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Ca´lculo III Lista 2 - Sequeˆncias e Se´ries Prof. Paulo V.R.G. Silva (1o Semestre 2018) paulosilvafam@gmail.com 1. Encontre uma fo´rmula para o termo geral an da sequeˆncia, assumindo que o padra˜o dos primeiros termos continue. (a) { 1 2 , 1 4 , 1 8 , 1 16 , . . . } (b) { 1 2 , 1 4 , 1 6 , 1 8 , . . . } (c) { 1,−2 3 , 4 9 ,− 8 27 , . . . } (d) { −1 4 , 2 9 ,− 3 16 , 4 25 , . . . } 2. Determine se a sequeˆncia converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite. (a) an = 1− (0, 2)n (b) an = 3 + 5n2 n+ n2 (c) an = n 1 + √ n (d) an = e 1/n (e) an = lnn ln(2n) (f) {0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, . . . } 3. Determine se a sequeˆncia e´ crescente, decrescente ou na˜o mono´tona. A sequeˆncia e´ limitada? Justifique todas as suas respostas. (a) an = 1 2n+ 3 (b) an = 6(−1)n (c) an = n n2 + 1 4. Determine se a se´rie e´ convergente ou divergente. Justifique a sua resposta. (a) ∞∑ n=1 6(0, 9)n−1 (b) ∞∑ n=1 (−3)n−1 4n (c) ∞∑ n=1 n+ 1 2n− 3 (d) ∞∑ n=1 n n+ 5 5. Utilize o teste da se´rie alternada para determinar se a se´rie e´ convergente ou divergente. (a) ∞∑ n=1 (−1)n−1√ n 1 (b) ∞∑ n=1 (−1)n−13n− 1 2n+ 1 (c) ∞∑ n=1 (−1)n+1 n 2 n3 + 4 6. Encontre uma representac¸a˜o em se´rie de poteˆncias para a func¸a˜o e determine o intervalo de convergeˆncia. (a) f(x) = 1 1 + x (b) f(x) = 3 1− x4 (c) f(x) = 2 3− x (d) f(x) = x 9 + x2 (e) f(x) = 1 + x 1− x 7. Encontre a se´rie de Maclaurin das func¸o˜es abaixo. (a) f(x) = (1− x)−2 (b) f(x) = sen 2x (c) f(x) = e5x (d) f(x) = xex 8. Encontre a se´rie de Taylor das func¸o˜es em torno do ponto dado. (a) f(x) = 1 + x+ x2, a = 2 (b) f(x) = ex, a = 3 (c) f(x) = 1/x, a = −3 (d) f(x) = cos x, a = pi (e) f(x) = ln x, a = 2 9. Determine a se´rie de Fourier das func¸o˜es abaixo. (a) f(x) = −x, −L ≤ x < L; f(x+ 2L) = f(x) (b) f(x) = { 1, −L ≤ x < 0 0, 0 ≤ x < L ; f(x+ 2L) = f(x) (c) f(x) = { −1, −2 ≤ x < 0 1, 0 ≤ x < 2 ; f(x+ 4) = f(x) 2 Respostas: 1. (a) an = 1/2 n (b) an = 1/2n (c) an = ( −2 3 )n−1 (d) an = (−1)n n (n+ 1)2 2. (a) Converge; 1 (b) Converge; 5 (c) Diverge (d) Converge; 1 (e) Converge; 1 (f) Diverge 3. (a) Decrescente. Limitada, 0 < an ≤ 1/5 (b) Na˜o mono´tona. Limitada, −6 ≤ an ≤ 6 (c) Crescente. Limitada inferiormente, an > 0. 4. (a) Convergente (b) Convergente (c) Divergente (d) Divergente 5. (a) Convergente (b) Divergente (c) Convergente 6. (a) ∞∑ n=0 (−1)nxn, −1 < x < 1 (b) ∞∑ n=0 3x4n, −1 < x < 1 (c) 2 ∞∑ n=0 1 3n+1 xn, −3 < x < 3 (d) ∞∑ n=0 (−1)n 1 9n+1 x2n+1, −3 < x < 3 (e) 1 + 2 ∞∑ n=0 xn, −1 < x < 1 7. (a) ∞∑ n=0 (n+ 1)xn (b) ∞∑ n=0 (−1)n 2 2n+1 (2n+ 1)! x2n+1 (c) ∞∑ n=0 5n n! xn (d) ∞∑ n=1 1 (n− 1)!x n 8. (a) 7 + 5(x− 2) + (x− 2)2 (b) ∞∑ n=0 e3 n! (x− 3)n (c) ∞∑ n=0 − 1 3n+1 (x+ 3)n (d) ∞∑ n=0 (−1)n+1 1 (2n)! (x− pi)2n (e) ln 2 + ∞∑ n=1 (−1)n−1 1 n2n (x− 2)n 9. (a) f(x) = 2L pi ∞∑ n=1 (−1)n n sen (npix L ) (b) f(x) = 1 2 − 2 pi ∞∑ n=1 1 2n− 1sen [ (2n− 1)pix L ] 3 (c) f(x) = 4 pi ∞∑ n=1 1 2n− 1sen [ (2n− 1)pix 2 ] 4
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