Unidade I - Aula 3

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Ca´lculo Nume´rico
Processos Iterativos de Determinac¸a˜o de Ra´ızes
Aula 6
Prof. Roberto Capistrano e Prof. Jose´ Vicente
Prof. Roberto Capistrano Ca´lculo Nume´rico 1 / 21
Suma´rio
1 Processos Iterativos de Localizac¸a˜o
Introduc¸a˜o
Me´todo da Bissecc¸a˜o
Algoritmo
Me´todo de Newton-Raphson
2 Exerc´ıcios Propostos
3 Bibliografia
Prof. Roberto Capistrano Ca´lculo Nume´rico 2 / 21
Processos Iterativos de Localizac¸a˜o Introduc¸a˜o
O que sa˜o processos iterativos
Introduc¸a˜o
Entendemos um processo iterativo como sendo um procedimento para obter uma
sequencia s1, s2, . . . , sn, . . . de aproximac¸a˜o de uma soluc¸a˜o desejada, onde um termo
da sequencia e´ obtido em func¸a˜o dos anteriores.
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Processos Iterativos de Localizac¸a˜o Me´todo da Bissecc¸a˜o
Descrevendo o Me´todo
Metodo da Bissecc¸a˜o
Seja [a, b] um intervalo que conte´m um zero de f (x)(cont´ınua), isto e´ um raiz de
f (x) = 0, onde f (x) e´ uma func¸a˜o que intercepta o eixo x em algum ponto deste
intervalo (f (a) · f (b) < 0). Vamos supor, para simplficar que este zero e´ u´nico em
[a, b].
Queremos reduzir a amplitude do intervalo [a, b] mantendo a raiz no intervalo ate´
atingir a precisa˜o colocada, b − a < ε, usando o processo de sucessiva divisa˜o de [a, b]
ao meio.
Fazendo as iterac¸o˜es da forma, onde x e´ o zero procurado :
1 x0 =
a0 + b0
2
; f (a0) < 0,f (b0) > 0 e f (x0) > 0, onde a0 = a e
b0 = b =⇒ x ∈ [a0, x0]
2 x1 =
a1 + b1
2
; f (a1) < 0,f (b1) > 0 e f (x1) < 0, logo, x ∈ [x1, b1] onde b1 = x0
3 x2 =
a2 + b2
2
; f (a2) < 0,f (b2) > 0 e f (x2) < 0, assim, x ∈ [x2, b2] com b2 = b1
prosseguimos, assim, ate´ que
∣∣∣bn − xn∣∣∣ < ε, o que garante, x ∈ [xn, bn].
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Processos Iterativos de Localizac¸a˜o Me´todo da Bissecc¸a˜o
Descrevendo o Me´todo
Metodo da Bissecc¸a˜o
Seja [a, b] um intervalo que conte´m um zero de f (x)(cont´ınua), isto e´ um raiz de
f (x) = 0, onde f (x) e´ uma func¸a˜o que intercepta o eixo x em algum ponto deste
intervalo (f (a) · f (b) < 0). Vamos supor, para simplficar que este zero e´ u´nico em
[a, b].
Queremos reduzir a amplitude do intervalo [a, b] mantendo a raiz no intervalo ate´
atingir a precisa˜o colocada, b − a < ε, usando o processo de sucessiva divisa˜o de [a, b]
ao meio.
Fazendo as iterac¸o˜es da forma, onde x e´ o zero procurado :
1 x0 =
a0 + b0
2
; f (a0) < 0,f (b0) > 0 e f (x0) > 0, onde a0 = a e
b0 = b =⇒ x ∈ [a0, x0]
2 x1 =
a1 + b1
2
; f (a1) < 0,f (b1) > 0 e f (x1) < 0, logo, x ∈ [x1, b1] onde b1 = x0
3 x2 =
a2 + b2
2
; f (a2) < 0,f (b2) > 0 e f (x2) < 0, assim, x ∈ [x2, b2] com b2 = b1
prosseguimos, assim, ate´ que
∣∣∣bn − xn∣∣∣ < ε, o que garante, x ∈ [xn, bn].
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Processos Iterativos de Localizac¸a˜o Me´todo da Bissecc¸a˜o
Descrevendo o Me´todo
Metodo da Bissecc¸a˜o
Seja [a, b] um intervalo que conte´m um zero de f (x)(cont´ınua), isto e´ um raiz de
f (x) = 0, onde f (x) e´ uma func¸a˜o que intercepta o eixo x em algum ponto deste
intervalo (f (a) · f (b) < 0). Vamos supor, para simplficar que este zero e´ u´nico em
[a, b].
Queremos reduzir a amplitude do intervalo [a, b] mantendo a raiz no intervalo ate´
atingir a precisa˜o colocada, b − a < ε, usando o processo de sucessiva divisa˜o de [a, b]
ao meio.
Fazendo as iterac¸o˜es da forma, onde x e´ o zero procurado :
1 x0 =
a0 + b0
2
; f (a0) < 0,f (b0) > 0 e f (x0) > 0, onde a0 = a e
b0 = b =⇒ x ∈ [a0, x0]
2 x1 =
a1 + b1
2
; f (a1) < 0,f (b1) > 0 e f (x1) < 0, logo, x ∈ [x1, b1] onde b1 = x0
3 x2 =
a2 + b2
2
; f (a2) < 0,f (b2) > 0 e f (x2) < 0, assim, x ∈ [x2, b2] com b2 = b1
prosseguimos, assim, ate´ que
∣∣∣bn − xn∣∣∣ < ε, o que garante, x ∈ [xn, bn].
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Processos Iterativos de Localizac¸a˜o Me´todo da Bissecc¸a˜o
Descrevendo o Me´todo
Metodo da Bissecc¸a˜o
Seja [a, b] um intervalo que conte´m um zero de f (x)(cont´ınua), isto e´ um raiz de
f (x) = 0, onde f (x) e´ uma func¸a˜o que intercepta o eixo x em algum ponto deste
intervalo (f (a) · f (b) < 0). Vamos supor, para simplficar que este zero e´ u´nico em
[a, b].
Queremos reduzir a amplitude do intervalo [a, b] mantendo a raiz no intervalo ate´
atingir a precisa˜o colocada, b − a < ε, usando o processo de sucessiva divisa˜o de [a, b]
ao meio.
Fazendo as iterac¸o˜es da forma, onde x e´ o zero procurado :
1 x0 =
a0 + b0
2
; f (a0) < 0,f (b0) > 0 e f (x0) > 0, onde a0 = a e
b0 = b =⇒ x ∈ [a0, x0]
2 x1 =
a1 + b1
2
; f (a1) < 0,f (b1) > 0 e f (x1) < 0, logo, x ∈ [x1, b1] onde b1 = x0
3 x2 =
a2 + b2
2
; f (a2) < 0,f (b2) > 0 e f (x2) < 0, assim, x ∈ [x2, b2] com b2 = b1
prosseguimos, assim, ate´ que
∣∣∣bn − xn∣∣∣ < ε, o que garante, x ∈ [xn, bn].
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Processos Iterativos de Localizac¸a˜o Me´todo da Bissecc¸a˜o
Descrevendo o Me´todo
Metodo da Bissecc¸a˜o
Seja [a, b] um intervalo que conte´m um zero de f (x)(cont´ınua), isto e´ um raiz de
f (x) = 0, onde f (x) e´ uma func¸a˜o que intercepta o eixo x em algum ponto deste
intervalo (f (a) · f (b) < 0). Vamos supor, para simplficar que este zero e´ u´nico em
[a, b].
Queremos reduzir a amplitude do intervalo [a, b] mantendo a raiz no intervalo ate´
atingir a precisa˜o colocada, b − a < ε, usando o processo de sucessiva divisa˜o de [a, b]
ao meio.
Fazendo as iterac¸o˜es da forma, onde x e´ o zero procurado :
1 x0 =
a0 + b0
2
; f (a0) < 0,f (b0) > 0 e f (x0) > 0, onde a0 = a e
b0 = b =⇒ x ∈ [a0, x0]
2 x1 =
a1 + b1
2
; f (a1) < 0,f (b1) > 0 e f (x1) < 0, logo, x ∈ [x1, b1] onde b1 = x0
3 x2 =
a2 + b2
2
; f (a2) < 0,f (b2) > 0 e f (x2) < 0, assim, x ∈ [x2, b2] com b2 = b1
prosseguimos, assim, ate´ que
∣∣∣bn − xn∣∣∣ < ε, o que garante, x ∈ [xn, bn].
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Processos Iterativos de Localizac¸a˜o Me´todo da Bissecc¸a˜o
Descrevendo o Me´todo
Metodo da Bissecc¸a˜o
Seja [a, b] um intervalo que conte´m um zero de f (x)(cont´ınua), isto e´ um raiz de
f (x) = 0, onde f (x) e´ uma func¸a˜o que intercepta o eixo x em algum ponto deste
intervalo (f (a) · f (b) < 0). Vamos supor, para simplficar que este zero e´ u´nico em
[a, b].
Queremos reduzir a amplitude do intervalo [a, b] mantendo a raiz no intervalo ate´
atingir a precisa˜o colocada, b − a < ε, usando o processo de sucessiva divisa˜o de [a, b]
ao meio.
Fazendo as iterac¸o˜es da forma, onde x e´ o zero procurado :
1 x0 =
a0 + b0
2
; f (a0) < 0,f (b0) > 0 e f (x0) > 0, onde a0 = a e
b0 = b =⇒ x ∈ [a0, x0]
2 x1 =
a1 + b1
2
; f (a1) < 0,f (b1) > 0 e f (x1) < 0, logo, x ∈ [x1, b1] onde b1 = x0
3 x2 =
a2 + b2
2
; f (a2) < 0,f (b2) > 0 e f (x2) < 0, assim, x ∈ [x2, b2] com b2 = b1
prosseguimos, assim, ate´ que
∣∣∣bn − xn∣∣∣ < ε, o que garante, x ∈ [xn, bn].
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Processos Iterativos de Localizac¸a˜o Me´todo da Bissecc¸a˜o
Descrevendo o Me´todo
Metodo da Bissecc¸a˜o
Seja [a, b] um intervalo que conte´m um zero de f (x)(cont´ınua), isto e´ um raiz de
f (x) = 0, onde f (x) e´ uma func¸a˜o que intercepta o eixo x em algum ponto deste
intervalo (f (a) · f (b) < 0). Vamos supor, para simplficar que este zero e´ u´nico em
[a, b].
Queremos reduzir a amplitude do intervalo [a, b] mantendo a raiz no intervalo ate´
atingir a precisa˜o colocada, b − a < ε, usando o processo de sucessiva divisa˜o de [a, b]
ao meio.
Fazendo as iterac¸o˜es da forma, onde x e´ o zero procurado :
1 x0 =
a0 + b0
2
; f (a0) < 0,f (b0) > 0 e f (x0) > 0, onde a0 = a e
b0 = b =⇒ x ∈ [a0, x0]
2 x1 =
a1 + b1
2
; f (a1) < 0,f (b1) > 0 e f (x1) < 0, logo, x ∈ [x1, b1] onde b1 = x0
3 x2 =
a2+ b2
2
; f (a2) < 0,f (b2) > 0 e f (x2) < 0, assim, x ∈ [x2, b2] com b2 = b1
prosseguimos, assim, ate´ que
∣∣∣bn − xn∣∣∣ < ε, o que garante, x ∈ [xn, bn].
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Processos Iterativos de Localizac¸a˜o Me´todo da Bissecc¸a˜o
Descrevendo o Me´todo
Metodo da Bissecc¸a˜o
Seja [a, b] um intervalo que conte´m um zero de f (x)(cont´ınua), isto e´ um raiz de
f (x) = 0, onde f (x) e´ uma func¸a˜o que intercepta o eixo x em algum ponto deste
intervalo (f (a) · f (b) < 0). Vamos supor, para simplficar que este zero e´ u´nico em
[a, b].
Queremos reduzir a amplitude do intervalo [a, b] mantendo a raiz no intervalo ate´
atingir a precisa˜o colocada, b − a < ε, usando o processo de sucessiva divisa˜o de [a, b]
ao meio.
Fazendo as iterac¸o˜es da forma, onde x e´ o zero procurado :
1 x0 =
a0 + b0
2
; f (a0) < 0,f (b0) > 0 e f (x0) > 0, onde a0 = a e
b0 = b =⇒ x ∈ [a0, x0]
2 x1 =
a1 + b1
2
; f (a1) < 0,f (b1) > 0 e f (x1) < 0, logo, x ∈ [x1, b1] onde b1 = x0
3 x2 =
a2 + b2
2
; f (a2) < 0,f (b2) > 0 e f (x2) < 0, assim, x ∈ [x2, b2] com b2 = b1
prosseguimos, assim, ate´ que
∣∣∣bn − xn∣∣∣ < ε, o que garante, x ∈ [xn, bn].
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Processos Iterativos de Localizac¸a˜o Me´todo da Bissecc¸a˜o
Descrevendo o Me´todo
Descrevendo o Me´todo
No caso, supomos f(x) descrita geometricamente da forma
a = a0
b = b0x
y
x
a = 12.6
b = 4
ε
c = 0.4
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Processos Iterativos de Localizac¸a˜o Me´todo da Bissecc¸a˜o
Descrevendo o Me´todo
Descrevendo o Me´todo
No caso, supomos f(x) descrita geometricamente da forma
a = a0
b = b0x
y
x
a = 12.6
b = 4
ε
c = 0.4
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Processos Iterativos de Localizac¸a˜o Me´todo da Bissecc¸a˜o
Descrevendo o Me´todo
Descrevendo o Me´todo
No caso, supomos f(x) descrita geometricamente da forma
a = a0
b = b0x
y
x
a = 12.6
b = 4
ε
c = 0.4
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Processos Iterativos de Localizac¸a˜o Algoritmo
Algoritmo para o Me´todo
Passo
1 Dados iniciais : intervalos [a, b] (valor de a e de b) e a precisa˜o ε
2 Se b − a < ε, enta˜o escolha para x qualquer x ∈ [a, b]. Fim
3 k = 1
4 m = f (a)
5 x =
a + b
2
6 Se m · f (x) > 0, fac¸a a = x . Va´ para o passo 8.
7 b = x
8 Se b − a < ε, escolha para x qualquer x ∈ [a, b]. Fim
9 k = k + 1. Volte para o passo 5.
Terminado o processo, teremos como sa´ıda um intervalo que conte´m x de tamanho
menor que ε e uma aproximac¸a˜o para a raiz exata x .
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Processos Iterativos de Localizac¸a˜o Algoritmo
Algoritmo para o Me´todo
Passo
1 Dados iniciais : intervalos [a, b] (valor de a e de b) e a precisa˜o ε
2 Se b − a < ε, enta˜o escolha para x qualquer x ∈ [a, b]. Fim
3 k = 1
4 m = f (a)
5 x =
a + b
2
6 Se m · f (x) > 0, fac¸a a = x . Va´ para o passo 8.
7 b = x
8 Se b − a < ε, escolha para x qualquer x ∈ [a, b]. Fim
9 k = k + 1. Volte para o passo 5.
Terminado o processo, teremos como sa´ıda um intervalo que conte´m x de tamanho
menor que ε e uma aproximac¸a˜o para a raiz exata x .
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Processos Iterativos de Localizac¸a˜o Algoritmo
Algoritmo para o Me´todo
Passo
1 Dados iniciais : intervalos [a, b] (valor de a e de b) e a precisa˜o ε
2 Se b − a < ε, enta˜o escolha para x qualquer x ∈ [a, b]. Fim
3 k = 1
4 m = f (a)
5 x =
a + b
2
6 Se m · f (x) > 0, fac¸a a = x . Va´ para o passo 8.
7 b = x
8 Se b − a < ε, escolha para x qualquer x ∈ [a, b]. Fim
9 k = k + 1. Volte para o passo 5.
Terminado o processo, teremos como sa´ıda um intervalo que conte´m x de tamanho
menor que ε e uma aproximac¸a˜o para a raiz exata x .
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Processos Iterativos de Localizac¸a˜o Algoritmo
Algoritmo para o Me´todo
Passo
1 Dados iniciais : intervalos [a, b] (valor de a e de b) e a precisa˜o ε
2 Se b − a < ε, enta˜o escolha para x qualquer x ∈ [a, b]. Fim
3 k = 1
4 m = f (a)
5 x =
a + b
2
6 Se m · f (x) > 0, fac¸a a = x . Va´ para o passo 8.
7 b = x
8 Se b − a < ε, escolha para x qualquer x ∈ [a, b]. Fim
9 k = k + 1. Volte para o passo 5.
Terminado o processo, teremos como sa´ıda um intervalo que conte´m x de tamanho
menor que ε e uma aproximac¸a˜o para a raiz exata x .
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Processos Iterativos de Localizac¸a˜o Algoritmo
Algoritmo para o Me´todo
Passo
1 Dados iniciais : intervalos [a, b] (valor de a e de b) e a precisa˜o ε
2 Se b − a < ε, enta˜o escolha para x qualquer x ∈ [a, b]. Fim
3 k = 1
4 m = f (a)
5 x =
a + b
2
6 Se m · f (x) > 0, fac¸a a = x . Va´ para o passo 8.
7 b = x
8 Se b − a < ε, escolha para x qualquer x ∈ [a, b]. Fim
9 k = k + 1. Volte para o passo 5.
Terminado o processo, teremos como sa´ıda um intervalo que conte´m x de tamanho
menor que ε e uma aproximac¸a˜o para a raiz exata x .
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Processos Iterativos de Localizac¸a˜o Algoritmo
Algoritmo para o Me´todo
Passo
1 Dados iniciais : intervalos [a, b] (valor de a e de b) e a precisa˜o ε
2 Se b − a < ε, enta˜o escolha para x qualquer x ∈ [a, b]. Fim
3 k = 1
4 m = f (a)
5 x =
a + b
2
6 Se m · f (x) > 0, fac¸a a = x . Va´ para o passo 8.
7 b = x
8 Se b − a < ε, escolha para x qualquer x ∈ [a, b]. Fim
9 k = k + 1. Volte para o passo 5.
Terminado o processo, teremos como sa´ıda um intervalo que conte´m x de tamanho
menor que ε e uma aproximac¸a˜o para a raiz exata x .
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Algoritmo para o Me´todo
Passo
1 Dados iniciais : intervalos [a, b] (valor de a e de b) e a precisa˜o ε
2 Se b − a < ε, enta˜o escolha para x qualquer x ∈ [a, b]. Fim
3 k = 1
4 m = f (a)
5 x =
a + b
2
6 Se m · f (x) > 0, fac¸a a = x . Va´ para o passo 8.
7 b = x
8 Se b − a < ε, escolha para x qualquer x ∈ [a, b]. Fim
9 k = k + 1. Volte para o passo 5.
Terminado o processo, teremos como sa´ıda um intervalo que conte´m x de tamanho
menor que ε e uma aproximac¸a˜o para a raiz exata x .
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Algoritmo para o Me´todo
Passo
1 Dados iniciais : intervalos [a, b] (valor de a e de b) e a precisa˜o ε
2 Se b − a < ε, enta˜o escolha para x qualquer x ∈ [a, b]. Fim
3 k = 1
4 m = f (a)
5 x =
a + b
2
6 Se m · f (x) > 0, fac¸a a = x . Va´ para o passo 8.
7 b = x
8 Se b − a < ε, escolha para x qualquer x ∈ [a, b]. Fim
9 k = k + 1. Volte para o passo 5.
Terminado o processo, teremos como sa´ıda um intervalo que conte´m x de tamanho
menor que ε e uma aproximac¸a˜o para a raiz exata x .
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Algoritmo para o Me´todo
Passo
1 Dados iniciais : intervalos [a, b] (valor de a e de b) e a precisa˜o ε
2 Se b − a < ε, enta˜o escolha para x qualquer x ∈ [a, b]. Fim
3 k = 1
4 m = f (a)
5 x =
a + b
2
6 Se m · f (x) > 0, fac¸a a = x . Va´ para o passo 8.
7 b = x
8 Se b − a < ε, escolha para x qualquer x ∈ [a, b]. Fim
9 k = k + 1. Volte para o passo 5.
Terminado o processo, teremos como sa´ıda um intervalo que conte´m x de tamanho
menor que ε e uma aproximac¸a˜o para a raiz exata x .
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Algoritmo para o Me´todo
Passo
1 Dados iniciais : intervalos [a, b] (valor de a e de b) e a precisa˜o ε
2 Se b − a < ε, enta˜oescolha para x qualquer x ∈ [a, b]. Fim
3 k = 1
4 m = f (a)
5 x =
a + b
2
6 Se m · f (x) > 0, fac¸a a = x . Va´ para o passo 8.
7 b = x
8 Se b − a < ε, escolha para x qualquer x ∈ [a, b]. Fim
9 k = k + 1. Volte para o passo 5.
Terminado o processo, teremos como sa´ıda um intervalo que conte´m x de tamanho
menor que ε e uma aproximac¸a˜o para a raiz exata x .
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Algoritmo para o Me´todo
Passo
1 Dados iniciais : intervalos [a, b] (valor de a e de b) e a precisa˜o ε
2 Se b − a < ε, enta˜o escolha para x qualquer x ∈ [a, b]. Fim
3 k = 1
4 m = f (a)
5 x =
a + b
2
6 Se m · f (x) > 0, fac¸a a = x . Va´ para o passo 8.
7 b = x
8 Se b − a < ε, escolha para x qualquer x ∈ [a, b]. Fim
9 k = k + 1. Volte para o passo 5.
Terminado o processo, teremos como sa´ıda um intervalo que conte´m x de tamanho
menor que ε e uma aproximac¸a˜o para a raiz exata x .
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Algoritmo para o Me´todo
Passo
1 Dados iniciais : intervalos [a, b] (valor de a e de b) e a precisa˜o ε
2 Se b − a < ε, enta˜o escolha para x qualquer x ∈ [a, b]. Fim
3 k = 1
4 m = f (a)
5 x =
a + b
2
6 Se m · f (x) > 0, fac¸a a = x . Va´ para o passo 8.
7 b = x
8 Se b − a < ε, escolha para x qualquer x ∈ [a, b]. Fim
9 k = k + 1. Volte para o passo 5.
Terminado o processo, teremos como sa´ıda um intervalo que conte´m x de tamanho
menor que ε e uma aproximac¸a˜o para a raiz exata x .
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Exemplos
Exemplo
A func¸a˜o f (x) = x · ln x − 1 tem um zero x em [1, 2] como podemos ver
graficamente. O me´todo aplicado a esta func¸a˜o, com [1, 2] intervalo inicial, gera :
x0 =
1 + 2
2
= 1.5; f (1) = −1 < 0
f (2) = 0, 3863 > 0 e f (1.5) = −3, 92× 10−1 < 0
logo,
x ∈ [1.5, 2] ; a1 = x0 = 1, 5 e b1 = b0 = 2
x1 =
1.5 + 2
2
= 1.75;
f (1, 5) = −0, 391802338 < 0, f (2) = 0, 386294361 > 0, f (1.75) = −0, 020672371 < 0
logo x ∈ [1.75, 2.0] com a2 = x1 = 1.75 e b2 = x1 = 2.0
prosseguindo e colocando a precisa˜o desejada, convergimos para a soluc¸a˜o.
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Processos Iterativos de Localizac¸a˜o Algoritmo
Exemplos
Exemplo
A func¸a˜o f (x) = x · ln x − 1 tem um zero x em [1, 2] como podemos ver
graficamente. O me´todo aplicado a esta func¸a˜o, com [1, 2] intervalo inicial, gera :
x0 =
1 + 2
2
= 1.5; f (1) = −1 < 0
f (2) = 0, 3863 > 0 e f (1.5) = −3, 92× 10−1 < 0
logo,
x ∈ [1.5, 2] ; a1 = x0 = 1, 5 e b1 = b0 = 2
x1 =
1.5 + 2
2
= 1.75;
f (1, 5) = −0, 391802338 < 0, f (2) = 0, 386294361 > 0, f (1.75) = −0, 020672371 < 0
logo x ∈ [1.75, 2.0] com a2 = x1 = 1.75 e b2 = x1 = 2.0
prosseguindo e colocando a precisa˜o desejada, convergimos para a soluc¸a˜o.
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Processos Iterativos de Localizac¸a˜o Algoritmo
Exemplos
Exemplo
A func¸a˜o f (x) = x · ln x − 1 tem um zero x em [1, 2] como podemos ver
graficamente. O me´todo aplicado a esta func¸a˜o, com [1, 2] intervalo inicial, gera :
x0 =
1 + 2
2
= 1.5; f (1) = −1 < 0
f (2) = 0, 3863 > 0 e f (1.5) = −3, 92× 10−1 < 0
logo,
x ∈ [1.5, 2] ; a1 = x0 = 1, 5 e b1 = b0 = 2
x1 =
1.5 + 2
2
= 1.75;
f (1, 5) = −0, 391802338 < 0, f (2) = 0, 386294361 > 0, f (1.75) = −0, 020672371 < 0
logo x ∈ [1.75, 2.0] com a2 = x1 = 1.75 e b2 = x1 = 2.0
prosseguindo e colocando a precisa˜o desejada, convergimos para a soluc¸a˜o.
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Exemplos
Exemplo
A func¸a˜o f (x) = x · ln x − 1 tem um zero x em [1, 2] como podemos ver
graficamente. O me´todo aplicado a esta func¸a˜o, com [1, 2] intervalo inicial, gera :
x0 =
1 + 2
2
= 1.5; f (1) = −1 < 0
f (2) = 0, 3863 > 0 e f (1.5) = −3, 92× 10−1 < 0
logo,
x ∈ [1.5, 2] ; a1 = x0 = 1, 5 e b1 = b0 = 2
x1 =
1.5 + 2
2
= 1.75;
f (1, 5) = −0, 391802338 < 0, f (2) = 0, 386294361 > 0, f (1.75) = −0, 020672371 < 0
logo x ∈ [1.75, 2.0] com a2 = x1 = 1.75 e b2 = x1 = 2.0
prosseguindo e colocando a precisa˜o desejada, convergimos para a soluc¸a˜o.
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Exemplos
Exemplo
A func¸a˜o f (x) = x · ln x − 1 tem um zero x em [1, 2] como podemos ver
graficamente. O me´todo aplicado a esta func¸a˜o, com [1, 2] intervalo inicial, gera :
x0 =
1 + 2
2
= 1.5; f (1) = −1 < 0
f (2) = 0, 3863 > 0 e f (1.5) = −3, 92× 10−1 < 0
logo,
x ∈ [1.5, 2] ; a1 = x0 = 1, 5 e b1 = b0 = 2
x1 =
1.5 + 2
2
= 1.75;
f (1, 5) = −0, 391802338 < 0, f (2) = 0, 386294361 > 0, f (1.75) = −0, 020672371 < 0
logo x ∈ [1.75, 2.0] com a2 = x1 = 1.75 e b2 = x1 = 2.0
prosseguindo e colocando a precisa˜o desejada, convergimos para a soluc¸a˜o.
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Exemplos
Exemplo
A func¸a˜o f (x) = x · ln x − 1 tem um zero x em [1, 2] como podemos ver
graficamente. O me´todo aplicado a esta func¸a˜o, com [1, 2] intervalo inicial, gera :
x0 =
1 + 2
2
= 1.5; f (1) = −1 < 0
f (2) = 0, 3863 > 0 e f (1.5) = −3, 92× 10−1 < 0
logo,
x ∈ [1.5, 2] ; a1 = x0 = 1, 5 e b1 = b0 = 2
x1 =
1.5 + 2
2
= 1.75;
f (1, 5) = −0, 391802338 < 0, f (2) = 0, 386294361 > 0, f (1.75) = −0, 020672371 < 0
logo x ∈ [1.75, 2.0] com a2 = x1 = 1.75 e b2 = x1 = 2.0
prosseguindo e colocando a precisa˜o desejada, convergimos para a soluc¸a˜o.
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Exemplos
Exemplo
A func¸a˜o f (x) = x · ln x − 1 tem um zero x em [1, 2] como podemos ver
graficamente. O me´todo aplicado a esta func¸a˜o, com [1, 2] intervalo inicial, gera :
x0 =
1 + 2
2
= 1.5; f (1) = −1 < 0
f (2) = 0, 3863 > 0 e f (1.5) = −3, 92× 10−1 < 0
logo,
x ∈ [1.5, 2] ; a1 = x0 = 1, 5 e b1 = b0 = 2
x1 =
1.5 + 2
2
= 1.75;
f (1, 5) = −0, 391802338 < 0, f (2) = 0, 386294361 > 0, f (1.75) = −0, 020672371 < 0
logo x ∈ [1.75, 2.0] com a2 = x1 = 1.75 e b2 = x1 = 2.0
prosseguindo e colocando a precisa˜o desejada, convergimos para a soluc¸a˜o.
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Exemplos
Exemplo
A func¸a˜o f (x) = x · ln x − 1 tem um zero x em [1, 2] como podemos ver
graficamente. O me´todo aplicado a esta func¸a˜o, com [1, 2] intervalo inicial, gera :
x0 =
1 + 2
2
= 1.5; f (1) = −1 < 0
f (2) = 0, 3863 > 0 e f (1.5) = −3, 92× 10−1 < 0
logo,
x ∈ [1.5, 2] ; a1 = x0 = 1, 5 e b1 = b0 = 2
x1 =
1.5 + 2
2
= 1.75;
f (1, 5) = −0, 391802338 < 0, f (2) = 0, 386294361 > 0, f (1.75) = −0, 020672371 < 0
logo x ∈ [1.75, 2.0] com a2 = x1 = 1.75 e b2 = x1 = 2.0
prosseguindo e colocando a precisa˜o desejada, convergimos para a soluc¸a˜o.
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Processos Iterativos de Localizac¸a˜o Algoritmo
Nota
Nota
Este me´todo permite isolar ra´ızes reais, o erro e´ controlado diretamente, na convergeˆncia
e´ garantida, mas requer um custo computacional alto, ja´ que a convergeˆncia e´ muito
lenta. Existem outros me´todos como a da posic¸a˜o falsa que pe semelhante a este.
Os me´todos mais usados sa˜o de de NEWTON- RAPHSON e o de NEWTO VIE`TE, pois
sa˜o mais eficientes pela sua simplicidade e a convergeˆncia ocorre com mais rapidez que
os outros.
Prof. Roberto Capistrano Ca´lculo Nume´rico 8 / 21
Processos Iterativos de Localizac¸a˜o Algoritmo
Nota
Nota
Este me´todo permite isolar ra´ızes reais, o erro e´ controlado diretamente, na convergeˆncia
e´ garantida,mas requer um custo computacional alto, ja´ que a convergeˆncia e´ muito
lenta. Existem outros me´todos como a da posic¸a˜o falsa que pe semelhante a este.
Os me´todos mais usados sa˜o de de NEWTON- RAPHSON e o de NEWTO VIE`TE, pois
sa˜o mais eficientes pela sua simplicidade e a convergeˆncia ocorre com mais rapidez que
os outros.
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Processos Iterativos de Localizac¸a˜o Algoritmo
Nota
Nota
Este me´todo permite isolar ra´ızes reais, o erro e´ controlado diretamente, na convergeˆncia
e´ garantida, mas requer um custo computacional alto, ja´ que a convergeˆncia e´ muito
lenta. Existem outros me´todos como a da posic¸a˜o falsa que pe semelhante a este.
Os me´todos mais usados sa˜o de de NEWTON- RAPHSON e o de NEWTO VIE`TE, pois
sa˜o mais eficientes pela sua simplicidade e a convergeˆncia ocorre com mais rapidez que
os outros.
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Processos Iterativos de Localizac¸a˜o Me´todo de Newton-Raphson
Descreveno o Me´todo
O Me´todo
Este me´todo consiste em iteragir atrave´s do processo :
xn+1 = xn − f (xn)
f ′(xn)
, n = 0, 1, 2, 3, . . .
Escolhe-se arbitrariamente x0 .Se x1, x2, x3, . . . convergir e´ a raiz da soluc¸a˜o, se na˜o
escolhe-se outro valor para x0.
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Processos Iterativos de Localizac¸a˜o Me´todo de Newton-Raphson
Descreveno o Me´todo
O Me´todo
Este me´todo consiste em iteragir atrave´s do processo :
xn+1 = xn − f (xn)
f ′(xn)
, n = 0, 1, 2, 3, . . .
Escolhe-se arbitrariamente x0 .Se x1, x2, x3, . . . convergir e´ a raiz da soluc¸a˜o, se na˜o
escolhe-se outro valor para x0.
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Processos Iterativos de Localizac¸a˜o Me´todo de Newton-Raphson
Descreveno o Me´todo
O Me´todo
Este me´todo consiste em iteragir atrave´s do processo :
xn+1 = xn − f (xn)
f ′(xn)
, n = 0, 1, 2, 3, . . .
Escolhe-se arbitrariamente x0 .Se x1, x2, x3, . . . convergir e´ a raiz da soluc¸a˜o, se na˜o
escolhe-se outro valor para x0.
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Processos Iterativos de Localizac¸a˜o Me´todo de Newton-Raphson
Descreveno o Me´todo
O Me´todo
Fonte de inspirac¸a˜o para esta fo´rmula : A reta tangente ao gra´fico de f (x) em x0 e
dado por
y − y0 = m · (x − x0) onde m = f ′(x0) e y0 = f (x0)
Assim
y − f (x0) = f ′(x0) · (x − x0) a qual leva a y − f (xi ) = f ′(xi ) · (xi+1 − xi )
Para y = 0
f (xi ) = f
′(xi ) · (xi+1 − xi )
Devido a este argumento, este me´todo recebe o nome ME´TODO DAS TANGENTES.
Prof. Roberto Capistrano Ca´lculo Nume´rico 10 / 21
Processos Iterativos de Localizac¸a˜o Me´todo de Newton-Raphson
Descreveno o Me´todo
O Me´todo
Fonte de inspirac¸a˜o para esta fo´rmula : A reta tangente ao gra´fico de f (x) em x0 e
dado por
y − y0 = m · (x − x0) onde m = f ′(x0) e y0 = f (x0)
Assim
y − f (x0) = f ′(x0) · (x − x0) a qual leva a y − f (xi ) = f ′(xi ) · (xi+1 − xi )
Para y = 0
f (xi ) = f
′(xi ) · (xi+1 − xi )
Devido a este argumento, este me´todo recebe o nome ME´TODO DAS TANGENTES.
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Processos Iterativos de Localizac¸a˜o Me´todo de Newton-Raphson
Descreveno o Me´todo
O Me´todo
Fonte de inspirac¸a˜o para esta fo´rmula : A reta tangente ao gra´fico de f (x) em x0 e
dado por
y − y0 = m · (x − x0) onde m = f ′(x0) e y0 = f (x0)
Assim
y − f (x0) = f ′(x0) · (x − x0) a qual leva a y − f (xi ) = f ′(xi ) · (xi+1 − xi )
Para y = 0
f (xi ) = f
′(xi ) · (xi+1 − xi )
Devido a este argumento, este me´todo recebe o nome ME´TODO DAS TANGENTES.
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Processos Iterativos de Localizac¸a˜o Me´todo de Newton-Raphson
Descreveno o Me´todo
O Me´todo
Fonte de inspirac¸a˜o para esta fo´rmula : A reta tangente ao gra´fico de f (x) em x0 e
dado por
y − y0 = m · (x − x0) onde m = f ′(x0) e y0 = f (x0)
Assim
y − f (x0) = f ′(x0) · (x − x0) a qual leva a y − f (xi ) = f ′(xi ) · (xi+1 − xi )
Para y = 0
f (xi ) = f
′(xi ) · (xi+1 − xi )
Devido a este argumento, este me´todo recebe o nome ME´TODO DAS TANGENTES.
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Processos Iterativos de Localizac¸a˜o Me´todo de Newton-Raphson
Descreveno o Me´todo
O Me´todo
Fonte de inspirac¸a˜o para esta fo´rmula : A reta tangente ao gra´fico de f (x) em x0 e
dado por
y − y0 = m · (x − x0) onde m = f ′(x0) e y0 = f (x0)
Assim
y − f (x0) = f ′(x0) · (x − x0) a qual leva a y − f (xi ) = f ′(xi ) · (xi+1 − xi )
Para y = 0
f (xi ) = f
′(xi ) · (xi+1 − xi )
Devido a este argumento, este me´todo recebe o nome ME´TODO DAS TANGENTES.
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Descreveno o Me´todo
O Me´todo
Fonte de inspirac¸a˜o para esta fo´rmula : A reta tangente ao gra´fico de f (x) em x0 e
dado por
y − y0 = m · (x − x0) onde m = f ′(x0) e y0 = f (x0)
Assim
y − f (x0) = f ′(x0) · (x − x0) a qual leva a y − f (xi ) = f ′(xi ) · (xi+1 − xi )
Para y = 0
f (xi ) = f
′(xi ) · (xi+1 − xi )
Devido a este argumento, este me´todo recebe o nome ME´TODO DAS TANGENTES.
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Descreveno o Me´todo
O Me´todo
Fonte de inspirac¸a˜o para esta fo´rmula : A reta tangente ao gra´fico de f (x) em x0 e
dado por
y − y0 = m · (x − x0) onde m = f ′(x0) e y0 = f (x0)
Assim
y − f (x0) = f ′(x0) · (x − x0) a qual leva a y − f (xi ) = f ′(xi ) · (xi+1 − xi )
Para y = 0
f (xi ) = f
′(xi ) · (xi+1 − xi )
Devido a este argumento, este me´todo recebe o nome ME´TODO DAS TANGENTES.
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Descreveno o Me´todo
O Me´todo
Fonte de inspirac¸a˜o para esta fo´rmula : A reta tangente ao gra´fico de f (x) em x0 e
dado por
y − y0 = m · (x − x0) onde m = f ′(x0) e y0 = f (x0)
Assim
y − f (x0) = f ′(x0) · (x − x0) a qual leva a y − f (xi ) = f ′(xi ) · (xi+1 − xi )
Para y = 0
f (xi ) = f
′(xi ) · (xi+1 − xi )
Devido a este argumento, este me´todo recebe o nome ME´TODO DAS TANGENTES.
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Processos Iterativos de Localizac¸a˜o Me´todo de Newton-Raphson
Exemplo - Me´todo das Tangentes
Exemplo
Se f (x) = 2x − cos x , tem-se f ′(x) = 2 + sen x , o que leva a
xn+1 = xn +
2xn − cos xn
2 + sen xn
; n = 0, 1, 2, . . .
Para xo =
pi
8
∼= 0, 3927 obte´m-se a tabela :
n xn xn+1
0 0,3927 0,4508
1 0,4508 0,4502
2 0,4502 0,4502
Neste caso, ja´ houve a convergeˆncia para 0,4502.
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Processos Iterativos de Localizac¸a˜o Me´todo de Newton-Raphson
Exemplo - Me´todo das Tangentes
Exemplo
Se f (x) = 2x − cos x , tem-se f ′(x) = 2 + sen x , o que leva a
xn+1 = xn +
2xn − cos xn
2 + sen xn
; n = 0, 1, 2, . . .
Para xo =
pi
8
∼= 0, 3927 obte´m-se a tabela :
n xn xn+1
0 0,3927 0,4508
1 0,4508 0,4502
2 0,4502 0,4502
Neste caso, ja´ houve a convergeˆncia para 0,4502.
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Processos Iterativos de Localizac¸a˜o Me´todo de Newton-Raphson
Exemplo - Me´todo das Tangentes
Exemplo
Se f (x) = 2x − cos x , tem-se f ′(x) = 2 + sen x , o que leva a
xn+1 = xn +
2xn − cos xn
2 + sen xn
; n = 0, 1, 2, . . .
Para
xo =
pi
8
∼= 0, 3927 obte´m-se a tabela :
n xn xn+1
0 0,3927 0,4508
1 0,4508 0,4502
2 0,4502 0,4502
Neste caso, ja´ houve a convergeˆncia para 0,4502.
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Processos Iterativos de Localizac¸a˜oMe´todo de Newton-Raphson
Exemplo - Me´todo das Tangentes
Exemplo
Se f (x) = 2x − cos x , tem-se f ′(x) = 2 + sen x , o que leva a
xn+1 = xn +
2xn − cos xn
2 + sen xn
; n = 0, 1, 2, . . .
Para xo =
pi
8
∼= 0, 3927 obte´m-se a tabela :
n xn xn+1
0 0,3927 0,4508
1 0,4508 0,4502
2 0,4502 0,4502
Neste caso, ja´ houve a convergeˆncia para 0,4502.
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Exemplo - Me´todo das Tangentes
Exemplo
Se f (x) = 2x − cos x , tem-se f ′(x) = 2 + sen x , o que leva a
xn+1 = xn +
2xn − cos xn
2 + sen xn
; n = 0, 1, 2, . . .
Para xo =
pi
8
∼= 0, 3927 obte´m-se a tabela :
n xn xn+1
0 0,3927 0,4508
1 0,4508 0,4502
2 0,4502 0,4502
Neste caso, ja´ houve a convergeˆncia para 0,4502.
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Processos Iterativos de Localizac¸a˜o Me´todo de Newton-Raphson
Exemplo - Me´todo das Tangentes
Exemplo
Se f (x) = 2x − cos x , tem-se f ′(x) = 2 + sen x , o que leva a
xn+1 = xn +
2xn − cos xn
2 + sen xn
; n = 0, 1, 2, . . .
Para xo =
pi
8
∼= 0, 3927 obte´m-se a tabela :
n xn xn+1
0 0,3927 0,4508
1 0,4508 0,4502
2 0,4502 0,4502
Neste caso, ja´ houve a convergeˆncia para 0,4502.
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Exemplo - Me´todo das Tangentes
Exemplo
Se f (x) = 2x − cos x , tem-se f ′(x) = 2 + sen x , o que leva a
xn+1 = xn +
2xn − cos xn
2 + sen xn
; n = 0, 1, 2, . . .
Para xo =
pi
8
∼= 0, 3927 obte´m-se a tabela :
n xn xn+1
0 0,3927 0,4508
1 0,4508 0,4502
2 0,4502 0,4502
Neste caso, ja´ houve a convergeˆncia para 0,4502.
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Processos Iterativos de Localizac¸a˜o Me´todo de Newton-Raphson
Exemplo - Me´todo das Tangentes
Exemplo
Se f (x) = 2x − cos x , tem-se f ′(x) = 2 + sen x , o que leva a
xn+1 = xn +
2xn − cos xn
2 + sen xn
; n = 0, 1, 2, . . .
Para xo =
pi
8
∼= 0, 3927 obte´m-se a tabela :
n xn xn+1
0 0,3927 0,4508
1 0,4508 0,4502
2 0,4502 0,4502
Neste caso, ja´ houve a convergeˆncia para 0,4502.
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Processos Iterativos de Localizac¸a˜o Me´todo de Newton-Raphson
Exemplo - Me´todo das Tangentes
Caso de um Polinoˆmio
Para o caso de f(x) ser um polinoˆmio, p(x) = a0x
n + a1x
n−1 + . . .+ an−1x + an , a
fo´rmula de iterac¸a˜o escreve-se
xi+1 = xi − p(xi )
p′(xi )
onde p′(xi ) = n a0x
n−1 + (n − 1) a1xn−2 + . . .+ 2 an−2x + an−1
o qual caracteriza o chamado me´todo de Newton-Vie`te.
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Exemplo - Me´todo das Tangentes
Caso de um Polinoˆmio
Para o caso de f(x) ser um polinoˆmio,
p(x) = a0x
n + a1x
n−1 + . . .+ an−1x + an , a
fo´rmula de iterac¸a˜o escreve-se
xi+1 = xi − p(xi )
p′(xi )
onde p′(xi ) = n a0x
n−1 + (n − 1) a1xn−2 + . . .+ 2 an−2x + an−1
o qual caracteriza o chamado me´todo de Newton-Vie`te.
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Exemplo - Me´todo das Tangentes
Caso de um Polinoˆmio
Para o caso de f(x) ser um polinoˆmio, p(x) = a0x
n + a1x
n−1 + . . .+ an−1x + an , a
fo´rmula de iterac¸a˜o escreve-se
xi+1 = xi − p(xi )
p′(xi )
onde p′(xi ) = n a0x
n−1 + (n − 1) a1xn−2 + . . .+ 2 an−2x + an−1
o qual caracteriza o chamado me´todo de Newton-Vie`te.
Prof. Roberto Capistrano Ca´lculo Nume´rico 12 / 21
Processos Iterativos de Localizac¸a˜o Me´todo de Newton-Raphson
Exemplo - Me´todo das Tangentes
Caso de um Polinoˆmio
Para o caso de f(x) ser um polinoˆmio, p(x) = a0x
n + a1x
n−1 + . . .+ an−1x + an , a
fo´rmula de iterac¸a˜o escreve-se
xi+1 = xi − p(xi )
p′(xi )
onde p′(xi ) = n a0x
n−1 + (n − 1) a1xn−2 + . . .+ 2 an−2x + an−1
o qual caracteriza o chamado me´todo de Newton-Vie`te.
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Processos Iterativos de Localizac¸a˜o Me´todo de Newton-Raphson
Exemplo - Me´todo das Tangentes
Caso de um Polinoˆmio
Para o caso de f(x) ser um polinoˆmio, p(x) = a0x
n + a1x
n−1 + . . .+ an−1x + an , a
fo´rmula de iterac¸a˜o escreve-se
xi+1 = xi − p(xi )
p′(xi )
onde p′(xi ) = n a0x
n−1 + (n − 1) a1xn−2 + . . .+ 2 an−2x + an−1
o qual caracteriza o chamado me´todo de Newton-Vie`te.
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Processos Iterativos de Localizac¸a˜o Me´todo de Newton-Raphson
Exemplo - Me´todo das Tangentes
Exemplo e Soluc¸a˜o
Encontrar as ra´ızes de p(x) = 5x4 + 3x3 − 3x2 + x − 1
Soluc¸a˜o
Vamos inicialmente localizar as ra´ızes reais.
i) De acordo com a regra de descartes,
p(x): + + - + - ⇒ T = 3
p(-x): + - - - - ⇒ T = 1
logo p(x) tem exatamente uma raiz real negativa. As outras sa˜o ambas reais
positivas ou complexas(uma positiva e uma complexa),e
ii) Montando uma tabela
x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
p(x) 1035 293 41 -3 -1 5 93 146 1427
De acordo com a tabela, uma raiz positiva esta´ em [0, 1] e a negativa entre
[−2,−1] e as outras sa˜o complexas.
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Processos Iterativos de Localizac¸a˜o Me´todo de Newton-Raphson
Exemplo - Me´todo das Tangentes
Exemplo e Soluc¸a˜o
Encontrar as ra´ızes de p(x) = 5x4 + 3x3 − 3x2 + x − 1
Soluc¸a˜o
Vamos inicialmente localizar as ra´ızes reais.
i) De acordo com a regra de descartes,
p(x): + + - + - ⇒ T = 3
p(-x): + - - - - ⇒ T = 1
logo p(x) tem exatamente uma raiz real negativa. As outras sa˜o ambas reais
positivas ou complexas(uma positiva e uma complexa),e
ii) Montando uma tabela
x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
p(x) 1035 293 41 -3 -1 5 93 146 1427
De acordo com a tabela, uma raiz positiva esta´ em [0, 1] e a negativa entre
[−2,−1] e as outras sa˜o complexas.
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Processos Iterativos de Localizac¸a˜o Me´todo de Newton-Raphson
Exemplo - Me´todo das Tangentes
Exemplo e Soluc¸a˜o
Encontrar as ra´ızes de p(x) = 5x4 + 3x3 − 3x2 + x − 1
Soluc¸a˜o
Vamos inicialmente localizar as ra´ızes reais.
i) De acordo com a regra de descartes,
p(x): + + - + - ⇒ T = 3
p(-x): + - - - - ⇒ T = 1
logo p(x) tem exatamente uma raiz real negativa. As outras sa˜o ambas reais
positivas ou complexas(uma positiva e uma complexa),e
ii) Montando uma tabela
x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
p(x) 1035 293 41 -3 -1 5 93 146 1427
De acordo com a tabela, uma raiz positiva esta´ em [0, 1] e a negativa entre
[−2,−1] e as outras sa˜o complexas.
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Processos Iterativos de Localizac¸a˜o Me´todo de Newton-Raphson
Exemplo - Me´todo das Tangentes
Exemplo e Soluc¸a˜o
Encontrar as ra´ızes de p(x) = 5x4 + 3x3 − 3x2 + x − 1
Soluc¸a˜o
Vamos inicialmente localizar as ra´ızes reais.
i) De acordo com a regra de descartes,
p(x): + + - + - ⇒ T = 3
p(-x): + - - - - ⇒ T = 1
logo p(x) tem exatamente uma raiz real negativa. As outras sa˜o ambas reais
positivas ou complexas(uma positiva e uma complexa),e
ii) Montando uma tabela
x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
p(x) 1035 293 41 -3 -1 5 93 146 1427
De acordo com a tabela, uma raiz positiva esta´ em [0, 1] e a negativa entre
[−2,−1] e as outras sa˜o complexas.
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Processos Iterativos de Localizac¸a˜o Me´todo de Newton-Raphson
Exemplo - Me´todo das Tangentes
Exemplo e Soluc¸a˜o
Encontrar as ra´ızes de p(x) = 5x4 + 3x3 − 3x2 + x − 1
Soluc¸a˜o
Vamos inicialmente localizar as ra´ızes reais.
i) De acordo com a regra de descartes,
p(x): + + - + - ⇒ T = 3
p(-x): + - - - - ⇒ T = 1logo p(x) tem exatamente uma raiz real negativa. As outras sa˜o ambas reais
positivas ou complexas(uma positiva e uma complexa),e
ii) Montando uma tabela
x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
p(x) 1035 293 41 -3 -1 5 93 146 1427
De acordo com a tabela, uma raiz positiva esta´ em [0, 1] e a negativa entre
[−2,−1] e as outras sa˜o complexas.
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Exemplo - Me´todo das Tangentes
Exemplo e Soluc¸a˜o
Encontrar as ra´ızes de p(x) = 5x4 + 3x3 − 3x2 + x − 1
Soluc¸a˜o
Vamos inicialmente localizar as ra´ızes reais.
i) De acordo com a regra de descartes,
p(x): + + - + - ⇒ T = 3
p(-x): + - - - - ⇒ T = 1
logo p(x) tem exatamente uma raiz real negativa. As outras sa˜o ambas reais
positivas ou complexas(uma positiva e uma complexa),e
ii) Montando uma tabela
x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
p(x) 1035 293 41 -3 -1 5 93 146 1427
De acordo com a tabela, uma raiz positiva esta´ em [0, 1] e a negativa entre
[−2,−1] e as outras sa˜o complexas.
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Exemplo - Me´todo das Tangentes
Exemplo e Soluc¸a˜o
Encontrar as ra´ızes de p(x) = 5x4 + 3x3 − 3x2 + x − 1
Soluc¸a˜o
Vamos inicialmente localizar as ra´ızes reais.
i) De acordo com a regra de descartes,
p(x): + + - + - ⇒ T = 3
p(-x): + - - - - ⇒ T = 1
logo p(x) tem exatamente uma raiz real negativa. As outras sa˜o ambas reais
positivas ou complexas(uma positiva e uma complexa),e
ii) Montando uma tabela
x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
p(x) 1035 293 41 -3 -1 5 93 146 1427
De acordo com a tabela, uma raiz positiva esta´ em [0, 1] e a negativa entre
[−2,−1] e as outras sa˜o complexas.
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Encontrar as ra´ızes de p(x) = 5x4 + 3x3 − 3x2 + x − 1
Soluc¸a˜o
Vamos inicialmente localizar as ra´ızes reais.
i) De acordo com a regra de descartes,
p(x): + + - + - ⇒ T = 3
p(-x): + - - - - ⇒ T = 1
logo p(x) tem exatamente uma raiz real negativa. As outras sa˜o ambas reais
positivas ou complexas(uma positiva e uma complexa),e
ii) Montando uma tabela
x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
p(x) 1035 293 41 -3 -1 5 93 146 1427
De acordo com a tabela, uma raiz positiva esta´ em [0, 1] e a negativa entre
[−2,−1] e as outras sa˜o complexas.
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Processos Iterativos de Localizac¸a˜o Me´todo de Newton-Raphson
Exemplo e Soluc¸a˜o
Exemplo e Soluc¸a˜o
Aplicando o me´todo para x0 = −2 vem a tabela :
i xi p(xi ) p
′(xi )
0 -2 41 -111,00
1 -1,63063 11,73542 - 52,011
2 -1,40495 2,83494 -28,2699
3 -1,30467 0,413387 -20,2678
4 -1,28428 0,014915 -18,8148
5 -1,28348 2, 19× 105 -18,7595
O qual conclu´ımos por inspec¸a˜o na tabela que -1,28348 e´ um bom valor aproximado
para a raiz, no que diz respeito aos problemas em engenharia.
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Exemplo e Soluc¸a˜o
Exemplo e Soluc¸a˜o
Aplicando o me´todo para x0 = −2 vem a tabela :
i xi p(xi ) p
′(xi )
0 -2 41 -111,00
1 -1,63063 11,73542 - 52,011
2 -1,40495 2,83494 -28,2699
3 -1,30467 0,413387 -20,2678
4 -1,28428 0,014915 -18,8148
5 -1,28348 2, 19× 105 -18,7595
O qual conclu´ımos por inspec¸a˜o na tabela que -1,28348 e´ um bom valor aproximado
para a raiz, no que diz respeito aos problemas em engenharia.
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Exemplo e Soluc¸a˜o
Exemplo e Soluc¸a˜o
Aplicando o me´todo para x0 = −2 vem a tabela :
i xi p(xi ) p
′(xi )
0 -2 41 -111,00
1 -1,63063 11,73542 - 52,011
2 -1,40495 2,83494 -28,2699
3 -1,30467 0,413387 -20,2678
4 -1,28428 0,014915 -18,8148
5 -1,28348 2, 19× 105 -18,7595
O qual conclu´ımos por inspec¸a˜o na tabela que -1,28348 e´ um bom valor aproximado
para a raiz, no que diz respeito aos problemas em engenharia.
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Exemplo e Soluc¸a˜o
Exemplo e Soluc¸a˜o
Aplicando o me´todo para x0 = −2 vem a tabela :
i xi p(xi ) p
′(xi )
0 -2 41 -111,00
1 -1,63063 11,73542 - 52,011
2 -1,40495 2,83494 -28,2699
3 -1,30467 0,413387 -20,2678
4 -1,28428 0,014915 -18,8148
5 -1,28348 2, 19× 105 -18,7595
O qual conclu´ımos por inspec¸a˜o na tabela que -1,28348 e´ um bom valor aproximado
para a raiz, no que diz respeito aos problemas em engenharia.
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Exemplo e Soluc¸a˜o
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Aplicando o me´todo para x0 = −2 vem a tabela :
i xi p(xi ) p
′(xi )
0 -2 41 -111,00
1 -1,63063 11,73542 - 52,011
2 -1,40495 2,83494 -28,2699
3 -1,30467 0,413387 -20,2678
4 -1,28428 0,014915 -18,8148
5 -1,28348 2, 19× 105 -18,7595
O qual conclu´ımos por inspec¸a˜o na tabela que -1,28348 e´ um bom valor aproximado
para a raiz, no que diz respeito aos problemas em engenharia.
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Exemplo e Soluc¸a˜o
Exemplo e Soluc¸a˜o
Aplicando o me´todo para x0 = −2 vem a tabela :
i xi p(xi ) p
′(xi )
0 -2 41 -111,00
1 -1,63063 11,73542 - 52,011
2 -1,40495 2,83494 -28,2699
3 -1,30467 0,413387 -20,2678
4 -1,28428 0,014915 -18,8148
5 -1,28348 2, 19× 105 -18,7595
O qual conclu´ımos por inspec¸a˜o na tabela que -1,28348 e´ um bom valor aproximado
para a raiz, no que diz respeito aos problemas em engenharia.
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Exemplo e Soluc¸a˜o
Exemplo e Soluc¸a˜o
Aplicando o me´todo para x0 = −2 vem a tabela :
i xi p(xi ) p
′(xi )
0 -2 41 -111,00
1 -1,63063 11,73542 - 52,011
2 -1,40495 2,83494 -28,2699
3 -1,30467 0,413387 -20,2678
4 -1,28428 0,014915 -18,8148
5 -1,28348 2, 19× 105 -18,7595
O qual conclu´ımos por inspec¸a˜o na tabela que -1,28348 e´ um bom valor aproximado
para a raiz, no que diz respeito aos problemas em engenharia.
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Exemplo e Soluc¸a˜o
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Aplicando o me´todo para x0 = −2 vem a tabela :
i xi p(xi ) p
′(xi )
0 -2 41 -111,00
1 -1,63063 11,73542 - 52,011
2 -1,40495 2,83494 -28,2699
3 -1,30467 0,413387 -20,2678
4 -1,28428 0,014915 -18,8148
5 -1,28348 2, 19× 105 -18,7595
O qual conclu´ımos por inspec¸a˜o na tabela que -1,28348 e´ um bom valor aproximado
para a raiz, no que diz respeito aos problemas em engenharia.
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Exemplo e Soluc¸a˜o
Exemplo e Soluc¸a˜o
Aplicando o me´todo para x0 = −2 vem a tabela :
i xi p(xi ) p
′(xi )
0 -2 41 -111,00
1 -1,63063 11,73542 - 52,011
2 -1,40495 2,83494 -28,2699
3 -1,30467 0,413387 -20,2678
4 -1,28428 0,014915 -18,8148
5 -1,28348 2, 19× 105 -18,7595
O qual conclu´ımos por inspec¸a˜o na tabela que -1,28348 e´ um bom valor aproximado
para a raiz, no que diz respeito aos problemas em engenharia.
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Processos Iterativos de Localizac¸a˜o Me´todo de Newton-Raphson
Exemplo e Soluc¸a˜o
Exemplo e Soluc¸a˜o
O me´todo para escolha do x0 = 1 gera :
i xi p(xi ) p
′(xi )
0 1 5 24,0000
1 0,79166 1,3639 11,81392 0,67621 0,2775 7,2423
3 0,63789 0,0238 6,0262
4 0,63395 0,000231 5,9073
5 0,63392 2, 26× 10−8 5,9073
Aqui a raiz aproximada tem valor 0,5693.
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Exemplo e Soluc¸a˜o
Exemplo e Soluc¸a˜o
O me´todo para escolha do x0 = 1 gera :
i xi p(xi ) p
′(xi )
0 1 5 24,0000
1 0,79166 1,3639 11,8139
2 0,67621 0,2775 7,2423
3 0,63789 0,0238 6,0262
4 0,63395 0,000231 5,9073
5 0,63392 2, 26× 10−8 5,9073
Aqui a raiz aproximada tem valor 0,5693.
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Processos Iterativos de Localizac¸a˜o Me´todo de Newton-Raphson
Exemplo e Soluc¸a˜o
Exemplo e Soluc¸a˜o
O me´todo para escolha do x0 = 1 gera :
i xi p(xi ) p
′(xi )
0 1 5 24,0000
1 0,79166 1,3639 11,8139
2 0,67621 0,2775 7,2423
3 0,63789 0,0238 6,0262
4 0,63395 0,000231 5,9073
5 0,63392 2, 26× 10−8 5,9073
Aqui a raiz aproximada tem valor 0,5693.
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Exemplo e Soluc¸a˜o
Exemplo e Soluc¸a˜o
O me´todo para escolha do x0 = 1 gera :
i xi p(xi ) p
′(xi )
0 1 5 24,0000
1 0,79166 1,3639 11,8139
2 0,67621 0,2775 7,2423
3 0,63789 0,0238 6,0262
4 0,63395 0,000231 5,9073
5 0,63392 2, 26× 10−8 5,9073
Aqui a raiz aproximada tem valor 0,5693.
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Processos Iterativos de Localizac¸a˜o Me´todo de Newton-Raphson
Exemplo e Soluc¸a˜o
Exemplo e Soluc¸a˜o
O me´todo para escolha do x0 = 1 gera :
i xi p(xi ) p
′(xi )
0 1 5 24,0000
1 0,79166 1,3639 11,8139
2 0,67621 0,2775 7,2423
3 0,63789 0,0238 6,0262
4 0,63395 0,000231 5,9073
5 0,63392 2, 26× 10−8 5,9073
Aqui a raiz aproximada tem valor 0,5693.
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Processos Iterativos de Localizac¸a˜o Me´todo de Newton-Raphson
Exemplo e Soluc¸a˜o
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O me´todo para escolha do x0 = 1 gera :
i xi p(xi ) p
′(xi )
0 1 5 24,0000
1 0,79166 1,3639 11,8139
2 0,67621 0,2775 7,2423
3 0,63789 0,0238 6,0262
4 0,63395 0,000231 5,9073
5 0,63392 2, 26× 10−8 5,9073
Aqui a raiz aproximada tem valor 0,5693.
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Exemplo e Soluc¸a˜o
Exemplo e Soluc¸a˜o
O me´todo para escolha do x0 = 1 gera :
i xi p(xi ) p
′(xi )
0 1 5 24,0000
1 0,79166 1,3639 11,8139
2 0,67621 0,2775 7,2423
3 0,63789 0,0238 6,0262
4 0,63395 0,000231 5,9073
5 0,63392 2, 26× 10−8 5,9073
Aqui a raiz aproximada tem valor 0,5693.
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Exemplo e Soluc¸a˜o
Exemplo e Soluc¸a˜o
O me´todo para escolha do x0 = 1 gera :
i xi p(xi ) p
′(xi )
0 1 5 24,0000
1 0,79166 1,3639 11,8139
2 0,67621 0,2775 7,2423
3 0,63789 0,0238 6,0262
4 0,63395 0,000231 5,9073
5 0,63392 2, 26× 10−8 5,9073
Aqui a raiz aproximada tem valor 0,5693.
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Exemplo e Soluc¸a˜o
Exemplo e Soluc¸a˜o
O me´todo para escolha do x0 = 1 gera :
i xi p(xi ) p
′(xi )
0 1 5 24,0000
1 0,79166 1,3639 11,8139
2 0,67621 0,2775 7,2423
3 0,63789 0,0238 6,0262
4 0,63395 0,000231 5,9073
5 0,63392 2, 26× 10−8 5,9073
Aqui a raiz aproximada tem valor 0,5693.
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Processos Iterativos de Localizac¸a˜o Me´todo de Newton-Raphson
Nota
Nota
O me´todo de Newton para ser usado e´ preciso calcular f ′(x) o que em alguns casos
podem ser trabalhoso. Para estes casos existem outros me´todos como desse exemplo,o
me´todos das secantes e de BAIRSTON que evita o ca´lculo das derivadas. Para este
me´todo salientamos tambe´m que devemos estar atentos a divisa˜o por zero ou por um
valor muito pequeno, o qual torna a convergeˆncia muito lenta, o que ocorre tambe´m
quando a raiz e´ mu´ltipla.
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Processos Iterativos de Localizac¸a˜o Me´todo de Newton-Raphson
Nota
Nota
O me´todo de Newton para ser usado e´ preciso calcular f ′(x) o que em alguns casos
podem ser trabalhoso. Para estes casos existem outros me´todos como desse exemplo,o
me´todos das secantes e de BAIRSTON que evita o ca´lculo das derivadas. Para este
me´todo salientamos tambe´m que devemos estar atentos a divisa˜o por zero ou por um
valor muito pequeno, o qual torna a convergeˆncia muito lenta, o que ocorre tambe´m
quando a raiz e´ mu´ltipla.
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Exerc´ıcios Propostos
Exerc´ıcios Propostos
Exerc´ıcios Propostos
EP1) Determinar intervalos [a, b] tal que f (a) e f (b) tenham ra´ızes opostas para
1 f (x) = x2 − 5x + 6
2 f (x) = 2 + x − ex + 6
3 f (x) = cos(x) + 1− 5x + 6
EP2) A func¸a˜o g(x) = xsen (x) faz parte do modelamento de oscilac¸o˜es forc¸adas
sem amortecimento. Determine o valor de x ∈ [0, 2] tal que g(x) = 1.
EP3) Encontrar todas as ra´ızes do polinoˆmio p(x) = x3 − x − 1
EP4) Considerar o polinoˆmio p(x) = x3 − 9x + 3 que tem treˆs zeros :
z1 ∈ (−4,−3),z2 ∈ (0, 1) z3 ∈ (2, 3). Use o me´todo de Newton.
EP5) Localize os zeros de :
1 p(x) = 3x5 − 3x4 − 2x3 + x + 1
2 p(x) = 2x5 − 2x3 + x2 − x − 1
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Exerc´ıcios Propostos
Exerc´ıcios Propostos
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EP1) Determinar intervalos [a, b] tal que f (a) e f (b) tenham ra´ızes opostas para
1 f (x) = x2 − 5x + 6
2 f (x) = 2 + x − ex + 6
3 f (x) = cos(x) + 1− 5x + 6
EP2) A func¸a˜o g(x) = xsen (x) faz parte do modelamento de oscilac¸o˜es forc¸adas
sem amortecimento. Determine o valor de x ∈ [0, 2] tal que g(x) = 1.
EP3) Encontrar todas as ra´ızes do polinoˆmio p(x) = x3 − x − 1
EP4) Considerar o polinoˆmio p(x) = x3 − 9x + 3 que tem treˆs zeros :
z1 ∈ (−4,−3),z2 ∈ (0, 1) z3 ∈ (2, 3). Use o me´todo de Newton.
EP5) Localize os zeros de :
1 p(x) = 3x5 − 3x4 − 2x3 + x + 1
2 p(x) = 2x5 − 2x3 + x2 − x − 1
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Exerc´ıcios Propostos
Exerc´ıcios Propostos
Exerc´ıcios Propostos
EP6) Considere o polinoˆmio
p(x) = x5 − 3, 7x4 + 7, 4x3 − 10, 8x2 + 10, 8x − 6, 8.
Sabendo que, p(1) = −2, 1 e p(2) = 3, 6, encontre um raiz deste polinoˆmio.
EP7) Use o me´todo de Newton-Raphson para obter uma raiz positiva de
1
x
2
− tg (x) = 0
2 4 cos(x) = ex
EP8) Aplique o me´todo de Newton-Raphson a` equac¸a˜o x3 − 2x2 − 3x + 10 = 0.
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Exerc´ıcios Propostos
Exerc´ıcios Propostos
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EP6) Considere o polinoˆmio
p(x) = x5 − 3, 7x4 + 7, 4x3 − 10, 8x2 + 10, 8x − 6, 8.
Sabendo que, p(1) = −2, 1 e p(2) = 3, 6, encontre um raiz deste polinoˆmio.
EP7) Use o me´todo de Newton-Raphson para obter uma raiz positiva de
1
x
2
− tg (x) = 0
2 4 cos(x) = ex
EP8) Aplique o me´todo de Newton-Raphson a` equac¸a˜o x3 − 2x2 − 3x + 10 = 0.
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Bibliografia
Refereˆncias I
ARENALES, Selma; DAREZZO, Artur.
Ca´lculo Nume´rico: aprendizagem com apoio de software.
Sa˜o Paulo: Cengage Learning, 2010.
BARROSO, L. e outros.
Ca´lculo Nume´rico com Aplicac¸o˜es
Sa˜o Paulo: Habra, 2006
BRAGA, Carlos A. CAPISTRANO, Roberto. DELGADO, Solange.
MOREIRA, Jose´ Vicente.
Notas de Aulas de Ca´lculo Nume´rico
Joa˜o Pessoa: UNIPEˆ, 2014.
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Bibliografia
Refereˆncias II
BURIAN, Reinaldo; LIMA, Antonio Carlos de; HETEM JUNIOR,
Annibal.
Ca´lculoNume´rico Fundamentos de Informa´tica
Rio de Janeiro: LTC, 2012.
CUNHA, M. Cristina.
Me´todos Nume´ricos
Sa˜o Paulo: Editora da Unicamp, 2006.
FRANCO, Neide Bertoldi
Ca´lculo Nume´rico
Sa˜o Paulo: Pearson, 2006.
Prof. Roberto Capistrano Ca´lculo Nume´rico 20 / 21
Bibliografia
Refereˆncias III
GILAT, Amos; SUBRAMANIAM, Vish.
Me´todos Nume´ricos para Engenheiros e Cientistas Uma introduc¸a˜o
com aplicac¸o˜es usando o MATLAB
Porto Alegre: Bookman, 2013.
SANTOS, V. R.
Curso de Ca´lculo Nume´rico
Sa˜o Paulo; Livro Te´cnicos e Cient´ıficos, 2005.
SPERANDIO, De´cio; MENDES, Joa˜o Teixeira; SILVA, Luiz Henry
Monken e
Ca´lculo Nume´rico: Caracter´ısticas Matema´ticas e Computacionais dos
Me´todos Nume´ricos
Sa˜o Paulo: McGraw-Hill, 2007.
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	Processos Iterativos de Localização
	Introdução
	Método da Bissecção
	Algoritmo
	Método de Newton-Raphson
	Exercícios Propostos
	Bibliografia