UNEC CALCULO LIMITE 2

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CENTRO UNIVERSITÁRIO DE CARATINGA GRADUAÇÃO 
UNEC / EAD DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
 
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Professor: MSc Robson da Silva – robsonfisica75@bol.com.br 
CAPÍTULO 2 
 
2. LIMITES 
 
 
No capítulo 1, nós iniciamos o estudo intuitivo de limites. Você deve ter notado 
que, a variável independente x pode assumir qualquer valor real em uma função. 
Em uma sequência, sempre existe um valor subsequente ao outro e nesse 
caso dizemos que a sequência tende ao infinito. Como a variável independente, inter-
fere diretamente na evolução da função, é necessário estudar os limites da função 
quando a variável independe assume alguns valores. O que chamamos de limite da 
função. 
 
Definição: 
 
Uma função )(xf possui limite L, quando a variável independente x tende para 
um valor real a ( ax → ) e se é possível tornar )(xf arbitrariamente próximo de L, 
desde que tomemos valores de x, ax  ,suficientemente próximos de a. Assim temos: 
Seja )(xf definida num intervalo aberto I, contendo a, exceto, possivelmente 
no próprio a. Dizemos que o limite de )(xf quando x aproxima–se de a é L, e denotado 
como: 
Lxf
ax
=
→
)(lim 
Se, para todo 0 ,existe um 0 ,tal que − Lxf )( sempre − ax0 
Satisfeitas as condições, o limite da função pode ser calculado. 
 
Exemplo 2.1 
 
Encontrar )53²(lim
2
++
→
xx
x
, 
Para determinar o limite de uma função, basta substituir o valor a ao qual a 
variável independente x tende na função. Assim: 
 
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15
564
)5)2(3²2(lim)53²(lim
22
=
++=
++=++
→→ xx
xx
 
 
Logo, o limite da função, quando x tende a 2 é 15. 
 
Exemplo 2.2 
 
Encontrar 
7³
5
lim
3 −
−
→ x
x
x
, 
10
1
727
2
7³3
53
lim
7³
5
lim
33
−
=
−
−
=
−
−
=
−
−
→→ xx x
x
 
 
Exemplo 2.3 
 
Encontrar 14lim 4
2
+−
−→
xx
x
, 
5
25
1816
1)2(4)2(lim14lim 4
2
4
2
=
=
++=
+−−−=+−
−→−→ xx
xx
 
Exemplo 2.4 
 
Encontrar 
1
1²
lim
1 −
−
→ x
x
x
, 
 
 
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0
0
11
1²1
lim
1
1²
lim
11
=
−
−
=
−
−
→→ xx x
x
 
 
Nesse exemplo, o limite apresenta uma indeterminação. Assim para determi-
nar o limite é necessário fatorar o numerador da função. 
 
2
11lim
1lim
)1(
1)(1(
lim
1
1²
lim
1
1
11
=
+=
+=
−
+−
=
−
−
→
→
→→
x
x
xx
x
x
xx
x
x
 
 
2.2. Limites Laterais 
 
 
Definição: 
 
(i) Seja )(xf uma função definida em um intervalo aberto ),( ca .Dizemos 
que um número L é limite à direita da função )(xf quando x tente para a 
denotada por: 
 
Lxf
ax
=
+→
)(lim 
 
(ii) Seja )(xf uma função definida em um intervalo aberto ),( ca .Dizemos 
que um número L é limite à esquerda da função )(xf quando x tente 
para a denotada por: 
 
Lxf
ax
=
−→
)(lim 
 
 
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Exemplo 2.5 
 
Dada a função 31)( −+= xxf ,determine ,se possível , )(lim
3
xf
x +→
 e )(lim
3
xf
x −→
. 
O domínio da função não admite valores menores que 3, assim o limite só fica 
definido para .3x logo: 
 
1
01
331lim31lim
33
=
+=
−+=−+
++ →→ xx
x
 
 
 
2.3. CÁLCULO DE LIMITES 
 
 
2.3.2 Limites com indeterminação do tipo 0/0. 
 
 
Como vimos no exemplo 2.4, se ao substituirmos a variável x, pelo número a, 
na função, o limite apresentou uma indeterminação do tipo 0/0.Então para determinar 
o limite, é necessário fatorar a função. 
 
 
Exemplo 2.5 
 
Determine,
4²
23³
lim
2 −
+−
−→ x
xx
x
 
 
Resolução: 
 
Comece verificando se o limite não está indeterminado. 
 
 
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0
0
44
268
4)²2(
2)2(3)³2(
lim
4²
23³
lim
22
=
−
++−
=
−−
+−−−
=
−
+−
−→−→ xx x
xx
 
Nesse caso, o exemplo 2.4 apresenta uma indeterminação. Logo é necessário 
fatorar o limite. Diferentemente do exemplo 2.4, não podemos simplesmente desmem-
brar o produto notável do numerador. Então comece desmembrando o produto notável 
do denominador e descobrindo qual fator deste produto notável é responsável por 
zerar o denominador e em seguida divida o numerador por esse termo. 
 
)2)(2(
23³
lim
4²
23³
lim
22 +−
+−
=
−
+−
−→−→ xx
xx
x
xx
xx
. 
 
 Como você pode observar o fator )2( +x é o responsável por zerar o denomi-
nador. Assim: 
 
4
9
4
144
)22(
)1)2(2)²2((
lim
)2(
)12²(
lim
)2)(2(
)2)(12²(
lim
)2)(2(
23³
lim
2
222
−
=
−
++
=
−−
+−−−
−
+−
=
+−
++−
=
+−
+−
−→
−→−→−→
x
xxx x
xx
xx
xxx
xx
xx
 
 
Exemplo 2.6 
 
Determine,
x
x
x
22
lim
0
−+
→
 
Novamente comece verificando o limite. 
 
0
0
0
22
0
220
lim
22
lim
00
=
−
=
−+
=
−+
→→ xx x
x
 
 
 
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Novamente ocorreu uma indeterminação, porém nesse caso você deve raci-
onalizar o numerador da função. 
 
( )( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( ) 22
1
22
1
220
1
lim
22
1
lim
22
22
lim
22
22
lim
22
2222
lim
22
lim
0
0
0
22
0
00
=
+
=
++
=
++
=
++
−+
=
++
−+
=
++
++−+
=
−+
→
→
→
→
→→
x
x
x
x
xx
x
xx
x
xx
x
xx
xx
x
x
 
 
 
2.3.2 Limites com indeterminação do tipo ∞/∞. 
 
 
Outro tipo de indeterminação muito comum de ocorrer em cálculo 1, aparece 
quando a variável independente x tende ao infinito ∞/∞. Neste caso, como na indeter-
minação do tipo 0/0, você deve fatorar ou desenvolver algum artificio que possibilite 
determinar o limite. 
 
Exemplo 2.7 
 
Determine,
8
52
lim
+
−
+→ x
x
x
 
 
Resolução: 
 
Comece verificando se o limite não está indeterminado. 
 


=
+
−
=
+
−
+→+→ 8
52
lim
8
52
lim
xx x
x
 
 
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Como a substituição direta apresentou para o limite uma indeterminação ∞/∞. 
Vamos dividir o numerador e o denominador por x e depois aplicar as propriedades 
de limites: 
 
2
01
02
8
1
5
2
8
1lim
5
2lim
8
52
lim
8
52
lim =
+
−
=

+

−
=
+
−
=
+
−
=
+
−
+→
+→
+→+→
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xx
 
 
Exemplo 2.8 
 
Determine,
24
53³2
lim
5 −
+−
−→ x
xx
x
 
 
Resolução: 
 
Comece verificando se o limite não está indeterminado. 
 


=
−
+−
=
−
+−
−→−→ 24
53³2
lim
24
53³2
lim
55 xx x
xx
 
 
Novamente temos uma indeterminação do tipo ∞/∞. Para resolver essa inde-
terminação vamos fatorar a função dividindo todos os termos da função pela variável 
independente que possua o maior expoente(x5). 
 
() ( ) ( )
( )
0
4
0
04
0
2
4
53
²
2
lim
2
4
53
²
2
lim
24
53³2
lim
24
53³2
lim
5
54
5
54
5
5
5
5
==
−
=
−
−
−
+
−
−
−
=
−
+−
=
−
+−
=
−
+−
−→
−→−→−→
x
xxx
x
xxx
x
x
x
xx
x
xx
 
 
 
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Exemplo 2.9 
 
Determine,
5²2
52
lim
−
+
+→ x
x
x
 
 
Resolução: 
 
Comece verificando se o limite não está indeterminado. 
 


=
−
+
=
−
+
+→+→ 5²2
52
lim
5²2
52
lim
xx x
x
 
 
Nesse exemplo, vamos dividir o numerador e o denominador da função pela variável 
independente x. 
2
2
2
²
5
2
5
2
lim
²
5
2
5
2
lim
²
5²2
5
2
lim
5²2
52
lim
5²2
52
lim
==

−

+
=
−
+
=
−
+
=
−
+
=
−
+
+→
+→+→+→+→
x
xxxx
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
 
 
Exemplo 2.10 
 
Determine, )1³43(lim 5 +−
+→
xx
x
 
Resolução: 
 
Esse exemplo não configura uma indeterminação do tipo ∞/∞. Neste caso você 
deve colocar em evidencia a variável independente com o maior expoente. 
+=+−=

+

−
=+−=+−
+→
+→+→
)003()
1
²
4
3(lim
)
1
²
4
3(lim)1³43(lim
5
5
5
55
x
xx xx
xxx
 
 
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2.4 limites e Introdução às derivadas. 
 
A derivada é sem dúvida uma das maiores ferramentas desenvolvida no cál-
culo. Desde sua introdução no século XVII, vem sendo amplamente utilizadas na so-
lução de problemas. Logo saber manipular essa ferramenta é de vital importância no 
dia a dia de um estudante de exatas. Porém saber o que significa o termo derivada é 
de igual importância para o estudante. Assim de forma qualitativa, vamos resumir os 
principais aspectos teóricos por de traz do termo derivada; 
• Uma derivada converte uma equação, em outra de um grau menor. Ou 
seja, se você aplicar o processo de derivada em uma função do segundo 
grau, você irá obter uma equação do primeiro grau. 
• Uma diferencial, que também é um processo que utiliza a derivada, con-
verte uma equação que representa uma grandeza, em outra equação que 
também representa uma grandeza. Ou seja, se você diferenciar uma 
equação que determina a posição de um objeto em função do tempo, você 
irá obter uma equação que determina a velocidade do objeto. 
• E por último, uma derivada define a inclinação de uma reta tangente (fi-
guras 18 e 19) sobre um ponto de uma curva, quando a variação de x 
tende a zero ( 0→x ). 
 
x
y
xx
yy
tg


=
−
−
=
12
12 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 18: Inclinação de uma reta 
 
Fonte: Google imagem. Acesso em: 
25/05/2020 
Figura 19: Inclinação de uma reta 
Fonte: Google imagem. Acesso em: 
25/05/2020 
 
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2.4.1 A derivada de uma função num ponto 
 
A derivada de uma função )(xf no ponto 1x , denotado por )(' xf é definida pelo 
limite, 
 
x
xfxxf
xf
x 
−+
=
→
)()(
lim)(' 1
0
, quando o limite existe. 
 
 
2.4.2 A derivada de uma função 
 
A derivada de uma função )(xfy = é a função denotada por )(' xf ,tal que seu 
valor em qualquer )( fDx é dado por: 
 
x
xfxxf
xf
x 
−+
=
→
)()(
lim)('
0
, se o limite existir. 
 
Notações de derivadas: 
dx
dy
yDxfDxfy xx ==== )()('' 
 
Exemplo 2.11 
 
Dada a função 16²5)( −+= xxxf , encontre )2('f 
 
Resolução: 
 
Neste exemplo, comece aplicando à função a definição de derivada e em seguida 
aplique a condição. 
 
 
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6106)0(510lim6510lim
)6510(
lim
6²510
lim
16²5166²510²5
lim
16²5166²)2²(5
lim
)16²5(1)(6)²(5
lim
)()(
lim)('
00
0
0
0
0
00
+=++=++=

++
=

++
=

+−−−++++
=

+−−−++++
=

−+−−+++
=

−+
=
→→
→
→
→
→
→→
xxxx
x
xxx
x
xxxx
x
xxxxxxxx
x
xxxxxxxx
x
xxxxxx
x
xfxxf
xf
xx
x
x
x
x
xx
 
 
( ) 266210)2('
610)('
=+=
+=
f
xxf
 
 
Exemplo 2.12 
 
Dada a função 
3
2
)(
+
−
=
x
x
xf , encontre )(' xf 
 
Resolução: 
 
Novamente comece aplicando à função a definição de limite. 
 
x
x
x
xx
xx
x
xfxxf
xf
xx 
+
−
−
++
−+
=

−+
=
→→
3
2
)3(
)2(
lim
)()(
lim)('
00
 
 
Fazendo a primeira fração pelo inverso da segunda e tirando o mmc, temos: 
 
xxxx
xxxxxx
xf
xx
x
xx
xx
xf
x
x
+++
++−−+−+
=







+
−
−
++
−+
=
→
→
)3)(3(
)3)(2()3)(2(
lim)('
1
3
2
)3(
)2(
lim)('
0
0
 
 
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Aplicando as multiplicações entre os polinômios: 
)²3(
5
)3)(30(
5
lim
)3)(3(
5
lim
)3)(3(
5
lim)('
)3)(3(
62²63²
lim)('
0
00
0
+
=
+++
=
+++
=
+++

=
+++
++−−−−+++
=
→
→→
→
xxx
xxxxxxx
x
xf
xxxx
xxxxxxxxxx
xf
x
xx
x
 
 
 
2.5 Exercícios 
 
1) Calcule os exercícios abaixo utilizando as propriedades de limites: 
a) ( )²573lim
0
xx
x
−−
→
 R: 3 
b) 
1
4
lim
2 −
+
→ x
x
x
 R: 6 
c) 
13
4
lim
2 −
+
→ x
x
x
 R: 6/5 
d) 
1
1²
lim
1 −
+
→ x
x
x
 R: 2 
e) 
2
65²
lim
2 −
+−
→ x
xx
x
 R: -1 
f) 
1²
1³
lim
1 −
+
−→ x
x
x
 R: -3/2 
g) 
43²
56²
lim
1 −−
++
−→ xx
xx
x
 R:-4/5 
h) 
( )( )32
4²4³
lim
2 −+
++
−→ xx
xxx
x
 R: 0 
i) 
x
xx
x
−−+
−→
11
lim
0
 R: 1 
j) 
1²
1
lim
+
+
+−→ x
x
x
 R: 0 
k) 
35²2
32²
lim
−+
+−
+−→ xx
xx
x
 R:1/2 
l) 
²2
7²3
lim
5
x
xx
x −
+−
−−→
 R: +∞ 
m) 
1²
12³
lim
−
+−
−−→ x
xx
x
 R: -∞ 
 
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2) usando a definição, determinar a derivada das funções abaixo. 
a) 2²)( += xxf R: xxf 2)(' = 
b) ²1)( xxf −= R: xxf 2)(' −= 
c) 1²2)( −−= xxxf R: 14)(' −= xxf 
d) 
2
1
)(
+
=
x
xf R: 
)²2(
1
)('
+
−
=
x
xf 
e) xxxxf 5²2³)( ++=R: 54²3)(' ++= xxxf 
f) 
3
1
)(
+
−
=
x
x
xf R: 
)²3(
4
)('
+
−
=
x
xf