Material de Cálculo PUC - Unidade 11

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Cálculo I 
Capítulo 10 – GRÁFICOS DE CURVAS 
 
Notas de aula 10 
 
Uma das aplicações da derivada é o estudo dos aspectos qualitativos de uma função, 
tais como, por exemplo: os intervalos em que a função cresce ou decresce, em que pontos 
assumem um valor máximo ou mínimo, em que intervalos seu gráfico tem concavidade 
voltada para cima ou para baixo e quais seus pontos de inflexão. 
Nesta capítulo, são apresentados cinco estudos nos quais retomam-se conceitos 
discutidos nas capítulos anteriores e usa-se a derivada para analisar alguns aspectos de 
funções. Para isso, cumpriremos o roteiro a seguir descrito para o estudo de uma função 
y f (x)= . 
A. Domínio da função 
Comece por determinar o conjunto de valores de x para os quais f(x) está definida. 
 
B. Interceptos 
O intercepto y é f(0) e nos diz onde a curva corta o eixo y. Para achar o intercepto y, 
faça x igual a zero na equação da função. 
O intercepto x é obtido fazendo f (x) 0= e resolvendo essa equação para x. Você pode 
omitir este cálculo se a equação for difícil de resolver. 
 
C. Assíntotas 
(i) Assíntotas horizontais: se 
x
lim f (x) L
→∞
= ou 
x
lim f (x) L
→−∞
= , então a reta y L= 
é uma assíntota horizontal da curva y f (x)= . 
(ii) Assíntotas verticais: A reta x a= é uma assíntota vertical da curva y f (x)= 
se pelo menos uma das quatro afirmativas seguintes for verdadeira: 
 
x a
lim f (x)
+→
= ∞ ou 
x a
lim f (x)
+→
= − ∞ ou 
x a
lim f (x)
−→
= ∞ ou 
x a
lim f (x)
−→
= −∞ . 
 
D. Intervalos de crescimento e decrescimento 
Para determinar esses intervalos, use o teste de crescimento e decrescimento de uma 
função. Calcule a derivada primeira e estude a variação de sinal de f ′ : nos intervalos 
em que a derivada f ′ é positiva, f é crescente e, nos intervalos nos quais f ′ é negativa, 
f é decrescente. 
 
E. Valores máximos e mínimos 
Título: Unidade 11 
Autor: Jonas Lachini 
 
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Encontre os números críticos de f (os números c nos quais f (c) 0′ = ou f (c)′ não 
existe). Use então o teste da derivada primeira: se f ′ mudar de positiva para negativa 
em um número crítico c, então f (c) é um máximo local; se f ′ mudar de negativa para 
positiva em um número crítico c, então f (c) é um mínimo local. 
 
F. Concavidade e ponto de inflexão 
Calcule a derivada segunda, f ′′ , e use o teste da concavidade: a curva é côncava para 
cima se f (x) 0′′ > , e é côncava para baixo se f (x) 0′′ < . Os pontos de inflexão 
ocorrem quando a concavidade muda de sentido. 
 
G. Esboço do gráfico 
Usando as informações obtidas nos itens A – F, esboce o gráfico da função y f (x)= . 
Coloque as assíntotas como linhas tracejadas. Marque os interceptos, os pontos de 
máximo e de mínimo e os pontos de inflexão. Faça a curva passar por esses pontos, 
subindo ou descendo de acordo com o item D e com concavidade de acordo com o 
item F. Depois, se possível, use um aplicativo computacional para verificar se o 
gráfico que você traçou se assemelha ao traçado pela máquina. 
 
Exemplo 1 
Use os itens do roteiro dado para esboçar o gráfico da curva 3 2f (x) x 9x 15x 50= − + + . 
 
Solução 
 
A. O domínio é o conjunto dos reais porque f é uma função polinomial, ℜ=D . 
B. O intercepto y é 3 2f (0) 0 9 0 15 0 50 50= − ⋅ + ⋅ + = ; a curva corta o eixo y no ponto (0,50) . 
A equação f (x) 0= é do terceiro grau e de difícil solução; por isso não determinamos o 
intercepto x. 
C. A curva não tem assíntotas por ser o gráfico de uma função polinomial. 
D. Crescimento e decrescimento 
A derivada é 2f (x) 3x 18x 15′ = − + . Resolvendo a equação 23x 18x 15 0− + = , obtemos as 
raízes x 1= e x 5= . Assim, podemos estabelecer a variação de sinal da derivada e 
encontrar os intervalos de crescimento e decrescimento da função. 
 
 
 
Dado que f (x) 0′ > quando x 1< ou x 5> e que f (x) 0′ < para 1 x 5< < , a função f é 
crescente nos intervalos ( ],1−∞ e [ )5,∞ , sendo decrescente no intervalo [ ]1,5 . 
E. Valores máximos e mínimos 
Os números críticos são x 1= e x 5= . Como f ′ muda de positiva para negativa em 
x 1= , 3 2f (1) 1 9 1 15 1 50 57= − ⋅ + ⋅ + = é um máximo local; por outro lado, já que f ′ muda 
de negativa para positiva em x 5= , 3 2f (5) 5 9 5 15 5 50 25= − ⋅ + ⋅ + = é um mínimo local. 
F. Concavidade e pontos de inflexão 
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A derivada segunda é f (x) 6x 18′′ = − . Resolvendo a equação 6x 18 0− = , obtemos a raiz 
x 3= e podemos obter a variação de sinal da derivada segunda. 
 
 
 Como f (x) 0′′ < para x 3< , a curva tem concavidade voltada para baixo no intervalo 
( ],3−∞ e como f (x) 0′′ > para x 3> , a curva tem concavidade voltada para cima no 
intervalo [ )3,∞ . O ponto x 3= é um ponto de inflexão. 
 
G. Esboço do gráfico 
 Na Figura 10.1 estão os gráficos da função 3 2f (x) x 9x 15x 50= − + + e da sua derivada 
2f (x) 3x 18x 15′ = − + , feitos no Graphmática. 
 
 
Figura 10.1 
 
Exemplo 2 
 
Use os itens do roteiro dado para esboçar o gráfico da curva 2f (x) x 10x 24= − + + . 
 
Solução 
 
A. O domínio é o conjunto dos reais porque f é uma função polinomial, ℜ=D . 
B. O intercepto y é 2f (0) 0 10 0 24 24= − + ⋅ + = ; a curva corta o eixo y no ponto (0, 24) . 
Resolvendo a equação f (x) 0= , temos 
2 10 14
x 10x 24 0 x x 2 ou x 12
2
− ±
− + + = ⇒ = ⇒ = − =
−
. 
 Os interceptos x são os pontos ( 2,0)− e (12,0) . 
C. A curva não tem assíntotas por ser o gráfico de uma função polinomial. 
D. Crescimento e decrescimento 
A derivada é f (x) 2x 10′ = − + . Resolvendo a equação f (x) 0′ = , obtemos 
2x 10 0 x 5− + = ⇒ = . Assim, podemos estabelecer a variação de sinal da derivada e 
encontrar os intervalos de crescimento e decrescimento da função. 
 
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E. Dado que f (x) 0′ > quando x 5< e que f (x) 0′ < para x 5> , a função f é crescente 
nos intervalos ( ],5−∞ e decrescente no intervalo [ )5,∞ . 
F. Valores máximos e mínimos 
O único número crítico é x 5= . Como f ′ muda de positiva para em x 5= , 
2f (5) 5 10 5 24 49= − + ⋅ + = é um máximo local. 
G. Concavidade e pontos de inflexão 
A derivada segunda é f (x) 2′′ = − . Como a derivada segunda é negativa para qualquer 
valor de x, a curva tem concavidade voltada para baixo. A derivada segunda não muda 
de sinal e por isso a função não tem ponto de inflexão. 
H. Esboço do gráfico 
Na Figura 10.2 estão os gráficos da função 2f (x) x 10x 24= − + + e da sua derivada 
f (x) 2x 10′ = − + , feitos no Graphmática. 
 
 
Figura 10.2 
 
Exemplo 3 
Use os itens do roteiro dado para esboçar o gráfico da curva 2xf (x)
x 1
=
−
. 
 
Solução 
 
A. O domínio é o conjunto dos reais diferentes de 1, }1/{ ≠ℜ∈= xxD . 
B. O intercepto y é 2 0f (0) 0
0 1
⋅
= =
−
; a curva corta o eixo y no ponto (0,0) . O intercepto x é 
x 0= . 
C. Assíntotas 
 Como 
x x x
2x 2xlim lim lim 2 2
x 1 x→∞ →∞ →∞
= = =
−
, a reta y 2= é assíntota da curva 2xf (x)
x 1
=
−
, à 
direita. 
 Também 
x x x
2x 2xlim lim lim 2 2
x 1 x→−∞ →−∞ →−∞
= = =
−
, o que indica que a reta y 2= é assíntota 
horizontal à esquerda. 
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 Como 
x 1
2xlim
x 1+→
= ∞
−
, a reta x 1= é assíntota vertical (quando x se aproxima de 1, pela 
direita, a função assume valores positivos arbitrariamente grandes); o 
x 1
2xlim
x 1−→
= −∞
−
 
indica que a reta vertical x 1= é uma assíntota da curva 2xf (x)
x 1
=
−
 e que, á medida que x 
se aproxima de 1 pela esquerda, a função assume valores negativos arbitrariamente 
grandes em módulo. 
 
D. Crescimento e decrescimento 
A derivada é 2
2f (x)
(x 1)
−
′ =
−
. Como o denominador é um quadrado e o numerador é 
negativo, a derivada é negativa para todo x do domínio da função. 
 
 
 
Dado que f (x) 0′ < para todo x do domínio, a função f é sempre decrescente. 
 
E. Valores máximos e mínimos 
Não existe ponto crítico para esta função e, portanto, como seu domínio é a união de dois 
intervalos abertos, ela não tem pontos de Máximo e nem de mínimo. 
 
F. Concavidade e pontos de inflexão 
A derivada segunda é 3
4f (x) (x 1)′′ = − . A variação de sinal da derivada segunda está no 
quadro abaixo. 
 
 
 
Como f (x) 0′′ < para x 1< , a curva tem concavidade voltada para baixo no intervalo 
( ),1−∞ e como f (x) 0′′ > para x 1> , a curva tem concavidade voltada para cima no 
intervalo ( )1,∞ . A curva não tem ponto de inflexão. 
 
G. Esboço do gráfico 
 Na Figura 10.3 estão os gráficos da função 2xf (x)
x 1
=
−
 e da sua derivada 2
2f (x) (x 1)
−
′ =
−
, 
feitos no Graphmática. 
 
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Figura 10.3 
 
Exemplo 4 
Use os itens do roteiro dado para esboçar o gráfico da curva 4 3f (x) 2x 8x 100= − + . 
 
Solução 
 
A. O domínio é o conjunto dos reais porque f é uma função polinomial, ℜ=D . 
B. O intercepto y é 4 3f (0) 2 0 8 0 100 100= ⋅ − ⋅ + = ; a curva corta o eixo y no ponto (0,100) . 
A equação f (x) 0= é do quarto grau e de difícil solução; por isso não determinamos o 
intercepto x. (No gráfico que está no item G, pode-se observar que a curva não corta o 
eixo horizontal, logo, não existe intercepto x.) 
C. A curva não tem assíntotas por ser o gráfico de uma função polinomial. 
D. Crescimento e decrescimento 
 A derivada 3 2f (x) 8x 24x′ = − . Resolvendo a equação f (x) 0′ = , temos 
 
3 2 28x 24x 0 8x (x 3) 0 x 0 ou x 3− = ⇒ − = ⇒ = = . 
 Assim, podemos estabelecer a variação de sinal da derivada e encontrar os intervalos de 
crescimento e decrescimento da função. 
 
 
 
Dado que f (x) 0′ > quando x 3> e que f (x) 0′ < para x 3 (x 0)< ≠ , a função f é crescente 
nos intervalos [ )3,∞ e é decrescente no intervalo ( ],3−∞ . 
E. Valores máximos e mínimos 
Os números críticos são x 0= e x 3= . Como f ′ não muda de sinal em x 0= , 
4 3f (0) 2 0 8 0 100 100= ⋅ − ⋅ + = não é nem máximo e nem mínimo. Por outro lado, já que 
f ′ muda de negativa para positiva em x 3= , 4 3f (3) 2 3 8 3 100 46= ⋅ − ⋅ + = é um mínimo 
local. 
F. Concavidade e pontos de inflexão 
A derivada segunda é 2f (x) 24x 48x′′ = − . Resolvendo a equação 224x 48x 0− = para x, 
obtemos 224x 48x 0 24x (x 2) 0 x 0 ou x 2− = ⇒ − = ⇒ = = . Com essas raízes, podemos 
obter a variação de sinal da derivada segunda. 
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Como f (x) 0′′ < para 0 x 2< < , a curva tem concavidade voltada para baixo no intervalo 
[ ]0,2 e como f (x) 0′′ > para x 0< ou x 2> , a curva tem concavidade voltada para cima 
nos intervalos ( ],0−∞ e [ )2,∞ . Os pontos x 0= e x 2= são pontos de inflexão. 
 
G. Esboço do gráfico 
 Na Figura 10.4 estão os gráficos da função 4 3f (x) 2x 8x 100= − + e da sua derivada 
3 2f (x) 8x 24x′ = − , feitos no Graphmática. 
 
 
Figura 10.4 
 
Exemplo 5 
Use os itens do roteiro da para esboçar o gráfico da curva 1 3f (x) 9000x= . 
 
Solução 
 
A. O domínio é o conjunto dos reais porque f é uma função potência com expoente 
fracionário de denominador ímpar, ℜ=D . 
B. O intercepto y é 1 3f (0) 9000 0 0= ⋅ = ; a curva corta o eixo y no ponto (0,0) . A raiz da 
equação f (x) 0= é x 0= que é o intercepto x. 
C. A curva não tem assíntotas por ser o gráfico de uma função potência. 
D. Crescimento e decrescimento 
 A derivada é 2 3 2 3
300f (x) 300 x
x
−
′ = = . A derivada f (0)′ não existe e, portanto, x 0= é um 
valor crítico da função. A variação de sinal da derivada e os intervalos de crescimento e 
decrescimento da função estão mostrados na tabela a seguir. 
 
 
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 Dado que f (x) 0′ > para todo x 0≠ , a função f é sempre crescente. 
 
E. Valores máximos e mínimos 
 O número crítico é x 0= . Como f ′ não muda de sinal nesse valor de x, f (0) 0= não é 
nem máximo e nem mínimo da função f. 
F. Concavidade e pontos de inflexão 
A derivada segunda é 5 3 5 3
200f (x) 200 x
x
−
′′ = − ⋅ = − . A derivada segunda, como era de se 
esperar, não está definida para x 0= . A variação de sinal da derivada segunda e a 
concavidade da curva estão apresentadas na tabela a seguir. 
 
 
 
Como f (x) 0′′ < para x 0< , a curva tem concavidade voltada para baixo no intervalo 
( ],0−∞ e como f (x) 0′′ > para x 0> , a curva tem concavidade voltada para cima no 
intervalo [ )0,∞ . O ponto x 0= é um ponto de inflexão. 
 
G. Esboço do gráfico 
 Na Figura 10.5 estão os gráficos da função 1 3f (x) 9000x= e da sua derivada 2 3
300f (x)
x
′ = , 
feitos no Graphmática. 
 
 
Figura 10.5 
 
Exercícios 10 
 
1) Esboce o gráfico de cada uma das funções: 
 
a) 2y x 2x= − 
 
b) 2y 2 x x= + − 
 
c) 1y x
x
= + 
d) 2
1y
x x
=
+
 
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 c) 3 2y 2x 3x 1= − + e) y x 3 x= − 
 
 
2) Em cada um dos itens a seguir, esboce o gráfico de uma função com todas as 
propriedades enunciadas: 
 
a) f (1) 1, f (x) 0 para x 1, f (x) 0 para x 1.′ ′= > < < > 
 
b) f ( 1) 2 , f (2) 1, f (x) 0 para x 1 e x 2,′− = = − > < − > 
 f (x) 0 para 1 x 2.′ < − < < 
 
c) f ( 2) 6, f (1) 2, f (3) 4,− = = = 
 f (1) f (3) 0, f (x) 0 para x 2 1, f (x) 0 para x 2 1,′ ′ ′ ′= = < − > > − < 
 f (x) 0 para x 2 ou x 1 1, f (x) 0 para x 1 1 ou x 2.′′ ′′< > + < > − < < − 
 
d) f (0) 0, f (2) f ( 2) 1= = − = , 
f (0) 0, f (x) 0 para x 0, f (x) 0 para x 0,′ ′ ′= > > < < 
 f (x) 0 para x 2, f (x) 0 para x 2′′ ′′> < < > 
 
x x
lim f (x) 2 e lim f (x) 2.
→∞ →−∞
= =