Cálculo 3 - Máximos e Mínimos de Funções de Várias Variáveis

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69 
5. MÁXIMOS E MÍNIMOS DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS1 
 
5.1. Introdução: 
 
Consideremos os seguintes enunciados: 
 
• Quais são as dimensões de uma caixa retangular sem tampa com volume v e com a menor área de 
superfície possível? 
 
• A temperatura T em qualquer ponto ),( yx do plano é dada por ),( yxTT = . Como vamos 
determinar a temperatura máxima num disco fechado de raio r centrado na origem? E a 
temperatura mínima? 
 
Para resolver essas e outras questões, vamos pesquisar máximos e/ou mínimos de funções de duas ou 
mais variáveis. 
 
O máximo ou mínimo de uma função de duas variáveis pode ocorrer na fronteira de uma região ou no 
seu interior. Inicialmente, vamos analisar exemplos em que os máximos e mínimos encontram-se no 
interior de uma região. Posteriormente, mostraremos as técnicas para determinar máximos e mínimos 
na fronteira de um conjunto e também sobre uma curva. Diversos exemplos são dados para ilustrar a 
aplicação de conceitos e proposições para a resolução de problemas práticos. Alguns exemplos serão 
dados para visualizarmos o caso de funções com mais de duas variáveis. 
 
5.2. Definições: 
 
Definição 1: Seja ),( yxfz = uma função de duas variáveis. Dizemos que )(),( 00 fDyx ∈ é ponto de 
máximo absoluto ou global de f se: ),(),()(),( 00 yxfyxffDyx ≤⇒∈∀ . Neste caso, dizemos que 
),( 00 yxf é o valor máximo de f . 
 
Exemplo: 
1) A figura a seguir, gerada a partir do software MAPLE, através das linhas de comando também 
apresentadas, mostra o gráfico da função 224),( yxyxf −−= . O ponto )0 ,0( é um ponto de 
máximo absoluto ou global de f , pois, 
 
)0 ,0(4)(),( 22 fyxfDyx ≤−−⇒∈∀ ou 
 
222 ),( ,44 ℜ∈∀≤−− yxyx 
 
 
 
 O valor máximo de 224),( yxyxf −−= é 4)0 ,0( =f . 
 
 
1
 O presente material faz parte da Apostila de Cálculo II, elaborada pelo prof. José Donizetti de Lima. 
 Alguns tópicos da versão original foram suprimidos. 
 
 
 70 
Linhas de comando: MAPLE => plot3d(4-x^2-y^2,x=-2..2,y=-2..2); 
 
Definição 2: Dizemos que a função ),( yxfz = admite um máximo local no ponto ),( 00 yx , se existe 
um disco aberto R contendo ),( 00 yx tal que ),(),( 00 yxfyxf ≤ , para todos os pontos ),( yx em R , 
conforme ilustra a figura a seguir. 
 
Definição 3: Seja ),( yxfz = uma função de duas variáveis. Dizemos que )(),( 00 fDyx ∈ é ponto de 
mínimo absoluto ou global de f se: ),(),()(),( 00 yxfyxffDyx ≥⇒∈∀ . Neste caso, dizemos que 
),( 00 yxf é o valor mínimo de f . 
 
Exemplo: 
1) A figura a seguir, gerada a partir do software 
MAPLE, através das linhas de comando 
também apresentadas, mostra o gráfico da 
função 221),( yxyxf ++= . O ponto )0 ,0( é 
um ponto de mínimo absoluto ou global de f , 
pois, 
 
)0 ,0(1)(),( 22 fyxfDyx ≥++⇒∈∀ ou 
 
222 ),( ,11 ℜ∈∀≥++ yxyx 
 
O valor mínimo de 221),( yxyxf ++= é 
1)0 ,0( =f . 
Linhas de comando: MAPLE => 
plot3d(1+x^2+y^2,x=-2..2,y=-2..2); 
 
 
Definição 4: Dizemos que a função ),( yxfz = admite um mínimo local no ponto ),( 00 yx , se existe 
um disco aberto R contendo ),( 00 yx tal que ),(),( 00 yxfyxf ≥ , para todos os pontos ),( yx em R , 
conforme ilustra a figura a seguir. 
 
 71 
 
 
Nota: Ao máximo local e ao mínimo local de uma função chamam-se extremos dessa função, ou em 
outras palavras, dizemos que uma função admite um extremo num dado ponto, se ela tem nesse ponto 
um máximo ou um mínimo. 
 
Exemplos: 
 
1) Mostre que a função 1)2()1(),( 22 −−+−= yxyxf admite um mínimo local no ponto )2 ,1(P . 
Solução: 
Sabemos que: 
0)1( 2 ≥−x e 0)2( 2 ≥−y 
Assim, 
0)2()1( 22 ≥−+− yx
1) - somando(
⇒ 11)2()1( 22 −≥−−+− yx ⇒ )2 ,1(1),( fyxf =−≥ 
 
)2 ,1( ∴ é um ponto de mínimo. 
 
2) Mostre que a função )( sen
2
1),( 22 yxyxf +−= admite um máximo local na origem. 
Solução: 
De fato, para a origem, 0=x e 0=y , temos: 
2
1)0 ,0( =f . 
Por outro lado, fazendo: 
62
1
sen )( sen
2
1 222222 pi
=+⇒





=+⇒+= yxarcyxyx 
Escolhendo no interior (vizinhança do ponto analisado) do círculo de raio 
6
pi
=r e centro 
)0 ,0(
6
22 pi
=+ yx , um ponto ) ,( yx , então, 
6
0 22 pi≤+≤ yx e deste modo 0)( sen 22 ≥+ yx (pois o 
ângulo analisado é agudo). 
)0 ,0(
2
1)( sen
2
1),( 22 fyxyxf =≤+−= 
 
)0 ,0( ∴ é um ponto de máximo. 
 
Teorema 1: (Condições necessárias para existência de um extremo) 
 
Se a função ),( yxfz = admite um extremo para os valores 0xx = e 0yy = , então cada derivada 
parcial de primeira ordem de z anula-se para esses valores das variáveis independentes ou não 
existem. 
 
 
 72 
Assim, nos pontos extremos, temos: 
0 e 0 =
∂
∂
=
∂
∂
y
z
x
z
 
 
Geometricamente, esse teorema nos diz que se ),( 00 yx é um ponto extremo de ),( yxfz = então o 
plano tangente à superfície dada, no ponto analisado é paralelo ao plano xOy (plano horizontal). 
 
Nota: Este teorema fornece uma condição necessária, mas não uma condição suficiente. Em outras 
palavras, se o ponto for um ponto extremo as derivadas se anulam, porém quando as derivadas se 
anulam não podemos garantir que este ponto seja um ponto extremo. Ou ainda, não vale a volta. 
 
 
Exemplos: 
1) Dada a função 22),( yxyxf += , temos: 
22 yx
x
x
f
+
=
∂
∂
 e 
22 yx
y
y
f
+
=
∂
∂
 e estas derivadas 
parciais não são definidas para 0=x e 0=y (não sendo diferenciável nesse ponto). O gráfico da 
função 22),( yxyxf += , apresenta um ponto anguloso na sua origem, )0 ,0 ,0(P , não admitindo 
plano tangente neste ponto. 
 
Observe que essa função admite um ponto de mínimo em 
 
0=x e 0=y 
 
A parte final do Teorema 1 garante que, se não existir as 
derivadas parciais, no ponto analisado, nesse caso também, 
esse ponto será um ponto extremo. 
 
 plot3d(sqrt(x^2+y^2),x=-2..2,y=-2..2); 
Nota: Esse teorema não fornece uma condição suficiente para a existência de um extremo, ou seja, 
se as derivadas parciais de 1a ordem de uma função ),( yxfz = anulam-se no ponto ),( 00 yx não 
implica que esse ponto é um extremo dessa função. 
2) Dada a função 22),( yxyxf −= , temos: x
x
f 2=
∂
∂
 e y
y
f 2=
∂
∂
 e estas derivadas anulam-se para 
0=x e 0=y . Mas esta função não tem nem máximo nem mínimo para estes valores. Com efeito, 
ela anula-se na origem, mas toma, na vizinhança deste ponto, tanto valores positivos como valores 
negativos, portanto o valor zero não é um extremo, como mostra as figuras a seguir. Tal ponto é 
conhecido como ponto de sela. 
 
Figura gerada pelo software MAPLE  O plano tangente é horizontal 
 
 73 
Construção de uma função no 
software MAPLE  
 
 
plot3d(x^2-y^2,x=-2..2,y=-2..2); 
 
 
 
 
 74 
5.3. Ponto crítico de uma função de duas variáveis 
 
Seja função ),( yxfz = definida num conjunto aberto. Um ponto ),( 00 yx desse conjunto é um ponto 
crítico de f se as derivadas parciais ),( 00 yx
x
f
∂
∂
 e ),( 00 yxy
f
∂
∂
 são iguais a zero ou se f não é 
diferenciável em ),( 00 yx . 
 
Geometricamente, podemos pensar nos pontos críticos de uma função ),( yxfz = como os pontos 
em que seu gráfico não tem plano tangente ou o plano tangente é horizontal. 
 
Nota: Os extremantes (pontos extremos, ou seja, ponto de máximo ou de mínimo) de ),( yxfz = 
estão entre os seus pontos críticos. No entanto, um ponto crítico nem sempre é um ponto extremante. 
Um ponto crítico que não é um ponto extremante é chamado um ponto de sela. 
 
Exemplo: 
1) Verifique que o ponto )0 ,0( é ponto crítico da função 





=
≠
+=
)0 ,0() ,( 0,
)0 ,0() ,( ,2) ,( 22
3
yx
yx
yx
y
yxf .Solução: 
O ponto )0 ,0( é ponto crítico da função dada, pois ),( yxf não é diferenciável (as derivadas de 1a 
ordem não são contínuas no ponto analisado). A figura a seguir mostra que essa função não admite 
plano tangente na origem. 
 
 
 
Linhas de comando no software MAPLE  
 
plot3d((2*y^3)/(x^2+y^2),x=-2..2,y=-2..2); 
 
 
5.4. Condição necessária para a existência de pontos extremantes (= teorema 1) 
 
Seja função ),( yxfz = uma função diferenciável num conjunto aberto. Se um ponto ),( 00 yx desse 
conjunto é um ponto extremante local (ponto de máximo ou de mínimo local), então, 
 
0),( e 0),( 0000 =∂
∂
=
∂
∂ yx
y
fyx
x
f
 
 
isto é, ),( 00 yx é um ponto crítico de .f 
 
 75 
Exemplos: 
 
1) Determine os pontos críticos da função xxxyyxf 33),( 32 −+= . 
Solução: 
1o Passo) Determinação das derivadas parciais: 
xy
y
f
xy
x
f 6 e 3-33 22 =
∂
∂
+=
∂
∂
 
2o Passo) Resolução do sistema: 



=
=−+
⇒






=
∂
∂
=
∂
∂
06
0333
0
0 22
xy
xy
y
f
x
f
 (1) 
 
Da equação 06 =xy concluímos que 0=x ou 0=y . 
 
Fazendo 0=x , na primeira equação de (1), vem 
 
1 1033 22 ±=⇒=⇒=− yyy 
 
Assim, temos os pontos )1 ,0( e )1 ,0( − 
 
Por outro lado, fazendo 0=y , na primeira equação de (1), vem 
 
1 1033 22 ±=⇒=⇒=− xxx 
 
Logo os pontos críticos são: )0,1( e )0 ,1(− . 
 
Portanto, a função dada tem quatro pontos críticos: )1 ,0( ),1 ,0( − , )0 ,1( e )0 ,1( − . 
 
2) Determine os pontos críticos da função 22.),( yxexyxf −−= 
Solução: 
1o Passo) Determinação das derivadas parciais: 
222222
.2.2 2 yxyxyx exy
y
f
 e exe
x
f
−−−−−−
−=
∂
∂
−=
∂
∂
 
2o Passo) Resolução do sistema: 
{ {






=⇒=−⇒=−
±=⇒=⇒=⇒=
⇒






=
∂
∂
=
∂
∂
≠
−−
≠≠
−−
−−−−
00...2 0.2
2
2
2
12 1.2
0
0
000
222
2222
2222
yeyxexy
xxxexe
x
f
x
f
yxyx
yxyx
321
 
Logo os pontos críticos são: 














− 0,
2
2
 e 0,
2
2
. 
 
 
 
 
 
 
 76 
5.5. Condição suficiente para um ponto crítico ser extremante local 
 
Teorema: Seja ),( yxfz = função cujas derivadas parciais de 1a e 2a ordem são contínuas num 
conjunto aberto que contém ),( 00 yx e suponhamos que ),( 00 yx seja um ponto crítico de f . Seja 
),( yxH o determinante: 
),(),(
),(),(
),(
2
22
2
2
2
yx
y
fyx
yx
f
yx
xy
fyx
x
f
yxH
∂
∂
∂∂
∂
∂∂
∂
∂
∂
=
 
Temos: 
 
• Se 0),( 00 >yxH e 0),( 002
2
>
∂
∂ yx
x
f
, então ),( 00 yx é um ponto de mínimo local de f . 
 
• Se 0),( 00 >yxH e 0),( 002
2
<
∂
∂ yx
x
f
, então ),( 00 yx é um ponto de máximo local de f . 
 
• Se 0),( 00 <yxH , então ),( 00 yx não é extremante local. Nesse caso, ),( 00 yx é um ponto de sela. 
 
• Se 0),( 00 =yxH , nada se pode afirmar (pode ser um ponto de máximo, mínimo ou sela). 
 
 
Notas: 
• A matriz 












∂
∂
∂∂
∂
∂∂
∂
∂
∂
=
),(),(
),(),(
),(
2
22
2
2
2
yx
y
fyx
yx
f
yx
xy
fyx
x
f
yxH aparece em diversas situações num curso de 
Cálculo e é conhecida como matriz hessiana. O seu determinante, ),( yxH , é chamado 
determinante hessiano da função ),( yxfz = , ou hessiano da função. 
 
• A demonstração desse teorema é bastante complexa. A idéia fundamental é usar as derivadas 
parciais de 2a ordem da função ),( yxf para determinar o tipo de parabolóide que melhor se 
aproxima do gráfico da função próximo de um ponto crítico ),( 00 yx . O parabolóide que melhor se 
aproxima do gráfico de ),( yxf , próximo ao ponto crítico ),( 00 yx , é o gráfico da função 
polinomial: GFyDxCyBxyAxyxP +++++= 22
2
1
2
1),( . 
 
 
 77 
Exemplos: 
1) Classificar os pontos críticos da função xxxyyxf 33),( 32 −+= . 
Solução: 
Em exemplo anterior, mostramos que os pontos críticos são: )1 ,0( ),1 ,0( − , )0 ,1( e )0 ,1( − . 
 
O determinante hessiano é dado por: 22
2
22
2
2
2
3636
66
66
),(),(
),(),(
),( yx
xy
yx
yx
y
fyx
yx
f
yx
xy
fyx
x
f
yxH −==
∂
∂
∂∂
∂
∂∂
∂
∂
∂
= . 
Temos: 
 
• Análise do ponto (0, 1). 
Nesse caso, 
36
06
60)1 ,0( −==H 
Assim, como 0)1 ,0( <H , (0, 1) é ponto de sela. 
 
• Análise do ponto (0, -1). 
Nesse caso, 
36
06
60)1- ,0( −=
−
−
=H 
Assim, como 0)1- ,0( <H , (0, -1) é ponto de sela. 
 
• Análise do ponto (1, 0). 
Nesse caso, 
36
60
06)0 ,1( ==H 
Logo, como 0)0 ,1( >H , devemos analisar o sinal de )0 ,1(2
2
x
f
∂
∂
. 
Temos 6)0 ,1(2
2
=
∂
∂
x
f
. 
Assim, como 0)0 ,1( >H e 0)0 ,1(2
2
>
∂
∂
x
f
, (1, 0) é ponto de mínimo local de f . 
 
• Análise do ponto (-1, 0). 
Nesse caso, 
36
60
06)0 ,1( =
−
−
=−H 
Logo, como 0)0 ,1( >−H , devemos analisar o sinal de )0 ,1(2
2
−
∂
∂
x
f
. 
Temos 6)0 ,1(2
2
−=−
∂
∂
x
f
. 
Assim, como 0)0 ,1( >−H e 0)0 ,1(2
2
<−
∂
∂
x
f
, (-1, 0) é ponto de máximo local de f . 
Portanto, os pontos críticos de xxxyyxf 33),( 32 −+= são classificados como: 
 
• (0, 1) e (0, -1) são pontos de sela. 
• (1, 0) é ponto de mínimo local. 
• (-1, 0) é ponto de máximo local. 
 
 
 78 
2) Mostrar que 533),( 22 +++++=
yx
yxyxyxf tem mínimo local em (1, 1). 
Solução: 
Vamos, inicialmente, verificar se (1, 1) é ponto crítico. 
Temos 
2
32
x
yx
x
f
−+=
∂
∂
 e 2
32
y
yx
y
f
−+=
∂
∂
 
Como 0)1 ,1( =
∂
∂
x
f
 e 0)1 ,1( =
∂
∂
y
f
, concluímos que (1, 1) é ponto crítico de f . 
Vamos agora determinar o hessiano, 
162.62621
162
),( 33
3
3
−





+





+=
+
+
=
yx
y
xyxH 
Assim, 
063)1 ,1( >=H 
 
Temos também que 
08)1 ,1(2
2
>=
∂
∂
x
f
 
Portanto, como 0)1 ,1( >H e 0)1 ,1(2
2
>
∂
∂
x
f
, (1, 1) é um ponto de mínimo local da função dada. 
 
3) Determinar e classificar os pontos críticos da função 22.),( yxexyxf −−= 
Solução: 
Determinação das derivadas parciais: 
222222
.2.2 2 yxyxyx exy
y
f
 e exe
x
f
−−−−−−
−=
∂
∂
−=
∂
∂
 
Resolução do sistema: 
{ {






=⇒=−⇒=−
±=⇒=⇒=⇒=
⇒






=
∂
∂
=
∂
∂
≠
−−
≠≠
−−
−−−−
00...2 0.2
2
2
2
12 1.2
0
0
000
222
2222
2222
yeyxexy
xxxexe
x
f
x
f
yxyx
yxyx
321
 
Logo os pontos críticos são: 














− 0,
2
2
 e 0,
2
2
. 
Determinação das deriadas parcias de 2a ordem: 
)46(442 332
2
22222222
xxeexexex
x
f yxyxyxyx +−⋅=⋅+⋅−⋅−=
∂
∂
−−−−−−−−
 
)42(42 22
2
222222
yxyeexey
xy
f yxyxyx +−⋅=⋅+⋅−=
∂∂
∂
−−−−−−
 
)42(42 22
2
222222
yxyeeyxey
yx
f yxyxyx +−⋅=⋅+⋅−=
∂∂
∂
−−−−−−
 
)42(42 222
2
222222
xyxeexyex
y
f yxyxyx +−⋅=⋅+⋅−=
∂
∂
−−−−−−
 
 
 79 
O determinante hessiano é dado por: 
),(),(
),(),(
),(
2
22
2
2
2
yx
y
fyx
yx
f
yx
xy
f
yx
x
f
yxH
∂
∂
∂∂
∂
∂∂
∂
∂
∂
= . 
Para 














− 0,
2
2
e0,
2
2
, temos: 
e
e
ee
11
2
1
0
2
10
2
2 2
2
===
−−
−







±−
 
• Análise do ponto 
 0,
2
2








− 
Nesse caso, 
( )
e
ee
e
e
ee
eeH 4
20
022
210
0221
2101
012231
0,
2
2
=
⋅
=
⋅
⋅
=
⋅⋅
⋅−⋅
=







− 
 
0220,
2
2
2
2
>=







−
∂
∂
ex
f
 
Desta forma, como 00,
2
2
>







−H e 00,
2
2
2
2
>







−
∂
∂
x
f
, 







− 0,
2
2
 é um ponto de mínimo local. 
• Análise do ponto 






0,
2
2
 
 
Nesse caso, 
( )
( )
( )
( ) e
e
e
e
e
ee
eeH 4
20
022
210
0221
2110
102231
0,
2
2
=
−
−
==
−⋅
−⋅
=
−⋅⋅
⋅+−⋅
=







 
0220,
2
2
2
2
<−=







∂
∂
ex
f
 
Dessa forma, como 00,
2
2
>







H e 00,
2
2
2
2
<







∂
∂
x
f
, 







0,
2
2
 é um ponto de máximo local. 
Portanto, ponto de máximo: 






0,
2
2
 
 e Ponto de mínimo: 
 0,
2
2








− 
4) Determinar e classificar os pontos críticos da função yxyxyxf 6622),( 33 −−+= . 
Resposta: Pontos de sela =>(1, -1) e (-1, 1); Ponto de máximo=>(-1, -1); Ponto de mínimo=>(1,1) 
 
5) Determinar e classificar os pontos críticos da função 22122 ).2(),( yxeyxyxf −−+= 
Resposta: Pontos críticos => (0, 0) ; (0, 1); (0, -1); (1, 0); (-1, 0) 
Pontos de sela => (0, 1) e (0, -1); Ponto de máximo => (1, 0); Ponto de mínimo => (1, 0) 
 
 
 
 80 
Visualização gráfica, usando o software MAPLE: 
1) xxxyyxf 33),( 32 −+= => plot3d(3*x*y^2+x^3-3*x,x=-2..2, y=-2..2); 
 
2) 533),( 22 +++++=
yx
yxyxyxf => 
plot3d(x^2+x*y+y^2+3/x+3/y+5,x=-2..2,y=-2..2); 
 
3) 22.),( yxexyxf −−= => plot3d(x*exp(-x^2-y^2),x=-2..2,y=-2..2); 
 
 
 81 
4) yxyxyxf 6622),( 33 −−+= => plot3d(2*x^3+2*y^3-6*x-6*y,x=-2..2,y=-2..2); 
 
5) 22122 ).2(),( yxeyxyxf −−+= => 
plot3d((2*x^2+y^2)*exp(1-x^2-y^2),x=-3..3,y=-3..3); 
 
 
6) Seja 44 23),( yxyxf += . O único ponto crítico de f é )0,0( e temos 0)0,0( = H ; logo, o teorema 
não nos fornece informação sobre este ponto crítico. Entretanto, trabalhando diretamente com a 
função verifica-se, sem dificuldade, que )0,0( é ponto de mínimo global. 
 
Teorema: Se leydxcxybyaxyxf +++++= 22),( , onde l e e d c b a ,,,, são constantes, então se 
),( 00 yx for extremante local de f (mínimo local ou máximo local), então será extremante global. 
 
Nota: A demonstração pode ser feita ao observarmos que o gráfico de ),()( 00 ktyhtxftg ++= 
( k e h constantes) é uma parábola. 
 
 
 82 
LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS: 
 
1) Usando o teorema anterior, estude com relação a extremantes globais as funções: 
a) yxyxyxyxf 222),( 22 +−++= 
Resposta: Mínimo Global => (2, -3/2) 
 
b) yxxyyxyxf 43),( 22 ++−−= 
Resposta: Ponto de sela => (10/13, 11/13), ou seja, não admite extremantes 
 
c) 22 322),( yxxyyxyxf −−−+= 
Resposta: Máximo Global => (1/4, 1/4) 
 
d) yxxyyxyxf 223),( 22 −−++= 
Resposta: Mínimo Global => (2/11, 10/11) 
 
e) yxxyyxyxf 2232),( 22 ++++= 
Resposta: Ponto de sela => (2, -2), ou seja, não admite extremantes 
 
f) yxyxyxf 42),( 22 −−+= 
Resposta: Mínimo global => (1, 2) 
 
Teorema: Seja ),,( zyxf de classe 2C (admite todas as derivadas parciais de ordem 2 contínuas) e 
seja ),,( 000 zyx um ponto interior do domínio de f . Considerando que ),,( 000 zyx seja um ponto 
crítico de f e sejam ainda ),,( zyxH e ),,(1 zyxH dadas por: 
 
2
222
2
2
22
22
2
2
z
f
zy
f
zx
f
zy
f
y
f
yx
f
zx
f
yx
f
x
f
H
∂
∂
∂∂
∂
∂∂
∂
∂∂
∂
∂
∂
∂∂
∂
∂∂
∂
∂∂
∂
∂
∂
= e 
2
22
2
2
2
1
y
f
yx
f
yx
f
x
f
H
∂
∂
∂∂
∂
∂∂
∂
∂
∂
= 
 
Notas: 
1) Lembre-se pelo teorema de Schwartz, temos: 
yx
f
xy
f
 
∂∂
∂
=
∂∂
∂ 22
; 
zx
f
xz
f
 
∂∂
∂
=
∂∂
∂ 22
 e 
zy
f
yz
f
 
∂∂
∂
=
∂∂
∂ 22
 
2) As derivadas de cada variável são colocadas por colunas e não por linhas. 
 
3) Essas matrizes são matrizes simétricas (M = Mt). Na realidade elas são matrizes positiva definida. 
• Se 0),,( 0002
2
>
∂
∂
zyx
x
f
, 0),,( 0001 >zyxH e 0),,( 000 >zyxH , então ),,( 000 zyx será ponto de 
mínimo local. 
• Se 0),,( 0002
2
<
∂
∂
zyx
x
f
, 0),,( 0001 >zyxH e 0),,( 000 >zyxH , então ),,( 000 zyx será ponto de 
máximo local. 
• Se 0),,( 000 <zyxH ou 0),,( 0001 <zyxH , então ),,( 000 zyx será um ponto de sela. 
 
 
 83 
Exemplo: 
1) Estude com relação a máximo e mínimos locais da função 
2842425),,( 222 +−−−+++= zyxxyzyxzyxf . Resposta: Mínimo Local => (1, 0, 2) 
Solução: 20,1
2
4104
242
084
04104
0242
===⇒





=
=+
=+
⇒









=−=
∂
∂
=−+=
∂
∂
=−+=
∂
∂
z e y x
z
yx
yx
z
z
f
yx
y
f
yx
x
f
 
 
Assim, (1, 0, 2) é o único ponto crítico. 
 
 
 
xz
f
 
xy
f
 
x
f 0;4;2
22
2
2
=
∂∂
∂
=
∂∂
∂
=
∂
∂
; 
yz
f
 
yx
f
 
y
f 0;4;10
22
2
2
=
∂∂
∂
=
∂∂
∂
=
∂
∂
e 
zy
f
 
zx
f
 
z
f 0;0;4
22
2
2
=
∂∂
∂
=
∂∂
∂
=
∂
∂
 
 
Logo, 
 
 0166480
400
0104
042
)2,0,1( >=−== H ; 01620
104
42)2,0,1(1 >−== H 
02)2,0,1(2
2
>=
∂
∂
 
x
f
 
Portanto, como 0)2,0,1(2
2
>
∂
∂
 
x
f
, 0)2,0,1(1 > H e 0)2,0,1( > H , então )2,0,1( é ponto de mínimo 
local. 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS 
 
1) Estude com relação a máximo e mínimos locais das funções: 
a) 2333),,( 333 +−−−++= zyxzyxzyxf 
Resposta: Mínimo Local => (1, 1, 1); Máximo Local => (-1, -1, 1); Pontos de sela => (1, -1, 1); 
(1, 1, -1); (1, -1, -1); (-1, 1, 1); (-1, 1, -1) e (-1, -1, -1),ou seja, não são extremantes 
 
b) zxzyxyxzyxf 452),,( 223 −−+++= 
Resposta: Mínimo Local => (5/3, -5/3, 2); Ponto de sela => (-1, 1, 2), ou seja, não é extremante 
 
c) zxyzxzzyxzyxf 62424),,( 222 −−−++−= 
Resposta: Ponto de sela => (5/7, -4/7, 2/7), ou seja, não é extremante. 
 
 84 
5.6. APLICAÇÕES: 
 
A maximização e a minimização de funções de várias variáveis são problemas que aparecem em vários 
contextos práticos, como, por exemplo: 
 
• Problemas geométricos. 
 
• Problemas físicos 
 
• Problemas econômicos, etc. 
 
 
A seguir são apresentadas aplicações enfatizando problemas econômicos. 
 
Revisão conceitual: CUSTOVENDADESPESARECEITALUCRO −=−= 
 
Exemplos: 
 
1) Uma industria produz dois produtos denotados por A e B. O lucro da indústria pela venda de x 
unidades do produto A e y unidades do produto B é dado por: 
 
xyyxyxyxL −−−+= 22
2
3
2
310060),( 
 
Supondo que toda a produção da indústria seja vendida, determinar a produção que maximiza o lucro. 
Determine, também, esse lucro. 
 
Solução: 
 
Diante do problema apresentado, temos que: 
 
 0 , :a 
2
3
2
310060),( 22
≥
−−−+=
yxsujeito
xyyxyxyxLMax
 
 
Inicialmente, determinemos os pontos críticos dessa função. 
 
Temos: 
xy
y
Lyx
x
L
−−=
∂
∂
−−=
∂
∂ 3100 e 360 
 
Resolvendo o sistema: 



=−−
=−−
03100
0360
xy
yx
 obtemos a solução: 10=x e 30=y . 
 
Agora, resta nos verificar se esse ponto encontrado é um ponto de máximo. 
 
Temos: 8
31
13),( =
−−
−−
=yxH ⇒ 08)30 ,10( >=H e 03)30 ,10(2
2
<−=∂
∂
x
L
. 
 
Assim, o ponto (10, 30) é um ponto de máximo e representa a produção que maximiza o lucro da 
indústria. 
 
Para determinar o lucro máximo, basta calcularmos: 
 
800.13010)30(
2
3)10(
2
3301001060)30 ,10( 22 =⋅−⋅−⋅−⋅+⋅=L unidades monetárias (u. m). 
 
 
 85 
2) Uma determinada empresa produz dois produtos cujas quantidades são indicadas por x e y . Tais 
produtos são oferecidos ao mercado consumidor a preços unitários 1p e 2p , respectivamente, que 
dependem de x e y conforme equações: xp 21201 −= e yp −= 2002 . O custo total da empresa 
para produzir e vender quantidades x e y dos produtos é dado por xyyxC 22 22 ++= . 
Admitindo que toda produção da empresa seja absorvida pelo mercado, determine a produção que 
maximiza o lucro. Qual o lucro máximo? Resposta: (10, 30) =>3.600 
Solução: 
Produto 1: x e Preço 1: 1p ; Produto 2: y e Preço 2: 2p 
Como: CUSTOVENDALUCRO −= : L = V – C, Onde: 
Vendas: 22 2002120)200()2120( yyxxVyyxxV −+−=⇒⋅−+⋅−= 
Custo: xyyxC 22 22 ++= 
Assim, xyyyxxLxyyxyyxxL 232003120222002120 222222 −−+−=⇒−−−−+−= 
3010
1003
603
20026
12026
026200
026120
==⇒



=+
=+
⇒



=+
=+
⇒






=−−=
∂
∂
=−−=
∂
∂
y e x
xy
yx
xy
yx
xy
y
L
yx
x
L
 
Deve-se determinar o hessiano para mostrar que realmente este ponto é um ponto de máximo. 
 
Para determinar o lucro máximo, basta calcular: 
 
301023033020010310120)30,10( 22 ⋅⋅−⋅−⋅+⋅−⋅=L ⇒ 600.3)30,10( =L 
 
Portanto, deve-se produzir 10 unidades do produto 1 e 30 unidades do produto 2 e o lucro será de 
3.600 unidades monetárias (u.m). 
 
 
 
3) Para produzir determinado produto cuja quantidade é representada por z , uma empresa utiliza dois 
fatores de produção (insumos) cujas quantidades serão indicadas por x e y . Os preços unitários 
dos fatores de produção são, respectivamente, 2 e 1. O produto será oferecido ao mercado 
consumidor a um preço unitário igual a 5. A função de produção da empresa é dada por 
yxyxz 4132900 22 ++−−= . Determine a produção que maximiza o lucro. Qual o lucro 
máximo? Resposta: (15,8; 20,4) => 1.576,20 
Solução: 
Produto 1: x e Custo: 2; Produto 2: y e Custo: 1; Preço de venda: 5 
Produção: yxyxz 4132900 22 ++−−= 
Como: CUSTOVENDALUCRO −= : L = V – C, Onde: 
Vendas: zV ⋅= 5 
Custo: yx +2 
Assim, yxyxyxyxyxyxL −−++−−=+−++−−⋅= 220516055500.4)2()4132900(5 2222 
4,208,15
20410
15810
0120510
0216010
==⇒



−=−
−=−
⇒






=−+−=
∂
∂
=−+−=
∂
∂
y e x
y
x
y
y
L
x
x
L
 
Deve-se determinar o hessiano para mostrar que realmente este ponto é um ponto de máximo. 
 
Para determinar o lucro máximo, basta calcular: 
 
20,576.1...);8,15( ==20,4 L 
Portanto, deve-se produzir 15,8 unidades do produto 1 e 20,4 unidades do produto 2 e o lucro será de 
1.576,20 unidade monetárias (u.m.). 
 
 86 
4) Quais as dimensões de uma caixa retangular sem tampa com volume 3 4 m e com a menor área de 
superfície possível? 
Solução: 
Vamos considerar a caixa, conforme ilustra a figura a seguir. 
 
 
Sendo yx e as arestas da base e z a altura, da 
geometria elementar (plana e espacial), temos: 
 
• Volume da caixa: xyzV = . 
 
• Área da superfície total: 
yzxzxyA 22 ++= 
 
 
Nosso objetivo é minimizar yzxzxyA 22 ++= sabendo que 4=xyz e 0 , , >zyx . 
 
 
Podemos simbolicamente escrever: 



>
=
++=
0 , ,
4
 .
22 min
zyx
xyz
as
yzxzxyA
 
 
 
 
Costumamos, ao usar essa notação, chamar a função yzxzxyA 22 ++= de função objetivo e as 
equações e/ou inequações de restrições. O símbolo s. a lê-se “sujeito a”. 
Como, pelo volume, 4=xyz , temos: 
xy
z
4
= , e a área a ser minimizada pode ser expressa como 
função de duas variáveis yx e , 
xy
xyA 88 ++= . 
 
Procuramos um ponto crítico dessa função, isto é, um ponto em que: 
082 =−=∂
∂
x
y
x
A
 e 082 =−=∂
∂
y
x
y
A
 
Dessas equações resulta que 2=x e 2=y , ou seja, o ponto crítico é o ponto (2, 2). Usando o 
hessiano, podemos confirmar se o mesmo é ponto de mínimo. 
3
3
161
116
),(
y
xyxH = ⇒ 02)2 ,2( e 0 314
21
12
8
161
1
8
16
)2 ,2( 2
2
>=
∂
∂
>=−===
x
AH 
Assim, (2, 2) é um ponto de mínimo. 
Portanto, as dimensões da caixa são: metrosx 2= , metrosy 2= e metro
xy
z 1
2.2
44
=== . 
 
Conclusão: A caixa de volume dado, sem tampa, com área de superfície mínima, tem uma base 
quadrada e altura medindo metade do valor da aresta da base. 
 
 
 
 
 87 
LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS 
 
1) Determine os pontos críticos das funções, a seguir investigue a sua natureza: 
a) 121023),( 22 +++++= yxyxyxyxf Resposta: Ponto de mínimo => (-2, 1) 
b) xyyxyxf 6),( 32 −+= Resposta: Ponto de sela => (0; 0) e Ponto de mínimo => (18, 6) 
 
2) Determine e classifique todos os pontos críticos das seguintes funções de duas variáveis. 
a) 422),( 22 +−−−−= yxyxxyyxf Resposta: Máximo => )2 ,2( −− 
b) xyyxyxf 49
3
),( 3
3
−+= Resposta: Sela => 





9
4
 ,
3
4
 Mínimoe )0 ,0( 
c) yeyxf x cos.),( 2−= Resposta: Não tem ponto crítico 
d) ).ln(2),( 2 yxxxyyxf −+= com 0>x e 0>y Resposta: Ponto de mínimo => (1/2, 2) 
 
3) Determine e classifique os extremos e os pontos de sela de f : 
a) 124),( 22 −+−−−= yyxxyxf Resposta: Ponto de máximo: 4)1 ,2( =−f 
b) 22 32),( yxyxyxf ++= Resposta: Ponto de mínimo: 0)0 ,0( =f 
c) 33 3),( yxyxyxf −+= Resposta: Ponto de sela: 0)0 ,0( =f e Ponto de mínimo: 1)1 ,1( −=−f 
d) 234 42
2
1),( yxyxxyxf ++−= Resposta: 
Ponto de sela: 0)0 ,0( =f ; Ponto de mínimo: 64)8 ,4( −=−f ; Ponto de mínimo: 
2
3)2 ,1( −=−f 
e) yeyxf x sen.),( = 
Resposta: yexistenão
ysen
y
ysene
ye
x
x
⇒



=
=
⇒




=
=
0
0cos
0.
0cos.
, logo: não existem pontos críticos. 
 
4) Mostre que a função 44),( yxyxf += tem um mínimo local na origem. 
Resposta:
004
004
3
3
=⇒==
∂
∂
=⇒==
∂
∂
yy
y
f
xx
x
f
)0,0(),( =⇒ yx e 2
2
120
012),(
y
x
yxH = 
 
0)0,0( =H => Nada a concluir pelo teste da 2a derivada. Mas trabalhando diretamente com a função 
dada, vemos que o mesmo é ponto de mínimo. 
 
0ou0),,(0)0,0( ≠∀≠∀<= yxyxff 
 
5) Mostre que 22 42),( yxyxf += tem um ponto de mínimo em )0 ,0( 
Resposta: Para verificar que é mínimo trabalha-se com a função: 
 
0ou0),,(0)0,0( ≠∀≠∀<= yxyxff 
 
Nota: Observe que não existe as derivadas parciais da função no ponto )0 ,0( , por isso, o mesmo é um 
ponto crítico. 
 
 
 88 
6) Mostre que uma caixa retangular com tampa e volume dado terá a menor área de superfície se for 
cúbica. 
Solução: 
 
 
 
yzxzxyzyxA 222),,( ++= 
 
kxyzV == , onde: k é o volume dado 
De kxyz =
xy
k
z =⇒ ⇒ 
x
k
y
k
xyyxA 222),( ++= 
kyx
y
k
x
y
A
kxy
x
ky
x
A
=⋅⇒=−=
∂
∂
=⋅⇒=−=
∂
∂
2
2
2
2
022
022
xy =⇒ 
Logo x
xy
yx
xy
k
z ===
2
zyx ==⇒ 
32
2 4
x
k
x
A
=
∂
∂
; 2
2
=
∂∂
∂
xy
A
; 2
2
=
∂∂
∂
yx
A
; 32
2 4
y
k
y
A
=
∂
∂
 
 
Lembre-se: 0,, >zyx , pois são as dimensões da caixa. E mais, xyzke === zyx . 
 
041642
24
),( 33
2
3
3
>−==
yx
k
y
k
x
k
yxH e 04 32
2
>=
∂
∂
x
k
x
A
 
 
Conclusão: As embalagens deveriam ser cúbicas para se minimizar o custo na confecção das mesmas. 
 
7) Quais as dimensões de uma caixa retangular sem tampa com volume 3 8 m e com a menorárea de 
superfície possível? 
Solução: 
38 mV = ⇒ 
xy
zxyz 88 =⇒= e 
xy
xy
xy
y
xy
xxyyxA 16168282),( ++=⋅+⋅+= 
16016
16016
2
2
2
2
=⋅⇒=−=
∂
∂
=⋅⇒=−=
∂
∂
yx
y
x
y
A
xy
x
y
x
A
xy =⇒ 
De 52,2222816161616 333322 ≅=⋅==⇒=⇒=⋅⇒=⋅ xxxxxy m 
Logo: 52,2223 ≅== xy m e 26,1
4
2
44
8
2222
88
3333
≅==
⋅
==
xy
z m 
8
4
22222
3
33
=⋅⋅=V m3 ou 826,152,252,2 =⋅⋅=V m3 
 
Nota: Em situação semelhante a esta sempre teremos: 
22
3
2 xxxV =⋅= 
 
 89 
5.7. MÁXIMO E MÍNIMOS CONDICIONADOS – MULTIPLICADORES DE LAGRANGE 
 
•••• Introdução 
 
Consideremos os seguintes problemas: 
 
1) Maximizar 224),( yxyxf −−= => Máx 224),( yxyxf −−= 
 
2) Maximizar 224),( yxyxf −−= sujeito a: 2=+ yx => 
2 : .
4),( 22
=+
−−=
yxas
yxyxfMáx
 
 
O problema (1) é um problema de otimização irrestrita (sem restrição), e podemos solucioná-lo usando 
as proposições já apresentadas. Por outro lado, no problema (2), temos a presença de uma restrição ou 
vínculo. Neste último problema, estamos diante de um problema de otimização restrita, onde queremos 
encontrar o maior valor da função num subconjunto de seu domínio, nesse caso, o subconjunto do 
plano xy , dado pela reta 2=+ yx . 
 
Nesse contexto, a solução do problema (1) é chamada um ponto de máximo livre ou não-condicionado 
de f . A solução do problema (2) é dita um ponto de máximo condicionado de f . 
 
Uma visualização da solução desses problemas é dada na figura a seguir. 
 
 
 
Notas: 
1) Se a função ),...,,( 21 nxxxfz = , conhecida como função objetivo (função que se quer maximizar 
ou minimizar) e a restrição 0),...,,( 21 =nxxxg forem lineares, teremos problemas de Programação 
Linear. 
 
2) De forma geral, problemas de otimização restrita podem ser muito complexos, não havendo um 
método geral para encontrar a solução de todas as classes de problemas. Em algumas situações 
simples, podemos resolvê-los, explicitando uma variável em função das outras, na restrição, 
substituindo na função objetivo e resolvendo o problema de otimização irrestrita resultante, como 
ilustra o exemplo a seguir: 
 
 90 
Exemplo 1: 
2 .
4),( 22
=+
−−=
yxas
yxyxfMáx
 
Solução: 
Como: xyyx −=⇒=+ 22 . Substituindo na função objetivo, temos: 
xxxxxxxxxxxxfyxf 42444)44(4)2(4)2,(),( 2222222 +−=−+−−=−−−−=−−−=−= 
Assim, temos a seguinte função de uma variável a ser maximizada: xxxf 42)( 2 +−= 
Calculando a sua derivada, temos: 44)(' +−= xxf . 
Determinando o ponto crítico: 1440 =⇒+−= xx . 
Verificando que o mesmo é de máximo: 04)1('' 4)('' <−=⇒−= fxf 
Logo, 1 é ponto de máximo. Substituindo o valor 1=x em xy −= 2 , temos: 1=y . 
∴ O ponto máximo é (1, 1). 
Nota: Ás vezes, a resolução de 0),( =yxg é muito difícil ou mesmo impossível. Por isso, teremos que 
examinar o problema através de um novo método. 
Lembre-se: que as coordenadas do vetor gradiente de uma função ),...,,( 21 nxxxfz = são as derivadas 
parciais da função, ou seja: 






∂
∂
∂
∂
∂
∂
=∇=
n
nn
x
f
x
f
x
f
xxxfxxxfgrad ,...,,),...,,(),...,,( 
21
2121 . 
 
O MÉTODO DOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE 
 
O método dos multiplicadores de Lagrange permite analisar situações mais gerais. Através desse 
método, um problema de otimização restrita com n variáveis e m restrições de igualdade é 
transformado num problema de otimização irrestrita com (n + m) variáveis. Algumas situações 
particulares são apresentadas a seguir. 
 
Nota: Esse método, é aplicável também a funções não lineares. 
 
• PROBLEMAS ENVOLVENDO FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS E UMA RESTRIÇÃO 
Consideremos o seguinte problema: 
0),g( : .
),( 
=yxas
yxfMáx
 
 
Usando as propriedades do vetor gradiente, vamos obter uma visualização geométrica do método de 
Lagrange, que nos permite determinar os candidatos a pontos de máximo e/ou mínimo condicionados 
de f . 
Para isso, esboçamos o gráfico de 0),( =yxg e diversas curvas de nível kyxf =),( da função 
objetivo, observando os valores crescentes de k. O valor máximo de ),( yxf sobre a curva 0),( =yxg 
coincide com o maior valor de k tal que a curva kyxf =),( interpreta a curva 0),( =yxg . Isso ocorre 
num ponto P0 . Nesse ponto, as duas curvas tem a mesma reta tangente t , conforme mostra a próxima 
figura. 
 
 
 91 
Como fgrad e ggrad são perpendiculares à reta t , eles tem a mesma direção no ponto P0, ou seja: 
 
g grad f ⋅= λgrad 
Para algum número real λ . 
 
Nota: Os vetores f∇ e g∇ são múltiplos (ou paralelos, ou de mesma direção ou L. D.) 
 
Claramente, nesse argumento geométrico, fizemos a suposição de que )0,0(),( ≠∇ yxg em P0. Além 
disso, o mesmo argumento pode ser facilmente adaptado para problemas de minimização. Temos o 
seguinte teorema: 
 
Teorema: 
Seja ),( yxf diferenciável num conjunto aberto U. Seja ),( yxg uma função com derivadas parciais 
contínuas em U tal que )0,0(),( ≠∇ yxg para todo }0)(){()( =∈=∈ x,yU / gx,y V, onde V x,y . Uma 
condição necessária para que Vyx ∈),( 00 seja extremante local de f em V é que: 
 
),(),( 0000 yxgyxf ⋅=∇ λ 
para algum número real λ . 
 
Assim, podemos dizer que os pontos de máximo e/ou mínimo condicionados de f devem satisfazer as 
equações: 
0y) g(x, e .;. =
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
y
g
y
f
x
g
x
f λλ (1) 
 para algum número real λ . 
 
O número real λ que torna compatível o sistema é chamado multiplicador de Lagrange. 
 
O método proposto por Lagrange consiste, simplesmente, em definir a função de três variáveis: 
 
),(),(),,( yxgyxfyxL ⋅−= λλ 
 
 e observar que o sistema (1) é equivalente à equação: 
 
0=∇L ou 0L e 0;0 =
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
λy
L
x
L
. 
 
Assim, os candidatos a extremantes locais de f sobre 0),( =yxg são pesquisados entre os pontos 
críticos de L . Os valores máximo e/ou mínimo de f sobre 0),( =yxg coincidem com os valores 
máximo e/ou mínimo livres de L . 
 
É importante observar que o método só permite determinar potenciais pontos extremantes. A 
classificação desses pontos deve ser feita por outros meios, tais como argumentos geométricos, etc. 
 
 
 92 
Exemplos: 
1) 
2 : .
4),( 22
=+
−−=
yxas
yxyxfMáx
 
Solução: Para resolver esse problema pelo método de Lagrange, como apresentado, devemos escrever 
a restrição 2=+ yx na forma 02 =−+ yx . 
A função lagrangeana é dada por: )2(4),,( 22 −+−−−= yxyxyxL λλ 
Derivando L em relação às três variáveis λ e , yx , temos: 
λ−−=
∂
∂
x
x
L 2 ; λ−−=
∂
∂ y
y
L 2 e 2+−−=
∂
∂ yxLλ 
Igualando essas derivadas a zero, obtemos o sistema de equações: 





=+−−
=−−
=−−
02
02
02
yx
y
x
λ
λ
 ⇒ 





=+
=−
=−
2
2
2
yx
y
x
λ
λ
 ⇒ 1 e 1 
2
22
==⇒



=+
=⇒−=−
yx
yx
yxyx
 
Assim, o ponto extremante é (1, 1) e substituindo na função objetivo vemos claramente que é ponto de 
máximo condicionado. Fazendo o teste da vizinhança do ponto: 224114)1,1( 22 =−=−−=f ; 
0044)0,2( =−−=f ; 0404)2,0( =−−=f ),(2)1,1( yxff ≥=⇒ . Portanto, (1, 1) é ponto de 
máximo 
 
2) Aplicação: Um galpão retangular deve ser construído num terreno com a forma de um triângulo, 
conforme a figura a seguir. Determinar a área máxima possível para o galpão. 
 
Solução: Na figura a seguir, representamos a situação a ser analisada num sistema de coordenadas 
cartesianas, traçado convenientemente. 
 
 
 
 
 
Revisão: Equação segmentaria da 
reta: 
 
 
1=+
q
y
p
x
 
 
=> 2021
1020
=+⇒=+ yxyx 
 
Observando a figura anterior, vemos que a área do galpão é dada por: yxyxA ⋅=),( e queo ponto 
),( yxP deve estar sobre a reta 202 =+ yx . 
 
 93 
Temos, então, o seguinte problema: 
202 : .
),( 
=+
=
yxas
xyyxfMáx
 
Para resolver o problema pelo método dos multiplicadores de Lagrange, como apresentado, devemos 
escrever a restrição 202 =+ yx na forma 0202 =−+ yx . 
A função lagrangeana é dada por: )202(),,( −+−= yxxyyxL λλ 
Derivando L em relação às três variáveis λ e , yx , temos: 
λ−=
∂
∂ y
x
L
; λ2−=
∂
∂
x
y
L
 e 202 +−−=
∂
∂ yxLλ 
Igualando essas derivadas a zero, obtemos o sistema de equações: 





=−+
=−
=−
0202
02
0
yx
x
y
λ
λ
 
Resolvendo esse sistema, encontramos: 5 e 5y ,10 === λx 
As dimensões do galpão que fornecem um valor extremo para a sua área são x = 10 m e y = 5 m. Com 
essas dimensões, a área do galpão será: A = 10 m . 5 m = 50 m2. 
Embora o método não possibilite verificar se esse valor é um valor máximo ou mínimo, através de uma 
simples inspeção geométrica da figura anterior vemos que, de fato, as dimensões encontradas 
fornecem a área máxima do galpão. 
 
Podemos, também, usar o método da vizinhança do ponto para avaliar se o mesmo é ponto de máximo 
ou de mínimo: ),(50)5,10(18)1,18(;32)2,16(;48)4,12(;50)5,10( yxAAAAAA ≥=⇒==== , logo, 
ponto de máximo. 
 
Nota: O multiplicador de Lagrange λ desempenha um papel auxiliar, não sendo de interesse na 
solução final do problema. 
 
PROBLEMAS ENVOLVENDO FUNÇÕES DE TRÊS VARIÁVEIS E UMA RESTRIÇÃO 
 
Nesse caso, podemos visualizar o método fazendo um esboço do gráfico de 0),,( =zyxg e de diversas 
superfícies de nível kzyxf =),,( da função objetivo, observando os valores crescentes de k . 
Como podemos ver na figura a seguir, no ponto extremante P0, os vetores fgrad e ggrad são 
paralelos. Portanto, nesse ponto, devemos ter: λλ real algum para ,gf ∇⋅=∇ . 
 
O método dos multiplicadores de Lagrange para determinar os potenciais pontos extremantes de 
),,( zyxfw = sobre 0),,( =zyxg consiste em definir a função lagrangeana: 
),,(),,(),,,( zyxgzyxfzyxL ⋅−= λλ 
e determinar os pontos (x, y, z) tais que: 0=∇L , 
ou, de forma equivalente: 0),,( e 0;0;0 ==
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
zyxg
z
L
y
L
x
L
 
As hipóteses necessárias para a validade do método são análogas às do teorema anterior. 
 
 94 
Exemplos: 
1) Determinar o ponto do plano: 2x + y + 3z = 6 mais próximo da origem. 
Solução: 
Nesse caso, queremos minimizar a distância 222 zyx ++ , dos pontos do plano 2x + y + 3z = 6 até a 
origem. Para simplificar os cálculos, podemos minimizar o quadrado da distância. Temos o seguinte 
problema de otimização: 
632:.
 
222
=++
++
zyxas
zyxMin
 
Para esse problema, a função lagrangeana é dada por: 
 
)632(222 −++−++= zyxzyxL λ 
 
Derivando L em relação às variáveis λ e ,, zyx e igualando essas derivadas a zero, obtemos o 
sistema: 







=−++
=−
=−
=−
0632
032
02
022
zyx
z
y
x
λ
λ
λ
 
cuja solução é: 
7
6
,
7
9
,
7
3
,
7
6
==== λzyx 
 
Geometricamente, é claro que o ponto 





7
9
,
7
3
,
7
6P é um ponto de mínimo, como podemos visualizar 
na figura a seguir. 
 
Nota: Usando a função objetivo podemos mostrar que 





7
9
,
7
3
,
7
6P é ponto de mínimo. 
• .60,1
7
143
7
126
49
126
7
9
7
3
7
6
7
9
,
7
3
,
7
6 222
≅===





+





+





=




f 
• ( ) ( ) ( ) ( ) 22002,0,0 222 =++=f (o ponto a ser analisado deve pertencer necessariamente ao 
domínio da função). 
• Tomando um outro ponto do domínio, por exemplo: (1, 1, 1), temos: 
73,13111)1,1,1( 222 ≅=++=f , ∴ 63yy2x:plano,,),,,(
7
9
,
7
3
,
7
6
=++∈∀≥





zyxzyxff . 
 
 95 
2) Aplicação: Um fabricante de embalagens deve fabricar um lote de caixas retangulares de volume 
64=V cm3. Se o custo do material usado na fabricação da caixa é de R$ 0,50 por centímetro 
quadrado, determinar as dimensões da caixa que tornem mínimo o custo do material usado em sua 
fabricação. 
Solução. Sejam x , y e z as dimensões da caixa, conforme a figura a seguir: 
 
O volume da caixa é dado por: xyzV = 
A sua área de superfície é: yzxzxyA 222 ++= 
O custo do material usado para a fabricação da caixa é dado por: 
yzxzxyyzxzxyzyxC ++=++= )222.(5,0),,( 
Estamos, assim, diante do seguinte problema de otimização: 
64:.
),,(min
=
++=
xyzas
yzxzxyzyxC
 
 
A função lagrangeana, para esse problema, é dada por: 
 
)64(),,,( −−++= xyzyzxzxyzyxL λλ 
 
Derivando L em relação às variáveis λ e ,, zyx e igualando a zero as derivadas, obtemos o sistema: 







=+−
=−+
=−+
=−+
064
0
0
0
xyz
xyyx
xzzx
yzzy
λ
λ
λ
 ⇒







=
=+
=+
=+
64xyz
xyyx
xzzx
yzzy
λ
λ
λ
 
Da última equação, segue que: 0z e 0y ,0 ≠≠≠x . 
Das três primeira equações, concluímos que 0≠λ , pois em caso contrário teríamos 0=x , 0=y e 
0=z . Assim, sabendo que 0≠λ e isolando λ nas duas primeiras equações, obtemos as seguintes 
equações equivalentes: 
 
yz
zy
xz
zx +
=
+
 ⇒ xzzyyzzx )()( +=+ ⇒ 22 xzxyzyzxyz +=+ ⇒ 22 xzyz = ⇒ xy = 
 
Da mesma forma, trabalhando com a segunda e a terceira equação, temos que zy = . 
 
Substituindo esses resultados na última equação, obtemos: 4643 ==== zyx 
 
Portanto, o único candidato a extremante condicionado da função custo C(x, y, z) é o ponto (4, 4, 4). O 
custo de material correspondente é: C(4, 4, 4) = 48. Para verificar que é ponto de mínimo, tomemos, 
por exemplo: x = 4, y = 16 e z = 1, cujo custo é dado por: 4 . 16 + 4 . 1 + 16 . 1 = 84 reais => Ponto de 
máximo. 
 
 96 
PROBLEMAS ENVOLVENDO FUNÇÕES DE TRÊS VARIÁVEIS E DUAS RESTRIÇÕES 
 
Consideremos o seguinte problema de otimização: 
0),,( 
0),,g( : .
),,( 
=
=
zyxh
zyxas
zyxfMáx
 
 
Para visualizarmos o método, nesse caso, vamos supor que a interseção das superfícies 0),,( =zyxg e 
0),,( =zyxh seja uma curva C . Queremos determinar, então, um ponto de máximo, 0P , de f sobre 
C . Como nos casos anteriores, traçamos diversas superfície de nível kzyxf =),,( de f , observando 
os valores crescentes de k . 
 
Observando a figura a seguir, vemos que, no ponto 0P , a curva C tangência a superfície de nível 
kzyxf =),,( de f . 
 
Assim, )( 0Pf∇ deve ser normal à curva C . Temos também que )( 0Pg∇ e )( 0Ph∇ são normais à curva 
C . Portanto, no ponto 0P , os três vetores f∇ , g∇ e h∇ são coplanares e, então, existem números 
reais λ e µ tais que: 
 
ggf ∇⋅+∇⋅=∇ µλ 
 
Observamos que, nessa argumentação geométrica, estamos supondo que os vetores g∇ e h∇ são 
linearmente independentes (L. I.), ou seja, tem direções diferentes, não são múltiplos. 
 
Lembre-se: Dizer que os vetores f∇ , g∇ e h∇ são coplanares significa que os mesmos estão 
contidos num mesmo plano. 
 
A seguir, temos o seguinte teorema: Seja 3ℜ⊂A um conjunto aberto. Suponhamos que ),,( zyxf é 
diferenciável em A e que ),,( zyxg e ),,( zyxh têm derivadas parciais de 1a ordem contínuas em A . 
Seja }0),,( e 0),,(/),{( ==∈= zyxhzyxgAzx,yB . Suponhamos, também, que g∇ e h∇ são 
linearmente independentes em B . Se 0P é um ponto extremante local de f em B , então existem 
números reais λ e µ tais que: 
)()()( 000 PgPgPf ∇⋅+∇⋅=∇ µλ 
 
Com base neste teorema, podemos dizer que os candidatos a extremantes condicionados de f devem 
satisfazer a equação: 0=∇L , 
 
onde a função lagrangeana L , nesse caso, é uma função de 5 (cinco) variáveis, dada por:),,(),,(),,(),,,,( zyxhzyxgzyxfzyxL ⋅−⋅−= µλµλ 
 
 97 
Exemplo: 
1) Determinar o ponto da reta de intersecção dos planos 2=++ zyx e 1223 =++ zyx que esteja 
mais próxima da origem. 
Solução: 
Para simplificar os cálculos, vamos minimizar o quadrado da distância. Assim, temos o seguinte 
problema de otimização: 
0122z3y x 
02zy x: .
 
222
=−++
=−++
++
as
zyxMin
 
A função lagrangeana L é dada por: 
 
)1223()2(),,,,( 222 −++⋅−−++⋅−++= zyxzyxzyxzyxL µλµλ 
 
Derivando L em relação às variáveis µλ ,,, ezyx , vem: 
µλ −−=
∂
∂
x
x
L 2 ; µλ 32 −−=
∂
∂ y
y
L
; µλ 22 −−=
∂
∂
z
z
L
; 
)2( −++−=
∂
∂
zyxLλ e )1223( −++−=∂
∂
zyxL
µ
 
Assim, a equação 0=∇L nos fornece o sistema de equações lineares: 












=++
=⇒=⇒=+⇒=++
⇒+=⇒=−−
⇒+=⇒=−−
⇒+=⇒=−−
1223
3/223222
22022
32032
202
4
3
2
1
zyx
zzzzzyx
zz
yy
xx
µλµλ
µλµλ
µλµλ
 
(1) – (3) => µ−=− zx 22 e (2) – (3) => µ−=− zy 22 => 
zyxzyzxzyzx 22222 =+⇒+−=−⇒+−=+ (substitui em (4)) 
3/14286436463/4123/42
3/4123
3/4
=⇒−=−⇒+−=−⇒+−=−⇒



−=+
=+
− yyyy
yx
yx
 
3/103/143/4 −=−=x 
Assim, temos: 
8 e 
3
44
,
3
2
,
3
14
,
3
10
=−===−= µλzyx 
Portanto, o ponto 





−
3
2
,
3
14
,
3
10
 é o único candidato a extremidade condicionado de f . 
Geometricamente, é fácil constatar que esse ponto constitui a solução do problema. Por outro lado, 
 
72,876)6,2,6(77,5
3
310
3
2
,
3
14
,
3
10
≅=−<≅=





− ff 
 
Sugestão de atividade: Usar softwares matemático para resolver o sistema e para construir a 
representação geométrica, quando for possível. 
 
 
 98 
LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS 
 
Nos exercícios a seguir, use o método dos multiplicadores de Lagrange para encontrar os extremos 
indicados. Você pode supor que o extremo existe. 
 
1) Determinar os pontos de máximos e/ou mínimos da função dada, sujeita às restrições indicadas: 
a) 1 x;22 =++= yyxz 
b) 1 ;324 22 =+−−= yxyxz 
c) 4 ;2 22 =++= yxyxz 
d) 16 2 ; 22 =+= yxxyz 
e) 9 ; ),,( 222 =++++= zyxzyxzyxf 
Resposta: 
a) Ponto de mínimo => 





2
1
,
2
1
 
b) Ponto de mínimo => 





13
3
,
13
2
 e Ponto de máximo => 





−−
13
3
,
13
2
 
c) Ponto de mínimo => 





−−
5
2
,
5
4
 e Ponto de máximo => 





5
2
,
5
4
 
d) Pontos de mínimo => ( )22,2 − e ( )22,2− e Pontos de máximo => ( )22,2 e ( )22,2 −− 
e) Ponto de mínimo => ( )3 ,3 ,3 
 
2) Encontre o valor máximo de xyyxf =),( , sujeita á restrição 1=+ yx . 
Resposta:
4
1
2
1
,
2
1
=




f 
 
3) Encontre os valores máximo e mínimo da função xyyxf =),( , sujeita á restrição 122 =+ yx . 
Resposta: Pontos de mínimo => 






−







−
2
2
,
2
2
2
2
,
2
2
e e 
 Pontos de máximo => 






−−







2
2
,
2
2
2
2
,
2
2
e 
 
4) Encontre o valor mínimo da função 22),( yxyxf += , sujeita á restrição 1=xy . 
Resposta: 2)1- ,1()1 ,1( =−= ff 
 
5) Encontre o valor mínimo da função 22 2),( yxyxyxf +−= , sujeita á restrição 222 =+ yx . 
Resposta: 77)4,9( =f (exemplo de que é mínimo f(11, 0) = 121 > 77 = f(9, 4) 
 
6) Encontre o valor mínimo de 22),( yxyxf −= , sujeita á restrição 422 =+ yx . 
Resposta: 4)2- ,0()2 ,0( −== ff 
 
7) Seja 22 248),( yxyxyxf +−= . Encontre os valores máximo e mínimo da função dada, sujeita à 
restrição 18 22 =+ yx . 
Resposta: )2/2,4/1()2/2,4/1( 21 −−PeP são pontos de mínimos => 231)()( 21 −== PfPf 
 )2/2,4/1()2/2,4/1( 43 −− PeP são pontos de mínimos => 231)()( 43 +== PfPf 
 
 
 
 
 99 
8) Seja 22 2),( yyxyxf −−= . Encontre os valores máximo e mínimo da função dada, sujeita à 
restrição 122 =+ yx . 
Resposta: Pontos de máximos =>
2
3
2
1
,
2
3
2
1
,
2
3
=







−−=







− ff ; Ponto de mínimo => 3)1 ,0( −=f 
Nota: Essa função possui um ponto de sela em (0, -1) cujo valor funcional é 1. 
Cuidado: Na resolução do sistema: 









±=⇒=+
−=⇒=
−−
=⇒≠⇒=
2
31
2
1
2
22
10
2
2
22 xyx
y
y
y
xSe
x
x
λ
λλ
 
Por outro lado, se 0=x , substituindo na restrição )1( 22 =+ yx , temos: 1±=y . 
 
9) Seja xyyxf =),( . Encontre os valores máximo e mínimo da função dada, sujeita à restrição 
822 =+ yx . 
Resposta: Pontos de máximos => ( ) ( ) 42,22 ,2 =−−= ff ; 
 Ponto de mínimo => ( ) ( ) 42,22 ,2 −=−=− ff 
 
10) Encontre o valor máximo de 2),( xyyxf = , sujeita à restrição 1=+ yx . 
Resposta: (1/3, 2/3) => Ponto de máximo e (1, 0 ) => Ponto de mínimo => Valor máximo = 4/27 
 
11) Seja 3232342),( 22 +−−−+= yxxyyxyxf . Encontre o valor mínimo da função dada, sujeita à 
restrição 15=+ yx . 
Resposta: 18)7 ,8( −=f 
 
12) Seja 72422),( 22 +++++= yxxyyxyxf . Encontre o valor mínimo da função dada, sujeita à 
restrição 144 2 =+ xyx . 
Resposta: f(-1/2, 0) = 11/2 => Valor mínimo, pois é maior por exemplo que f( 1/2, 0) =19/2 
 
13) Determinar o ponto do plano 12423 =++ zyx para o qual a função 222 54),,( zyxzyxf ++= 
tenha um valor mínimo. 
Resposta: ( ) exemploPorff ⇒=<≅




 453,0,090,10
11
8
,
11
5
,
11
30 Ponto 





11
8
,
11
5
,
11
30
 
 
14) A reta t é dada pela intersecção dos planos 1=++ zyx e 632 =++ zyx . Determinar o ponto da 
reta t cuja distância até a origem seja mínima. 
Resposta: f 





−
3
5
,
3
7
,
3
1
 < f(1, 2, -2) por exemplo 
 
15) Achar os valores extremos de xyz 2= sujeitos à condição 2=+ yx . 
Resposta: Ponto de máximo => )1 ,1( 
 
 
 100 
16) O departamento de estrada está planejando construir uma área de piquenique para motoristas ao 
longo de uma grande auto-estrada. Ela deve ser retangular, com uma área de 5.000 metros 
quadrados, e cercada nos três lados não-adjacentes à auto-estrada. Qual é a quantidade mínima de 
cerca que será necessária para realizar o trabalho? 
Solução: 
 
000.5 : .
2),( 
=
+=
xyas
yxyxfMin
 
 
 
 
Portanto, a quantidade mínima é : 100 m + 50 m + 50 m = 200 m 
 
17) Há 320 metros de cerca disponíveis para cercar um campo retangular. Como a cerca deve ser 
usada de tal forma que a área incluída seja a máxima possível? 
Solução: 
 
32022 : .
),( 
=+
=
yxas
xyyxfMáx
 
 
 
 
 
Portanto, o campo deve ser um quadrado com 80 metros de lado. 
 
18) Deseja-se construir um aquário, na forma de um paralelepípedo retangular de volume 1 m3 
(1.000 L). Determine as dimensões do mesmo que minimizam o custo, sabendo que o custo do 
material usando na confecção do fundo é o dobro do da lateral e que o aquário não terá tampa. 
Solução: 
1 :.
222 
=
++
xyzas
yzxzxyMín
, usando os multiplicadores de Lagrange. 
Portanto, deve-se construir um cubo de aresta 1 m. 
 
19) Projete uma caixa retangular de leite com largura x , comprimento y e altura z , que contenha 
512 cm3 de leite. Os lados da caixa custam 3 centavos/cm2 e o topo e o fundo custam 
5 centavos/cm2. Ache as dimensões da caixa que minimizem o custo total. Qual é esse custo? 
Solução: 
512 :.
yz66xz0xy1 
=
++
xyzasMín
, usando os multiplicadores de Lagrange. Portanto, as dimensões 
devem ser: Largura ≅ 6,75 cm; Comprimento ≅ 6,75 cm e Altura ≅ 11,24 cm. Em relação ao custo, 
temos: reais.14,08centavos1.4088)8,C(8,reais13,66centavos065,366.1)24,11,75,6,75,6( ==<==C 
 
20) Encontre o volume máximo que uma caixa retangular pode ter, sujeita a restrição de que a área da 
superfície é 10 m2. Resposta: 15,2≅V m3 ou 2.151 L 657 mL > 2 = V(1, 1, 2). 
 
21) Determinar os pontos de máximos e mínimos da função dada, sujeita à restrição indicada: 
yxzyxf +=),,( e 1),,( 222 −++= zyxzyxg . 
Resposta: 






0,
2
2
 ,
2
2
=> Máximo e 






−− 0,
2
2
 ,
2
2
=> Mínimo 
 
22) Determinar os pontos de máximos e mínimos da função dada, sujeita às restrições indicadas: 
zyxzyxf ++=),,( e 



=+=
=+=
1),,(
2),,( 22
zxzyxh
yxzyxg
 
Resposta: )1 ,2 ,0( => Máximo e )1 ,2- ,0( => Mínimo 
 
 101 
23) Aplicação: Encontre o volume máximo que uma caixa retangular pode ter, sujeita a restrição de 
que a área da superfície é 10 m2. 
Solução: 
 
xyzV = , como 10=A m2 e 
 
510222 =++⇒=++= yzxzxyyzxzxyA 5),,( −++=⇒ yzxzxyzyxg 
 
Assim, devemos maximizar xyzV = sujeito a 5=++ yzxzxy 
 
yz
x
V
=
∂
∂
, xz
y
V
=
∂
∂
 e xy
z
V
=
∂
∂
 ⇒ ),,(),,( xyxzyzzyxV =∇ 
 
zy
x
g
+=
∂
∂
, zx
y
g
+=
∂
∂
 e yx
z
g
+=
∂
∂
 ⇒ ),,(),,( yxzxzyzyxg +++=∇ 
 







=++
+=
+=
+=
⇒



=++
+++=
5
)(
)(
)(
5
),,(),,( *
yzxzxy
zyxy
zxxz
zyyz
yzxzxy
zyzxzyxyxzyz
λ
λ
λ
λ
⇒











=++
=
+
=
+
=
+
5yzxzxy
yx
xy
zx
xz
zy
yz
λ
λ
λ
⇒ 
0 e 0 ,0
*
≠≠≠ zyx 
 
yxxzyzxzxyyzyxzyxzxy
zx
x
zy
y
zx
xz
zy
yz
=⇒=⇒+=+⇒+=+⇒
+
=
+
⇒
+
=
+
).().( (1) 
 
yzyxzxyzyxzyzxzxyyxz
yx
y
zx
z
yx
xy
zx
xz
=⇒=⇒+=+⇒+=+⇒
+
=
+
⇒
+
=
+
).().( (2) 
 
Substituindo (1) e (2) em 5=++ yzxzxy , temos: 
 
⇒=⇒=++ 535 2222 yyyy
3
5
=y 
logo: 
3
5
=== zyx 
 
e o volume é: 
1516574,2
27
125
3
5
3
5
3
5
≅=⋅⋅=V 
 
ou seja: 
 
15,2≅V 2 m3 ou 2.151 L 657 mL. 
 
 102 
24) Determinar os pontos de máximos e mínimos da função dada, sujeita à restrição 
indicadas: 22),( yxyxf += e 1),( −−= xyyxg 
Solução: 
Como 



=
∇⋅=∇
0),(
),(),(
yxg
yxgyxf λ
 ⇒ 



=−
−=
1
)1 ,1()2 ,2(
xy
yx λ
 ⇒ 





=−
=
−=
1
2 
2
xy
y
x
λ
λ
 ⇒ 









=−
=
=−
1
2
 
2
xy
y
x
λ
λ
 ⇒ 



=−
−=
1xy
xy
 ⇒ 
2
1
−=x e 
2
1
=y 
Assim, 
2
1
4
1
4
1
2
1
2
1
2
1
,
2
1 22
=+=





+





−=





−f 
 
25) 22),( yxyxf −= e 1),( 22 −+= yxyxg 
Como 



=
∇⋅=∇
0),(
),(),(
yxg
yxgyxf λ
 ⇒ 



=+
=
1
)y2 ,2()2- ,2(
22 yx
xyx λ
 ⇒ 
1a Parte) )0( ≠x 





=+
⋅=
=⇒⋅−=
1
22- 
122
22 yx
yy
xx
λ
λλ
 ⇒ 





=+
=⇒=
=
1
022- 
1
22 yx
yyy
λ
 ⇒ 1102 ±=⇒=+ xx 
Assim, os pontos são )0 ,1(1P e )0 ,1(2 −P 
 
máximos de pontos ambos 
101)0 ,1(
101)0 ,1(



=−=−
=−=
f
f
 
2a Parte) )0( =x 





=+
−=⇒⋅=
⋅=
1
122- 
22
22 yx
yy
xx
λλ
λ
 ⇒ 





=+
−=
=⇒−=
1
 1
022
22 yx
xxx
λ ⇒ 1102 ±=⇒=+ yy 
 
Assim, os pontos são )1 ,0(3P e )1 ,0(4 −P => mínimos de pontos ambos 110)1 ,0(
110)1 ,0(



−=−=−
−=−=
f
f
 
 
INTERPRETAÇÃO PARA O MULTIPLICADOR DE LAGRANGE λ 
 
Podemos resolver a maioria dos problemas de otimização condicionados pelo método dos 
multiplicadores de Lagrange sem obter efetivamente um valor numérico para o multiplicador de 
Lagrange λ . Em alguns problemas, contudo, podemos querer conhecer λ . Isto seria devido a λ ter 
uma interpretação útil. 
 
Suponha que M seja o valor máximo (ou mínimo) de ),( yxf , sujeita à restrição kyxg =),( . O 
multiplicador de Lagrange λ é a taxa de variação de M em relação à k . Isto é: 
dk
dM
=λ 
 
Assim, ≅λ variação em M resultante de um aumento de 1 unidade em k 
 
Lembre-se: Nosso objetivo é: 
kyxas
yxfMáx
=),g( : .
),( 
 ou 
kyxas
yxfMin
=),g( : .
),(