Magnetismo e Corrente Elétrica

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Engenharia Elétrica 
Eletromagnetismo 
Aula 4 
 
 
Professor Frank Coelho de Alcântara 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONVERSA INICIAL 
Chegamos ao magnetismo. Hora de comemorar! O 
eletromagnetismo está em todo o lugar, mas são os campos 
magnéticos que rodam motores e deslocam cargas. Sem o 
entendimento destes campos, jamais teríamos um motor elétrico, 
geladeiras, aspiradores de pó ou elevadores, por exemplo. 
Chegamos também às correntes elétricas. Cargas em 
movimento. 
Nesta aula estudaremos o trabalho de André-Marie Ampére e 
seu grupo de amigos que, em plena Revolução Francesa, com 
cabeças rolando diariamente, se dedicavam aos estudos – 
talvez, por proteção, mas, principalmente, por devoção. Seus 
trabalhos desenvolvidos em um grupo de pesquisa formado 
também por Jean-Baptiste Biot e Félix Savart fundamentaram o 
entendimento do campo magnético relacionando este a uma 
corrente elétrica. 
Nesta aula, ainda, entraremos no domínio das correntes 
contínuas. Correntes cuja amplitude e cujo sentido não variam no 
tempo – um limitador, é verdade, já que o eletromagnetismo só 
atinge seu real potencial no domínio das correntes alternadas, 
mas ainda assim suficiente para introduzir os conceitos que 
fundamentarão, no futuro, o entendimento das máquinas 
elétricas: transformador, motor e gerador. 
Todo mundo já viu o que acontece com limalhas de ferro 
expostas a um campo magnético proveniente de um imã. Nesta 
aula, você verá que campo magnéticos podem ser criados por 
correntes elétricas. O que será que acontece com limalhas de 
ferro colocadas próximas de um condutor onde passa uma 
corrente elétrica? 
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CONTEXTUALIZANDO 
Vimos as cargas elétricas, os campos criados por elas, o fluxo de 
um campo elétrico através de superfícies fechadas e, finalmente, 
estudaremos agora as cargas em movimento. Definiremos 
corrente elétrica, sua continuidade e veremos o comportamento 
de condutores e isolantes ou dielétricos. Como o elétron se 
comporta no átomo e como surge a corrente elétrica em resposta 
a uma excitação provocada por um campo elétrico. Agora 
entramos no domínio do magnetismo. 
Veremos que uma corrente no espaço gera um campo 
magnético. Faremos as relações necessárias entre a corrente e o 
campo de forma a caracterizar este campo no espaço. Você verá 
que a matemática é uma ferramenta que torna o entendimento 
possível e, uma vez que os conceitos estejam arraigados, verá 
como é fácil trabalhar com correntes elétricas e campos 
magnéticos. 
Veremos também dois potenciais magnéticos, equivalentes ao 
potencial elétrico: 
 potencial magnético escalar, que terá aplicação no estudo 
dos materiais magnéticos; 
 potencial magnético vetorial, que terá aplicação no estudo 
de antenas, transmissão e construção de placas de 
circuito. 
Mais importante. Ao final desta lição você terá abordado o navio 
do magnetismo. Faltará, apenas, tomar posse e controlar seu 
destino. 
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Tema 1 - Lei de Biot-Savart 
A esta altura da nossa disciplina você já deve estar confortável 
com o conceito de campo. Vimos, por exemplo, que uma carga 
elétrica estacionária produz um campo elétrico. Uma corrente 
elétrica, por outro lado produz um campo magnético. 
Começaremos a definição de campo elétrico nas condições 
ideais proporcionadas pelo espaço livre, ou vácuo. 
Uma corrente que circula por um fio condutor provoca no 
espaço um campo magnético cujas linhas de força têm o 
sentido determinado pela regra da mão direita, como pode ser 
visto na figura a seguir: 
 
 
 
 
 
 
Estas linhas de força podem ser percebidas, por exemplo, com a 
agulha de uma bússola. Percorrendo o espaço em torno do fio 
com uma bússola, a agulha irá apontar sempre para o Norte na 
direção tangencial à linha de força em cada ponto, de tal forma 
que a agulha estará sempre em uma direção perpendicular a 
uma linha radial, partindo do centro do condutor até o ponto onde 
a bússola está. 
Acompanhando a bússola em torno do fio, poderemos 
observar que o campo elétrico forma círculos fechados em 
torno do fio, como pode ser visto na figura ao lado. “A fonte de 
um campo elétrico estacionário pode ser um ímã permanente, 
um campo elétrico, variando linearmente no tempo ou uma 
corrente contínua” (HAYT e BUCK, 2012). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Elementos infinitesimais 
Estudaremos nesta aula o campo produzido por correntes 
contínuas e, para que possamos entender o campo em qualquer 
condutor, precisamos considerar o condutor dado na forma de 
seus elementos infinitesimais – esta será a origem da Lei de Biot-
Savart. 
 
 
Imagine um condutor filamentar (fio) como sendo um cilindro de 
raio muito pequeno e comprimento muito grande. No limite, cada 
elemento infinitesimal deste condutor é um cilindro de dimensões 
diferenciais, com raio tendendo a zero e comprimento dL por 
onde circula uma corrente I. Neste caso, a Lei de Biot-Savart 
determina que: 
“Em qualquer ponto P, a intensidade do campo 
magnético produzido por um elemento 
diferencial é proporcional ao produto da 
corrente pela magnitude do comprimento 
diferencial e pelo seno do ângulo que liga o 
filamento e a linha que o conecta o filamento ao 
ponto P, onde o campo é desejado” (HAYT e 
BUCK, 2012). 
Vetorialmente, a Lei de Biot-Savart indica que um elemento 
diferencial de corrente I dL gera uma intensidade incremental de 
campo magnético dH, cuja unidade é ampère por metro (A/m), de 
forma que este campo varia inversamente com o quadrado da 
distância entre o ponto e o elemento I dL, é independente do 
meio circunvizinho e possui direção e sentidos determinados pelo 
produto vetorial: 
I dL × ar. 
 
Para facilitar os cálculos, podemos observar a geometria 
apresentada na figura a seguir e substituir os índices de acordo 
para encontrar a forma vetorial da Lei de Biot-Savart em relação 
a dois pontos no espaço. Neste caso... 
 
 
 
 
 
 
 
 
Devemos lembrar que elementos infinitesimais de corrente não 
existem de forma autônoma no universo e que todos os 
elementos constituintes do filamento considerado contribuem 
para a criação do campo magnético. Esta consideração leva a 
forma integral da Lei de Biot-Savart: 
 
Esta integral de linha fechada indica que todos os elementos 
infinitesimais de corrente devem ser incluídos na definição do 
campo magnético total. Experimentalmente, só podemos verificar 
a forma integral da Lei de Biot-Savart, pois o elemento diferencial 
de corrente não pode ser isolado. Da mesma forma que temos 
distribuições de cargas diferentes, podemos ter distribuições de 
corrente diferente. Neste caso, a densidade superficial de 
corrente K (em ampères por metro) e a densidade volumétrica de 
corrente J (em ampères por metro quadrado) são mais úteis. 
Assim, teremos: 
 
 
 
 
 Para distribuição linear de corrente: 
 
 Para distribuição superficial de corrente: 
 
 Para distribuição volumétrica de corrente: 
 
 
Aplicação da Lei de Biot-Savart 
Considere um filamento infinito, sobre o eixo z. Queremos 
encontrar o campo magnético total sobre um ponto P sobre o 
eixo y, cuja geometria está ilustrada na figura a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Considere o sistema de coordenadas cilíndricas e observe que 
neste caso não há variação devida ao componente z ou ao 
componente ϕ. Oponto desejado se encontra sobre o eixo y e o 
vetor unitário será dado por: 
 
Sendo: 
 
Este é o ponto onde devemos considerar que, para aplicarmos a 
Lei de Biot-Savart precisaremos de um circuito fechado. Neste 
caso, podemos considerar que o filamento de retorno é paralelo 
ao filamento original, mas está deslocado para o infinito. Assim 
sua influência no ponto 2 é desprezível, mas ainda garante a 
aplicação da Lei de Biot-Savart. No nosso caso, em coordenadas 
cilíndricas: 
 
Como não temos componentes em temos: ou: 
 
Para cálculo do campo total no ponto 2 precisamos integrar. 
Observe que como a corrente é dirigida no sentido positivo do 
eixo z integraremos entre -∞ e ∞. Logo: 
 
 
 
Agora precisamos observar as condições de simetria como o 
campo não varia com relação ao componente ϕ seu vetor unitário 
é constante em relação a z e pode ser retirado da integral. 
 
 
Esta equação é muito importante e mostra que o campo elétrico 
não é função de ϕ ou z e que as linhas de fluxo magnético são 
circulares e ortogonais ao filamento. 
Muito importante: ainda que fuja um pouco do objetivo desta 
matéria é possível demonstrar que as linhas de campo 
magnético de uma linha infinita correspondem as linhas de 
equipotência do campo elétrico de uma distribuição de cargas 
linear igualmente infinita. 
De forma prática, e voltada para situações encontradas no 
cotidiano do engenheiro podemos ficar com a equação que 
 
 
calcula o campo magnético proveniente de uma um filamento 
finito, percorrido por uma corrente. 
 
Onde α2 e α1 são os ângulos formados entre os limites do 
filamento e o ponto desejado. 
Acese a versão online da aula e confira o vídeo do professor 
tratando deste assunto que estudamos e conheça mais. 
 
 
Tema 2 - A Lei Circuital de Ampère 
A Lei Circuital de Ampère ajuda a resolver problemas complexos 
relativos ao campo magnético estático, estabelecendo que a 
integral de linha fechada do campo magnético H, em qualquer 
percurso é exatamente igual a corrente I enlaçada pelo percurso. 
 
Geralmente conhecemos a corrente e usamos a Lei Circuital de 
Ampère para calcular o campo magnético, de forma muito similar 
ao uso da Lei de Gauss, para obter a distribuição de cargas. 
Contudo, para utilizarmos a Lei Circuital de Ampère, precisamos 
que exista um alto grau de simetria e que as condições a seguir 
sejam satisfeitas: 
 
 
 
a) Em cada ponto do circuito fechado, o campo H deve ser 
normal ou tangencial ao percurso; 
b) O campo H deverá ter o mesmo valor em todos os pontos 
do percurso onde H é tangencial; 
c) Definiremos como positiva a corrente cujo sentido avança 
na direção do avanço de um parafuso, na direção em que 
o circuito fechado for percorrido; 
d) Se a superfície que envolve o condutor envolver a corrente 
duas vezes em sentidos opostos a corrente envolvida será 
a soma algébrica destas correntes. Ou seja: zero. 
 
Considere agora que qualquer percurso fechado pode ser 
considerado como a soma integral de diversos percursos 
abertos. Observando a condição d), acima, poderemos escolher 
um conjunto de percursos tal que alguns dos percursos abertos 
envolvam a corrente duas vezes em sentidos opostos anulando 
sua contribuição para o percurso total. Ainda assim, o campo 
magnético ainda será determinado pela corrente total englobada. 
Este é um artifício que você pode usar, durante a determinação 
do percurso, para simplificar os cálculos. Escolha, sempre que 
possível, o caminho mais simples e tente se limitar a um plano. A 
aplicação da Lei da Gauss envolve a descoberta da carga 
englobada por uma superfície fechada e também envolve a 
descoberta da corrente envolvida por um percurso fechado 
(HAYT e BUCK, 2012). 
 
 
 
 
 
 
 
Aplicações da Lei de Ampère 
Filamento infinito de corrente 
Considere um filamento infinito conduzindo uma corrente I ao 
logo do eixo z em seu sentido positivo como pode ser visto na 
figura a seguir. Para determinar o valor do campo magnético H 
em um ponto P sobre o eixo y imaginamos um percurso fechado 
no plano x,y que cruze o ponto P. 
 
 
 
 
 
 
 
Este percurso sobre o qual aplicaremos a Lei Circuital de Ampère 
é conhecido como percurso amperiano, ou caminho amperiano. 
Trata-se da ferramenta da Lei Circuital de Ampère equivalente à 
superfície gaussiana que usamos na Lei de Gauss. 
Escolhemos um círculo, centrado na origem que mostra que H é 
constante se o raio ρ for constante. Como este percurso envolve 
toda a corrente I, de acordo com a Lei Circuital de Ampère, 
teremos: 
 
Ou, resolvendo: 
 
Como havíamos visto usando a Lei de Biot-Savart 
Plano infinito de corrente 
Consideramos agora um plano infinito de corrente sobre o eixo z, 
na origem. Se este plano tem uma densidade uniforme de 
corrente dada por: K = Kyay A/m, fluindo na direção do eixo y no 
sentido positivo. Como pode ser visto na figura a seguir. 
Escolhemos, para facilitar, um caminho retangular ortogonal ao 
plano de corrente, como também pode ser visto na figura. 
 
 
 
 
 
 
 
Só para lembrar, a Lei Circuital da Ampère garante que: 
 
Antes de integrar, precisamos avaliar as condições de simetria. A 
primeira observação é que a componente Hy será igual a zero já 
que a corrente está no eixo y e o campo magnético sempre será 
paralelo a corrente. Também podemos observar que H não pode 
variar com x ou y já que a fonte é não varia com x ou y. 
Em seguida, podemos imaginar este plano dividido em um 
número infinito de filamentos de corrente infinitesimais no plano 
x,y, como pode ser visto a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resta-nos analisar componente Hx. Tome por exemplo, dois 
pontos quaisquer sobre o eixo x, como pode ser visto na figura a 
seguir. E um ponto qualquer sobre a placa, em que o campo 
magnético resultante H será o resultado da soma vetorial dos 
campos devidos aos pontos j e k. A soma de todos os efeitos de 
todos os pontos produzirá o componente Hx ax. 
 
Ou seja, o campo resultante só possui a componente Hx e não 
varia com x ou y. Sendo assim, aplicando a Lei Circuital de 
Ampère no percurso 1 – 1’ – 2' –2 – 1, que pode ser visto na 
figura anterior, teremos: 
 
Fazendo as integrais de linha sobre o percurso, temos: 
 
Como o componente Hz = 0 temos: 
 
Como Hx não varia, com x temos: 
 
Ou, resolvendo: 
 
 
Poderíamos agora estender o percurso escolhido de forma a 
envolver os pontos 3 – 3' – 2' – 2 – 3 e resolver novamente a 
integral com as mesmas considerações e chegaríamos a: 
 
Ou, em bom português, o campo não depende da distância entre 
o ponto e a placa infinita de correntes. Ainda podemos observar 
que o campo para todos os valores de z > 0 será igual em 
módulo e com sentido oposto ao campo em todos os valores de z 
< 0. 
Neste caso diz-se que o campo é antissimétrico, ou seja: 
 
 
 
 
 
E, se considerarmos a forma vetorial, podemos definir o valor do 
campo H para todo e qualquer ponto em z se utilizarmos um 
vetor unitário normal ao plano, ou seja: 
 
Acesse a versão online da aula e confira o vídeo do professor 
tratando deste assunto que estudamos e conheça mais. 
 
 
Tema 3 - Rotacional e o Teorema de Strokes 
Definiremos o rotacional e o teorema de Strokes utilizando o 
campo magnético, seguindo a estrutura do nosso livro texto. 
(HAYT e BUCK, 2012). Mas, antes de começarmos vamos rever 
o conceito de rotacional. 
Definimos rotacional como sendo o resultado do produto vetorial 
entre o operador∇ e um campo vetorial F qualquer de tal forma 
que podemos calcular o rotacional por: 
 
Logo, 
 
Só para lembrar, circulação é a quantidade de força que atua ao 
longo de um percurso fechado dada, se preferir, pela integral de 
linha do percurso. Trata-se da força total percebida ao longo de 
um círculo, por exemplo. O rotacional é apenas a circulação por 
unidade de área, a densidade de circulação ou a taxa de rotação 
de um único ponto. 
O rotacional de um campo vetorial F, rot(F), resulta em outro 
campo vetorial cujos componentes x,y,z resultam na circulação 
desse campo vetorial por unidade de área respectivamente nos 
campos normais a esses componentes. 
Para saber mais, acesse o PDF a seguir: 
https://fenix.tecnico.ulisboa.pt/downloadFile/3779579543935/[P26
]%20Gradiente,%20Diverg%C3%AAncia%20e%20Rotacional%2
0(revisitados).pdf 
 
Estamos interessados em obter a forma pontual da Lei Circuital 
de Ampère. Desta forma analisaremos o campo magnético. De 
forma analítica, podemos entender o rotacional analisando a 
Figura 9, onde um campo vetorial A está envolvido por um 
percurso fechada C que envolve uma área plana diferencial ΔS e 
contém o ponto P. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A Integral para a definição do rotacional será evoluída de tal 
forma a manter, durante todo o percurso o contorno da área 
limitada sempre a esquerda. Assim podemos utilizar a regra da 
mão direita para determinar a direção do vetor unitário an. Sendo 
assim, o rotacional do campo A será definido por: 
 
Em um sistema de coordenadas qualquer é possível especificar 
o rotacional para cada um dos componentes do sistema por meio 
dos seus vetores unitários. Sendo assim, por exemplo, no 
sistema cartesiano, tudo o que precisamos para definir o 
rotacional em relação a x é definir um caminho fechado no plano 
y,z, que englobe um ponto em um dos planos de x, e fazer a 
integral de linha, como pode ser visto na figura a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
Considere agora que o campo vetorial conservativo A é dado 
por: 
 
O vetor normal ao ponto P só possui o componente x. Fazendo a 
integral de linha teremos a soma da integral de cada percurso ou: 
 
 
 
Dividimos o resultado da integral de linha por Δy Δz e temos que 
o rotacional em relação ao eixo x será dado por: 
 
 
 
Se fizermos o mesmo raciocínio para todos os eixos chegaremos 
a mesma equação que encontramos usando os determinantes. 
Sem dúvida, podemos definir o rotacional para os sistemas 
cilíndrico e esférico. 
 
Rotacional no sistema cilíndrico 
 
Rotacional no sistema esférico 
 
 
Rotacional em campos magnéticos 
Agora que já definimos o rotacional, podemos observar estes 
mesmos conceitos aplicados a um campo magnético H dado por: 
 
Ainda em busca da Lei Circuital de Ampère em seu formato 
pontual, vamos escolher o sistema de coordenadas cartesianas e 
um pequeno percurso de lados Δx e Δy como pode ser visto a 
seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Avaliaremos um ponto exatamente no centro do percurso 
retangular que escolhemos onde o campo será H0, cujo 
componentes podem ser vistos nesta figura. 
Neste caso, a integral de linha ao longo do percurso será dada 
pela soma dos quatro valores de H ⋅ ΔL, se consideramos que 
estamos trabalhando com valores diferenciais, atendendo o a 
definição de rotacional com o limite da área englobada tendendo 
a zero. 
Escolhemos o caminho 1 – 2 – 3 – 4 – 1 e chegaremos para o 
componente z a: 
 
 
 
Se lembrarmos da Lei Circuital de Ampère, este resultado deve 
ser igual a corrente evolvida pelo percurso que determinamos. 
Precisamos agora considerar dois pontos importantes: primeiro 
que há uma densidade de corrente J; segundo que a corrente 
envolvida pode ser dada em relação a J e a área de tal forma 
que, em termos infinitesimais, . Logo: 
 
Ou: 
 
Depois de definirmos a Lei Circuital de Ampère, igualando uma 
integral de linha fechada de H a corrente evolvida pelo percurso, 
chegamos agora a integral de percurso fechada por unidade de 
área por unidade de área envolvida ou, densidade de corrente 
(HAYT e BUCK, 2012). Podemos expandir esta demonstração 
usando planos transversais aos eixos x e y, e chegaremos à 
definição de rotacional do campo H: 
 
 
As equações do rotacional do campo H em coordenadas 
cilíndricas e esféricas podem ser encontradas no livro do Hayt 
(HAYT e BUCK, 2012). Se, voltarmos ao início deste tema, 
podemos ver que a integral de linha de um percurso fechado 
representa a circulação, termo emprestado da mecânica dos 
fluidos. Sendo assim, a circulação de H é dada por ∮ H ⋅ dL. 
Nós podemos definir o rotacional como sendo a circulação por 
unidade de área. Se o percurso é infinitesimal e tende a zero, o 
rotacional está definido no ponto. O rotacional do campo E deve 
ser zero, já que não há trabalho para deslocar uma carga em 
torno de nenhum percurso fechado. Contudo, o rotacional de H 
não pode ser zero, se existir corrente criando o campo a 
circulação de H por unidade de área é, graças a Lei Circuital de 
Ampère, a densidade de corrente envolvida. 
Mais importante de tudo, é que chegamos a: 
 
Onde: 
 
É a segunda equação de Maxwell, que se aplica a condições que 
não variam no tempo, a terceira, também foi vista por nós e diz 
respeito ao rotacional do campo elétrico. 
 
Eu falei em Maxwell!!! Apesar do livro do Hayt já ter citado 
Maxwell umas duas ou três vezes. Só agora podemos fazer 
algum sentido da importância de suas quatro equações. Vamos 
chegar lá! Fique tranquilo. É mais fácil que parece. 
 
 
 
 
 
 
Teorema de Stokes 
O Teorema de Stokes mostra que a integral de linha do 
componente tangencial de um campo vetorial conservativo F, em 
torno do percurso L é igual a integral de superfície do 
componente normal do rotacional de F, sobre uma superfície S. 
Simples assim. Quase intuitivo. Em termos matemáticos: 
 
Agora, sem brincadeira. É isso mesmo, o teorema é assim 
mesmo. Contudo, não se preocupe ele só faz sentido se 
estudarmos um fenômeno. Então, vamos voltar ao livro texto e 
obter a forma integral da Lei Conservativa de Ampère a partir da 
forma pontual. 
Primeiramente, vamos considerar a superfície S vista na figura a 
seguir, e vamos observar os elementos diferenciais de área Δs 
que, para facilitar já afirmo que tenderão a zero no limite. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vamos aplicar a definição de rotacional a uma destas áreas 
infinitesimais para encontrar: 
 
Onde o índice N indica que o rotacional será normal a superfície 
S, obedecendo a regra da mão direita sobre o percurso 
escolhido. Indicado na equação pelo índice ΔS na derivada do 
contorno. Este percurso pode ser visto na figura anterior. 
Podemos também escrever esta mesma equação garantindo a 
direção e o sentido do rotacional por meio do vetor unitário 
normal. Ou seja: 
 
Ou, expandindo, temos: 
 
Se fizermos a integral de todos ΔS da superfície S teremos o 
cancelamento de todos os percursos internos já que cada lado 
de cada área será percorrido duas vezes. Exceto, e este exceto é 
importante, nos percursos que acompanham o contorno da 
superfície S. Logo: 
 
E temos o teorema de Stokes. Agora vamos voltar ao rotacional 
do campo H, como vimos: 
 
 
 
Tudo que precisamos é fazer o produto escalar de cada lado da 
equação pelo vetor infinitesimal dS e integrar os dois lados sobre 
a mesma superfície arbitrária S para podermos aplicar o 
Teorema de Stokes. 
 
Como a integral da densidade de corrente sobreuma superfície é 
igual a corrente total passando através desta superfície temos 
que: 
 
O Teorema de Stokes relaciona uma integral de superfície a uma 
integral de linha fechada. Podemos utilizar o teorema de Stokes, 
e o teorema da divergência para provar várias propriedades dos 
campos vetoriais. Você, se estiver curioso, pode ver algumas 
destas provas no livro do Hayt, fim do capítulo 7.4. 
 
 
Tema 4 - Fluxo Magnético 
O campo de intensidade magnética H depende apenas das 
cargas móveis e é independente do meio. O campo de forças 
associado a H é a densidade de fluxo magnético B que, no 
vácuo, é dada por: 
 
A densidade de fluxo magnético B é medida em Webers por 
metro quadrado (Wb/m2) ou, no Sistema Internacional de 
Unidades, em Teslas (T) de tal forma que: 
 
A constante μ_0, permeabilidade, por sua vez, é medida em 
henrys por metro (H/m) e tem o valor de para 
o vácuo. Definimos fluxo magnético, Φ, como sendo uma 
determinada intensidade de campo magnético que atravessa 
uma determinada área. Exatamente como fizemos com fluxo 
elétrico. Então se integramos ao longo da superfície relativa a 
esta área: 
 
O fluxo magnético é medido em webers (Wb). 
Poderíamos continuar a analogia com o campo elétrico e as 
cargas elétricas mas esbarraríamos em um problema. Até janeiro 
de 2014 não existia nada que pudesse ser comparado a carga 
elétrica, em termos de magnetismo. Existia, é claro, toda uma 
teoria quântica que indicava a possibilidade e, em alguns casos, 
a necessidade de um monopolo magnético. Em janeiro de 2014 
foi possível, pela primeira vez sintetizar esta entidade em 
laboratório e hoje, estamos aprimorando alguns conceitos do 
eletromagnetismo. 
Para saber mais, acesse o link a seguir: 
https://www.london-nano.com/research-and-
facilities/highlight/magnetic-monopoles-discovered-by-lcn-
scientists 
 
 
 
Vamos ficar com a teoria tradicional onde o magnetismo nada 
mais é que o resultado de cargas em movimento sendo assim, 
sempre, relacionado a uma corrente. Sendo assim, revendo a 
análise do filamento infinito de corrente vemos que o campo H é 
formado de linhas concêntricas circulares em torno deste 
filamento como não há dimensionalidade em o campo 
densidade de fluxo magnético B, terá a mesma forma. 
As linhas de fluxo magnético são fechadas e não começam nem 
terminam. Logo, se aplicarmos a Lei de Gauss, teremos que: 
 
Esta equação é conhecida como lei da conservação do fluxo 
magnético. E, se aplicarmos o teorema da divergência 
encontraremos a quarta e última equação de Maxwell: 
 
 
 
Acesse a versão online da aula e confira o vídeo do professor 
tratando deste assunto que estudamos e conheça mais. 
 
 
 
 
 
Tema 5 - Potencial Magnético 
Em eletrostática trabalhamos com a noção de potencial. Este 
conceito é conveniente porquê, muitas vezes, é melhor achar o 
potencial e então calcular o campo elétrico E usando E = -∇V que 
pode ser lida como: o campo elétrico é dado pelo negativo do 
gradiente do potencial elétrico. Esta função escalar só é 
possível por causa da natureza conservativa do campo elétrico. 
Também vimos que o campo elétrico é um campo irrotacional. 
De tal forma que: rot(E) = 0. 
Para completar o cenário, vimos que a Lei Circuital de Ampère, 
determina que o campo magnético tem o rotacional diferente de 
zero. 
 
A última equação é importante para nosso raciocínio mas para 
que você perceba sua importância terei que buscar uma 
definição da álgebra vetorial: o rotacional de um gradiente é 
sempre zero. Ou seja, se existisse uma equação que associasse 
o campo magnético a uma função escalar por meio de um 
gradiente violaríamos a Lei Conservativa de Ampére para 
qualquer região do espaço onde uma corrente esteja presente. 
Vamos chamar esta equação de potencial magnético escalar de 
Vm então: 
 
Como vimos, anteriormente, podemos encontrar o vetor 
densidade de corrente J a partir do campo magnético: 
 
 
 
Substituindo o campo magnético pelo gradiente do escalar 
potencial magnético temos: 
 
E voltamos ao rotacional do gradiente de um escalar: ∇ × (-∇Vm). 
Ou seja, para qualquer região do espaço onde exista um 
potencial escalar magnético não pode existir corrente elétrica já 
que a densidade de corrente será zero. Ainda assim, o potencial 
magnético escalar Vm pode ser útil e é medido em ampères. 
Vamos agora definir o potencial magnético vetorial que será útil 
no entendimento de antenas, linhas de transmissão e blindagem 
eletromagnética. Este potencial magnético vetorial pode ser 
utilizado em qualquer região do espaço independentemente da 
existência de corrente nesta região. 
Para tanto, nada nos impede de definir um campo vetorial A, de 
tal forma que: 
 
Assim, nós atendemos a quarta equação de Maxwell, ∇ ⋅ B = 0 já 
que a divergência de um rotacional é zero. Neste momento 
você precisa lembrar que um campo vetorial qualquer pode ser 
definido apenas pela divergência e rotacional. Ou, em bom 
português, a divergência da densidade de fluxo magnético deve 
ser zero. E o campo magnético H pode ser encontrado por: 
 
 
A densidade de corrente J, criadora deste campo pode, então, 
ser encontrada por: 
 
Esta última equação mostra que uma vez que conheçamos o 
campo vetorial A, podemos encontrar a densidade de corrente 
fazendo o rotacional do rotacional do campo A. 
Para lembrar: o campo vetorial é definido pela determinação do 
rotacional e da divergência. Como o campo B, é uma grandeza 
física, o rotacional do campo A, também o será. Contudo, a 
divergência do vetor potencial não tem significado físico. 
Temos a liberdade de especificar sua divergência de acordo com 
a nossa necessidade. Esta liberdade de escolher um vetor 
potencial magnético A cujo rotacional será B e cuja divergência 
pode ser escolhida é chamada de gauge. O gauge mais popular 
é conhecido como gauge de Coulomb, que pode ser utilizado em 
qualquer situação e é dado por: ∇ ⋅ A = 0. 
Da mesma forma que definimos uma integral para o potencial 
escalar elétrico em relação a carga, podemos definir equações 
para a determinação do potencial magnético vetorial para 
distribuições de corrente diferentes (SADIKU, 2014). 
Distribuição linear de corrente 
 
 
 
 
 
 
Distribuição superficial de corrente 
 
Distribuição volumétrica de corrente 
 
A demonstração destas equações pode ser obtida tanto no livro 
do Hayt (HAYT e BUCK, 2012) quanto no livro do Sadiku 
(SADIKU, 2014). 
Acesse a versão online da aula e confira a o vídeo do professor 
tratando deste assunto que estudamos e conheça mais. 
 
 
NA PRÁTICA 
As equações de Maxwell já foram enunciadas ao longo das 
nossas aulas. Mas, quem foi esse tal de Maxwell? Sua sugestão 
de pesquisa para esta rota e justamente responder esta 
pergunta. Faça uma pesquisa sobre o sr. Maxwell. 
 Onde ele nasceu? 
 Onde trabalhou? 
 Com quantos anos desenvolveu estas equações? 
 E, mais importante de tudo, por quê elas são tão 
importantes? 
 
 SÍNTESE 
As correntes elétricas produzem, no espaço, um campo 
magnético que é perpendicular ao seu sentido, e obedece a 
regra da mão direita. Esta frase, de tão importante, deveria estar 
gravada em uma pedra de mármore na em cada aeroporto do 
planeta. Vimos como a geração do campo magnético ocorre e, 
para isso, fizemos nosso primeiro estudo de cargas em 
movimento. 
Durante sua vida profissional terá que trabalhar com correntes 
elétricas e campos, com vetores de potencial elétrico e 
magnético e, sempre será levado a consideraro sentido da 
corrente, da carga positiva para a carga negativa, e a regra da 
mão direita. 
No começo desta aula eu pedi que você considerasse o que 
aconteceria se uma correte atravessa-se um pouco de migalhas 
elétricas. Agora você já pode imaginar que estas migalhas serão 
orientadas e como elas serão orientadas. Se não, esta é uma 
boa oportunidade para rever a aula. 
A matemática ficou um pouco mais complicada. Rotacionais para 
cá, divergentes para lá. Nada que uma boa calculadora não 
resolva. Lembre-se sempre de que vocês serão engenheiros e 
que para nós a matemática é uma ferramenta. Aprenda a usar 
sua calculadora e tudo ficará mais simples. 
Nas próximas aulas veremos a aplicação do magnetismo, as 
forças e campos que fazem um motor rodar ou uma imagem de 
televisão ser transmitida pelo ar. Olhe para sua mão direita, retire 
os eixos x e y. É desta forma positiva que você está indo. 
Acesse a versão online da aula e assista à fala final do professor. 
 
 
 
 
 
Referências 
BAKSHI, U. A.; BAKSHI, A. V. Eletromagnetic Fields. Pune: 
Tchenical Publications Pune, 2000. 
CHISHOLM, H. Ohm, Georg Simon. In: ______ Encyclopædia 
Britannica Eleventh Edition. Cambridge: [s.n.], 1911. p. 34. 
EDMINISTER, J. A. Eletromagnetismo. [S.l.]: McGraw Hill, 
1979. 
HAYT, W.; BUCK, J. A. Eletromagnetism. 8. ed. Nova Iorque: 
McGrawHill, 2012. 
JOHN D. KRAUS, K. R. C. Eletromagnetismo. 2. ed. Rio de 
Janeiro: Guanabara, 1990. 
OPENSTAX - RICE UNIVERSITY. College Physics. Houston: 
Rice University, 2013. 
SADIKU, M. Elements of Electromagnetics. London: Oxford 
University Press, 2014. 
TAFLOVE, A. Why Study Electromagnetics: The First Unit in an 
Undergraduate Electromagnetics Course. Evanston: 2002. 
WIKIPEDIA CONTRIBUTORS. André-Marie Ampère. Wikipedia, 
The Free Encyclopedia, 2016. Disponível em: 
<https://en.wikipedia.org/wiki/Andr%C3%A9-
Marie_Amp%C3%A8re?oldformat=true>. Acesso em: 18 fev. 
2016.