2Aula ELT331 ConstrucaodoLugardasRaizes1ae2aOrdem

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA – UFV
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS – CCE
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA - DEL
AULA 2 – Construção do Lugar das 
Raízes
Sistemas de Controle II
ELT331
Prof. Tarcísio Pizziolo
- Em um sistema de controle de malha fechada, o lugar das raízes expressa no
plano complexo-s a localização dos pólos do sistema em função da variação do
ganho de malha.
- - Seja o sistema de controle em malha fechada dado pelo diagrama de blocos a
seguir:
2. Construção do Lugar das Raízes
)s(H)s(G1
)s(G
)s(F


Equação Característica:
)FechadaMalhadePólos(0)s(H)s(G1 







),3,2,1,0n(;)1n2(180)s(H)s(G
1)s(H)s(G
ou1)s(H)s(G
o 
Então:
Condição de Módulo
Condição de Ângulo
nn ps0K 
mm zsK 
2. Construção do Lugar das Raízes
A condição e módulo pode ser escrita generalizada como:
K
1
)zs)...(ps)(ps(
)zs)...(zs)(zs(
1
)zs)...(ps)(ps(
)zs)...(zs)(zs(K
1)s(H)s(G
n21
m21
n21
m21 






Considerando 0 < K < ∞ e que a identidade seja verdadeira, pode-se escrever:
)
K
1
(lim
)zs)...(ps)(ps(
)zs)...(zs)(zs(
lim
0K
n21
m21
0K 



- Para a identidade permanecer, quando os valores de s no denominador 
deverão tender a se igualarem aos pólos.
- Para a identidade permanecer, quando os valores de s no numerador 
deverão tender a se igualarem aos zeros.


)
K
1
(lim
0K
0)
K
1
(lim
K


Conclusão:
- Quando ; ou seja, quando o ganho K tende a zero o Lugar das 
Raízes tende aos pólos.
- Quando ; ou seja, quando o ganho K tende ao infinito o Lugar 
das Raízes tende aos zeros. 
2.1. Condições de Ângulo e de Módulo
1)s(H)s(G 






ÂngulodeCondição),3,2,1,0n(;)1n2(180)s(H)s(G
MódulodeCondição1)s(H)s(G
o 
Partindo-se de que e que G(s)H(s) é uma grandeza complexa:
Os valores de s que satisfazem a estas duas condições serão os Pólos de Malha
Fechada e os que satisfaçam apenas à Condição de Ângulo construirão o Lugar
das Raízes.
A Condição de Módulo, dado um valor de ganho K, determina os Pólos de
Malha Fechada.
Para construir o Lugar das Raízes deve-se conhecer a localização dos pólos e
zeros de G(s)H(s).
-1+j0
±180º (2n+1)
1
2.2. Alocação de Pontos de Teste
- Primeiramente devem ser alocados pontos de teste s no plano complexo para a
verificação se o mesmo pertence ao Lugar das raízes de G(s)H(s).
- Para a construção do Lugar das Raízes inicialmente deve-se traçar os vetores no
palno complexo que se iniciam nos pólos e zeros de G(S)H(s) e terminam nos
pontos de teste s.
- Os ângulos dos vetores deverão ser medidos no sentido anti-horário.
Exemplo: Seja a Função de Transferência de Malha Aberta G(s)H(s) onde os pólos
-p2 e -p3 são complexos conjugados e os demais pólos e o zero são reais, traçar os
vetores para um ponto de teste s dado.
Solução:
)ps)(ps)(ps)(ps(
)zs(K
)s(H)s(G
4321
1



444444
333333
222222
111111
111111
o
A)ps(ps)ps(
A)ps(ps)ps(
A)ps(ps)ps(
A)ps(ps)ps(
B)zs(zs)zs(
0KK






2.2. Alocação de Pontos de Teste
Daí o Módulo de G(s)H(s) poderá ser escrito por:
E o Ângulo de G(s)H(s) poderá ser escrito por:
4321
1
AAAA
KB
)s(H)s(G 
)()s(H)s(G 43211 
Seja o sistema de controle em malha fechada dado a seguir:
)17s2s(
K
)s(G
2 

s
)2s(
)s(H


- Pólos: s = 0; s = -1 + j4; s = -1 – j4
- Zeros: s = -2; (mais dois zeros no infinito!)
)17s2s(s
)2s(K
)s(H)s(G
2 


Alocar os seguintes pontos de teste no Plano Complexo:
a) s1 = -1,5 + j0
b) s2 = -1 + j3
c) s3 = 1 + j4
d) s4 = -0,632 + j5
d) Traçar os vetores para cada ponto de teste solicitado.
0-1-2-3
j4
σ
jw
j1
j2
j3
-j1
-j4
-j3
-j2
-4 21
2.3. Exercício
Pólos e Zeros no Plano Complexo
Solução
Pontos de teste no Plano Complexo:
3
4
s1
s2
s3
)17s2s(s
)2s(K
)s(H)s(G
2 


-0,632
s4
Vetores para o ponto de teste s1 = -1,5 + j0:
s1
)17s2s(s
)2s(K
)s(H)s(G
2 


-0,632
Solução
Φ1 = 0
o
θ2 = 180
º+ α = 180º+ tg-1(4/0,5)=180º+82,88º=262,88º
α
α=tg-1(4/0,5)=82,88º (Considerar a distorção das escalas) 
4
-4
θ3 = 180
º
α
α
θ1 = 180
º- α =97,12º
3
4
s2
)17s2s(s
)2s(K
)s(H)s(G
2 


-0,632
Vetores para o ponto de teste s2 = -1 + j3:
Solução
Φ1
θ1
θ2
θ3
Calcular os ângulos φ1, θ1, θ2 e θ3 dos vetores!!!
Vetores para o ponto de teste s3 = 1 + j4:
Solução
-4
s3
)17s2s(s
)2s(K
)s(H)s(G
2 


-0,632
Φ1
θ1
Θ2 = 0
o 
θ3
Solução
Vetores para o ponto de teste s4 = -0,632 + j5:
-0,632
Φ1
Θ2 
Θ1 
Θ3 
2.4. Esboço do Lugar das Raízes
2.4.1. Sistemas de 1a Ordem (com pólo e zero)
Seja com z > p > 0.
)ps(
)zs(K
)s(G



- Condição de Ângulo:
,...)3,2,1,0n();1n2(180)ps()zs(K
o 
jw
σ0
K→∞
K→0
φ θ
-z -p
s
jw1
σ1
Φ = tg-1[w1/(σ1+z)]
Θ = tg-1[w1/(σ1+p)]
]
)p(
w
[tg]
)z(
w
[tg0)s(G
1
11
1
11o



 
Lugares das Raízes mais comuns para sistemas de 1ª Ordem
2.4. Esboço do Lugar das Raízes
2.4.2. Sistemas de 2a Ordem (sem zeros)
Seja com p1 > p2 > 0.
)ps)(ps(
K
)s(G
21 

- Condição de Ângulo:
,...)3,2,1,0n();1n2(180)ps()ps(K
o
21 
Θ1= tg
-1[w1/(σ1+z)]
Θ2= tg
-1[w1/(σ1+p)]
]
)p(
w
[tg]
)p(
w
[tg0)s(G
21
11
11
11o



 
jw
σ0
K→∞
K→0
θ1
-p1 -p2
s
jw1
σ1
θ2
K→∞
Lugares das Raízes mais comuns para sistemas de 2ª Ordem
2.5. Exercício
Seja o sistema de controle em malha fechada dado a seguir:
)1s(s
K

R(s) C(s)
a) Construir o Lugar das Raízes.
b) Para quais os valores do ganho K o sistema é ESTÁVEL?
c) Para quais os valores de K o sistema possui uma resposta superamortecida?
d) Para quais os valores de K o sistema possui uma resposta criticamente
amortecida?
e) Para quais os valores de K o sistema possui uma resposta subamortecida?
Solução
a) Construir o Lugar das Raízes.
b) Para quais os valores do ganho K o sistema é ESTÁVEL?
R.: K > 0
e) Para quais os valores de K o sistema possui uma resposta subamortecida?
R.: K > ¼
c) Para quais os valores de K o sistema possui uma resposta superamortecida?
R.: 0 < K < ¼
d) Para quais os valores de K o sistema possui uma resposta criticamente
amortecida? R.: K = ¼
4
1
K0)K41(conjugadascomplexasRaízes
4
1
K0)K41(iguaisaisReRaízes
4
1
K0)K41(asintdistaisReRaízes
2
)K41(
2
1
s
2
)K41(1
s
0Kss:ticaCaracterísEquação
)Kss(
K
)s(F
K)1s(s
K
)s(F
2,12,1
2
2











