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Cálculo I Capítulo 6: Limite e continuidade de uma função Introdução No capítulo 5, utilizamos a idéia de limite para analisar alguns aspectos de funções. Respondemos às perguntas: a) O que ocorre com uma função quando x tende para um número arbitrariamente grande? b) Para que valor tende uma função, à medida que x se aproxima de um zero do denominador? No capítulo 6, vamos tratar do limite de uma função de modo mais detalhado. A idéia de limite serve de fundamento para o Cálculo Diferencial e Integral, ramo da Matemática que trata de derivadas e integrais. Aproveitaremos o conceito de limite para definir o que significa dizer que uma função é contínua, uma vez que nos capítulos restantes do livro-texto trabalharemos com funções contínuas. 6.1 Limite de uma função Começamos analisando a função racional 2 x 4f (x) x 2 − = − . Essa função não está definida para x 2= ; para x 2≠ , seus valores podem ser obtidos mais facilmente por meio da expressão simplificada: Unidade 06 Prof. Jonas Lachini Orientações • Estude atentamente as Notas de aula 6. Analise com bastante cuidado os exemplos apresentados. • Estude este assunto no livro de Cálculo. O Questionário 6 pode ajudá-lo nesta tarefa. • Resolva os Exercícios 6. Eles servem para você fixar conceitos e melhorar sua habilidade em lidar com os mesmos. • Não deixe de esclarecer suas dúvidas. Para isso, recorra ao correio acadêmico, ao fórum de discussão, aos chats ou, melhor ainda, a seu grupo de estudos de Cálculo. 2 (x 2) (x 2)x 4f (x) x 2 x 2 x 2 − +− = = = + − − . A Tabela 6.1 mostra que, para valores de x próximos de 2, 2x 4f (x) x 2 − = − assume os mesmos valores de g(x) x 2= + que, por sua vez, fica tão próximo de 4 quanto quisermos. x 2x 4f (x) x 2 − = − g(x) x 2= + 1,900000 3,900000 3,900000 1,990000 3,990000 3,990000 1,999000 3,999000 3,999000 ↓ 1,999900 4,000000 4,000000 2,000000 Não existe. 4,000000 2,000100 4,000000 4,000000 2,001000 4,001000 4,001000 2,010000 4,010000 4,010000 ↑ 2,100000 4,410000 4,410000 Tabela 6.1 À medida que x se aproxima de 2, as funções f e g se aproximam de 4. Em símbolos matemáticos, escrevemos: 2 x 2 x 2 x 4lim lim (x 2) 4 x 2→ → − = + = − . (Lê-se: “limite de 2 x 4 x 2 − − quando x tende a 2 é igual ao limite de x 2+ quando x tende a - 2...”) O limite nada nos diz sobre o que acontece com y quando x é igual a 2. De fato, para x 2= , teríamos 22 4 0y f (2) 2 2 0 − = = = − , o que não tem sentido. Com o conceito de limite, evitamos esse problema. Na Figura 6.1 estão os gráficos das funções 2x 4f (x) x 2 − = − e 2)( −= xxg . Essas duas funções têm o mesmo comportamento para todos os valores de x, exceto para x 2= , valor para o qual f não existe, enquanto que g(2) 4= . Esse fato nos permite trocar a função f pela função g quando estivermos lidando com limites. Figura 6.1 Ao escrevermos )(lim 2 xf x −→ , queremos determinar o número do qual )(xf se aproxima quando x se aproxima de 2 por ambos os lados. Para isso, examinamos os valores de )(xf quando x tende a 2 por valores maiores do que 2 (como 2,1; 2,01; 2,001) e por valores menores do que 2 (como 1,009; 1,099; 1,999). Se )(xf se aproxima do mesmo número quando x se aproxima de 2, tanto pela direita quanto pela esquerda, então esse número é chamado de limite da função f quando x tende para 2. Quase sempre o limite à esquerda é igual ao limite à direita; se esses limites não forem iguais, dizemos que o limite não existe. Chamamos 2 x 2 x 4lim 4 x 2+→ − = − de limite lateral à direta e 2 x 2 x 4lim 4 x 2−→ − = − de limite lateral à esquerda. Quando escrevemos 2 x 2 x 4lim 4 x 2→ − − = − , estamos garantindo que 2 2 x 2 x 2 x 4 x 4lim lim 4 x 2 x 2+ −→ → − − = = − − . Em geral, dizer que Lxf ax = → )(lim significa afirmar que os limites laterais )(lim xf ax +→ e )(lim xf ax −→ existem e são iguais: x a x a x a lim f (x) L lim f (x) lim f (x) L + −→ → → = ⇔ = = 6.2 Usando um código matemático A frase x a lim f (x) L → = significa que )(xf pode ficar tão próximo do número L quanto desejarmos, bastando escolher x suficientemente próximo de a. Se não existir um número L com essa propriedade, dizemos que )(xf não tem limite quando x tende para a, ou que o x a lim f (x) → não existe. Uma outra notação usual é Lxf →)( quando ax → . (Lê-se “ )(xf tende a L quando x tende a a”.) Ao pensar na frase x a lim f (x) L → = , que é equivalente à frase Lxf →)( quando ax → , é essencial entender que não importa o que acontece com )(xf quando x é igual a a; o que interessa é o comportamento ou a tendência de )(xf para x perto de a. É possível investigar o limite de uma função em qualquer ponto que escolhermos. Assim, por exemplo, 2 x 3 lim x → é igual a 9 porque podemos fazer com que 2x fique tão próximo de 9 quanto quisermos, bastando considerar valores de x suficientemente próximos de 3. Ao atribuirmos a x valores cada vez mais próximos de 3, 2x vai ficando cada vez mais próximo de 9, conforme evidenciado nas igualdades: 41,89,2 2 = ; 9401,899,2 2 = ; 994001,8999,2 2 = ; 61,91,3 2 = ; 0601,901,3 2 = ; 006001,9001,3 2 = . Já que o limite não pergunta o que acontece quando 3=x , não basta colocar o 3 no lugar de x para encontrar a resposta. O limite mede o comportamento da função nas proximidades de um ponto e não no ponto. Nem sempre é fácil investigar o que ocorre com )(xfy = quando x se aproxima de um certo número. Seja, por exemplo, calcular de que valor se aproxima x xy sen= quando x se aproxima de zero, ou, usando a sintaxe matemática, calcular x x x senlim 0→ . Observe que, ao substituir x por zero, encontramos 0 0 , ou seja, a expressão fica indeterminada, de modo que precisamos pesquisar isso de outra maneira. Podemos fazer uma tabela numérica, usando valores próximos de zero, e observar qual a tendência de y; em outros termos, observar para que valor tende y quando x tende para zero. É necessário fazer essa investigação usando valores de x à esquerda e à direita de zero. Outra maneira de investigar esse limite é traçar o gráfico da função com uma calculadora ou outro aplicativo computacional e analisar o que ocorre com y quando x se aproxima de zero. A Figura 6.2 apresenta o gráfico da função x xy sen= e nos mostra que, à medida que x se aproxima de zero, x xy sen= fica cada vez mais próximo de 1. Daí podermos dizer que x 0 sen xlim 1 x→ = . Figura 6.2 Exemplo 1 Calcular os limites: a) 2 52lim 3 + − → x x x ; b) 2 4lim 4 − − → x x x ; c) 2811 56lim 2 2 7 +− −+ = → xx xx x . Solução a) A função 2 52)( + − = x x xf é racional e está definida para 3=x . Assim, não precisamos trocar a função e podemos escrever: 5 1 23 56 2 52lim 3 = + − = + − → x x x . O gráfico da função 2 52)( + − = x x xf está na Figura 6.3. Figura 6.3 b) Ao substituir x por 4 na função 2 4)( − − = x x xg , encontramos 0 0 , que não tem significado. Então, trocamos essa função por outra que se comporte como a função g para valores de x próximos de 4: 4)2(lim 2 )2()2(lim 2 4lim 444 =+= − +− = − − →→→ x x xx x x xxx . Na Figura 6.4 está o gráfico da função 2 4)( − − = x x xg . Figura 6.4 c) Também, na função 2811 56)( 2 2 +− −+ = xx xx xh , representada na Figura 6.5, ao fazer 7=x , encontramos 0 0 , sinal de que h não está definida em 7=x . Fazendo uma troca de funções, temos: 5 3 15 4 8lim)4()7( )8()7(lim 2811 56lim 772 2 7 == − + = −− +− = +− −+ = →→→ x x xx xx xx xx xxx Figura 6.5 Exemplo 2 a) A função x xy = pode ser redefinida: <− > == 01 01 xse xse x xy . Assim, podemos calcular os limites laterais: 1limlim 00 == ++ →→ x x x x xx e 1limlim 00 −= − = −− →→ x x x x xx . Como os limites laterais são diferentes, não existe x x x 0 lim → . Podemos observar esses limites no gráfico de x xy = , apresentado na Figura 6.6. Figura 6.6 b) Na função 1 2 + = x y , representada na Figura 6.7, temos: +∞= ++−→ 1 2lim 1 xx e −∞= +−−→ 1 2lim 1 xx . Os limites laterais se tornam arbitrariamente grandes quando x tende a 1; então, 1 2lim 1 +−→ xx não existe. Figura 6.7 c) Na função 2 1 x y = , temos: ∞= → 20 1lim xx . A função torna-se arbitrariamente grande quando x tende a 0 e o limite não existe. O gráfico da função 2 1 x y = está na Figura 6.8. Figura 6.8 6.3 Continuidade de uma função No linguajar do dia-a-dia, um processo contínuo é aquele que ocorre sem falhas ou interrupções ou mudanças repentinas, como o crescimento de uma planta, o fluxo das águas de um rio ou o aumento do volume de um balão que está sendo inflado. Numericamente, uma função é contínua se valores da variável independente, próximos entre si, geram valores da variável dependente tão próximos um do outro quanto desejarmos. Graficamente, uma função é contínua quando seu gráfico não apresenta furos e nem quebras ou saltos. Com a idéia de limite, podemos definir com maior precisão o que significa dizer que )(xfy = é contínua em ax = . Suponha que )(xfy = seja contínua em algum intervalo e que ax = esteja nesse intervalo. Então, se x está próximo de a, sabemos que )(xf está próximo de )(af ; quanto mais x se aproxima de a, mais )(xf se aproxima de )(af . Assim, quando ax → , )()( afxf → . Usando essa idéia, definimos continuidade : Uma função )(xfy = é contínua em ax = se )()(lim afxf ax = → . Para calcular )3(lim 2 5 xx x − → podemos substituir x por 5 e escrever: 105.35)3(lim 22 5 =−=− → xx x . Isso deve-se ao fato de a função xxy 32 −= ser contínua em 5=x e, como conseqüência, )5()(lim 5 fxf x = → . A definição dada aqui nos diz o que significa uma função ser contínua em um ponto de seu domínio. Dizemos que uma função é contínua se ela é contínua em cada ponto de seu domínio. Com freqüência essas funções são descritas como aquelas cujos gráficos podem ser desenhados sem tirar o lápis do papel As funções polinomiais e as funções racionais estudadas anteriormente são exemplos de funções contínuas. Exemplo 3 Observe o cálculo de limites de funções racionais quando x se torna arbitrariamente grande em valor absoluto: a) 2 5 2 5lim 72 35lim == − + ∞→∞→ x x x x xx b) 04lim4lim 127 524lim 3 2 23 2 === −++ +− ∞→∞→∞→ xx x xxx xx xxx Nas funções polinomiais, quando x se torna arbitrariamente grande, o termo de maior grau prevalece sobre os demais. Nesse caso, o comportamento do polinômio é praticamente igual ao comportamento do termo de maior grau. Assim podemos escrever, por exemplo: 323 lim)127(lim xxxx xx ∞→∞→ =−++ = ∞ Exemplo 4 Verifique se a função xy = é contínua em .0=x Solução Consideremos os limites laterais: 0limlim 00 == ++ →→ xx xx e 0)(limlim 00 =−= − − →→ xx xx Então, 0lim 0 = → x x . Além disso, .0)0( =f Como )0(lim 0 fx x = → , a função xy = é contínua em .0=x A Figura 6.9 apresenta o gráfico de xy = . Figura 6.9 Exemplo 5 Qual(is) funções abaixo são contínuas em x = 0? Figura 6.10 Solução De acordo com os gráficos apresentados na Figura 6.10, podemos concluir que a função do item (a) é contínua no ponto 0=x . Todas as outras são descontínuas em 0=x . Questionário 6 Ao estudar seu livro de cálculo, você encontrará aplicações dos conceitos de limite e de continuidade. As questões a seguir podem ajudá-lo nessa tarefa. 1) Explique com suas palavras o significado da equação 5)(lim 2 = → xf x . É possível, diante da equação acima, que se tenha 5)2( =f ? Explique. 2) Explique com suas palavras o significado de cada uma das equações: 3)(lim 1 = +→ xf x e 7)(lim 1 = −→ xf x . Nessa situação, é possível que exista )(lim 1 xf x→ ? Explique. 3) Explique com suas palavras o significado de cada uma das frases: −∞= → )(lim xf ax , bxf x = ∞→ )(lim e −∞= +∞→ )(lim xf x 4) Escreva uma frase usando símbolos matemáticos que expresse o fato de que uma função f é contínua no número 4. Dê um exemplo. 5) Se f é contínua em ] [∞+∞− , , o que você pode dizer a respeito de seu gráfico? Dê um exemplo. Exercícios 6 1) Para a função f cujo gráfico é dado, determine o valor da quantidade indicada, se ela existir. Se não existir, explique por quê. a) x 0 lim f (x) → b) x 3 lim f (x) +→ c) x 3 lim f (x) −→ d) x 3 lim f (x) → e) f (3) 2) Para a função f cujo gráfico é dado, determine o valor da quantidade indicada, se ela existir. Se não existir, explique por quê. a) x 1 lim f (x) → b) x 3 lim f (x) −→ c) x 3 lim f (x) +→ d) x 3 lim f (x) → e) f (3) f) x 2 lim f (x) −→− g) x 2 lim f (x) +→− h) x 2 lim f (x) →− i) f ( 2)− 3) Para a função g cujo gráfico é dado, determine o valor da quantidade indicada, se ela existir. Se não existir, explique por quê. a) x 2 lim g(x) −→− b) x 2 lim g(x) +→− c) x 2 lim g(x) →− d) g( 2)− e) x 2 lim g(x) −→ f) x 2 lim g(x) +→ g) x 2 lim g(x) → h) g(2) i) x 4 lim g(x) +→ j) x 4 lim g(x) −→ k) g(0) l) x 0 lim g(x) → 4) Determine, a partir do gráfico dado, o valor do limite. Se não existir, explique por quê. a) x 3 limf (x) → b) x 1 limf (x) → c) x 3 lim f (x) →− d) x 2 lim f (x) −→ e) x 2 lim f (x) +→ f) x 2 lim f (x) → 5) Esboce o gráfico de uma função que satisfaça todas as seguintes condições: a) x 0 lim f (x) 1 −→ = b) x 0 lim f (x) 1 +→ = − c) x 2 lim f (x) 0 −→ = d) x 2 lim f (x) 1 +→ = e) f (2) 1= f) f (0) não está definida 6) Os gráficos de f e de g são dados. Use-os para calcular cada limite. Caso não exista o limite, explique por quê. a) [ ] x 2 lim f (x) g(x) → + b) [ ] x 1 lim f (x) g(x) → + c) [ ] x 0 lim f (x).g(x) → d) x 1 f (x)lim g(x)→− e) 3 x 2 lim x .f (x) → f) x 1 lim 3 f (x) → + 7) Determine os limites: a) x 5 6lim x 5+→ − b) 2x 0 x 1lim x (x 2)→ − + 8) Calcule o limite, se existir: a) 2 x 3 x x 12lim x 3→− − + + b) 2 2x 1 x x 2lim x 3x 2→ + − − + c) 3 2x 1 x 1lim x 1→ − − d) x 0 2 x 2lim x→ − − e) 2 x 9 x 81lim x 3→ − − f) 2 x 1 x xlim 1 x→ − − 9) A partir do gráfico, estabeleça os números nos quais f é descontínua e explique por quê. 10) A partir do gráfico, estabeleça os intervalos nos quais a função g é contínua. 11) Estude a continuidade de cada uma das funções no intervalo [ ]1,1− : a) xxf =)( b) x x xg =)( 12) Utilize uma calculadora ou um aplicativo computacional para estimar o limite x x x /1 0 )1(lim + → . 13) Um estacionamento cobra R$4,00 pela primeira hora, ou parte dela, e R$3,00 por hora sucessiva, até o máximo de R$16,00. a) Esboce o gráfico do custo do estacionamento como uma função do tempo decorrido. b) Estude a descontinuidade dessa função. 14) Um tanque contém 5000 litros de água pura. Salmoura com 30g de sal por litro é bombeada para dentro do tanque a uma taxa de min/25l . A concentração de sal após t minutos, em gramas por litro, é dada pela função t t tC + = 200 30)( . O que acontece com a concentração quando ∞→t ? 15) Explique por que cada função é contínua ou descontínua: a) A temperatura em determinado local como função do tempo. b) A temperatura em determinado instante como função da distância a partir de Belo Horizonte, seguindo em direção ao Norte. c) A altitude acima do nível do mar como função da distância a Belo Horizonte, seguindo em direção ao Leste. d) O custo de uma corrida de táxi como função da distância percorrida. e) A corrente no circuito para luzes de uma sala como uma função do tempo.
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