Unidade I - Resumo 4

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Centro Universitário de João Pessoa
UNIPÊ Aula 4 - 1o Estágio
Cálculo Numérico
Processos Iterativos
Aula 4
1 Processos Iterativos de Localização
1.1 Introdução
Entendemos um processo iterativo como sendo um procedimento para obter uma sequen-
cia s1, s2, . . . , sn , . . . de aproximação de uma solução desejada, onde um termo da sequencia é ob-
tido em função dos anteriores.
1.2 Método da Bissecção
Seja [a,b] um intervalo que contém um zero de f (x)(contínua), isto é um raiz de f (x)= 0,
onde f (x) é uma função que intercepta o eixo x em algum ponto deste intervalo ( f (a)· f (b)< 0).
Vamos supor, para simplficar que este zero é único em [a,b].
Queremos reduzir a amplitude do intervalo [a,b] mantendo a raiz no intervalo até atingir a
precisão colocada, b−a < ε, usando o processo de sucessiva divisão de [a,b] ao meio.
Fazendo as iterações da forma, onde x é o zero procurado :
1. x0 = a0+b0
2
; f (a0)< 0, f (b0)> 0 e f (x0)> 0, onde a0 = a e b0 = b =⇒ x ∈ [a0, x0]
2. x1 = a1+b1
2
; f (a1)< 0, f (b1)> 0 e f (x1)< 0, logo, x ∈ [x1,b1] onde b1 = x0
3. x2 = a2+b2
2
; f (a2)< 0, f (b2)> 0 e f (x2)< 0, assim, x ∈ [x2,b2] com b2 = b1
prosseguimos, assim, até que
∣∣∣bn −xn∣∣∣< ε, o que garante, x ∈ [xn ,bn].
No caso, supomos f(x) descrita geometricamente da forma
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a = a0
b = b0x
y
x
a = 12.6
b = 4
ε
c = 0.4
1.3 Algoritmo
Resumindo podemos sintetizar o método através do algoritmo :
Passo Dados iniciais : intervalos [a,b] (valor de a e de b) e a precisão ε
Passo Se b−a < ε, então escolha para x qualquer x ∈ [a,b]. Fim
Passo k = 1
Passo m = f (a)
Passo x = a+b
2
Passo Se m · f (x)> 0, faça a = x. Vá para o passo 8.
Passo b = x
Passo Se b−a < ε, escolha para x qualquer x ∈ [a,b]. Fim
Passo k = k+1. Volte para o passo 5.
Terminado o processo, teremos como saída um intervalo que contém x de tamanho me-
nor que ε e uma aproximação para a raiz exata x.
Exemplo 1 A função f (x)= x · ln x−1 tem um zero x em [1,2] como podemos ver graficamente.
O método aplicado a esta função, com [1,2] intervalo inicial, gera :
x0 = 1+2
2
= 1.5; f (1)=−1< 0
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f (2)= 0,3863> 0 e f (1.5)=−3,92×10−1 < 0
logo,
x ∈ [1.5,2] ; a1 = x0 = 1,5 e b1 = b0 = 2
x1 = 1.5+2
2
= 1.75;
f (1,5)=−0,391802338< 0, f (2)= 0,386294361> 0, f (1.75)=−0,020672371< 0
logo
x ∈ [1.75,2.0]
a2 = x1 = 1.75 e b2 = x1 = 2.0
prosseguindo e colocando a precisão desejada, convergimos para a solução.
Nota: Este método permite isolar raízes reais, o erro é controlado diretamente, na convergência é
garantida, mas requer um custo computacional alto, já que a convergência é muito lenta. Existem
outros métodos como a da posição falsa que pe semelhante a este.
Os métodos mais usados são de de NEWTON- RAPHSON e o de NEWTO VIÈTE, pois são mais
eficientes pela sua simplicidade e a convergência ocorre com mais rapidez que os outros.
1.4 Método de Newton-Raphson
Este método consiste em iteragir através do processo :
xn+1 = xn − f (xn)
f ′(xn)
,n = 0,1,2,3, . . .
Escolhe-se arbitrariamente x0 .Se x1, x2, x3, . . . convergir é a raiz da solução, se não escolhe-se
outro valor para x0.
Fonte de inspiração para esta fórmula : A reta tangente ao gráfico de f (x) em x0 e dado
por
y − y0 =m · (x−x0) onde m = f ′(x0) e y0 = f (x0)
Assim
y − f (x0)= f ′(x0) · (x−x0) a qual leva ay − f (xi )= f ′(xi ) · (xi+1−xi )
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Para y = 0
f (xi )= f ′(xi ) · (xi+1−xi )
Devido a este argumento, este método recebe o nome MÉTODO DAS TANGENTES.
Exemplo 2 Se f (x)= 2x−cos x, tem-se f ′(x)= 2+ sen x, o que leva a
xn+1 = xn + 2xn −cos xn
2+ sen xn
;n = 0,1,2, . . .
Para xo = pi
8
∼= 0,3927 obtém-se a tabela :
n xn xn+1
0 0,3927 0,4508
1 0,4508 0,4502
2 0,4502 0,4502
Neste caso, já houve a convergência para 0,4502.
Para o caso de f(x) ser um polinômio, p(x)= a0xn +a1xn−1+ . . .+an−1x+an , a fórmula de
iteração escreve-se
xi+1 = xi − p(xi )
p ′(xi )
onde p ′(xi )= n a0xn−1+ (n−1) a1xn−2+ . . .+2 an−2x+an−1
o qual caracteriza o chamado método de Newton-Viète.
Exemplo 3 Encontrar as raízes de p(x)= 5x4+3x3−3x2+x−1
Solução Vamos inicialmente localizar as raízes reais.
i) De acordo com a regra de descartes,
p(x): + + - + - ⇒ T = 3
p(-x): + - - - - ⇒ T = 1
logo p(x) tem exatamente uma raiz real negativa. As outras são ambas reais positivas ou
complexas( uma positiva e uma complexa), e
ii) Montando uma tabela
x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
p(x) 1035 293 41 -3 -1 5 93 146 1427
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De acordo com a tabela, uma raiz positiva está em [0,1] e a negativa entre [−2,−1] e as
outras são complexas.
Aplicando o método para x0 =−2 vem a tabela :
i xi p(xi ) p ′(xi )
0 -2 41 -111,00
1 -1,63063 11,73542 - 52,011
2 -1,40495 2,83494 -28,2699
3 -1,30467 0,413387 -20,2678
4 -1,28428 0,014915 -18,8148
5 -1,28348 2,19×10−5 -18,7595
O qual concluímos por inspeção na tabela que -1,28348 é um bom valor aproximado para a
raiz, no que diz respeito aos problemas em engenharia.
O método para escolha do x0 = 1 gera :
i xi p(xi ) p ′(xi )
0 1 5 24,0000
1 0,79166 1,3639 11,8139
2 0,67621 0,2775 7,2423
3 0,63789 0,0238 6,0262
4 0,63395 0,000231 5,9073
5 0,63392 2,26×10−8 5,9073
Aqui a raiz aproximada tem valor 0,5693.
Nota: O método de Newton para ser usado é preciso calcular f ′(x) o que em alguns casos podem ser
trabalhoso. Para estes casos existem outros métodos como desse exemplo,o métodos das secantes e de
BAIRSTON que evita o cálculo das derivadas. Para este método salientamos também que devemos
estar atentos a divisão por zero ou por um valor muito pequeno, o qual torna a convergência muito
lenta, o que ocorre também quando a raiz é múltipla
2 Exercícios Propostos
EP1) Determinar intervalos [a,b] tal que f (a) e f (b) tenham raízes opostas para
(a) f (x)= x2−5x+6
(b) f (x)= 2+x−ex +6
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(c) f (x)= cos(x)+1−5x+6
EP2) A função g (x)= xsen (x) faz parte do modelamento de oscilações forçadas sem amorteci-
mento. Determine o valor de x ∈ [0,2] tal que g (x)= 1.
EP3) Encontrar todas as raízes do polinômio p(x)= x3−x−1
EP4) Considerar o polinômio p(x) = x3− 9x + 3 que tem três zeros : z1 ∈ (−4,−3),z2 ∈ (0,1)
z3 ∈ (2,3). Use o método de Newton.
EP5) Localize os zeros de :
(a) p(x)= 3x5−3x4−2x3+x+1
(b) p(x)= 2x5−2x3+x2−x−1
EP6) Considere o polinômio
p(x)= x5−3,7x4+7,4x3−10,8x2+10,8x−6,8.
Sabendo que, p(1)=−2,1 e p(2)= 3,6, encontre um raiz deste polinômio.
EP7) Use o método de Newton-Raphson para obter uma raiz positiva de
(a)
x
2
− tg (x)= 0
(b) 4cos(x)= ex
EP8) Aplique o método de Newton-Raphson à equação x3−2x2−3x+10= 0.
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