GABARITO Modelagem

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA 
CAMPUS DE RIO PARANAÍBA 
Universidade Federal de Viçosa - Campus de Rio Paranaíba - Rodovia BR 354, km 310 - Rio Paranaíba, MG – Brasil CEP 38.810-000 
Curso: Administração 
Disciplina: Modelagem para Suporte à Tomada de Decisão 
Professora: Rosália Rodrigues Alves Soares 
Nome/ Matrícula: ________________________________________________________________ 
 
Lista de Exercício 1 - GABARITO 
 
 
1)Um empreendedor decidiu comercializar barcos. Depois de empregar alguns trabalhadores e 
de descobrir os preços aos quais venderia os modelos, chegou as seguintes observações: cada 
modelo comum (A) rende um lucro de R$ 520,00, e cada modelo rápido (B) rende um lucro de 
R$ 450,00. Um modelo comum requer 40 horas para ser construído e 24 horas para o 
acabamento. Cada modelo rápido requer 25 horas para construção e 30 horas para o 
acabamento. Este empreendedor dispõe de 400 horas de trabalho por mês para a construção e 
360 horas para o acabamento. 
 
Max Z= 520x+450y 
S.A.= 40x+25y<=400 construção 
24x+30y<=360 acabamento 
x,y>= 0 
 
a) Quanto deve produzir de cada um dos modelos de maneira a maximizar o lucro. 
 
1= 40x+25y=400 2= 24x+30y=360 
Se x=0 y=16 Se x=0 y=12 
Se y=0 x=10 Se y=0 x=15 
 (10,16) (15,12) 
 
 
 
Z= 520x+450y 
A (0,0) Z=0 
 
B(0,12) Z=5400 
C(5,8) Z=6200 
D(10,0) Z=5200 
 
Deve-se produzir 5 do modelo comum (A) e 8 do modelo rápido (B) para obter um lucro máximo de 
R$6200,00. 
 
b) Determine os preços duais de disponibilidade de construção e acabamento bem como suas 
faixas de viabilidade. 
 
Preço dual de construção = R$8,00 
Faixa de viabilidade de construção = 300 <= construção <= 600 
 
Preço dual de acabamento = R$8,33 
Faixa de viabilidade de acabamento = 240 <= acabamento <= 480 
 
c) Suponha que o empreendedor consiga aumentar o tempo de trabalho para construção em 50 
horas adicionais ao custo de R$20,00 a hora. Você recomendaria? 
 
O aumento de 50 horas em construção é viável, pois 450 horas está dentro da faixa de viabilidade, 
porém, R$20,00 está acima do lucro por cada unidade vendida. Ou seja, a mudança não é 
recomendável. 
 
d) Qual é o valor máximo que a empresa deve pagar por hora de construção? 
 
A empresa pode pagar por cada hora de construção, no máximo, R$8,00, que é o seu preço dual. 
 
e) Determine a receita ótima se a disponibilidade de horas para acabamento for aumentada em 
30 horas. 
 
30x8,33= 250 
250+6200= 6450 
A nova receita ótima é de R$6450,00. 
 
f) Determine a condição de otimalidade para C1/C2 que manterá a solução ótima inalterada. 
 
40/25= 1,60 
24/30= 0,80 
 
0,80 <= C1/C2 <= 1,60 
 
g) Determine as faixas de otimalidade para C1 e C2 considerando que o outro coeficiente é 
mantido constante em seu valor atual. 
 
520/C2= 0,80 325 <= C2 <= 650 
C2= 650 
 
520/C2= 1,60 
C2= 325 
 
C1/450= 0,80 360 <= C1 <= 720 
C1= 360 
 
 
C1/450= 1,6 
C1= 720 
 
h) Se as receitas unitárias C1 e C2 forem alteradas de maneira simultânea para R$530 e R$460 
respectivamente, determine a nova solução ótima. 
 
530/450= 1,15 
 
1,15 está dentro da faixa de otimalidade. Então, (530x5) + (460x8)= 6330. 
A nova solução ótima será R$6330,00. 
 
i) Se as alterações acima (letra h) forem feitas uma por vez, o que podemos dizer sobre a solução 
ótima? 
 
530 está dentro da faixa de C1. 
460 está dentro da faixa de C2. 
 
Então, (530x5)+(450x8)= 6250,00. 
(520x5)+(460x8)= 6280,00. 
 
2) A empresa de artigos de couro Pele de Mimosa fabrica dois tipos de produtos: malas e 
mochilas. As malas são vendidas com um lucro de R$ 50,00 por unidade e o lucro unitário por 
mochila é igual a R$ 40,00. As quantidades de horas necessárias para confeccionar cada 
produto, assim como o número total de horas disponíveis em cada departamento são 
apresentados na tabela a seguir. 
 
Departamento Capacidade por 
Departamento (Horas por 
dia) 
Horas Necessárias 
Mala Mochila 
1 – Corte 300 2 0 
2 – Tingimento 540 0 3 
3 - Costura 440 2 2 
4 – Embalagem 300 6/5 3/2 
 
 Sabendo que há uma demanda excedente tanto de malas quanto de mochilas, determine 
quantas unidades de cada produto a Pele Mimosa deve fabricar diariamente para 
maximizar o seu lucro. 
 
Máx Z= 50x+40y 
S.a.= 2x<= 300 corte 
3y<= 540 tingimento 
2x+2y<= 440 costura 
6/5x+3/2y<= 300 embalagem 
x,y>= 0 
 
1= x=150 2= y=180 3= Se x=0 y=220 4= Se x=0 y=200 
 Se y=0 x=220 Se y=0 x=250 
 (220,220) (250,200) 
 
 
 
 
Z= 50x+40y 
A (0,0) Z=0 
B (0,180) Z=7200 
C (25,180) Z= 8450 
D (100,120) Z=9800 
E (150,70) Z= 10300 
F (150,0) Z=7500 
 
A empresa Pele de Mimosa deve produzir 150 malas e 70 mochilas para atingir o lucro máximo de 
R$10300,00. 
 
 Se temos a informação de que a empresa produz diariamente 120 unidades de malas e 
30 unidades de mochilas, de quanto o planejamento ótimo aumenta o lucro em relação 
ao existente? 
 
(50x120)+(40x30)= 7200 
10300-7200= 3100. 
 
Se a empresa seguir o planejamento ótimo, ela aumentará o lucro em R$3100,00. 
 
3) Quatro tipos de alimentos estão disponíveis na elaboração da merenda de um grupo de 
crianças: biscoito de chocolate, sorvete, refrigerante e torta de queijo. A composição desses 
alimentos e seus preços são: 
 
Alimento 
(porção) 
Calorias Chocolate 
(g) 
Açúcar 
(g) 
Gordura 
(g) 
Preço 
(R$/porção) 
Biscoito 400 3 2 2 0,50 
Sorvete 200 2 2 4 0,20 
Refrigerante 150 0 4 1 0,30 
Torta de 
Queijo 
500 0 4 5 0,80 
 
As crianças devem ingerir pelo menos 500 calorias, 6 g de chocolate, 10 g de açúcar, e 8 g de 
gordura. Formule um modelo para que o custo seja minimizado 
 
Min Z= 0,50x1+0,20x2+0,30x3+0,80x4 
s.a.= 400x1+200x2+150x3+500x4>= 500 calorias 
3x1+2x2>= 6g 
2x1+2x2+4x3+4x4>= 10g 
2x1+4x2+1x3+5x4>= 8g 
x1,x2,x3,x4>= 0 
 
4) O dono de um aviário precisa fabricar uma ração especial para as suas aves, de forma a 
atender diversas exigências alimentares. A produção desejada dessa ração é de no mínimo 90 
Kg, e a mistura deve ser formada por dois ingredientes básicos: milho e farelo de arroz, que 
custam R$0,90 e R$0,30 por Kg respectivamente. Além disso, sabe-se que a ração precisa ter 
pelo menos 7% de proteína e 3% de fibra na sua composição, de forma a atender às 
necessidades das aves. A tabela mostra a composição porcentual de fibra e proteína do milho e 
do farelo de arroz. Formule um modelo de Programação Linear para atender às necessidades 
diárias a um custo mínimo. 
 
Ingredientes Proteína Fibra 
Milho 9% 2% 
Farelo de Arroz 5% 6% 
 
máx z= 0,90x1+0,30x2 
s.a.= 0,09x1+0,05x2>= 0,07 proteína 
0,02x1+0,06x2>= 0,03 fibra 
x1,x2>= 0 
 
5) Uma empresa responsável pelo abastecimento semanal de um certo produto ao Rio de 
Janeiro e a São Paulo, pretende estabelecer um plano de distribuição do produto a partir dos 
centros produtores situados em Belo Horizonte, Ribeirão Preto e Campos. As quantidades 
semanalmente disponíveis em Belo Horizonte, Ribeirão Preto e Campos são 70, 130 e 120 
toneladas respectivamente. O consumo semanal deste produto é de 180 toneladas no Rio e 140 
toneladas em São Paulo. Os custos de transporte, em $/ton, de cada centro produtor para cada 
centro consumidor está dado abaixo: 
 
Centro 
Consumidor/ 
Fábrica 
Rio de Janeiro 
(1) 
São Paulo 
(2) 
 
 
Capacidade 
produtiva 
Belo Horizonte (1) 13 25 70 
Ribeirão Preto (2) 25 16 130 
Campos (3) 15 40 120 
Demanda 180 140 
 
Considerando que o objetivo da empresa é minimizar seu custo total de transporte, quetoda 
capacidade produtiva deve ser escoada e todo a demanda atendida, formule um modelo de 
Programação Linear para o problema. 
 
min z= 13x11+25x21+15x31+25x12+16x22+40x32 
s.a.= x11+x12= 70 toneladas 
x21+x22= 130 toneladas 
x31+x32= 120 toneladas 
x11+x21+x31= 180 toneladas 
x12+x22+x32= 140 toneladas 
 
x11,x21,x31,x12,x22,x32>= 0 
 
6) Certa empresa fabrica dois produtos, bolas de futebol (P1) e bolas de vôlei (P2). O lucro por 
unidade de P1 é de R$100,00 e o lucro unitário de P2 é de R$150,00. A empresa necessita de 2 
horas para fabricar uma unidade de P1 e 3 horas para fabricar uma unidade de P2. O tempo 
mensal disponível para essas atividades é de 120 horas. As demandas esperadas para os dois 
produtos levaram a empresa a decidir que os montantes produzidos de P1 e P2 não devem 
ultrapassar 40 unidades de P1 e 30 unidades de P2 por mês. Construa o modelo do sistema de 
produção mensal com o objetivo de maximizar o lucro da empresa e resolva pelo método 
gráfico. 
 
Máx Z= 100x+150y 
S.A.= 2x+3y<= 120 horas 
x<= 40 unidades 
y<= 30 unidades 
x,y>=0 
 
1= Se x=0 y=40 2= x=40 3= y=30 
Se y=0 x=60 
 
 
 
Z= 100x+150y 
A (0,0) Z= 0 
B (0,30) Z= 3500 
C (15,30) Z= 6000 
D (40, 40/3) Z= 6000 
F (0,40) Z= 6000 
 
A empresa deve produzir 15 bolas de futebol (P1) e 30 bolas de vôlei (P2) para obter o maior lucro 
de R$6000,00. 
 
 
7) Encontre a solução ótima dos modelos pelo método gráfico 
 
a)Min Z = 4x1 + 5x2 
Suj.a 
 2x1 + 5x2 <= 10 
 
 3x1 + x2 >= 6 
 x1, x2 >= 0 
 
1= Se x1=0 x2= 2 2= Se x1=0 x2=6 
Se x2=0 x1=5 Se x2=0 x1=2 
 (5,2) (2,6) 
 
 
 
 
Z= 4x1+5x2 
A (2,0) Z= 8 
B (20/13,18/13) Z= 13,0769 
C (5,0) Z= 20 
 
Deve-se produzir 2 do x1 e 0 do x2 para minimizar o Z= R$8,00. 
 
 
b) Max Z = 4x1 + 2x2 
Suj. a 
 x1 + x2 >= 4 
 2x1+ 3x2 <= 14 
 x1, x2 >= 0 
 
1= Se x1=0 x2=4 2= Se x1=0 x2=14/3 
Se x2=0 x1=4 Se x2=0 x1=7 
 
 
 
 
 
Z= 4x1+2x2 
A (0,4) Z= 8 
B (0, 14/3) Z= 9,33 
C (4,0) Z= 16 
D (7,0) Z= 28 
 
Deve-se produzir 7 de x1 e 0 de x2 para maximizar o Z= R$28,00. 
 
 
8) A Empresa Tic Tac Brinquedos produz bonecas e carrinhos. A produção de uma boneca 
consome 2 horas do equipamento A e 4 horas do B. Para carrinho as necessidades são de 3 e 1 
hora para os equipamentos A e B. Os equipamentos A e B tem 3 e 4 horas de capacidade 
disponível respectivamente. Cada boneca é vendida a R$ 4,10 e tem um custo de R$ 3,85, e cada 
carrinho a R$3,50, com custo de R$ 3,07. Quantas unidades de cada um dos brinquedos devem 
ser produzidos para que o maximize o seu lucro? (Formule o modelo e resolva pelo método 
gráfico) 
 
Máx Z= 0,25x+0,43y 
S.A.= 2x+3y<= 3 equipamento A 
4x+1y<= 4 equipamento B 
x,y>= 0 
 
1= Se x=0 y=1 2= Se x=0 y=4 
Se y=0 x=3/2 Se y=0 x=1 
 
 
 
 
 
Z= 0,25x+0,43y 
A (0,0) Z=0 
B (0,1) Z= 0,43 
C (18/20,2/5) Z= 0,397 
D (1,0) Z= 0,25 
 
A empresa Tic Tac Brinquedos deve produzir 0 bonecas e 1 carrinho para maximizar seu lucro em 
R$0,43. 
 
9) O que é e em que consiste a prática da Pesquisa Operacional? Qual a sua importância para 
a administração? 
 
A pesquisa operacional é o campo de estudos em que são aplicados métodos analíticos para ajudar os 
executivos a tomarem melhores decisões. Consiste em construir um modelo de um sistema real 
existente como meio de analisar e compreender o comportamento desta situação, com o objetivo de 
leva-lo a apresentar o desempenho que se deseja. 
 
 
10) Uma rede de depósitos de material de construção tem 4 lojas que devem ser abastecidas com 
50 m3 (loja 1), 80 m3 (loja 2), 40 m3 (loja 3) e 100 m3 (loja 4) de areia grossa. Essa areia pode 
ser carregada em 3 pontos P1, P2 e P3, cujas distâncias estão no quadro (em km): 
 
 L1 L2 L3 L4 
P1 30 20 24 18 
P2 12 36 30 24 
P3 8 15 25 20 
 
O caminhão pode transportar 10 m3 por viagem. Os pontos têm areia para suprir qualquer 
demanda. Estabelecer um plano de transporte que minimize a distância total percorrida entre 
os pontos e as lojas e supra as necessidades das lojas. Construa o modelo linear do problema. 
 
Min Z= 30x11+20x12+24x13+18x14+12x21+36x22+30x23+24x24+8x31+15x32+25x33+20x34 
S.A.= x11+x21+x31<= 5 viagens 
x12+x22+x32<= 8 viagens 
 
x13+x23+x33<= 4 viagens 
x14+x24+x34<= 10 viagens 
x11,x12,x13,x14,x21,x22,x23,x24,x31,x32,x33,x34>= 0 
 
 
 
11.Uma empresa tem 3 fábricas que produzem um determinado produto. A capacidade de 
produção mensal das 3 fábricas é de 6, 1 e 10 unidades respectivamente. A empresa tem 4 
armazéns de vendas que vendem mensalmente 7, 5, 3 e 2 unidades do produto respectivamente. 
O custo de transportar 1 unidade de cada fábrica para cada armazém está dado na tabela 
abaixo: 
 
Fábrica Armazém 
1 2 3 4 
1 2 3 11 7 
2 1 0 6 1 
3 5 8 15 9 
 
O objetivo da Empresa é atender as necessidades dos armazéns com a produção das fábricas, 
com o menor custo total. 
 
Min Z= 2x11+1x21+5x31+3x12+0x22+8x32+11x13+6x23+15x33+7x14+1x24+9x34 
S.A= x11+x12+x13+x14<= 6 unidades 
x21+x22+x23+x24<= 1 unidades 
x31+x32+x33+x34<= 10 unidades 
x11+x21+x31= 7 unidades 
x12+x22+x32= 5 unidades 
x13+x23+x33= 3 unidades 
x14+x24+x34= 2 unidades 
x11,x21,x31,x12,x22,x32,x13,x23,x33,x14,x24,x34>= 0 
 
12. Uma empresa produz dois produtos, A e B. As receitas unitárias são R$ 2 e R$3, 
respectivamente. A disponibilidade de duas matérias-primas, M1 e M2, usadas na fabricação 
dos dois produtos é de 8 e 18 unidades. Uma unidade de A usa duas de M1 e duas unidades de 
M2, e uma unidade de B usa três unidades de M1 e 6 unidades de M2. 
 
a) Determine os preços duais de M1 e M2 bem como suas faixas de viabilidade 
 
Máx Z= 2x+3y 
S.A.= 2x+3y<= 8 unidades 
2x+6y<= 18 unidades 
x,y>= 0 
 
1= Se x=0 y= 8/3 2= Se x=0 y=3 
Se y=0 x=4 Se y=0 x=9 
 
 
 
 
Z= 2x+3y 
A (0,0) Z= 0 
B (0,8/3) Z= 8 
C (4,0) Z= 8 
 
Deve-se produzir 4 produtos A e 0 produtos B para maximizar o lucro em R$8,00. 
 
Preço dual de M1= R$1,00 
Faixa de viabilidade de M1= 0 <= M1 <= 9 
 
Preço dual de M2= R$0,00 
Faixa de viabilidade de M2= 16 <= M2 <= ∞ 
 
 
b) Suponha que quatro unidades adicionais de M1 podem ser adquiridas ao custo de 30 
centavos por unidade. Você recomendaria essa compra adicional? 
 
Olhando o preço, a oportunidade vale a pena, pois pagará apenas R$0,30 e receberá R$1,00 a cada 
unidade adicional. Mas aumentar 4 unidades, iria para 12 unidades e só é permitido aumentar 1 uni-
dade conforme a faixa de viabilidade. 
 
c) Qual é o valor máximo que a empresa deve pagar por unidade de M1? 
 
A empresa pode pagar no máximo R$1,00 por unidade adicional. 
 
d) Determine a receita ótima se a disponibilidade de M2 for aumentada em cinco unidades. 
 
A disponibilidade de M2 pode ser aumentada infinitamente, conforme a faixa de viabilidade, mas 
como o preço dual de M2 é R$0,00, a solução ótima não será afetada. 
 
e) Determine a condição de otimalidade para C1/C2 que manterá a solução ótima inalte-
rada. 
 
2/3= 0,66 Condições de otimalidade = 0,33 <= C1/C2 <= 0,66 
2/6= 0,33 
 
f) Determine as faixas de otimalidade para C1 e C2 considerando que o outro coeficiente é 
mantido constante em seu valor atual. 
 
C1/3=2/3 C1/3=2/6 1 <= C1 <= 2 
C1= 2 C1= 1 
 
2/C2=2/3 2/C2=2/6 3 <= C2 <= 6 
C2=3 C2=6 
 
g) Se as receitas unitárias C1 e C2 forem alteradas de maneira simultânea para R$5 e R$4, 
respectivamente, determine a nova solução ótima. 
 
5/4= 1,25 
1,25 não está dentro das condiçõesde otimalidade, então não pode ser feito essa alteração. 
 
h) Se as alterações acima ( letra g) forem feitas uma por vez, o que podemos dizer sobre a 
solução ótima? 
 
R$5,00 não está dentro da faixa de C1, então não pode ser alterado. 
R$4,00 está dentro da faixa de C2, então a solução fica= (2x4)+(4x0)= R$8,00.