Seja X uma variável aleatória binomial com parâmetros n = 400 e p = 0, 2, isto é, X ∼ Bin(400; 0, 2). (a) Verifique que são válidas as condic...

Seja X uma variável aleatória binomial com parâmetros n = 400 e p = 0, 2, isto é, X ∼ Bin(400; 0, 2). (a) Verifique que são válidas as condições para aproximação da binomial pela normal eindique os parâmetros de tal distribuição normal. (b) Calcule as seguintes probabilidades usando a aproximação normal com a correção de continuidade. (i) P(X > 88)(ii) P(63 ≤ X ≤ 108)(iii) P(X ≤ 92)(iv) P(88 < X < 109)
(a) Verificar as condições para aproximação da binomial pela normal e indicar os parâmetros da distribuição normal.
(b) Calcular as seguintes probabilidades usando a aproximação normal com a correção de continuidade.
(i) P(X > 88)
(ii) P(63 ≤ X ≤ 108)
(iii) P(X ≤ 92)
(iv) P(88 < X < 109)
a) np = 400 * 0,2 = 80 e n(1-p) = 400 * 0,8 = 320, portanto as condições para aproximação da binomial pela normal são válidas. Os parâmetros da distribuição normal são: média = np = 80 e desvio padrão = sqrt(np(1-p)) = sqrt(400 * 0,2 * 0,8) = 8.
b) Aplicando a correção de continuidade, temos: (i) P(X > 88) ≈ P(Z > (88,5 - 80) / 8) = P(Z > 1,06) = 1 - P(Z <= 1,06) = 1 - 0,8554 = 0,1446; (ii) P(63 ≤ X ≤ 108) ≈ P((63,5 - 80) / 8 ≤ Z ≤ (108,5 - 80) / 8) = P(-2,19 ≤ Z ≤ 3,56) = P(Z <= 3,56) - P(Z <= -2,19) = 0,9998 - 0,0143 = 0,9855; (iii) P(X ≤ 92) ≈ P(Z <= (92,5 - 80) / 8) = P(Z <= 1,56) = 0,9406; (iv) P(88 < X < 109) ≈ P((88,5 - 80) / 8 < Z < (108,5 - 80) / 8) = P(1,06 < Z < 3,56) = P(Z < 3,56) - P(Z < 1,06) = 0,9998 - 0,8554 = 0,1444.