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TÉCNICO EM TRANSAÇÕES IMOBILIÁRIAS MODULO 2 WWW.REDECETEPS.COM.BR Matemática Financeira Caro aluno O início de qualquer curso é uma oportunidade repleta de expectativas. No entanto, um curso à distância, além disso, impõe ao aluno um comportamento diferente, ensejando mudanças no seu hábito de estudo e na sua rotina diária. Este material apresenta os conteúdos e conhecimentos básicos para o desenvolvimento de estudos necessários para o bom desempenho e preparo no mercado de trabalho. O curso oferece uma metodologia de ensino moderna e diferenciada, em que se está proporcionando a oferta de conhecimento e preparação para um mercado de trabalho competitivo e dinâmico como é o mercado imobiliário. Se o ensino a distância garante maior flexibilidade na rotina de estudos também é verdade que exige do aluno mais responsabilidade. O CETEPS se preocupa em proporcionar as condições didáticas necessárias para que você obtenha êxito em seus estudos, mas o sucesso completo e definitivo depende do seu esforço pessoal. A instituição oferece, além das apostilas impressas, professores e tutores, biblioteca virtual e salas para debates específicos e orientação de estudos. Em síntese, caro aluno, o estudo dedicado do conteúdo deste material lhe permitirá não só o domínio dos conceitos mais elementares desta matéria, como também os termos adequados para conversação com os clientes, além do conhecimento dos instrumentos básicos para que possa atingir os seus objetivos no mercado de imóveis. Enfim, por meio deste conteúdo você estará apto a desenvolver seus estudos nesta modalidade de ensino a distância em busca de se tornar um futuro profissional do mercado imobiliário. Boa sorte! SUMÁRIO INTRODUÇÃO ........................................................................................................................................ 05 UNIDADE I 1. NÚMEROS PROPORCIONAIS ........................................................................................................ 08 2. OPERAÇÕES SOBRE MERCADORIAS ........................................................................................ 13 2.1 - Preços de custo e venda ........................................................................................................ 13 2.2 - Lucros e prejuízos .................................................................................................................. 13 3. TAXA DE JUROS ................................................................................................................................ 15 3.1 - Homogeneidade entre tempo e taxa ..................................................................................... 15 3.2 - Juro exato e juro comercial ................................................................................................... 17 4. INFLAÇÃO ......................................................................................................................................... 17 UNIDADE II 5. CAPITALIZAÇÃO SIMPLES ............................................................................................................ 20 5.1 - Juros simples ........................................................................................................................... 20 5.2 - Montante simples ................................................................................................................... 22 5.3 - Desconto simples ................................................................................................................... 22 6. CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA ..................................................................................................... 25 6.1 - Juros compostos ..................................................................................................................... 25 6.2 - Montante composto ............................................................................................................... 25 6.3 - Desconto composto ............................................................................................................... 27 O serviço prestado ao cliente, pelo técnico em transações imobiliárias, pode ser classificado como parte das relações humanas, no processo de venda. Nesta etapa, este profissional necessita de diferentes conhecimentos e habilidades específicas para que possa informar, orientar e oferecer segurança ao comprador, e entre os conhecimentos e habilidades necessários, inclui-se a linguagem da Matemática Financeira. Nesse sentido, o presente material foi elaborado e começa com a exposição de conteúdos de matemática básica e fundamental, necessária à realização de um bom negócio, incluindo operações sobre mercadorias, taxas de juros, inflação, regimes de capitalização. O estudo do regime de Capitalização Simples é o cenário principal deste material, assim, aborda-se a conceituação de juros simples, montante simples, desconto simples, cálculo de taxa acumulada, sempre com a utilização de vários exemplos. Todas as negociações financeiras têm como suporte um dos regimes de capitalização. Assim, procurou-se dar ênfase a essestópicos, estando os seus respectivos exemplos de aprendizagem expostos no estilo passo a passo. O livro utilizado, Concursos Públicos - Matemática Geral e Financeira, de Benjamin Cesar de Azevedo Costa serviu de base para a formatação das etapas finais dos estudos. A matemática foi, gradativamente, aplicada ao comércio e às finanças devido a necessidade de melhor entendimento entre as relações de troca, para a utilização das melhores taxas em empréstimos e investimentos, para ser possível realizar previsões de movimentação de capital no mercado, para cálculo de juros, montante, descontos. Dessas aplicações, originou-se o ramo específico denominado de Matemática Financeira. A Matemática Financeira deve ser bem entendida, uma vez que o conheci- mento e a informação representam um grande poder para a execução de serviços, INTRODUÇÃO especialmente, em um mercado econômico que não é estático. Ressalta-se que estudo deve ser uma constante na vida de cada profissional envolvido com o mercado imobiliário, tendo em vista que aquele que conseguir aliar fundamentação teórica à prática, possivelmente alcançarámaior sucesso, além é claro, de estar apto a orientar clientes em melhores negócios. Tendo em vista que o profissional que almeja ser um Técnico em Transações Imobiliárias precisa entender que irá atuar como um profissional do Eixo de Gestão e Negócios que realiza ações de planejamento, execução, controle e avaliação das ações de compra, venda locação, permuta e administração de imóveis, agindo de acordo com a Legislação, que regulamenta a profissão de Corretor de Imóveis é importante que entenda acerca de aspectos do mercado financeiro e se apresente, da mesma forma, apto a realizar diferentes cálculos.. Bom estudo! Unidade I Os aspectos de estudo, desta unidade, envolvem : Conceituar os termos:Proporção, Juros, Inflação, Taxa de juros; Realizar operações com números proporcionais, operações sobre mercadorias, taxas de juros, inflação; Refletir sobre a importância da Matemática Financeira, na atualidade. INTRODUÇÃO O Capitalismo começou após o enfraquecimento do Feudalismo, por volta do décimo segundo século depois de Cristo, consti- tuindo-se um novo sistema econômico, social e político. Capitalismo é o sistema econômico baseado na legitimidade dos bens privados e na irrestrita liberdade de comércio, indústria ecom o objetivo principal de conseguir lucro. Como importantes características do Ca- pitalismo, pode-se citar: • a combinação de três centros econômicos (produção, oferta e consumo) formatando a economia de mercado; • o surgimento das grandes empresas; • as relações de trocas monetárias; • a preocupação com os rendimentos; e, • principalmente, o trabalho assalariado. Durante o seu desenvolvimento, o Capita- lismo passou por quatro fases, sendo, atualmente, chamado de Capitalismo Financeiro. Nesta fase, as grandes empresas financeiras são as detentoras do maior volume do capital em circulação. As etapas do Capitalismo são, assim, enu- meradas: 1a Pré-Capitalismo: fase de implantação desse sistema (séculos XII ao XV); A - Capitalismo Comercial: os comerciantes administravam a maior parte dos lucros (séculos XV ao XVIII); B - Capitalismo Industrial: o capital é investido nas indústrias, transformando os industriais em grandes capitalistas (séculos XVIII, XIX, XX). É bom lembrar que esta terceira fase, ainda, acontece; C - Capitalismo Financeiro: o maior volume de capital em circulação é administrado pelas empresas financeiras. Agora, com base em seus conhecimentos, resolva os seguintes Exercícios de Fixação. a) Capitalismo selvagem é expressão comum, especialmente partindo dos simpatizantes do socialismo. E você, o que entende por capita- lismo? b) Nossa apostila traz breves noções de eco- nomia. Relendo o texto, responda: como pode ser definido o capitalismo financeiro? FAÇA AQUI §UAS ANOTAÇOES 1. NÚMEROS PROPORCIONAIS João precisava calcular a altura de um poste, muito alto. Ele não podia medi-lo diretamente. João fez o seguinte: colocou uma pessoa que mede 1,80 m ao lado do poste e marcou as duas sombras: a do poste e a da pessoa. Ele verificou e anotou: • a sombra da pessoa media 1 ,20 m. • a sombra do poste media 20 m. A partir dessas medidas, João encontrou a altura do poste. Ele fez as seguintes operações: Comparou o comprimento da sombra da pessoa com a altura dela. Ele escreveu as medidas assim120 180 Depois ele simplificou a fração e encontrou 120/180 . . Portanto, a razão entre o comprimento 2 da sombra e a da altura da pessoa foi de: ou 3 2:3 , ou seja de 2 para 3. Como as medidas foram feitas no mesmo local e na mesma hora, João pode concluir que a razão entre o comprimento da sombra do 2 poste e a altura do mesmo era de . 3 Assim, João montou a operação 20m 2 — e pode concluir que a altura do\ 3 2 0 2 poste é igual a 30 m, porque a razão 3 0é igual a 3 Essa igualdade é uma proporção e os números usados nas medidas são denominados “nú- merosproporcionais”. Para um corretor de imóveis, é muito importante saber trabalhar com números pro- porcionais, porque ele, muitas vezes, terá que determinar a relação entre medidas de um de- senho, de uma planta, de um mapa geográfico e as medidas reais correspondentes. Veja o exemplo: Um corretor tinha a planta de um apartamento. Ele precisava saber qual era a área da sala. Ele examinou a planta e verificou o seguinte: - de acordo com a escala apresentada, cada centímetro desenhado no mapa correspondia a 100centímetros da re- alidade; portanto 1:100; - se a razão entre as medidas que apareceram na planta da sala e as medidas reais 1 erade 1 : 100 ou (lê-se 1 para 100), isto significa que as medidas reais eram 100vezes maiores do que as medidas assinaladas na planta; um dos lados da sala media 6cm e o outro 8cm; assim para conhecer as medidas reais da sala, ele deveria multiplicar as medidas da planta por 100 6 cm . 100 = 600 cm = 6 m 8 cm 100 = 800 cm = 8 m Portanto, as medidas reais da sala são 6m e 8m. A área da sala é de 48m2. O corretor pode adotar o mesmo procedimento para verificar outras medidas, tais como área, largura e altura de outras partes desenhadas na planta. Uma razão compara dois números pela divisão. Quando se encontra uma igualdade entre duas razões, a essa relação se dá o nome de proporção, porque as quantidades medidas são proporcionais. Mais um exemplo: O corretor foi mostrar uma fazenda que está a venda. Ele viajou 120 km e levou 2 horas. Ele pretende visitar outra que fica a 180 km dali. Se ele viajar na mesma velocidade, quanto tempo ele vai precisar para chegar até a outra fazenda? 120_180 Veja:T" _ T Os números que medem as distâncias e o tempo são proporcionais. Quanto maior a distância, maior será o tempo que ele vai gastar na viagem. Como ele pode conhecer o número da proporção desse exemplo? O corretor já conhece algumas propor- ções, tais como: 2 _ 6 P _2 4 a)3 _ Vb)4 _ 32 Ele sabe que se multiplicar os denominadores pelos numeradores vai poder verificar se as frações são iguais, se são proporcionais. Veja: 2 . 9 = 18 3.6 = 18, logo 2.9 = 3.6 3.32 = 96 4.24 = 96, logo 3.32 = 4.24 Essas frações são iguais, existe uma pro- porção entre elas. Porque, em uma proporção os produtos do numerador de uma fração pelo denominador da outra fração são iguais. O corretor que já conhecia essa impor- tante propriedade usada em Matemática fez o seguinte: substituiu o ponto de interrogação pela letra “x” que fica no lugar do termo desco- nhecido. 1 2 0 180 ~~ _ e aplicou a propriedade utilizada, anteriormente, e encontrou: 120 X = 2 . 180 120 X = 360 X = 360 : 120 X = 3 O corretor levará 3 horas para chegar à outra fazenda. Verifique e faça o que se segue: • Sendo a e b, duas grandezas conhecidas, defi- nimos a razão entre a e b, nesta ordenação, como o quociente entre a e b. Observação: A grandeza que se encontra no denominador deve possuir, o seu valor, dife- rente de zero. a b (a é o numerador e b é o denominador). Agora, com base em seus conhecimentos, resolva os seguintes Exercícios de Fixação. a) Pense um pouco e responda: porque é im- portante para o corretor de imóveis conhecer noções de razão e proporção? b) Calcule a razão entre a e b, sabendo-se que a = 32 e b = 28. FAÇA AQUI SUAS ANOTAÇOES A igualdade de duas razões equivalentes é chamada Proporção. 16 _ 8 Exemplo 1: ~ _ Tj, 16 e 7 são os extremos da proporção e 14 e 8 são os meios da pro- porção. Propriedade Fundamental: “Em toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos”. 1 2 16 T Exemplo 2: As razões ~ e ~ são iguais, logo: 1 2 _ 16 3 _ 4 então: 3 x 16 = 4 x 1 2 . 48 = 48. Assim trabalha-se com a Divisão em Partes Proporcionais, através da análise do exemplo a seguir: EXEMPLO Dividir o número 850 em partes proporcionais aos números 1, 4 e 5. Observação: como a divisão é proporcional a três números, o número 850 será dividido em três partes. Solução: vamos supor que as três partes do número 850 sejam representadas, respecti- vamente, pelas letras X, Y e Z. 850 X= 1 + 4 + 5 1 _ 85. 850 Y= -------------- *4 _ 340. Y=1 + 4 + 5 Z= 8 5 0 *5 _ 425. Z1 + 4 + 5 Somando-se os números 85, 340 e 425 obte- remos o número 850, provando assim, que a divisão em partes proporcionais está correta. No cálculo de cada uma das letras (X , Y e Z), deve-se sempre dividir o número principal (neste caso o número 850), pelo somatório das partes proporcionais (no exemplo foram os números 1, 4 e 5), e em seguida, deve-se multiplicar o resultado desta divisão por cada uma das partes proporcionais. Divisão em Partes Inversamente Propor- cionais utilizando uma exemplificação: Exemplo: Dividir o número 1.200 em partes inversamente proporcionais aos números 2 e 4. 1° passo: Deve-se inverter os números, tornan do-os ½ e ¼ . 2° passo: Deve-se agora, colocar as frações em um mesmo denominador (denominador comum). Vamos fazer o mínimo múltiplo comum e depois dividir, o mínimo múltiplo encontrado, pelo denominador. Em seguida multiplicaremos o resultado desta divisão pelo numerador, lembrando que, estescálculos estão acontecendo com as frações½ e ¼ Como o valor do mínimo múltiplo comum será 4, as frações se modificarão para 2/4e 1/4 3° passo: Um novo problema aparecerá, pois agora serão utilizados apenas os numeradores das novas frações encontradas no2º passo. A partir daqui teremos uma resolução se- melhante à divisão em partes proporcionais, pois o número principal (neste caso o número 1 .200 ) será dividido pelo somatório das partes(números 2 e 1), sendo o resultado desta divisão multiplicado por cada uma das partes. 4° passo: Somando-se os números 800 e 400 obtém-se o número 1.200, provando assim que, a divisão em partes inversamente pro- porcionais está correta. Agora, com base em seus conhecimentos, resolva os seguintes Exercícios de Fixação. a) Realize a divisãode 450 em partes proporcionais aos números 2, 3 e 5. b) Dividir o número 600 em partes proporcionais aos números 1 e 3. FAÇA AQUI SUAS ANOTAÇOES ATENÇÃO: nesta parte, vamos estudar noções básicas que serão de grande valia no trabalho com porcentagens (percentagens). Exemplo 1: Escreva a taxa de 14,45% na forma unitária. Solução: devemos dividir a taxa por 100. 14,45% =14,45/100 = 0,1445 é a forma unitária. Exemplo 2: Colocar a fração 3/4na forma per- centual. Solução: devemos utilizar as Razões Equivalentes e a propriedade fundamental das Proporções que estão citadas no início deste tópico. 3 x 4100 4 . x = 3 . 100 4x = 300 3 75 x = 75, então ~= 4 100 = 75%. Agora, com base em seus conhecimentos, resolva os seguintes Exercícios de Fixação. a) Qual a forma unitária dos seguintes per- centuais: 1) 5 % = _________________________ 2) 3,8 % 3) 0,25 % b) Qual a forma percentual dos seguintes números: 1) 0,025 = ________________________ 2) 0,0025 3) ,25 FAÇA AQUI §UAS ANOTAÇOES Exemplo 3: Calcular 27% de 270. Solução: transformar 27% na forma uni- tária e depois multiplicar o número encontrado por 270. 27 27% = 100 = 0, 27Assim: 0,27 x 270 = 72,9. 72,9 corresponde a 27% de 270. 2. OPERAÇÕES SOBRE MERCADORIAS 2.1 - PREÇOS DE CUSTO E VENDA Vamos trabalhar com problemas de por- centagens relacionados às operações de compra e venda. Ao se efetuar a venda de uma mercadoria pode-se ter lucro ou prejuízo, sendo que os mesmos podem ser calculados sobre o preço de custo ou sobre o preço de venda da mercadoria em questão. 2.2 - LUCROS E PREJUÍZOS O estudo será feito com base nos exemplos a seguir: Exemplo 1: Lucro sobre o custo. Uma mercadoria foi comprada por R$3.000,00 e vendida por R$ 3.850,00. Calcule o lucro, na forma percentual, sobre o preço de compra. Solução: PRC = 3.000 PRV = 3.850 3.000 ___________ >100% PRV = PRC + LC 850 ________ >X LC = PRV - PRC LC = 3.850 - 3.000 3.000 . X = 100 .850 LC = 850 X = 28,333% Obs.: O lucro sobre o custo foi de 28,333%. Exemplo 2: Lucro sobre a venda. Uma mesa de escritório foi comprada por R$550,00 e vendida por R$705,00. Calculeo lucro, na forma percentual, sobre o preço de venda. Solução: PRC = 550 PRV = 705 705 ___________ >100% PRV = PRC + LC 155 ______ >X LC = PRV - PRC 705 . X = 100 . 155 LC = 705 - 550 X = 21,986% LC = 155 Obs: O lucro sobre o custo foi de 21,986%. Exemplo 3: Uma mercadoria foi vendida por R$430,00. Sabendo-se que o lucro foi de 15% sobre o preço da venda, calcule esse lucro. Solução: 430 --------- )100% X ____ >15% 100 . X = 430 . 15 X = 64,5 O lucro foi de R$64,50. Sendo o lucro calculado sobre o preço da venda, este terá o valor de 100% . Exemplo 4: Um monitor foi vendido por R$670,00, dando um lucro de R$152,00. Calcule o lucro, em porcentagem, sobre o preço de custo. Solução: PRV = PRC + LC 518 ___________ >100% PRC = PRV - LC 152 ___________ >X PRC = 670 - 152 PRC = 518 518 . X = 100 . 152 X = 29,344%. FÓRMULA BÁSICA PRV = PRC + LC Onde: PRV = Preço de Venda; PRC = Preço de Custo ou Preço de Compra; LC = Lucro obtido na Venda. Sendo o lucro calculado sobre o preço de custo, este terá o valor de 100%. Exemplo 5: Uma mercadoria que foi comprada por R$1.050,00 foi vendida, com um prejuízo de 42%, sobre o preço de venda. Calcule o preço de venda. Solução: 142% ____ >1.050 100% ____ )X 142 . X = 100 . 1050 X = 739,44. O preço de venda é R$739,44. Como o prejuízo é de 42% sobre o preço de venda, este corresponderá a 100%. O preço de custo corresponderá, então, a 142%. Exemplo 6: Uns móveis de escritório foram vendidos com prejuízo de 15% sobre o preço de venda. Calcule o preço de venda sabendo-se que o preço de custo foi de R$445,00. Solução: 115% >445 100% >X 115 . X = 100 . 445 X = 386,96 O preço de venda é R$386,96. Como o prejuízo é de 15% sobre o preço de venda, este corresponderá a 1 0 0%. O preço de custo corresponderá a 115%. Exemplo 7: Utilização de índices. Em uma operação de compra e venda, a taxa de prejuízo para o preço de venda foi de 4 para8. Determine o preço de venda sabendo- se que o preço de custo foi de R$2.500,00. Solução: Custo Prejuízo Venda 2.500 P PRV 1 2 4 U 2.500 _ PRV 1 2 8 12 . PRV = 2500 .8 PRV = 1666,67. O preço de venda é R$1.666,67. A relação de proporcionalidade entre o prejuízo e o preço de venda é estabelecida pela taxa 4para 8. Temos assim8 unidades de preço de venda para 4 unidades de prejuízo e, consequentemente, para cada 12 unidades de custo, neste exercício. Agora, com base em seus conhecimentos, resolva os seguintes Exercícios de Fixação. a) Um imóvel foi comprado por R$ 100.000,00 e vendido por R$ 156.000,00. Calcule o lucro da operação, na forma percentual. b) Na venda de um apartamento o proprietário obteve um lucro de 20%. Se o preço pago pelo comprador foi de R$ 600.000,00, qual foi o preço pago, inicialmente, pelo proprietário. FAÇA AQUI §UAS ANOTAÇOES 3. TAXA DE JUROS Quando se pede emprestado uma certa quantia a uma pessoa ou a uma instituição financeira é normal, pelo transcurso do tempo, pagar o valor que foi emprestado, acrescido de “outra quantia que representa o aluguel pago pelo empréstimo”. Essa outra quantia representa o juro, ou seja, representa o bônus que se paga por um capital emprestado. O juro que é produzido em uma determinada unidade de tempo (ao ano, ao mês, ao dia), representa uma certa porcentagem do capital ou do montante, cuja taxa se chama Taxa de Juros. 3.1 - HOMOGENEIDADE ENTRE TEMPO E TAXA O prazo de aplicação (representado pela letra n) deve estar, sempre, na mesma unidade de tempo (anos, meses, dias) em que está a taxa de juros (representada pela letra i). CONSIDERAÇÕES IMPORTANTES 1°) - O mês comercial possui 30 dias; - O ano comercial possui 360 dias; - O ano civil possui 365 dias. 2°) Normalmente, a taxa de juros i está expressa na forma percentual. Assim, para usá-la em qualquer fórmula de matemática financeira, deve-se antes, transformá-la para a forma unitária. Ex.: i = 25,8% -forma unitária ________ >i = 0,258. Exemplo 1: A taxa de juros de 18% ao ano, considerando-se ano comercial, equivale a quantos % (por cento) ao dia? Solução: ano comercial = 360 dias. i = 18%= 0,05% ao dia. 360 resposta: 0,05% ao dia. Exemplo 2: A taxa de juros de 12% ao ano, equivale a quantos % (por cento) ao mês? Solução: i = 12% ao ano. 12% 12 = 1% ao mês. resposta: 1% ao mês. Exemplo 3: A taxa de juros de 3% ao mês, considerando-se o mês comercial, equivale a quantos % (por cento) ao dia? Solução: mês comercial = 30 dias. 3% 30 =l %ao dia. resposta: 0,1% ao dia. Exemplo 4: A taxa de juros de 4,5% ao mês, equivale a quantos % ( por cento) ao ano? Solução: ( 4,5% ao mês) x 12= 54% ao ano. i = 54% ao ano. resposta: 54% ao ano. Exemplo 5: A taxa de juros de 0,03% ao dia, equivale a quantos % ( por cento) ao ano, levando-se em consideração o ano civil? Solução: (0,03% ao dia) x 365 = 10,95% ao ano. i = 10,95% ao ano. resposta: 10,95% ao ano. Agora, com base em seus conhecimentos, resolva os seguintes Exercícios de Fixação. a) A taxa de juros de 12,0 % ao ano, equivale a quantos % ( por cento) ao mês? FAÇA AQUI §UAS ANOTAÇOES b) A taxa de 1,8 % ao mês equivale a quantos % (por cento) ao ano? 3.2 - JURO EXATO E JURO COMERCIAL Geralmente, nas operações correntes, em curto prazo, os bancos comerciais utilizam o prazo n (tempo) expresso em dias. Assim, no cálculo do juro exato, se tem a taxa de juros i dividida por 365 dias, pois o ano utilizado é o ano civil. No cálculo do juro comercial, tem-se a taxa de juros i dividida por 360 dias, pois o ano utilizado é o ano comercial. Obs: As fórmulas do juro exato e do juro comercial serão abordadas no tópico capitali- zação simples. Por enquanto, basta compreender que as divisões feitas nas duas fórmulas foram necessárias para que, a unidade de tempo, entre n e i, se apresentassem iguais. 4. INFLAÇÃO A inflação é caracterizada por um aumento geral e cumulativo dos preços. Esse aumento não atinge apenas alguns setores, mas o bloco econômico, como um todo. O aumento cumulativo dos preços acontece de forma con- tínua, prolongando-se, ainda, por um tempo indeterminado. O Estado, em associação com a rede ban- cária, aumenta o volume do montante dos meios de pagamento para atender a uma necessidade de demanda por moeda legal. Associado a esse aumento do montante de pagamento acontece, também, o aumento dos preços. O aumento dos preços gera a elevação do custo de vida, popularmente chamado de carestia. O custo de vida se apresenta com peso variado nas diferentes classes econômicas. Uma família pobre tende a utilizar o pouco dinheiro conseguido para comprar gêneros alimentícios. O restante do dinheiro, geralmente, é utilizado para o pagamento de serviços de água, luz e esgoto. Em uma família abastada, além dos gastos com alimentos, água tratada e eletricidade, costuma-se também gastar com roupas, carros, viagens, clínicas de beleza e estética, entre outras coisas mais. Assim, um aumento nos preços dos pro- dutos de beleza e rejuvenescimento, terá peso zero no custo de vida da família pobre e um acréscimo no orçamento da família rica. Em suma, o custo de vida aumenta quan- do um produto, que possui um determinado peso, nas contas mensais sofre também um au- mento. EXEMPLO DE AUMENTO DO CUSTO DE VIDA Um casal gasta de seu orçamento mensal 12% com alimentação, 10% com vestuário, 8% com plano de saúde e 5% com o lazer. Acontece, então, uma elevação geral nos preços, acrescentando um aumento de 3% nos gastos com alimento, 5% nos gastos com vestuário, 4% nos gastos com plano de saúde e 2% nos gastos com o lazer. Calcule o aumento do custo de vida no mês. Solução: Para o cálculo do aumento, proporcionado por cada produto, deve-se multiplicaro gasto no orçamento, na forma unitária, com o aumento dos produtos na forma unitária. Alimentos: 0 ,12 x 0,03 = 0,0036. Vestuário: 0,10 x 0,05 = 0,005. Plano de Saúde: 0,08 x 0,04 = 0,0032. Lazer: 0,05 x 0,02 = 0,001. í Juro Exato -------- ) J = C x x n. 365 i Juro Comercial -------- )J = C x 36Mx n. Produtos Gasto no Orçamento Gasto no Orçamento na Forma Unitária Aumento dos Produtos Aumento dos Produtos na Forma Unitária Alimentos 12% 0 ,12 3% 0,03 Vestuário 10% 0,10 5% 0,05 Plano de Saúde 8% 0,08 4% 0,04 Lazer 5% 0,05 2% 0,02 Produtos Aumento do Custo do Produto na Forma Unitária Aumento do Custo do Produto na Forma Percentual Alimentos 0,0036 0,36% Vestuário 0,005 0,50% Plano de Saúde 0,0032 0,32% Lazer 0,001 0 ,10% Com o somatório dos aumentos de cada produto, na forma percentual, se obtém o aumento do custo de vida no mês em questão: 0,36% + 0,50% + 0,32% + 0,10% = 1,28%. Nesse mês, o aumento no custo de vida para a família do exemplo foi de 1,28%, em função da elevação dos preços de quatro produtosutilizados pelo casal. Agora, com base em seus conhecimentos, resolva os seguintes Exercícios de Fixação. a) Decorar não é bom. Tente entender cada incógnita e escreva abaixo a fórmula para cálculo de juros simples. b) Relendo as noções de inflação, com suas palavras defina: o que vem a ser aumento do custo de vida? FAÇA AQUI SUAS ANOTAÇOES Os aspectos de estudo, desta unidade, envolvem : Conceituar os termos Capitalização, Juros simples ecompostos, Montante, Desconto; Realizar operações sobre, taxas de juros, regimes de capitalização; Refletir sobre a importância desses conhecimentos e operações, na atualidade. 5. CAPITALIZAÇÃO SIMPLES Capitalização é a formação ou acumulação de bens de capital, de bem econômico. Em um processo de capitalização, a pessoa aplica determinada quantia, por certo período e ao final recebe o capital empregado mais os juros relativos a esse tempo. A soma, o ajuntamento dos juros obtidos com o capital empregado éo que se chama capitalização. Existem dois tipos de capitalização: sim- ples e composta No regime de capitalização simples, tem-se a taxa ( i ) incidindo somente sobre o capital inicial ( C ), proporcionando, assim, a obtenção de juros simples, ao final do período de tempo (n ). No regime de capitalização composto, tem-se o capital principal, acrescido de juros obtidos em mais de um período de aplicação. Assim, a cada nova aplicação, por outros períodos, tem-se um novo capital. 5.1 - JUROS SIMPLES * Juro produzido pelo capital C ao final de um período de tempo: J = C x i. * Juro produzido pelo capital C ao final de n (vários) períodos de tempo: J = C x i x n. FÓRMULA BÁSICA J = C x i x n Onde: J = juros simples. C = capital inicial ou principal. i = taxa de juros. n = tempo de aplicação ou prazo de tempo. Exemplo 1: Se um capital de R$8.825,00 for aplicado durante 2 meses, à taxa de 2% ao mês, qual será o valor dos juros simples? Solução: J = C x i x n C = 8825 J = 8825 x 0 ,02x 2 i = 2% ao mês = 0,02 J = 353 n = 2 meses J = R$353,00 Obs: i e n estão na mesma unidade de tempo. Exemplo 2: Se um capital de R$550,00 for aplicado durante 4 meses, à taxa de 9% ao ano, qual será o valor dos juros simples? Solução: J = C x i x n. C = 550. 9% i = 9% ao ano ^=0,75% ao mês = 0,0075. n = 4 meses. J = 550 x 0,0075 x 4. J = 16,50. J = R$16,50. Exemplo 3: Calcule o capital necessário para que haja um rendimento de R$650,00, sabendo-se que a taxa utilizada é de 5% ao mês e o período de tempo igual a6 meses. Solução: J = C x i x n, mas isolando-se C tem-se, C = J = 650. i .n 650 i = 5% ao mês = 0,05. C = 0, 05 * 6 n = 6 meses. C = 2166,67 C = R$2.166,67 Exemplo 4: Um capital de R$425,00 foi apli- cado durante 6 meses, rendendo R$105,00 de juros simples. Calcule a taxa mensal i. Solução: J = C x i x n, mas isolando-se i J Tem-se, i = ~p, • C n J = 105 105 C- 425. i425*6 n = 6 meses. i = 0,04117 i = 0,04117 está na forma unitária. Para ser colocado o resultado na forma percentual deve-se multiplicar i por 100 , ficando então como resposta, i = 4,117% ao mês. Na taxa i a unidade de tempo utilizada foio mês porque o período de aplicação estava, em meses. FAÇA AQUI SUAS ANOTAÇOES Agora, com base em seus conhecimentos, resolva os seguintes Exercícios de Fixação. a) Calcule os juros simples de um capital de R$ 35.400,00 aplicado durante 15 meses á taxa de 2,6% ao mês. b) Calcule a taxa aplicada a um capital de R$ 12.600,00durante 3 meses, e que rendeu juros simples de R$ 680,40. 5.2 - MONTANTE SIMPLES À soma dos juros simples (relativo ao período de aplicação) com o capital inicial ou principal dá-se o nome de montante simples. FÓRMULAS S = J + C ou S = C x i x n + C S = C x ( i x n + 1 ) Onde: S = Montante Simples J = Juros Simples i = Taxa de Juros n = Período de Aplicação. Exemplo 1: Um capital de R$1.550,00 foi aplicado durante um período de 8 meses, a taxa de 24% ao ano, no regime de capitalização simples. Calcule o montante. Solução: S = J + C C = 1550. i = 24% ao ano mês = 0,02 . n = 8 meses J = C x i x n J = 1550 x 0,02 x 8 J = 248 S = J + C S = 248 + 1550 S = 1798 S = R$1.798,00 Exemplo 2: Calcule o tempo no qual deve- se aplicar uma quantia de R$ 200.000,00 para obter um montante simples de R$360.000,00 à taxa de 16% ao mês. Solução: C = 200.000. S = C x (i x n +1) S = 360.000 51 ( i x n + 1 ) = — i = 16% ao mês = 0,16. 360.000 i x n + 1 = 200.000 (i x n + 1 ) = 1 ,8 . i x n = 1 , 8 - 1 . i x n = 0 ,8 . 0,16 x n = 0,8. n =5 meses. A unidade utilizada para n foi meses, devido ao fato, de i também estar em meses. 5.3 - DESCONTO SIMPLES Toda vez que se paga um título, antes da data de seu vencimento, obtém-se um desconto (abatimento). Algumas considerações: • Valor Nominal (VN) é o valor indicado no título, na data de seu vencimento. • Valor Atual (VA) é o valor do título no dia do seu pagamento antecipado, ou seja, antes da data de vencimento. D =VN - VA Onde: D = Desconto. • Desconto Racional ou “Por Dentro”: Equivale aos juros simples produzidos pelo va- lor atual à taxa utilizada e ao período de tempo correspondente. FÓRMULA VA _ DR _ VN 1 i .n 1 + i.n Onde: DR = Desconto Racional VA = Valor Atual VN = Valor Nominal i = taxa n = Período de Tempo Exemplo 1: Calcule o desconto racional para um título com valor atual de R$16.000,00 à taxa de 2,6% ao mês e com prazo de 3 meses para o vencimento. VA DR Solução: _— VA = 16.000 1 i.n i = 2,6% ao mês = 0,026 n = 3 meses. DR = VA x i x n DR = 16.000 x 0,026 x 3 DR = 1.248 DR = R$1.248,00 Exemplo 2: Se um empréstimo com valor atual de R$ 750,00, calcule o desconto racional, sabendo-se que a taxa de juros é de 12% ao ano e o prazo é de5 meses para o vencimento. VA DR Solução: _“— VA = 750. 1 i.n 12%_m/ i = 12% ao ano ^— N% ao mês = 0,01. DR = VA x i x n DR = 750 x 0,01 x 5 DR = 37,5 DR = R$37,5. • Desconto Bancário ou Comercial ou “Por Fora”: Equivale aos juros simples produzidos pelo valor nominal, à taxa utilizada e ao período de tempo correspondente. FÓRMULA VA—DB— VN. 1 — i.ni.n1 Onde: DB = Desconto Bancário VA = Valor Atual VN = Valor Nominal i = Taxa n = Período de Tempo Exemplo 1: Calcule o desconto bancário para um compromisso de valor nominal igual à R$ 2.700,00, à taxa de 18% ao ano, e prazo de 33 dias antes do vencimento. (Considerar o ano comercial). DB VN Solução: — VN= 2.700. i. n1 i = 18% ao ano ^— 0,05% 360 ao dia = 0,0005 DB = VN x i x n DB = 2700 x 0,0005 x 33 DB = 44,55 DB = R$44,55. Exemplo 2: Calcule o desconto “por fora” para um pagamento antecipado, à taxa de 5,8% ao mês e prazo de5 meses, sabendo-se que o valor nominal é de R$ 42.000,00. DB VN Solução: — VN = 42.000 i. n1 i = 5,8% ao mês = 0,058. DB = VN x i x n DB = 42.000 x 0,058 x 5 DB = 12.180 DB = R$12.180,00. • Considerações finais dentro da capitalização simples: - Como calcular uma taxa acumulada (ao ano) que é aplicada pelo período de n meses: Exemplo: No regime de capitalização simples, calcular a taxa acumulada a 36% ao ano, apli- cada durante8 meses. Solução: 1°) Verifica-se a taxa, neste caso i =36% ao ano 2°) Verifica-se o número de meses de aplicação, neste exemplo são8 meses; 3°) Calcula-se o valor da taxa i no mês; 36% ex.: 12 3% ao mês. 4°) Multiplica-se a taxa encontrada pelo número de meses ex.: 3% x 8 = 24%. 5°) Resultado Final: 24%. Agora, com base em seus conhecimentos, resolva os seguintes Exercícios de Fixação. a) Calcule o tempo necessário para aplicar uma quantia de R$ 100.000,00, e obter um montante simples de R$ 180.000,00, à taxa de 8 % ao mês. FAÇA AQUI SUAS ANOTAÇOES b) Se um empréstimo foi feito com valor atual de R$ 1.500,00 calcule o desconto racional, sabendo-se que a taxa de juros é de 6% ao ano e o prazo é de 10 meses para o vencimento. 6. CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA Como foi visto anteriormente, no início de uma aplicação, se tem o capital principal e após um período, esse capital sofre uma remuneração (juros), sendo então, capital e juros somados para, assim, formarem um novo capital (1° montante). Esse novo capital, após um segundo período, sofre uma outra remuneração (juros), sendo, então, novo capital e juros somados para formarem um segundo montante. (E assim por diante). Então,as remunerações acontecerão sempre, “em cima” do montante do período anterior, caracterizando o que chamamos de capitalização composta. 6.1 - JUROS COMPOSTOS FÓRMULA j = Cx [ (1 + i)n - l] Onde: j = Juros Compostos C = Capital Inicial ( 1+i )n= Fator de Capitalização i = Taxa de Juros n = Período de Tempo Exemplo 1: Ao se aplicar um capital de R$829,30, no regime de capitalização composto, por um período de 3 meses, à taxa de 2,4% ao mês, qual será o juro obtido? Solução: C = 829,30. j = C x [ ( 1 + i)n - l] i = 2,4% ao mês = 0,024. j = 829,30 x [( + 0,024)3 -1] n = 3 meses. j = 829,30 x [(1,024)3 -1] j = 829,30 x [1,073742 -1] j = 61,15 j = R$ 61,15. Exemplo 2: Calcule o valor dos juros com- postos para um capital de R$777,56, aplicado à taxa de 6% ao ano, durante um período de 2 meses. Solução: C = 777,56. i = 6% ao ano = 0,5% ao mês = 0,005. j = C x [(l + i)n-1 ] n = 2meses. j = 777,56 x [(1 + 0,005)2 -1] j = 777,56 x [(1,005)2 -1] j = 777,56 x [1,010025 -1] j = 7,80 j = R$7,80 6.2 - MONTANTE COMPOSTO FÓRMULA s = C x ( 1+i )nOnde: s = Montante Composto C = Capital Principal ( 1+i ) n= Fator de Capitalização i = Taxa de Juros n = Período de Tempo Exemplo 1: Calcule o montante composto para um capital de R$627,43, aplicado à taxa de 2% ao bimestre, durante um período de6 meses. Solução: C = 627,43. i = 2% ao bimestre = 0,02. n = 6 meses Como 6 meses correspondem a três bimestres, o n será igual a 3, pois o período de capitalização é bimestral. s = C x ( 1+i ) n s = 627,43 x (1+0,02)³ s = 627,43 x (1,02)³ s = 627,43 x (1,061202) s = 665,83 s = R$665,83 Exemplo 2: Calcule o montante produzido por um capital de R$15.600,70, aplicado à taxa de 7,2% ao mês, durante 4 meses. Solução: C = 15.600,70. s = C x ( 1+i ) n i = 7,2% ao mês = 0,072. s = 15.600,70 x (1+0,072)4 n = 4 meses s = 15.600,70 x (1,072)4 s = 15.600,70 x (1,320623) s = 20.602,64 s = R$20.602,64 Exemplo 3: Calcule o capital que gera um montante composto de R$7.656,70, à taxa de 18% ao ano, durante um período de aplicação de 4 meses. Solução: s = 7.656,70. 18% i = 18% ao ano 12 1,5% ao mês = 0,015. n = 4 meses. s = C x ( 1+i ) n C = (i + i Y 7.656,70 (1 + 0,015)4 7.656.70 (1,015)4 7.656.70 C =1,061363 C = 7.214,03 C = R$ 7.214,03 C C = Exemplo 4: Calcule a taxa composta para que, um capital de R$300,00, consiga gerar um montante de R$ 4.800,00, em um período de 2meses. Solução: C = 300 s = C x (1+i )n (1+i )n= C 4.800 (1+i>=300 (1+i ) 2 = 16 (1+i ) = VlS 1+ i = 4 i = 4 -1 i = 3 i = 3 representa a taxa na forma unitária; Ao se multiplicar por 100 obtém-se a taxa i na forma percentuali = 300%; Para se descobrir a unidade de tempo da taxa, é só lembrar que, o período de tempo n está sendo usado em meses. Resposta: i = 300% ao mês. Agora, com base em seus conhecimentos, resolva os seguintes Exercícios de Fixação. a) Ao se aplicar um capital de R$ 5.000,00, no regime de capitalização composta, por um período de 4 meses, à taxa de 3,0% ao mês, qual será o juro obtido? b) Calcule a taxa mensal que, aplicada a um capital de R$ 7.300,00 durante quatro meses, rendeu juros compostos de R$ 601,75. 6.3 - DESCONTO COMPOSTO No desconto composto, a taxa incide sobre uma determinada quantia que equivale ao capital. Essa determinada quantia é chamada de valor atual. Nos cálculos deste tipo de desconto, o montante, equivale ao valor nominal. FÓRMULA: VN = VA x ( 1 + i)D = VN - VA Onde: VN = Valor Nominal VA = Valor Atual D = Desconto Composto Exemplo 1: Determine o desconto composto de um capital de R$1.250,52, à taxa de 1,7% ao mês, 2 meses antes do vencimento. Solução : VN = 1.250,52. i = 1,7% ao mês = 0,017 n = 2 meses VN = VA x ( + i)n VN VA - (Ti) 1.250,52VA = (1 + 0,017 ) 1.250,52VA = (1,017) 1.250,52 VA = 1,034289 VA = 1.209,06 D = VN - VA D = 1.250,52 - 1.209,06 D = 41,46 D = R$41,46 Exemplo 2: Calcular o valor atual de um título de R$753,53, à taxa de 18% ao ano, 3 meses antes do vencimento. Solução: VN = 753,53 i = 18% ao ano 18 1, 5% 12 ao mês = 0,015 n = 3 meses VN = VA x (1 + i)n VN VA = (1+i)n 753,53 VA = (l + 0,015)3 753,53 VA = 1,045 678 VA = 720,61 Considerações finais dentro da capitalização composta: • Cálculo do montante a partir de uma série de vários depósitos: FÓRMULA: ( 1 + i)n- 1 M = Dep x i Onde: M = Montante Dep = Depósitos Exemplo: Calcule o montante de uma série de 4 depósitos de R$ 230,00 cada um, efetuados no fim de cada mês, à taxa de 2% ao mês, após o quarto depósito. Solução: Dep = 230. i = 2% ao mês = 0,02 (i+i )n -1 M = Dep x i \4 (l + 0,02) 4-1 M = 230 x 0,02 4 (l,02y -1 M = 230 x M = 230 x M = 230 x 0,02 (1,082432)-1 0,02 0,082432 0,02 M = 230 x 4,1216 M = 947,96 M = R$947,96 • Equivalência entre taxa anual composta e taxa mensal composta: FÓRMULA: Onde: ia= Taxa anual composta im=Taxa mensal composta Exemplo: Determine a taxa anual composta equivalente à taxa mensal de 3%. Solução: (i+i.)=(+i. )'2 (1 + i. ) = (1 + 0,03)'2 (1 + i„ ) = (1,03)12(1 + i, ) = (1,425760) i a= 1,425760 - 1 i a= 0,425760 Ao se multiplicar a taxa anual composta por 100, obtém-se o valorda referida taxa na forma percentual, ficando o valor igual a 42,5760%. Agora, com base em seus conhecimentos, resolva os seguintes Exercícios de Fixação. a) Um título bancário no valor de R$ 18.500,00 foi descontado 4 meses antes de seu vencimento, gerando um valor líquido para o credor de R$12.500,00. Qual a taxa de desconto percentual mensal usada na operação? CETEPS Técnico em Transações Imobiliárias SUMÁRIO INTRODUÇÃO Unidade I INTRODUÇÃO 1. NÚMEROS PROPORCIONAIS 20 1 2. OPERAÇÕES SOBRE MERCADORIAS 2.1 - PREÇOS DE CUSTO E VENDA 2.2 - LUCROS E PREJUÍZOS Exemplo 3: Exemplo 4: FÓRMULA BÁSICA 3. TAXA DE JUROS 12% 12 3.2 - JURO EXATO E JURO COMERCIAL 4. INFLAÇÃO EXEMPLO DE AUMENTO DO CUSTO DE VIDA Solução: 365 5. CAPITALIZAÇÃO SIMPLES 5.1 - JUROS SIMPLES FÓRMULA BÁSICA 6. CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA 12 6.3 - DESCONTO COMPOSTO FÓRMULA: FÓRMULA: 0,02 0,02 0,02
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