Aula1 Série de Taylor 2018 Nova

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SÉRIE DE TAYLOR 
	A série de Taylor fornece um meio para predizer o valor de uma função em um ponto em termos do valor da mesma função e de suas derivadas avaliadas em um outro ponto.
Algumas Aplicações em Eng. Química
Expressões que estimam os coeficientes do virial a partir de uma equação cúbica de estado.
Termodinâmica
Desenvolvimento do princípio dos estados correspondentes de 2, de 3 e de 4 parâmetros.
Obtenção do segundo coeficiente do virial através do potencial intermolecular de Sutherland.
Obtenção do segundo coeficiente do virial através do potencial intermolecular da esfera rígida com dipolo permanente.
Obtenção do segundo coeficiente do virial através do potencial intermolecular de Lennard-Jones.
Obtenção da equação de Clayperon.
Obtenção da equação da pressão de vapor de Lee-Kesler.
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Método de Naphtali-Sandholm
	Este algoritmo é flexível podendo ser empregado para destilação, extração e absorção.
Controle de Processos
	Os princípios, envolvendo linearização de funções não lineares, pode ser resumido por:
 
Identificação da função responsável pela não linearidade do modelo. 
Expansão da função não linear em série de Taylor, em torno do estado estacionário, desprezando os termos de ordem superiores. 
Substituição da função linearizada no modelo.
O modelo resultante é expresso em termos de variáveis perturbação.
Desenvolvimento de Métodos Numéricos
Equações não lineares.
Sistema de equações não lineares.
Diferenciação numérico – Diferenças finitas.
Otimização
Regressão não linear.
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	Considere uma função f definida em um intervalo fechado, que possui n+1 derivadas contínuas no intervalo contendo x0 e x. A expansão da função f(x) em série de potência, em torno de um ponto x0, é definida como sendo:
onde Pn(x) é o polinômio de Taylor e Rn(x) é o termo complementar ou resto da série de Taylor. 
O polinômio de Taylor é definido por:
onde Ci são os coeficientes do polinômio de Taylor sendo definidos como:
Série de Taylor de uma Variável
	O termo complementar ou resto Rn é definido por:
onde  é um ponto no intervalo [x0, x].
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Exemplo:
Utilizar um polinômio de grau 3 para aproximar por série de Taylor, em torno de x0 = 0, a seguinte função:
Solução:
Para x0 = 0, a Equação (2) pode ser escrita como:
Cálculo de C0: i = 0
e
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A derivada f(0) = f(x) é dada por:
Para o ponto x = x0 = 0, 
Logo,
Cálculo de C1: i = 1
A derivada f(1) = df(x)/dx é dada por:
ou
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Portanto,
Para o ponto x = x0 = 0, 
Logo,
Cálculo de C2: i = 2
A derivada f(2) = d2f(x)/dx2 é dada por:
Onde 
e
A derivada de y2 é dada pela Equação (7),
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A derivada de y1 é dada por:
Substituindo dy1 e dy2 na Equação (8), obtém-se:
ou
Portanto,
Para o ponto x = x0 = 0, 
Logo,
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Cálculo de C3: i = 3
A derivada f(3) = d3f(x)/dx3 é dada por:
ou
Portanto,
Para o ponto x = x0 = 0, 
Logo,
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	Substituindo C0, C1, C2 e C3 na Equação (5), Obtém-se:
	A função f(x) é aproximada por:
	Para a formulação matemática, considere f(x, y) uma função definida sobre o domínio aberto D, com derivadas parciais contínuas até ordem n + 1. Seja (a, b) um ponto do domínio de D e (h, k) um vetor, tal que: (a+h, b+k) pertença ao domínio. A figura mostra o esquema utilizado na dedução de fórmula de recorrência.
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Série de Taylor de duas variáveis
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	O objetivo principal é a obtenção da fórmula de recorrência para a expansão de grau n da função f(a+h, b+k) em torno do ponto (a, b). Com esta finalidade, define-se uma nova variável, t, tal que:
onde t  [0, 1]. 
	Definindo uma função unidimensional g(t), tal que: 
	Esta equação é uma função da variável real t. Logo, a expansão de g(t) em série de Taylor, em torno do ponto t0, leva a seguinte expressão:
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	Os coeficientes Ci são definidos como:
	O resto ou termo complementar Rn é dado por:
	Para t0 = 0 e t = 1, ou seja, a expansão de f(a+h, y+k) em torno do ponto (a, b), as funções g(t), Ci e Rn, tornam-se:
e
	A função g(1) indica que a expansão f(a+h, y+k) em torno do ponto (a, b) é obtida através do conhecimento dos valores dos coeficientes Ci. 
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Cálculo de C0
	Fazendo i = 0 na Equação (16), encontra-se que:
Cálculo de C1
	Fazendo i = 1 na Equação (16), encontra-se que:
		A relação entre as funções g e f é g(t) = f(x, y), cuja diferencial total é dada por:
ou
		As derivadas de x e y com relação a t são dadas por:
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	Substituindo as derivadas fornecida pela Equação (19) na Equação (18),
Para t = t0 = 0, 
		Portanto, expressão que avalia o coeficiente C1 é dada por:
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Cálculo de C2
	Fazendo i = 2 na Equação (16), encontra-se que:
		Para facilitar o entendimento, definem-se funções auxiliares, tais que:
Substituindo as funções F1 e F2 na Equação (20),
A diferencial total de dg/dt é dada por:
Dividindo por dt,
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ou
		As derivadas parciais das funções F1 e F2 com relação a x e a y são dadas por:
	Substituindo as derivadas de x e y com relação a t e as derivadas das funções F1 e F2 com relação a x e a y em d2g/dt2, 
Para t = t0 = 0, 
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		A expressão para o coeficiente C2 é dada por:
		As expressões para g(0), g’(0) e g’’(0) permitem estabelecer uma fórmula de recorrência para Ci. Observe que as expressões podem ser escritas como:
		Para o coeficiente Ci, a relação de recorrência pode ser escrita como:
onde os produtos e potências de /x e /y devem ser entendidos como derivadas parciais de ordem superior. 
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Teorema Binomial 
	O teorema binomial expressa as potências do binômio (a + b) como polinômios. 
onde 
são os coeficientes binomiais ou números de Pascal.
Para n = 0 
Para n = 1 
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Para n = 2 
Para n = 3 
Para n = 4 
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Para n = 5 
	Os resultados fornecidos podem ser resumidos da seguinte forma 
	Os coeficientes binomiais é denominado de triângulo de Pascal.
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	A construção do triângulo de Pascal possui as seguintes propriedades:
O primeiro e o último número de cada linha é igual à unidade;
Os outros números do triângulo de Pascal são obtidos por meio da soma dos dois números da linha anterior (da esquerda para a direita).
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Exemplo: Escreva a fórmula de Taylor de grau 3 no ponto (0, 0) para a seguinte função: 
Solução:
 Definindo uma função unidimensional g(t), tal que:
	A expansão de g(t) em série de Taylor, em torno do ponto t0, leva a seguinte expressão:
Os coeficientes Ci são definidos como:
	O resto ou termo complementar Rn é dado por:
Cálculo C0
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As derivadas parciais são dadas por:
Cálculo C1
Para o ponto (0, 0),
Portanto,
Cálculo C2
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ou
As derivadas parciais são dadas por:
Para o ponto (0, 0),
Portanto,
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ou
Cálculo C3
As derivadas parciais são dadas por:
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Para o ponto (0, 0),
Portanto,
Substituindo C0, C1, C2 e C3 em g(1),
ou
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Série de Taylor de várias variáveis
	Considere a função de várias variáveis, f(x1, x2, x3,..., xm). Para a obtenção da fórmula de recorrência da expansão de grau n da função f em torno do ponto . Define-se uma nova variável t, tal que: 
	Definindo uma função unidimensional g(t), tal que:
	A equação acima é uma função da variável real t. Logo, a expansão de g(t) em série de Taylor, em torno do ponto t0, leva a seguinte expressão:
Linearização
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Cálculo de C0
Uma função linear é de grau n = 1. Assim:
Os coeficientes Ci são definidos como:
Para t0 = 0 e t = 1,
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 Portanto, a função linearizada é dada por:
onde
Cálculo de C1