Eixos, Árvores e Acessórios

Prévia do material em texto

Elementos de Máquinas I – Eixos, Árvores e Acessórios 16
4. EIXOS, ÁRVORES E ACESSÓRIOS 
 
4.1 Introdução 
 
Eixos são elementos de máquinas que têm função de suporte de outros componentes 
mecânicos e não transmitem potência. As árvores, além de suporte, transmitem 
potência. Geralmente, na prática, usa-se apenas o termo eixo para denominar estes 
componentes. 
 
Os materiais mais utilizados na fabricação de eixos e árvores são (DIN 1611 e 
DIN17210): 
Aços-carbono: ABNT 1025 (St42,11) – 1035 (St50,11) 
ABNT 1045 (St60,11) – 1060 (St70,11) 
Aço-liga: ABNT 4120 (20 Mn Cr4) – 4130 (25 Mo Cr4) – 6150 (50 Cr V4) 
 
Os esforços atuantes em eixos e árvores são: Momento fletor, momento torçor, força 
cortante e força axial (estáticos e/ou cíclicos). 
Caso mais comum: Árvore transmitindo potência em regime. 
Torque constante: Tensão cisalhante média (τm) 
Flexão alternada: Tensão normal alternada (σa) com σm = 0. 
Caso mais geral: Árvore transmitindo potência com esforços variáveis. 
 Momento fletor: Tensão normal - σa e σm ≠ 0. 
 Momento torçor (T): Tensão cisalhante - τa e τm ≠ 0. 
 Força axial: Tensão normal - σa e σm ≠ 0. 
 
Os critérios de dimensionamento dos eixos e árvores são: 
Resistência - Deflexão lateral e angular - velocidade crítica 
 
4.2 Análise de tensões atuantes em eixos e árvores 
 
Potência (P) transmitida pela árvore: P = T.w [W] = [N.m][rad/s] 
 P = F.v [W] = [N]. [m/s] 
w = velocidade angular - v = Velocidade tangencial 
Elementos de Máquinas I – Eixos, Árvores e Acessórios 17
Conversão de unidades de potência: 
1 HP = 745,7 W = 0,745 kW 
1 CV = 735,5 W = 0,7355 kW 
 
Tensões atuantes em eixos e árvores com seção transversal circular e com diâmetro 
(d). 
Flexão – Momento fletor (Ma e Mm) – Provocam tensão normal σa e σm 
3
32
d
Mk afa πσ = (4.1) 
3
32
d
Mk mtm πσ = 
 
Torção - Momento torçor (Ta e Tm) – Provocam tensão cisalhante τa e τm 
3
16
d
Tk afa S πτ = (4.2) 
3
16
d
Tk mfm m πτ = 
 
Força Axial 
2
4
d
FK
mfm πσ = (4.3) 
4.3 Dimensionamento de árvores baseando-se na resistência 
 
O objetivo deste dimensionamento consiste em determinar o diâmetro mínimo 
necessário à árvore para que ela suporte os esforços atuantes. 
 
4.3.1) Caso I: Flexão alternada simétrica e torção constante 
Árvore transmitindo potência em regime: 
Elementos de Máquinas I – Eixos, Árvores e Acessórios 18
Torque constante - Tm≠0 - Tensão cisalhante média distinta de zero (τm ≠ 0 e τa = 0). 
Flexão alternada - Ma≠0 -Tensão normal alternada distinta de zero (σa ≠ 0 e σm = 0). 
 
Cálculo do diâmetro (d) da árvore: 
3
1
2
1
2
20
2
4
332













+


=
,
.
σπ
m
mF
e
a
F
TK
S
MKFSd (4.4) 
 
4.3.2) Caso II: Flexão e torção flutuantes 
 
Árvore transmitindo potência com variações no momento fletor e no torque, além da 
presença de forças axiais: 
Torque variável - Tensões cisalhantes distintas de zero (τm ≠ 0 e τa ≠ 0). 
Flexão alternada - Tensões normais distintas de zero (σa ≠ 0 e σm ≠ 0). 
Força Axial – Tensões normais distintas de zero (caso mais comum somente a 
componente média é distinta de zero). 
 
Determinação do diâmetro (d) da árvore: 
i) Determinar separadamente todos os valores de tensões médias e de 
tensões alternadas. 
ii) Calcular as tensões equivalentes de von Mises (σ’a e σ’m). 
 
222 3 xyayaxayaxaa τσσσσσ +−+=′ (4.5) 
222 3 xymymxmymxmm τσσσσσ +−+=′ 
iii) Usar as tensões as tensões equivalentes de von Mises (σ’a e σ’m) no 
diagrama de Goodman (Equação 3.5a – página 18). 
iv) Para os casos onde a força axial é nula e relação entre tensão alternada 
e tensão média for constante (σ’a÷σ’m = CTE), o diâmetro (d) pode ser 
deduzido da Equação de Goodman: 
Elementos de Máquinas I – Eixos, Árvores e Acessórios 19
( ) ( ) ( ) ( ) 3
1
2222
4
3
4
3
32













 +
+
+
=
R
mfsmmfm
e
afsaf TKMK
S
TKMKFSd σπ
.
 Eq. (4.6) 
4.4 Dimensionamento de árvores baseando-se na deflexão 
 
A árvore é uma viga de secção transversal circular que sofre deflexão transversal. 
A árvore também é uma barra de torção que sofre deflexão angular. 
Ambos os modos de deflexão devem ser analisados! 
 
4.4.1) Deflexão Transversal de Árvores (δ) 
 
Deve-se determinar a equação da linha elástica do eixo/árvore: I = Momento de 
inércia da seção transversal, C1 e C2 são constantes de integração. Estas constantes 
são determinadas em função das condições de contorno do problema. θd é a 
declividade. 
EI
M
dx
yd =
2
2
 
21 CxCdxEI
M ++= ∫∫δ (4.7) 
 
1CdxEI
M
d += ∫θ 
 
Em livros de resistência dos materiais existem vários casos resolvidos, com os 
valores da deflexão transversal (δ) e da declividade (θd) calculados. Exemplo: 
Resistência dos Materiais, F. P. Beer, E. Russel and Johston, Editora Makron, 3. 
Edição – Pág 1198, apêndice D: 
Elementos de Máquinas I – Eixos, Árvores e Acessórios 20
 
 
Elementos de Máquinas I – Eixos, Árvores e Acessórios 21
4.4.2) Deflexão Angular de Árvores (θ) 
 
A deflexão angular em árvores ocorre devido ao torque aplicado (T). L é o 
comprimento da árvore, G é o módulo de elasticidade transversal e J é o momento 
polar de inércia da seção transversal 
 
GJ
TL=θ
 (4.8) 
A constante elástica torsional (Kt) pode ser obtida através da Eq. (4.8): 
L
GJTKt == θ (4.9) 
Em árvores escalonadas com várias seções transversais, tem-se: 



 ++=++=
n
n
n J
L
J
L
J
L
G
T
2
2
1
1
21 θθθθ (4.10) 
 
4.5 Dimensionamento de árvores baseando-se na velocidade crítica 
 
Todos os sistemas mecânicos apresentam uma série de freqüências naturais, nas 
quais eles vibram com amplitudes elevadas. Os eixos e árvores rotativos giram com 
velocidades angulares e em conseqüência apresentam deflexões laterais e 
angulares, como visto anteriormente. 
 
Os eixos e árvores submetidos a carregamentos externos irão vibrar nesta freqüência 
externa de excitação. Ao contrário, se um eixo for submetido a uma pancada 
(carregamento transiente) ele irá vibrar em sua freqüência natural, caracterizando 
uma vibração livre. Esta vibração livre tende a se anular com o tempo devido ao 
amortecimento do sistema. Se a excitação externa (carregamento externo, rotações, 
etc) for mantido, o eixo e/ou árvores vibrarão nesta freqüência forçada. 
 
Elementos de Máquinas I – Eixos, Árvores e Acessórios 22
Se a freqüência forçada coincidir com uma das freqüências naturais do sistema (ou 
do eixo), a amplitude de vibração poderá atingir valores muito elevados e poderá 
provocar a sua falha. Diz-se que o sistema entrou em ressonância. 
 
As freqüências naturais (ωn, fn ou nc) podem ser calculadas pelas expressões: 
máx
n
g
m
k
δω == [rad/s] 
 
máx
n
g
m
kf δππ 2
1
2
1 == [Hz] (4.11) 
 
máx
c
g
m
kn δππ
3030 == [rpm] 
K = Constante de elasticidade ou de rigidez do sistema; (K = W/ δmáx); W = m.g; 
m = massa; 
g = Aceleração da gravidade (9,81 m/s2); 
δmáx = flecha provocada pelo peso (W). Veja figura abaixo 
 
 
δmáx 
 
Peso W 
 
 
As freqüências naturais são propriedades físicas do sistema mecânico (eixo, árvore), 
que uma vez construído, manterá sempre as mesmas, a não ser que sua massa ou 
sua constante de elasticidade mude ao longo de sua vida útil. As equações (4.11) 
definem as freqüências naturais de sistemas não amortecidos. Os amortecimentos 
reduzem estes valores de freqüências naturais. Eixos, árvores,engrenagens 
Elementos de Máquinas I – Eixos, Árvores e Acessórios 23
possuem amortecimentos característicos. Porém, os valores de freqüências naturais 
não amortecidas podem ser usados com uma pequena margem de erro. 
 
As freqüências das excitações externas de eixos e árvores devem ser mantidas 
abaixo da primeira freqüência natural, com uma margem de segurança. Em outras 
palavras, a rotação máxima de uma árvore deve ser de 3 a 4 vezes inferior à sua 
freqüência natural 
 
Vibração Lateral de Eixos e Árvores – Método de Rayleigh: Este método permite uma 
determinação aproximada do valor real das freqüências naturais de eixos e árvores. 
Como exemplo considere uma árvore com várias massas (mi - engrenagens, polias, 
etc.), cada uma provocando uma deflexão (δi), como mostrado na figura abaixo. 
 
 
W3 W1 
δ3 δ1 
W2 
δ2 
 
 
 
As freqüências naturais podem ser calculadas pelas Equações (4.12) 
 
∑
∑
∑
∑
=
=
=
= == n
i ii
n
i ii
n
i ii
n
i ii
n
W
W
g
m
m
g
1
2
1
1
2
1
δ
δ
δ
δω 
 (4.12) 
∑
∑
∑
∑
=
=
=
= == n
i ii
n
i ii
n
i ii
n
i ii
c
W
W
g
m
m
gn
1
2
1
1
2
130
δ
δ
δ
δ
π 
 
Velocidade Crítica para eixos e árvores somente com peso próprio: 
 
δmáx 
 
Elementos de Máquinas I – Eixos, Árvores e Acessórios 24
máx
c
gn δ4
5= (4.13) 
4.6 Chavetas 
 
As normas ASME e DIN definem chavetas como uma peça desmontável, que quando 
assentada a um rasgo produz a transmissão de potência (ou torque) entre a árvore e 
o elemento associado por esta conexão. As chavetas são normalizadas para diversos 
perfis e tamanhos. 
 
Tipos de Chavetas: 
Retas ou Planas: São as mais comuns. Possuem secção transversal retangular. 
 Dimensões são constantes ao longo do perfil. 
 Mais usual em aplicações com torque em um sentido único. 
 
 
Norma DIN 6885 
 
Inclinadas: Possuem secção transversal retangular. 
 Largura é constante ao longo do perfil. 
 Altura varia linearmente com o comprimento 
 Mais usual em aplicações com torque em um sentido único. 
 
 Norma DIN 6886 
 
Inclinada com cabeça: 
 
 
Norma DIN 6887 
 
 
 
Woodruff Apresentam secção transversal circular. 
ou Meia lua: Tem menores fatores de concentração de tensões. 
Usadas em máquinas ferramentas e indústria automotiva. 
 Usadas em árvores com d ≤ 60 mm (2 ½”). 
 Podem ser retas ou inclinadas. 
Normalização ANSI – XXYY – YY=Diâmetro nominal em 1/8”; 
XX= Largura nominal em 1/32”. Exemplos: Chaveta 806: 
Diâmetro nominal = 6/8”; Largura= 8/32”. Chaveta No 1208 – 
diâmetro nominal = 8/8”; Larg. Nominal = 12/32”. 
 
 
 
 
Norma DIN 6888 – Reta 
 
Elementos de Máquinas I – Eixos, Árvores e Acessórios 25
 
Chaveta Woodruff na árvore: 
 
 
 
 
 
 
Tr 
FT 
FT 
b 
h 
 
4.6.1) Dimensionamento de chavetas 
 
A força externa atuante é a força tangencial (FT). 
Esta força provoca uma tensão de cisalhamento 
na superfície (b.l) da chaveta. 
bl
F
A
F T
cis
T ==τ
 (4.14) l
rFT T .= 
blr
T=τ 
 
Torque (T) que a chaveta suporta: 
blrT τ= 
A pressão de contato entre o cubo e a chaveta provoca uma tensão de 
esmagamento– Eq. (4.15): 
 
( )11 thlr
T
thl
F
A
F T
esm
T
d −=−== )(σ 
l 
 
(4.15) 
 
Elementos de Máquinas I – Eixos, Árvores e Acessórios 26
O dimensionamento consiste em determinar o comprimento (l) ou o número 
necessário de chavetas. 
 
- Materiais usados em chavetas: Aços ABNT 1050 e ABNT 1060 ( st60 ou st80). 
Tensão de esmagamento ≈ 100 MPa; 
Tensão admissível ao cisalhamento ≈ 60 MPa; 
 
- Os comprimentos das chavetas devem ser inferiores a 1,5 vezes o diâmetro da 
árvore (l ≤ 1,5d). Caso o comprimento necessário seja superior a este limite: Usar 
duas ou mais chavetas, defasadas de 900 entre si. 
 
As tabelas abaixo servem como referência para determinação das dimensões das 
secções transversais de chavetas: 
 
Tab. 4.1: Chavetas com secções quadradas ou retangulares (órgão de Máquinas, 
Carvalho e Moraes, LTC) 
Diâmetro da árvore (mm) Secção (bxh) (mm) Torque (kg.cm/mm) 
10-12 4x4 10-12 
12-17 5x5 13-22 
17-22 6x6 26-33 
22-30 8x7 38-52 
30-38 10x8 60-76 
38-44 12x8 76-88 
44-50 14x9 100-115 
50-58 16x10 130-150 
58-65 18x11 160-180 
65-75 20x12 200-230 
75-85 22x14 260-300 
85-95 25x14 300-330 
95-110 28x16 380-440 
 
 
 
 
Elementos de Máquinas I – Eixos, Árvores e Acessórios 27
Tab. 4.2: Chavetas Woodruff (órgão de Máquinas, Carvalho e Moraes, LTC) 
 
 
 
Elementos de Máquinas I – Eixos, Árvores e Acessórios 28
CONCLUSÃO 
 
REGRAS GERAIS PARA PROJETO DE EIXOS E ÁRVORES 
• Dimensionar a árvore baseando-se na sua resistência. Determinar o diâmetro (d). 
• Determinar a deflexão transversal. Existem limites máximos para os valores de 
deflexões transversais. Fixação de Engrenagens - δ ≤ 0,13mm. 
• Determinar a deflexão angular. Existem limites máximos para os valores de 
deflexões angulares. Exemplos: Fixação de Engrenagens - θ ≤ 0,030. Mancais 
de Rolamentos NÃO auto-compensadores - θ ≤ 0,040. 
• Determinar a freqüência natural da árvore. fNAT > 3-4 fMAX EXCITAÇÃO. 
• Se possível, evitar colocar concentradores de tensões (rasgos de chavetas, 
mudanças de seções, etc.) próximo dos locais onde o momento fletor é máximo. 
• Se a deflexão transversal é essencial, ou seja, é o critério de dimensionamento da 
árvore, devem ser usados aços de baixo carbono. Eles são mais baratos que os 
aços ligados e possuem módulo de elasticidade (E) de valores semelhantes. 
• Dimensionar as chavetas e acoplamentos necessários. 
• Selecionar o Acoplamento necessário. 
 
Exercício 
Dimensionamento de uma árvore 
 
A árvore da figura abaixo é para ser dimensionada levando-se em 
consideração a resistência, rigidez e velocidade crítica. A potência é 
transmitida a árvore através de correias chatas na Polia P. A engrenagem G é 
acoplada a um sistema de levantamento de carga (não mostrado na figura). A 
árvore é sustentada por dois mancais de rolamentos . Os seguintes dados são 
conhecidos: 
Potência: 7,5 kW (condição de carga constante, choques moderados); 
Velocidade da árvore: 900 rpm. 
Diâmetro da polia P = 250 mm. 
Diâmetro primitivo da Engrenagem G = 250 mm. 
Peso próprio da polia P = 120 N. 
Peso próprio da engrenagem G = 120 N. 
Relação das forças atuantes na polia P: T1=2,5T2. As forças são 
perpendiculares ao papel. 
As forças atuantes na engrenagem são a força tangencial (FT) e Força Radial 
(FR). 
Elementos de Máquinas I – Eixos, Árvores e Acessórios 29
Ângulo de ação da Engrenagem G: 200. 
Dimensões A=B=C=150mm. 
 
Dimensione a chaveta usada na engrenagem. 
 
As seguintes restrições devem ser obedecidas na determinação do diâmetro D: 
a) A flecha da árvore na engrenagem deve ser menor que 0,025mm. 
b) A declividade (inclinação) da árvore nos dois mancais não pode exceder 
10 (UM GRAU). 
c) A rotação máxima não pode exceder 60% da primeira velocidade crítica 
da árvore. 
 
Ft
T1 PG
T1 
Fr
CBA
D
2D
D
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Considerações: 
1. Os fatores de segurança e fatores de concentração de tensões na árvore 
devem ser determinados. 
2. Especifique o material a ser utilizado na árvore e suas propriedades 
mecânicas. Mostre claramente os fatores utilizados no cálculo da 
resistência à fadiga 
 
 
Na Página seguinte tem um exemplo completo de dimensionamento de eixos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Elementos de Máquinas I – Eixos, Árvores e Acessórios 30
Plano Vertical: Forças Atuantes e diagramas de 
forças cortantes e Momentos FletoresDIMENSIONAMENTO DE ÁRVORES E 
EIXOS 
A força resultante na engrenagem FA = 
2700 N, atua fazendo um ângulo de 200 com o 
eixo Y da árvore mostrada na Figura abaixo. A 
árvore é uma barra de seção circular, de aço 
trabalhado a frio SAE1040. O fator de segurança 
deve ser 2,60. Determine o diâmetro desta 
árvore para vida infinita. Determine os valores 
da velocidade crítica, da rigidez lateral e 
torcional. 
CÁLCULO DO TORQUE T 
TA = Fa.cos200.rA = 2700.cos 200.300 
TA = 761151,02 N.mm. 
CÁLCULO DE Fc: 
Fc.Cos200.rc = TA Fc = 6480 N 
CÁLCULO DOS ESFORÇOS 
FORÇAS VERTICAIS (Plano xy) 
FAV = FA.cos20 = 2537,17N 
FCV = FC.sen20 = 221,63N 
ΣMO = 0 RBV = 1126,35 N 
ΣV = 0 ROV = 1189,15 N 
FORÇAS HORIZONTAIS (Plano xz) 
FAH = FA.sen20 = 923,45N 
FCH = FC.cos20 =6089,21N 
ΣMO = 0 RBH = 7267,63 N 
ΣV = 0 ROH = 2101,87 N 
MOMENTOS RESULTANTES: 
MAR = [594597,52+10509352]1/2 = 1207,481,1 N.mm 
MBR = [55407,52+15223022]1/2 = 1523310,01 N.mm 
DIÂMETRO d baseado na resistência: 
3
1
2
1
2
2,0
2
4
3.32













+

= σπ
ma
F
F T
Se
MKNd
 
 
Tm=TA = 761151,02 N.mm; Ma = 1523310,01 N.mm 
Se = 156,57 MPa; σR = 586 MPa; σ0,2 = 489,2 MPa 
 
Assim: d = 63,8 mm 
 
 
MBV = 55407,5N.mm 
MAV = 594597,5N.mm 
A= 55047,5
A= 539190,0 
A= 594597,5
221,63 
1347,98
CB 
A
O
1189,19
FCV=221,63 
FAV=2537,17 
RBV =1126,35
CB A
O
RoV =1189,19 
Plano Horizontal: Forças Atuantes e diagramas: 
Forças cortantes e Mom. Fletores 
 
A= 471366,8 
A= 1050,945
2101,87
A
B C
6089,20
A=1522302
MBV =1522302N.mm 
MAV = 1050935.mm 
O
1178,42 
FCH=6089,21 
FAH = 923,45 
RBH =7267,63
CB A
O
RoH =2101,87 
 
 
Elementos de Máquinas I – Eixos, Árvores e Acessórios 31
Dimensionamento baseado na Rigidez 
δ2VEI = Z4EI - Z2EI = 65,23-24,8 = 40,43 Nm3 Plano vertical (xy) 
δ2V = 40,43/(EI) = 40,43/ (170,1x103 Nm2); 
A1 = 146,65 m2; A2 = 22,16 m2; 
A3 = 107,84 m2; A4 = 6,93 m2 
a) Z1EI = Q1 + Q2+ Q3 (em relação ao eixo que 
passa pelo ponto B) 
Z1EI=[148,65(0,5/3+0,4)]+[22,16.0,2]+[107,84.
2/3.0,4] 
Z1EI = 84,2 + 4,43 + 28,76; Z1EI = 117,42 Nm3 
b) Z2EI = Q1 (em relação ao eixo que passa pelo 
pto. A) 
Z2EI=[148,65.(0,5/3)] Z2EI = 24,8 Nm3 
c) Z3EI = Q1 + Q2+ Q3+ Q4 (eixo que passa 
pelo pto C) 
Z3EI=[148,65(0,5/3+0,65)]+[22,16.0,45]+ 
+[107,84.(2/3.0,4+0,25)] + [6,93.2/3.0,25)} 
Z3EI = 121,4 + 9,97 + 55,7 + 1,16; Z3EI = 
188,24 Nm3 
d) Semelhança de triângulo: 
Z4/Z1 = 0,5/0,9 ; Z4EI = 65,23 Nm3 
Z5/Z1 = 1,15/0,9 ; Z5EI = 150,04 Nm3 
Aço AISI 1040 – E = 210 GPa 
I=(πd4)/64 = 0,81x10-6 m4; 
EI = 170,1x103 Nm2; 
δ1VEI = Z3EI - Z5EI = 188,24-150,04 = 38,20 
Nm3 
δ1V = 38,20/(EI) = 38,20/ (170,1x103 Nm2); 
δ1V = 0,22 mm 
δ2V = 0,24 mm 
 
Plano horizontal (xz) 
 
A1 = 262,74 m2; A2 = 100,27 m2; 
A3 = 420,38 m2; A4 = 190,29 m2 
a) Z1EI = Q1 + Q2+ Q3 (em relação ao eixo 
que passa pelo ponto B) 
Z1EI=[262,74(0,5/3+0,4)]+[100,27.0,4/3]+[42
0,4.0,24] 
Z4 
θ2V 
θ1V 
Z6 
Z4 
Z2 
δ2 
Z1 
δ1 
Z3 
MBV = 55,4Nm 
MAV = 594,6Nm 
B A O 
A4 
A3 
A1 A2 
C 
O
Z2 
δ2 Z4 θ1H θ2H 
Z6 Z1 
Z3 
δ1 
Z5 
A4 A3 
A2 
A1 
B CA
Z1EI = 148,9 + 13,4 +84,08; Z1EI = 246,34 Nm3 
b) Z2EI = Q1 (em relação ao eixo que passa pelo 
pto. A) 
Z2EI=[262,74.(0,5/3)} Z2EI =434,8 Nm3 
c) Z3EI = Q1 + Q2+ Q3+ Q4 (eixo que passa 
pelo pto C) 
Z3EI=[262,74(0,5/3+0,65)]+[100,27.(0,4/3+0,25)]+ 
[420,38.0,45] + [190,29.2/3.0,25)] 
Z3EI = 214,6 + 38,4 + 189,2 + 31,7; Z3EI = 
473,89 Nm3 
d) Semelhança de triângulo: 
Z4/Z1 = 0,5/0,9 ; Z4EI = 136,86 Nm3 
Z5/Z1 = 1,15/0,9 ; Z5EI = 314,87 Nm3 
δ1HEI = Z3EI - Z5EI =473,89-314,77=159,1Nm3 
δ1H = 159,12/(EI) = 159,12/ (170,1x103 Nm2); 
δ1H = 0,94 mm 
δ2HEI = Z4EI - Z2EI = 136,86-43,79= 93,07Nm3 
δ2H= 93,07 /(EI) = 93,07 / (170,1x103 Nm2); 
δ2H= 0,55 mm 
Flechas Resultantes 
δ1 = (0,222+0,942)1/2 δ1 = 0,97 mm 
δ2= (0,242+0,552)1/2 δ2 = 0,60 mm 
Flecha Máxima δ2 = 0,97 mm 
Elementos de Máquinas I – Eixos, Árvores e Acessórios 32
DECLIVIDADE – ÂNGULOS NOS 
MANCAIS 
Calcular as flechas δ1 e δ2: De maneira 
semelhante aos cálculos realizados na 
determinação de δ1H e δ2H na figura da direita da 
página 15. 
Plano Vertical (Fig. Pág. 15 – esquerda) 
Z6EI = Q1 + Q2+Q3 (eixo que passa pelo pto O) 
Z6EI=[148,7(0,5.2/3)]+[22,16.0,7]+[107,8.(0,4/3 
+0,5)] 
a) Z1EI = Q1 + Q2+ Q3 (eixo que passa pelo pto B) 
Z1EI =10,04 Nm3 
Z6EI = 49,55 + 15,51 + 68,29; Z6EI =133,36 
Nm3 
b) Z2EI = Q1 (eixo que passa pelo pto. A) 
 Z2EI =2,0 Nm3 
Z6 =0,78x10-3 m c) Z3EI = Q1 + Q2+ Q3+ Q4(eixo passa pelo pto C) 
Z3EI =17,22 Nm3 θ1V = Z1/ (EI.0,9) = 117,42/(170,1x103.0,9) 
d) Semelhança de triângulo: θ1V = 0,00077 rad = 0,0440 
 Z4EI = 5,58 Nm3 θ2V = Z6/0,9 = 0,00078/0,9 
Z5EI = 12,83 Nm3 θ2V = 0,00087 rad = 0,0490 δ1 = 0,0258 mm δ2 = 0,021 mm Plano Horizontal (Fig. Pág.15 – direita) 
 Z6EI = Q1 + Q2+ Q3 (eixo que passa pelo pto O) ( )( ) ( )2323
33
10025010010020150
100250100100210150819
−−
−−
+
+=
xx
xxWC
,,
,.,., Z6EI=[262,7(0,5.2/3)]+[100,3.(2.0,4/3+0,5)]+[420,4.0,7 
Z6EI = 87,58 + 76,9 + 299,3 Z6EI =458,72 Nm3 
Z6 =2,7x10-3 m 
srad
x
WC /,
,
, 4656
10291
0550
7
== − θ1H= Z1/ (EI.0,9) = 246,34/(170,1x103.0,9) 
θ1H = 0,0016 rad = 0,090 W=2πn nC = 656,4/2π = 104,5 Hz; θ2H = Z6/ 0,9 = 0,0027/0,9 nC = 6267,9 rpm θ2H = 0,0029 rad = 0,170 nMáx ≈ 60% nC = 3760 rpm Declividades Resultantes DEFLEXÃO ANGULAR θ1 = (0,0442+0,092)1/2 θ1 = 0,100 
θ2 = (0,0492+0,172)1/2 θ2 = 0,180 T = 761.15 Nm 
0,25m 0,4m 
0,50m 
CBA
O
 
VELOCIDADE CRÍTICA 
Deve ser determinado devido às flechas 
provocadas pelos pesos próprios: 
G=80 GPa; 46
44
10631
32
0640
32
mxd −=== ,,.ππJ Engrenagem A Peso próprio Ppa = 150N; 
Engrenagem B Peso próprio Ppb = 100 N; 
orad
xxGJ
TL 2200040
106311080
65015761
69
,,
,
,., ==== −φ Cálculos de Reações, Diagramas de forças 
cortantes e momentos fletores: 
 
Z4 δ2 
Z2 Z1 
Z5
Z3
MB = 25.Nm 
MA = 48,06.Nm 
RB =153,89 
B
C
FC=100 
A 
FA= 150 
O 
Ro =96,11 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
δ1 
Elementos de Máquinas I – Eixos, Árvores e Acessórios 33
RESUMO 
 
Critério Valor 
Resistência d ≥ 63,8 mm 
Rigidez transversal - 
Flecha 
δMáx = 0,60 mm 
Declividade nos 
Mancais 
θ1 = 0,100 (Mancal O) 
θ2 = 0,180 (Mancal B) 
Velocidade Máxima nC = 6267,9 rpm 
nMáx = 3760 rpm 
Rigidez Torcional φ = 0,220 
 
 
	DIMENSIONAMENTO DE ÁRVORES E EIXOS
	CÁLCULO DO TORQUE T
	Assim: d = 63,8 mm
	Dimensionamento baseado na Rigidez
	Aço AISI 1040 – E = 210 GPa
	Flechas Resultantes
	VELOCIDADE CRÍTICA
	DEFLEXÃO ANGULAR
	RESUMO