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BIBLIOGRAFIA 
 
 CURSO DE MECÂNICA DOS FLUIDOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CAPITULO 1 
 
PROPRIEDADE DOS FLUIDOS 
 
1.1 Introdução 
A mecânica dos fluidos é o estudo dos fluidos em movimento (dinamica) 
ou em repouso (estatica) e os subsequentes efeitos sobre as 
vizinhanças; as quais podem ser superficies sólidas ou interfaces com 
outros fluidos. 
Os gases e os liquidos são classificados como fluidos. 
O número de aplicações de mecânica dos fluidos na engenharia é 
bastante extenso: 
Fluxo sanguineo 
Estações de bombeamento 
Ventilação 
Turbinas 
Aeroplanos 
Navios 
Tubulações 
 Etc... 
A essência do escoamento de fluidos, no entanto, apresenta muitas 
dificuldades para serem explicadas. 
Nos fluidos, as moléculas estão em movimento constante e vivem em 
colisões. 
Para ser exato na análise, seria necessário considerar a ação de cada 
molecula, ou grupo de moléculas em um escoamento (Teoria Cinética 
dos Gases e Mecânica Estatistica). Por isto, muito trabalhosos para 
aplicações na engenharia, 
Na engenharia se trabalha com as manifestações médias mensuráveis 
de várias moléculas: densidade, pressão, temperatura, etc... 
Uma vez que o fluxo de fluidos é um braço da engenharia mecânica, 
satisfaz um conjunto de leis básicas bem fundamentadas, e, assim, um 
grande tratamento teórico está disponivel nas literatruras existentes. 
Apesar disto, muitas vezes a teoria se frustra devido a certas situações 
que invalidam a teoria nos problemas práticos. Geralmente estas 
divergências se relacionam com obstáculos como a VISCOSIDADE e a 
GEOMETRIA. 
Para contornar estes problemas, se aplicam técnicas de aproximação 
por computação (CFD = Computacional Fluid Dynamics). Muitas vezes 
se idealizam certos fluxos, desprezando-se a viscosidade. 
Cientistas como Prandtl, Van Karman e Reynolds, chegaram à 
conclusão que o estudo dos fluidos deve consistir de uma combinação 
da teoria com a experiência. 
Enfim, existem muitas teorias sôbre a mecânica dos fluídos, porém em 
todos os casos deve-se estar às voltas com o experimento. 
1.2 – Conceito de Fluido 
Do ponto de vista da Mecânica dos Fluídos, toda metéria se apresenta na 
natureza sob duas classes, a saber: fluido e sólido. 
A distinção técnica consiste em se basear na aplicação de uma tensão de 
cisalhamento ou tensão tangencial. 
O fluido é um meio material que não resiste à aplicação de forças puntuais. 
Um fluido é definido como uma substância que muda continuamente de forma 
enquanto existir uma tensão de cisalhamentio ainda que ela seja muito 
pequena. 
 
Figura1. 1 - Liquido muda continuamente de posição 
No fluido não existe um ângulo de deformação θ constante como no solido. 
Na parafina, dependendo do limite de tensão de cisalhamento aplicada, ela 
pode se comportar tanto como um plastico ou como um fluido, dependendo da 
aplicação desta tensão limite. Se a tensão aplicada exceder o valor limite, ela 
se tornará um fluido e se comportará como tal. 
Conforme ilustra a Figura 1.2, tente exercer uma força puntual na superfície 
livre da água num recipiente com o próprio dedo indicador. Não será surpresa 
verificar que a superfície livre da água se abre e o dedo afunda, sem 
resistência. No entanto, se colocarmos uma placa sólida sobre a superfície livre 
da água, que se ajuste nas paredes do recipiente, sem folgas, e aplicarmos a 
força puntual sobre a placa, veremos que a água começa a resistir ao esforço 
puntual que é aplicado sôbre a placa. 
O que ocorreu nessa última situação, é que a força puntual distribuiu-se na 
superfície da placa e, através dela, sobre a superfície livre da água no 
recipiente, passando a água a resistir ao esforço puntual aplicado por meio da 
placa. Quando se deseja aplicar uma força a um fluido, ou dele receber uma 
força, deve haver sempre uma superfície interveniente. Força aplicada sobre 
uma superfície é a base do conceito de tensão. 
 
Figura 1.2 - Experimento com um liquido 
Um sólido pode resistir a uma tensão de cisalhamento, por uma 
deformação estatica, um fluido não pode. 
Qualquer tensão cisalhante aplicada a um fluido, não importa o quanto 
seja pequena, resultará no movimento daquele fluido. O fluido se move 
e se deforma continuamente, enquanto a tensão estiver sendo aplicada. 
Assim, para um fluido estar em repouso, precisa estar em uma 
condição de ZERO tensão de cisalhamento, chamda esta condição de 
condição de stress hidrostático. 
Duas classes de fluido se apresentam: 
- liquidos: fluido incompressivel 
- gases: fluido compressivel 
O liquido é composto por moléculas relativamente próximas, com fortes 
forças de coesão molecular, tendendo reter seu volume, formando uma 
superficie livre em um campo gravitacional sem forma própria. 
As moléculas dos gases são largamente espaçadas e com forças 
coesivas despreziveis, sendo livres para se expandirem até encontrar 
as paredes de confinamento. 
Um gás não tem volume definido, ocupando o espaço que o contém. 
 
Figura 1.3 - Diagramas de Corpo Livre para solido-liquido e gás 
Um sólido bloco em repouso sôbre um plano rigido e sob o stress de seu 
próprio peso. 
O liquido e o gás em repouso requer paredes de suporte para eliminar e tensão 
de cisalhamento. As paredes exercem uma compressão de valor (– P). 
 O liquido retém seu volume e forma uma superficie livre no container, Se as 
paredes forem removidas, desenvolvem-se tensões de cisalhamento no liquido 
e este irá derramar. 
Se o container for inclinado, novamente se desenvolvem tensões de 
cisalhamento. Formam-se ondas, e a superficie livre buscará uma configuração 
horizontal, podendo derramar. 
O gás se expandirá ocupando todo o espaço disponivel. 
Também exercerá uma pressão (– P) nas paredes. 
Finalmente, existem situações onde a distinção entre um liquido e um gás se 
embaralham. Este é o caso das temperaturas e pressões sôbre o chamado 
ponto critico de uma substância, onde sómente uma fase existe. 
Conforme a pressão cresce acima do ponto critico, as aproximações com a Lei 
dos Gases perfeitos não se aplicam. 
 A água, por exemplo, possue Tc = 647 [K] e sua pressão critica Pc = 219 [atm] , 
de forma que, problemas tipicos envolvendo água e vapor estão abaixo do 
ponto critico, assim, para vapor dágua valem as Leis dos Gases Perfeitos. O ar 
sendo uma mistura de gases, não tem ponto critico distinto, mas seu principal 
componente, o Nitrogênio, tem Tc= 126 [K] e Pc = 34 [atm]. 
Assim, problemas tipicos envolvendo ar no range de alta tamperatura e baixa 
pressão, onde ao ar é definitivamente um gas. 
1.3 – O Fluido como um continuo 
Conforme ilustra a figura 1.1, o fluido muda continuamente de forma, se 
submetido a esforços, o que já o caracteriza como um continuo. 
Os fluidos são agregações de moléculas largamente espaçadas para um gas e 
mais próxima para um liquido. A distância entre as moleculas é muito grande 
se comparadas a seu diâmetro. As moléculas se movem umas em relação às 
outras. Assim, densidade de fluido, em massa por unidade de volume, não tem 
um significado preciso porque o número de moléculas ocupando o dado 
volume muda continuamente. Todos os materiais são constituídos de 
moléculas. O estudo das propriedades de um fluido a partir do comportamento 
de suas moléculas consiste no enfoque molecular; 
O enfoque molecular demonstra uma matéria descontínua, isto é, constituída 
por moléculas e espaços vazios entre elas. O estudo de um fluido a partir deste 
enfoque molecular é de difícil solução matemática (Ex: a derivada de uma 
função só pode ser calculada em um ponto se a função é contínua naqueleponto); por esta razão é conveniente tratar o fluido como um meio contínuo 
A hipótese do contínuo consiste em abstrair-se da composição molecular e sua 
conseqüente descontinuidade; Ou seja, por menor que seja uma divisão de um 
fluido esta parte isolada deverá apresentar as mesmas propriedades que a 
matéria como um todo. A hipótese do contínuo permite estudar as propriedades 
dos fluidos através do cálculo diferencial e (ou) integral, uma vez que 
continuidade é fundamental na teoria do cálculo. A hipótese do contínuo 
consiste em abstrair-se da composição molecular e sua conseqüente 
descontinuidade; 
De acordo com esta hipótese: Os fluidos são meio contínuos. A cada ponto do 
espaço corresponde um ponto do fluido. Não existem vazios no interior do 
fluido, o que sabemos não ser verdade, mas temos que supor que assim o 
seja, uma vez que esta hipotese não irá interferir na verdade dos resultados a 
serem encontrados quando da solução dos problemas de mecânica dos 
fluídos. 
Despreza-se a mobilidade das moléculas e os espaços intermoleculares; 
As grandezas: massa específica, volume específico, pressão, velocidade e 
aceleração, variam continuamente dentro do fluido (ou são constantes). 
O modelo de meio contínuo tem validade somente para um volume 
macroscópico no qual exista um número muito grande de partículas. 
As propriedades de um fluido de acôrdo com este modelo têm um valor 
definido em cada ponto do espaço, de forma que estas propriedades podem 
ser representadas por funções contínuas da posição e do tempo; 
Como conclusão, o fluido, por sua vez, poderá ser então considerado como 
sendo constituído por partículas fluidas, as quais formam um meio contínuo e 
homogêneo, em que tais partículas podem se deslocar livremente umas em 
relação às outras. Suas propriedades serão, então, funções de ponto, podendo 
essas propriedades variar suave e continuamente, de tal forma que o cálculo 
diferencial poderá ser utilizado na modelagem matemática do movimento do 
fluido. Não significa que o cálculo diferencial seja o foco dos desenvolvimentos 
que faremos, apenas que a continuidade do meio fluido, com suas 
propriedades funções de ponto, são requisitos necessários para que ele possa 
ser aplicado quando necessário. 
1.4 – Dimensões e unidades 
Dimensão é a medida pela qual uma variavel fisica é expressa 
quantitativamente. 
Sistemas de unidades variam de país para país. Por isto acordos internacionais 
têm sido realizados. 
A engenharia precisa de números. 
Para estandardizar o sistema métrico, aconteceu a Conferência Geral de Pesos 
e Medidas, atendida em 1960 por 40 paises. Nesta ocasião se propos um 
SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES (SI ). 
Desde Julho de 1974 o SI tem sido requerido na maioria das publicações de 
“papers”. 
A American Society of Mechanical Engineers, preparou folhetos e explicou a SI. 
Dois subsistemas se apresentam dentro do SI: O MKS ( Metro-Quilo-segundos) 
e o CGS ( centimetro-gramas-segundos). 
Em paralelo se apresentam os sistemas Ingles-Germanico (BG) e o sistema 
MKS* e BG* onde se fazem presentes o Kgf e o lbf (Kilo-força e Libra-força ) 
1 kgf = 9.8 N e 1 lbf = 32.174 lbxft/s² ou 1 lbf = 1 slugx 1 ft/s² 
A distinção entre o quilograma, unidade de massa no sistema MKS e o 
quilograma – força, unidade força no sistema MK*S , nem sempre é bem 
compreendida. Para ambos, o corpo tomado como padrão é o mesmo: o 
quilograma padrão. A unidade de massa do sistema MKS é a massa 
deste corpo , enquanto que a unidade de massa deste mesmo corpo no 
sistema MK*S é o seu peso em kgf.. 
Assim, no sistema MKS uma unidade de massa, ou seja, 1 quilo, pesa 9.80 N, 
aproximadamente, enquanto que no sistema MK*S uma unidade de massa , o 
quilo, pesa 1 kgf. 
Dimensões Primárias 
Ma mecânica dos fluidos temos 4 dimensões primárias, das quais as demais 
acabam derivando. 
São elas: 
massa [M] 
comprimento [L] 
tempo [t] 
temperatura [T] 
EX: ACELERAÇÃO [m/s² ] → [L] / [t ²] = [L.t-2] 
No caso da Força, a 2ª lei de Newrton nos diz : 
 F = ma 
Dimensionalmente, 
 [F] = [MLt-2] 
1 Newton de força = 1 N = 1 kg.m/s² 
1lbf = 1 slug. ft/s² = 4.4482 N 
1 atm = 2.116 lbf/ft² = 101300 Pa 
1 kgf = 9.8 N 
1 lbf = 32.2 ft/s² 
Velocidade = comprimento/tempo = [L] / [ t ] 
Pressão = Força / Area = [ F ] / [ L²] = [MLt-2] /[L²] = [M t-2 ] / [ L ] 
 
Dentro do Sistema Internacional, temos a considerar os subsistemas CGS 
(cm, grama e segundos) e o subsistema MKS (metro, kilograma e segundos) 
Tabela 1.1 – Dimensões Primárias 
Dimensão SI BG Fatores de 
Primaria Conversão 
Massa [M] kg slug 1 slug = 14.5939 
kg 
Comprimento [L] m ft 1 ft = 0.3048 m 
Tempo [T] s s 1s = 1 s 
Temperatura [Ѳ] K R 1 K = 1.8 R 
1 K = 273 ºC 
0ºC = 32 ºF 
Corrente Elétrica A - - 
 
Tabela 1.2 – Dimensões Secundárias 
Dimensão Secundaria SI BG Fatores de 
Conversão 
Area [L²] m² ft² 1 m² = 10.674 ft² 
Volume [L³] m³ ft³ 1 m³ = 35.315 ft³ 
Velocidade [LT-1] m/s ft/s 1 ft/s = 0.304 
m/s 
Aceleração [LT-2] m/s² ft/s² 1 ft/s² = 0.3048 
m/s² 
Pressão ou Tensão 
[M L-1 T- ²] 
Pa=N/m² 1 lbf/ft² 1 lbf/ft² = 47.88 
Pa 
Velocidade Angular 
[t-1] 
s-1 s-1 1s-1 = s-1 
Energia,Calor,Trabalho 
[ML² t-2] 
J = N.m ft.lbf 1 ft.lbf = 1.3588J 
Potencia [ML²t-3] W = J/s ft.lbf/s 1 ft.lbf/s = 1.3558 
W 
Densidade [ML-3] Kg/m³ 1 slug/ft³ 1 slug/ft³ = 
515.4kg/m³ 
Viscosidade[ML-1t-1] 1 (N/m²) s = 
kg/ms 
slug/(ft.s) 1slug/(ft.s) = 
47.88 kg/(m.s) 
 
 Lembrete: 
 1 kgf = 9.80 N ou 1 N = 0.10197 kgf 
 1 slug = 32.2 lb 
 1 slug = 14.62 kg 
Exemplo 1.1 – Um corpo pesa 1000 lbf quando exposto à gravidade standard 
terrestre g = 32.174 ft/s² 
Pergunta-se: 
a) Qual a massa em quilos? 
b) Qual será o peso deste corpo em [N], se estiver exposto à gravidade 
standard da Lua ? 
gLua = 1.62 m/s² 
c) Qual será sua aceleração, se uma força de 400 lbf for aplicada a ele na 
Lua e na Terra? 
Solução 
(a) Pela 2ª Lei de Newton, da Mecânica, 
 F = m.a 
O peso é uma força de atração gravitacional. 
Chamaremos de W a força peso 
a = g = aceleração da gravidade. 
F = W = mg 
Substituindo os valores: 
1000 [lbf] = m x [slug] x 32.174 [ ft/s²] → m = 1000/32.174 = 31.08 [slug] 
 [ Lembrete: 1 slug = 1 lbf/(ft/s²) ] 
Queremos a resposta em quilos, então: 
 m = 31.08 [slug] x 14.5939 [ kg/slug ] = 453.6 [ kg ] → resposta ( a ) 
(b) A massa do corpo permanecerá 453.6 kg independente de sua 
localização. 
Novamente, aplicando a 2ª Lei de Newton, para a gravidade: 
 WLua = m . gLua 
 Substituindo os valores , vem: WLua = 453.6 [kg] 1.62 [m/s²]= 735 [N] 
 735 [N ] → resposta (b ) 
 ( c) – Sendo a força aplicada no valor de 400 lbf , teremos: 
 400 [lbf] = m [slug] x a [ ft/s²] 
 Sabemos que a massa é de 31.08 [slug] , vide resposta ( a ) . 
 Então , 400 [lbf] = 31.08 [slug] x a [ft/s²] 
 a = 400/31.08 = 12.43 ft/s² ou a = 3.79 [m/s²] 
 Esta aceleração seria a mesma, na terra ou na lua, ou em qualquer outro 
lugar. 
 
Exemplo 1.2 - A viscosidade no sistema CGS é dada em Poise (P) ou 
[ g/(cm.s)] , chamada depois de Poiseville. 
 A viscosidade da água, fresca ou salgada a 293.16 K = 20ºC é de 
aproximadamente 
µ = 0.01 [P] . Expressar este valor no Sistema Internacional ( SI) e no sistema 
BG. 
SOLUÇÃO 
( a ) µ = 0.01 [P] = 0.01 [g/(cm.s)] = 0.01 [ 1/1000 [kg] x 1/(1/100 [m].[s]) = 
0.001 [kg/(ms)] 
 1 g = 10-3 kg 
1 cm = 10-2 m 
µ = 0.01 [g/(cm.s)] = 0.01 x 10-3 [kg]/ 10-2 (m.s) = 0.01 x 10-3x10²[ kg/(ms)] = 
0.001 [kg/(ms)]. 
Resposta (a ) → 0.001 [ kg/(ms)] 
( b ) No sistema BG teremos: 
 µ = 0.001 [kg/(ms) ] 
slug = 14.5939 [kg] → [kg] = 1 [slug]/14.5939] 
1 [m ] = ( 1/0.3048 ) [ft] 
Substituindo, fica: 
µ = (0.001/ 14.5939) x 1 x 0.3048 [slug/(ft.s)] = 2.09 x 10-5 [slug/(ft.s)] 
resposta ( b ) → 2.09x 10-5 [ slug/(ft.s)] 
Exemplo 1.3 – Uma equação usual e teórica para computar a relação entre 
pressão, velocidade e altitude em um fluxo estavel de um fluido 
aproximadamente não-viscoso, incompressivel com transferência de calor e 
trabalho de eixo desprezivel é dada pela relação de Bernoulli, por: 
 ( 1 ) 
 Onde 
p0 = pressão de estagnação 
P = pressão que move o fluido 
V = velocidade do fluido 
 = densidade 
Z = altitude 
g = aceleração da gravidade 
Pergunta-se : 
(a) Verificar a homogeneidade dimensional da equação (1) 
(b) Verificar em SI 
(c) Verificar em BG 
 
 
Solução 
 
 (a ) – [ML-1T-2] = [ML-1T-2] + [ML-3][L2T-2] + [ML-3] [ LT2][L] 
Reduzindo os termos, poderemos confirmar a igualdade entre os dois lados da 
equação. 
 resposta ( a ) → [ M L-1 T-2] 
(b) Verificando no sistema (SI) teremos: 
 
[N/m²] = [ N/m²] + [kg/m³][m²/s²]+[kg/m³][m/s²][m] 
Lembrete: 
 1 kg = 1 N.s²/m 
[N/m²] = [N/m²] [ kg/(m.s²)] → [N/m²] = [N/m²] 
 
(c) Em unidade BG 
 
[lbf/ft²] = [lbf/ft²] +1/2 [lb/ft³][ft²/s²] + [lb/ft³] [ft/s²] [ft] 
 
[lbf/ft²] = [lbf/ft²] + 1/2 [lb/ft³][ft²/s²] + [ lb/ft³][ft/s²][ft] 
 
[lbf/ft²] = [lbf/ft²] + 1/2 [lb/(ft.s²)] + [lb/(ft.s²)] 
 
Mas , lembrete: [ lbf] = [ lb.ft/s²] onde [lb] =[ lbf .s²/ ft ] 
 
substituindo no lugar de [lb] vem: 
 
[lbf/ft²] = [lbf/ft² ] + 3/2 {[ lbf.s²]/ft} / [ft.s²] = 5/2 [ lbf/ft²] 
 
 [lbf/ft²] = [ lbf/ft²] 
 
 
 
FIM da PARTE 1 
 
CAPITULO 1 – PARTE 2 
 
1.4 – O Gás Perfeito e a Equação de Estado 
O gas é considerado perfeito quando não considerarmos a existência de atração 
molecular. 
O Oxigênio, o nitrogênio, o ar seco, vapores em pressões muito baixas, suficiente- 
mente afastados de seu ponto de liquefação, ou ainda, gases abaixo de seu ponto 
critico, podem ser considerados como gases perfeitos, ou seja, não consideramos 
que haja atração molecular, e ainda, que elas estão suficientemente afastadas 
para influir nos resultados esperados. 
Graças a esta aproximação, Charles e Boyle, definiram uma formulação simples, 
relacionando pressão, volume especifico e temperatura absoluta para um gás 
perfeito (gás em perfeito estado de equilibrio) : 
 
R = constante do gas – depende apenas de sua massa Molecular em gramas. 
v = volume especifico = volume / massa 
T = temperatura Absoluta [K] ou [R], K = Graus Kelvin e R = Graus Rankine 
Gases próximos de seu ponto de condensação se afastam do comportamento de 
gás perfeito, porque ai as moléculas estarão próximas ( veja coesão molecular na 
fase liquida). 
1.5 – Definições das Propriedades 
As propriedades são as manifestações caracteristicas dos fluidos, e não de seu 
modo de escoar. 
Exemplo: densidade, viscosidade, tensão superficial, etc.. são exemplos de 
propriedades dos fluidos. A velocidade não é uma propriedade, pois é definida em 
termos de conceito de comprimento e tempo, parâmetros estes que não provêm 
do fluido. 
Apresentaremos, a seguir, algumas propriedades dos fluidos que são de uso 
frequente. 
 Massa específica ( densidade) 
É a massa m “de uma amostra do fluido dividida pelo seu volume “: 
 
As unidades de massa específica, conforme já vimos são no SI ou no BG ; kg/m³ 
ou lb/ft³ 
À temperatura ambiente, considerando-se as unidades SI, a massa específica da 
água é da ordem de 103 [kg/m³] e a do ar é da ordem de 1,2 [kg/m³] 
 
 
Peso Especifico 
É o peso W de uma amostra do fluido dividido pelo seu volume _. 
 
 
Como W = m, g, em que g é a aceleração da gravidade, temos 
 
. 
 
As unidades de peso específico são: [ N/m³] , [ lbf/ft³] ; [kgf/m³] 
 
Para os liquidos, pode ser tomado como constante para mudanças normais de 
pressão. 
O peso especifico dos gases pode ser calculado usando-se a equação de estado 
de um gas: também chamada de equação caracteristica dos 
gases perfeitos. (Leis de Boyle e Charles). 
Nesta equação, p é a pressão absoluta ( ) , é o 
volume especifico ( a ser definido ) T é a temperatura absoluta em K e R é as 
constante do gás, cujas unidades irá depender das unidades adotadas para os 
outros parâmetros. 
Obs. Muitas vezes aparece a temperatura absoluta em ºR ( Rankine) , onde 1ºR = 
460°C 
Normalmente se utilizam as unidades no sistema métrico ou SI, a saber: 
 Kgf/m² para pressão 
 m³/kg para o volume especifico 
 K para a temperatura absoluta ( 273 + tºC) 
Gravidade Especifica (SG) ou simplesmente densidade relativa (d) 
A gravidade especifica, ou densidade relativa de um fluido, denotada ´por SG , ou 
por d, no caso da densidade, é a razão entre a massa especifica do fluido e a de 
uma substância tomada como padrão , sendo água para os liquidos e ar para os 
gases. 
Pelo fato de ser pouco usual o termo Gravidade Especifica, utilizaremos sempre 
o termo densidade relativa ( d ) 
 = 
= 
 Observe que d é adimensional, ou seja, não tem dimensão. 
Volume especifico 
O volume especifico de um fluido é definido como o volume ocupado pela unidade 
de massa, e é designado pelo simbolo v. Comparando-se com a massa 
especifica, que é a massa associada à unidade de volume, podemos dizer então 
que 
 
Temos também que: e 
 
Viscosidade de um fluido 
A viscosidade de um fluido é a propriedade que determina o grau de sua 
resistência à força cisalhante. A viscosidade é devida preliminarrmente à iteração 
entre as moléculas do fluido. 
 
Figura 1.4 - Placas paralelas em movimento relativo com um fluido entre elas 
Baseado na figura 1.4 considere duas placas largas e paralelas, separadas por 
uma pequena distância y. O espaço entrre as placas é ocupado por um fluido. 
Consideremos que sôbre a placa superior atue uma força F e que, portanto esta 
se move com uma velocidade constante U. ( è claro que ocorreu uma aceleração 
enquanto a placa atingia o valor U num determinado intervalo de tempo). O fluido 
em contato com a plca superior ficará aderente à mesma e se moverá com a 
velocidade U; e o fluido em contato com a placa inferior ( fixa) terá velocidade 
nula. Se a distância y e a velocidade U não são muito elevadas a variação de 
velocidade ( gradiente) será uma linha reta, conforme demonstra a figura 1.4. 
Experimentalmente se verifica que a força F varia diretamente com a área da 
placa , com a velocidade U e inversamente com a distância y. 
Por semelhança de triangulos:: 
 Matematicamente 
 F α = A ou 
Os fluidos que seguem estas duas relações são chamados de fluidos 
Newtonianos. 
A constante de proporcionalidade é a viscosidade dinamica do fluido, e, portanto: 
 → Tensão de cisalhamento em [ kgf/m²] 
Teremos: → [kgf/m²] / [m/s]/m] = [kgf x s / m² ] → Sistema MKS* 
Se a força estiver em Newtons ( SI ) : 
[ = N x s / m² = (kg x m/s²) x s / m² = [kg /sxm] 
No Sistema BG , análogamente → [lbf. s/ft²] = [slug / s x ft] 
 
Figura 1.5 - Variação da velocidade com a distância entre placas 
 
Outro coeficiente de viscosidade, o coeficietne de viscosidade cinemático definido 
como : 
Coeficiente cinematico ( ) = [ m²/s] ou [ft²/s] 
Relações matermaticas para viscosidade 
 [ m²/s] ou [ft²/s] ainda 
As viscosidades nos liquidos decrescem com oaumento da temperatura e não são 
afetadas apreciavelmente pelas variações de pressão. 
Uma vez que o peso especifico dos gases varia com a variação de pressão 
(considerando temperagtura constanmte) a viscosidade cinematica varia 
inversamente com a pressão. 
Nos gases a viscosidade absoluta aumenta com o aumento da temperatura e não 
é afetada apreciavelmente com alterações na pressão. 
Pressão de vapor 
Quando a evaporação ocorre dentro de um espaço fechado, a pressão parcial 
criada pelas moléculas de vapor é chamada de “pressão de vapor”. Depende da 
temperatura e aumenta com a termperatura. 
Os valores são tabelados para as suibstâncias. 
 Unidade [ kgf/m²] 
Por definição é a pressão exercida por um vapor, quando este está em equilibrio 
termodinâmico com o liquido qyue lhe deu origem, sou seja; a quantidade de 
liquido qye evapora é igual á quantidade de vapor que se condensa. 
A pressão de vaspor ,ede a “TENDENCIA” de evaporação de um liquido. Então, 
quanto maior for a sua pressão de vapor, mais volátil será o liquidio ( Ex: compare 
agua e alcool) e menor será sua temperatura de ebulição em relação a ou gtros 
liquidos de menor pressão de vapor, medidas na mesma temoperatrura e 
referência. 
 
Figura 1.6 - Liquido e vapor em recipiente fechado 
A massa de liquido cai conforme a pressão de vapor vai subindo, até atingirem o 
equilibrio. Daí a ebulição, quando a pressão do vapor formado, se igualar à 
pressão de vapor tabelada para o liquido em apreço. 
.Tensão Superficial (σ) 
Tensão superficial de um l iquido é o trabalho necessário que deve ser fornecido 
para retirar moléculas suficientes do interior do liquido para a superficie, a fim de 
formar nova unidade. 
Um liquido sendo incapaz de se expandir livremente, formará uma interface com 
um segundo liquido ou gas. As moléculas mais profundas do liquido, se repelem 
mutuamente de tal forma que o efeito é em todas as direções, e a resultante das 
forças é nula. 
As moléculas da superficie são menos densas e se atraem mutuamente, uma vez 
que agora faltam metade de suas vizinhas para fecharem o balanço de forças. 
Surge aqui um desequilibrio que necessita de compensação. O efeito mecânico e 
compensatório deste fenomeno é que a superficie fique sob tensão. 
Se um corte de comprimento dL é feito na superficie interfacial, forças iguais e 
opostas serão verificadas, de magnitude [σ.dL] e de direção perpendicular ao 
plano de corte, sendo estas forças paralelas à superficie. 
σ é chamado de coeficiente de tensão superficial e tem dimensões [ F/ L], tem a 
grandeza de força/unidade de comprimento, que é equivalente à energia por 
unidade de área. 
No Sistema SI, sua grandeza é o Newton por metro , ou Joule por metro cubico. 
No sitema CGS utilizamos o dina por centimetro e o erg por centimetro quadrado. 
( Joule e erg são unidades de energia). 
Vejamos: [σ] = 1 dyn/cm = 1 erg/cm² = 0.001 N/m = 0.001 J/m² 
 
Figura 1. 7 - Recipiente contendo um fluido liquido 
 A forças F1 exigem um trabalho (energia) para deslocar as moléculas superficiais 
Concluindo, a Tensão Superficial é um efeito fisico que ocorre na interface entre 
liquido e gás ou entre liquido e liquido imisciveis ( que não se misturam). Faz com 
que a camada superficial de um liquido venha a se comportar como se fosse uma 
membrana elástica. Esta propriedade é causada pelas forças de coesão entre 
moleculas semelhantes, cuja resultante vetorial é diferente na interface. Enquanto 
as moléculass situadas no interior de um liquido são atraidas em todas as 
direções pelas ações das moleculas vizinhas, as moleculas da superficie do 
liquido sofrem apenas atrações laterais e internas. Este desbalanço entre as 
forças de atração é o que faz a interface se comportar como uma pelicula elastica, 
como se fosse um Latex. 
Pressão nos fluidos 
É transmitida com igual intensidade em todas as direções e atua normalmente a 
qualquer plano. Em um mesmo plano horizontral, as intensidades de pressão em 
um liquido, são iguais. 
Definimos a pressão como a relação entre a força normal a uma superficie pela 
area desta superficie. 
Assim, teremos: p = Fn / A 
A pressão p em um fluido em equilibrio é a mesma em todas as direções. 
A unidade de pressão no sistema internacional ( SI ) é o Pascal que vale 1 N/m². 
A atmosfera padrão (ao nivel do mar, 760 mm Hg) vale: 
 1 atm = 101325 Pa , que é ligeiramente maior do que o bar ( 1 bar = 105 Pa = 
0.1 Mpa ) 
A unidade de pressão mais utilizada no sistema inglês é o [ lbf/ft² ] e também se 
usa 
[lbf/in²]. = [psi] 
 
Figura 1.8- Diagrama de leitura de pressões 
 
 Exemplo : Seja um gás com Pabs = 4 [kg/cm²]. Sendo a pressão atmosferica ao 
nivel do mar = 1,03 [kg/cm²] . Então pelo diagrama acima, a pressão manométrica 
será de 4.0 kg/cm² - 1.03 kg/cm = 2.97 kg/cm².. 
Suponhamos agora uma pressão absoluta de 0.47 kg/cm². Então a pressão 
manometrica será : 
 0.47 kg/cm² - 1.03 kg/cm² = - 0.56 kg/cm² . Esta pressão manométrica é 
negativa, portanto deve ser lida em manometro de vacuo. 
Diferenças de pressão 
A diferença de pressão entre dois pontos em diferentes niveis de um liquido é 
dada por: 
 
Onde w é o peso especifico do liquido e p são as unidades de pressão e h são as 
cotas ( alturas em relação à superficie). Assim, para um ponto qualquer abaixo da 
superficie a pressão será: 
p = wh. 
 Aqui podemos citar mais algumas unidades de pressão usuais: 
 1 atm = 10.33 metros de coluna de água ( mca) ≈ 1 kg/cm² 
 1 psi = 0.7 mca = 7x 10-3 kg/cm² 
Para um fluido compressivel ( gás) suas variações de pressão são geralmente 
muito pequenas em virtude dos pequenos pesos unitários, ainda com o agravante 
de que a pressão decresce quando a altura aumenta. Assim, a lei de variação da 
pressão para gases fica: 
dp = - w dh, 
que é uma expressão diferencial, onde o sinal negativo é devido à pressão 
decrescer enquanto a altura crescer. 
Altura de carga 
È dada pela expressão 
 h (metros de fluido) = p(kg/m²) / w ( kg/ m³) nas unidades do sistema SI. 
 Representa a altura de uma coluna de fluido homogeneo que produzirá uma dada 
intensidade de pressão. 
Modulo de Elasticidade Volumétrico (E) 
O modulo de eslasticidade volumetrico ( E ) expressa a compressibilidade de um 
flu ido. É a relação da variação da pressão unitária para a correspondente 
variação de volume por unidade de volume. 
 [kgf/m²] ou [lbf/ft²] 
 
Exemplo 1.4 - Calcular o peso especifico w, o volume especifico vs e a massa 
especifica do metano a 27ºC e a 9 kg/cm² absoluta. 
Dado: constante dos gases R para o Metano = 53[m/K] 
Considerar sistema MK*S, onde 1 kg e 1 kgf são numéricamente.iguais. 
Solução 
Aplicando a equação dos gases perfeitos para o metano 
 
Onde, para o volume especifico: 
Substituindo os valores, vem: 
 
Para a massa especifica teremos: 
 
Substituindo os valores, teremos: 
 = 90000/ 53x300 [kg/m2/ [m/K]x[K] = 5.66 [kg/m³] 
 
Para o peso especifico teremos: 
 
 
 Observação: 
A massa especifica e o peso especifico são numéricamente iguais, embora o 
sejam diferentes fisicamente. Devido a este fato, muitos autrores fazem o seguinte 
raciocinio, apenas para gases: 
 
Vejam porque: 
 
Considerando este fato, os problemas podem ser simplificados considerando na 
erquação dos gases perfeitos que , que poderia ter sido 
utilizada no problema do exemplo 1.4. 
 
Exemplo 1.5 - Se 6 m³ de um óleo pesam 4800 kf,. calcular a massa especifica 
e o peso especifico. 
Solução : 
Peso especifico: 
Massa especifica: 81.6 [kgf/m³] x [s²/m] = 
81.6[9.8 N/m³]x[s²/m] = 81.6x9.8[N/m³]x[s²/m] = 816 [kgm/s²m³][ s²/m] =816 kg/m³ 
 Observação: verificamos aqui ser o peso especifico quase que numericamente 
igual à massa especifica, (diferença de 2%) quando se tratar de unidades em 
[kgf/m³] para o peso especifico e [kg/m³ ] para a massa especifica. 
 
Exemplo 1.6 – A 32ºC e 2.1 kg/cm² o volume especifico de um certo gás era de 
0.70 m³/kg. Determinar a massa especifica ( ) e a constante dos gases ( R ) 
para este gas. 
A pressão foi dada no sistema MK*S , onde 1 kg = 1 kgf numéricamente. 
Aplicando a equação caracteristica para este gas: 
 
Substituindo os valores, vem: 
 (kg/m² x m³/kg) / K 
 
Massa especifica será: 
 
 FIM 
 
 
 
 
 
 
 
CAPITULO 2 - ESTATICA DOS FLUIDOS 
Segunda parte 
 
MANOMETRIA 
 
Barometro de Mercurio 
 
O barometro é um instrumento desenvolvido para medir a pressão atrmosférica. 
Foi inventado por Torricelli em 1643,. 
 
 
Figura 2.17 EXPERIENCIA DE TORRICELLI 
Ao emborcar o tubo de Hg (Mercurio) no BECKER, verifica-se que a coluna deste 
desce para dentro do recipiente até que o peso desta se iguale ao peso da coluna 
de ar atmosférico a partir da superficie livre de mercurio no Becker. Como os 
niveis estão agora estaticos e em equilibrio, podemos concluir que a altura do nivel 
de mercurio dentro do tubo é igualado à pressão atmosférica, e, se tivermos um 
tubo quadrado, leremos esta pressão em “ coluna de Mercurio”. 
O comprimento então da coluna de mercurio torna-se uma medida da pressão 
atmosférica. 
Quando esta verificação é realizada ao nivel do mar, a coluna de mercurio medirá 
760 mm de Hg. 
O ponto A na experiência de Torriclelli na figura 01, pertence ao plano da 
superficie livre do mercurio no recipiente. 
Pela lei de Stevin: “a pressão num liquido em repouso aumenta proporcionalmente 
com a profundidade, e, a constante de proporcionalidade, é o peso especifico do 
liquido”, podemos tirar que em A:: 
 PA = PATM + w h (Pascal e Stevin) 
Onde w = peso especifico do mercurio e h = hHg = distância entre os niveis do 
mercurio no tubo e no Becker. 
Ocorre que, pela lei de Stevin, acima do nivel de mercurio do tubo, não temos 
pressão atmosferica, mas, na realidade, pressão de vapor de mercurio, cujo valor 
para estes cálculos é desprezivel. Por isto PATM = 0 nesta superficie. 
 Assim, temos: PA = wHG.hHG ( A ) 
Se analisarmos agora, sob outra afirmação embutida na Lei de Stevin, de que 
cada plano de corte de um fluido (imaginario) a pressão é constante, então, como 
o ponto A está no mesmo plano da pressão atmosférica, a pressão em A é a 
atmosférica 
Portanto. PA = PATM LOCAL (B) 
Igualando (B) com (A): ( C ) 
Assim, rigorosamente, define-se: “Uma atmosfera como sendo a pressão exercida 
por uma coluna de mercurio normal, hn = 0.76 [m] , a 0º C, submetida à 
gravidade normal, “ 
 = 9.80665 “[m/s²] e ao nivel do mar”. 
 Dados para o Mercurio: Hgn = 13.595,2 [ kg/m³] e wHgn = 133.323,00 [N/m³] 
Substituindo na equação (C ) , ficará: 
 
Assim, a atmosfera normal será 
O Pascal é a unidade de pressão no SI (Sistema Internacional) . 
Outras unidades NÃO-SI, mas de uso frequente: 
bar 
Kgf/cm² 
mca = metros de coluna de água 
mm de Hg 
 Psi = 1 lbf/in² 
Conversão de unidades de pressão: 
1 atm = 101.325 Pa = 101,325 Kpa = 1,01325 bar = 1,03322 kgf/cm² = 10.332 mca 
= 760 mm Hg = 14,7 psi 
1 bar = 100 Kpa 
** Em São Paulo, podemos considerar a Pressão atmosférica local de 890 mm HG 
e estamos a uma altitude de 820 metros em relação ao mar. 
Manômetros 
Medem a pressão manométrica. 
A pressão manométrica é aquela que é medida em relação à pressão atmosférica 
existente no local, podendo ser positiva ou negativa. 
Quando ela for negativa, é porque seu valor está abaixo da pressão atmosférica, e 
chamamos este valor negatrivo de pressão medida, de VACUO;. 
Básicamente existem tres tipos de manômetros de tubos com liquido e o 
manômetro metálico ou de Bourdon. 
 
 Piezômetro 
 Consiste de um tubo de vidro ou de plastico transparente, acoplado diretamente 
ao reservatório no qual se deseja medir a pressão do liquido. O tubo de vidro é 
aberto para o exterior. 
 
 
Figura 1.18 Piezometro 
Pela lei de Stevin: 
 
A pressão manométrica é de leitura direta e vale PA = wh 
 
Lembrete 
 
Figura 2.19 Referencia para as pressões medidas 
Inconvenientes 
1 Não mede pressões negativas 
2- Impraticável para medir pressões elevadas. A coluna seria muito alta. 
3 - Não é aplicavel para medir pressão de gas. Não formaria a coluna 
devido ao escape do gas. 
 
 
 
 
 
 
Manometros de tubo em U 
 
Figura 2.20- Manômetro com tubo em “U” 
O ponto B pertence ao plano horizontal que contém A, que é o ponto no qual 
deseja-se medir a pressão. 
Como B está no mesmo plano de A, e em se trantando de ser o mesmo liqu ido, 
para todo o conjunto, conclu i-se, pela Lei de Stevin que PA = PB 
O ponto C pertence ao mesmo plano horizontal do nivel da coluna de liquido, que 
dista h de B, então aplicando STEVIN: 
PC = PB + wh 
Mas PB = PA → PC = PB + wh = PA + wh 
Mas, como C está no mesmo plano horizontal da PATM LOCAL → PC = PATM LOCAL 
Então, nossa equação ficará: 
 + wh 
 
 
Ou – 
A PATM LOCAL é nossa referência para pressões manométricas. por isto foi 
desconsiderada. 
Portanto 
Temos ai um vácuo. Verifica-se que se A estivesse acima de P, a pressão seria 
positiva. Na mesma linha de P seria zero e abaixo de P seria negativa. 
Inconvenientes 
1- Ainda não consegue medir pressões elevadas. A altura da coluna seria 
muito alta. 
2 – Não servem para gases, pois escaparia para a atmosfera 
 
 
Manometros de tubos em U com liquido manométrico 
Este liquido impedirá escape de gases pelo tubo, devendo servir também para 
leituras de pressões em fluidos gasosos. 
Se, para este fluido manométrico escolhido, tivermos os pesos especificos na 
relação 
Onde w é o peso especifico do fluido ao qual se deseja medir a pressão. Será 
então possivel medir pressões elevadas sem a necessidade de tubulações muito 
compridas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ESQUEMA 
 
Figura 2.21 Manômetro em U com fluido manométrico 
 
 Na figura 2.21, o ponto A pertence ao mesmo plano do ponto B e são do mesmo 
fluido. Portanto, concluimos pela lei de Stevin que: 
 PA = PB 
O ponto C pertence ao plano de interface entre os fluidos wMAN e w . Dista h2 
do plano do ponto B. 
Por Stevin, temos que: 
 
 
Por outro lado, aplicando a Lei de Stevin a partir da superficie livre do liquido 
manometrico, que dista h1 de D, teremos: 
 
Igualando as duas equações em PD teremos: 
 
Desta equação tiramos: 
Como 
 
Analizemos esta equação: 
1. Para uma pressão PA conhecida, quanto maior o wMAN , menor será h1 , o 
quie implica a não necessidade de tubos muito grandes (compridos) para 
se medir pressões elevadas. 
2. Então para se construir um manometro deste tipo, deveremos impor a 
relação: 
 
Exemplo: uso de mercurio como fluído manométrico para medir elevadas 
pressões de água ( 13.6x104 / 10 >> 1 ) podem ser aplicados com sucesso. 
Outro exemplo: Para gases, poderemos usar a água como fluído manométrico, 
pois: 
 
Manometro Metalico (Bourdon) 
( Eugene Bourdon FRANÇA 1849) 
 
Mede a pressão de forma indireta, por meio da deformação de um tubometalico. 
Quando ainda não instalado ele indicará zero em sua escala, independente da 
altitude. 
Equação fundamental para se r decorada: 
 
Na maioria das vezes, a pressão ambiente onde o manômetro está inserido é a 
pressão atmosférica ambiente local. 
A Pressão indicada no manômetro será relativa à atmosférica. Geralmente mede 
pressão acima da pressão atmosférica . Em casos onde se espera ler pressões 
menores do que atmosférica, utuilizamos o vacuômetro ou manômetro para medir 
vácuo, que faz o mesmo papel , apenas com a diferença de que lerá pressões 
abaixo da armosférica, e , assim , sua escala deve ser projetada para este fim. 
Muito usado na prática por ser mais conveniente do que os de tubo em U com 
liquidos. 
Desvantagem 
Às vezes, em linhas de processo de produção, ou em linhas de fluidos 
circulantes, podem ocorrer gradientes de pressão, e isto pode levar o ponteiro a 
valores maiores do que seu fundo de escala e o tubo curvado pode deformar-se 
e não mais voltar à posição original, ocasionando imprecisões nas medidas. 
 
Figura 2.22 Foto de um manometro de Bourdon 
 
 
Figura 2.23 Vista interna do manômetro de Bourdon 
 
Como Funciona? 
1) O fluido pressurizado entra no manômetro através da conexão roscada da 
tomada de pressão 
2) Adentra pelo tubo de Bourd on e vai até seu final. Sendo este tubo fechado 
em sua extremidade, e, não tendo para onde escapar, o fluido deforma o 
tubo de Bourdon que sofre uma deflexão, devida à pressão do fluído e 
move o LINK ( alavanca articulada) 
3) Esta alavanca move o pinhão, que por sua vez aciona a coroa dentada no 
centro do equipamento. 
4) A coroa, estando conectada ao ponteiro, desloca-o , de forma que na 
escala ele indicará a pressão existente dentro do tubo Bourdon, que é a 
mesma que foi capturada pela conexão . 
5) Lemos na escala a pressão manométrica, ou seja, a pressão sem levar em 
conta a atmosférica. 
Considerações finais sobre Bourdon 
As aplicações com este tipo de manômetro são as mais utilizadas na industria e 
com enorme aplicação : 
- indústria petroquimica 
- indústria quimica 
- Instalações de vapor 
- Instalações de agua fria e água quente 
 Instalações frigorificas 
 Instalações com altas temperaturas 
etc... 
- A ordem máxima de pressões utilizadas chega em torno de 1000 kgf/cm² 
 - Alguns manômetros são fornecidos com enchimento liquido para proteção 
 - Alguns vêm com proteção contra sobrepressão. 
 - Os de baixa pressão utilizam diafragma como medida de proteção. 
 
EXEMPLO 2.4 - 
Na figura 2.24, temos um reservatório contendo AR, e que se encontra dividido por 
uma comporta. No lado esquerdo temos o reservatório de AR nº 01, que está à 
pressão p1 e no lado direito temos o reservatório de AR número 02, que se 
encontra à pressão p2. O manômetro instalado está indicando uma pressão de 2.5 
kg /cm². 
Pede-se para determinar a pressão p1. do reservatório número 01, sabendo-se 
que no ambiente externo ao reservatório, a pressão é a atmosférica local. 
 
Figura 2.24 Reservatório de AR 
Solução 
O manômetro não se encontra no ambiente externo, que está à pressão 
atmosférica local. A pressão ambiente para o manômetro é a mesma pressão do 
reservatório numero 02, ou sejas: p2 
Pelo fato de um fluído gasoso, ocupar todo o espaço que o contém, todos os 
pontos do reservatório 02 estão na mesma pressão p2 . 
Observamos que o ponto A no tubo em “U”, está no mesmo nivel do mercurio 
dentro do reservatório 02. 
 Assim, podemos escrever que : 
p2 = pA 
Mas pressão em A também vale : 
 
Notamos que a unidade de pressão para PA será dada em [kgf/m²] 
Desprezando a pressão atmosférica local porque queremos achar a pressão 
manométrica e não a absoluta, teremos: 
= 1.36 x 
Pela equação do manômetro de Bourdon, 
 
Substituindo os números, vem: 
 
Portanto 
 
Exemplo 2.5 
Na figura 2.25 abaixo, determinar a diferença de pressão entre os tanques A e B 
dados os pesos especificos e os desniveis: 
 wAR = 11.8 [N/m
3] d1 = 300 mm d4 = 200 mm 
wAGUA = 9810 [N/m
3 ] d2 = 150 mm 
wMERCURIO = 132800 [N/m³] d3 = 460 mm 
 - 
Figura 2.25 – Dois balões interligados por tubo em “U” 
Solução 
Verificando a Lei de Stevin, podemos montar as seguintes equações|: 
 ( 1 ) 
 ( 2 ) 
 ( 3 ) 
 ( 4 ) 
 ( 5 ) 
 ( 6 ) 
Partindo da equação (2 ) , temos: 
 
Substituindo a equação (5 ) na ( 4 ) , vem: 
 + 
Como e 
 + 
Rearranjando os termos, ficará: 
 - 
Substituindo os valores, teremos: 
 
 
Fazendo as contas: 
 = 76869.80 [N/m²] 
Ou se quizermos a resposta em [Kpa = quilopascal) , sabendo-se que 
1 N/m² = 1 Kpa , vem 
 = 76,87 [kPa] 
Exemplo 2.6 
Determinar a força que deverá ser aplicada no ponto A da comporta da figura 
2.26, para que esta permaneça em equilibrio, sabendo-se que a mesma pode 
girar em torno do ponto “o” ? 
Dados: 
p01 = 1 [kgf/cm²] p02 = 0.5 [kgf/cm²] w1 = 1000 [kgf/m³] 
w2 = 800 [kgf/m³] 
Momento de inércia de um retângulo em relação ao eixo de seu baricentro: 
 
A comporta é retangular e mede respectivamente, altura = 5.0 m x 2.0 m de 
largura . 
 
Figura 2.26 – Tanque e sua comporta retangular capaz de girar em torno 
do ponto “O” fixo. 
 
Solução 
Carga devida ao reservatório 1 = força devido à pressão p01 + empuxo devido ao 
volume do liquido aplicado no centro de pressão (ou centro de empuxo) da 
comporta. 
Assim, matemáticamente, podemos escrever as equações: 
 ( 1 ) 
Mas 
Com A = 2x5 = 10 [m²] 
Analogamente: 
Com e A = 10 [m² ] 
 
 
 
 
 
Cálculo do Centro de Empuxo: 
 
 
Figura 2.27 - Empuxos e cotas para centro de pressões e baricentro 
 
Com 
Substituindo os valores para o centro de pressões, fica: 
 = 3.5 [m] + = 4.095 [m] 
Diagrama de corpo livre da comporta: 
 
 
 Assim, teremos: 
 
 + 800[kgf/m³]x3.5 [m]x10[m²] = 
78000[kgf] 
Na figura abaixo ve-se que as linhas de ação das forças provocadas pelos fluidos 
em cada tanque, estão alinhadas, e de sentido contrário. Aplicaremos a 2ª Lei 
de Newton, que diz que a somatória dos momentos em ralação a um ponto deve 
ser zero para o equilibrio: 
 
Por convenção, no sentido contrário ao ponteiro dos relógios, o momento é 
positivo. Assim, teremos para a soma dos momentos em torno de “O” : 
135000 x 3.09 – 78000x3.09 + 5 R = 0 
R = (- 417150 + 241020) / 5 = - 35226 [kgf] 
Como a fôrça deu um valor negativo, significa que na verdade o R está com o 
sentido contrário ao que foi suposto. 
 Então, como R é um vetor, deve ter resposta completa: 
 Módulo: 35226 [kgf] 
 Dirteção: Horizontal 
 Sentido: Da direita para a esquerda. 
O Principio de Archimedes 
“ Um corpo total ou parcialmente imerso num fluído qualquer, fica submetido a 
uma força vertical ascendente de módulo igual ao peso do fluído deslocadopelo 
corpo, agindo no baricentro do volume deslocado”. 
Seja um cubo totalmente imerso em um liquido. 
 
 
Figura 2.28 - Cubo imerso em um tanque com liquido 
 
Esta força ascendente e vertical se chama EMPUXO. Quem faz ocorrer a força de 
empuxo é o fluído,. O fluído exerce a força sobre o corpo através da pressão. 
 
Figura 2.29 - Pressões no cubo imerso 
No plano horizontal, Lei de Stevin 
 Pela Lei de Stevin, e a resultante das forças na horizontal é 
igual a zero. 
No Plano vertical, ( 1 ) 
Sendo A = área da face onde a pressão incide perpendicularmente, e, 
multiplicando a equação (1 ) toda por A, esta não irá se alterar, e ficará: 
 = 
Mas, Pressão x Area é força, então, podemos escrever: 
 
Mas ∆h x A = Volume do fluido = VFLUIDO = VFD 
 Assim, 
 
VFD é o volume de fluido deslocado. No caso de corpo imerso é numericamente 
igual ao volume do corpo que está imerso. 
Então ∆F = . (2) 
A análise dimensional desta expressão, nos fornecerá, para o Sistema 
Internacional ( SI): 
[N] = [m/s²] → [N] = [N ] → dimensionalmente correta. 
Portanto, 
 
Assim, 
Empuxo = E = PesoFLUIDO DESLOCADO [N] 
Assim, com esta expressão acabamos de verificar o Principio de Archimedes “ 
“Um coropo total ou parcialmente imerso em um liquido, fica sujeito a uma força 
verrtical ascendente que é igual ao peso do fluido deslocado pelo corpo.” 
No caso de um cubo parcialmente imerso (ou emerso) teremos: 
 
Figura 2.30 - Bloco parcialmente imerso num liquido 
No caso de imersão em ar, vamos explicar com exemplos: 
Exemplo 1 – Imaginemos um balão ( “ bexiga “ ) de HIDROGÊNIO. 
Uma vez solta na atmosféra, deverá subir, porque o empuxo é maior do que o 
peso do balão. 
Exemplo 2 - Qualquer pessoa sobre a terra, imerso no ar atmosférico, não irá 
flutuar, porque seu peso é maior do que o empuxo provocado pelo ar atmosférico. 
Exemplo 2.7 
Um bloco de medidas CxLxH, sendo H = 6 cm, está parcialmente imerso em um 
liquído de massa específica = 1200 [kg/m³] , sendo que o bloco é de massa 
especifica = 800 [kg/m³] , conforme demonstrado na figura 2.31. 
 
Figura 2.31 - Bloco parcialmente imerso em massa liquida 
Pede-se: 
1. Calcular o valor de “h” que é a altura imersa 
2. Considerando-se o bloco totalmente imerso, qual será sua aceleração? 
Solução 
1. Calculo de “h” 
Empuxo =E = peso deslocado, segundo Archimedes. 
Portanto 
 ( 1 ) 
Onde mFD = massa do fluido deslocado pelo volume imerso 
Da definição de massa especifica, 
= (2) 
Ou ainda = CLh: ( 3 ) , onde VFD = volume de fluido deslocado e 
 
 
Substituindo as equações (2 ) e ( 3 ) na equação (1 ) , fica: 
 = 
 (4) 
Por outro lado, o peso do bloco é dado por: = 
= ( 5 ) 
Fazendo um diagrama de corpo livre do bloco parcialmente imerso, teremos: 
 
Figura 2.32 - Esquema para diagrama de corpo livre 
 
Como o fluido está em repouso, não existe aceleração e assim a = 0. 
Então, aplicando a relação de Newton: 
 
R = 0 , e , portanto, E -- Wb = 0 
Mas ( 4) e = ( 5 ) 
Portanto, 
 = 0 ( 6 ) 
Simplificando esta equação ( 6 ) , teremos: 
 = 0 = ( 7 ) 
Desta equação ( 7 ) sai a expressão para o calculo de “h” 
 
Substituindo os valores, fica: 
] x = 
2. Aceleração para bloco totalmente imerso 
Nesta condição o volume de bloco a ser considerado agora será 
V = C.L. H 
Que é igual ao volume de fluido deslocado. 
Como o bloco agora sobe, isto significa que o empuxo é maior do que o peso do 
bloco.Desta vez não há repouso do bloco, então , agora , a partrir do diagrama de 
corpo livre, vemos que: 
 
E – Wb = m.a 
 
Onde ( 8 ) 
 
Da definição de massa especifica, → 
 
Substituindo na equação (8) fica: 
 
 = ( 9 ) 
 
Simplificando a equação (9) teremos: 
 
 (10) 
 
Desta equação (10) sai a expressão para o cálculo da aceleração “a” 
solicitada: 
 
 
Substituindo os valores, obtermosd: 
 
 
 
Exemplo 2.8 – 
Um objeto prismático de 200 mm de espessura , por 200 mm de largura e 400 
mm de comprimento foi pesado na agua a uma profundidade de 500 mm e se 
encontrou o peso de 5 kg. Qual seria seu peso no ar e sua massa especifica? 
Dados: g = 9.8 [m/s²] 
Peso especifico da agua = AGUA = 1000 [kgf/m³] 
Solução 
Esquema: 
 
Figura 2.33 Diagrama de corpo livre do exemplo 2.8 
 
 
Considerando-se que o fuído está em repouso, não temos aceleração. 
Assim, pela 2ª Lei de Newton, a resultante das forças agindo no corpo será nula. 
Então, na direção Y teremos 
T – W + E = 0 → (1) 
Sabendo-se que T = 5 kg, podemos substituir na equação ( 1 ) e ficará: 
 W = 5 + E (2) 
Mas, por definição E = Peso de fluído deslocado e como o bloco está totalmente 
imerso, teremos: 
 ( 3 ) 
Da definição de massa especifica, tiramos para o fluído que: 
 = . que, substituindo em ( 3 ) ficará: . .g 
Assim, substituindo os valores conhecidos, teremos para o empuxo: 
 .9.8 [m/s²] = 16 [kgf] 
Substituindo na equação (2 ) , teremos: W = 5 + 16 = 21 [kgf] que é o peso do 
bloco no ar, solicitado. 
Calculo da massa especifica do bloco: b = 
O peso do bloco é dado por: Wb = mb . g 
Assim: 
 → mb = 21 [kg] 
 O volume do bloco é conhecido V = 0.2 x 0.2 x 0.4 = 16 x 10-3 [m³] 
Assim, a massa especifica do bloco será: 
 = 1312.5 [kg/m³] que é a massa especifica do bloco, 
solicitada. 
 
FIM do Capitulo 2 
 
 
 
 
CAPITULO 2 - ESTATICA DOS FLUIDOS 
 
2.1 – Introdução 
A estatica dos fluidos estuda as forças exercidas por e sôbre os fluidos em 
repouso. 
2.1.1 Forças devido à pressão 
A pressão exercida pelo fluido é sempre normal ao plano formado pela superficie. 
A distribuição de pressão exercida por um fluido estatico e seu efeito em 
superficies solidas e corpos imersos ou flutuantes, se refere a fluido estatico, ou 
seja; não há movimento. 
Quando a velocidade do fluido é zero, denotada como condição hidrostatica, a 
variação da pressão é somente relativa ao peso do fluido. 
 Assumindo um fluido conhecido em um dado campo de gravidade, a pressão 
pode facilmente ser calculada por integração. 
Importantes aplicações destes conceitos são: 
 - o estudo de distribuição de pressão na atmosfera e nos oceanos, 
 - elaboração de projetos de equipamentos para medir pressões, 
 - os esforços sobre as superficies planas ou curvas,. 
 - as ocorrências nas vizinhanças de um corpo submerso 
 - o comportamento de corpos flutuantes. 
Considerando-se uma superficie plana qualquer no espaço e uma força também 
qualquer aplicada em um ponto qualquer deste plano, poderemos sempre 
decompor esta força em duas componentes que serão: 
Ft = força tangencial 
Fn = força norm,al ao plano 
 
Figura 2.1 - Projeções de uma força qualquer 
Na figura 2.1, Ft origina as tensões de cisalhamento e Fn origina as pressões 
Se considerarmos uma força infinitesimal dFn aplicada em uma área também 
infinitesimal dA , teremos poer definição que a pressão será : 
dP = dFn/ dA 
Se considerarmos a pressão em toda a area A , então teremos: 
P = → P = F/A → no SI →MKS → [ N/m²] 
e no MKS* [ kgf/m²]. 
É muito usual, [kgf/cm²] ou [Psi] = [lbf/in²] 
2.1.2 – Gradientes de pressão 
A pressão normal em algum plano através de um elemento de um fluido em 
repousoé igual a um unico valor chamado de pressão fluida “p” , tomada 
positiva para compressão , 
 
Figura 2.1 Vista em 3 dimensões da figura 2.2 
 
 
Figura 2.2 Elemento diferencial fluido em forma de cunha 
 
No diagrama de corpo livre da firuara 2.2 temos uma pequena cunha em repouso 
de lados ∆x por ∆z por ∆s e profundidade “b” perpendicular ao plano do papel. 
Vamos considerar as pressões Px, Pz e Pn diferentes em cada face da figura. O 
peso do elemento também é importante. Não temos aceleração devido à condição 
de repouso. Assim, a somatória das forças deverá ser zero, nas dirações X , Y e Z 
∑ Fx = 0→ = 0 
∑Fz = 0 → ∆x - b ( 2.1) 
Da geometria da cunha, tiramos: 
= 
 (2.2) 
Substituindo nas equações ( 2.1 ) e rearranjando as expressões, tiramos que: 
Px = Pn e Pz = Pn - ½ w ∆z (2.3) 
Temos aqui, dois importantes principios da hidrostatica: 
1) Não temos mudança de pressão na direção horizontal 
2) Existe uma mudança na pressão vertical proporcional à massa especifica e 
à gravidade e também na face que representa a profundidade. 
No limite, quando ∆z→0 , as equações (2.3) se tornam: 
Px = Pn = Pz =P ( 2.4) 
Sendo Ѳ um ângulo arbitrario, podemos concluir que a pressão “p” em um ponto 
 qualquer de um fluido estatico é independente de sua orientação. 
2.1 3 – Forças de pressão em um elemento fluido 
A pressão ou outras tensões não causam esforços em um elemento fluido a 
menos que este varie espacialmente. 
 
 
 
 
Consideremos a figura : 
 
 
Figura 2.3 Cubo fluido de medidas infinitesimais 
 Suponhamos que a pressão varie arbitrariamente. 
Assim, P = p ( x,y,z,t) (2.6) 
A força loquida na direção x sôbre o elemento da figura 2.3 é dada por : 
= P = P = - 
 
 (2.7) 
Analogamente, para os outros dois eixos teremos: 
 e 
 
Então, o vetor força liquida total no elemento liquido será: 
 ( 2.8 ) 
O termo dentro do parenteses na equação (2.8) é chamado de gradiente de 
pressão “P”. 
De ( 2.8) temos: = - VP 
Denotando por f como sendo a força liquida por unidade de volume, teremos: 
 ( 2. 9 ) 
Assim, não é a pressão, mas o gradiente da pressão, quem causa a força liquida à 
qual precisa ser balanceada pela gravidade ou a aceleração em algum outro 
efeito do fluido. 
2.1.4 Equilibrio de um elemento fluido 
 Considerando as tres forças basicas que agem em um elemento de fluido, 
teremos: 
Forças de pressão, dadas por (- VP), P é a pressão 
Forças gravitacionais , dadas por ( g) , é massa especifica e g é a 
aceleração da gravidade local 
Forças viscosas, dadas por (µ V2 V), V2 V é o gradiente em segunda ordem do 
vetor velocidade do fluido. 
Pela segunda lei de Newton, a força resultante é igual ao produto da massa pela 
aceleração. Aqui usaremos a massa especifica por se tratar de flu ido. 
 
Em linguagem matematica , escreveremos: 
 V ( 2.10) 
Isolando o componte da pressão, podemos escrever: 
V ( 2.11 ) 
Esta equação representa uma forma geral à que fica submetido um elemento 
fluido qualquer. Trata-se de uma equação difierencial cuja solução são funções de 
variação da pressão nos tres eixos (X) (Y) e (Z). 
2.2 Lei de Stevin 
“ A pressão em um liquido em repouso aumenta proporcionalmente à 
profundidade, sendo a constante de proporcionalidade igual ao peso especidfico 
do liquido”. 
Hipoteses basicas: 
a) Fluido Incompressivel * (liquidos) 
b ) Fluido em repouso 
 
Figura 2.4 Cubo liquido com ponto A em profundidade 
De acordo com Stevin : 
 
Onde w é o peso especifico do liquido 
 Conclusões: 
1) A pressão varia linearmente com a profundidade 
2) A pressão é sempre a mesma em qualquer ponto em um mesmo plano 
horizontal para um mesmo liquido. 
 
2.3 – A Lei de Pascal 
“ A pressão aplicada em qualquer ponto de um fluido em repouso, transmite-se 
integralmente a todos os pontos do fluido”. 
(BLAISE PASCAL – matematico Frances – 1623 – 1662) 
Verifica-se facilmente analizando-se a equação baseada na Lei de Stevin. 
Se houver alguma alteração na pressão atmosferica, ∆ teremos: 
 
 A altura “h” é arbitraria ,portanto qualquer ponto pode ser escolhido, mas a 
parcela ( continuará na expressão de Stevin, isto é, somar-se-á 
ao valor wh sempre, portanto, transmite-se para todo o resto do liquido. 
Uma aplicação prática desla lei é a amplificação , uisada em prensas hidraulicas. 
 
Figura 2.5 Principio da Prensa Hidraulica 
Vejamos: 
A Pressão aplicada é “P” e se propaga por todo o liquido. 
S2 > S1 
 
Relacionando → = ·. → 
Olhando para esta expressão vemos que , como S2 é maior do que S1 , a Fôrça 
F2 foi multiplicada por um número maior do que 1.0 , e , portanto, amplificada. 
 
2.4 Empuxos em superficies planas 
 
 As forças aplicadas por liquidos em repouso são denominadas de empuxos. 
 
Figura 2.6 Placa plana imersa em um tanque com um liquido 
A placa plana de área S e de espessura desprezivel está submersa 
horizontalmente. O liquido tem peso especifico “w” e a placa se encontra a uma 
altura “h” da superficie. 
A pressão atmosférica que age na superficie é transmitida integralmente através 
do liquido para a face superior da placa. A Pressão atmosferica age também na 
face inferior da placa e se anula , uma vez que na parte superior temos a mesma 
pressão atmosférica , porém de sentido contrário. 
O empuxo será dado então por E = P.S = w h s aplicada no centrro de gravidade 
da placa. 
 No caso de uma placa inclinada, teremos: 
 
 
Figura 2.7 Placa Plana e inclinada 
 
 
Figura2. 8 - Distribuição da pressão sobre a placa 
A distribuição de pressões deve ser uniforme, 
Agora 
 hG = é a profundidade do centro de gravidade da placa 
 hc = é a profundidade do centro de Empuxo ou centro de pressão. 
 O valor de hc é dado pela expressão: 
 = 
IG = é o momento de inercia da placa em relação ao eixo que passa pelo seu 
centro de gravidade 
Para placas retangulares temos 
 EXEMPLO 2.1 - Calcular o momento da força necessária para abrir a comporta 
no sentido anti-horário. 
 
Figura 2.9 figura do exemplo 2.1 
Calculos 
Calculo do hG 
 hG = ( 10 -3 ) + 2.5 senα = 7 + 2.5x 3/5 = 8.5 m 
 para uma placa retangular 
IG = = 20.83 m
4 
 
Figura 1.10 
Calculo da altura do centro de empuxo hC 
 = 
Substituindo os valores, vem: 
8.5 m + [ 20.83 m4/ (2x5) m2 x 8.5 m ] x [3/5]² = 8.588 m 
Calculo do empuxo 
 
 
 
Figura 2.11 
O Momento será : = E. L 
Sen (α) = k/L → L = 
O Momento será então = 2x no 
sentido anti- horário. 
Resposta : Momento = 2x106 Nxm sentido anti horario 
2.5 - Empuxo sobre superficies curvas 
 
Figura 2.12 - Superficie curva imersa em um liquido de peso especifico w 
 
Ex = Módulo da Componente horizontal do empuxo em X 
Ey = Módulo da componente horizontal em y 
 As expressões respectivas para os modulos de empuxo nas direçoes x e y ficam: 
 
 e 
 
O módulo do empuxo na direção Z será: 
 = w. V = onde V = volume de liquido que repousa sôbre a superficie 
curva “S” e “GS “ é o peso deste volume de liquido. 
A linha de ação da componente verical do empuxo, passará pelo baricentro do 
volume liquido que repousa sôbre a superficie curva S. 
O volume V pode ser real ou virtual. 
Virtual: quando a linha de ação da componente vertical EZ do empuxo for 
ASCENDENTE ( de baixopara cima ) 
Real: Quando esta linha for DESCENDENTE (de cima para baixo) 
 
Exemplo 2.2 -- Determinar a resultante “P” devida a ação da água na área AB 
retangular de 1 m x 2 m. 
Dados: Momento de inercia para um retângulo, em relação ao eixo que passa pelo 
centro de gravidade 
Peso especifico da água → 
 
 
Figura 2.13 
 
 
Solução 
Força exercia pelo volume de agua sobre a placa = E = 
Substituindo os valores, teremos: 
(2x1) [m²] = 5000 [kgf] 
 
Ponto de aplicação da fôrça: 
È dado pela expressão: 
Substituindo os valores, fica: 
 + (2.5) = 2.63 [m] do ponto O1 
 
Figura 2. 14 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 2.3 - : Determinar a força resultante devido à ação da água e qual a 
pressão na placa CD. 
CD é uma placa triangular que mede 2 mx 1.5 m de profundidade, ,conforme 
ilustrado na figura. 
Figura 
 
Figura 2.15 
Dados: wAGUA = 1000 kgf/m³ 
Baricentro do triângulo: 1/3 da altura do triângulo a partir de sua base. 
Momento de inercia de um triângulo em relação ao eixo que passa pelo seu centro 
de massas ( ou baricentro) → 
Solução 
O empuxo, que é a força que a água faz sôbre a placa, incidirá no centro de 
pressões ( hCP ). 
O empuxo será então : 
hCG = é a altura do baricentro do triângulo até o nível da água. 
A = área da placa triangular 
 
Figura 2.16 
 
O triângulo é isosceles e retângulo. Portanto a mediana também é altura e a 
altura do baricentrio será 1/3 a, onde a = altura do triângulo , 
a = 2.0 x sen ( 45º) = 
Portanto, a = 1.41 [m] 
 A altura do baricentro será então: ( 1.41) / 3 = 0.430 [m] a partir de DE na figura 
acima. 
Calculo de hG 
 
Calculo da ãrea da placa triangular:: 
A= 
Substituindo os valores na expressão do empuxo, teremos: 
 
 
A força causada pela agua será 2050.58 kgf aplicada em CP. 
Calculo do hCP 
 
Onde: hG = 1.94 m 
IG = 1.5[m] x 1.41³ [m³] / 36 = 0.117 [m
4 ] 
A = 1.057 [m²] 
 
1.997 [m] 
 
Pressão devido ao empuxo será : P = hG x wAGUA 
Substituindo os valores, teremos: 1.94 m x 1000 kgf/ m³ = 1940 [kgf/m²] 
Ou P = 1.94 [kPa] 
 
Fim da 1ª parte 
 
 
 
 
 
Capitulo 3 
CINEMÁTICA DOS 
FLUIDOS 
 
Prof. José Antonio Batista Neto 
 
 
 
 
 
 
CONTEÚDO 
 
 3.0 - Introdução 
 
3.1 – Propriedades da Velocidade 
 
 3.2 - Visões de Euler e Lagrange 
 
 3.3.- O Campo de Velocidades 
 
 3.4 - O campo da aceleração 
 
 3.5 - Exercicios de Aplicação 
 
 
 
 
3.0 - Introdução 
 
Diferentemente dos sólidos, os elementos de um fluido em 
escoamento podem possuir diferentes velocidades e podem estar 
sujeitos a diferentes acelerações. 
Assim, tres conceitos fundamentais: 
a) O principio da Conservação da Massa, a partir do qual se 
desenvolve a equação da continuidade. 
b) O principio da energia cinética, que envolve velocidade do 
fluido. 
c) O principioo da quantridade de movimento, a partir do qual, as 
equações que determinam as forças dinamicas exercidas 
pelos fluidos em escoamento, podem ser estabelecidas. 
 
 3.1 Propriedades da Velocidade 
 
Em dadas situações, a determinação por experiência ou teoria das 
propriedades do fluído como função da posição e do tempo deve 
ser comsiderada para a solução de problemas. Em quase todos os 
casos, a enfase está na distribuição das propriedades do fluido 
nesse espaço-tempo. Estaremos mais interessados nas trajetórias 
individuais das particulas em sistemas. 
 
3.2 Visões de Euler e Lagrange 
 
O método Euleriano descreve a distribuição da pressão ou campo 
de pressões em p(x, y, z ), e não se importa com a mudança da 
pressão com o tempo p (t). 
Visão de Lagrange: 
O metodo Lagrangeano descreve a particula individualmente, se 
movendo através do fluxo. Mais apropriado para utilização em 
mecânica dos solidos. Grande dificuldade para aplicações 
práticas em mecânica dos fluidos Ex: Imaginem um pásssaro em 
voo, com um radio transmissor, que, em cada segundo informa 
sua posição. (posição da particula em função do tempo). 
No método de Euler adota-se um intervalo de tempo, escolhe-se um 
volume de controle no espaço e se consideram todas as 
particulas que o atravessam, sem se preocupar com identificação 
destas particulas.. 
 
 
Figura 1 - Volume de Controle 
 Interessa-nos então, a distribuição espaço-tempo nas propriedades 
do fluído cujas particulas mudam suas caracteristicas 
continuamente. 
 
3.3 Campos de velocidades 
 
 Destacada entre as propriedades de um fluxo está o campo de 
velocidades V (x, y, z, t). 
 De fato, determinando a velocidade, outras propriedades podem 
ser determinadas, uma vez que dependem diretamente do campo 
de velocidades. 
 Em geral, velocidade é um vetor função de posição e tempo, e 
assim, possue tres componentes u, v, w, cada um como um campo 
escalar em si mesmo. 
Assim temos: 
 V (x, y,z,t) = u ( x,y,z,t) i + v( x,y,z,t) j + w ( x,y,z,t) k 
 Considerando as variações infinitesimais da velocidade pode-se 
escrever: 
 dt 
 dt 
 dt 
Na verdade a notação u, v, w é uso costumeiro em mecânica dos 
fluidos, ao invés de vx, vy e vz, que seriam as tres componentes 
de V. 
Então, diversas outras quantidades, chamadas de 
PROPRIEDADES CINEMATICAS de fluxos, podem ser derivadas 
por manipulação matemática do campo de velocidades. 
 Assim, temos: 
1 – Vetor deslocamento 
 
2 – Vetor aceleração 
a = dv/dt 
 
3 – Fluxo de volume 
 
 
 
 
3.4 Aceleração do fluxo fluído 
 
Provém da propriedade já definida de campo de velocidades de 
fluxo, onde: 
a = dv/dt 
Considerando o vetor campo de velocidades variando com o 
espaço e com o tempo. 
 
 
Imagine um sistema de coordenadas cartesianaas ( x,y,z,t) no 
espaço, fixas, e um “ tunel de vento” em vidro transparente, com o 
fluido passando com velocidade por dentro deste fluxo. 
O vetor aceleração será dado por: 
 
Considerando-se que cada escalar u, v, w, são funções das quatro 
variaveis (x, y, z, t), usando a regra da cadeia, do CALCULO, 
temos: 
 
 + + 
Mas, por definição: 
 
 
Logo: 
 v + w 
 Ou, utilizando os operadores 
V + v 
 . 
Analogamente, para v e w teremos: 
 . 
 
 . 
Voltando para a expressão da aceleração e substituindo essas 
deduções. teremos: 
 + u + v 
 
 
Como a pressão gera fôrça, e, onde temos força temos aceleração, 
podemos também escrever para Pressão: 
 
+ u + v 
 
 O termo → caso o fluxo seja independente 
do tempo. 
O fluxo convectivo ocorre mais em bocais ou difusores, onde a 
particula se move com variações de velocidade. 
Fluxos estaveis podem ter grandes acelerações devido ao termo 
convectivo. 
 A cinemática dos fluidos estuda os seus movimentos em termos de 
deslocamentos, velocidades e acelerações sem levar em conta as 
forças que os produzem. 
 O campo de velocidades interfere intimamente com propriedades 
termiodinâmicas dos fluidos. ; p, e T. 
 
EXEMPLO 3.1 – Dado o campo de velocidades 
V = 10 i+ (x² + y²) j – 2xy k. 
Qual a aceleração do fluido no ponto ( 3.1.,0) ? 
 
 Solução 
V = ui + vj + wk 
u = 10 
v = (x² + y² ) 
w = ( - 2 xy ) 
 + u + v 
Analisemos os termos um a um : 
 
 
 = 2y j – 2x k 
 
 
Para x = 3 e y = 1 
 
 
Onde, o módulode a é dado por: 
| a | = = 112.43 [m/s] 
Visualização no gráfico: 
 
 
EXEMPLO 3.2 – Dado o campo de velocidades 
V = (6 + 2xy + t²) i + (xy² + 10 t ) j – 25k 
 Qual a aceleração do fluido no ponto ( 3,1.0) e no instante t= 1? 
Solução 
u = ( 6 + 2xy + t²) 
v = (xy,² +10t) 
w = -- 2 5 
 + u + v 
 
 = 2yi + y² j 
 = 2xi + 2x j 
 
Substituindo os numeros: 
 
 
| a | = = 64.89 [m/s²] 
 
 
Exercicios Propostos 
3.1 – Escrever a equação da velocidade e calcular a expressão 
para a aceleração, sendo conhecidos os componentes em x, y e z 
da velocidade. 
u = 2x² - xy + z² 
v = x² - 4xy + y² 
w = -2xy – yz + y² 
3.2 Dados os componenetes : 
u = (2x – 3y) t 
v = ( x -2y) t 
 w =0 
 Determinar a aceleração no ponto ( 2,3,5) 
EXEMPLO 3.3 - Seja um fluido incompressivel onde são 
conhecidos os componentes de sua velocidade em x e y . 
u = 4xy + y² + 3 t² 
v = (6xy +3x) t 
 Calcule o modulo da aceleração no instante t = 5 segundos e nos 
pontos 
X =3 
Y = 1 
z = 0 
 
FIM 
 
 
Capitulo 4 
Escoamento 
 
 
 Aulas do Prof José Antonio 
 
 FENÔMENOS DE TRANSPORTES - A 
 
 ANO : 2015 
 
 
 
 
 
 
 
4.1 - Introdução 
 
Os elementos de um fluido em escoamento podem possuir 
diferentes velocidades e podem estar sujeitos a diferentes 
acelerações. 
Estudaremos os comportamentos de um fluido em uma condição de 
movimento. 
Os fluidos contêm um número de particulas cujas caracteristicas 
podem variar continuamente. 
4.1.1 - Campo de aceleração 
 
 
Esta equação representa a variação da aceleração de um fluido no 
espaço e no tempo. 
 
 
4.1. 2 - Os tres principios Fundamentais 
 
A teorias da mecânica dos fluidos se baseia em tres principios 
consideradods fundamentais para a explicação dos fenômenos a 
que estão submetidos os fluidos.; 
1. O Principio da Conservação da Massa 
A massa que atravessa todas as secções de um tubo de 
corrente fluida por unidade de tempo é sempre a mesma. 
Este principio permite deduzir a equação da continuidade. 
representada matemáticamente ´por : = 0 
2 A segunda Lei de Newton que diz que a somatória das forças 
que agem em uma particula em movimento relativo a um 
sistema de referência fixo, é igual à taxa de variação da 
quantidade de movimento linear. 
Matemáticamente podemos escrever: 
 
 
 
 Onde p = m v quantidade de movimentio ou momentum 
linear. 
 
3 Primeira Lei da Termidinâmica ou lei da conservação da 
Energia. Esta lei diz que a energia total do sistema é 
conservada. 
Isto significa dizer que esta lei deve ser satisfeita para todo e 
qualquer instante de tempo “t” (taxas) isto é, em qualquer 
instante precisaremos ter um equilibrio entre todas as taxas 
de energias , medidas em [Joules;/segundo], ou [ Watt ]. 
Deve satisfazer um equilibrio para qualquer intervalo de tempo 
∆t, ou seja, um equilçibrio entre as trocas de quantidades de 
energia medidas em Joule. 
 
A nivel de taxas podemos escrever a primeira lei da 
termodinamica matemáticamente da seguinte forma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Esta equação nos diz o segjuinte: 
 “A energia que entra no sistema aberto, menos a energia que sai 
do sistema aberto, mais a energia gerada dentro do sistema, é igual 
à energia armazenada no sistema.” 
Se (dE/dt)ARMAZENADA = 0 → EARMAZENADA = cte → o sistema é 
chamado de estacionário ou permanente. 
 
4.1.2.1 - SISTEMA FECHADO 
Podemos imaginar um sistema fechado como sendo um volume 
com massa M, no espaço, e que não troca massa com o meio 
exterior, mas podendo trocar energia através de suas fronteiras. No 
sistema fechado temos uma situaç ão não instantânea, mas a 
variação de energia ocorre em um intervalo de tempo. 
Matemáticamente para um sistema fechado podemos escrever a 
primeira lei da termodinâmica da seguinte forma: dQ – dW = dE 
Esta equação nos diz que a energia que entra menos a que sai, é 
igual à energia armazenada total E do sistema. 
 
Figura 1 - Sistenma Fechado 
 
4.1.2.2 - Sistema Aberto 
 
O sistema aberto também chamado de Volume de Controle, 
pode ser uma quantidade de volume e massa no espaço, 
porém ele se comunica com o meio ambiente podendo trocar 
massa e energia com o meio, 
Aqui no sistema aberto, temos situaçao instantânea, isto é; a 
energia varia por unidade de tempo. 
A equação da primeira lei aplicada a este sistema aberto, 
ficarà da seguinte forma: 
 
 
 
 
Figura 2 - Sistema Aberto 
 
 
 
 
Lembrete: 
 
 Esta equação nos traduz que a energia que está entrando no 
sistema junto com a massa por unidadde de tempo, menos a que 
está saindo, também junto com a massa por unidade de tempo, 
mais a energia gerada dentro do sistema, é igual à energia 
acumulada 
Na equação acima, : 
 m = é a massa por unidade de tempo (vazão massica) 
 u = energia interna 
pV = energia devida à pressão 
V²/S = Energia Cinética 
 gz = energia potencial em relação a um sistema de referência. 
Se e dE/dt = 0 → O sistema é estacionário ou 
permanente. 
 
4..2 –Classificação dos Escoamentos 
 
Diz-se que um fluido está em escoamento, quando ele está em 
movimento. de translação., ou seja, possue velocidade. 
 O escoamento pode ser: 
- Permanente (ou estacionário) 
- Uniforme ou não uniforme 
- Laminar ou Turbulento 
- Uni bi e tridimensional 
Figura 3 Esquema para classificação dos escoamentos 
 
 
Do diagrama acima, tiramos uma classificação para fluidos e para 
escoamentos, a saber: 
 FLUÍDOS 
Newtonianos e Não Newtonianos - 
Nesta defini ç ã o, separamos os que seguem ( Newtonianos) e os 
que não seguem ( Não Newtonianos) a Lei de Newton da 
viscosidade 
Compressiveis e incompressiveis 
Nos fluidos compressiveis a massa especifica não é constante . 
São os gases e vapores. 
Nos fluidos incompressiveis (liquidos em geral) podemos considerar 
a massa especifica como constante ao longo do escoamento. 
Viscosos e Não viscosos 
Nos viscosos a viscosidade dinâmica ( µ ) n ã o é nula., ou seja é 
diferente de zero. 
Nos fluidos não viscosos esta consideraç ã o só é feita para 
aqueles casos onde a viscosidade tem um valor muito baixo. 
 Por exemplo: á gua. 
A viscosidade é tabelada. Todos os fluidos t ê m viscosidade. 
Portanto, não existe fluido sem viscosidade. O que se faz ao afirmar 
que ela é zero é apenas para aproximaç õ es permitidas por nã o 
oferecer resultados que tem influ ê ncia nos problemas. Portanto, o 
uso e consideraç ã o de µ = 0 é apenas simplifica ç ã o. 
ESCOAMENTOS 
Permanente - 
Uniforme e não uniforme 
Uni dimensional, Bi dimensional e tridimensional 
Laminar ou Turbulento 
 
4.3 – Escoamentos Unidimensionais e Bidimensionais 
 
É unidimensional ou unidirecional, quando apenas uma 
coordenada é suficiente para descrever as propriedades do fluido. 
Hipóteses práticas: 
1– a variaç ã o da sec ç ã o transversal é muito pequena 
2 - o perfil de velocidades não varia ao longo do tubo. 
 3 - - a velocidade, a press ã o, e a massa especifica t ê m varia ç 
õ es despreziveis para cada secção em cada instante 
 
Figura 4 Escoamento unidimensional 
A direç ã o e a intensidade da velocidade é a mesma em cada secç 
ã o e em cada ponto da secç ã o. Observar que em secç õ es 
diferentes podemos ter velocidades diferentes, porém , na seccç ã o 
ela não varia. 
No escoamento bidimensional