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26/02/2008 – Fatec/Tatuí – Calculo II - Taxas Relacionadas 1 Taxas Relacionadas Um problema envolvendo taxas de variação de variáveis relacionadas é chamado de problema de taxas relacionadas. Os passos a seguir representam um procedimento possível para resolver problemas envolvendo taxas relacionadas. 1 – Faça uma figura, se isso for possível; 2 – Defina as variáveis. Em geral defina primeiro t, pois as outras variáveis usualmente dependem de t. 3 – Escreva todos os fatos numéricos conhecidos sobre as variáveis e suas derivadas em relação à t. 4 – Obtenha uma equação envolvendo as variáveis que dependem de t. 5 – Derive em relação a t ambos os membros da equação encontrada na etapa 4. 6 – Substitua os valores de quantidades conhecidas na equação da etapa 5 e resolva em termos da quantidade desejada. Começaremos nossa discussão com um exemplo que descreve uma situação real. Exemplos: 1) Uma escada com 25 unidades de comprimento está apoiada numa parede vertical. Se o pé da escada for puxado horizontalmente, afastando-se da parede a 3 unidades de comprimento por segundo, qual a velocidade com que a escada está deslizando, quando seu pé esta a 15 unidades de comprimento da parede? Resolução: - Definição das variáveis: t → tempo decorrido desde que a escala começou a deslizar pela parede em segundos. y → distância do chão ao topo da escada. x → distância do pé da escada ate a parede. - Figura (desenho esquemático) - Fatos numéricos conhecidos: 3= dt dx ?= dt dy quando x = 15 - Equação envolvendo as variáveis que dependem de t: Pelo teorema de Pitágoras temos: 222 25=+ xy 22 625 xy −= x y 25 x y 25 26/02/2008 – Fatec/Tatuí – Calculo II - Taxas Relacionadas 2 - Derivando em relação a t: 22 625 xy −= dt dx x dt dyy 202 −= dt dx y x dt dy 2 2 −= dt dx y x dt dy −= - Substituindo os valores de quantidades conhecidas: Devemos encontrar y para x = 15, substituindo na equação: 22 625 xy −= 40022562515625 22 =−=−=y 20400 ±=±=y portanto: 20=y Encontrando agora 20= ydt dy 25,2 4 93 20 15 −=−=⋅−= dt dy Logo o topo da escada esta deslizando a uma taxa de 2,25 unidades de comprimento por segundo. O sinal negativo significa que y é decrescente, quanto t cresce. 2) Um tanque tem a forma de um cone invertido com 16m de altura e uma base com 4m de raio. A água “flui” no tanque a uma taxa de min2 3m . Com que velocidade o nível da água estará se elevando quando sua profundidade for de 5m? 1- Figura (desenho esquemático) 2- Definição das variáveis: t → tempo em (min) com que a água “flui” no tanque. V → volume em m3 de água. h → nível em (m) com que a água esta se elevando no tanque. r → raio em (m) do nível da água no tanque. 4m r m h m 16 m 4m r m h m 16 m 26/02/2008 – Fatec/Tatuí – Calculo II - Taxas Relacionadas 3 3- Fatos numéricos conhecidos: min 3 2 m dt dV = min? m dt dh = quando mh 5= mh 16= para mr 4= 4- Equação envolvendo as variáveis que dependem de t: 4 4 hrrh =⇒= hrV ⋅⋅= 2 3 pi 3 2 16343 hhhV ⋅ ⋅ =⋅ ⋅= pipi 5- Derivando em relação a t: 3 163 hV ⋅ ⋅ = pi dt dhh dt dhh dt dV 16 3 163 2 2 ⋅ =⋅⋅⋅ ⋅ = pipi dt dV hdt dh ⋅ ⋅ = 2 16 pi 6- Substituindo os valores de quantidades conhecidas: Encontrando agora 5= hdt dh min22 5 25 322 5 1616 m dt dV hdt dh pipipi ⋅ =⋅ ⋅ =⋅ ⋅ = min 5 407,0 m dt dz = 3) Dois carros estão se encaminhando em direção a um cruzamento, um seguindo a direção leste a uma velocidade de 90km/h e o outro seguindo a direção sul, a 60km/h. Qual a taxa segundo a qual eles se aproximam um do outro no instante em que o primeiro carro está 0,2km do cruzamento e o segundo a 0,15km? Resolução: 1- Figura (desenho esquemático) P y (km) x (km) z (k m) direção sul direção leste P y (km) x (km) z (k m) direção sul direção leste 26/02/2008 – Fatec/Tatuí – Calculo II - Taxas Relacionadas 4 2- Definição das variáveis: t → tempo em (h) desde que os carros começaram a se aproximar. x → distância em (km) do primeiro carro em relação a P (direção leste). y → distância em (km) do segundo carro em relação a P (direção sul). z → distância em (km) entre os dois carros. 3- Fatos numéricos conhecidos: h km dt dx 90−= kmx 2,0= h km dt dy 60−= kmx 15,0= h km dt dz (?)= kmz (?)= 4- Equação envolvendo as variáveis que dependem de t: Pelo teorema de Pitágoras temos: 222 yxz += 5- Derivando em relação a t: dt dyy dt dx x dt dz z 222 += += dt dyy dt dx x dt dz z 22 z dt dyy dt dx x dt dz + = 6- Substituindo os valores de quantidades conhecidas: Devemos encontrar z, substituindo na equação: 222 yxz += 25,00625,015,02,0 2222 ==+=+= yxz Encontrando agora 25,0= zdt dz 25,0 )60(15,0)90(2,0 25,0 −⋅+−⋅ = + = z dt dyy dt dx x dt dz h km dt dz 108 25,0 −= 4) Um avião voa a 152,4m/s paralelamente ao solo, a uma altitude de 1.220m no sentido oeste, tomando como referência um holofote fixado no solo que o focaliza e que se encontra à esquerda da projeção vertical do avião em relação ao solo. Sabendo-se que a luz do holofote deverá permanecer iluminando o avião, qual deverá ser a velocidade angular (de giro) do holofote, no instante em que a distância horizontal entre ele e a projeção vertical do avião for de 610m? 1- Figura (desenho esquemático) 26/02/2008 – Fatec/Tatuí – Calculo II - Taxas Relacionadas 5 2- Definição das variáveis: t → tempo em (s) com que o avião se desloca na direção oeste. θ → ângulo de elevação (em radianos) do feixe luminoso emitido pelo holofote em relação ao solo. x → distância em (m) medida horizontalmente entre o holofote e a projeção vertical do avião em relação ao solo. y → distância em (m) medida verticalmente entre o holofote e a projeção vertical do avião no solo. 3- Fatos numéricos conhecidos: s m dt dx 4,152−= mx 610= s radianos dt d (?)=θ radianos(?)=θ my 1220= 4- Equação envolvendo as variáveis que dependem de t: x tg x y tg 1220=⇒= θθ θθ 22 1sec tg+= 5- Derivando em relação a t: '1220)'( = x tgθ dt dx xdt d ⋅−=⋅ 2 2 1220sec θθ dt dx xdt d ⋅ ⋅ −= θ θ 22 sec 1220 6- Substituindo os valores das grandezas conhecidas temos: 22 610 12201220 =⇒=== θθ tg x tg 5sec54121sec 222 =⇒=+=+= θθ )4,152( 5610 1220 sec 1220 2222 −⋅ ⋅ −=⋅ ⋅ −= dt dx xdt d θ θ srad dt d / 10 1 = θ θ P (avião) holofote x = 610m y = 1220m Direção oeste θ P (avião) holofote x = 610m y = 1220m Direção oeste 26/02/2008 – Fatec/Tatuí – Calculo II - Taxas Relacionadas 6 5) Um tanque cúbico horizontal tem aresta medindo 2m, e a vazão de água é constante, valendo 0,5m3/s. Determine a velocidade de subida do nível da água. 1- Figura (desenho esquemático) 2- Definição das variáveis: t → tempo em (s) com que a água estasendo vazada no tanque. h → altura em (m) do tanque cúbico (aresta vertical). V → volume do tanque cúbico. 3- Fatos numéricos conhecidos: s m dt dV 35,0= hhAV b ⋅=⋅= 22 s m dt dh (?)= mh 2= 4- Equação envolvendo as variáveis que dependem de t: hV ⋅= 4 5- Derivando em relação a t: dt dh dt dV ⋅= 4 dt dV dt dh ⋅= 4 1 6- Substituindo os valores das grandezas conhecidas temos: s m dt dh 125,0 4 5,05,0 4 1 ==⋅= 6) Uma pipa esta voando a uma altura de 40m. Uma criança esta empinando-a de tal forma que ela se mova horizontalmente, a uma velocidade de 3m/s. Se a linha estiver esticada, com que velocidade a linha estará sendo “dada”, quando o comprimento da linha desenrolada for de 50m? 1- Figura (desenho esquemático) 2- Definição das variáveis: t → tempo em (s) com que a criança empina a pipa x → distância em (m) medida horizontalmente entre a criança e a projeção vertical da pipa no solo. y → distância em (m) medida verticalmente entre a pipa e o solo. z → distância em (m) medida entre a pipa e a criança. x yz P x yz P 26/02/2008 – Fatec/Tatuí – Calculo II - Taxas Relacionadas 7 3- Fatos numéricos conhecidos: s m dt dx 3= mx (?)= s m dt dy 0= my 40= s m dt dz (?)= mz 50= 4- Equação envolvendo as variáveis que dependem de t: Pelo teorema de Pitágoras temos: 222 yxz += 5- Derivando em relação a t: dt dyy dt dx x dt dz z 222 += z dt dyy dt dx x dt dz + = 6- Substituindo os valores de quantidades conhecidas: Devemos encontrar z, substituindo na equação: 222 yxz += 900160025004050 2222 =−=−=−= yzx 30=x Encontrando agora 50= zdt dz 50 90 50 040330 = ⋅+⋅ = dt dz s m dt dz 5 9 = 7) Um balão esférico está sendo inflado de tal forma que seu volume aumente a uma taxa de 5m3/min. Qual a taxa de crescimento do diâmetro quando ele mede 12m? 1- Figura (desenho esquemático) 2- Definição das variáveis: t → tempo (em min.) com que o balão esta sendo inflado. d → diâmetro (em m) do balão esférico. V → volume (em m3) do balão esférico. 3- Fatos numéricos conhecidos: .min(?) d m dt d = md 12= .min e 35V m dt d = mVe (?)= dd 26/02/2008 – Fatec/Tatuí – Calculo II - Taxas Relacionadas 8 4- Equação envolvendo as variáveis que dependem de t: 3 33 3 683 4 23 4 3 4 dddrVe ⋅=⋅= ⋅=⋅= pi pipipi 2 2 drrd =⇒= 5- Derivando em relação a t: 3 6 dVe ⋅= pi dt dd dt dd dt dVe d 2 d3 6 22 ⋅⋅=⋅⋅⋅= pipi dt dV dt d e ⋅⋅= 2d 12d pi 6- Substituindo os valores de quantidades conhecidas: Encontrando agora 12 d = ddt d .min22 72 5 144 105 21 12 d 12d me dt dV dt d pipipipi ==⋅⋅=⋅⋅= .min.min 022,072 5d mm dt d ≅= pi 8) Uma bola de neve está se formando de tal modo que seu volume cresça a uma taxa de 8cm3/min. Ache a taxa segundo a qual o raio esta crescendo quando a bola de neve tiver 4cm de diâmetro. 1- Figura (desenho esquemático) 2- Definição das variáveis: t → tempo (em min.) com que a bola de neve esta se formando. r → raio (em cm) com que a bola de neve esta crescendo. V → volume (em cm3) da bola de neve que esta se formando. 3- Fatos numéricos conhecidos: .min(?) r cm dt d = cmr 2 2 4 == .min e 38V cm dt d = cmVe (?)= 4- Equação envolvendo as variáveis que dependem de t: 3 3 4 rVe ⋅= pi 5- Derivando em relação a t: 3 3 4 rVe ⋅= pi dd 26/02/2008 – Fatec/Tatuí – Calculo II - Taxas Relacionadas 9 dt d r dt d r dt dVe r4r3 3 4 22 ⋅⋅=⋅⋅⋅= pi pi dt d r dt dVe r4 2 ⋅⋅= pi dt dV rdt d e ⋅ ⋅ = 24 1r pi 6- Substituindo os valores de quantidades conhecidas: Encontrando agora 2 r = rdt d pipipipi 2 1 16 8 44 88 24 1r 2 == ⋅ =⋅ ⋅ = dt d .min2 1r cm dt d ⋅= pi 9) Suponha que quando o diâmetro da bola de neve do exercício anterior (exercício 8) for de 6cm, ela pare de crescer e comece a derreter a uma taxa de 1/4cm3/min. Ache a taxa segundo a qual o raio estará variando, quando o raio for de 2cm. .min64 1r cm dt d ⋅= pi 10) Uma certa quantidade de areia é despejada a uma taxa de 10m3/min, formando um monte cônico. Se a altura do monte for sempre o dobro do raio da base, com que taxa a altura estará crescendo quando o monte tiver 8m de altura? .min8 5 m dt dh pi = 11) Suponha que um tumor no corpo de uma pessoa tenha a forma esférica. Se, quando o raio do tumor for 0,5cm, o raio estiver crescendo a uma taxa de 0,001cm por dia, qual será a taxa de aumento do volume do tumor naquele instante? dia cm dt dV 3001,0 pi= 12) Suponha que um tumor no corpo de uma pessoa tenha a forma esférica. Se, quando o raio do tumor for 0,5cm, o raio estiver crescendo a uma taxa de 0,001cm por dia, qual será a taxa de crescimento da sua área? dia cm dt dA 2004,0 pi= 13) Uma pedra é jogada em um lago, provocando uma onde circular de raio r, o qual varia com o tempo a uma taxa constante de 3cm/s. Calcule a taxa de variação, com o tempo, da área do circulo limitado pela onda, no instante em que o raio vale 20cm. {PB e9.6} s cm dt dA 21203202 pipi =⋅⋅= 26/02/2008 – Fatec/Tatuí – Calculo II - Taxas Relacionadas 10 14) Um balão esférico, que esta sendo inflado, mantém sua forma esférica. Seu raio aumenta a uma taxa constante de 0,05m/s. Calcule a taxa da variação do seu volume, no instante em que seu raio vale 2m. s m dt dV 38,0 pi= 15) Um cubo de metal, que esta sendo aquecido, mantém sua forma. Uma aresta aumenta a uma taxa que, no instante t0, vale 0,05cm/s, instante no qual a aresta mede 10cm. Calcule a taxa de expansão do volume do cubo no instante t0. s cm dt dV 315= 16) Uma moeda que esta sendo aquecida, mantém sua forma. Calcule o quociente entre a taxa de variação com o tempo da área de uma face e a taxa de variação com o tempo do diâmetro, num instante em que o diâmetro mede 1cm. cm dt dd dt dA 2 pi = 17) Uma escada, de comprimento 2m, desliza no chão, mantendo-se apoiada em uma parede. Em um determinado instante, sua base dista 0,6m da parede e se afasta da mesma à razão de 0,3m/s. Calcule a velocidade com que seu topo desliza parede abaixo, no instante em questão. sm dt dy /094,0−≅ 18) Uma escada, 6m de comprimento, apóia-se durante seu movimento, no chão e na parede vertical. Em um instante t0, o seu topo dista 3,6m do chão, e a sua base afasta-se da parede vertical à taxa de 1m/s. Calcule a velocidade escalar do topo no instante t0. sm dt dy / 3 4 −=
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