lista 4 calculo diferencial e integral ii

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LISTA 4 
 
Derivadas de Primeira e Segunda Ordem. 
 
 
1) Encontre 
yxf
 se 
1
),(
2 

y
e
xyyxf
y. 
 
2) Determine as derivadas parciais de segunda ordem: 
a) 
( , ) cos( ) xf x y x y ye 
 
b) 
324 3),( yxxyxf 
 
c) 
 yxyxf 53ln),( 
 
 
3) Verifique se
   bafbaf xyyx ,, 
 para as seguintes funções: 
a) 
 yxxsenyxf 2),( 
 
b) 
524 2),( xyyxyxf 
 
 
4) O comprimento, a largura e a altura de uma caixa retangular são l = 5, w = 2 
e h = 3, respectivamente. 
a) Encontre a taxa de variação instantânea do volume da caixa em relação ao 
comprimento se w e h permanecerem constantes. (Lembrete: V = lwh) 
b) Encontre a taxa de variação instantânea do volume da caixa em relação à 
largura se l e h permanecerem constantes. 
c) Encontre a taxa de variação instantânea do volume da caixa em relação à 
altura se l e w permanecerem constantes. 
 
5) A temperatura em um ponto 
 yx,
 de uma chapa plana de metal é dada por 
 
221
60
,
yx
yxT


onde T é medido em ºC e x, y em metros. Determine a taxa 
de variação da temperatura com relação à distância no ponto 
 1,2
: 
 
a) na direção do eixo x. 
b) na direção do eixo y. 
 
2 
 
6) A energia cinética de um corpo com massa m e velocidade v é 
2
2
1
mvK 
. 
Mostre que 
K
v
K
m
K





2
2
.
 
 
7) Seja 
xxyxyxf 1252),( 22 
. Encontrar a inclinação da reta tangente 
1T
, 
resultante da intersecção de 
),( yxfz 
 com 
1y
, no ponto 
 6,1,2 
. 
 
8) O deslocamento de uma partícula em uma superfície é descrito por uma 
função de duas variáveis reais 𝑓(𝑥, 𝑦) = 7𝑥3𝑦2 + 4𝑥𝑦4. As velocidades nas 
direções x e y correspondem às derivadas parciais de f, respectivamente em 
relação a x e a y. Nessas condições, as velocidades da partícula, nas direções 
x e y, no ponto (1,1) são respectivamente: 
A) 7 e 4 
B) 21 e 16 
C) 25 e 30 
D) 25 e 16 
E) 21 e 30 
 
 
Respostas 
 
1) 1 
 
2) 
a)
x
xx yef 
 
yxf yy cos
 
x
yxxy esenyff 
 
b) 
32 612 yxf xx 
 
yxf yy
218
 𝑓𝑥𝑦 = 𝑓𝑦𝑥 = −18𝑥𝑦
2 
c) 
 253
9
yx
f xx



 
 253
25
yx
f yy



 
 253
15
yx
ff yxxy



 
3) 
a) Sim, 
   yxxsenyxff xyyx 222cos2 
 
b) R: Sim, 
43 108 yyxff xyyx 
 
 
4) 
a) 6 
b) 15 
c) 10 
 
5) 
a) −
20
3
= −6,67 
b) −
10
3
= −3,33 
 
7) 1 
 
8) C