Apostila Matemática Financeira 2018.1 Prof. Marlos

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Introdução à 
Matemática Financeira 
 
 
 
 
 
Se um amigo lhe pedisse $100,00 para lhe pagar os mesmos $100,00 daqui a um ano, o que 
você acharia? 
 
Com certeza, por melhor que fosse seu amigo, a proposta não seria vista com bons olhos !!! 
• Alguns pontos vêm à mente: 
– Será que ele vai me pagar? 
– Será o poder de compra dos $100,00 daqui a um ano será o mesmo? 
– Se eu permanecesse com os $100,00 poderia aplicá-los na poupança e 
ganhar rendimentos !! 
 
Princípio básico: Dinheiro tem um custo associado ao tempo. 
 
• Os pontos questionados remetem ao custo do dinheiro. 
• Ao transportar $ no tempo, existe um custo que pode ser decomposto em: 
– Inflação; 
– Risco de crédito; 
– Taxa real de juros. 
 
Sendo assim, existe uma regra básica da matemática financeira que deverá ser 
sempre respeitada ... 
Atenção: Nunca some valores em datas diferentes. 
 
Diagrama de Fluxo de Caixa 
 
• Também denominado DFC 
• Consiste em uma representação gráfica da movimentação de $ no tempo 
• Seus elementos principais são: 
 
 
 
Exemplo de DFC: 
 
 
 
Seta para cima : entrada de caixa
Seta para baixo : saída de caixa
Valor Presente
n
0
Valor Futuro
Valor Presente
Juros
Período de capitalização
+
Diagrama de Fluxo de Caixa 
Operação de Empréstimo
Os Diagramas de fluxo de caixa permitem fazer uma representação gráfica da evolução do 
dinheiro no tempo. 
 
 
Ilustrando o uso do DFC: 
Um investidor aplicou hoje $100,00 por um mês, planejando resgatar $108,00. Desenhe o 
diagrama de fluxo de caixa da operação. 
 
 
Tempo
Movimentações de $
(+) Entradas
(-) Saídas
Taxa de juros = 
Juros
Valor Inicial
-100,00
+108,00
1
taxa = 8/100 = 8%
juros = $8,00
ao período
0 meses
Para aprender de fato, vejamos outros exemplos: 
Exemplo A: Um amigo nosso resolveu aplicar hoje $400,00 por quatro meses. Sabendo que 
ele recebeu $80,00 de juros, calcule o valor do resgate (valor futuro) e a taxa de juros e 
desenhe o diagrama de fluxo de caixa da operação. 
 
 
 
Exemplo B: Desenhe o Diagrama de Fluxo de Caixa para as seguintes situações: 
a) Aplicação de $500,00 em dois meses; 
b) Resgate de $700,00 após quatro meses; 
c) Aplicação de $400,00 em dois meses com resgate de $600,00 após seis meses; 
d) Recebimento de $800,00 hoje, com pagamento de $500,00 após 
30 dias e $600,00 após 120 dias. 
 
 
Solução do Exemplo A
-400,00
+480,00
4
taxa = 80/400 = 20%
juros = $80,00
ao período
0
a) Aplicação de $500,00 em dois meses
2
-500,00
 
 
 
b) Resgate de $700,00 após quatro meses
4
+700,00
c) Aplicação de $400,00 em dois meses com resgate de $600,00 após seis
meses;
6
+600,00
2
-400,00
d) Recebimento de $800,00 hoje, com pagamento de $500,00 após 30 dias e 
$600,00 após 120 dias.
+800,00
30
-500,00
120
-600,00
0
Exemplo C: Manoel tomou $200,00 emprestados, assumindo o compromisso de pagar 
$250,00 após 45 dias. Desenhe o diagrama de fluxo de caixa da operação. 
 
 
Exemplo D: 
Uma loja anuncia a venda de uma geladeira a vista por $800,00 ou em duas parcelas 
mensais e sem entrada de $500,00. Desenhe o diagrama de fluxo de caixa da operação de 
compra financiada. 
 
 
 
-250,00
+200,00
45 dias
taxa = 50/200 = 25%
juros = $50,00
ao período
0
+800,00
taxa = 200/800 = 25%
juros = $200,00
na operação
20 1
-500,00-500,00
Exemplo E: 
Um comerciante anuncia a venda de um conjunto de estofados a vista por $600,00 ou em 1 
+ 4 parcelas mensais de $150,00. Desenhe o diagrama de fluxo de caixa da operação de 
compra financiada. 
 
 
Exemplo F: 
Um funcionário da empresa fez um empréstimo em um banco, assumindo o compromisso de 
pagar de $100,00 após trinta dias. Sabendo que o banco descontou do valor por ele 
recebido $20,00 a título de juros, desenhe o diagrama de fluxo de caixa e calcule a taxa de 
juros cobrada pelo banco. 
 
+600,00
taxa = 150/450 = 33%
juros = $150,00
na operação
20 1 43
-150,00
-100,00
+80,00
30 dias
taxa = 20/80 = 25%
juros = $20,00
ao mês
… 20 de 100 = 20%!
0
Exemplo G: 
O caso da loja Preços Baixos Mas Juros Nem Tanto Ltda. 
Escapando das armadilhas... 
A Comercial Preços Baixos Mas Juros Nem Tanto Ltda. anuncia a venda de um rádio a vista 
por $100,00 ou em 1 + 1 parcelas mensais de $60,00. Desenhe o diagrama de fluxo de 
caixa da operação de compra financiada. 
 
Pensando sem esforço …
Já que o bem custa $100,00 e 
eu vou pagar duas de 
$60,00 …
Vou pagar 20% 
de juros!
 
Pensando melhor …
Ops!
Estude o diagrama 
de fluxo de caixa da 
operação!!!
 
 
 
Para sempre lembrar …
+100,00
taxa = 20/40 = 50%
juros = $20,00
ao mês
0 1
-60,00-60,00
+40,00
Ops … recebi 100, pagando 1+1 de 60 …
Que 
absurdo!
Reforçando: 
 
 
Componentes do DFC
• Valor presente (VP)
• Valor futuro (VF)
• Tempo (n)
• Taxa de juros (i)
-400,00
+480,00
4
taxa = 80/400 = 20%
VF - VP
juros = $80,00
ao período
0
VP
VF
n
i
 
 
 
 
 
 
 
 
Ampliando horizontes …
• E se a operação for uma série?
• Série = mais que dois capitais
analisados
• Exemplo: A vista: 
$1.000,00
Ou 4 x 
$300,00
+1.000,00
1
-3
0
0
,0
0
2
-3
0
0
,0
0
3
-3
0
0
,0
0
4
-3
0
0
,0
0
 
O que significa? 
 
Componentes de séries
• Valor presente (VP)
• Valor futuro (VF)
• Taxa de juros (i)
• Tempo (n)
• Pagamento (PMT)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Prestações
Taxa de juros (i)Valor Presente
Número de pagamentos (n)
A simbologia do …
1 + n
Com entrada!!!
 
 
Regras gerais
• Valores somente podem ser 
comparados se estiverem 
referenciados na mesma data.
• Operações algébricas apenas 
podem ser executadas com 
valores referenciados na 
mesma data.
 
 
 
 
 
 
Conceito de juros simples
Juros sempre
incidem sobre 
o 
VALOR 
PRESENTE
• A representação gráfica seria ...
$100,00
Valor Presente
n
10 2 3
$5,00 $5,00 $5,00
$115,00
Valor Futuro
$15,00
Juros
$100,00
Valor Presente
Incidência de Juros
 
 
 
 
Total dos Juros Simples
• A equação do total de juros simples poderia ser 
apresentada como :
niVPJ 
Número de períodos
Taxa de juros
Valor presente
Total dos juros
Equação de Juros Simples
O montante ou valor futuro pode ser definido como:
niVPVPVF 
Ou, colocando em evidência :
 niVPVF  1
 
 
 
 
Preste atenção!!!
 Empréstimo
 Valor atual na data 
zero igual a $100,00
 Taxa igual a 10% a.p.
Considere juros 
simples
Juros simples
n Juros VF Fórmula
0 - 100,00 VF=VP
1 10,00 110,00 VF=VP + i.VP
10% x $100
2 10,00 120,00 VF=VP + i.VP + i.VP
10% x $100
n i.VP VF VF=VP (1+ i.n)
 
REPETINDO! ... 
 
Fórmula dos juros simples
VF=VP (1+ i.n)
Devem estar
em uma mesma
base!!!
Como a taxa é sagrada,
ajusta-se o valor de n
 
 
Abreviaturas nas taxas 
Abreviatura Significado
a.d. ao dia
a.d.u. ao dia útil
a.m. ao mês
a.m.o. ao mês over
a.b. ao bimestre
a.t. ao trimestre
a.q. ao quadrimestre
a.s. ao semestre
a.a. ao ano
a.a.o. ao ano over
 
 
 
 
 
Cuidado com os anos
ano civil ou exato
considera 365 dias
ano comercial
considera 360 dias
 
 
 
Características dos juros 
simples
 Valor uniforme dos 
juros períodicos
 Valor futuro cresce 
linearmenteCapitalização Linear
Valor Futuro
Tempo
VP
 
 
 
 
 
 
 
Lembre-se que taxas (i) são sagradas! 
Devem estar na mesma base que o tempo (n)! 
 
 
 
 
 
Exercícios de Fixação: 
01) Um investimento de $50,00 foi feito por três meses a taxa de 10% ao mês no 
regime de juros simples, qual o valor futuro? 
02) Uma aplicação deveria fornecer um montante de $600,00 após 2 meses, 
remunerada a uma taxa de 3% a.m., no regime de juros simples. Qual o valor 
presente dessa aplicação? 
 
Fórmulas de Juros Simples
 niVPVF  1
 ni
VF
VP


1
n
VP
VF
i








1
i
VP
VF
n








1
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
REVISANDO... 
 
 
 
Desconto Racional
A taxa de juros
incide sobre o
Valor Presente
ou Por Dentro
Fórmulas Desconto Racional
n) . i (1
 PV


FV
V - FV Dr P
n . i 1
 - FV Dr 


FV
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Desconto Comercial
A taxa de juros
incide sobre o
Valor Futuro
ou Por Fora
 
 
 
Fórmula do desconto comercial
VP = VF - D = VF - VF.id.n = VF (1 - id.n)
O valor líquido é igual ao valor nominal subtraído do 
desconto, aplicado sobre o valor futuro.
Desconto
Valor 
presente
ou líquido
Valor futuro ou nominal
.nFV.i Dc d
Fórmulas de desconto comercial
 niVFVP  1
 ni
VP
VF


1
n
VF
VP
i








1
i
VF
VP
n








1
 
 
 
 
 
Atenção
Alguns sinônimos costumam
ser usados nas operações de desconto : 
Valor Presente = Valor Líquido
Valor Nominal = Valor Futuro
 
 
 
 
 
QUE TRABALHO? 
EXISTE ALGUMA FORMA MAIS FÁCIL? 
SIM. USANDO O 
DESCONTO COMERCIAL 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Desconto Bancário
É similar e sinônimo do desconto comercial.
A única diferença é a cobrança de (t)uma taxa 
fixa sobre o valor nominal, geralmente o IOF.
Fórmulas:
t)-.ni-(1 FV PV
FV .t Dc Db
d
