo chamados de ano 
comercial e mês comercial, respectivamente.
NÓS QUEREMOS SABER!
De outra forma, dependendo do parâmetro a ser caracterizado, temos as seguintes fórmulas 
derivativas:
PV =
nxi
J
 , i = , n = 
Quando introduzimos o valor futuro ou montante (FV) da expressão matemática FV = PV + J, 
podemos escrever:
FV	=	PV	+	J
FV	=	PV	+	PV	x	i	x	n
Que nos leva à expressão:
FV	=	PV	.	(1	+	i	x	n)
Que representa a fórmula característica do valor futuro no regime linear de juros. É importante 
salientar que o fator (1	+	i	x	n) é definido como Fator	de	Capitalização (ou de Valor	Futuro	–	
FCS) dos juros simples, ou seja, ao multiplicarmos um valor presente por esse fator, corrigimos 
o seu valor para uma data futura, determinando o valor futuro. Contrariamente, o inverso, ou 
seja, 
).1(
1
ni+
 é denominado de Fator	de	Atualização (ou de Valor	Presente	–	FAS), que re-
presenta o valor pelo qual o valor futuro deve ser multiplicado para que ele seja atualizado para 
a data atual. 
Vejamos agora algumas situações que ilustram a aplicação das fórmulas características associa-
das ao regime linear de juros. Acompanhe:
12 Laureate- International Universities
Matemática para gestores
Exemplo: Qual é o valor presente que rende a quantia de R$ 3.000,00 em cinquenta dias, quan-
do aplicado a uma taxa simples de 0,2% ao dia?
Solução: Nesse caso, temos que J = 3000, n = 50 dias e i = 0,2% ao dia = 0,002 a.d., logo, 
utilizando a fórmula característica para os juros no regime linear, temos que:
J = PV x i x n
3000 = PV x (0,002) x (50)
PV = 
3000
(0,002) (50)(0,002) (50)x(0,002) (50)
PV = 
3000
0,1
PV = 30000
Portanto, o valor presente ou capital inicial é igual a R$ 30.000,00.
Exemplo: Um capital inicial de R$ 12.000,00 foi investido a juros simples de 13% ao ano em 
um determinado banco brasileiro, sendo que tal capital foi resgatado após três meses e dez dias, 
a contar da data inicial do investimento. Qual é o valor dos juros obtidos nessa operação de 
investimento?
Solução: Nesse caso, temos que PV = 12000, n = 3 meses e 10 dias = 100 dias (1 mês = 30 
dias) e i = 13% ao ano = 0,13 a.a. Observe que a taxa de juros e o período não estão refe-
renciados na mesma unidade. Sendo assim, devemos transformar um dos dois para a unidade 
do outro. O período n pode ser visto em anos como n = 
100
360
, logo, utilizando mais uma vez a 
fórmula característica para os juros no regime linear, obtemos:
J = PV x i x n
J = (12000) x (0,13) x ( 100
360
)
J = 433,33
Dessa forma, concluímos que o valor dos juros é igual a R$ 433,33.
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Exemplo: Jair possui uma dívida no valor de R$ 900.000,00 com o Banco AFA que irá vencer em 
4 meses. O Banco AFA está oferecendo um desconto de 7% ao mês caso Jair deseje antecipar o 
pagamento para hoje. Qual é o valor que Jair pagaria caso antecipasse a liquidação da dívida?
Solução: Nesse caso, temos que FV = 900000, n = 4 meses e i = 7,0% ao mês = 0,07 ao mês. 
Dessa forma:
FV = PV x (1 + i x n)
900000 = PV x (1 + 0,07 x 4)
PV	=	703.125,00
Portanto, Jair irá pagar R$ 703.125,00 se antecipar o pagamento da dívida com o Banco AFA.
Exemplo: Qual será o montante resultante de uma aplicação feita por Carlos no valor de R$ 
29.800,00, a uma taxa de 1,2% a.m., durante o período de seis meses?
Solução: Do enunciado, temos PV = 29800, n = 6 meses e i = 1,2% ao mês = 0,012 ao mês. 
Sendo assim, escrevemos:
FV = 29.800 x (1 + 0,012 x 6)
FV = 31.945,60
Portanto, Carlos poderá obter um montante no valor de R$ 31.945,00.
Exemplo: O banco AFA anuncia que um investimento de R$ 9.523,80 rende no período de seis 
meses a quantia de R$1.047,62, considerando o regime de juros simples. Dessa forma, qual é o 
valor da taxa anual calculada com base no ano comercial?
Solução: Nesse caso, temos que:
J = PV x i x n
1047,62 = 9523,80 x 
360
i x 180
Sendo assim, observando que o ano comercial tem 360 dias, concluímos que:
i = 
(1047,62) (360)
(9523,80) (180)
(1047,62) (360)x(1047,62) (360)
(9523,80) (180)x(9523,80) (180)
, ou seja, i = 0,22
Logo, a taxa anual é igual a 22%.
14 Laureate- International Universities
Matemática para gestores
Vamos trabalhar um pouco mais com relação aos cálculos algébricos envolvendo o 
regime linear de juros? Em verdade, para adquirir um pouco mais de experiência e 
vivenciar novas situações-problemas envolvendo os juros simples, você pode pesquisar 
em: HAZZAN, Samuel; POMPEU, José Nicolau. Matemática Financeira. 6 ed. São Pau-
lo, Saraiva, 2007.
NÃO DEIXE DE LER...
1.3 Taxas Proporcionais e Taxas Equivalentes
O que seriam taxas proporcionais? Você já ouviu falar desse termo? Saberia caracterizar uma 
taxa proporcional? E quanto às taxas equivalentes? Sabe o que são duas taxas equivalentes? A 
seguir, apresentaremos tais conceitos a vocês.
1.3.1 Taxas Proporcionais
Já vimos que qualquer operação financeira possui dois prazos envolvidos, que são o prazo a 
que se refere a taxa de juros e o prazo de capitalização dos juros. Dessa maneira, admitamos 
um empréstimo bancário no Banco AFA a uma taxa nominal de 24% ao ano, ou seja, o prazo da 
taxa é a unidade ano. Agora, se por outro lado colocarmos que os juros serão cobrados sobre 
o principal somente ao final de cada ano, temos que os dois prazos citados são coincidentes.
Porém, na prática nem sempre tal fato acontece, ou seja, em outras situações os prazos envolvidos 
não coincidem. Como exemplo típico, podemos citar o que acontece na popular Caderneta de 
Poupança, na qual o prazo da taxa pode ser definido ao ano e os juros capitalizados mensalmente.
Nesse sentido, no caso do regime linear de juros, a transformação da taxa para a unidade do pra-
zo da operação é feita pela conhecida taxa	proporcional ou taxa	linear ou taxa	nominal, que, 
de acordo com Samanez (2006), é obtida pela divisão entre a taxa de juros considerada na ope-
ração e o número de vezes em que ocorrerão os juros (quantidade de períodos de capitalização).
Sendo assim, em uma taxa de 12% ao ano, se a capitalização for caracterizada como mensal-
mente (teremos 12 vezes os juros no período de um ano), o percentual de juros que ocorrerá 
sobre o capital a cada mês será o quociente = 1,5% ao mês, ou seja, a taxa proporcional 
é igual a 1,5% ao mês.
Similarmente, para 36% ao ano temos a taxa proporcional mensal igual a 3% ao ano. Caso 
tivéssemos 2,5% ao mês, teríamos a proporcional anual igual a 30% ao ano.
Agora que você já conhece a taxa proporcional, vamos entender as taxas equivalentes no regime 
linear de juros. 
15
1.3.2 Taxas Equivalentes
Para entendermos as taxas equivalentes vamos considerar a seguinte descrição. 
Pergunta	Contextualizada: Consideremos que você tem uma quantia de R$ 2.000,00 e deseja 
aplicá-la em algum sistema de investimento oferecido por uma instituição financeira. Suponha-
mos que você possua duas opções, descritas a seguir:
•	 taxa de 4% ao mês, durante 6 meses;
•	 taxa de 12% ao trimestre, durante 2 trimestres.
Qual será a sua escolha considerando o regime linear de juros? Para responder tal questão, você 
deve determinar os juros associados a cada uma das opções, logo, temos que:
Primeira	Opção: logo J = (2000) x (0,04) x (6) =R$480,00.
Segunda	Opção: logo J = (2000) x (0,12) x (2) = R$480,00.
Ou seja, independentemente da opção escolhida, os resultados dos juros serão os mesmos. Des-
sa forma, concluímos que as taxas de 4% ao mês e 12% ao trimestre são equivalentes. 
Em linhas gerais, de acordo com Samanez (2006), duas taxas de juros são equivalentes se, quan-
do aplicadas a um mesmo capital e pelo mesmo intervalo de tempo, produzirem os mesmos juros.
Qual a relação entre taxas proporcionais e taxas equivalentes no regime linear de ju-
ros? Na verdade, nos juros simples as taxas equivalentes e as taxas proporcionais são 
iguais, ou seja, é indiferente a classificação de duas taxas de juros como proporcionais 
ou equivalentes.
NÓS QUEREMOS SABER!
Vejamos outras situações envolvendo taxas equivalentes no regime linear de juros:
•	 24% ao ano e 2% ao mês são equivalentes;
•	 18% ao ano e 1,5% ao mês são equivalentes;
•	 2,5% ao trimestre e 5% ao semestre são equivalentes;
•	 3% ao mês e 9% ao trimestre são equivalentes.
Agora, vamos trabalhar com a essência da Matemática Financeira, ou seja, a caracterização de 
capitais equivalentes. 
16 Laureate- International Universities
Matemática para gestores
1.3.3 Capitais Equivalentes
O que são capitais equivalentes? Você saberia identificá-los? Sobre a questão, acompanhe abaixo:
Pergunta	Contextualizada: Consideremos que João deve dois títulos no valor de R$ 25.000,00 
e R$ 56.000,00, respectivamente, ao Banco AFA. O primeiro título vence daqui a dois meses e 
o segundo daqui a três meses. 
João, prevendo problemas de fluxo de caixa nessas datas, propõe a substituição dessas suas 
obrigações por um único pagamento daqui a cinco meses. Suponha que 3% ao mês seja a taxa 
corrente de juros simples. Sendo assim, qual seria o valor desse único pagamento? 
Obviamente, devemos observar que o Banco AFA não quer perder quantia nenhuma, enquanto 
João não quer mais do que o valor previamente estabelecido. Sendo assim, é de fundamental 
importância que nessa situação encontremos um valor que satisfaça a necessidade dos dois, 
ou seja, temos aqui uma situação envolvendo o que chamamos de capitais equivalentes. Dessa 
forma, vejamos a figura a seguir:
25.000,00 56.000,00
0 2 3 5
M
Figura 6 – A disposição geométrica da pergunta contextualizada.
Fonte: Elaborado pelo autor, 2015.
Considere que a data de comparação (data focal) seja o momento 5, ou seja, a equivalência 
vai ser feita na data 5 ou no quinto mês. Além disso, vamos convencionar que o valor a ser en-
contrado para tal pagamento único será representado pela letra M. Dessa maneira, temos que:
M = 25.000,00 x ( 1 + 0,03 x 3) + 56.000,00 x ( 1 + 0,03 x 2)
M = 27.250,00 + 59.360,00
M	=	86.610,00
Assim, o valor desse pagamento único será de R$ 86.610,00. Tal valor pode ser visto como sen-
do o valor equivalente no momento 5. (Adaptado de NETO, 2002)
De acordo com Samanez (2006), dois ou mais capitais representativos de uma certa data são de-
nominados equivalentes quando, a uma certa taxa de juros, produzem resultados iguais numa 
data comum (denominada data	focal ou data	de	comparação).
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Vejamos agora mais dois exemplos ilustrativos que envolvem o contexto de capitais equivalentes.
Exemplo: Considere que um título de R$ 438.080,00 com vencimento para daqui a oito me-
ses seja equivalente a se receber na data atual o valor de R$ 296.000,00, admitindo uma taxa 
de juros simples de 6% ao mês. Desta forma, os valores R$ 438.080,00 e R$ 296.000,00 são 
equivalentes?
Solução: Nesse caso, note que, para averiguarmos se tais valores são equivalentes, os mesmos 
devem ser comparados em uma data comum de comparação. Do enunciado, temos que PV = 
296000, n = 8 meses e i = 6% ao mês = 0,06 a.m., o que nos leva ao valor futuro (ou seja, 
capitalizando o PV para a data n = 8 meses), dado por:
FV	=	296000	x	(1	+	0,06	x	8)	=	R$	438.080,00
E, contrariamente, considerando FV = 438080, n = 8 meses e i = 6% ao mês = 0,06 a.m., 
podemos encontrar o valor atualizado na data atual (atualizando o valor do título para a data 
zero), dado por:
PV	=	 	=	R$	296.000,00
Ou seja, é possível concluir que tais valores são equivalentes. Nesse caso, observe a interpreta-
ção geométrica dessa situação na figura a seguir:
FV = 296000 X (1 + 0,06 X 8)
PV =
0 8
(1 + 0,06 X 8)
R$ 296.000,00 R$ 438.080,00
438080
Figura 7 – A disposição geométrica do exemplo.
Fonte: Elaborado pelo autor, 2015.
18 Laureate- International Universities
Matemática para gestores
Exemplo: A AFA Logística possui um título de valor nominal de R$ 7.200,00 com vencimento 
para daqui a 120 dias. Com uma taxa de juros simples de 31,2% ao ano, qual será o valor desse 
título, considerando como data de comparação:
a) A data atual (hoje).
b) Dois meses antes de seu vencimento.
c) Um mês após o seu vencimento.
Solução: Nesse caso, temos que:
a) Valor do Título na Data Atual = C0 = = = R$6.521,74 
(Observe	que	aqui	temos	de	atualizar	o	valor	R$	7.200,00).
b) Valor do Título Dois Meses antes do Vencimento = C2 = = 
= R$6.844,11 (Observe	que	aqui	temos	de	atualizar	o	valor	R$	7.200,00).
c) Valor do Título Um mês após o Vencimento = C5 = 7.200,00 x ( 1+ x 1) = 
R$7.387,20 (Observe	que	aqui	temos	de	atualizar	o	valor	R$	7.200,00).
(Adaptado de NETO, 2002)
O matemático John Forbes Nash Jr, que inspirou o filme Uma mente brilhante, ganhou 
o prêmio Nobel de economia em 1994 descrevendo a simulação de modelos econo-
métricos via indicadores financeiros. Nash morreu em 2015, nos Estados Unidos, vítima 
de um acidente de carro.
VOCÊ O CONHECE?
19
1.4 Descontos no Regime de Capitalização 
Simples
Você já solicitou um desconto em determinada compra ou para a liquidação de uma dívida? 
Saberia descrever o significado da palavra “desconto” no âmbito financeiro? 
Este será agora o nosso tema de estudo. Superficialmente, ao contrair uma dívida a ser paga 
em uma data futura, é comum o devedor oferecer ao credor um documento que chamamos de 
título, que é o comprovante da respectiva operação financeira realizada.
Sendo assim, é sabido que todo título de crédito tem uma data de vencimento. Entretanto, o devedor 
pode resgatá-lo de forma antecipada, obtendo com isso um abatimento, chamado de desconto.
Salientamos que o desconto é uma das mais comuns e práticas aplicações envolvendo os juros. 
Relacionada ao desconto, temos algumas importantes definições, que são: valor	nominal, des-
conto e valor	líquido.
•	 Valor	Nominal: é o valor de resgate, ou seja, o valor definido para um título de crédito 
em sua data de vencimento. Também podemos defini-lo como sendo o montante da 
referida operação.
•	 Desconto: é a diferença entre o valor nominal de um título e o seu valor atualizado, 
apurado em um período anterior ao seu vencimento.
•	 Valor	 Líquido (ou Valor	 Descontado): é o valor atual na data do desconto, sendo 
determinado pela diferença entre o valor nominal e o desconto, ou seja, Valor	Líquido	=	
Valor	Nominal	–	Desconto.
Pergunta	Contextualizada: Você sabe quais são os principais títulos existentes? Sabe descrever 
se podem ser tratados somente entre pessoas físicas, somente entre pessoas jurídicas, ou entre 
pessoa física e jurídica? Sabe definir cada um desses títulos? Em verdade, temos três tipos de 
títulos muito utilizados no mercado financeiro brasileiro: a nota promissória, a duplicata e a letra 
de câmbio, que serão descritas a seguir. Acompanhe:
•	 Nota	promissória: pode ser usada entre pessoas físicas ou, ainda, entre pessoas físicas 
e instituições financeiras. É um título de crédito que corresponde a uma promessa de 
pagamento no qual é especificado o valor nominal, a data de vencimento do título, o 
nome do devedor, o nome do credor e o da pessoa que deverá receber a importância a 
ser paga.
•	 Duplicata: é usada por pessoajurídica contra um cliente (que pode ser pessoa física ou 
jurídica) para o qual vendeu mercadorias a prazo ou prestou serviços a serem pagos no 
futuro (segundo contrato). Na duplicata, deve constar o aceite do cliente, o valor nominal, 
a data de vencimento, o nome de quem deverá pagar e o nome da pessoa que irá receber.
•	 Letra	de	Câmbio: é um título ao portador, emitido por uma financeira em operações de 
crédito direto para pessoas físicas ou jurídicas. Uma letra de câmbio deve ter especificado 
o valor do resgate (que é o valor nominal acrescido de juros), a data de vencimento do 
título e o nome do devedor.
As operações envolvendo desconto podem ser realizadas independentemente do regime de capi-
talização a ser utilizado. De acordo com Samanez (2006), o uso do desconto simples (baseado 
no regime linear de juros) é amplamente adotado em operações de curto prazo, restringindo-se 
o desconto composto (baseado no regime composto de juros) para as operações de longo prazo. 
20 Laureate- International Universities
Matemática para gestores
Especificamente sobre o regime linear de juros podem ser identificados dois tipos de desconto: 
a) Desconto	“por	fora” (ou desconto	bancário ou desconto	comercial);
b) Desconto	“por	dentro” (ou desconto	racional). 
1.4.1 Desconto por Fora ou Desconto Bancário
Entendemos por Desconto	por	Fora ou Desconto	Bancário aquele em que a taxa de desconto 
incide sobre o valor nominal. É interessante comentarmos que esse tipo de desconto é ampla-
mente utilizado no mercado financeiro, principalmente nas operações de crédito bancário e co-
mercial a curto prazo. Algebricamente falando, as fórmulas para o cálculo do desconto bancário 
são bem semelhantes às que utilizamos para o regime linear de juros. Dessa maneira, utilizamos 
os elementos:
D	=	desconto;	
N	=	valor	nominal;	
L	=	valor	líquido	recebido	após	o	desconto;	
i	=	taxa;	
n	=	período	de	tempo
Logo, escrevemos:
D	=	N	x	i	x	n
Ou ainda, temos a expressão: 
L = N – N x i x n
Então,
L	=	N.(1	–	i	x	n)
Vejamos alguns exemplos ilustrativos para entendermos a aplicabilidade das expressões envol-
vendo o desconto por fora no regime linear de juros.
Exemplo: Qual o desconto que deverá incidir sobre um título no valor de R$ 750,00 pago dois 
meses e dez dias antes do vencimento, com uma taxa de 5% ao mês? 
Solução: Nesse caso, temos que: N = 750, n = 2 meses e 10 dias = 70 dias, i = 5% a.m. = 
0,05 a.m. Logo:
D = N.i.n
D = 750. .70
D	=	87,50
Portanto, o desconto deverá ser de R$ 87,50.
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Exemplo: Um título no valor de R$ 1.200,00, pago cinco meses antes do vencimento, ficou re-
duzido a R$ 900,00. Qual foi a taxa mensal utilizada? 
Solução: Nesse caso, temos que N = 1200, n = 5 meses e L = 900. Esse exemplo pode ser re-
solvido de dois modos diferentes, um através do cálculo do desconto e outro utilizando a fórmula 
do valor líquido. 
Primeiro	Modo: Usando o cálculo de desconto.
D	=	N	–	L	=	1200	–	900	=	300
Daí, 
D	=	N.i.n
300	=	1200.5.i
Ou seja,
i	=	0,05	a.m.	ou	5%	a.m.
Segundo	Modo: Usando a fórmula do valor líquido.
L	=	N.(1	–	i.n)	
900	=	1200.(1	–	i.5)
12001200
900900
	=	1	–	5.i	
i	=	0,05	a.m	ou	5%	a.m.
Portanto, a taxa mensal utilizada para o cálculo foi de 5%.
1.4.2 Desconto por Dentro ou Desconto Racional
Entendemos por Desconto	por	Dentro ou Desconto	Racional aquele em que a taxa de desconto 
incide sobre o valor líquido. Esse tipo de desconto utiliza uma taxa sobre um valor não conheci-
do, situação semelhante a que acontece em lucros sobre vendas. Sendo assim, denotando por 
Dr o desconto racional, tal desconto é caracterizado sobre o valor líquido pela expressão:
Dr	=	L.i.n
Além disso, como:
L	+	Dr	=	N
O valor líquido pode ser calculado como:
L	=	
ni
N
.1+
Vejamos alguns exemplos ilustrativos nos quais mostraremos a aplicabilidade das expressões 
envolvendo o desconto por dentro no regime linear de juros.
22 Laureate- International Universities
Matemática para gestores
Exemplo: Calcule o desconto por dentro de um título de R$ 6.864,00, a uma taxa de 12% ao 
mês, pago um mês e seis dias antes do vencimento. 
Solução: Nesse caso, temos que: N = 6684, i = 0,12 a.m. = a.d., n = 1 mês e 6 dias 
= 36 dias. Logo:
L	=	
ni
N
.1+
L	=	
L	=	6000
Agora, vamos determinar o valor do desconto. Para tal, escrevemos:
R$	6.864,00	–	R$	6.000,00	=	R$	864,00
Exemplo: Um título com valor nominal de R$ 10.000,00, a uma taxa de 4,32% ao mês, vai ser 
descontado sete meses antes do vencimento. Calcule a diferença entre os descontos bancário e 
racional, considerando o desconto simples.
Solução: Nesse caso, temos que: N = 10000, i = 0,0432 a.m. e n = 7 meses. Logo:
Desconto	Bancário: D	=	N.i.n ⇒ D = (10000).(0,0432).7 ⇒ D	=	3024
Desconto	Racional: Dr = ni
niN
.1
..
+
 ⇒ Dr = )70432,0(1
7).0432,0).(10000(
x+
 ⇒ Dr ≅ 2321,87
Portanto, a diferença é dada por:
D	–	Dr	=	702,13
NÃO DEIXE DE VER...
Quem nunca pensou em ficar rico de forma rápida e fácil usando a bolsa de valores? 
Já pensou nisso? Sendo assim, indicamos o filme O Lobo de Wall Street, de produção 
de Martin Scrosese (o mesmo de Taxi Drive e O Aviador), no qual o protagonista Jordan 
Belford, interpretado por Leonardo DiCaprio, é um corretor. O filme mostra a vida de 
exageros e loucuras que esse corretor da bolsa levava entre os anos 1980 e 1990 para 
ficar rico de qualquer forma. Aqui, podemos visualizar uma série de aplicações relacio-
nadas ao mercado financeiro e a tópicos discutidos ao longo deste material.
23
Síntese
Vimos neste capítulo que a Matemática Financeira é um ramo da Matemática Aplicada que se 
preocupa com a evolução do dinheiro ao longo do tempo, sendo, dessa forma, uma importante 
ferramenta de gestão para a maximização de resultados, sejam tais resultados no âmbito pessoal 
ou profissional. A partir do estudo realizado, temos os pontos a seguir.
•	 Os juros são o que pagamos pelo aluguel do dinheiro ao longo do tempo.
•	 Os elementos fundamentais da Matemática Financeira são: PV, i, FV, n, J e PMT.
•	 O Diagrama de Fluxo de Caixa (DFC) é uma relevante disposição gráfica para o 
entendimento e a interpretação das operações financeiras em geral.
•	 O montante ou valor futuro é calculado matematicamente como a soma envolvendo o 
valor presente e o valor dos juros.
•	 O esquema pelo qual os juros são calculados é o que chamamos de regime de capitalização. 
Temos dois tipos de regimes de capitalização: o regime de capitalização simples, no qual 
os juros incidem apenas sobre a quantia inicial; e o regime de capitalização composto, 
no qual os juros são calculados sobre o montante do período anterior.
•	 Os juros no regime linear são calculados pela expressão J = PV x i x n, enquanto que o 
valor futuro (FV) é caracterizado como FV = PV. (1 + i x n).
•	 No regime linear de juros, temos dois tipos importantes de taxas, que são as taxas 
proporcionais e as taxas equivalentes. Salienta-se que nos juros simples esses dois tipos 
de taxas são iguais. 
•	 Existem dois tipos de descontos associados ao regime linear de juros, que são o desconto 
por fora ou bancário e o desconto por dentro ou racional.
•	 O desconto por fora no regime linear de juros é calculado pela expressão D = N x i x n, 
enquanto que o desconto por dentro é dado por Dr = L.i.n.
Síntese
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Referências
HAZZAN, Samuel; POMPEU, José Nicolau. Matemática	Financeira. 6ª Ed. São Paulo: Saraiva, 
2007. 
PUCCINI, Abelardo de Lima. Matemática	financeira:	objetiva	e	aplicada. 8ª Ed. São Paulo: 
Saraiva, 2009.
SAMANEZ, Carlos P. Matemática	Financeira:	aplicações	à	análise	de	investimentos. 4ª 
Ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2007.
Bibliográficas