(Gabarito) Exercícios - Semana 5

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Universidade de Brasília
Departamento de Matemática
Cálculo 3 -D
Exercícios – Semana 5
Máximos e mínimos e Multiplicadores de Lagrange
Questão 1. Encontre a distância mínima entre o ponto (2,−1, 1) e o plano x+y−z = 2.
Questão 2. Você construirá uma caixa retangular aberta a partir de 12 pés2 de material.
Quais dimensões resultarão em uma caixa de máximo volume?
Questão 3. Considere a função f(x, y) = x2 + y2 + 2xy − x − y + 1 sobre o quadrado
0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ 1.
a) Mostre que f tem um mínimo absoluto ao longo do segmento de reta 2x+2y = 1 nesse
quadrado. Qual o valor mínimo absoluto?
b) Encontre o valor máximo absoluto de f sobre o quadrado.
Questão 4. Suponha que T (x, y) = 4 − x2 − y2 represente uma distribuição de tempe-
ratura no plano. Seja A = {(x, y) ∈ R; x ≥ 0, y ≥ x e 2y + x ≤ 4}. Determine o ponto de
A de menor temperatura.
Questão 5. Determine os pontos críticos das funções abaixo e classifique-os:
a) f(x, y) = x3y3
b) f(x, y) = y4 + 4x2y − 4x2 − 8y2
c) z = xye−x2−y2
d) z = ln (3x2 + 4y2 − 2x+ 7)
Questão 6. (Ponto mais quente em uma sonda espacial) Uma sonda espacial no
formato do elipsoide
4x2 + y2 + 4z2 = 16
entra na atmosfera terrestre e sua superfície começa a se aquecer. Depois de 1 hora, a
temperatura no ponto (x, y, z) na superfície da sonda é
T (x, y, z) = 8x2 + 4yz − 16z + 600.
Encontre o ponto mais quente na superfície da sonda.
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Questão 7. (Tanque de armazenamento mais barato) Sua empresa foi solicitada
a projetar um tanque de armazenamento para gás liquefeito de petróleo. As especificações
do cliente exigem um tanque cilíndrico com extremidades hemisféricas, e o tanque deve ter
capacidade para 8.000 m3 de gás. O cliente deseja também utilizar a menor quantidade
possível de material na fabricação do tanque. Qual raio e qual altura você recomenda para
a parte cilíndrica do tanque?
Questão 8. Determine a superfície de nível da função f(x, y, z) = x2+ y2+2z2 que seja
tangente ao plano x+ 2y + 3z = 4. Qual o ponto de tangência?
Questão 9. (Média aritmética e média geométrica)
a) Seja f(x, y, z) = xyz e c > 0. Encontre o valor máximo de f sobre
{(x, y, z) ∈ R3; x+ y + z = c, y > 0, z > 0}.
b) Use o item anterior para concluir que a média geométrica de três números positivos é
menor do que ou igual à média aritmética, isto é,
3
√
xyz ≤ x+ y + z
3
,
para quaisquer x > 0, y > 0 e z > 0.
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Gabarito
Questão 1. A distância mínima é atingida no ponto (8/3,−1/3, 1/3) e a distância
mínima é 2
√
3/3.
Questão 2. Altura = 1 pé; largura e profundidade = 2 pés.
Questão 3. a) O valor mínimo é 3/4. b) Valor máximo global atingido em (1, 1). Este
valor é f(1, 1) = 3.
Questão 4. O ponto de A de menor temperatura é (4, 0)
Questão 5.
a) (0, t) e (t, 0) com t ∈ R pontos de sela.
b) (0, 0) ponto de máximo, (0, 2) ponto de mínimo, (0,−2), (
√
3, 1), (−
√
3, 1) pontos de
sela.
c) (0, 0) ponto de sela, ±(1/
√
2, 1/
√
2) pontos de máximo, ±(−1/
√
2, 1/
√
2) pontos de
mínimo
Questão 6. (±4/3, 4/3, 4/3) são os pontos mais quente da superfície da sonda.
Questão 7. Altura = 0, raio =
√
6000/π.
Questão 8. Superfície de nível 32/19: x2 + y2 + 2z2 = 32/19. Ponto de tangência:
(8/19, 16/19, 12/19).
Questão 9. a) O máximo de f restrito ao conjunto B = {(x, y, z) ∈ R3; x + y + z =
c, y > 0, z > 0} ocorre no ponto (c/3, c/3, c/3). O valor máximo é c3/27.
b) Como c3/27 é o valor máximo de f em B, temos que
f(x, y, z) ≤ f(c/3, c/3, c/3), para todo (x, y, z) ∈ B.
Em particular vale para todos x > 0, y > 0, z > 0. Daí:
xyz ≤ c
3
27
=
(
x+ y + z
3
)3
.
De onde segue a desigualdade.
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