Resumo - Matrizes, determinantes e sistemas

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Matrizes Definição
Mat
Fis
Qui
João
7,0
5,0
6,0
Maria
9,0
4,0
5,0
Chama-se matriz a uma tabela de números dispostos em linhas e colunas
Matriz Quadrada: número de linhas = números de colunas
Matrizes Classificação
Matriz Retangular : número de linhas é diferente do números de colunas
Matrizes Notação
Dada uma matriz A denotaremos cada elemento da matriz A por aij onde i é o número da linha e j é o número da coluna desse elemento.
Observação: Se a matriz é quadrada de ordem n, então os elementos aij tal que i=j são chamados de diagonal principal e os elementos aij tal que i + j = n + 1 são os elementos da diagonal secundária.
Matrizes Igualdade de Duas Matrizes
Dadas duas matrizes A e B do mesmo tipo, dizemos que A = B se somente se os seus elementos são respectivamente iguais. Simbolicamente, sendo A e B matrizes do tipo mx n, temos: 
A = B <=> aij=bij
Matrizes Tipos de Matrizes
Matriz Transposta
Dada uma matriz A do tipo mxn chama-se transposta de A, a matriz At obtida a partir de A, onde as linhas de linhas de A serão as colunas de At e vice-versa
Observe que A é uma matriz do tipo 2 x 3, enquanto que At é do tipo 3 x 2. Observe também que todo elemento aij de A será o elemento aji de At .
Matrizes Tipos de Matrizes
Matriz Nula
Chama-se matriz nula a matriz na qual todos os seus elementos são iguais a zero.
Matrizes Operações com Matrizes
Adição
Para adicionarmos duas matrizes A e B basta que elas sejam do mesmo tipo. Isto é, elas devem ter o mesmo número de linhas e o mesmo número de colunas.
Define-se a adição A + B = C como sendo formada pelos elementos cij= aij + bij
Exemplo:
Matrizes Operações com Matrizes
Subtração
Para subtrairmos duas matrizes A e B basta que elas sejam do mesmo tipo. Isto é, elas devem ter o mesmo número de linhas e o mesmo número de colunas.
Define-se a subtração A - B = C como sendo formada pelos elementos cij= aij - bij
Exemplo:
Matrizes Operações com Matrizes
Multiplicação
Dada duas matrizes A do tipo m x n e B do tipo n x p, chama-se produto da matriz A pela matriz B que se indica C = A . B a matriz m x p definida por
 Cij=ai1.b1j + ai2.b2j + ai3.b3j + ... + ain.bnj
Observações:
O produto de duas matrizes existe se e somente se o número de colunas da matriz A for igual ao número de linhas da matriz B.
Se as matrizes A e B são do tipo m x n e n x p respectivamente, então o produto C = A . B existe e é uma matriz do tipo m x p,
Matrizes Operações com Matrizes
Multiplicação
Exemplo:
Dadas as matrizes
Matrizes Lei de formação de uma matriz
Dada a matriz A = (aij) 3x2 tal que:
Matrizes Produto de Matrizes
Matriz Identidade
Chama-se matriz identidade a matriz quadrada em que os elementos da diagonal principal são iguais a um e os demais elementos são iguais a zero.
Obs: A matriz identidade é o elemento neutro da multiplicação ou seja:
A.I=I.A=A
Matrizes Operações com matrizes 
Produto de número por uma Matriz
Definimos o produto de um número por uma matriz m x n como sendo uma matriz m x n formada pelos produtos do número dado por cada um dos elementos da matriz dada.
Matrizes Observações 
 O produto de duas matrizes não é comutativo, mas há casos em que A.B = B.A e quando isso acontece dizemos que A e B se comutam.
 Quando A . B for diferente de B . A temos que (A + B)2 = A2 + A . B + B . A + B2
 Quando A e B se comutam temos (A+B)2 = A2 + 2AB +B2
Matrizes Observações 
Exercícios
 1) 
Calcule o que se pede (quando possível)
a)D+E
b)D-E
c)5 A
d)-7C
e)2B – C
f)tr(D)
g)AB
h)DE
i)CT
Exercícios
Determinantes
 A função determinante é um número associado a uma matriz quadrada A e indicado por det(A). Para indicar que se trata do determinante de A utilizamos dois traços ao invés dos colchetes.
 A definição de determinante está relacionada com as permutações dos elementos da matriz, mas por comodidade usaremos métodos práticos para o cálculo de determinantes de ordem 2 e 3 e um teorema para matrizes maiores.
Determinantes de matriz de ordem1, 2 ou 3
Determinantes de matriz de ordem superior
Expansão em cofatores 
 Se A é uma matriz quadrada, então o determinante menor da entrada ai j, indicado por Mi j , é definido como o determinante da matriz resultante da exclusão da linha i e da coluna j de A. 
Chamamos de cofator de ai j , indicado por Ci j= ( –1)i+j. Mi j.
O determinante de uma matriz A pode ser calculado multiplicando as entradas de qualquer fila pelos seus cofatores e somando os produtos resultantes.
Para diminuir os cálculos pode-se utilizar as operações elementares para introduzir zeros em uma fila, deixando apenas uma entrada não-nula, e só então calcular o determinante por cofatores.
Determinantes de matriz de ordem superior
As operações elementares sobre linhas são: 
 Multiplicar uma linha inteira por uma constante não-nula.
Trocar duas linhas entre si.
Somar um múltiplo de uma linha a uma outra linha.
Determinantes de matriz de ordem superior
As operações elementares sobre linhas podem ser usadas em determinantes, com algumas alterações: 
 Podem ser utilizadas também nas colunas.
Quando se multiplica uma fila por um número o determinante também fica multiplicado por esse número.
Quando se invertem as posições de duas filas paralelas o determinante fica multiplicado por ( – 1 ).
Quando se soma a uma fila o múltiplo de uma fila paralela o determinante não se altera.
Determinantes de matriz de ordem superior
Exercícios
Sistemas Lineares 
Matriz Aumentada do Sistema 
Resolução de Sistemas Lineares 
Redução de Gauss-Jordan
Algumas alterações nas equações não alteram as soluções do sistema:
Multiplicar uma equação inteira por uma constante não-nula.
Trocar duas equações entre si.
Somar um múltiplo de uma equação a uma outra equação.
Resolução de Sistemas Lineares 
Estas operações na matriz do sistema tornam-se:
Multiplicar uma linha inteira por uma constante não-nula.
Trocar duas linhas entre si.
Somar um múltiplo de uma linha a uma outra linha.
Resolução de Sistemas Lineares 
Através destas operações podemos colocar a matriz aumentada do sistema na “forma escada reduzida por linhas” que é uma matriz em que:
O 1º elemento não-nulo de cada linha é igual a 1 (líder);
Nas colunas dos líderes os demais elementos são nulos;
Quanto mais embaixo está a linha, mais para a direita está o seu líder, caso exista;
Se existir alguma linha nula ela deve estar abaixo das linhas não-nulas.
Resolução de Sistemas Lineares 
 Ex.: 
Resolução de Sistemas Lineares 
Resolução de Sistemas Lineares 
Resolução de Sistemas Lineares 
Resolução de Sistemas Lineares 
Resolução de Sistemas Lineares 
Regra de Cramer
É um método de resolução de sistemas lineares utilizando determinantes.
Só pode ser utilizada em sistemas lineares em que o número de equações é igual ao número de incógnitas. Além disso, o determinante do sistema não pode ser nulo.
Resolução de Sistemas Lineares 
Resolução de Sistemas Lineares 
Resolução de Sistemas Lineares 
Resolução
de Sistemas Lineares 
Exercícios 
Matriz inversa 
Matriz inversa 
Um método prático para se encontrar a inversa de uma matriz A, consiste em escrever a matriz seguida da identidade de mesmo tamanho formando uma única matriz . Em seguida coloque esta matriz na forma escada reduzida por linhas usando as operações elementares sobre linhas.
Se na parte onde estava A aparecer a identidade a inversa de A estará onde estava I. 
 Se na parte onde estava A aparecer alguma linha toda de zeros significa que A é singular.
Matriz inversa 
Matriz inversa 
Exercícios