Unidade de Aprendizado 2

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26/03/2018 Unidade de Aprendizado
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Interpolação por 
Splines e por Partes.
APRESENTAÇÃO
Olá!
Nesta Unidade de Aprendizagem abordaremos um método numérico para ajuste de curvas
chamado interpolação por splines e por partes.
Bons estudos!
Ao final desta unidade você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 Definir interpolação por splines e reconhecer quando o método deve ser u�lizado.
 Compreender que os splines minimizam as oscilações ajustando, por partes, polinômios de
ordem mais baixa aos dados.
 Usar a interpolação por splines para es�mar valores intermediários entre dados precisos.
DESAFIO
Jairo e Luíza são alunos de cálculo numérico. Esta semana eles estavam estudando
interpolação por splines, que consiste em aplicar polinômios de grau mais baixo a
subconjuntos de pontos dados, de uma maneira por partes, onde esses polinômios conectores
são chamados de funções splines.
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Seu professor explicou que uma das condições para a interpolação por splines de segundo e
terceiro graus é que as derivadas sejam iguais nos nós, o que não ocorre no spline de primeiro
grau. Foi aí que Luíza ficou com dúvidas e ques�onou o seu colega:
- Jairo, o que são nós? Por que a derivada deve ser igual nos nós? O que isso significa
geometricamente?
Sabendo que Jairo respondeu corretamente ao questionamento de Luíza,
escreva o que ele pode ter respondido a ela.
INFOGRÁFICO
Acompanhe o infográfico com o conteúdo abordado nesta Unidade de Aprendizagem.
CONTEÚDO DO LIVRO
Acompanhe um trecho da obra Métodos Numéricos para a Engenharia, de Steven Chapra e
Raymond Canale, que aborda a interpolação por splines ou por partes.
Boa leitura!
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DICA DO PROFESSOR
Acompanhe, no vídeo a seguir, uma síntese dos conceitos desta Unidade de Aprendizagem, o
que pode ajudar na resolução dos exercícios.
Conteúdo disponível na plataforma virtual de ensino. Confira!
EXERCÍCIOS
 
1) Marque a alterna�va correta sobre interpolação.
a) A interpolação por splines consiste em determinar o único polinômio de grau n que passa
por n + 1 pontos dados.
b) A interpolação polinomial sempre é mais adequada que a interpolação por splines.
c) Os splines quadrá�cos são os mais u�lizados na prá�ca.
d) Ajustar um conjunto de quatro pontos u�lizando spline cúbico não é equivalente a ajustar
os pontos u�lizando interpolação polinomial com um polinômio de grau três.
e) Nos splines lineares a ligação entre dois pontos é determinada por um polinômio de
segundo grau.
 
2) Ao ajustarmos os dados da tabela abaixo com spline de primeiro grau, o valor encontrado
para f(x) no segundo intervalo é: 
 
x i f(x)
0 1 1
1 2 5
2 2,5 7
3 3 8
4 4 2
 
 
a) f(x) = 3 + 4x.
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b) f(x) = – 3 + 4x.
c) f(x) = 3 – 4x.
d) f(x) = 26 – 6x.
e) f(x) = 2 + 2x.
 
3) Ao ajustarmos os dados da tabela abaixo com spline de primeiro grau, o valor encontrado
para f(3,4) é: 
 
x i f(x)
0 1 1
1 2 5
2 2,5 7
3 3 8
4 4 2
 
 
a) 5,6.
b) 8.
c) 2.
d) -5,6.
e) 8,8.
 
4) Ao ajustarmos os dados da tabela abaixo com spline de segundo grau, o valor encontrado
para f(3,4) é: 
 
x i f(x)
0 1 1
1 2 5
2 2,5 7
3 3 8
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4 4 2
 
 
a) 5,6.
b) – 7,36.
c) 7,36.
d) – 7,04.
e) 7,04.
 
5) Ao ajustarmos os dados da tabela abaixo com spline cúbico, o valor encontrado para f(5,5)
é: 
 
x i f(x)
0 3 2,5
1 4,5 1
2 7 2,5
3 9 0,5
a) 1,925552.
b) 1,102886
c) 1,464941.
d) – 1,464941.
e) –1,102886.
NA PRÁTICA
A interpolação por splines pode ser u�lizada em problemas aplicados. Por exemplo, as funções
de Bessel aparecem com frequência em análises avançadas de engenharia, tais como o estudo
de campos elétricos. Essas funções geralmente não são passíveis de avaliação simples e,
portanto, são frequentemente compiladas em tabelas matemá�cas padrão, como a mostrada
a seguir:
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X 1,8 2 2,2 2,4 2,6
J 1 (X) 0,5815 0,5767 0,556 0,5202 0,4708
 
 
Neste caso splines cúbicos poderão ser u�lizados para es�mar, por exemplo, J1(2,1).
SAIBA +
Para ampliar seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo a(s)
sugestão(ões) do professor:
Interpolación por Splines Cúbicos
Conteúdo disponível na plataforma virtual de ensino. Confira!
"Métodos numéricos aplicados com MATLAB para engenheiros e cien�stas", de Chapra
(2013, p. 443-457).