CORRELAÇAO REGRESSÃO

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ASSOCIAÇÃO DE VARIÁVEIS QUANTITATIVAS: 
CORRELAÇÃO E REGRESSÃO LINEAR
Gabrimar Araújo Martins
ASSOCIAÇÃO DE VARIÁVEIS QUANTITATIVAS: 
CORRELAÇÃO E REGRESSÃO LINEAR
 CORRELAÇÃO
É o estudo de pares de observações 
medidas em um mesmo animal, com o 
objetivo de determinar o grau de 
associação entre variáveis, sendo que a 
variação de uma delas acompanha a da 
outra sem no entanto haver 
dependência entre elas. 
CORRELAÇÃO
 JUSTIFICATIVA
Quando se deseja saber se a variação em uma determinada 
variável acompanha proporcionalmente ou inversamente a 
variação na outra.
 PREMISSAS
‡ Devem ser colhidos pares de observações em um 
mesmo animal;
‡ Não deve haver nenhuma razão biológica que aponte 
dependência entre as variáveis e estas devem ser aleatórias
‡ O intervalo de variação é entre menos um (-1) e um (1);
‡ Quando a correlação entre duas variáveis (X e Y) é 
igual a 1, implica em valores idênticos, quando igual a -1, a 
ordem de um deles é inversa, quando igual a zero, não há 
nenhum grau de associação entre elas. 
CORRELAÇÃO
 TIPOS DE ASSOCIAÇÕES INDEPENDENTES
Medidas morfométricas em animais;
Relação cálcio e fósforo em dietas ;
Resultado de prova de desempenho em confinamento e a 
pasto;
Associação entre características produtivas e reprodutivas;
Entre características de produção e tipo.
CORRELAÇÃO
 CÁLCULO DA CORRELAÇÃO
Considerando a associação entre duas 
características X e Y, a correlação 
existente entre elas é dada pela 
fórmula:
Avaliada com n-2 graus de liberdade correspondente à perda de 2 graus de 
liberdade pela estimativa das médias de X e de Y, conhecido como 
correlação de Pearson.
CORRELAÇÃO
 CÁLCULO DA CORRELAÇÃO
Reprodutor Novilhos
Confinados(X) Campo(Y)
1 73 64
1 71 62
1 72 66
2 64 55
2 65 59
2 66 65
2 70 65
3 71 69
3 68 64
3 70 65
3 67 63
3 66 62
Exemplo 1: Para os dados de ganho de peso acima, calcular a correlação 
entre o desempenho no confinamento e a campo.
Sampaio, (2002)
SIGNIFICÂNCIA DA CORRELAÇÃO
• TABELAS DE VALORES CRÍTICOS DO 
COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO (r - segundo 
os graus de liberdade do estudo (n-2) e 
probabilidade do erro tipo I (P<0,05)).
Do exemplo anterior cujo r=0,688 ou 68,8%;
O coeficiente foi avaliado com 12-2 = 10 G. L.
Na tabela de valores críticos do coeficiente de 
correlação para 10 G.L. e P<0,05, o valor limite é 
0,58 ou 58,0%. Portanto a correlação é significativa 
e abona a prova de confinamento.
SIGNIFICÂNCIA DA CORRELAÇÃO
 INTERVALO DE CONFIANÇA DA CORRELAÇÃO
 PREMISSAS
A área que teoricamente define os limites do coeficiente de 
correlação corresponde a 95%;
Quando a correlação está sendo avaliada entre os valores -0,70 e 
0,70 a dispersão amostral atua entre os limites -1,0 e 1,0, 
apresentando uma distribuição aproximadamente normal;
Quando r está próximos desses limites -0,93 e 0,93 a distribuição 
passa a ser assimétrica, afetando o cálculo para definir o intervalo 
de confiança;
Neste caso Fisher (1921) propôs transformação matemática para 
tornar esse tipo de distribuição, aproximadamente normal.
SIGNIFICÂNCIA DA CORRELAÇÃO
 INTERVALO DE CONFIANÇA DA 
CORRELAÇÃO (r)
Valor de Z torna uma distribuição assimétrica em aproximadamente normal
Desvio padrão de z
SIGNIFICÂNCIA DA CORRELAÇÃO
 INTERVALO DE CONFIANÇA DA 
CORRELAÇÃO
Desvio padrão de z
Do exemplo anterior, r=0,688 e n=12, em termos de z teremos (FISHER, 1921)
=
 
=
 
=
Para z (95%): z ± 1,96s (1,96 desvios para mais ou para menos em 
relação a z); isso corresponde a valores de z entre 0,191 e 1,497.
0,844 ± 1,96 x 0,333 = 0,844 ± 0,65 = entre 0,191 e 1,497
SIGNIFICÂNCIA DA CORRELAÇÃO
 INTERVALO DE CONFIANÇA DA 
CORRELAÇÃO
Substituindo os valores do intervalo z = 0,191 e z = 1,497, em; 
=
 
=
 
r= 0,191 e r= 0,904
Então o intervalo de confiança para r=0,688 será de 0,187 a 0,904; 
correlação entre 0,19 e 0,90, tornando a correlação significativa.
Encontraremos valores para a correlação entre;
REGRESSÃO
 CONCEITO
Consiste em uma função que associa quantitativamente 
pares de observações de determinadas características, 
estimando a magnitude da mudança em uma delas por 
mudança unitária na outra.
 JUSTIFICATIVA
Quando existem fatores quantitativos com mais de dois 
níveis (grau de liberdade para fatores >1);
Deseja-se conhecer a relação matemática entre a 
variável dependente e os níveis dos fatores (variável 
independente);
=
 
=
 
REGRESSÃO
 JUSTIFICATIVA
Deseja-se definir o coeficiente de regressão que mede a 
variação experimentada na variável dependente para cada 
unidade da variável independente;
A partir da determinação dos coeficientes de regressão, 
deseja-se conhecer a função (linear, quadrática, cúbica ou de 
ordem superior) de associação entre as variáveis. 
 PREMISSA
A regressão de uma variável dependente Y em função de uma 
ou mais variáveis independentes X, postula que X assuma 
valores fixos (desvios padrões desprezíveis);
=
 
=
 
REGRESSÃO
 FUNÇÃO LINEAR
Ŷ = a + bX
Em que;
Ŷ = é a variável dependente de X
a = ao coeficiente de regressão linear correspondente 
teoricamente ao valor de Y quando X é igual a zero.
b = coeficiente de regressão que pondera a variável independente 
X 
Exemplo para interpretação dos parâmetros da regressão:
Ŷ = 2,7 – 0,1 X ; 
X = níveis de fibra em uma determinada ração (X = 7 e 13%);
Ŷ = peso de coelhos ao abate alimentados com rações contendo 
níveis de fibra X
=
 
=
 
REGRESSÃO
 EQUAÇÃO LINEAR
Ŷ = 2,7 – 0,1 X ; 
a = 2,7 representa o coeficiente linear para o nível zero de fibra, 
correspondente ao peso igual a 2,7 kg;
como biologicamente nível zero de fibra na ração não é aplicável, 
o valor de a=2,7, representa o ponto de interseção que a reta 
apresenta em relação ao eixo dos Y. 
b = -0,1 significa que para cada 1% de fibra na ração o 
desempenho do animal cai 0,1 kg no peso final
Valores maiores de b, correspondem a maior inclinação da reta em 
relação ao eixo dos X, denotando maior influência de X sobre Y.
O modelo pode estimar o teor de fibra na ração para Y = 0 
(nenhum desempenho); 0 = 2,7 – 0,1 X logo; X = 27% de fibra.
=
 
=
 
REGRESSÃO
 ESTIMATIVA DO COEFICIENTE DE 
REGRESSÃO
=
 
Repetição Lotação (animal/há)
0,5 1,0 1,5 2,0
1 10,5 12,6 8,1 6,5
2 9,4 7,9 6,7 5,8
3 11,0 10,4 - 4,3
4 8,3 9,3 7,3 7,0
5 15,0 7,2 7,0 3,9
6 12,7 8,9 6,1 4,6
Total 66,9 56,3 35,2 3,1
Sampaio, 2002
REGRESSÃO
 ESTIMATIVA DO COEFICIENTE DE 
REGRESSÃO
=
 
Ŷ = 13,1667 – 3,9415X
REGRESSÃO
 AVALIAÇÃO DO MODELO
Foram testados 4 tratamentos (taxas de 
lotação)
Dos três graus de liberdade para 
tratamentos, um representa o efeito 
linear e os outros dois serão atribuídos 
à falta de ajuste (quadrático e cúbico).
As fontes de variação serão; o modelo 
linear, a falta de ajuste, a variância do 
erro e total.
REGRESSÃO
 AVALIAÇÃO DO MODELO
SOMA DE QUADRADO DO MODELO
SQregressão=
SQregressão=
SQregressão(1 GL) = 115,5030
SQtotal = 1751,41-(190,5)²/23 = 173,5730 (22 GL)
SQlotação =
 A falta de ajusto ou desvio da linearidade, com 2 GL, corresponde:
SQlotação – SQregressão = 115,9227 - 115,5030 = 0,4197
REGRESSÃO
 AVALIAÇÃO DO MODELO
QUADRO DA ANÁLISE DE VARIÂNCIA
 Coeficiente de determinação (R²)
R² = SQregressão/SQtotal = 115,5030/173,5730 = 65,5%
R² = 65,5% representa razoável capacidade de previsão (variação do R², 0 a 100%) e o CV 
da resposta foi igual a 21%;
R² Elevado: Alta adequação do modelo, estimativa confiável associada a desvios pequenos;
R² Baixo: Inadequação do modelo ou instabilidade da variável medida associada a altos 
valores docoeficiente de variação (CV).
*Significativo (p<0,05) n.s. (não significativo)
FV GL SQ QM F
Total 22 173,5730
Regressão 1 115,5030 115,5030 38,07*
Falta de ajuste 2 0,4197 0,2098 n.s.
Erro 19 57,6503 3,0342
REGRESSÃO
 AVALIAÇÃO DO MODELO
• SIGNIFICÂNCIA DO COEFICIENTE DE 
REGRESSÃO
O que se testa à luz do erro experimental é se a 
variação de magnitude b por unidade de X produz 
variação significativa em Y 
• TESTES ESTATÍSTICOS USADOS PARA TESTAR 
O COEFICIENTE DE REGRESSÃO
Teste t de Student
Teste F de Fischer
REGRESSÃO
 AVALIAÇÃO DO MODELO
• Teste t de Student: Compara a fonte testada 
com seu próprio desvio padrão.
• Coeficiente de regressão b = -3,9415
• Desvio padrão da regressão
 
 
 
REGRESSÃO
 AVALIAÇÃO DO MODELO
O valor de “t” tabelado com 19Gl do erro = 2,093
O intervalo é: -2,093 a 2,093
“t” calculado esta fora deste intervalo e portanto :
b é significativo. 
Intervalo de confiança de b é: 
-3,9415±1,3370 ou -5,2785 a -2,6045
REGRESSÃO
 AVALIAÇÃO DO MODELO
TESTE F (FISCHER, 1924)
Regressão:
F=QMregressão/Qmerro = F= 115,5030/3,0342
=38,07
F tabelado com 1 e 19 GL = 4,38
Falta de ajuste:
F=0,2098/3,0342 < 1 (n.s) não precisa comparar
REGRESSÃO
 AVALIAÇÃO DO MODELO
TESTE F (FISCHER, 1924)
• A regressão foi significativa (F 
calculado maior que F tabelado)
• A falta de ajuste não foi 
significativa (F calculado < 1).
OBRIGADO