Continuidade Limites

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Centro Universitário de João Pessoa/UNIPE
Prof. Roberto Capistrano Aula 6
Cálculo Diferencial
Continuidade
1 Continuidade
Dizemos que uma função f (x) é contínua num ponto a , do seu domínio se as seguintes condições
são satisfeitas : podemos considerar as situações :
• ∃ f (a);
• ∃ lim
x→a f (x).
• lim
x→a f (x)= f (a)
Vamos observar alguns exemplos de descontinuidade :
Figura 1: ∃ f (a) Figura 2: 6 ∃ lim
x→a f (x) Figura 3: limx→a f (x) 6= f (a)
1.1 Propriedades das funções contínuas
Se f (x) e g (x) em x = a, então :
• f (x)± g (x) é contínua em a;
• f (x) · g (x) é contínua em a;
•
f (x)
g (x)
é contínua em a( g (x) 6= 0)
Exemplo 1 Verificar a continuidade da função no ponto indicado : f (x)= x2+1, x = 1
• f (1)= 12+1= 2⇒∃ f (a)
• lim
x→1 f (x)= limx→1(x
2+1)= 1+1= 2⇒∃ lim
x→1 f (x)
• Como lim
x→1 f (x)= 2= f (1)= 2, logo f (x) é contínua em x = 1
Exemplo 2 Verifique a continuidade da função, no ponto indicado.
f (x)=
{
x2+3x, se x ≥ 0
x−2, se x < 0 , x = 0.
Temos :
• lim
x→0(x
2+3x)= 0+3 ·0= 0
• lim
x→0(x−2)= 0−2=−2. Logo, 6 ∃ limx→0 f (x). Portanto f (x) não é continua em x = 0
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Exemplo 3 Verifique a continuidade da função, no ponto indicado.
f (x)=
{
x+1, se x ≥ 0
2x, se x < 1 , x = 1.
Temos :
• lim
x→1(x+1)= 1+1= 2
• lim
x→1(2x)= 2 ·1= 2.Daí, limx→1 f (x)= 2. Como f(1) =2, então, f (x) é continua em x = 1
1.2 Limites envolvendo infinito
Sabendo-se que x →∞. significa que x assume valores superiores a qualquer número real e x →
−∞. da mesma forma, indica que x assume valores menores que qualquer número real.
1. Gráfico da função f (x)= 1
x
a) lim
x→∞
1
x
= 0, ou seja, à medida que x aumenta, f(x) tende para zero e o limite é zero.
b) lim
x→−∞
1
x
= 0, ou seja, à medida que x diminui, f(x) tende para zero e o limite é zero.
c) lim
x→0+
1
x
=∞, ou seja,quando x se aproxima de zero pela direita de zero (x → 0+) ou por
valores maiores que zero, f(x) tende para infinito e o limite é infinito.
c) lim
x→0−
1
x
=−∞, ou seja,quando x se aproxima de zero pela esquerda de zero (x → 0−) ou
por valores menores que zero, f(x) tende para menos infinito e o limite é (−∞).
2. Gráfico da função f (x)= 2x
a) lim
x→∞2
x =∞ b) lim
x→−∞2
x = 0
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3. Gráfico da função f (x)= x3
a) lim
x→∞x
3 =∞ b) lim
x→−∞x
3 =−∞
4. Gráfico da função f (x)=px
a) lim
x→∞
p
x =∞
5. Gráfico da função f (x)= tg(x)
a) lim
x→
pi
2+
tg(x)=−∞ b) lim
x→
pi
2−
tg(x)=∞
2 Execícios Propostos
EP 1 Verificar a continuidade das funções nos pontos indicados:
a) f (x)= x2+3x, em x = 2;Resp.: f (x) é contínua em x = 2
b) f (x)= x
2+3x
x+1 , em x = 1; Resp.: f (x) é contínua em x = 1
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c) f (x)=
 x
3−8
x2−4, se x 6= 2
3, se x = 2
, x = 2.; Resp. f (x) é contínua em x = 2
d) f (x)= tgx em x = pi
2
; Resp.: 6 ∃ lim
x→
pi
2
f (x), f (x) não é contínua em x = pi
2
.
e) f (x)= 1
senx
em x = 0.Resp.: 6 ∃ f (0), logo f (x) não é contínua em x = 0
EP 2 Calcular:
a) lim
x→∞
2x3+4x2+1
3x4+2x−2 .Resp.: x = 0
b) lim
x→∞
4x4+x+3
3x4+x3−1 .Resp.: x =
4
3
c) lim
x→∞
4x3+2x2−x+3
2x2+3x−8 .Resp.:x =∞
d) lim
x→∞
p
x4+2x−1
2x2−1 .Resp.:x =
1
2
3 Referências
BRAGA, Carlos A. CAPISTRANO, Roberto. DELGADO, Solange. MOREIRA, José Vicente.Matemática
para Tecnologia da Informação :uma dose na discreta e outra no contínuo.João Pessoa: IFPB,
2010.
BRAGA, Carlos A. CAPISTRANO, Roberto. DELGADO, Solange. MOREIRA, José Vicente.Matemática
Elementar para Universitários.João Pessoa: Editora Universitária da UFPB, 2010.
Acessem o blog : www.matematicadainformacao.blogspot.com
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