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MAT0355 - Álgebra Linear I - A Segunda Prova - 17/06/2014 (1) (2,0) Comprove que se x; y; z; w são soluções do sistema8<: 4x� 12y � z � 2w = �8 �3x+ 9y + 4z + 3w = 6 2x� 6y + 6z � w = �4 então x; y são soluções do sistema� �12x+ 36y = 24 x� 3y = �2 Solução: Basta resolver o primeiro sistema (do jeito que souber, usando ou não o escalonamento de matrizes) e ver que ele tem como soluções z = w = 0 e x = 3y� 2: Daí resolver o segundo sistema e veri car que suas soluções x e y são as que satisfazem a igualdade x = 3y � 2: (2) (2,0) Ache uma base ortonormal u; v do R2 tal que u seja múltiplo do vetor (1; 3); ou seja, esteja na reta passando por (0; 0) e (1; 3): Solução: u = (1;3)k(1;3)k = (1;3)p 1+9 = � 1p 10 ; 3p 10 � ; v = � 3p 10 ;� 1p 10 � : (3) Considere T (x; y) = (�x+ 2y; 2x� 3y): (a) (1,5) Comprove que T é auto-adjunta, ou seja hT (u); vi = hu; T (v)i para todos u; v 2 R2: Podemos concluir que T é diagonalizável? Solução: Suponha u = (x; y) e v = (z; w): Então hT (u); vi = h(�x+ 2y; 2x� 3y); (z; w)i = �xz + 2yz + 2xw � 3yw = h(x; y); (�z + 2w; 2z � 3w)i = hu; T (v)i (b) (1,5) Determine os autovalores de T Solução: p(z) = det � �1� z 2 2 �3� z � = z2 + 4z � 1 p(z) = 0 , z = �2 � p5: Logo os autovalores são �1 = �2 + p 5 e �2 = 2� p 5: 1 (c) (1,5) Determine uma base ortonormal B do R2 que diagonaliza T; determinando [T ]B : Solução: T (x; y) = �1(x; y), (�x+ 2y; 2x� 3y) = ��2 +p5� (x; y), �x+ 2y = � �2 + p 5 � x 2x� 3y = � �2 + p 5 � y que tem como soluções x = � 1 2 + 1 2 p 5 � y: Tomando y = 2 (pode tomar qualquer outro valor não nulo) vem x = 1 + p 5: Então u = (2;1+ p 5) k(2;1+p5)k = (2;1+ p 5)q ( p 5+1) 2 +4 : Como v deve ser ortogonal a u; e para que seja unitário, tomamos v = (1+ p 5;�2)q ( p 5+1) 2 +4 : Logo B = 8<: (2; 1 + p 5)q�p 5 + 1 �2 + 4 ; (1 + p 5;�2)q�p 5 + 1 �2 + 4 9=; é uma base ortonormal que diagonaliza T: Nesta base temos [T ]B = � �2 +p5 0 0 �2�p5 � (d) (1,5) Se as coordenadas de u 2 R2 na base B são �3 e 4; ou seja, u = (3; 4)B; determine as coordenadas de T (u) na base B sem usar a expressão geral de T (x; y): Solução: tem-se [TB] � 3 4 � = � �2 +p5 0 0 �2�p5 � � 3 4 � = � 3 p 5� 6 �4p5� 8 � de modo que T (u) = � �6 + 3 p 5;�9� 4 p 5 � B 2
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