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Núcleo Comum - ACE
Métodos Quantitativos
Prof. Me. Marcelo Silva de Jesus 
TA4
Estatística Inferencial (parte II)
ResumoUnidade de Ensino: 4 
Competência da 
Unidade de Ensino:
Compreender a relação entre duas variáveis.
Resumo:
Nessa unidade você estudará a relação entre duas 
variáveis, de modo a ter a possibilidade de prever 
resultados futuros ou inferir valores não amostrados 
de uma população.
Palavras-chave:
correlação entre variáveis quantitativas; teste de 
significância; regressão 
linear; estudando 
resíduos
Título da teleaula: Estatística inferencial (parte I)
Teleaula nº: 4
Muitas das pesquisas e investigações que realizamos
têm o objetivo de verificar a existência de relação
entre duas variáveis.
 A relação entre duas variáveis é forte ou fraca?
 A relação é direta ou inversa?
 Como medimos a relação entre duas Variáveis?
Convite ao estudo
Fonte: https://goo.gl/qlUNFE. 
Acessado em 10/03/2017. 
VA Caminho de Aprendizagem
Conhecimentos conceituais:
 Função afim.
Conhecimentos Procedimentais:
 Operações aritméticas básicas;
 Construção de gráficos.
Conhecimentos prévios
Uma função afim é uma função 𝒇:𝑹 → 𝑹 cuja lei de
formação é 𝒇 𝒙 = 𝒂𝒙 + 𝒃, em que 𝒂 ∈ 𝑹, não nulo, é
denominado coeficiente angular e 𝒃 ∈ 𝑹 é
denominado coeficiente linear.
A representação gráfica de uma função afim sempre é
uma reta
Conhecimentos prévios
Função afim
Planilha eletrônica Excel:
1. Inserir os pares ordenados (x, y).
2.Inserir gráfico de dispersão.
Conhecimentos prévios
Gráfico de dispersão
Imagine que você é um funcionário da empresa M e que 
foi incumbido de realizar uma pesquisa para determinar 
o perfil dos 30 mil funcionários. 
Foi perguntado aos funcionários da empresa M qual era
a avaliação deles em relação às condições de trabalho
e à remuneração.
Pensando a aula:
situação geradora de aprendizagem
Será que essas variáveis estão
relacionadas?
Quanto maior a remuneração,
maior a satisfação do funcionário?
Cápsula 1 “Iniciando o estudo”
Imagine que você é funcionário da empresa M e que
necessita avaliar a relação existente entre a satisfação
em relação às condições de trabalho e a satisfação em
relação à remuneração.
Será que, quanto maior é a satisfação em relação à
remuneração, mais satisfeitos ficam os funcionários em
relação às condições de trabalho?
Fonte: https://goo.gl/qlUNFE. 
Acessado em 10/03/2017. 
Situação-Problema 1
Para tanto, considere a seguinte amostra de
funcionários da empresa M
Situação-Problema 1
Amostra de funcionários da empresa M
Situação-Problema 1
A tabela a seguir representa a produção mensal de aço
de uma siderúrgica nos últimos 4 meses, expressa em
milhares de toneladas.
Problematizando a Situação-problema 1
Se denominarmos X a variável mês e Y a variável
produção, também podemos escrever as
informações anteriores da forma (X, Y).
Problematizando a Situação-problema 1
Representação dos pontos no plano cartesiano
Problematizando a Situação-problema 1
Uma vez aceita a hipótese de relação de dependência
entre duas variáveis, surgem duas perguntas básicas:
1ª) Essa relação é forte ou fraca?
2ª) De que forma podemos mensurar essa relação?
Correlação: diz-se que duas
variáveis estão correlacionadas
quando existe uma relação de
dependência entre elas.
Problematizando a Situação-Problema 1
Correlação linear:
Duas variáveis estão correlacionadas linearmente
quando a relação entre elas pode ser representada
graficamente por meio de uma reta.
Problematizando a Situação-Problema 1
Se r > 0, a correlação entre X e Y é positiva, e quanto
mais próximo r estiver de + 1, mais fortemente as
variáveis estão correlacionadas.
Se r < 0, a correlação entre X e Y é negativa, e quanto
mais próximo r estiver de - 1, mais fortemente as
variáveis estão correlacionadas.
Se r = 0, não há correlação entre
X e Y
Problematizando a Situação-Problema 1
Classificação da relação entre as variáveis a partir de r
Utilizando a fórmula:
𝑟 = 𝜌 𝑋, 𝑌 =
𝑆𝑄(𝑥, 𝑦)
𝑆𝑄 𝑥 . 𝑆𝑄(𝑦)
,
Calcule o coeficiente de correlação para as variáveis X e
Y e classifique as variáveis quanto à correlação.
Problematizando a Situação-Problema 1
Resolução:
𝑆𝑄 𝑥 = (12+22 + 32 + 42) −
1 + 2 + 3 + 4 2
4
𝑆𝑄 𝑥 = (1 + 4 + 9 + 16) −
(10)2
4
𝑆𝑄 𝑥 = 30 −
100
4
= 30 − 25
𝑆𝑄 𝑥 = 5
Problematizando a Situação-Problema 1
Resolução: 
𝑆𝑄 𝑦 = (92+122 + 152 + 212) −
9 + 12 + 15 + 21 2
4
𝑆𝑄 𝑦 = (81 + 144 + 225 + 441) −
(57)2
4
𝑆𝑄 𝑦 = 891 −
3249
4
𝑆𝑄 𝑦 = 891 − 812,25
𝑆𝑄 𝑦 = 78,75
Resolução: 
𝑆𝑄 𝑥𝑦 =?
1ª parte: 1 × 9 + 2 × 12 + 3 × 15 + 4 × 21 = 162
2ª parte: 
(1 + 2 + 3 + 4) × (9 + 12 + 15 + 21)
4
=
570
4
= 142,5
3ª parte: 
162 − 142,5 = 19,5
Resolução:
𝑟 =
𝑆𝑄(𝑥𝑦)
𝑆𝑄 𝑥 . 𝑆𝑄(𝑦)
𝑟 =
19,5
5 × 78,75
=
19,5
393,75
=
19,5
19,84
𝑟 ≅ 0,98
Problematizando a Situação-Problema 1
Utilizando uma calculadora científica
Resolvendo a situação-problema 1
Calculadora científica
1º + + 
2º + + 
3º Inserir os pares ordenados.
Ex.:(2, 3 ) + + + 
4º + 
Resolvendo a situação-problema 1
Shift
Shift
Mode 3
Mode 3 1
2 , 3 M+
2
1 r
Medindo o grau de associação de H e G.
Resolvendo a Situação-Problema 1
Utilizando uma planilha eletrônica
Planilha eletrônica Excel:
1. Inserir os pares ordenados (x, y).
2.Inserir gráfico de dispersão.
3. Adicionar linha de tendência.
4. Exibir valor de R-quadrado no
gráfico
Resolvendo a situação-problema 1
𝑟 ≅ 0,707
Portanto, as variáveis H e G estão correlacionadas
positivamente e, além disso, essa correlação é forte.
Resolvendo a Situação-Problema 1
Cápsula 2 “Participando da aula”
Verificamos anteriormente que o coeficiente de
correlação para a amostra apresentada é 𝑟 ≅ 0,707, e
afirmamos que nesse caso a correlação é forte.
A fim de sustentarmos essa afirmação, precisamos
testá-la. Para isso, que procedimentos devemos
adotar?
Fonte: https://goo.gl/qlUNFE. 
Acessado em 10/03/2017. 
Situação-problema 2
Conhecendo-se o valor de r, podemos testar a
significância.
Passo 1 (elaborar as hipóteses)
𝐻0: 𝜌 ≥ 0 (não há correlação negativa significante)
𝐻1: 𝜌 < 0 (correlação negativa significante)
𝐻0: 𝜌 ≤ 0 (não há correlação positiva significante)
𝐻1: 𝜌 > 0 (correlação positiva
significante)
Problematizando a Situação-problema 2
Passo 2 (determinar a estatística de teste)
𝑡𝑐 =
𝑟
1 − 𝑟2
𝑛 − 2
Com 𝑣 = 𝑛 − 2 graus de liberdade
Passo 3 (fixar o nível de significância)
𝛼 até 5%
Problematizando a Situação-problema 2
Passo 4 (calcular a estatística a partir da amostra)
Passo 5 (tomar uma decisão)
Problematizando a Situação-problema 2
Para testar a significância de r, executamos
os seguintes passos:
Passo 1 (elaborar as hipóteses)
𝐻0: 𝜌 ≤ 0 (não há correlação positiva significante)
𝐻1: 𝜌 > 0 (correlação positiva significante)
Passo 2 (determinar a estatística de teste)
𝑡𝑐 =
𝑟
1 − 𝑟2
𝑛 − 2
Resolvendo a Situação-problema 2
Com 𝑣 = 𝑛 − 2 graus
de liberdade.
Passo 3 (fixar o nível de significância)
Suponha 𝛼 = 5%
Passo 4 (calcular a estatística a partir da amostra)
Rejeitaremos a hipótese 𝐻0 caso o valor 𝑡𝑐 obtido
a partir da amostra seja muito maior que 𝜌 = 0
ou, ainda, quando 𝑡𝑐 pertencer à região crítica
𝑅𝐶 = {𝑇 ∈ 𝑅|𝑇 ≥ 𝑡}, em que t é obtido na tabela T.Resolvendo a Situação-problema 2
Observando a tabela na linha 𝑣 = 20 − 2 = 18 e na coluna
correspondente à probabilidade 5%, temos 𝑡 = 1,734.
Logo, 𝑅𝐶 = 𝑇 ∈ 𝑅 𝑇 ≥ 1,734 .
Obtivemos 𝑟 ≅ 0,707 a partir de uma amostra de
tamanho n = 20, logo, calculamos:
Resolvendo a Situação-problema 2
𝑅𝐶 = {𝑇 ∈ 𝑅|𝑇 ≥ 𝑡}
𝑡𝑐 =
𝑟
1 − 𝑟2
𝑛 − 2
=
0,707
1 − (0,707)2
20 − 2
=
=
0,707
0,5
18
=
≅ 4,24 ∈ 𝑅𝐶
Resolvendo a Situação-problema 2
𝑅𝐶 = 𝑇 ∈ 𝑅 𝑇 ≥ 1,734
Passo 5 (tomar uma decisão)
Como 𝑡𝑐 ∈ 𝑅𝐶, decidimos rejeitar 𝐻0, isto é, há indícios
suficientes que nos permitem considerar a correlação
entre G e H positivamente significante.
Resolvendo a Situação-problema 2
𝑅𝐶 = 𝑇 ∈ 𝑅 𝑇 ≥ 1,734
Cápsula 3 “Participando da aula”
Imagine que você seja um funcionário da empresa M e
que foi incumbido de descrever o perfil dos funcionários. A
partir da tabela a seguir, é possível estabelecer uma
relação matemática entre a satisfação em relação à
remuneração e a satisfação em relação às condições de
trabalho?
Situação-Problema 3
Um funcionário que avalie sua
satisfação em relação à remuneração
com a pontuação 9 avaliará com qual
pontuação a satisfação em relação às
condições de trabalho?
Situação-Problema 3 De 0 (insatisfeito) a 10
(muito satisfeito), qual é a
sua satisfação em relação
as condições de trabalho?
De 0 (insatisfeito) a 10
(muito satisfeito), qual é a
sua satisfação em relação a
sua remuneração?
Situação-Problema 3
A linha reta representada na figura abaixo, que é a reta
de melhor ajuste, é denominada reta de regressão. O
papel desempenhado por essa reta é o de representar
geometricamente a associação entre as variáveis X e Y.
Problematizando a Situação-Problema 3
Uma linha reta é descrita matematicamente por uma
equação do tipo 𝑦 = 𝑎. 𝑥 + 𝑏, em que 𝑎 e 𝑏 são
números desconhecidos a serem determinados.
Os coeficientes 𝑎 e 𝑏 podem ser calculados pelas
seguintes fórmulas:
𝑎 = 𝑟
𝐷𝑝(𝑌)
𝐷𝑝(𝑋)
e
𝑏 = ത𝑦 − 𝑎. ҧ𝑥
Problematizando a Situação-Problema 3
Existem fórmulas alternativas e equivalentes para
calcular os coeficientes de regressão. São elas:
ො𝑎 =
𝑛σ𝑥𝑦 − (σ𝑥)(σ𝑦)
𝑛σ𝑥2 − (σ𝑥)2
=
𝑆𝑄(𝑥𝑦)
𝑆𝑄(𝑥)
;
෠𝑏 = ത𝑦 − ො𝑎. ො𝑥 =
σ𝑦
𝑛
− ො𝑎
σ𝑥
𝑛
Problematizando a Situação-Problema 3
O coeficiente de correlação linear entre as variáveis G:
satisfação em relação às condições de trabalho e H:
satisfação em relação à remuneração é 𝑟 = 0,707.
Com um nível de significância de 95%, foi atestada
a significância dessa correlação.
Logo, faz sentido determinarmos a equação da reta de
regressão:
Resolvendo a Situação-Problema 3
Utilizando uma calculadora científica
Utilizando uma planilha eletrônica
Resolvendo a situação-problema 3
Calculadora científica
1º + + 
2º + + 
3º Inserir os pares ordenados.
Ex.:(2, 3) + + + + 
4º + 
Resolvendo a situação-problema 3
Shift
Shift
Mode 3 𝑦 = 𝐵𝑥 + 𝐴
Mode 3 1
2 , 3 M+
2
1 A 2 B
Resolvendo a situação-problema 3
Planilha eletrônica Excel:
1. Inserir os pares ordenados (x, y).
2.Inserir gráfico de dispersão.
3. Adicionar linha de tendência.
4. Exibir equação no gráfico.
Resolvendo a situação-problema 3
Cápsula 4 “Participando da aula”
É possível estabelecer um intervalo de confiança para
a estimativa 𝑔0 = 10, obtida a partir de ℎ0 = 9?
Quanto da variação de G é explicado pela variação de
H e quanto é devido ao acaso e às características
próprias de cada funcionário?
Fonte: https://goo.gl/qlUNFE. 
Acessado em 10/03/2017. 
Situação-Problema 4
O coeficiente de determinação (ou de explicação) é
uma medida que tem por finalidade mensurar em
termos percentuais, o quanto da variação de uma
variável Y é devido à variação de X, supondo que essas
variáveis sejam correlacionadas.
Problematizando a Situação-Problema 4
Existe uma relação estreita entre o coeficiente de
correlação r e o coeficiente de determinação. Essa
relação é expressa por:
Problematizando a Situação-Problema 4
𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎çã𝑜 = 𝑟2
Duas variáveis X e Y estão negativamente
correlacionadas de modo que 𝑟 = −0,9. Quanto da
variação de Y pode ser explicado por sua correlação e
variação de X?
Problematizando a Situação-Problema 4
Exemplo
Resolução:
𝑟 = −0,9
Coeficiente de determinação:
Problematizando a Situação-Problema 4
Logo, 81% da variação de
Y se deve à variação de X e
que 19% se deve ao acaso
Em estatística, sempre que é realizada uma estimativa
pontual, como é o caso da previsão para 𝑦 feita por
meio da reta de regressão em que 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏, é
natural pensarmos em construir um intervalo de
confiança para a estimativa. Alguns autores também o
denominam intervalo de previsão.
Problematizando a Situação-Problema 4
IC= 𝑦 − 𝐸; 𝑦 + 𝐸
Dada a regressão linear 𝑦 = 10,5𝑥 + 4 suponha que
ao nível de confiança de 95%, a margem de erro de
previsão para 𝑦 seja 𝐸 = 2.
Determine o intervalo de confiança para o valor 𝑦
correspondente a 𝑥 = 15.
Problematizando a Situação-Problema 4
Exemplo
Resolução:
1º Substituir 𝑥 = 15 na função 𝑦 = 10,5𝑥 + 4:
𝑦 = 10,5.15 + 4
𝑦 = 157,5 + 4
𝑦 = 161,5
𝑦 − 𝐸; 𝑦 + 𝐸 =
161,5 − 2; 161,5 + 2 =
𝐼𝐶 = 159,5; 163,5
Problematizando a Situação-Problema 4
O coeficiente de correlação dessas variáveis foi
estimado em 𝑟 ≅ 0,707.
Desse modo, apenas 50% da variação de G
se deve à variação de H, e os outros 50%
devem-se ao acaso.
𝑟2 = 0,7072 ≅ 0,5 = 50%
Resolvendo a Situação-Problema 4
Supondo:
Nível de confiança de 𝛾 = 95%
Intervalo de predição para 𝑔0 = 10
Margem de erro 𝐸 ≅ 4,903
Resolvendo a Situação-Problema 4
O intervalo de previsão para 𝑔0 = 10 com 95% de
confiança é:
𝐼𝐶 𝑔0 = 10; 95% =
= 10 − 𝐸; 10 + 𝐸 =
= 10 − 4,903; 10 + 4,903 =
= [5,097; 14,903]
Resolvendo a Situação-Problema 4
Cápsula 5 “Participando da aula”
Luciane, uma profissional de marketing responsável pelo
setor de vendas de uma determinada empresa, está
preocupada com a relação entre o gasto em propagandas e
a quantidade de produtos vendidos nos últimos meses.
Para entender melhor essa relação ela construiu a seguinte
tabela com as informações dos últimos 5 meses.
Provocando Novas Situações
Quanto da variação da quantidade de unidades
vendidas é explicado pela variação do gasto com
propaganda e quanto é devido ao acaso?
Provocando Novas Situações
Resolução:
𝑟 ≅ 0,954
𝑟2 = 0,954 2 = 0,910 = 91%
Desse modo, 91% da variação da quantidade de
unidades vendidas pode ser explicada pela variação do
gasto com propaganda, e os 9% restantes devem-se ao
acaso.
Provocando Novas Situações
VE Caminho de Aprendizagem