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6.3 - Func¸a˜o Degrau Unita´rio Func¸a˜o Degrau Unita´rio Universidade Tecnolo´gica Federal do Parana´ Caˆmpus Francisco Beltra˜o Disciplina: Ca´lculo Diferencial e Integral 4A Prof. Dr. Jonas Joacir Radtke Universidade Tecnolo´gica Federal do Parana´ Ca´lculo Diferencial e Integral 4A 6.3 - Func¸a˜o Degrau Unita´rio Definic¸a˜o A func¸a˜o degrau unita´rio ou func¸a˜o Heaviside u(t − a) e´ 0 para t < a, apresenta um salto de tamanho 1 em t = a e vale 1 para t > a, como na fo´rmula u(t − a) = { 0 se t < a 1 se t > a (1) A transformada de u(t − a) decorre diretamente da definic¸a˜o L {u(t− a)} = ∫ ∞ 0 e−stu(t− a) dt = ∫ ∞ a e−st ·1 dt = −e −st s ∣∣∣∣∞ t=a Logo, L {u(t − a)} = e −as s Universidade Tecnolo´gica Federal do Parana´ Ca´lculo Diferencial e Integral 4A 6.3 - Func¸a˜o Degrau Unita´rio Universidade Tecnolo´gica Federal do Parana´ Ca´lculo Diferencial e Integral 4A 6.3 - Func¸a˜o Degrau Unita´rio Exemplo Esboce o gra´fico das seguintes func¸o˜es: (a) u(t) (b) u(t − 2) (c) u(t − 4) (d) u(t − 2)− u(t − 4) (e) t[u(t − 2)] (f) t2[u(t − 1)] (g) cost[u(t − pi)− u(t − 2pi)] Universidade Tecnolo´gica Federal do Parana´ Ca´lculo Diferencial e Integral 4A 6.3 - Func¸a˜o Degrau Unita´rio Universidade Tecnolo´gica Federal do Parana´ Ca´lculo Diferencial e Integral 4A 6.3 - Func¸a˜o Degrau Unita´rio Teorema: Segundo Teorema do Desvio - Desvio no Tempo Se f (t) tiver a transformada F (s), enta˜o a “func¸a˜o desviada” f˜ (t) = f (t − a)u(t − a) = { 0 se t < a f (t − a) se t > a (2) possui a transformada e−asF (s). Ou seja, se L {f (t)} = F (s), enta˜o L {f (t − a)u(t − a)} = e−asF (s) (3) Ou, invertendo ambos os lados, podemos escrever L −1{e−asF (s)} = f (t − a)u(t − a) (4) Em termos pra´ticos, se conhecermos F (s), podemos obter a transformada de (2) multiplicando F (s) por e−as . Universidade Tecnolo´gica Federal do Parana´ Ca´lculo Diferencial e Integral 4A 6.3 - Func¸a˜o Degrau Unita´rio Exemplo Escreva a seguinte func¸a˜o usando func¸o˜es degrau unita´rio e encontre a sua transformada. f (t) = 2 se 0 ≤ t ≤ 1 0,5t2 se 1 ≤ t ≤ 0,5pi cos t se t > 0,5pi L {f (t)u(t − a)} = e−asL {f (t + a)} (5) Universidade Tecnolo´gica Federal do Parana´ Ca´lculo Diferencial e Integral 4A 6.3 - Func¸a˜o Degrau Unita´rio Exemplo Encontre a transformada inversa f (t) de F (s) = e−s s2 + pi2 + e−2s s2 + pi2 + e−3s (s + 2)2 Universidade Tecnolo´gica Federal do Parana´ Ca´lculo Diferencial e Integral 4A 6.3 - Func¸a˜o Degrau Unita´rio Exemplo Calcule o valor da corrente i(t) no circuito RC da figura abaixo quando e´ aplicada a ele uma onda retangular u´nica de tensa˜o V0. Supo˜e-se que o circuito estava em repouso antes da onda ser aplicada. R i(t) + 1 C ∫ t 0 i(τ) dτ = v(t) Universidade Tecnolo´gica Federal do Parana´ Ca´lculo Diferencial e Integral 4A 6.3 - Func¸a˜o Degrau Unita´rio Exerc´ıcio Fac¸a um esboc¸o ou gra´fico da func¸a˜o dada (que se supo˜e ser nula fora do intervalo fornecido). Represente-a usando func¸o˜es degrau unita´rio. Encontre sua transformada. 2. t (0 < t < 1) 3. et (0 < t < 2) 4. sen 3t (0 < t < pi) 5. t2 (1 < t < 2) 6. t2 (t > 3) 7. cospit (1 < t < 4) 8. 1− e−t (0 < t < pi) 9. t (5 < t < 10) 10. senωt (t > 6pi/ω) 11. 20 cospit (3 < t < 6) 12. senh t (0 < t < 2) 13. epit (2 < t < 4) Universidade Tecnolo´gica Federal do Parana´ Ca´lculo Diferencial e Integral 4A 6.3 - Func¸a˜o Degrau Unita´rio Exerc´ıcio Usando o segundo teorema do desvio, encontre e fac¸a um esboc¸o ou gra´fico de f (t) se L (f ) for igual a: 14. L (f ) = se−s/(s2 + ω2) 15. L (f ) = e−4s/s2 16. L (f ) = s−2 − (s−2 + s−1)e−s 17. L (f ) = (e−2pis − e−8pis)/(s2 + 1) 18. L (f ) = e−pis/(s2 + 2s + 2) 19. L (f ) = e−2s/s5 20. L (f ) = (1− e−s+k)/(s − k) 21. L (f ) = se−3s/(s2 − 4) 22. L (f ) = 2,5(e−2,6s − e−3,8s)/s Universidade Tecnolo´gica Federal do Parana´ Ca´lculo Diferencial e Integral 4A 6.3 - Func¸a˜o Degrau Unita´rio Exerc´ıcio Resolva os seguintes problemas de valor inicial usando a transformada de Laplace: 27. y ′′ + 9y = r(t), r(t) = 8 sen t se 0 < t < pi e 0 se t > pi y(0) = 0, y ′(0) = 4 28. y ′′ + 3y ′ + 2y = r(t), r(t) = 1 se 0 < t < 1 e 0 se t > 1 y(0) = 0, y ′(0) = 0 29. y ′′ + y = r(t), r(t) = t se 0 < t < 1 e 0 se t > 1, y(0) = 0, y ′(0) = 0 30. y ′′ − 16y = r(t), r(t) = 48e2t se 0 < t < 4 e 0 se t > 4 y(0) = 3, y ′(0) = −4 31. y ′′ + y ′ − 2y = r(t), r(t) = 3 sen t − cos t se 0 < t < 2pi e 3 sen 2t − cos 2t se t > 2pi y(0) = 1, y ′(0) = 0 32. y ′′ + 8y ′ + 15y = r(t), r(t) = 35e2t se 0 < t < 2 e 0 se t > 2 y(0) = 3, y ′(0) = −8 33. y ′′ + 4y = r(t), r(t) = 8t2 se 0 < t < 5 e 0 se t > 5 y(1) = 1, y ′(1) = 4− 2 sen 2 34. y ′′ + 2y ′ + 5y = r(t), r(t) = 10 sen t se 0 < t < 2pi e 0 se t > 2pi y(pi) = 1, y ′(pi) = 2e−pi − 2 Universidade Tecnolo´gica Federal do Parana´ Ca´lculo Diferencial e Integral 4A 6.3 - Func¸a˜o Degrau Unita´rio Exerc´ıcio Usando a transformada de Laplace, encontre a corrente i(t) no circuito RC mostrado na figura abaixo, com R = 10Ω e C = 10−2F , onde se supo˜e que, em t = 0, a corrente seja nula e: 36. v(t) = 100 V se 0,5 < t < 0,6 e 0 nos demais instantes 37. v = 0 se t < 2 e 100(t − 2) V se t > 2 38. v = 0 se t < 4 e 14 · 106e−3t V se t > 4 R i(t) + 1 C ∫ t 0 i(τ) dτ = v(t) Universidade Tecnolo´gica Federal do Parana´ Ca´lculo Diferencial e Integral 4A 6.3 - Func¸a˜o Degrau Unita´rio Exerc´ıcio Usando a transformada de Laplace, encontre a corrente i(t) no circuito RL da figura abaixo, supondo que i(0) = 0 e que: 39. R = 10 Ω, L = 0,5 H, v = 200t V se 0 < t < 2 e 0 se t > 2 40. R = 1 kΩ, L = 1 H, v = 0 se 0 < t < pi e 40 sen t V e 0 se t > pi 41. R = 25 Ω, L = 0,1 H, v = 490e−5t V se 0 < t < 1 e 0 se t > 1 L i ′(t) + Ri(t) = v(t) ??? Universidade Tecnolo´gica Federal do Parana´ Ca´lculo Diferencial e Integral 4A 6.3 - Func¸a˜o Degrau Unita´rio Exerc´ıcio Usando a transformada de Laplace, encontre a corrente i(t) no circuito LC da figura abaixo, supondo que inicialmente, a carga no capacitor e a corrente sejam nulas e que: 42. L = 1 H, C = 0,25 F , v = 200(t − t3/3) V se 0 < t < 1 e 0 se t > 1 43. L = 1 H, C = 10−2 F , v = −9900 cot t V se pi < t < 3pi e 0 em outros instantes 44. L = 0,5 H, C = 0,05 F , v = 78 sen t V se 0 < t < pi e 0 se t > pi Universidade Tecnolo´gica Federal do Parana´ Ca´lculo Diferencial e Integral 4A 6.3 - Func¸a˜o Degrau Unita´rio Exerc´ıcio Usando a transformada de Laplace, encontre a corrente i(t) no circuito RLC da figura abaixo, supondo que a corrente e a carga iniciais sejam nulas e que: 45. R = 2 Ω, L = 1 H, C = 0,5 F , v(t) = 1 kV se 0 < t < 2 e 0 de t > 2 46. R = 4 Ω, L = 1 H, C = 0,05 F , v(t) = 34e−t V se 0 < t < 4 e 0 de t > 4 47. R = 2 Ω, L = 1 H, C = 0,1 F , v(t) = 255 sen t V se 0 < t < 2pi e 0 de t > 2pi L i ′(t)+R i(t)+ 1 C ∫ t 0 i(τ) dτ = v(t) Universidade Tecnolo´gica Federal do Parana´ Ca´lculo Diferencial e Integral 4A 6.3 - Func¸a˜o Degrau Unita´rio Respostas: 2. 3. 1− e2−2s s − 1 4. 5. ( 2 s3 + 2 s2 + 1 s ) e−s − ( 2 s3 + 4 s2 + 4 s ) e−2s 6. 7. s s2 + pi2 (−e−s − e−4s) 8. 9. ( 1 s2 + 5 s ) e−5s − ( 1 s2 + 10 s ) e−10s 10. 11. −20s s2 + pi2 (e−3s + e−6s) 12. Universidade Tecnolo´gica Federal do Parana´ Ca´lculo Diferencial e Integral 4A 6.3 - Func¸a˜o Degrau Unita´rio Respostas: 13. 1 s − pi (e −2s+2pi − e−4s+4pi) 14. 15. (t − 4)u(t − 4) 16. 17. sen t[u(t − 2pi)− u(t − 8pi)] 18. 19. (t − 2)4 24 u(t − 2) 20. 21. cosh(2t − 6)u(t − 3) 22.27. sen (3t) + sen t + 1 3 sen (3t)u(t − pi) 28. 29. t − sen t + [cos(t − 1) + sen (t − 1)− t]u(t − 1) 30. Universidade Tecnolo´gica Federal do Parana´ Ca´lculo Diferencial e Integral 4A 6.3 - Func¸a˜o Degrau Unita´rio Respostas: 31. et − sen t + [ sen t − 0,5 sen (2t)]u(t − 2pi) 32. 33. cos(2t)+2t2−1+[49 cos(2t−10)+10 sen (2t−10)−2t2+1]u(t−5) 34. 36. 37. [1− e−10(t−2)]u(t − 2) 38. 39. i = e−20t + 20t − 1 + [−20t + 1 + 39e−20(t−2)]u(t − 2) 40. 41. i = 20(e−5t − e−250t) + 20[e−5t + e−250t+245]u(t − 1) 42. 43. i = [10 sen 10t + 100 sen t][u(t − pi)− u(t − 3pi)] 44. 45. 46. 47. Universidade Tecnolo´gica Federal do Parana´ Ca´lculo Diferencial e Integral 4A 6.3 - Função Degrau Unitário
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