3.2 - A Normal como Aproximação da Binomial

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A Normal como Aproximação da Binomial
Definição:
Se uma distribuição binomial satisfaz as exigências de np>=5 e nq>=5, então a distribuição de probabilidade binomial pode ser aproximada por uma distribuição normal com média populacional n*p e variância variância como n*p*q e com números inteiros discretos x ajustados pela correção de continuidade, de modo que x seja representado pelo intervalo x – 0,5 a x + 0,5.
Exemplo:
Carga de passageiros em um Boeing 767-300.
Um Boeing 767 – 300 da Gol tem 213 assentos. 
Quando completamente lotado com passageiros, bagagens, cargas e combustível, o piloto deve verificar se o peso bruto está abaixo do permitido e distribuído adequadamente para que o equilíbrio do avião fique dentro dos limites de segurança. 
Em vez de pesar cada passageiro, seus pesos são estimados de acordo com as regras da ANAC.
Ou seja, o peso médio masculino é de 78kg e o feminino é de 65kg.
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Exemplo:
Caso o número de passageiros homens seja muito maior do que o feminino pode resultar em uma situação insegura por excesso de peso.
Supondo que embarquem pelo menos 122 homens em uma lista de 213 passageiros sabe-se que a carga precisa ser arranjada de alguma maneira.
Supondo que as reservas de homens e mulheres sejam feitas aleatoriamente, que passageiros de ambos os sexos são igualmente prováveis e que o avião esteja completamente lotado de adultos. 
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Exemplo:
Determine a probabilidade de um Boeing 767 – 300 com 213 passageiros ter pelo menos 122 homens.
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Solução:
O problema satisfaz as condições de uma distribuição binomial, mas com manipulações matemáticas exaustivas.
Então será resolvido pela distribuição normal com aproximação binomial.
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Solução:
Passo 01: np>=5 e nq>=5;
Passo 02: µ=np = 213 * 0,5 = 106,5 e 2=n*p*q = 213*0,5*0,5 = 53,25, ou seja,  = 7,2972598.
Passo 03: A probabilidade de “pelo menos 122 homens”, e o valor discreto de 122 é ajustado pela correção de continuidade, ou seja x=122 é representado pela faixa entre 121,5 e 122,5.
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Solução:
Passo 04: Para determinar a probabilidade de pelo menos 122 homens, precisa-se da área que representa o valor discreto 122, ou seja, a região limitada por 121,5 e 122,5.
Passo 05: Calcular o escore z:
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Solução:
Pela tabela A-2, encontra-se uma área de 0,9803 para z=2,06.
A área da região à direita 1 – 0,9803 = 0,0197.
Interpretação:
Existe uma probabilidade de 0,0197 de serem obtidos pelo menos 122 homens entre 213 passageiros.
Como 0,0197 é bastante pequena, concluí-se que em um conjunto de 213 passageiros raramente incluirá 122 ou mais homens, de modo que os ajustes de carga de aviões não ocorrem com frequência.
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Correções e Continuidade:
Quando se utiliza a distribuição normal como aproximação da distribuição binomial é feita uma correção de continuidade para o número inteiro discreto x na distribuição binomial, representando-se o único valor x pelo intervalo x – 0,5 a x + 0,5, ou seja, somando-se e subtraindo-se 0,5.
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Exemplo:
Alternativa
Área
Pelo menos 10
À direita de 9,5
Mais de 10
À direita de 10,5
No máximo 10
À esquerda de 10,5
Menos de 10
À esquerda de 9,5
Exatamente10
Entre 9,5 e 10,5
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Exemplo:
Uma pesquisa recente mostrou que entre 2013 adultos selecionados ao acaso, 1358 (ou 67,5%) afirmaram ser usuários da internet.
Considere a proporção de todos os adultos que usam a internet igual a 2/3.
Determine a probabilidade de que uma amostra aleatória de 2013 adultos resulte em exatamente 1358 usuários da internet.
Solução:
Dados: n=2013, x=1358, p = 2/3 e q = 1/3.
Passo 01: 
np=2013*2/3=1342;(np>=5) e nq=2013*1/3=671; (nq>=5)
Passo 02:
µ=np=2013*2/3=1342 e 2=n*p*q=2013*2/3*1/3= 447,33
=21,150256
Solução:
Passo 03: Usa-se a correção de continuidade representando x=1358 pela região entre 1357,5 e 1358,5.
Passo 04: Determinando a probabilidade através da área: 
Solução:
Pela tabela A – 2 a área correspondente a z=0,78 é 0,7823 e a z=0,73 é 0,7673. A área na região sombreada é dada por 0,7823 – 0,7673 = 0,0150.
Interpretação:
Ao admitir que 2/3 de todos os adultos usam a internet, a probabilidade de se obterem exatamente 1358 usuários da internet entre 2013 pessoas selecionadas aleatoriamente é 0,0150.
Então, se a proporção de usuários da internet na população é 2/3, é improvável obter-se exatamente 1358 usuários de internet em 2013 pessoas.
Determinação da Normalidade:
Um gráfico dos quantis normais ou gráfico de probabilidades normais é um gráfico de pontos (x,y), onde cada valor x vem de um conjunto original de dados amostrais e cada valor y é o escore z correspondente ao valor esperado do quantil da distribuição normal padrão.
Exemplo:
Os números 180cm, 168cm, 182cm, 174,5cm e 172cm representam alturas de homens, selecionados ao acaso.
Construa um gráfico de quantis normais e determine se os dados provém de uma população normalmente distribuida.
Solução:
Passo 01: Organização do números em rol.
168cm, 172cm, 174,5cm, 180cm e 182cm;
Passo 02: n=5 e proporção igual a 1/5. 
As áreas acumuladas à esquerda dos valores amostrais são expressas na forma: 1/2n, 3/2n, 5/2n, 7/2n,...
Como n=5, tem-se:
1/10, 3/10, 5/10, 7/10 e 9/10 ou 0,1; 0,3; 0,5; 0,7 e 0,9.
Solução:
Passo 03: Pela tabela A-2 encontra-se os escores correspondentes às áreas:
Área
Escore z
0,1
-1,28
0,3
-0,52
0,5
0,00
0,7
0,52
0,9
1,28
Solução:
Passo 04: Construir o gráfico utilizando os pontos: (168; -1,28), (172; -0,52), (174,5; 0), (180; 0,52) e (182; 1,28).
Interpretação:
Como os pontos parecem estar razoavelmente próximo da reta e não parece haver um padrão sistemático que não seja o de uma reta, concluí-se que a amostra das cinco alturas parece provir de uma população normalmente distribuída.
Gráfico com valor discrepante:
Exemplo:
Considere os 100 valores gerados aleatoriamente em uma planilha eletrônica.