4. MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL

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4. MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL 
 
Média Aritmética Simples ( _
x
 ) 
Seja a seqüência numérica X = x1 , x2 , x3 , x4 , .... , xn , temos : 
n
x
x
n
i
i
 1
_ . 
 
Exemplo : X = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 

 



5
15
5
54321_
x
 
3
_
x
 . 
Média Aritmética Ponderada ( 
px
_ ) 
Seja a seqüência numérica X = x1 , x2 , x3 , x4 , .... , xn , com pesos p1 , p2 , p4 , .... , pn , 
temos : 



i
n
i
ii
p
p
px
x 1
_ . 
 
Exemplo : X = 1 , 2 , 3 , 4 
 

 






10
28
10
12961
3331
3.43.33.21.1_
px
 
P = 1 , 3 , 3 , 3 

 
8,2
_
px
 . 
 
4.1. Média Aritmética 
A média é a medida de tendência central mais conhecida e mais utilizada. Para obter a média 
aritmética, ou simplesmente a média de um conjunto de dados, você soma os valores de todos os 
dados e divide o total pelo número deles. 
Podemos calcular a média dos dados da população ou de uma amostra. 
A média aritmética da população é representada por (letra grega; lê-se mi), onde N 
representa o tamanho da população: 
∑ 
 
. 
A média aritmética de uma amostra é representada por ̅ (lê-se x-traço ou x-barra). Como o 
tamanho da amostra é indicado por n, a fórmula para o cálculo da média é: ̅ 
∑ 
 
. 
A maneira mais correta de escrever a fórmula da média aritmética é: 
 ̅ 
∑ 
 
 
 
 
 
Agora, exemplos de como se calcula a média aritmética de dados apresentados em tabelas de 
distribuição de freqüências. 
 
1) Seja X = número de defeitos por peça produzida em um lote de 16 peças, na tabela abaixo. 
Calcule a média. 
 
 
 
 
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Defeitos por Peça 
i Xi = Nº Defeitos Fi = peças Fi . Xi 
1 0 6 
2 1 4 
3 2 5 
4 3 1 
Σ = total 16 = n 
Fonte: Desconhecida 
 
2) Seja X = idade, em anos, de um grupo de pessoas com 30 anos ou mais, na tabela abaixo. 
Calcule a meia. 
 
Idade de um Grupo 
i Idades (Xi) Pessoas (Fi) Mi ou Xi
*
 Fi . Mi 
1 31 39 7 
2 39 47 9 
3 47 55 4 
4 55 63 6 
5 63 71 4 
6 71 79 2 
Σ = total 32 
Fonte: Desconhecida 
 
 
4.2. Mediana 
Mediana ( ) é o valor que ocupa a posição central de um conjunto de dados ordenados. 
Então, para determinar a mediana, você precisa ordenar os dados. 
Para calcularmos a posição central devemos fazer 
 
 
. 
Se o número de dados é ímpar, a mediana é o valor que ocupa a posição central dos dados 
ordenados. Se o número de dados é par, a mediana é a média aritmética dos dois valores que 
ocupam a posição central dos dados ordenados. 
Exemplos: 
 
 
5,0 – 5,5 – 7,0 – 8,0 – 8,5 
Posição = 
 
 
 = 
 
 
 3ª pos. 5,0 – 5,5 – 7,0 – 8,0 – 8,5 – 10,0 
 Posição = 
 
 
 = 
 
 
 ª pos. 
 
 
 
A mediana é uma medida separatriz que separa o conjunto de dados em dois: o que antecede 
e o que sucede a mediana. 
Para se calcular a mediana com dados organizados em classes nas tabelas de distribuição de 
freqüências, utilizamos a seguinte fórmula: 
 
 
 
 (
 
 
 ) ou 
(
 
 
 )
 
 
Em que: 
20 
 
 limite inferior da classe que contém a mediana; 
 amplitude do intervalo de classe; 
 frequência da classe que contém a mediana; 
 número de dados; 
 freqüência acumulada até a classe anterior à classe que contém a mediana. 
 
Exemplos: 
1) Seja X = número de defeitos por peça produzida em um lote de 16 peças, representadas na 
tabela abaixo. Calcule a mediana. 
 
Defeitos por Peça 
i Xi = Nº Defeitos Fi = peças Fa 
1 0 6 6 
2 1 4 10 
3 2 5 15 
4 3 1 16 
Σ = total 16 = n --- 
Fonte: Desconhecida 
 
2) Seja X = idade, em anos, de um grupo de pessoas com 30 anos ou mais, na tabela abaixo. 
Calcule a mediana. 
 
Idade de um Grupo 
i Idades (Xi) Pessoas (Fi) Fa 
1 31 39 7 7 
2 39 47 9 16 
3 47 55 4 20 
4 55 63 6 26 
5 63 71 4 30 
6 71 79 2 32 
Σ = total 32 --- 
Fonte: Desconhecida 
 
 
4.3. Moda 
Moda ( ) é o valor que ocorre com maior freqüência em um conjunto de dados. 
Mas como se determina a moda de dados organizados em classe. Quando os dados estão 
organizados em classes, podemos informar a classe modal e, se for preciso, a moda pode ser obtida 
pela fórmula: 
 
 
 
 
Em que: 
 limite inferior da classe modal; 
 amplitude do intervalo de classe; 
 diferença entre as freq. abs. simples da classe modal e da classe anterior à modal; 
 diferença entre as freq. abs simples da classe modal e da classe posterior à modal. 
 
Exemplos: 
1) Seja X = número de defeitos por peça produzida em um lote de 16 peças, representadas na 
tabela abaixo. Determine a moda. 
 
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Defeitos por Peça 
i Xi = Nº Defeitos Fi = peças Fa 
1 0 6 6 
2 1 4 10 
3 2 5 15 
4 3 1 16 
Σ = total 16 = n --- 
Fonte: Desconhecida 
 
2) Seja X = idade, em anos, de um grupo de pessoas com 30 anos ou mais, na tabela abaixo. 
Determine a moda. 
 
Idade de um Grupo 
i Idades (Xi) Pessoas (Fi) Fa 
1 31 39 7 7 
2 39 47 9 16 
3 47 55 4 20 
4 55 63 6 26 
5 63 71 4 30 
6 71 79 2 32 
Σ = total 32 --- 
Fonte: Desconhecida 
 
Quando os intervalos de classe são diferentes, a classe modal será a que apresentar maior 
densidade (quociente entre a freqüência e o intervalo de classe) e, consequentemente, maior 
densidade de freqüência relativa (quociente entre a freqüência relativa e o intervalo de classe). 
Como exemplo, observe a tabela abaixo. 
 
A classe “de 1 a 2 salários mínimos” apresenta a maior freqüência relativa, 27,6 e a maior 
densidade freqüência relativa, 27,6. Então, esta é a classe modal. 
 
Exercícios: 
1) Calcule a média ( ), mediana (Md) e a moda (Mo) das tabelas de frequências abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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a) Arrecadação Líquida da Previdência Social 
i Arrecadação fr fa fra 
1 33 1 11,11 1 11,11 
2 33,5 3 33,33 4 44,44 
3 34 1 11,11 5 55,55 
4 36 2 22,22 7 77,77 
5 38 1 11,11 8 88,88 
6 43 1 11,11 9 99,99 
 Σ 9 99,99 --- --- 
 Fonte: Ministério da Previdência e Assistência Social 
 
b) Desempenho dos alunos da 2ª série do Ensino Fundamental 
i Desempenho fi fr (%) fa fra (%) 
1 Inferior (I) 9 33,33 9 33,33 
2 Médio (M) 14 51,85 23 85,18 
3 Superior (S) 4 14,81 27 99,99 
Σ 27 99,99 --- --- 
 Fonte: Passeri/Unicamp 
 
c) Erros encontrados por página de uma monografia 
i Erros/página Páginas fr (%) fa fra (%) 
1 0 10 33,33 10 33,33 
2 1 8 26,67 18 60,00 
3 2 7 23,33 25 83,33 
4 3 3 10,00 28 93,33 
5 4 2 6,67 30 100,00 
Σ 30 100,00 --- --- 
 Fonte: Desconhecida 
 
d) Alturas dos alunos da 7ª série do Colégio Analfa 
i Alturas (cm) Fi Fr (%) Fa FrA (%) 
1 150 |-- 155 5 16,67 5 16,67 
2 155 |-- 160 7 23,33 12 40,00 
3 160 |-- 165 8 26,67 20 66,67 
4 165 |-- 170 6 20,00 26 86,67 
5 170 |--| 175 4 13,33 30 100,00 
Σ 30 100,00 -- -- 
Fonte: Colégio Analfa 
 
e) Massa dos alunos de um curso de Engenharia 
i Massa (kg) fi Fr (%) fa Fra (%) 
1 50 |-- 60 10 13,51 10 13,51 
2 60 |-- 70 16 21,62 26 35,13 
3 70 |-- 80 24 32,43 50 67,56 
4 80 |-- 90 10 13,51 60 81,07 
5 90 |-- 100 9 12,16 69 93,23 
6 100 |-- 110 3 4,05 72 97,28 
7 110 |-- 120 1 1,35 73 98,63 
8 120 |-- 130 1 1.35 74 99,98Σ 74 99,98 -- -- 
Fonte: Desconhecida