Análises das Variações Quadráticas

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Análise das Variações 
Variações Quadráticas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Análise das Variações Quadráticas 
Prof. Luiz Gil Solon Guimarães 
 
Aristóteles viveu na Grécia Antiga entre os anos 384 
A.C. e 322 A.C. e, dentre suas inúmeras 
contribuições, estudou o movimento dos corpos. 
Suas ideias permaneceram válidas durante quase 
dois mil anos, quando Galileu Galilei (1564 a 1642), 
outro grande nome da história da ciência, 
introduziu a ideia da comprovação do 
conhecimento científico através de experiências 
práticas. Muitos assumem que ali nascia o método 
científico e a ciência moderna. 
Dizem que Galileu começou seus experimentos relacionados 
ao estudo da queda livre de corpos tentando estudar o 
fenômeno através de corpos de pesos diferentes “largados” 
do alto da Torre de Pisa. A figura ao lado ilustra a situação. 
Como não conseguiu medir os tempos com a precisão 
necessária para o experimento, Galileu passou a trabalhar 
com planos inclinados, que reproduziam o fenômeno de 
forma mais lenta, permitindo a aferição dos tempos. 
A fotografia abaixo apresenta uma réplica de um plano inclinado utilizado por Galileu 
para seus experimentos e exposta no Museo Galileo, em Florença, Itália. Faça uma 
visita virtual ao museu em https://www.museogalileo.it/ 
 Análise das Variações Quadráticas 
Prof. Luiz Gil Solon Guimarães 
 
 
O plano inclinado permite que esferas rolem do topo até o chão e, pelas suas 
dimensões e inclinação, facilita as medições. 
Para possibilitar os registros em posições 
intermediárias do trajeto foram instalados 
sinos no plano inclinado capazes de emitir 
um sinal no momento de passagem da 
esfera pelo local de instalação. 
A fotografia ao lado mostra em detalhe a 
réplica do sino utilizado por Galileu em seu 
plano inclinado. Repare que existe uma 
haste que é impactada pela passagem da 
esfera e é responsável pelo acionamento 
do sino. 
Inicialmente Galileu instalou os sinos igualmente espaçados e percebeu, pelos sons, 
que o tempo percorrido entre os sinais não era constante, ou seja, o espaço entre os 
sinos era percorrido cada vez mais rápido, pois a esfera estava ganhando velocidade. 
Na sequência, Galileu ajustou o posicionamento afastando os sinos no plano inclinado 
de forma que os sons emitidos ocorressem em intervalos de tempos iguais. Isso fez 
com que eles ficassem instalados com distâncias variadas entre eles, como pode ser 
visto na foto seguinte. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vamos 
 Análise das Variações Quadráticas 
Prof. Luiz Gil Solon Guimarães 
 
relembrar as equações da física para o movimento retilíneo uniformemente variado 
 
� = 	 �� +	��	� +
�
	
	
	�
	
	 
 
�
	
=	��
	
+ 		
	∆� 
 
Onde: 
 
s: posição do móvel 
s0: posição inicial do móvel 
v0: velocidade inicial do móvel 
t: tempo percorrido 
a: aceleração 
v: velocidade 
∆�: distância percorrida 
 
 
 Análise das Variações Quadráticas 
Prof. Luiz Gil Solon Guimarães 
 
Desafio: 
 
Considerando que: 
• A posição inicial seja 0 m e a velocidade inicial seja 0 m/s; 
• A aceleração seja 2,815 m/s
2
; 
• O comprimento total do trilho do plano inclinado seja 3,0 m; 
• Conforme a foto, sejam 5 sinos instalados. 
 
1. Para reproduzir a situação inicial da experiência de Galileu, desenhe um esquema 
posicionando os sinos igualmente espaçados. 
 
a) Qual a distância entre os sinos? 
b) Qual o tempo total para percorrer todo o plano inclinado? 
c) Construa uma tabela contendo na primeira coluna os tempos percorridos a partir do 
início, passando por cada sino, até o final do trilho do plano inclinado e na segunda 
coluna as posições relativas a cada marcação (0 a 3 m) 
d) Construa um gráfico mostrando, nas abscissas, o tempo decorrido até passar por 
cada posição considerada e nas ordenadas a posição de cada sino. 
 
2. Agora teremos que reposicionar os sinos de forma que eles soem em intervalos de 
tempos iguais 
a) Qual o tempo para percorrer cada trecho? 
b) Qual a distância entre os trechos para que os tempos fiquem iguais? 
c) Construa um gráfico mostrando, nas abscissas, o tempo decorrido até passar por 
cada posição considerada e nas ordenadas a posição de cada sino. 
 
3. Os gráficos devem ser iguais ou diferentes? Por que? 
4. Em seu livro, ”Duas Novas Ciências”, Galileu afirmou que: 
 
 
 
 “Os espaços percorridos estavam entre si 
como os quadrados dos tempos.” 
 
 
 
 
 
 
 
 
Analise os gráficos construídos, organize os tempos e os espaços percorridos em cada 
trecho e comente a afirmação de Galileu. 
 
DICA: crie uma coluna adicional nas tabelas com o quadrado de cada tempo e compare 
com os espaços percorridos