MAT224 Lista 5 Otimização

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Disciplina: Cálculo II – MAT224 
Turma: ________________________ 
Professor: ___________________________ Data: _______________ 
 
Aluno: ______________________________________________________ 
 
 
Lista de exercícios 5 – Máximos e mínimos 
 
QUESTÃO 01. Determine os valores máximos, mínimos e os pontos de sela de cada função abaixo: 
 
a) 
2 2( , ) 9 2 4 4f x y x y x y    
 
b) 
2 2 2( , ) 4f x y x y x y   
 
c) 
2 2( , ) 1 2f x y xy x y   
 
d) 
( , ) 2f x y xy x y  
 
e) 2 2 8
( , )
x y x y
f x y
xy
 

 
f) 
( , ) cosxf x y e y
 
g) 
2 3 2 2( , ) 3 3 3 2f x y x y y x y    
 
 
QUESTÃO 02. Determine os valores máximo e mínimo absoluto de f no conjunto D. 
 
 a) 
( , ) 5 3 4 ,f x y x y  
 D é a região triangular fechada com vértices (0, 0), (4, 0) e (4, 5). 
 b) 
  2 2 2( , ) 4, , / 1, 1 .f x y x y x y D x y x y      
 
 c) 
( , ) 1 ,f x y xy x y   
 D é a região limitada pela parábola de equação 
2y x
 e a reta 
 
y 4.
 
 d) 
  3 4 2 2( , ) 2 y , , / 1 .f x y x D x y x y    
 
 
QUESTÃO 03. Resolva os problemas abaixo: 
 
a) Uma caixa de papelão sem tampa, deve ter um volume de 
332000cm .
 Determine as di-
mensões que minimizem a quantidade de papelão utilizado. 
 
b) Determine três números positivos cuja soma é 100 e cujo produto é máximo. 
c) Determine os pontos da superfície 
2z 1xy 
 que estão mais próximos da origem. 
d) Um disco tem a forma do círculo 
2 2 1.x y 
 Supondo que a temperatura nos pontos do 
disco é dada por 
  2 2, 2 ,T x y x x y  
 determinar os pontos mais quentes e mais frios do 
disco. 
e) Entre todos os triângulos de perímetro igual a 10 cm, encontrar o que tem maior área. 
 
 
2 
2 
f) Encontrar o ponto da esfera 
2 2 2 4x y z  
 mais próximo do ponto (3, 3, 3). 
 
g) Determinar o ponto P(x, y, z) do plano x +3y +2z = 6, cuja distância à origem seja míni-
ma. 
h) Determinar três números positivos cujo produto seja 100 e cuja soma seja mínima. 
 i) Determine o ponto do elipsoide 
2 2 24 1x y z  
 que maximiza a soma x + 2y +z. 
 j) Determine a menor distância entre o ponto P(1, 0, -2) e o plano x +2y +z =4. 
 
 
RESPOSTAS 
 
QUESTÃO 01. 
a) Máximo 
1
1, 11
2
f
 
  
 
 b) Mínimo 
(0,0) 4f 
 , ponto de sela 
 2, 1 
 c) 1 é valor máximo 
local em todos os pontos da forma (x, x). 
 
d) (1, 2) é ponto de sela e) Máximo 
1
,4 6
2
f
 
   
 
 f) Nenhum 
g) Máximo 
(0,0) 2f 
, Mínimo 
(0,2) 2,f  
 Ponto de sela 
( 1,1)
 
 
QUESTÃO 02. 
 
a) Máximo 
(4,5) 13,f 
 Mínimo 
(4,0) 7,f  
 
b) Máximo 
( 1,1) 7,f  
 Mínimo 
(0,0) 4f 
 
c) Máximo 
(2,4) 3,f 
 Mínimo 
( 2,4) 9f   
 
d) Máximo 
(1,0) 2,f 
 Mínimo 
( 1,0) 2f   
 
 
QUESTÃO 03. 
 
a) Base quadrada de lado 40cm e altura 20cm. 
b) 
100 100 100
, ,
3 3 3
 
c) (0, 0, 1), (0, 0, -1) 
d) 1 3 1
, , ,0
2 2 2
   
        
 
e) Triângulo equilátero de lados 
10
.
3
cm
 
f) 2 3 2 3 2 3
, ,
3 3 3
 
  
 
 
g) 
3 9 6
, ,
7 7 7
 
 
 
 
h) 
3 3 3100, 100, 100
 
i) 
1 1 1
, ,
3 2 3 3
 
 
 
 
j) 5 6
6
 
 
 
 
3 
3