MB I 2017 1 exercicios da aula 01 Gabarito (1)

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Exerc´ıcios da Aula 1 MB I 2017-1 (RESPOSTAS) 1
Matema´tica Ba´sica I 2017-1 turma B1 Profa. Marlene
Exerc´ıcios da aula 1
(I) Escreva em palavras (sem usar s´ımbolos) e responda: verdadeiro ou falso?
Observac¸o˜es sobre as respostas neste exerc´ıcio:
• A escrita em palavras pode ser de diversas maneiras, em alguns desses exerc´ıcios estou escrevendo em
mais de uma forma, mas ainda pode ter outras formas de escrever, o importante e´ que cada forma seja
clara e correta.
• Na˜o foi pedido para justificar o verdadeiro ou falso. Estou acrescentando a justificativa em alguns desses
exerc´ıcios para que voceˆs posssam entender porque e´ verdadeiro ou falso.
1. Seja a ∈ R. ∀a 6= 0, a · 1a = 1.
Resposta: ”Para todo nu´mero real a na˜o nulo, a multiplicac¸a˜o desse nu´mero real a pelo seu inverso e´ igual
a 1”. Outra forma: ”Seja a pertencente aos conjunto dos nu´meros reais. Para todo a diferente de zero, o
produto de a pelo seu inverso e´ 1”.
Verdadeiro. Justificativa: ”Lei ou axioma do elemento inverso: ∀a 6= 0, ∃ 1
a
∈ R; a × 1
a
= 1 (diz-se:
1
a
e´ o inverso de a )”.
Observac¸a˜o: axioma na˜o se prova, aceita-se.
2. ∃x ∈ R; 3x = 1.
Resposta: ”existe um nu´mero real x tal que o triplo de x e´ igual a 1”. Outra forma, ”existe x pertencente
ao conjunto dos nu´meros reais tal que o resultado da multiplicac¸a˜o de 3 por x e´ igual a 1”. Ou ainda,
”existe pelo menos um nu´mero real x tal que o resultado da multiplicac¸a˜o de 3 por x e´ igual a 1”.
Verdadeiro. Justificativa: 3 6= 0, pelo axioma do elemento inverso, ∃x = 13 ∈ R tal que 3x = 3 · 13 = 1.
Logo existe x = 13 .
3. ∃! x ∈ R; 3x = 1.
Resposta: ”existe um u´nico nu´mero real x tal que o triplo de x e´ igual a 1”. Outra forma, ”existe um
u´nico x pertencente ao conjunto dos nu´meros reais tal que o produto de 3 por x e´ igual a 1”. Ou ainda,
”existe um nu´mero real x, u´nico, tal que o produto de 3 por x e´ igual a 1”.
Verdadeiro. Justificativa: 3 6= 0, pela propriedade da unicidade do elemento inverso (obs.: essa propriedade
e´ provada a partir do axioma da existeˆncia do elemente inverso, a propriedade e´: so´ existe um nu´mero
real que satisfaz o axioma de existeˆncia de elemento inverso), podemos concluir que ∃!x = 13 ∈ R tal que
3x = 3 · 13 = 1. Logo existe um u´nico x ∈ R e x = 13 .
4. ∃x ∈ Z; 3x = 1.
Resposta: ”existe x pertencente ao conjunto dos nu´meros inteiros tal que o produto de 3 por x e´ igual a
1”, ou ainda, ”existe pelo menos um nu´mero inteiro x tal que o resultado da multiplicac¸a˜o de 3 por x e´
igual a 1”.
Falso. Pelo exerc´ıcio anterior, o u´nico x ∈ R e´ x = 13 . Mas 13 na˜o e´ um nu´mero inteiro, portanto a
afirmac¸a˜o e´ falsa.
5. 6 ∃x ∈ Z; 3x = 1.
Resposta: ”na˜o existe x pertencente ao conjunto dos nu´meros inteiros tal que o resultado da multiplicac¸a˜o
de 3 por x e´ igual a 1”, ou ainda, ”na˜o existe nu´mero inteiro x tal que o produto de 3 por x e´ igual a 1”.
Verdadeiro. Justificativa: observe que essa afirmac¸a˜o e´ uma negac¸a˜o da afirmac¸a˜o do exerc´ıcio anterior.
Um pr´ıncipio ba´sico da lo´gica e´: quando uma afirmac¸a˜o e´ verdadeira, a negativa dessa afirmac¸a˜o e´ falsa.
E vice-versa: quando uma afirmac¸a˜o e´ falsa, a negativa dessa afirmac¸a˜o e´ verdadeira. Portanto, como a
afirmac¸a˜o do exerc´ıcio anterior e´ falsa, a afirmac¸a˜o desse exerc´ıcio e´ verdadeira.
6. ∀x ∈ Z, 3x 6= 1.
Resposta: ”para qualquer x pertencente ao conjunto dos nu´meros inteiros, o produto de 3 por x e´ diferente
de 1”, ou ainda, ”para qualquer nu´mero inteiro x, o resultado da multiplicac¸a˜o de 3 por x e´ diferente de
1”.
Verdadeiro. Justificativa: observe que essa afirmac¸a˜o e´ uma outra forma da negac¸a˜o da afirmac¸a˜o do
exerc´ıcio 4. Portanto, pelo princ´ıpio ba´sico da lo´gica citado no exerc´ıcio 5, como a afirmac¸a˜o do exerc´ıcio
4 e´ falsa, a afirmac¸a˜o desse exerc´ıcio 6 e´ verdadeira.
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7. Seja x ∈ R. 3x = 1 =⇒ x = 13 .
Resposta: ”Seja x um nu´mero real. Se a multiplicac¸a˜o de 3 por x e´ igual a 1 enta˜o x = 13”. Outra forma,
”Seja x um nu´mero real. Multiplicac¸a˜o de 3 por x igual a 1 implica em x = 13”
Verdadeiro. Justificativa: unicidade do elemento inverso.
8. Seja x ∈ R. x = 13 =⇒ 3x = 1.
Resposta: ”Seja x um nu´mero real. Se x = 13 enta˜o o produto de 3 por x e´ igual a 1 ”.
Verdadeiro. Justificativa: axioma da existeˆncia do elemento inverso.
Observe que ”x = 13 implica em multiplicac¸a˜o de 3 por x igual a 1” e´ a afirmac¸a˜o rec´ıproca de
”Multiplicac¸a˜o de 3 por x igual a 1 implica em x = 13”.
9. Seja x ∈ R. 3x = 1⇐⇒ x = 13 .
Resposta: ”Seja x um nu´mero real. A multiplicac¸a˜o de 3 por x e´ igual a 1 se, e somente se, x = 13”. Outra
forma, ”Seja x um nu´mero real. Multiplicac¸a˜o de 3 por x igual a 1 equivale a x = 13”
Verdadeiro. Justificativa: axioma da existeˆncia do elemento inverso e unicidade do elemnto inverso.
Observac¸a˜o: ⇐⇒ e´ s´ımbolo matema´tico de equivaleˆncia, =⇒ e´ s´ımbolo matema´tico de implicac¸a˜o e ⇐=
e´ s´ımbolo matema´tico de rec´ıproca.
Diz-se que ⇐⇒ e´ verdadeira quando sa˜o verdadeiras =⇒ e ⇐=.
10. Sejam a, b, c ∈ R, c 6= 0. a = b =⇒ a · c = b · c
Resposta: ”Sejam a, b, c nu´meros reais. Multiplicar um nu´mero na˜o nulo em ambos os lados de uma
igualdade na˜o altera a igualdade”. Outra forma: ”Nu´mero a e´ igual ao nu´mero b implica que os produtos
de a e b pelo mesmo nu´mero real c sa˜o iguais”.
Verdadeira. Essa afirmac¸a˜o e´ uma propriedade dos nu´meros reais, a prova envolve outros axiomas e
outras propriedades na˜o citadas aqui, prefiro fazer em sala de aula. O importante e´ voceˆs saberem que
essa propriedade e´ verdadeira!
11. Sejam a, b, c ∈ R, c 6= 0. a · c = b · c =⇒ a = b
”Sejam a, b, c nu´meros reais. Dois nu´meros a e b multiplicados pelo mesmo nu´mero c na˜o nulo sa˜o iguais
implica que a e b sa˜o iguais. Outra forma: ”Se dois nu´meros a e b multiplicados pelo mesmo nu´mero na˜o
nulo c sa˜o iguais enta˜o podemos cancelar (cortar) c e concluir que a e b sa˜o iguais.
Verdadeiro. Justificativa: ac = bc e c 6= 0, existe inverso 1c e pela propriedade do ex. 10, implica que
ac 1c = bc
1
c , pelo axioma do elemnto inverso, implica que a · 1 = b · 1, pela propriedade do elemento neutro
da multiplicac¸a˜o, implica que a = b.
Observac¸a˜o: a afirmac¸a˜o desse exerc´ıcio 11 e´ uma propriedade do nu´meros reais, conhecida por Lei do
cancelamento da multiplicac¸a˜o.
12. Sejam a, b, c ∈ R, c 6= 0. a = b⇐⇒ a · c = b · c
Resposta: ”Sejam a, b, c nu´meros reais e c na˜o nulo. Os nu´meros a e b sa˜o iguais se, se e somente se, os
produtos ac e bc sa˜o iguais”. Outra forma: ”Sejam a, b, c nu´meros reais e c na˜o nulo. A igualdade entre
a e b e´ equivalente a igualdade entre os produtos ac e bc.
Verdadeiro. Justificativa: pelos exerc´ıcios 10 e 11 a implicac¸a˜o e a sua rec´ıproca sa˜o verdadeiras, conse-
quentemente a equivaleˆncia e´ verdadeira.
13. Sejam a, b, c ∈ R, c 6= 0. a < b⇐⇒ a · c < b · c
Resposta: ”Sejam a, b, c nu´meros reais e c na˜o nulo. O nu´mero a e´ menor do que o nu´mero b se, se e
somente se, o produto ac e´ menor do que o produto bc”. Outra forma: ”Sejam a, b, c nu´meros reais e c
na˜o nulo. a e´ menor do que b e´ equivalente a ac e´ menor do que bc. Ou ainda, ”Sejam a, b, c nu´meros
reais. Ao multiplicarmos ambos os lados de uma desigualdade por um nu´mero c na˜o nulo ou por seu
inverso 1c , a desigualdade na˜o se altera (ou e´ preservada)”.
Falso. Justificativa: a equivaleˆncia e´ verdadeira quando a implicac¸a˜o e a sua rec´ıproca e´ verdadeira para
qualquer valor real que seja atribu´ıdo a qualquer das varia´veis reais a, b, c, com c na˜o nulo.
Vamos verificar que a implicac¸a˜o na˜o e´ verdadeira em alguns valores de c.
Por exemplo, a = 3, b = 5, c = −2. Como 3 < 5, temos que a < b. E, ac = 3 × (−2) = −6 ,
bc = 5× (−2) = −10. Como −10 < −6, ou , escrevendo de outra forma , −6 > −10, temos que ac > bc.
Nesseexemplo, a < b na˜o implicou em ac < bc, ou seja, a desigualdade foi alterada de menor do que (<)
para maior do que (>).
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14. Sejam a, b, c ∈ R, c > 0. a < b⇐⇒ a · c < b · c
Resposta: ”Sejam a, b, c nu´meros reais e c positivo. O nu´mero a e´ menor do que o nu´mero b se, se e
somente se, o produto ac e´ menor do que o produto bc”. Outra forma: ”Sejam a, b, c nu´meros reais e c
positivo. a e´ menor do que b e´ equivalente a ac e´ menor do que bc. Ou ainda, ”Sejam a, b, c nu´meros
reais. Ao multiplicarmos ambos os lados de uma desigualdade por um nu´mero c positivo ou por seu
inverso 1c , a desigualdade na˜o se altera (ou e´ preservada)”.
Verdadeiro. Justificativa: sera´ vista mais adiante, exige o uso de propriedades de ordem que veremos
depois. Essa afirmac¸a˜o do exerc´ıcio 15 e´ uma propriedade de ordem do nu´meros reais conhecida por
propriedade da preservac¸a˜o da ordem na multiplicac¸a˜o por nu´mero positivo.
15. Sejam a, b, c ∈ R, c < 0. a < b⇐⇒ a · c < b · c
Resposta: ”Sejam a, b, c nu´meros reais e c negativo. O nu´mero a e´ menor do que o nu´mero b se, se e
somente se, o produto ac e´ menor do que o produto bc”. Outra forma: ”Sejam a, b, c nu´meros reais e c
negativo. a e´ menor do que b e´ equivalente a ac e´ menor do que bc. Ou ainda, ”Sejam a, b, c nu´meros
reais. Ao multiplicarmos ambos os lados de uma desigualdade por um nu´mero c negativo ou por seu
inverso 1c , a desigualdade na˜o se altera (ou e´ preservada)”.
Falso. Justificativa: mesma justificativa do exerc´ıcio 13.
16. Sejam a, b, c ∈ R, c < 0. a < b⇐⇒ a · c > b · c
Resposta: ”Sejam a, b, c nu´meros reais e c negativo. O nu´mero a e´ menor do que o nu´mero b se, se e
somente se, o produto ac e´ maior do que o produto bc”. Outra forma: ”Sejam a, b, c nu´meros reais e c
negativo. a e´ menor do que b e´ equivalente a ac e´ maior do que bc. Ou ainda, ”Sejam a, b, c nu´meros
reais. Ao multiplicarmos ambos os lados de uma desigualdade por um nu´mero c negativo ou por seu
inverso 1c , a desigualdade se altera (ou na˜o e´ preservada, ou e´ invertida)”.
Verdadeiro. Justificativa: sera´ vista mais adiante, exige o uso de propriedades de ordem que veremos
depois. Essa afirmac¸a˜o do exerc´ıcio 15 e´ uma propriedade de ordem do nu´meros reais conhecida por
propriedade da inversa˜o da ordem na multiplicac¸a˜o por nu´mero negativo.
17. ∀x ∈ R x2 ≥ 0
Resposta: ”para todo nu´mero real, o seu quadrado e´ um nu´mero positivo ou nulo”. Outra forma: ”o
quadrado de qualquer nu´mero real e´ positivo ou nulo”.
Verdadeiro. Justificativa. Como x2 = x · x , se x = 0, 02 = 0 · 0 = 0, ou se x > 0, produto de positivos e´
positivo, ou x < 0, produto de negativos e´ positivo, conclu´ımos que na˜o existe x tal que x2 seja negativo.
Logo x2 ≥ 0.
18. ∀x ∈ R x2 +√2 > 0
Resposta: ”A soma de raiz quadrada de 2 com qualquer nu´mero real elevado ao quadrado e´ positiva”.
Verdadeiro. Justificativa: Sabemos que
√
2 > 0. Se x = 0 enta˜o x +
√
2 = 0 +
√
2 =
√
2 > 0. Se x 6= 0,
enta˜o x2 > 0. Aplicando um axioma da ordem que diz que soma de positivos e´ positivo, conclu´ımos que:
se x 6= 0 enta˜o x+√2 > 0.
(II) Abaixo foi usado o s´ımbolo ⇐⇒ (s´ımbolo de equivaleˆncia), para simplificar as equac¸o˜es ou inequac¸o˜es na
varia´vel x ∈ R. Verifique se cada simplicac¸a˜o esta´ correta. Se estiver correta, explique como simplificou, citando
uma ou mais propriedades dos nu´meros reais. Se estiver incorreta, explique como concluiu.
1. 2x3 + 6x2 = 12⇐⇒ x3 + 3x2 = 6
Resposta: 2x3 + 6x2 = 12⇐⇒ 2 (x3 + 3x2) = 12⇐⇒ 12 × 2 (x3 + 3x2) = 12 × 12⇐⇒ x3 + 3x2 = 6
Portanto, a simplificac¸a˜o esta´ correta.
2. x2 = 3x⇐⇒ x = 3
Resposta; A lei do cancelamento vale se x 6= 0 , ou seja se x 6= 0, vale x2 = 3x⇐⇒ x2 × 1x = 3x× 1x ⇐⇒
x = 3. Nesse caso, se x 6= 0 a simplificac¸a˜o esta´ correta.
Se x = 0, na˜o ha´ inverso de x, vamos verificar se a igualdade de cada lado da equivaleˆncia e´ verdadeira.
02 = 0 e 3 · 0 = 0, logo 02 = 3 · 0, nesse caso x2 = 3x e´ verdadeira.
x = 0 e 0 6= 3, logo nesse caso x = 3 e´ falsa.
Portanto as igualdades na˜o sa˜o equivalentes.
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3. Seja x 6= 0. 3x−2x < 1⇐⇒ 3x− 2 < x
Resposta:
Se x > 0 aplicamos a propriedade da preservac¸a˜o da ordem na multiplicac¸a˜o por nu´mero positivo.
Logo, para x > 0 : 3x−2x < 1⇐⇒ 3x−2x × x < 1 · x⇐⇒ 3x− 2 < x. Logo, para x > 0 a simplificac¸a˜o esta´
correta.
Se x < 0 aplicamos a propriedade da inversa˜o da ordem na multiplicac¸a˜o por nu´mero negativo.
Logo, para x < 0 : 3x−2x < 1⇐⇒ 3x−2x × x > 1 · x⇐⇒ 3x− 2 > x. Logo, para x > 0 a simplificac¸a˜o esta´
errada.
Portanto, a simplificac¸a˜o esta´ errada porque na˜o e´ verdadeira em qualquer caso.
4. Seja x 6= 0. 3x−2x2 < 1⇐⇒ 3x− 2 < x2
Resposta: Se x 6= 0, sabemos que x2 > 0 e se x2 > 0 aplicamos a propriedade da preservac¸a˜o da ordem
na multiplicac¸a˜o por nu´mero positivo.
Logo, para x > 0 : 3x−2x2 < 1 ⇐⇒ 3x−2x2 × x2 < 1 · x2 ⇐⇒ 3x− 2 < x2. Logo, para x 6= 0, a simplificac¸a˜o
esta´ correta.
(III) Resolva em R.
1. 3x−2x = 1
Resposta: como x esta´ no denominador, sabemos que x 6= 0.
3x−2
x = 1⇐⇒ 3x−2x × x = 1× x⇐⇒ 3x− 2 = x⇐⇒ 3x− 2− x+ 2 = x− x+ 2⇐⇒ 2x = 2
⇐⇒ 12x = 2× 12 ⇐⇒ x = 1. Portanto a u´nica soluc¸a˜o e´ x = 1.
2. 3x−2x < 1
Resposta: como x esta´ no denominador, sabemos que x 6= 0.
Observando o exerc´ıcio (II)(3), na˜o podemos simplificar multiplicando por x dos dois lados (isto e´, na˜o
pode multiplicar em cruz). Subtrair qualquer nu´mero real nos dois lados da desigualdade na˜o altera a
desigualde (esta e´ uma propriedade de ordem dos reais).
Logo 3x−2x < 1⇐⇒ 3x−2x − 1 < 1− 1 = 0⇐⇒ 3x−2−xx < 0⇐⇒ 2x−2x < 0.
O quociente de nu´meros e´ negativo em dois casos: (i) ou (ii)
(i) numerador positivo e denominador negativo: 2x− 2 > 0 e x < 0.
2x− 2 > 0⇐⇒ 2x− 2 + 2 > 0 + 2⇐⇒ 2x > 2⇐⇒ 12 × 2x > 2× 12 ⇐⇒ x > 1.
Assim, nesse caso (i), x > 1 e x < 0, mas na˜o existe nu´mero real que satisfaz essas desigualdades simulta-
neamente, na˜o ha´ soluc¸a˜o ou a soluc¸a˜o e´ vazia.
(ii) numerador negativo e denominador positivo: 2x− 2 < 0 e x > 0.
2x− 2 < 0⇐⇒ 2x− 2 + 2 < 0 + 2⇐⇒ 2x < 2⇐⇒ 12 × 2x < 2× 12 ⇐⇒ x < 1.
Nesse caso (ii), x < 1 e x > 0, logo a soluc¸a˜o e´: 0 < x < 1 ou seja, a soluc¸a˜o e´ o intervalo aberto (0, 1).
A soluc¸a˜o final e´ a unia˜o da soluc¸o˜es dos casos (i) e (ii), portanto a soluc¸a˜o final e´ o intervalo aberto (0, 1).
3. 3x−2x2 = 1
Resposta: Como x2 esta´ no denominador, sabemos que x2 6= 0.
3x−2
x2 = 1⇐⇒ 3x−2x2 × x2 = 1× x2 ⇐⇒ 3x− 2 = x2 ⇐⇒ 3x− 2− 3x+ 2 = x2 − 3x+ 2⇐⇒
x2 − 3x+ 2 = 0⇐⇒ x = 3±
√
32−4·1·2
2 ⇐⇒ x = 3±12 ⇐⇒ x = 42 = 2 ou x = 22 = 1.
Portanto ha´ duas soluc¸o˜es: x1 = 1 e x2 = 2.
4. 3x−2x2 < 1
Resposta: Como x2 esta´ no denominador, sabemos que x2 6= 0 e tambe´m sabemos que x2 > 0.
Como x2 > 0, podemos aplicar a propriedade de preservac¸a˜o da ordem na multiplicac¸a˜o por positivo.
3x−2
x2 < 1⇐⇒ 3x−2x2 × x2 < 1× x2 ⇐⇒ 3x− 2 < x2 ⇐⇒ 3x− 2− 3x+ 2 < x2 − 3x+ 2⇐⇒
0 < x2 − 3x+ 2⇐⇒ x2 − 3x+ 2 > 0.
Ja´ determinamos as ra´ızes de x2 − 3x + 2 = 0, como o coeficiente de x2 e´ positivo (= 1), o trinoˆmio
x2 − 3x+ 2 e´ positivo fora das ra´ızes x1 = 1 e x2 = 2, ou seja, x < 1 ou x > 2.
Portanto a soluc¸a˜o e´ a unia˜o de intervalos abertos: (−∞, 1) ∪ (2,∞).