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Notas de Aula Cálculo Diferencial e Integral Conceito de Diferenciais & Integrais Indefinidas Prof. Ms. Luís Humberto Miquelino Uberaba 2016 Cálculo Diferencial e Integral Notas de Aula – Conceito de Diferenciais e Integrais Indefinidas Prof. Ms. Luís Humberto Miquelino 2 DIFERENCIAL ACRÉSCIMO INFINITESIMAL Seja )(xfy uma função derivável. Considere um acréscimo 12 xxx , que produz na função um acréscimo 12 yyy . Observe o exemplo a seguir: para a função 3 5y x , tomando-se um valor aleatório 1 5x e ainda, supondo diferentes valores de x , é possível determinar: x1 y1 x x2 y2 y dy Derivando-se a função obtêm-se: 23x dx dy dxxdy 23 ( I ) A expressão I encontrada anteriormente, que relaciona dy e dx é chamada de função diferencial de y em x, ou simplesmente diferencial de y, e sua forma geral é dxxfdy ).(' . No ponto em que x = 5 tem-se: 23 5dy dx 75dy dx Se interpretarmos dx como um acréscimo na variável x, ou seja, xdx , é possível completarmos a última coluna da tabela apresentada no exemplo fazendo o cálculo de dy. Completando a tabela, observa-se que quanto menor for x , mais próximo dy está de y . Assim para x tendendo a zero, podemos considerá-lo como um acréscimo infinitesimal dx, e então aproximarmos a variação a variação y pelo diferencial dy , ou seja, ydy . A relação dx dy pode então ser interpretada como um quociente entre dois acréscimos infinitesimais (extremamente pequenos) nas variáveis y e x. Geometricamente: Quanto menor for o valor de x , o erro que se comete ao se aproximar y por dy tende a zero, ou seja, 0 dyy . Dessa forma, podemos estimar a variação y de uma função por uma variação diferencial e linear dy, desde que o x considerado seja um valor pequeno. APLICAÇÕES DA FUNÇÃO DIFERENCIAL: Cálculo aproximado de raízes não exatas. Cálculo aproximado da variação de uma função. EXEMPLOS e ATIVIDADES 1) Utilizando-se do conceito de diferenciais, encontre um valor aproximado para 3 7,8 . Veja A Seguir, A Resolução Passo A Passo Cálculo Diferencial e Integral Notas de Aula – Conceito de Diferenciais e Integrais Indefinidas Prof. Ms. Luís Humberto Miquelino 3 33 3 3 33 1º Passo: Confirmar a igualdade 2º Passo: Eleger a função 3º Passo: Calcular o valor de y para x igual a raiz n-ésima mais próxima 4º Passo: Analisando a situação 7,8 8 até o m 2 2 y dy x dx y x y y y 3 3 3 32 2 2 33 omento temos que: , logo tem-se o valor de assim: 5º Passo: Calculando dy, temos: 0,2 2 8 ( 0,2) , '( ). 1 1 1 . .( 0,2) .( 0,2) 3. 3. 8 3. 2 0,2 0,2 0, 3.4 12 y dy x dx dx dy dy f x d s x dy dx dy dy dy e x dy 3 01666666... 7,8 1,98333333..2 0,0166666 .6 6º Pa ... sso: Portanto: y dy 2) Obtenha um valor aproximado para o volume de uma fina coroa cilíndrica de altura 12 m, raio interior de 7 m e espessura 0,05 m. Qual o erro decorrente se resolvermos usando diferenciais? Resposta: O Volume da Fina Casca é de 38,4 m aproximadamente e o erro cometido na aproximação usada foi de 30,03 m . 3) Calcule as seguintes raízes, utilizando o conceito de diferencial: a) 4 13 b) 50 RESPOSTA: a) 1,90625 b) 7,071 4) Considere um balão esférico de gás de diâmetro 50 cm. Sobre este balão será aplicada uma fina camada de verniz com espessura 0,05 cm. Determine, utilizando diferenciais, qual será o volume de tinta necessário. RESPOSTA: O volume de tinta necessário é de 392,5 cm3. 5) Um pintor é contratado para pintar ambos os lados de 50 placas quadradas de 40 cm de lado. Depois que recebeu as placas verificou que os lados das placas tinham ½ cm a mais. Usando diferencial, encontrar o aumento aproximado da porcentagem de tinta a ser usada. RESPOSTA: O aumento aproximado da porcentagem de tinta a ser usada será de 2,5% Cálculo Diferencial e Integral Notas de Aula – Conceito de Diferenciais e Integrais Indefinidas Prof. Ms. Luís Humberto Miquelino 4 IInntteeggrraall IInnddeeffiinniiddaa Antes de iniciarmos a integral indefinida, vamos utilizar um exemplo bem simples, que você já está acostumado a trabalhar: 2 ( ) 4 24 12xf x x . Primeiro determine ( )' ?xf Mas, se por acaso, te fosse solicitado, que em vez de encontrar a função derivada de ( )xf , determinássemos uma função ( )xF , que ao ser derivada, resultasse na função ( )xf . O que você faria? Definição: Uma função F(x) é chamada uma primitiva da função f(x) em um intervalo I (ou simplesmente uma primitiva de f(x)), se, para todo x I , temos '( ) ( )F x f x . Exemplo: 3 ( ) 3 x F x é uma primitiva da função 2( )f x x , pois 2 21'( ) .3 ( ) 3 F x x x f x Proposição: Seja F(x) uma primitiva da função f(x). Então, se c é uma constante qualquer, a função ( ) ( )G x F x c também é primitiva de f(x). Definição: Se F(x) é uma primitiva de f(x), a expressão F(x) + c é chamada integral indefinida da função f(x) e é denotada por: ( ) ( )f x dx F x c : é o símbolo de integração ( )xf : é a função integrando ( )xf dx : é o integrando O símbolo dx que aparece no integrando serve para identificar a variável de integração. Da definição da integral indefinida, decorre que: (i) ( ) ( ) '( ) ( )f x dx F x c F x f x (ii) ( )f x dx representa uma família de funções (a família de todas as primitivas da função integrando) Exemplo: Mostre uma família da função integrando 2( ) 1f x x , sabendo que 3 ( ) 3 x F x c . Note que o valor c (constante) pode assumir qualquer valor real, como, por exemplo, C = -3, - 2, -1, 0 , 1, 2. x y C=-3 C=-2 C=-1 C=0 C=1 C=2 Exemplo: ' 2 5 5 2 3 3 3 3 3 3 , pois 5 5 x dx x c x x Em algumas bibliografias, as integrais indefinidas também são chamadas de anti-derivadas. Isto se deve ao processo utilizado para se encontrar a Cálculo Diferencial e Integral Notas de Aula – Conceito de Diferenciais e Integrais Indefinidas Prof. Ms. Luís Humberto Miquelino 5 expressão da integral indefinida, que é inverso àquele utilizado na derivação de uma função. Porém não vamos resolver todos os problemas que envolvam integração de funções de forma intuitiva. De maneira semelhante ao que fizemos anteriormente com a derivação, onde apresentamos uma tabela geral de derivadas, vamos aqui utilizar uma tabela de integrais imediatas. PPaarraa rreessoollvveerr,, tteennhhaa eemm mmããooss aa ttaabbeellaa ddee iinntteeggrraaiiss iimmeeddiiaattaass Observe a tabela abaixo, onde nas fórmulas de integrais u é uma função derivável e , ,c C K e a são constantes.1 Cudu 2 Cuu du ln 3 1, 1 1 KparaC K u duu K K 4 Cedue uu 5 Ca a dua u u ln 6 Cuduu cossen 7 Cuduu sencos 8 Cuduu coslntan 9 Cuduu senlncot 10 Cuuduu tanseclnsec 11 Cuduuu sectansec 12 Cuduu tansec 2 13 Cuuduu cotseccoslnseccos 14 Cuduuu seccoscotseccos 15 Cuduu cotseccos 2 16 C a u du ua arcsen 1 22 17 C a u a du ua arctan 11 22 18 C a u a du uau arcsen 11 22 19 Cauudu au 22 22 ln 1 20 C au au a du ua ln 2 11 22 ATIVIDADE 1 Calcule as integrais indefinidas a seguir com o auxílio da “tabelada”: a) dx b) 8x dx c) 5 7x dx d) 31x x dx e) 6 1 dx x f) 7 8x dx g) 5 2 5 3 x dx x h) 71 52 1 3 9 x x dx i) 1 2 3 2x x dx j) 5 2 4 2 1x x dx x k) 1 2cos x dx x Cálculo Diferencial e Integral Notas de Aula – Conceito de Diferenciais e Integrais Indefinidas Prof. Ms. Luís Humberto Miquelino 6 l) 2 7 2 2 cos x senxe dx x x m) 2 3 xe dx x n) 2 2 3 3 dt t o) 2 9 1 dx x p) 2 2 8 6 8 sec 4 z z dz z z REFERENCIAL ATIVIDADE 1: a) x c b) 9 9 x c c) 12 7 7 12 x c d) 2 5 2 5 x x c e) 51 5 x c f) 188x c g) 2 4 5 1 2 6 x c x h) 121 52 5 1 2 4 9 x x x c i) 4 7 10 3 3 3 12 3 3 7 10 x x x c j) 2 3 2 1 2 3 x c x x k) 2 2senx x c l) 6 1 2 sec 3 xe x c x m) 2ln 3 xx e c n) 2 arctan 3 t c o) 3arcsenx c p) 8 4 tan 6ln tan 2 ln8 zz acr z z c ENCONTRANDO UMA FUNÇÃO A PARTIR DE SUA TAXA DE VARIAÇÃO Através dos conhecimentos da integração de funções, é possível determinar a expressão matemática de uma função a partir de informações sobre a taxa de variação desta função e um ponto pertencente a ela. Este tipo de problema, em algumas bibliografias, é denominado problema de valor inicial, devido se ter o conhecimento de um ponto de função. É um tipo de problema simples, onde a resolução consiste em se determinar, a partir da taxa de variação, a expressão da função encontrando a integral indefinida e, conhecendo-se o ponto da função determinar o valor da constante arbitrária. Exemplo Seja uma função xy f tal que 1 10f e 2 6 4 3 dy dx x . Encontre a função xf e determine o valor de 4f . Por meio da taxa de variação escrevemos uma função diferencial e determinamos a expressão da função na dependência da constante arbitrária. Assim, temos: Cálculo Diferencial e Integral Notas de Aula – Conceito de Diferenciais e Integrais Indefinidas Prof. Ms. Luís Humberto Miquelino 7 2 2 6 4 3 6 4 3 dy dx x dy dx x AGORA É COM VOCÊ!!! Termine a resolução!!!!! ATIVIDADE 2 1) Considere uma função f x tal que 3 7f e 3 36 2 ( 3) dy dx x . Encontre a função f x e calcule o valor de 0f . 2) Resolva os problemas de valor inicial: a) 3 , (1) 2 dy x y dx b) 1 1 , 3 2 dy sent y dt c) 1 , (1) 0 dy x y dx x d) 4 , (0) 1x dy e y dx e) 1 , ( 1) 5 dy y dt t 3) Fisicamente é possível se definir a velocidade de uma partícula pela taxa de variação da sua posição s em relação ao tempo, ou seja, dt ds v . Considere uma partícula cuja posição inicial seja 8 m e se mova com velocidade dada em m/s pela função 25 8 4 2 t v t . Determine a posição da partícula quando 5t s . REFERENCIAL ATIVIDADE 2: 1) 2 18 3 ( ) 2 23 1 ( ) 2 f x x x f o 2) a) 4 3 3 5 ( ) 4 4 f x x b) ( ) cos 1 3 f t t t c) 3 1 2 2 2 8 ( ) 2 3 3 f x x x d) ( ) 4 3xf x e e) ( ) ln 5f t t 3) 5 32,16s m Cálculo Diferencial e Integral Notas de Aula – Conceito de Diferenciais e Integrais Indefinidas Prof. Ms. Luís Humberto Miquelino 8 Integral Indefinida por substituição Apresentamos a você a tabela de integrais imediatas e você resolveu alguns exercícios utilizando esta tabela. No entanto, até este momento, para encontrar a integral indefinida de uma função você basicamente utilizou as propriedades da integral indefinida, que vamos agora relembrar: Soma/subtração de funções no integrando que se transforma em soma/subtração de integrais. Integrando dado pelo produto de uma constante por uma função, que se transforma no produto da constante pela integral da função. Ao aplicar estas propriedades na integral que se desejava calcular, tornava-se simples buscar na tabela de integrais a fórmula que se deveria utilizar. Mas existem algumas integrais que não podem ser determinadas de maneira direta, e precisamos então recorrer a algumas técnicas que permitem a manipulação do integrando para que possamos recair em expressões cuja integral seja tabelada. Método da integração por substituição algébrica O método da integração por substituição algébrica consiste, de uma forma geral, em reescrever a função integrando através de uma substituição de variáveis, permitindo que a integral seja reescrita de uma maneira que possa ser encontrada na tabela e integrais imediatas. Alguns dos exemplos que iremos apresentar aqui, e resolver pelo método da substituição de variáveis, podem ser encontrados generalizados de forma direta em outras tabelas de integrais, que sejam mais completas que esta fornecida a você no roteiro. Porém, nossa preocupação em resolver estas integrais pelo método da substituição é de que você entenda o processo algébrico da determinação da integral. Podemos observar certos aspectos na função integrando que, de um modo geral, facilitam a visualização da substituição mais adequada de ser utilizada. Destacamos que não são regras fixas que estamos apresentando, e sim alguns procedimentos práticos que em boa parte dos casos permitem a solução do problema. Na função integrando, se: Existir um produto de duas funções polinomiais, pode-se substituir por outra variável a expressão de maior grau. Existir um produto de funções trigonométricas seno e cosseno, sendo que uma delas esteja elevada a uma potência diferente de um, normalmente a substituição se aplica neste termo elevado à potência. Houver uma expressão polinomial no interiorde um radical, ou ainda, no denominador de uma função racional onde o numerador é uma constante, a substituição geralmente se dá trocando o polinômio por uma única variável. Existirem funções trigonométricas, onde a variável aparece multiplicada ou acrescida de algum termo, no interior do arco destas funções, normalmente a substituição se processa trocando todo o arco por uma variável única. Vamos agora resolver com você alguns exemplos, mas como já dissemos Cálculo Diferencial e Integral Notas de Aula – Conceito de Diferenciais e Integrais Indefinidas Prof. Ms. Luís Humberto Miquelino 9 anteriormente, não há um conjunto de regras que devem ser seguidas para ser fazer a substituição. Recomendamos ainda que você procure fazer o maior número possível de exercícios sobre a substituição de variáveis, e observe com atenção os exemplos resolvidos que se encontram nas bibliografias, pois desta forma você tomará conhecimento das mais diferentes trocas de variáveis que se pode fazer, facilitando seu processo de aprendizagem e fixação dos conceitos estudados. Roteiro para a substituição u: Passo 1: Procure alguma composição ( ( ))f g x dentro do integrando para o qual a substituição ( ), '( )u g x du g x dx produza uma integral expressa inteiramente em termos de u e de du. Isso pode ou não ser possível. Passo 2: Se o passo 1 tiver sido completado com sucesso, tente calcular a integral resultante em termos de u. Novamente, isso pode ou não ser possível. Passo 3: Se o passo 2 tiver sido completado com sucesso, substitua u por g(x) para expressar a resposta final em termos de x. EXEMPLOS: Calcule as integrais abaixo usando o método da substituição: a) 50 2 1 . 2 x x dx 2 1u x Derivando ambos os termos 2du xdx Isolando dx, teremos: 2 du dx x 50.2 . 2 du u x x Note que podemos cancelar o termo 2x, ficando: 50 50 1 51 50 1 51 u du u c u c Agora é só substituir u por 2 1x . 51 2 1 51 x c b) 9sen x dx Resposta: cos 9x c c) 23( 8)x dx Resposta: 248 24 x c d) cos5xdx Resposta: 1 5 5 sen x c e) 2 2 1 x dx x Resposta: 2ln 1 x c f) 2 .cos .sen x x dx Resposta: 3 3 sen x c g) 2sec 3x x dx Resposta: 2 1 3 2 3 x tg x c h) 2 42t t dt Resposta: 3 2 2 1 1 2 6 t c ATIVIDADE 1) Calcule as integrais usando a substituição indicada: Cálculo Diferencial e Integral Notas de Aula – Conceito de Diferenciais e Integrais Indefinidas Prof. Ms. Luís Humberto Miquelino 10 a) 2. 2x sen x dx , 22u x Resposta: 2 1 cos 2 4 x c b) 5 28 7 2x dx , 7 2u x Resposta: 4 7 2x c c) 2 3 9 1 r dr r , 31u r Resposta: 1 3 26 1 r c 2) Calcule as integrais abaixo usando o método da substituição: a) 9 4 3x dx Resposta: 104 3 40 x c b) 7sen x dx Resposta: 1 cos 7 7 x c c) sec 4 . 4x tg x dx Resposta: 1 sec 4 4 x c d) 2xe dx Resposta: 21 2 xe c e) 27 12t t dt Resposta: 3 2 2 1 7 12 21 t c f) 3 6 1 2 dx x Resposta: 2 3 2 1 2 c x g) 3 3 45 2 x dx x Resposta: 2 4 1 40 5 2 c x h) 32 2. xx e dx Resposta: 321 6 xe c i) 21 x x e dx e Resposta: xarc tg e c j) 2 2 1 cos 2 1 sen t dt t Resposta: 1 2cos 2 1 c t l) cos4 2 4sen d Resposta: 3 2 1 2 4 6 sen c m) 2 5 3 x dx x Resposta: 1 2 25 3x c n) 10 22 2 3 2 1x x x dx Resposta: 11 21 2 2 3 22 x x c o) 4 t t e dt e Resposta: 1 2cos 2 1 c t p) 5sen d Resposta: 1 cos(5 ) 5 c q) 2ln x dx x Resposta: 3ln 3 x c Cálculo Diferencial e Integral Notas de Aula – Conceito de Diferenciais e Integrais Indefinidas Prof. Ms. Luís Humberto Miquelino 11 Integrais Indefinidas – Outros Métodos de Integração – Método da integração por partes Normalmente, quando uma integral não é encontrada de forma imediata na tabela, tentamos resolvê-la por substituição algébrica, que é um método menos trabalhoso que a integração por partes. Caso não consigamos alguma substituição que nos faça recair em uma integral “tabelada”, principalmente em casos em que apareça produto de duas funções no integrando, podemos tentar aplicar a técnica de integração por partes. A técnica da integração por partes e esta ligação com o produto de funções no integrando se relacionam à derivada de um produto de funções, que relembramos aqui: ( ) ( ) ( ) ( )( ). ( ) x x x x' ''f x g x f g g f Se reescrevermos a expressão anterior, isolando o termo ( ) ( )x x 'g f em um dos membros e integrando os dois membros da nova expressão em relação a x, temos: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Equação 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x x '' ' '' ' '' ' f g f g g f f g dx f g g f f g dx f g dx g f dx Como a integral da derivada de um termo é igual a ele mesmo, podemos então reescrever a expressão da equação 2 anterior, da seguinte forma: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x x x x x x ' 'f g dx f g g f dx Na prática, costuma-se denominar as funções do integrando de “u” e “v” como já foi descrito, em roteiros anteriores, para a tabela de derivadas. Assim, temos a expressão geral para a integração por partes: u dv u v v du Na qual: ( ) ( )x x 'u f du f dx ; e ( ) ( )x x 'v g dv g dx EXEMPLOS: a) 5xe x dx Fazemos: 5u x e xdv e dx Devemos então fazer a derivada da função u e a integral da função diferencial dv para encontramos du e a função v. Assim: 5 5 du du dx dx x x xdv e dx v dv e dx v e Agora devemos reescrever a integral aplicando a definição da integral por partes: 5 5 5 5 5 x x x x x e x dx I u dv u v v du I x e e dx I x e e C A princípio, o método da integração por partes parece estranho, devido transformar a integral de uma função na soma de um produto de termos com uma nova integral. Neste primeiro exemplo, vamos fazer a derivada da primitiva ( ) 5 5 x xF x x e e para demonstrar que ela realmente é uma das primitivas da função ( ) 5 xf x e x . Ao derivar a função, devemos atentar para o produto das funções xe e 5x . Temos, então: 5 5 5 5 . x x x x dF e x e e dx dF x e dx Cálculo Diferencial e Integral Notas de Aula – Conceito de Diferenciais e IntegraisIndefinidas Prof. Ms. Luís Humberto Miquelino 12 A derivada da função encontrada na integral indefinida mostra que ela realmente é uma das primitivas da função ( )f x e, portanto, a integração está correta. b) 2 cos 3 x I x dx Fazemos: 2 3 x u e cosdv xdx Encontrando as funções v e du: 2 2 3 3 du x x du dx dx cos cos sendv x dx dv x dx v x Reescrevendo a integral: 2 cos 3 x x dx I u dv 2 2 2 cos sen 3 3 2 cos sen 3 3 I u v v du x x I x x dx x I x x x dx CCoommoo vvaammooss rreessoollvveerr eessttaa iinntteeggrraall?? Precisamos repetir o método da integração por partes para resolver sen x x dx . Fazemos: u x e sendv x dx Encontrando as funções v e du: 1 du du dx dx sen sen cosdv x dx dv x dx v x Determinando a integral: sen cos cos sen cos cos sen cos sen x x dx x x x dx x x dx x x x dx x x dx x x x Finalmente, substituímos a expressão encontrada na integral I . Assim: 2 2 2 2 cos sen 3 3 2 cos cos sen 3 3 cos 2 cos 2sen 3 3 3 x I x x x dx x I x x x x x x x x x I C c) 5 ln(4 )I x x dx Podemos deslocar a constante para fora do integrando, e fazer: ln(4 )u x e dv x dx . Temos, então: 5 ln(4 ) 5I x x dx u dv A escolha do ln(4 )x como função “u” se deve ao fato de não haver uma integral tabelada para o logaritmo. Assim, encontramos as funções v e du: 4 1 4 du du dx dx x x 2 2 x dv x dx dv x dx v Reescrevendo a integral: 5I u v u dv 2 2 5 ln(4 ) 2 x x I x 1 2 x 25 ln(4 ) 5 2 2 x x dx x dx 2 25 ln(4 ) 5 2 2 2 x x x I C 2 25 ln(4 ) 5 2 4 x x x I C ou 25 1 ln(4 ) 2 2 x I x C SSaaiibbaa MMaaiiss!! Dada a Integral: Cálculo Diferencial e Integral Notas de Aula – Conceito de Diferenciais e Integrais Indefinidas Prof. Ms. Luís Humberto Miquelino 13 O propósito de usar a técnica de integração por partes é transferir essa integral para uma integral a qual espera-se que saibamos calcular, ou seja: Assim, ao integrar por partes uma integral da forma, sempre devemos escolher quem será a função entre as funções e do integrando acima. Surge a pergunta: "Como fazer esta escolha?" Uma sugestão que funciona bem na maioria das vezes é escolher as funções e através do diagrama LIATE que foi publicado como uma pequena nota em uma edição antiga da revista American Mathematical Monthly que descreveremos abaixo. Considere o diagrama com as funções elementares abaixo: Nesse acróstico, as letras da palavra LIATE são iniciais de diferentes tipos de funções e a estratégia que deve ser adotada é: "Escolher como função , a função cuja letra inicial está mais próxima de L e para formar a diferencial , escolhemos a função cuja letra inicial posiciona-se mais próxima de E". Vejamos alguns exemplos: 1) Na integral escolhemos (Algébrica) e (Trigonométrica), pois no anagrama acima, A precede T. 2) Na integral Escolhemos (Logarítmica) e (Algébrica), pois L precede A no anagrama acima. 3) Na integral Escolhemos (Inversa trigonométrica) e (Algébrica). Nos exercícios de integração por partes verifique a validade deste belíssimo anagrama. AAggoorraa éé VVooccêê!! ATIVIDADES: 1) Resolva as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes: a) x xe cos 2 dx RESPOSTA: Cálculo Diferencial e Integral Notas de Aula – Conceito de Diferenciais e Integrais Indefinidas Prof. Ms. Luís Humberto Miquelino 14 . cos . cos 2 2 2 2 .2 2 2 2 . . . 2cos 2 2 2 2 2 2 cos 2cos 2 2 2 2 4 cos 4 2 2 4 2 4 cos 2 2 5 x x x x x x x x x x x u e du e dx x x x dv dx v dx v sen x x I e sen sen e dx x xu e du e dx x x x dv sen dx v sen dx v x x x I e sen e e dx x x I e sen e I x x I I e sen e I 2 4 cos 2 2 2 4 cos 2 2 5 1 2 2cos 5 2 2 x x x x x x x e sen e x x e sen e I x x I e sen C b) ln(1-x) dx RESPOSTA: ln 1 . . . 1 1 ln 1 . 1 1 1 ln 1 . . . 1 .ln 1 . 1 x dx I I u v v du du u x du dx dx x x dv dx v dx v x I x x x dx x x I x x dx x -Utilizando o método da substituição calculamos: . 1 1 1 Em temos: 1 1 .( ) 1. .( ) 1 1. 1 .( ) 1. ln ln Em temos: (1 ) ln 1 Voltando ao 1 x dx x z x dz dx dz dx z z z dz dz z z z dz z z z z z C x x z x x C cálculo de : .ln 1 . 1 .ln 1 (1 ) ln 1 .ln 1 (1 ) ln 1 1 .ln 1 (1 ) I x I x x dx x I x x x x I x x x x I x x x C c) 6 x sen x dx RESPOSTA: . 6 . . . 1 1 6 . 6 . (cos 6 ) 6 1 1 . (cos 6 ) (cos 6 ). 6 6 1 1 (cos 6 ) . ( 6 ) 6 6 6 1 (cos 6 ) ( 6 ) 6 36 x sen x dx I I u v v du du u x du dx dx dv sen x dx v sen x dx v x I x x x dx x I x sen x x I x sen x C Cálculo Diferencial e Integral Notas de Aula – Conceito de Diferenciais e Integrais Indefinidas Prof. Ms. Luís Humberto Miquelino 15 d) 3t te dt RESPOSTA: 3 3 3 3 3 3 3 3 3 t . . 1 1 . . 3 1 1 . . 3 3 1 1 . 3 3 3 1 3 9 t t t t t t t t t e dt I I u v v du du u t du dt dt dv e dt v e dt v e I t e e dt t I e e C t I e C e) 4t te dt Resposta: f) 5 x sen x dx Resposta: g) (x+1) cos2 x dx Resposta: h) ln3 x x dx Resposta: i) x l nx dx Resposta: j) 2 cossec x x dx Cálculo Diferencial e Integral Notas de Aula – Conceito de Diferenciais e Integrais Indefinidas Prof. Ms. Luís Humberto Miquelino 16 Resposta: k) 3 4 x sen x dx Resposta: l) (x-1) xe dx Resposta: m) 2 l x nx dx Resposta: n) 2 xx e dx Resposta: o) 2( 1) sec x x dx Resposta:p) 3xe cos4 x dx Cálculo Diferencial e Integral Notas de Aula – Conceito de Diferenciais e Integrais Indefinidas Prof. Ms. Luís Humberto Miquelino 17 Resposta: q) 2ln(x +1) dx Resposta: r) 24 xx e dx Resposta: s) 2( 3) xx e dx Resposta: t) x+1 x dx Resposta: Cálculo Diferencial e Integral Notas de Aula – Conceito de Diferenciais e Integrais Indefinidas Prof. Ms. Luís Humberto Miquelino 18 Método da substituição trigonométrica A integração por substituição trigonométrica consiste em reescrever a função integrando utilizando uma relação trigonométrica adequada. Essa técnica se aplica na resolução de integrais em que na função integrando aparecem expressões seguinte tipo: 2 2a u , 2 2a u e 2 2u a na qual: a indica uma constante positiva e u uma função. As substituições trigonométricas que serão utilizadas envolvem relações trigonométricas num triângulo retângulo e podem ser visualizadas da seguinte maneira: a u 2 2a ua u 2 2a u a u 2 2u a O método da integração por substituição trigonométrica, quando comparado à substituição algébrica e à integração por partes, é bastante trabalhoso por envolver, além da substituição adequada a cada caso, o conhecimento de algumas relações trigonométricas que envolvem seno, cosseno, tangente e secante. Uma boa parte das integrais que são resolvidas por esta técnica de integração são encontradas em tabelas. Por isso, como exemplo, vamos resolver aqui apenas uma integral que exija este tipo de substituição. Exemplo: Calcule 2 24 x dx I x Para esta integral, vamos fazer a seguinte substituição: 2 x 24 x Temos: sen 2sen 2 x x e 2cos 2cos dx dx d d Substituindo no integrando: 22 2 2 2 2 2sen 2cos 4sen 2cos 4 4 4sen4 2sen dx dx d I x 2 2 2 22 sen cos sen cos sen cos 8 8 8 4 cos4 1 sen d d I 2 cos d 2 218 sen 4 sen 2 I d d Para resolver a integral anterior, é preciso utilizar a seguinte relação trigonométrica: 2 1 cos(2 )sen 2 Assim, temos: 1 cos(2 ) 4 2 1 cos(2 ) 2 2 cos(2 ) 2 I d d d d 2 2 I 1 2 sen(2 ) 2 sen(2 ) Equação 2 C I C Devemos voltar a escrever a integral utilizando a variável original. Assim, é preciso escrever o ângulo em função de x e também utilizar uma relação trigonométrica para o seno do arco duplo sen(2 ) . Tem-se a seguinte relação: sen(2 ) 2sen cos Na equação 2 apresentada anteriormente, substituindo esta relação, temos: 2 2sen cosI C No triângulo retângulo utilizado no início do exercício tem-se que: sen sen 2 2 x x arc e 24 cos 2 x Finalmente temos a solução do problema, que é a seguinte integral definida: 2 sen 2 2 x I arc 2 x 24 2 x C Cálculo Diferencial e Integral Notas de Aula – Conceito de Diferenciais e Integrais Indefinidas Prof. Ms. Luís Humberto Miquelino 19 22 sen 4 2 2 x x I arc x C Caso você tivesse em mãos uma tabela mais completa de integrais, poderia resolver esta integral apenas consultando a seguinte fórmula geral: 2 2 2 2 2 2 1 arcsen 2 2 x dx a x x a x C aa x O resultado seria o mesmo daquele obtido pela integração por substituição trigonométrica. Por isso nos preocupamos em resolver apenas um exemplo, uma vez que a consulta a uma tabela adequada é bem mais rápida e prática. Quanto aos outros tipos de radicais que aparecem no integrando e pedem substituições trigonométricas, as substituições adequadas são as seguintes: nos radicais 2 2a u fazemos tanu a ; nos radicais do tipo 2 2u a a substituição é secu a . Abordamos aqui os tipos mais comuns de técnicas de integração de funções. Sugerimos que você faça agora as leituras indicadas, a seguir, para uma melhor compreensão dos conceitos sobre integração por partes e por substituição trigonométrica. Indicação de Leituras FLEMMING, Diva Marília. Cálculo A: funções, limite, derivação, integração. 6 ed. São Paulo: Pearson, 2006. (item 6.5, nas páginas 252 a 255; item 7.3, nas páginas 306 a 309). FINNEY, Ross L. Cálculo de George B. Thomas Jr. 10 ed. São Paulo: Addison Wesley, 2002. (item 7.2, nas páginas 524 a 530; item 7.4, da página 542 até o exemplo 3, da página 544).
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