Aula 3 Movimento em uma dimensão MRUV

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Movimento em uma dimensa˜o
(MRUV) - Aula 3
12 de marc¸o de 2018
Acelerac¸a˜o; diagramas de movimento; movimento retil´ıneo uniformemente
acelerado; objetos em queda livre.
1 Acelerac¸a˜o
Quando a velocidade de uma part´ıcula varia com o tempo, diz-se que a mesma esta´
acelerada. Vejamos como quantificar esta variac¸a˜o de velocidade ou acelerac¸a˜o.
Suponha uma part´ıcula movendo-se ao longo do eixo-x cuja velocidade inicial e´ vi em
um tempo ti na posic¸a˜o AO, e cuja velocidade final e´ vf em um tempo tf na posic¸a˜o
B
O (veja Figura 1). A acelerac¸a˜o me´dia amed da part´ıcula e´ definida como sendo a
variac¸a˜o da velocidade ∆v dividida pelo intervalo de tempo em que ocorreu esta variac¸a˜o,
ou seja:
amed ≡ ∆v
∆t
= vf − vi
tf − ti (1)
Da mesma forma como visto para a velocidade, quando o movimento e´ unidimensional,
usam-se os sinais positivo e negativo para indicar os sentidos da acelerac¸a˜o. Como as
dimenso˜es de velocidade sa˜o L/T e a dimensa˜o de tempo e´ T , enta˜o, a acelerac¸a˜o possui
dimenso˜es L/T 2. No SI a unidade de acelerac¸a˜o e´ metro por segundo ao quadrado (m/s2).
Isto quer dizer que se uma part´ıcula possui uma acelerac¸a˜o de 3 m/s2, por exemplo, a
sua velocidade esta´ aumentando 3 m/s a cada segundo. Assim, se o movimento iniciou
com velocidade vi = 0 em t = 0, no instante de tempo t = 1 s, a velocidade da part´ıcula
sera´ de 3 m/s, no instante de tempo t = 2 s a velocidade da part´ıcula sera´ de 6 m/s, e
assim por diante.
1
Figura 1: Uma part´ıcula movendo-se ao longo do eixo-x de AO para BO, possui velocidade
vi em t = ti e velocidade vf em t = tf .
Na˜o e´ dif´ıcil que em va´rias situac¸o˜es a acelerac¸a˜o me´dia seja diferente para diferentes
intervalos de tempo do movimento. Desta forma, e´ necessa´rio se definir acelerac¸a˜o
instantaˆnea como o limite da acelerac¸a˜o me´dia quando ∆t tende a zero. Esta definic¸a˜o
e´ ana´loga a` definic¸a˜o de velocidade instantaˆnea. Olhando a Figura 1, imagine o ponto BO
se aproximando do ponto AO, desta forma, pode-se calcular o limite de ∆v/∆t quando
∆t tende a zero para se obter a acelerac¸a˜o instantaˆnea no ponto AO:
ainst ≡ lim
∆t→0 ∆v∆t = dvdt (2)
ou seja, a acelerac¸a˜o instantaˆnea e´ igual a` derivada da velocidade em relac¸a˜o ao tempo,
que, por definic¸a˜o, e´ a inclinac¸a˜o da curva do gra´fico velocidade × tempo. A inclinac¸a˜o
da reta azul na Figura 1 e´ igual a` acelerac¸a˜o instantaˆnea no ponto BO.
Na Figura 2 e´ ilustrada a relac¸a˜o entre os gra´ficos de acelerac¸a˜o × tempo e velocidade× tempo. Em qualquer instante de tempo, a acelerac¸a˜o e´ a inclinac¸a˜o da curva velocidade× tempo. Pelo gra´fico, pode-se ver que quando a velocidade esta´ crescendo, a acelerac¸a˜o
e´ positiva e quando a velocidade esta´ diminuindo, a acelerac¸a˜o e´ negativa.
Como a velocidade instantaˆnea e´ v = dx/dt, enta˜o a acelerac¸a˜o instantaˆnea pode ser
escrita da seguinte forma:
2
Figura 2: (a) Gra´fico velocidade × tempo
para uma part´ıcula movendo-
se ao longo do eixo-x. (b) A
acelerac¸a˜o instantaˆnea pode ser
obtida do gra´fico velocidade ×
tempo
a = dv
dt
= d
dt
(dx
dt
) = d2x
dt2
Isto quer dizer que, em um movimento retil´ıneo uniformemente acelerado, a acelerac¸a˜o
e´ igual a` derivada segunda de x em relac¸a˜o ao tempo.
——————
Exemplo 1. Os gra´ficos da posic¸a˜o × tempo, velocidade × tempo e acelerac¸a˜o × tempo
de uma part´ıcula sa˜o apresentados na Figura 3((a), (b) e (c)), respectivamente. Fac¸a
uma ana´lise dos mesmos.
Deslocamento – Note que o gra´fico da posic¸a˜o × tempo, Figura 3(a), e´ uma para´bola e sua equac¸a˜o
e´:
x(t) = −1,11t2 + 6,66t (m)
Isto quer dizer que em t = 0 a part´ıcula se encontra na origem x = 0 e que inicial-
mente seu deslocamento e´ no sentido positivo do eixo-x. Ainda pelo gra´fico, pode-se
observar que em t = 3 s a part´ıcula alcanc¸a seu deslocamento ma´ximo em x = 10 m.
Neste instante a part´ıcula se encontra em repouso e ela comec¸a a retornar para a
origem, alcanc¸ando esse ponto novamente em t = 6 s.
3
Figura 3: (a) Gra´fico posic¸a˜o X
tempo para uma part´ıcula
movendo-se ao longo do
eixo-x ; (b) Gra´fico ve-
locidade X tempo obtido
medindo-se a inclinac¸a˜o do
Gra´fico da posic¸a˜o X tempo
a cada instante; (c) Gra´fico
acelerac¸a˜o X tempo obtido
medindo-se a inclinac¸a˜o
do gra´fico da velocidade X
tempo a cada instante.
Velocidade – Para se saber a velocidade da part´ıcula, basta encontrar a derivada dx/dt da
equac¸a˜o do deslocamento, assim:
v = dx
dt
= d(−1,11t2 + 6,66t)
dt
= d(−1,11t2)
dt
+ d(6,66t)
dt
⇒ v = −2,22t + 6,66 (m/s)
Note que a equac¸a˜o da velocidade e´ uma reta com inclinac¸a˜o negativa, o que pode
ser observado no gra´fico da Figura 3(b). Isso mostra que desde a origem ate´ o
ponto em que a part´ıcula para momentaneamente – ponto (3,10) no gra´fico da
Figura 3(a) – a mesma esta´ se movimentando no sentido positivo do eixo-x, mas
sua velocidade esta´ sempre diminuindo. Apo´s este ponto, a part´ıcula comec¸a a
acelerar no sentido negativo do eixo-x ou seja, seu movimento agora e´ em direc¸a˜o
4
ao ponto de origem.
Acelerac¸a˜o – Para encontrar a acelerac¸a˜o da part´ıcula, basta derivar a equac¸a˜o da velocidade,
ou seja:
a = dv
dt
= d(−2,22t + 6,66)
dt
= d(−2,22t)
dt
+ d(6,66)
dt
⇒ a = −2,22 (m/s2)
Isso mostra que a acelerac¸a˜o do movimento da part´ıcula e´ constante durante todo
o seu deslocamento (veja Figura 3(c)) e ela esta´ em movimento desacelerado da
origem ate´ o ponto em que a mesma para momentaneamente. Deste ponto em
diante ela comec¸a um movimento acelerado, mas no sentido negativo do eixo-x,
em direc¸a˜o a` sua origem.
——————
Exemplo 2. A velocidade de uma part´ıcula movendo-se ao longo do eixo-x varia de
acordo com a seguinte expressa˜o:
v = 40 − 5,0t2 (m/s)
a – Encontre a acelerac¸a˜o me´dia da part´ıcula no intervalo de tempo entre t = 0,0 e
t = 2,0 s;
b – Determine a acelerac¸a˜o da part´ıcula em t = 2 s.
R-a – Para encontrar a acelerac¸a˜o me´dia da part´ıcula no intervalo pedido, e´ necessa´rio
encontrar o valor da velocidade em t = 0,0 e em t = 2,0 s e deve-se fazer uso da
Equac¸a˜o 1, assim:
v(0) = 40 − 5,0 × (0,0)2 = 40 m/s
v(2) = 40 − 5,0 × (2,0)2 = 20 m/s
com estes valores pode-se agora usar a Equac¸a˜o 1:
amed = vf − vi
tf − ti = 20 − 402,0 − 0,0 ⇒ amed = −10 m/s2
Como a acelerac¸a˜o me´dia e´ negativa, isso mostra que a part´ıcula se encontra em
um movimento desacelerado, o que e´ corroborado pela velocidade final ser menor
que a velocidade inicial da mesma.
5
R-b – Para determinar a acelerac¸a˜o instantaˆnea da part´ıcula no instante t = 2,0 s, basta
derivar a expressa˜o da velocidade e aplicar o resultado no instante t = 2,0 s.
ainst = dv
dt
= d(40 − 5,0t2)
dt
= d(40)
dt
+ d(−5,0t2)
dt⇒ ainst = −10t
Substituindo em t = 2,0 s,
⇒ ainst = −20 m/s2
Como neste instante de tempo a velocidade da part´ıcula e´ positiva e sua acelerac¸a˜o
e´ negativa, enta˜o, pode-se afirmar que seu movimento e´ desacelerado, ou seja, sua
velocidade esta´ diminuindo neste instante.
——————
2 Movimento retim´ıneo uniformemente acelerado
Um exemplo de movimento muito comum e simples e´ o movimento unidimensional,
no qual a acelerac¸a˜o e´ constante. Neste caso, a acelerac¸a˜o me´dia amed em qualquer
intervalo de tempo e´ igual a` acelerac¸a˜o instantaˆnea do movimento ainst e, consequente-
mente, a velocidade possui a mesma taxa de variac¸a˜o durante todo o movimento.
Usando a Equac¸a˜o 1 e substituindo amed por a, fazendo ti = 0 e tf como sendo um
tempo qualquer t maior que ti, tem-se:
a = vf − vi
t − 0
ou
vf = vi + at (3)
para uma acelerac¸a˜o constante.
Usando-se a Equac¸a˜o 3 e´ fa´cil determinar a velocidade de uma part´ıcula a qualquer
instante de tempo, desde que se conhec¸a a velocidade inicial da part´ıcula vi e sua ace-
lerac¸a˜o a. Umexemplo de gra´fico da velocidade × tempo para uma acelerac¸a˜o constante
6
e´ apresentado na Figura 3(b). Note que o gra´fico e´ uma linha reta cuja inclinac¸a˜o e´ a
acelerac¸a˜o a. O gra´fico da acelerac¸a˜o e´ apresentado na Figura 3(c). Como a acelerac¸a˜o
e´ constante, enta˜o, seu gra´fico e´ uma linha reta horizontal, ou seja, com inclinac¸a˜o zero.
Como a velocidade possui acelerac¸a˜o constante, a mesma varia linearmente com o
tempo, assim, de acordo com a Equac¸a˜o 3, a velocidade me´dia do movimento vmed pode
ser calculada como a me´dia aritme´tica das velocidades inicial e final do mesmo, ou seja:
vmed = vf + vi
2
(4)
Para saber a posic¸a˜o de uma part´ıcula em func¸a˜o do tempo no movimento retil´ıneo
uniformemente acelerado - (MRUV) basta iniciar usando a equac¸a˜o (4), assim:
vmed = vf + vi
2
Como vmed = ∆x∆t , tem-se:
∆x
∆t
= vf + vi
2
E como ∆x∆t = xf−xitf−ti , tem-se:
xf − xi
tf − ti = vf + vi2
Fazendo ti = 0 e tf = t, tem-se
xf − xi
t
= vf + vi
2
Fazendo vf = vi + at (Equac¸a˜o 3) e resolvendo esta equac¸a˜o para xf , obte´m-se:
xf = xi + vit + 1
2
at2 (5)
Esta equac¸a˜o fornece a posic¸a˜o final (xf ) de uma part´ıcula em um determinado ins-
tante de tempo t, dadas a posic¸a˜o inicial (xi), a velocidade inicial (vi) e a acelerac¸a˜o (a)
da part´ıcula.
7
——————
Exemplo 3. Dada a equac¸a˜o do movimento de uma part´ıcula apresentada na Figura
3(a) (xf = 6,66t − 1,11t2), (a) deˆ os valores da posic¸a˜o inicial xi, velocidade inicial
vi e acelerac¸a˜o a da part´ıcula; (b) calcule a posic¸a˜o final da mesma para t = 1,00 s e
t = 5,00 s.
R(a) – Dada a equac¸a˜o da posic¸a˜o da part´ıcula em qualquer instante de tempo
xf = 6,66t − 1,11t2 (m)
e comparando com a Equac¸a˜o 5
xf = xi + vit + 1
2
at2
podemos afirmar que
xi = 0; – vi = +6,66 m/s; – a = −2,22 m/s2
.
R(b) – Substituindo, respectivamente, t = 1,00 s e t = 5,00 s na Equac¸a˜o 5, tem-se:
Para t = 1,00 s⇒ xf = 6,66 × 1,00 − 1,11 × (1,00)2 ⇒ xf = 5,55 m
Para t = 5,00 s⇒ xf = 6,66 × 5,00 − 1,11 × (5,00)2 ⇒ xf = 5,55 m
——————
O gra´fico da posic¸a˜o × tempo para o movimento com acelerac¸a˜o (negativa) constante,
apresentado na Figura 3(a) e´ obtido a partir da Equac¸a˜o 5. Note que a curva e´ uma
para´bola. A inclinac¸a˜o da reta tangente a esta curva em qualquer pondo da mesma e´ a
velocidade v da part´ıcula naquele ponto. Para t = 0, a inclinac¸a˜o da reta tangente a este
ponto e´ a velocidade inicial da part´ıcula vi.
Para se obter uma expressa˜o para a velocidade de uma part´ıcula que na˜o contenha
o tempo como varia´vel, basta encontrar o valor de t na Equac¸a˜o 3 e substitu´ı-lo na
Equac¸a˜o 5, assim:
vf = vi + at⇒ t = vf − vi
a
8
xf = xi + vit + 1
2
at2 ⇒ xf − xi = vivf − vi
a
+ 1
2
a(vf − vi
a
)2
Resolvendo esta equac¸a˜o para vf , tem-se:
(vf)2 = (vi)2 + 2a∆x (6)
——————
Exemplo 4. Um avia˜o aterrissa em um aeroporto a uma velocidade de 60,0 m/s. (a)
Qual e´ a acelerac¸a˜o do avia˜o se o mesmo para apo´s 12,0 s? (b) Qual o deslocamento do
avia˜o nesse intervalo de tempo?
R(a) – Primeiro extraem-se os dados do problema, assim:
– velocidade inicial vi = 60,0 m/s;
– velocidade final vf = 0,00 m/s;
– tempo de deslocamento t = 12,0 s.
Note que o avia˜o esta´ em movimento acelerado com acelerac¸a˜o negativa, pois vf <
vi. Supondo uma acelerac¸a˜o constante durante todo o movimento, pode-se usar a
Equac¸a˜o 3 para encontrar o valor da acelerac¸a˜o.
0,00 = 60,0 + a × 12,0⇒ a = −5,00 m/s2
R(b) – Para encontrar o deslocamento pode-se usar tanto a Equac¸a˜o 5 (pois ja´ se sabe a
posic¸a˜o inicial, a velocidade inicial e a acelerac¸a˜o do avia˜o), quanto a Equac¸a˜o 6
(pois ja´ se sabe a velocidade inicial, a velocidade final e a acelerac¸a˜o do avia˜o).
Usando a Equac¸a˜o 5:
xf = 0,00 + 60,0 × 12,0 + 1
2
(−5,00)(12,0)2 ⇒ xf = 360 m
——————
Exemplo 5. Um carro A, viajando a uma velocidade constante igual a 40,00 m/s,
ultrapassa um carro B parado na rodovia. Um segundo apo´s a ultrapassagem, o carro
B inicia seu movimento na direc¸a˜o do carro A, com uma acelerac¸a˜o de 3,000 m/s2.
Quanto tempo leva para que o carro B alcance o carro A?
9
R – Os dados do problema sa˜o os seguintes:
– vA = 40,00 m/s (velocidade constante do carro A);
– vBi = 0 (velocidade inicial do carro B);
– aB = 3,000 m/s2; (acelerac¸a˜o do carro B).
Como B inicia seu movimento 1,000 s apo´s ser ultrapassado, enta˜o, nesse intervalo
de tempo A ja´ se encontrava 40,00 m a` sua frente.
Tomando como o instante inicial do movimento (t = 0,000) aquele em que B
comec¸a a se movimentar e como a origem do movimento (xi = 0,000) a posic¸a˜o
inicial de B, enta˜o, a equac¸a˜o do movimento de A e´:
xA = xAi + vAt⇒ xA = 40,00 + 40,00t
e a equac¸a˜o do movimento de B e´:
xB = xBi + vBit + 1
2
aBt
2 ⇒ xB = 1
2
3,000t2
Como se deseja saber o instante em que B alcanc¸a A, enta˜o, basta igualar as duas
equac¸o˜es, ou seja:
xA = xB ⇒ 40,00 + 40,00t = 1
2
3,000t2
Rearranjando esta equac¸a˜o, obte´m-se uma equac¸a˜o do segundo grau:
3,000
2
t2 − 40,00t − 40,00 = 0,000
Encontrando as ra´ızes da equac¸a˜o, veˆ-se que uma e´ positiva e a outra e´ negativa.
Visto que se trata do tempo, o valor negativo e´ descartado e a raiz positiva e´:
t = 27,63 s
Assim, os carros estara˜o lado a lado no instante de tempo t = 27,63 s.
——————
10
3 Objetos em queda livre
A expressa˜o objeto em queda livre, na˜o necessariamente se refere a um objeto que
parte do repouso. Um objeto em queda livre e´ qualquer objeto movendo-se livremente
somente sob a influeˆncia da gravidade, independente das condic¸o˜es iniciais de seu movi-
mento. Objetos lanc¸ados para cima ou para baixo, ou aqueles que comec¸am seu movi-
mento a partir do repouso, esta˜o todos em queda livre a partir do instante em que foram
liberados. Qualquer objeto em queda livre esta´ submetido a uma acelerac¸a˜o direcionada
verticalmente para baixo, independente de suas condic¸o˜es iniciais de movimento (se o
mesmo parte do repouso ou se possui uma velocidade inicial de lanc¸amento).
A acelerac¸a˜o deste movimento e´ chamada de acelerac¸a˜o da gravidade e seu s´ımbolo
e´ g. O valor de g diminui se aumenta a distaˆncia do objeto em relac¸a˜o a` superf´ıcie da
terra. Ale´m disso, ha´ variac¸a˜o de g com a mudanc¸a de latitude. Na superf´ıcie da Terra,
o valor de g e´ aproximadamente igual a 9,80 m/s2. Este sera´ sempre o valor usado para
g, a na˜o ser que se explicite um outro valor.
Desprezando a resisteˆncia do ar e a variac¸a˜o da acelerac¸a˜o para pequenas distaˆncias
verticais, o movimento de um objeto em queda livre e´ equivalente ao movimento re-
til´ıneo uniformemente acelerado, assim, as equac¸o˜es apresentadas para aquele movi-
mento sa˜o va´lidas tambe´m aqui, lembrando que o valor da acelerac¸a˜o g sera´ sempre
igual a −9,80 m/s2, pois seu sentido e´ sempre o sentido negativo do eixo-y.
Desta forma, podemos descrever as equac¸o˜es do movimento em queda livre como:
vyf = vyi + gt
yf = yi + vyit + 12gt2
(vyf)2 = (vyi)2 + 2gh
——————
Exerc´ıcio 1. Diga o que acontece com a velocidade e com a acelerac¸a˜o de um objeto
que e´ lanc¸ado verticalmente para cima (a) quando o mesmo esta´ subindo; (b) quando o
mesmo se encontra na altura ma´xima do movimento; (c) quando o mesmo esta´ descendo.
——————
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Exemplo 6. Um homem arremessa uma pedra para cima a uma velocidade inicial de
20 m/s. O homem se encontra no topo de um pre´dio cuja altura e´ de 50 m.
a – Encontre o tempo em que a pedra alcanc¸a sua altura ma´xima;
b – Qual a velocidade da pedra quando a mesma retorna ao ponto de seu lanc¸amento?
c – Qual o deslocamento da pedra apo´s 5 s de seu lanc¸amento?
d – Qual o tempo total desde o lanc¸amento ate´ a pedra chegar ao cha˜o?
R(a) – Os dados do problema sa˜o: vi = +20 m/s; ti = 0; g = −9,80 m/s2 e yi =0,
supondo a origem do movimento no ponto de lanc¸amento da pedra. Lembre que
todo o movimento se da´ na direc¸a˜o do eixo-y
Como deseja-se saber o tempo em que a pedra alcanc¸a sua altura ma´xima, enta˜o,
neste instante sua velocidade e´ nula (vyf = 0), enta˜o:
vf = vi + gt⇒ 0 = 20 + (−9,80)t⇒ t = 2,04 s
R(b) – Veja que a pedra levou 2,04 s para sair da ma˜o do homem e alcanc¸ar sua altura
ma´xima. Nesse instante, ela comec¸a a fazer o caminho de volta, sendo assim,
ela levara´ o mesmo tempo para retornar a` ma˜o de quem a arremessou. Como
a velocidade no topo do movimento e´ igual a zero, fazendo esta velocidade ser a
inicial, tem-se:
vf = vi + gt⇒ vf = 0 + (−9,8) × 2,04⇒ vf = −20 m/s
ou seja, o mo´dulo da velocidade da pedra ao retornar a` sua posic¸a˜o inicial e´ o
mesmo de sua velocidade inicial, mas seu sentido e´ inverso.
R(c) – Para encontrar a posic¸a˜o da pedra apo´s 5 s de seu lanc¸amento, usa-se a seguinte
equac¸a˜o:
yf = yi + vit + 1
2
gt2
Como yi = 0, enta˜o:
yf = 0 + 20 × 5 + 1
2
(−9,8) × 52 ⇒ yf = −22,5 m
Note que este valor quer dizer que no instante t = 5 s, a pedra se encontra a 22,5 m
abaixo do ponto de lanc¸amento. Como o homem que a lanc¸ou esta´ 50 m acima do
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cha˜o, enta˜o, neste instante, a pedra se encontra a 27,5 m acima do cha˜o.
R(d) – Ao chegar ao cha˜o, a pedra tera´ se deslocado −50 m em relac¸a˜o a` posic¸a˜o inicial
da mesma, enta˜o:
yf = yi + vit + 1
2
gt2 ⇒ −50 = 0 + 20t + 1
2
(−9,8)t2
⇒ 4,9t2 − 20t − 50 = 0
Resolvendo esta equac¸a˜o do segundo grau, encontram-se dois tempos, um positivo
e o outro negativo. Obviamente, o valor negativo e´ descartado, enta˜o:
t = 5,83 s
——————
4 Lista de Exerc´ıcios
1. Uma bola e´ arremessada diretamente para cima com uma velocidade inicial igual
a 15,0 m/s. Depois de quanto tempo a bola estara´ caindo com uma velocidade de
8,00 m/s?
2. O gra´fico da velocidade × tempo de uma part´ıcula movendo-se ao longo do eixo-x e´
apresentado na Figura 4. Construa o gra´fico da acelerac¸a˜o × tempo e determine a
acelerac¸a˜o me´dia da part´ıcula (a) no intervalo t = 5,0 s e t = 15 s; (b) no intervalo
t = 0,0 s e t = 20 s.
Figura 4:
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3. Uma part´ıcula, saindo do repouso, move-se ao longo do eixo-x e seu gra´fico da
velocidade × tempo e´ apresentado na Figura 5. (a) Encontre a acelerac¸a˜o me´dia
da part´ıcula no intervalo t = 0,00 s e t = 6,00 s; (b) estime o tempo no qual a
acelerac¸a˜o possui seu maior valor positivo e estime tambe´m o valor da acelerac¸a˜o
neste instante; (c) quando a acelerac¸a˜o e´ zero? (d) estime o maior valor negativo
da acelerac¸a˜o e o instante de tempo no qual ela ocorre.
Figura 5:
4. O gra´fico da acelerac¸a˜o × tempo de uma part´ıcula que parte do repouso, e´ apresen-
tado na Figura 6. (a) Determine a velocidade da part´ıcula no instante de tempo
t = 10 s; (b) o deslocamento da part´ıcula apo´s 20 segundos do in´ıcio de seu movi-
mento.
Figura 6:
5. Uma part´ıcula move-se ao longo do eixo-x conforme a seguinte equac¸a˜o: x = 4,00+
6,00t − 2,00t2, em que x e´ dado em metros e t em segundos. Para t = 6,00 s
encontre: (a) a posic¸a˜o da part´ıcula; (b) a velocidade da part´ıcula; (c) a acelerac¸a˜o
da part´ıcula.
6. Uma part´ıcula movendo-se com acelerac¸a˜o constante possui uma velocidade de
5,50 cm/s no sentido positivo do eixo-x quando sua coordenada x e´ igual a 6,00 cm.
Se sua coordenada x e´ igual a −3,00 cm 2,00 s depois, qual a acelerac¸a˜o da
part´ıcula?
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7. Um carro percorre uma rodovia a uma velocidade de 80,0 km/h quando o motorista
avista uma pedra bloqueando o caminho. Nesse instante ele se encontra a 100 m
da pedra e imediatamente pisa o pe´ no freio. Supondo que os pneus na˜o deslizem,
qual deve ser a desacelerac¸a˜o do carro para que o mesmo na˜o se choque com a
pedra?
8. Um carro percorre uma rodovia a uma velocidade de 90,0 km/h quando o motorista
avista uma pedra bloqueando o caminho. Nesse instante ele se encontra a 100 m
da pedra e imediatamente pisa o pe´ no freio, mas as rodas travam e o carro sai
deslizando pelo asfalto com uma desacelerac¸a˜o de 0,900 m/s2. Com que velocidade
o carro ira´ se chocar com a pedra?
9. Uma pedra e´ lanc¸ada verticalmente para cima a partir do cha˜o com uma velocidade
de 4,0 m/s. Qual o deslocamento da pedra apo´s (a) 0,41 s? (b) 1,0 s? (c) Qual
a altura ma´xima alcanc¸ada pela pedra?
10. Um pedreiro trabalhando em uma construc¸a˜o lanc¸a um tijolo verticalmente para
um colega que se encontra a 5,00 m acima dele. O colega pega o tijolo 2,00 s apo´s
o lanc¸amento. (a) Qual a velocidade inicial do lanc¸amento? (b) Qual a velocidade
do tijolo antes de ser pego?
11. Uma part´ıcula se encontra na posic¸a˜o x = 0,00 no tempo t = 0,00 e se move ao
longo do eixo-x de acordo com o gra´fico da velocidade × tempo apresentado na
Figura 7. (a) Qual e´ a acelerac¸a˜o da part´ıcula entre 0,00 e 4,00 s? (b) Qual e´ a
acelerac¸a˜o da part´ıcula entre 4,00 s e 9,00 s? (c) Qual e´ a acelerac¸a˜o da part´ıcula
entre 13,0 s e 18,0 s? (d) Quais os instantes de tempo em que a part´ıcula possui
a menor velocidade? (e) Em que instante de tempo a part´ıcula se encontra mais
longe de x = 0,00? (f) Qual a posic¸a˜o final da part´ıcula em t = 18,0 s? Qual a
distaˆncia total percorrida pela part´ıcula no intervalo entre 0,00 e 18,0 s?
Figura 7:
12. A e B sa˜o duas bolas que esta˜o conectadas por dobradic¸as a uma haste r´ıgida de
comprimento L. Dois trilhos perpendiculares atravessam as bolas e elas podem
deslizar livremente, conforme pode ser visto na Figura 8. Suponha que a bola A
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esta´ se movimentando para a direita com velocidade constante vA. (a) Encontre a
velocidade vB da bola B como func¸a˜o do aˆgulo θ. (b) Descreva vB em relac¸a˜o a
vA, ou seja, vB e´ sempre menor que vA, maior que vA, igual a vA, ou existe alguma
outra relac¸a˜o entre elas?
Figura 8:
13. Numa corrida de 100-m rasos para mulheres, Maria e Joana aceleram uniforme-
mente a partir do repouso. Maria leva 2,00 s para alcanc¸ar sua velocidade ma´xima,
com a qual segue ate´ o final da corrida. Joana leva 3,00 s para alcanc¸ar sua ve-
locidade ma´xima e tambe´m segue com esta velocidade ate´ o final da corrida. Elas
cruzam a linha de chegada ao mesmo tempo, 10,4 s apo´s iniciar a corrida. (a)
Qual a acelerac¸a˜o de cada uma das atletas? (b) Qual a velocidade ma´xima de cada
uma delas? (c) que atleta estara´ na frente no tempo t = 6,00 s e qual a distaˆncia
entre elas? (d) durante a corrida, qual sera´ a distaˆncia ma´xima entre elas e em
que instante de tempo isso ocorre?
14. Duas hastes finas sa˜o fixadas no interior de um anel circular como mostrado na
Figura 9. Uma haste de comprimento D e´ vertical e a outra de comprimento L faz
um aˆngulo θ com a horizontal. As duas hastes e o anel esta˜o em um plano vertical.
Duas pequenas contas esta˜o livres para deslizar sem fricc¸a˜o ao longo das hastes.
(a) Encontre uma expressa˜o para o intervalo de tempo necessa´rio para que a conta
que se encontra no ponto A chegue ao ponto C, partindo do repouso e em func¸a˜o
de g e D; (b) fac¸a o mesmo para a conta que se encontra em B e encontre uma
expressa˜o em func¸a˜o de g, L e θ; (c) supondo que as duas contas sejam liberadas
de suas respectivas posic¸o˜es iniciais no mesmo instante de tempo, mostre que elas
chegam em C ao mesmo tempo.
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Figura 9:
5 Respostas aos Exerc´ıcios
1. t = 2,35 s;
2. (a) amed = 2,4 m/s2; (b) amed = 1,2 m/s2.
3. (a) amed = 1,33 m/s2; (b) test = 3,00 s e amax = 2,00 m/s2;
(c) Em t = 6,00 s e t > 10,0 s; (d) test = 8,00 s e amax = −1,50 m/s2.
4. (a) vt=10 = 20 m/s; (b) xtotal = 3,1 × 102 m.
5. (a) xt=6 = −32,0 m; (b) vt=6 = −18,0 m/s; (c) a = −4,00 m/s2.
6. a = −10,0 cm/s2.
7. a = −2,47 m/s2.
8. vf = 21,1 m/s.
9. (a) h = 0,82 m; (b) h = −0,90; (c) h = 0,82 m.
10. (a) vi = 12,3 m/s; (b) vf = −7,30 m/s.
11. (a) a = 0,00; (b) a = 6,00 m/s2; (c) a = −4,75 m/s2;(d) 0 ≤ t ≤ 4 s;
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(e) t = 18,0 s; (f) x = 97,0 m (g) d = 207 m.
12. (a) vB = −(vA/ tan θ).
13. (a) aM = 5,32 m/s2 aJ = 3,75 m/s2;
(b) vM = 10,6 m/s vJ = 11,2 m/s;
(c) Maria, por 2,63 m;
(d) Distaˆncia e´ de 4,47 m em t = 2,84 s.
14. (a) ∆tD =√2Dg ;
(b) ∆tL =√ 2Lgsenθ .
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