LISTA Nº 01 Int. Probabilidade (Espaços Amostrais Finitos)

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LISTA Nº 01
INTRODUÇÃO Á PROBABILIDADE
Espaços amostrais finitos
Uma urna contém 5 bolas numeradas de 1 a 5 das quais as três primeiras são pretas e as duas últimas são brancas. Uma amostra de tamanho n=2 é retirada com reposição. Sejam os eventos: B1 = {a 1ª bola retirada é preta} e B2 = {a 2ª bola retirada é preta}.
Descreva o espaço amostral do experimento e os eventos B1, B2 e B1∩B2;
Determine P(B1), P(B2) e P(B1∩B2);
Repita os itens (a) e (b) considerando a amostragem sem reposição.
Considere um experimento industrial e as variáveis x = tempo de inicio de uma tarefa e y = tempo de término da mesma tarefa. Sejam os eventos: A = {a tarefa é iniciada às 10:00hrs}, B = {a tarefa é executada em exatamente 10 horas} e C = {a tarefa é executada em, no máxima, 10 horas}.
Descreva o espaço amostral;
Descreva os eventos A, B, C, A∩B e A∩C;
OBS: Considere que o tempo de execução da tarefa é medido em um período de 0 a 24 horas.
Considere as afirmativas abaixo e diga se são falsas ou verdadeiras:
Se P(A) =1/3 e P(B0) = 1/4, então A e B são disjuntos;
Se P(A) = P(B0), então A0 = B;
Se P(A) = 0, então P(A∩B) = 0;
Se P(A0) = α e P(B0) = β, então P(A∩B) ≥ 1 – α – β.
OBS: A0 e B0 representam eventos complementares de A e B respectivamente.
Sejam A e B dois conjuntos tais que: P(A) = x, P(B) = y e P(A∩B) = z. Determine a probabilidade de que exatamente um dos eventos A ou B ocorra.
Suponha que A e B sejam eventos tais que P(A)=x, P(B)=y e P(A∩B)=z. Determine:
P(A0UB0)
P(A0∩B)
P(A0UB)
P(A0∩B0)
Suponha que A, B e C sejam eventos tais que P(A) = P(B) = P(C) = ¼, P(A∩B) = P(C∩B) = 0 e P(A∩C) = 1/8. Calcule a probabilidade de que ao menos um dos eventos A, B ou C ocorra.
Sejam A, B e C três eventos pertencentes ao mesmo espaço amostral S. Sabe-se que P(A) = x, P(B) = y, P(C) = z, P(A∩B) = 0, P(A∩C) = P(B∩C) = k. Determine a probabilidade de:
Pelo menos um dos eventos ocorrer;
Exatamente um dos eventos ocorrer;
Exatamente 2 dos eventos ocorrerem;
Não mais de 2 eventos ocorrerem.
 Numa estante existem 8 livros, sendo 5 de física e 3 de matemática. Uma pessoa retira aleatoriamente três livros da estante. Determine a probabilidade de:
Serem 2 livros de física e 1 de matemática;
Pelo menos 1 de física.
Um lote de N peças apresenta r1 peças com defeito e r2 peças boas (r1 + r2 = N). Uma amostra de n peças (n < N) é retirada ao acaso do lote. Determine a probabilidade de ocorrer S1 peças defeituosas e S2 peças boas. 
 Uma urna apresenta 15 bolas azuis, 4 bolas amarelas e 2 bolas vermelhas. Duas bolas são escolhidas ao acaso sem reposição. Ache a probabilidade de que:
As duas sejam azuis;
As duas sejam vermelhas;
Pelo menos uma seja azul;
No máximo uma seja azul;
Exatamente uma seja azul.
 As peças produzidas por uma fábrica saem da linha de montagem etiquetadas segundo a série {an} = 1,2,3,..., n. Duas peças são escolhidas ao acaso. Determine a probabilidade de que os números das etiquetas das peças sejam inteiros consecutivos se:
As peças forem escolhidas se reposição;
As peças forem escolhidas com reposição.
 Dentre os algarismos 0,1,2, ..., 9 são escolhidos ao acaso, com reposição, três algarismos para formar um número. Qual a probabilidade de que o número formado tenha todos os algarismos diferentes?
 Considere um baralho normal com 52 cartas. Uma pessoa retira ao acaso cinco cartas do baralho. Determine a probabilidade dos eventos:
As cinco cartas formarem um par (x,x,y,z,k);
As cinco cartas formarem uma trinca (x,x,x,y,z);
Um four (x,x,x,x,y);
Um `full hand` (x,x,x,y,y).
OBS: as letras x,y,z,k representam tipos de carta. Exemplo: x=valete, y=ás, etc.
 Os problemas abaixo são considerados clássicos em probabilidade:
Compare a probabilidade de obter soma 9 com obter soma 10 quando três dados são lançados.
Compare a probabilidade de obter pelo menos uma vez a face 6 quando um dado é lançado 4 vezes com a probabilidade de obter pelo menos um duplo 6 em 24 lançamentos de um par de dados.
Compare a probabilidade de obter pelo menos um 6 quando seis dados são lançados com a probabilidade de obter pelo menos dois 6 quando doze dados são lançados.
 Suponha que temos uma caixa contendo r bolas numeradas de 1 a r. Toma-se uma amostra aleatória sem reposição de tamanho n e registra-se os números das bolas. Repõem-se as bolas na caixa e toma-se uma segunda amostra aleatória sem reposição de tamanha m. Determine a probabilidade de que as duas amostras tenham exatamente K bolas em comum.
 Suponha que temos r caixas. Bolas são colocadas aleatoriamente nas caixas, uma de cada vez, até que alguma caixa contenha duas bolas pela 1ª vez. Determine a probabilidade de que isso ocorra na n-ésima bola.
 Suponha que se distribui n bolas em n caixas.
Qual a probabilidade de que exatamente uma caixa esteja vazia?
Dado que a caixa 1 está vazia, qual a probabilidade de que somente uma caixa esteja vazia?
 Se distribuirmos aleatoriamente n bolas em r caixas, qual é a probabilidade de que a caixa 1 contenha exatamente j bolas, 0 ≤ j ≤ n?
 (Inspeção por amostragem) Uma fábrica de componentes eletrônicos condiciona as peças fabricadas em caixas que contêm 50 componentes. Ao inspecionar as peças, a seguinte regra é adotada: A caixa é retirada da produção e uma amostra de 5 peças é selecionada aleatoriamente. Se não há mais de uma peça defeituosa, a caixa é aceita. Caso contrário, a caixa é submetida à inspeção total. Sabendo-se que existem 2 peças defeituosas em cada caixa, qual é a probabilidade de ocorrer a inspeção total?
 As peças fabricadas por uma linha de produção são numeradas 1, 2, ..., n e dispostas em ordem aleatória. Determine a probabilidade de que as peças numeradas 1, 2 e 3 apareçam como vizinhas nessa ordem. 
O abastecimento de água de uma cidade é feita por 2 reservatórios situados nos pontos A e B. Sejam os eventos:
Ei = { ocorre uma falha na tubulação i } i = 1,2,3 
Sabendo-se que P(E1) = P(E2) = 0,10 e P(E3) = 0,05, calcule a probabilidade de a cidade ser abastecida.
OBS: Para a cidade ser abastecida é suficiente a água de 1 reservatório apenas. 
 Oito peças (numeradas de 1 a 8 ) são dispostas lado a lado e aleatoriamente, num dispositivo circular com 8 encaixes no seu perímetro. Qual a probabilidade de que as peças numeradas 1 e 2 fiquem sempre em 2 encaixes vizinhos?
 Dez peças idênticas são distribuídas em quatro caixas diferentes (numeradas de 1 a 4). Qual a probabilidade de que a caixa 1 contenha 3 peças?
EXERCICIOS COMPLEMENTARES
Suponha que cada um dos N homens presentes em uma festa atire seu chapéu para o centro da sala. Os chapéus são misturados e então cada homem seleciona aleatoriamente um deles. Qual é a probabilidade de que nenhum dos homens selecione o seu próprio chapéu? (Determine o valor numérico para N=6).
Resposta: 0,368
Um time de futebol americano é formado por 20 atacantes e 20 defensores. Os jogadores devem formar pares com o propósito de definir aqueles que vão dividir o mesmo quarto. Se a formação dos pares é feita de forma aleatória, qual é a probabilidade de que um atacante e um defensor não sejam colegas de quarto?
Resposta: 1,34 x 10-6
Se n pessoas se encontram no interior de uma sala, qual é a probabilidade de que duas pessoas não celebrem aniversário no mesmo dia do ano? Para que valor de n, essa probabilidade será menor que ½?
Resposta: n ≥ 23 pessoas.
No jogo de bridge, o baralho de 52 cartas é inteiramente distribuído entre 4 jogadores. Qual a probabilidade de:
Um dos jogadores receber todas as treze cartas do naipe de espadas?
Resposta: 6,3x10-12
Cada jogador receber um ás?
Resposta: 0,1055
Uma mão de pôquer consiste de 5 cartas. Se as cartas tiverem valores consecutivos distintos e não forem todas do mesmo naipe, dizemos que a mão é um straight. Qual é a probabilidade de que alguém saia com um straight?
Resposta: 0,0039
Prove que:
P[(A∩B0)ᴜ(A0∩B)] = P(A)+P(B)-2P(A∩B)
Observe que a afirmação trata
da probabilidade da ocorrência de exatamente um dos eventos A ou B.
Um baralho de cartas é distribuído. Qual é a probabilidade de que a décima quarta carta seja um ás? Qual é a probabilidade de que o primeiro ás ocorre na décima quarta carta? 
Resposta: 0,077 e 0,0312
Uma equipe de basquete é formada por 6 atacantes e 4 defensores. Se os jogadores são divididos em pares de forma aleatória, qual é a probabilidade de que existam exatamente dois pares formados por um defensor e um atacante?
Resposta: 0,5714
Cinco bolas são escolhidas aleatoriamente, sem reposição, de uma urna que contém 5 bolas vermelhas, 6 brancas e 7 azuis. Determine a probabilidade de que pelo menos uma bola de cada cor seja escolhida.
Resposta: 0,2933
 O jogador A lança seis dados e ganha, caso consiga pelo menos um resultado igual a 1. O jogador B lança doze dados e ganha caso consiga pelo menos dois resultados iguais a um. Quem tem a maior probabilidade de ganhar?
Respostas: Jogador A: 0,3349
 Jogador B: 0,3813
 Suponha que de um total de n varetas, cada uma seja quebrada em uma parte longa e em uma parte curta. As 2n partes são arrumadas em n pares dos quais novas varetas são formadas. Determine a probabilidade:
De que as partes sejam unidas na ordem original;
De que todas as partes longas sejam emparelhadas com partes curtas.
Respostas: (a): 2n.n!/(2n)!
 (b): 2n/C(2n,n)