Matematica

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Matematica/matematica_01.pdf
01
Elizabete Alves de Freitas
C U R S O T É C N I C O E M S E G U R A N Ç A D O T R A B A L H O
Razão, proporção e 
grandezas proporcionais
MATEMÁTICA
Coordenadora da Produção dos Materias 
Marta Maria Castanho Almeida Pernambuco
Coordenador de Edição 
Ary Sergio Braga Olinisky
Coordenadora de Revisão 
Giovana Paiva de Oliveira
Design Gráfico 
Ivana Lima
Diagramação 
Ivana Lima 
José Antônio Bezerra Júnior 
Mariana Araújo de Brito
Vitor Gomes Pimentel
Arte e ilustração 
Adauto Harley
Carolina Costa
Heinkel Huguenin
Revisão Tipográfica 
Adriana Rodrigues Gomes
Design Instrucional 
Janio Gustavo Barbosa 
Luciane Almeida Mascarenhas de Andrade 
Jeremias Alves A. Silva 
Margareth Pereira Dias
Revisão de Linguagem 
Maria Aparecida da S. Fernandes Trindade
Revisão das Normas da ABNT 
Verônica Pinheiro da Silva
Adaptação para o Módulo Matemático 
Joacy Guilherme de Almeida Ferreira Filho
Revisão Técnica 
Rosilene Alves de Paiva
equipe sedis | universidade do rio grande do norte – ufrn
Projeto Gráfico
Secretaria de Educação a Distância – SEDIS
Governo Federal
Ministério da Educação
Você ve
rá 
por aqu
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1
Matemática A01
Olá! Estamos iniciando os nossos estudos em Matemática. Em nosso material impresso, você 
verá alguns tópicos que lhe darão uma visão panorâmica de várias partes da Matemática, 
como a Geometria, a Álgebra e a Matemática Financeira, envolvidas em situações comuns 
da Segurança do Trabalho. Esse conteúdo será apresentado em 12 aulas. 
Em nossa primeira aula, vamos abordar os conceitos de razão, proporção e de grandezas 
proporcionais que aqui se apresentam traduzidos na linguagem matemática para que 
possamos ampliá-los (inclusive estudando suas propriedades) e utilizá-los na resolução 
de algumas situações escritas nessa linguagem. 
Os conceitos de razão e proporção são utilizados em vários aspectos de nosso cotidiano. 
Os exemplos aqui desenvolvidos abordarão alguns desses aspectos, porém você poderá 
enriquecer o seu estudo, pesquisando sobre outras situações, quer sejam na Matemática, 
quer sejam em outras áreas nas quais esses conhecimentos podem ser aplicados, a 
exemplo de áreas profissionais como a de Construção Civil.
O estudo das grandezas proporcionais é utilizado quando observamos duas grandezas 
relacionadas entre si, de modo que, quando uma sofre alguma alteração a outra 
também varia. De acordo com a lei que define a relação entre essas duas grandezas 
é que podemos descrevê-las como grandezas diretamente proporcionais ou 
grandezas inversamente proporcionais.
Na aula 2, você estudará sobre regra de três simples e regra de três composta. Nas aulas 3 e 
4, as diversas unidades de medidas. Já na aula 5, você terá a oportunidade de estudar sobre 
o cálculo de áreas de algumas figuras geométricas e, na aula 6, sobre cálculo de volume 
de alguns sólidos geométricos. Nas aulas 6 e 7, você verá alguns tópicos de Matemática 
Financeira, como fazer conversões monetárias, o cálculo de porcentagens, lucro ou prejuízo, 
acréscimos e descontos sucessivos, como também o cálculo de juros simples e juros 
compostos. E nas aulas 11 e 12, estudará um pouco sobre funções.
Para exercitar o seu raciocínio, disponibilizamos algumas atividades, ao longo do conteúdo, 
que servem para você aplicar imediatamente o conhecimento adquirido em cada bloco do 
assunto estudado. Também disponibilizamos para você uma série de exercícios ao final 
de todo o conteúdo, envolvendo questões de todo o estudo realizado até aqui, em um só 
bloco. Se, após resolver todas essas questões, você perceber que há necessidade de rever 
alguns dos itens estudados, refaça os exercícios nos quais sentiu mais dificuldade e, se for 
o caso, entre em contato com o tutor em seu pólo de apoio presencial. Ele lhe encaminhará 
para o atendimento pelo tutor a distância ou pelo professor da disciplina.
�
Matemática A01
Objetivo
Entender o que é razão e proporção, aprendendo a identificar 
seus elementos. 
Saber estimar um valor desconhecido de uma proporção, utilizando-
se adequadamente de uma ou mais propriedades das proporções.
Entender de que maneira são conceituadas grandezas em 
diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais.
Aplicar as propriedades das grandezas proporcionais (sejam direta 
ou inversamente proporcionais) para a resolução de problemas. 




É uma questão 
de proporção? 
Quando observamos uma imagem e dizemos que uma de suas partes é muito pequena em 
relação às outras, estamos dizendo que 
suas medidas não são proporcionais. 
Observe a desproporcionalidade entre as 
partes do corpo no quadro Abaporu, de 
Tarsila do Amaral, apresentada na Figura 1. 
Essa desproporcionalidade (intencional ou 
não) é percebida quando, instintivamente, 
comparamos as medidas dessa imagem 
com as de outra que tomamos como 
padrão ou, ainda, quando comparamos as 
medidas de uma das partes com as de 
outras partes dessa mesma imagem.
Na maioria dos desenhos de corpo humano, quando proporcionais, pode ser observado 
que a altura de um corpo adulto é, aproximadamente, sete vezes a altura da cabeça. Já 
em desenhos de corpos de crianças, a relação entre essas medidas pode variar. A altura 
total pode ser a de cinco cabeças ou menos, como vemos em alguns desenhos como o 
“Dexter” e “As Meninas Superpoderosas”, em que observamos que a altura total do corpo 
corresponde, aproximadamente, à altura de duas cabeças, em cada personagem. 
Figura 1 – Abaporu, de Tarsila do Amaral
Fo
nt
e:
 <
ht
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:/
/w
w
w
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: 2
0
 ju
n.
 2
0
0
8
.
�
Matemática A01
Conhecendo 
razão e proporção
Com as informações apresentadas no texto anterior, observarmos que, no desenho 
proporcional de um corpo humano, podemos estabelecer uma comparação entre as 
alturas da cabeça e do corpo.
Razão
Razão entre dois números
Nesse caso, para um corpo humano adulto, temos que a razão entre a altura da cabeça 
e a altura total do corpo é de 1 para 7, que será escrita como 
1
7
ou 1:7
De uma forma geral, podemos dizer que
A razão do número a para o número b (diferente de zero) é o quociente 
de a por b. 
A razão entre a e b, escrita através de notação matemática, é
a
b
ou a :b, onde b = 0.
A leitura dessa razão entre a e b é: ‘a para b’ ou ‘a está para b’.
Os números a e b são os termos da razão, na qual a é o antecedente, e b o 
conseqüente (sendo b ≠ 0).
Na razão 1 : 7, o antecedente é 1 e o conseqüente é 7.
1
7
→ antecedente
→ conseqüente
Legal! Uma razão também 
pode ser simplificada. 
Olhe os exemplos 2 e 3.
�
Matemática A01
Vejamos alguns exemplos:
Exemplo 1
A razão de 2 para 5 é 
2
5
ou 2:5.
Exemplo �
A razão de 4 para 20 é 
4
20
=
4÷ 4
20÷ 4
=
1
5
ou 1:5.
Exemplo � 
A razão de 12 para 4 é 
12
4
=
12÷ 4
4÷ 4
=
3
1
= 3 .
Exemplo �
A razão entre 
1
2
e 9 é
1
2
9
=
1
2
·
1
9
=
1
18
ou 1:18.
Exemplo 5
A razão entre 5 e 2
1
3
é
5
2
1
3
=
5
7
3
= 5 ·
3
7
=
5
1
·
3
7
=
15
7
ou 15:7.
5
Matemática A01
Razão entre duas grandezas
A razão entre duas grandezas, dadas em certa ordem, é razão entre a medida da primeira 
grandeza e a medida da segunda (sendo esta última diferente de zero).
Se as grandezas
que formam a razão são de uma mesma espécie, devemos 
apresentá-las em uma mesma unidade. Nesse caso, a razão é um número que não 
apresenta unidade de medida.
Observe os exemplos:
Exemplo 6
A razão entre 12 m e 15 m é 
12m
15m
=
12÷ 3
15÷ 3
=
4
5
, ou seja, é 4 para 5.
Exemplo 7
A razão entre 20 cm e 3 m é 
20 cm
3m
=
20 cm
300 cm
=
20÷ 10
300÷ 10
=
2÷ 2
30÷ 2
=
1
15
, ou seja, é 1 para 15.
Exemplo 8
A razão entre 15 minutos e 1 hora é 
15min
1 h
=
15min
60min
=
15
60
=
15÷ 3
60÷ 3
=
5÷ 5
20÷ 5
=
1
4
 , ou seja, é 1 para 4.
Se as grandezas que formam uma razão não são de uma mesma espécie, a unidade dessa 
razão vai depender das unidades das grandezas do antecedente e do conseqüente.
Que tal ver mais alguns exemplos?
Exemplo 9
Um torno de madeira, em 5 minutos, produz 3 000 rotações. A razão entre 
o número de rotações e o tempo gasto para produzi-las é
3 000 rotacoes
5 min
= 600 rotacoes/min.
A velocidade média desse torno, nesse período, é de 600 rotações/min.
Responda aqui
Praticando...
Escala é uma das razões 
entre grandezas de mesma 
natureza. Velocidade média 
é uma das razões entre 
grandezas de naturezas 
diferentes.
1
6
Matemática A01
Exemplo 10
O deslocamento diário de 140 quilômetros de casa para a fábrica onde 
trabalha, é percorrido por um operário em 2 horas. A razão entre a distância 
percorrida e o tempo gasto em percorrê-la é .
140 km
2 h
=
140
2
km/h = 70 km/h.
Podemos dizer que a velocidade média de seu meio de transporte nesse 
deslocamento é de 70 km/h.
1. Calcule a razão entre os números:
a) 12 e 21
b) 15 e 105
c) 1,2 e 3
d) 3 e 18
5
2. Calcule a razão entre as seguintes 
grandezas:
a) 30 km e 3 l de álcool
b) 120 mm e 4 dm
c) 12 g e 4 cm3 
d) 4 200 g e 60 kg
e) 25 d e 1 me 10 d
25 d = 25 dias
1 m = 1 mês
10 d = 10 dias
LEGENDA
7
Matemática A01
Proporção
Em duas filiais de uma mesma empresa, nos serviços de escritório, foi diagnosticada 
a seguinte situação:
Filial Têm curso de informática completo Total de funcionários
A 6 8
B 9 12
A razão entre os funcionários que apresentam curso completo de informática e o 
número total de funcionários do escritório de cada filial é:
Filial A: 
6
8
=
6÷ 2
8÷ 2
=
3
4
Filial B: 9
12
=
9÷ 3
12÷ 3
=
3
4
Quando simplificamos cada uma das razões, encontramos um mesmo número, 
logo podemos afirmar que 6
8
=
9
12
(ou 6 : 8 :: 9 : 12) . A leitura de cada uma dessas 
expressões é a mesma: “6 está para 8 assim como 9 está para 12”.
∈ pertence
ℜ* conjunto 
dos números reais 
diferentes de zero
Assim: a, b, c e d 
são números reais 
diferentes de zero.
∈ ℜ *
Praticando... �
8
Matemática A01
Assim, dados os números 6, 8, 9 e 12, nesta ordem, podemos afirmar que a razão entre 
os dois primeiros é igual à razão entre os dois últimos. 
A igualdade entre duas razões recebe um nome especial. Dizemos que, nessa mesma 
ordem, os números 6, 8, 9 e 12 formam uma proporção.
De uma forma geral, dados quatro números reais e diferentes de zero (a, b, c e d), em certa 
ordem, se a razão entre os dois primeiros for igual à razão entre os dois últimos, ou seja, 
se 
a
b
=
c
d
, dizemos que os números a, b, c e d, nesta ordem, formam uma proporção. 
Termos de uma proporção 
Se a, b, c e d ∈ ℜ * e a
b
=
c
d
, dizemos que:
a, b, c e d são os termos da proporção; 
a e c são os antecedentes;
b e d são os conseqüentes;
a e d são os extremos da proporção;
b e c são os meios da proporção.





1. Indique o antecedente e o conseqüente em cada uma das razões 
a seguir:
a) 12 para 7 b) 3:20
c) 5
1
3
:
12
5
d) 
18
25
2. Destaque os extremos com e os meios com em cada proporção 
a seguir:
a) 
10
27
=
30
81
b) 
1
8
=
15
120
c) 
3
11
=
15
55
9
Matemática A01
Propriedade fundamental das proporções
Para verificar essa propriedade, devemos realizar algumas operações. Na proporção 
a
b
=
c
d
, podemos multiplicar os dois lados da igualdade pelo produto dos conseqüentes 
das razões que a formam (b · d ou bd). Assim: 
a
b
· bd =
c
d
· bd.
Simplificando, temos: a · d = c · b ou a · d = b · c.
Diante desse resultado, podemos afirmar o seguinte:
Em uma proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos.
Aplicando a propriedade fundamental, podemos verificar se duas razões formam uma 
proporção ou não. É o que faremos nos exemplos a seguir.
Exemplo 11
A expressão 
2
7
=
18
63 é uma proporção?
O produto dos extremos é: 2 . 63 = 126 .
O produto dos meios é: 7 . 18 = 126.
Podemos observar que 2 . 63 = 7 . 18
Resposta: 
A expressão 
2
7
=
18
63
 é uma proporção.
10
Matemática A01
Exemplo 1�
A expressão 
2
3
=
18
24
 é uma proporção?
O produto dos extremos é: 2 . 24 = 48.
O produto dos meios é: 3 . 18 = 54.
Observe que 2 . 24 ≠ 3 . 18, logo dizemos que 
2
3
=
18
24
.
Resposta: 
A expressão 
2
3
=
18
24
não é uma proporção.
Exemplo 1�
Verifique se os números 11, 15, 22 e 30, não obrigatoriamente nessa ordem, 
formam uma proporção.
Fazendo o produto entre o menor e o maior desses números, temos: 
11 . 30 = 330
Fazendo o produto entre os outros dois números, temos: 15 . 22 = 330
Assim: 11 . 30 = 15 . 22. 
Comparando a igualdade anterior (11 . 30 = 15 . 22) e o que nos diz a 
propriedade fundamental das proporções (o produto dos extremos é igual ao 
produto dos meios), podemos considerar 11 e 30 como sendo os extremos 
e os outros dois números como os meios dessa proporção.
Dessa forma, a proporção 
11
15
=
15
30
 é uma das proporções que podem ser 
formadas por esses números.
Resposta: Uma das proporções que podemos formar com esses quatro 
números, nessa ordem, é 11
15
=
15
30
.
Para descobrir se quatro números, em uma dada ordem, formam uma proporção, observe 
o que vem a seguir: 
11
Matemática A01
Recíproca da propriedade fundamental das proporções
Sejam a, b, c e d números reais e diferentes de zero, tais que o produto de dois deles 
seja igual ao produto dos outros dois, isto é: a · d = b · c.
Dividindo cada membro da igualdade pelo produto b · d, temos que:
ad
bd
=
bc
bd
Após a simplificação, temos:
a
b
=
c
d
Assim transformamos a igualdade entre dois produtos em uma proporção, como você 
também verá no exemplo a seguir.
Exemplo 1�
Escreva a igualdade 3 . 35 = 7 . 15 em forma de proporção.
Dividindo ambos os membros da igualdade 3 . 35 = 7 . 15 pelo produto 3 . 35 . 15, 
temos: 3 · 35
35 · 15
=
7 · 15
35 · 15
.
Ao simplificarmos essa expressão, obtemos a proporção 
3
15
=
7
35
.
Cálculo de um termo desconhecido
Em uma proporção, é sempre possível determinar o valor de um dos termos, 
sendo os outros três conhecidos. Basta aplicar a propriedade fundamental das 
proporções. Vejamos alguns exemplos:
Exemplo 15
Quando aplicamos a propriedade fundamental na proporção 
3
4
=
60
x
, temos: 
3x = 4 . 60 ⇒ 3x = 240 ⇒ x = 240 ÷ 3 ⇒ x = 80.
1�
Matemática A01
Exemplo 16
Na proporção 
2
x
=
15
120
, quando aplicamos a propriedade fundamental das 
proporções, temos: 15x = 120 . 2 ⇒ 15x
= 240 ⇒ x = 240 ÷ 15 ⇒ x = 16.
Transformações
Transformar uma proporção é escrevê-la com os mesmos termos em outra ordem, 
ou seja, é encontrar proporções equivalentes à proporção dada, mudando apenas a 
ordem dos termos.
Considere a proporção 
3
5
=
12
20
. Observe que a igualdade entre as razões se 
mantém quando:
alternamos os extremos: 
20
5
=
12
3
⇒ 20 · 3 = 5 · 12 = 60; 
alternamos os meios: 
3
12
=
5
20
⇒ 3 · 20 = 12 · 5 = 60;
invertemos os termos: 
5
3
=
20
12
⇒ 5 · 12 = 3 · 20;
transpomos as razões: 
12
20
=
3
5
⇒ 12 · 5 = 20 · 3;




Proporções Múltiplas
Observe as razões 
6
14
e
15
35
. Vemos, após a simplificação, que todas são iguais a 
3
7
.
Logo, podemos escrever 
6
14
=
15
35
=
3
7
, que é uma proporção múltipla.
1�
Matemática A01
Chamamos de proporção múltipla a toda proporção que envolve uma igualdade 
entre três razões ou mais. Uma proporção múltipla também pode ser chamada de 
série de razões iguais. 
De forma geral:
a
b
=
c
d
= . . . =
m
n (onde a, b, c,..., n ∈ ℜ*) é uma proporção múltipla.
Propriedade fundamental das proporções múltiplas
Seja a proporção 
a
b
=
c
d
= . . . =
m
n
. Considerando que cada uma dessas razões é igual 
a um mesmo número k. Esse valor k é chamado de coeficiente de proporcionalidade 
dessa proporção.
Assim, temos:
a
b
= k,
c
d
= k, . . .
m
n
= k
Quando isolamos o valor de cada antecedente, encontramos:
a = bk, 
c = dk,
..., 
m = nk
Somando essas igualdades, membro a membro, temos:
a+ c+ . . .+m = bk + dk + . . .+ nk
a+ c+ . . .+m = k · (b+ d+ . . .+ n)
Dividindo ambos os membros por (b +d + ... + n), temos:
a+ c+ . . .+m
b+ d+ . . .+ n
= k, ou seja,
a+ c+ . . .+m
b+ d+ . . .+ n
=
a
b
=
c
d
= . . . =
m
n
= k
 
1�
Matemática A01
Assim, em uma proporção múltipla, a soma dos antecedentes está para a 
soma dos conseqüentes assim como qualquer antecedente está para seu 
respectivo conseqüente. 
Observe o exemplo a seguir:
Exemplo 17
 
1
5
=
3
15
=
5
25
=
6
30
⇒
⇒
1 + 3 + 5 + 6
5 + 15 + 25 + 30
=
1
5
ou
3
15
ou
5
25
ou
6
30
.
Observe que 
1
5 é o coeficiente de proporcionalidade dessa proporção, pois 
todas as razões são iguais a 
1
5
.
Mais algumas propriedades das proporções
Considerando a proporção
a
b
=
c
d
, podemos observar as seguintes propriedades:
I) Razão entre a soma dos antecedentes e a soma dos conseqüentes de uma 
proporção.
A soma dos antecedentes de uma proporção está para a soma dos seus conseqüentes, 
assim como cada antecedente está para o seu respectivo conseqüente. 
a+ c
b+ d
=
a
c
ou
a+ c
b+ d
=
c
d
II) Razão entre a diferença dos antecedentes e a diferença dos conseqüentes de 
uma proporção. 
A diferença entre os antecedentes está para a diferença de seus conseqüentes, assim 
como cada antecedente está para seu respectivo conseqüente.
a− c
b− d
=
a
b
ou
a− c
b− d
=
c
d
15
Matemática A01
III) Razão entre a soma (ou diferença) dos termos de uma razão e o respectivo 
antecedente.
A soma dos termos da primeira razão está para seu antecedente, assim como a soma 
dos termos da segunda razão está para seu respectivo antecedente.
a+ b
a
=
c+ d
c
A diferença dos termos da primeira razão está para seu antecedente, assim como a 
diferença dos termos da segunda razão está para seu respectivo antecedente.
a− b
a
=
c− d
c
IV) Razão entre a soma (ou diferença) dos termos de uma proporção e seu respectivo 
conseqüente. 
A soma entre os termos da primeira razão está para seu conseqüente, assim como a 
soma entre os termos da segunda razão está para seu respectivo conseqüente. 
a+ b
a
=
c+ d
c
A diferença entre os termos da primeira razão está para seu conseqüente, assim como 
a diferença entre os termos da segunda razão está para seu respectivo conseqüente.
a− b
b
=
c− d
d
Veja a utilização dessas propriedades na resolução dos exemplos a seguir:
Exemplo 18
Determine dois números, sabendo que a sua soma é 54 e que a razão entre 
eles é 1:2.
Número menor: x 
Número maior: y
Dados do problema: x+ y = 54 e
x
y
=
1
2
Aplicando a Propriedade III na proporção 
x
y
=
1
2
, temos:
x+ y
x
=
1 + 2
1
16
Matemática A01
Como x + y = 54 , temos:
54
x
=
3
1
Aplicando a propriedade fundamental das proporções e resolvendo a 
equação resultante, temos:
3 · x = 54 · 1⇒ 3x = 54⇒ x = 54÷ 3⇒ x = 18
Para encontrar o valor de y basta substituir o valor de x em qualquer das 
equações. Substituindo x = 18 na equação x + y = 54, temos:
18 + y = 54⇒ y = 54− 18⇒ y = 36
Resposta: Os números procurados são 18 e 36.
Exemplo 19
Determine dois números sabendo que a diferença entre eles é igual a 12 e 
que o maior está para o menor assim como seis está para cinco.
Número maior: m
Número menor: n
Dados do problema: m – n = 12 e 
m
n
=
6
5
Aplicando a propriedade IV na proporção 
m
n
=
6
5
, temos: 
m− n
m
=
6− 5
6
Substituindo o valor de m – n e resolvendo 6 – 5, temos: 
12
m
=
1
6
Aplicando a propriedade fundamental das proporções, temos: 
m . 1 = 12 . 6
Responda aqui
Praticando... �
17
Matemática A01
Ou seja, m = 72 .
Para calcular o valor de n, basta substituir o valor de m na equação 
m – n = 12.
Assim: 72− n = 12⇒ −n = 12− 72⇒ −n = −60
Multiplicando por (-1) toda a equação, encontramos: n = 60
Resposta: os números procurados são 72 e 60.
1. Verifique se é uma proporção a expressão 
2
13
=
10
65 .
�. Calcule o valor de x na proporção 
x
5
=
x− 3
2
.
�. Aplicando as transformações, reescreva de 4 maneiras diferentes a 
proporção 
2
15
=
8
60
.
�. Determine os valores de x, y e z, sabendo que x + y + z = 80 e x
2
=
y
4
=
z
14
.
5. Se x – y = 18 e x
y
=
25
19
.
18
Matemática A01
Grandezas proporcionais
Quando a variação de uma grandeza provoca uma variação em outra grandeza, dizemos 
que essas grandezas se relacionam. Como por exemplo, distância percorrida por um 
automóvel e a quantidade de combustível gasto ou a velocidade média e o tempo 
gasto para se fazer um determinado percurso. A variação em uma grandeza causa a 
variação na outra.
De acordo com a relação entre essas duas grandezas, elas podem ser classificadas em 
grandezas diretamente proporcionais ou grandezas inversamente proporcionais.
Grandezas diretamente proporcionais
Segundo a NR 24, norma do Ministério do Trabalho e do Emprego que regula as 
condições sanitárias e de conforto nos locais de trabalho, cada empresa deve 
providenciar, por trabalhador, a quantidade de 60 litros de água para o consumo nas 
instalações sanitárias.
19
Matemática A01
Em uma empresa que obedece a essas normas foi construída a seguinte tabela:
Tabela 1 – Representação da NR 24 implementada em uma empresa
Filial Filial A Filial B Filial C Filial D Matriz
Número de funcionários 12 18 20 30 50
Quantidade mínima 
necessária de água (em litros)
720 1 080 1 200 1 800 3 000
Note que:
enquanto uma grandeza aumenta, a outra também aumenta;
cada uma das razões entre a quantidade de água mínima necessária (litros) e o 
número de funcionários de cada unidade da empresa é sempre igual
a 60, pois
720
12
=
1 080
18
=
1 200
20
=
1 800
30
=
3 000
50
= 60.
Dizemos, então, que as seqüências de números (720, 1 080, 1 200, 1 800, 3 000) e 
(12, 18, 20, 30, 50) são diretamente proporcionais e que o coeficiente de 
proporcionalidade é 60.
Chamando dois valores quaisquer da primeira grandeza a’ e a”, e os valores 
correspondentes na segunda grandeza de b’ e b” , podemos apresentar a 
seguinte proporção:
a
b
=
a
b
Alternando os extremos, obtemos: 
b
b
=
a
a
Ou seja, se duas grandezas são diretamente proporcionais, a razão entre dois valores 
de uma delas é igual à razão entre os dois valores correspondentes da outra.
As seqüências de números (reais e diferentes de zero) que representam essas grandezas 
são ditas diretamente proporcionais.


�0
Matemática A01
Exemplo �0
As seqüências (5, 6, 7) e (25, 30, 35) são diretamente proporcionais? 
Para responder a essa pergunta, temos que formar as razões entre os 
números correspondentes e compará-las. 
As razões são: 5
25
,
6
30
e
7
35
. Todas iguais a
1
5
.
Como todas as razões entre os termos correspondentes das 
seqüências são iguais, podemos afirmar que as seqüências acima são 
diretamente proporcionais.
Exemplo �1
Qual é o coeficiente de proporcionalidade entre as seqüências diretamente 
proporcionais (5, 8, 12) e (40, 64, 96)?
As razões formadas pelos elementos correspondentes de seqüências 
diretamente proporcionais são todas iguais a um mesmo número, e esse 
número é chamado de coeficiente de proporcionalidade.
Como 
5
40
=
8
64
=
12
96
=
1
8
, temos que o coeficiente de proporcionalidade 
é 
1
8
.
Grandezas inversamente proporcionais
Em um serviço de entregas, um veículo de uma transportadora percorre certa distância 
em 6 horas, a uma velocidade média de 40 km/h.
Se sua velocidade média aumentasse para 80 km/h, o tempo que se levaria para 
percorrer a mesma distância seria reduzido para 3 horas.
Ou seja:
Velocidade média (km/h) 40 80
Tempo de percurso (h) 6 3
aumenta 
diminui
�1
Matemática A01
Aumentando em duas vezes a velocidade média, o tempo gasto para fazer o mesmo 
percurso diminui, é reduzido à metade.
Enquanto uma grandeza aumenta, a outra diminui, ou seja, as grandezas 
variam em sentido contrário. As grandezas velocidade e tempo são grandezas 
inversamente proporcionais.
As seqüências (40, 80) e (6, 3) são inversamente proporcionais. Nesse caso, a primeira 
seqüência é diretamente proporcional aos inversos dos elementos correspondentes 
na segunda seqüência. Ou seja, as seqüências (40, 80) e (
1
6
,
1
3
) são diretamente 
proporcionais.
Assim: 
40
1
6
=
80
1
3
Aplicando a propriedade fundamental das proporções, temos: 
40 ·
1
3
= 80 ·
1
6
.
A proporção formada (já simplificada) é 
40
3
=
80
6
.
Que tal ver mais alguns exemplos?
Exemplo ��
Qual o coeficiente de proporcionalidade entre as seqüências de números 
inversamente proporcionais (1, 2, 5) e (20, 10, 4)?
Como as seqüências são inversamente proporcionais, temos que:
1
1
20
=
2
2
10
=
5
1
4
= 20 .
Logo, o coeficiente de proporcionalidade é 20.
��
Matemática A01
Exemplo ��
Sabendo que as seqüências (m, -4, 1) e (2, n, 4) são inversamente 
proporcionais, determine os valores de m e n.
Considerando as seqüências inversamente proporcionais, temos: 
m
1
2
=
−4
1
n
=
1
1
4
.
A última razão dessa proporção múltipla é
 
1
1
4
= 1 ·
4
1
= 4 ,
que é também o coeficiente de proporcionalidade.
Igualando cada proporção ao coeficiente de proporcionalidade, temos:
m
1
2
= 4 ⇒ m ·
2
1
= 4 ⇒ 2m = 4 ⇒ m = 2
−4
1
n
= 4⇒ −4 ·
n
1
= 4⇒ −4n = 4
Multiplicando por (-1), temos: 
4n = – 4 ⇒ n = –1
Assim, temos: 
m = 2 e n = –1.
Praticando... �
Responda aqui
��
Matemática A01
Indique se são diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais 
as seqüências de números:
a) ( 3, 5, 9) e (
1
15
,
1
9
,
1
5
) b) (40, 80, 16) e (2, 1, 5)
Agora que concluiu todas as atividades, você pode testar seus conhecimentos 
na série de exercícios a seguir, em que são apresentadas questões 
envolvendo todo o conteúdo da presente aula.
Ex
er
cí
ci
os
��
Matemática A01
1.Determine a razão entre os números
a) 12 e 36
b) 60 e 15
c) 3 e 2,25
d) 1,05 e 3,5
e) 5
1
2
 e 2
f) 4 e 3
1
5
�. Verifi que se a razão 
10
25
 é igual à razão 
2
10
.
�. Calcule a razão entre as seguintes grandezas:
a) 15 m e 12 cm
b) 20 dam e 3 km
c) 1 g e 5 kg
d) 2 km e 0,5 m3 
�. Calcule o valor de x na proporção 
x
5
=
2− x
3
.
�5
Matemática A01
5. Escreva a razão igual a 4 para 21, cujo antecedente seja igual a 12.
6. Escreva a proporção cujas razões são iguais a 5 para 7 e cujos 
conseqüentes sejam 3 e 16.
7. Calcule x e y, sabendo que x + y = 300 e x
y
=
9
11
.
8. Complete a série B no quadro abaixo sabendo que as séries A e B são 
diretamente proporcionais e o coefi ciente de proporcionalidade entre os 
seus elementos é 
1
4
.
A B
4
6
12
Auto-avaliação
�6
Matemática A01
Leitura complementar
SÓ MATEMÁTICA. Disponível em: <www.somatematica.com.br>. Acesso em: 
20 jun. 2008.
Na internet, você encontra alguns sites interessantes com conteúdo matemático de 
qualidade. Um deles é o Só Matemática, que apresenta o conteúdo por tópicos e 
também por nível de ensino (fundamental, médio e superior). Para acessar livremente 
todo o conteúdo, você precisa se cadastrar gratuitamente.
Nesta aula, você revisou os conceitos de razões, proporções e de grandezas 
proporcionais, como seus elementos e propriedades. Também viu alguns 
exemplos nos quais foram resolvidas algumas aplicações práticas utilizando 
esses conhecimentos. 
Atenção! Se você sentiu dificuldade na resolução de alguma atividade ou 
exercício, releia esse fascículo e procure refazer seus cálculos. Se você não 
tem mais dúvida, responda agora a esta auto-avaliação:
Escreva o conceito de razão.
Dê um exemplo de razão e indique o antecedente e o conseqüente.
Const rua uma proporção que tenha coef ic iente de 
proporcionalidade 0,5.
Como você classifica as grandezas número de dias gastos e o 
número de operários empregados para a construção de uma casa: 
diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais? Por quê?
Dê um exemplo de grandezas diretamente proporcionais e um exemplo 
de grandezas inversamente proporcionais.
1.
�.
�.
�.
5.
Para Consulta
�7
Matemática A01
Razão: 
a:b ou 
a
b
(lê-se: a está para b), onde a ∈ ℜ e b ∈ ℜ*.
Termos da Razão: 
Considerando a razão 
a
b
, a é o antecedente e b é o conseqüente.
Proporção: 
É a igualdade entre duas razões. Por exemplo: 
a
b
=
c
d
, onde a, b, c e d 
são números reais diferentes de zero. 
Propriedade fundamental das proporções:
Considerando a proporção 
a
b
=
c
d
, temos que a · d = b · c, ou seja, que ‘em 
uma proporção o produto dos extremos é igual ao produto dos meios’.
Recíproca da Propriedade Fundamental das Proporções
Considere a, b, c e d, números reais diferentes de zero. Se a . d = b . c, 
temos que 
ad
bd
=
bc
bd
, ou seja, que
a
b
=
c
d
.
Proporção múltipla:
a
b
=
c
d
= .
. . =
m
n
= k ⇒
⇒
a+ c+ . . .+m
b+ d+ . . .+ n
=
a
b
=
c
d
= . . . =
m
n
= k
Outras propriedades das proporções:
I) Razão entre a soma dos antecedentes e a soma dos conseqüentes 
de uma proporção
a+ c
b+ d
=
a
c
ou
a+ c
b+ d
=
c
d
II) Razão entre a diferença dos antecedentes e a diferença dos 
conseqüentes de uma proporção 
a− c
b− d
=
a
b
ou
a− c
b− d
=
c
d
�8
Matemática A01
III) Razão entre a soma (ou diferença) dos termos de uma razão e o 
respectivo antecedente
a+ c
b+ d
=
a
c
ou
a+ c
b+ d
=
c
d
V) Razão entre a soma (ou diferença) dos termos de uma proporção e 
seu respectivo conseqüente
a+ b
b
=
c+ d
d
ou
a− b
b
=
c− d
d
Referências
CRESPO, Antônio Arnot. Matemática comercial e financeira fácil. 11. ed. São Paulo: 
Saraiva, 1996. 
MERCHEDE, Alberto. Matemática financeira para concursos: mais de 1.500 aplicações. 
São Paulo: Atlas, 2003.
SOUZA, Maria Helena de; SPINELLI, Walter. Razões e proporções. In: ______. Matemática. 
São Paulo: Ática, 2000. p. 257-274. (Série, 6).
Matematica/matematica_02.pdf
02
Elizabete Alves de Freitas
C U R S O T É C N I C O E M S E G U R A N Ç A D O T R A B A L H O
Regra de três
matemática
Você ve
rá 
por aqu
i...
coordenadora da Produção dos materias 
Marta Maria Castanho Almeida Pernambuco
coordenador de edição 
Ary Sergio Braga Olinisky
coordenadora de Revisão 
Giovana Paiva de Oliveira
Design Gráfico 
Ivana Lima
Diagramação 
Ivana Lima 
José Antônio Bezerra Júnior 
Mariana Araújo de Brito
Vitor Gomes Pimentel
arte e ilustração 
Adauto Harley
Carolina Costa
Heinkel Huguenin
Revisão tipográfica 
Adriana Rodrigues Gomes
Design instrucional 
Janio Gustavo Barbosa 
Luciane Almeida Mascarenhas de Andrade 
Jeremias Alves A. Silva 
Margareth Pereira Dias
Revisão de Linguagem 
Maria Aparecida da S. Fernandes Trindade
Revisão das Normas da aBNt 
Verônica Pinheiro da Silva
adaptação para o módulo matemático 
Joacy Guilherme de Almeida Ferreira Filho
Revisão técnica 
Rosilene Alves de Paiva
equipe sedis | universidade do rio grande do norte – ufrn
Projeto Gráfico
Secretaria de Educação a Distância – SEDIS
Governo Federal
ministério da educação
Você ve
rá 
por aqu
i...
�
Matemática a02
Objetivo
...um processo de resolução de problemas, muito utilizado na Matemática, que pode ser 
aplicado em situações que envolvem o cálculo de um termo desconhecido e a relação de 
proporcionalidade entre duas ou mais grandezas. Esse processo de resolução, chamado 
de regra de três, pode ser classificado em regra de três simples ou regra de três 
composta, de acordo com o número de grandezas envolvidas. Esse processo também 
pode ser utilizado como um segundo método para calcular porcentagens.
Em nossa aula, disponibilizamos para você algumas atividades após cada bloco de 
conteúdos para que seja possível a aplicação imediata dos conhecimentos recém 
estudados e, ao final da aula, uma lista de exercícios com questões objetivas, envolvendo 
todos os assuntos desenvolvidos na aula. 
Leia atenciosamente cada conteúdo e responda às questões correspondentes. Caso 
surja alguma dúvida, procure refazer seus cálculos com calma e, se necessário, entre 
em contato com o seu tutor.
Perceber regra de três como um problema que envolve duas ou mais 
grandezas.
Classificar em diretamente proporcionais ou inversamente 
proporcionais duas grandezas envolvidas em um problema.
Identificar uma regra de três simples.
Classificar uma regra de três que envolve duas grandezas como regra 
de três simples direta ou regra de três simples inversa.
Identificar uma regra de três composta.
Resolver problemas pelo processo de regra de três.






2
Matemática a02
Para começo 
de conversa...
Sara e Rita são duas crianças que vivem fazendo 
apostas para ver quem sabe mais. 
Certo dia, quando voltavam da escola, Sara, a mais 
velha, disse:
– Duvido que você consiga medir a altura daquele 
poste.
Rita, a mais nova, nem tremeu e falou:
– Essa é fácil... Vou lhe responder em alguns 
minutos...
Puxando uma régua da bolsa da escola, Rita mediu 
um palito de picolé que encontrou no chão. Colocou 
o palito de picolé na vertical e também mediu a 
sombra que ele projetava no chão. Anotou essas 
medidas e foi medir a sombra do poste com uma 
fita métrica que sua mãe lhe emprestou para usar 
nas aulas de Matemática. Voltou para o caderno e 
fez algumas continhas. Logo, gritou:
– O poste mede três metros e meio.
– Como foi que você fez isso? – perguntou Sara.
– Foi um jeitinho que minha tia me ensinou. Ela 
tem um livro que tem muitos problemas que são 
resolvidos dessa forma – respondeu Rita.
– Me diz como é... Eu também quero saber – exigiu 
Sara.
E saíram falando de outras situações que podem 
ser resolvidas por um processo muito utilizado na 
Matemática, chamado de regra de três. 
�
Matemática a02
Pensando a regra de três
Nesta aula, veremos um processo de resolução de problemas, muito utilizado na 
Matemática, que aplica a relação de proporcionalidade entre grandezas. Esse processo 
de resolução de problemas recebe o nome de regra de três. 
Quando um problema apresenta exatamente duas grandezas, o processo de resolução 
recebe o nome de regra de três simples. Quando envolve três grandezas ou mais recebe 
o nome de regra de três composta.
Regra de três simples
Uma regra de três simples pode ser classificada em direta ou inversa, de acordo com 
a relação de proporcionalidade existente entre as grandezas envolvidas.
�
Matemática a02
exemplo �
Se 30 metros de tecido custam R$ 318,00, quanto custará uma peça com 5 
metros desse mesmo tecido?
Vamos adotar alguns passos para a resolução:
Solução:
�º. passo: Organizar os dados em um quadro de comparação das 
grandezas. 
2º. passo: Devemos analisar a variação das grandezas, indicando o sentido 
dessa variação. 
Se o comprimento diminui, o que ocorre com o preço? Para uma quantidade 
menor de tecido, temos um preço também menor, ou seja, quando uma 
grandeza varia, a outra também varia no mesmo sentido.
Regra de três simples direta
Em uma regra de três direta, as grandezas são diretamente proporcionais entre si. 
Lembre-se de que podemos classificar duas grandezas em diretamente proporcionais 
se as duas variam no mesmo sentido, ou seja, quando uma aumenta, a outra também 
aumenta ou quando uma diminui, a outra também diminui. Por exemplo, distância 
percorrida e tempo são grandezas diretamente proporcionais, pois quanto maior uma 
distância, maior o tempo gasto ao percorrê-la.
Vejamos alguns exemplos desse tipo de regra de três:
comprimento (m) Preço (R$)
30 318
5 x
Representamos o valor que se 
quer determinar por uma variável. 
Nesse caso x.
comprimento (m) Preço (R$)
30 318
5 x
(+)
(–)
(+)
(–)
�
Matemática a02
Estamos usando setas indicativas para observar a variação de uma grandeza 
em relação à outra. As setas podem partir do menor para o maior valor ou, 
ao contrário, do maior valor para o menor. Não há obrigatoriedade para essa 
indicação, porém você deve estabelecer um padrão para todos os pares de 
grandezas. Em nossas aulas, vamos utilizar a direção do menor para o maior. 
�º. passo: Escrever e resolver uma proporção com os dados. 
Quando a regra de três simples envolve grandezas diretamente proporcionais, 
escrevemos a proporção diretamente do quadro de comparação.
A proporção formada, para o nosso exemplo, é: 
Utilizando a propriedade fundamental das proporções, temos:
30 ⋅ x = 318 ⋅ 5 ⇒ 30 x = 1 590 ⇒ x = 1 590 ÷ 30 ⇒ x = 53
�º. passo: Elaborar uma resposta, de acordo com o que se pede no 
problema.
Resposta: Cinco metros desse mesmo tecido custariam R$ 53,00.
30
5
=
318
x
(Eq. 01)
Observe que, nos problemas de regra de três,
as quantidades correspondentes a uma mesma grandeza devem ser 
expressas em uma mesma unidade de medida.
geralmente, consideramos condições idênticas. Em um problema 
que envolva operários e número de peças produzidas, por exemplo, 
consideramos que os operários produzam igualmente e que as condições 
de trabalho também sejam iguais para todos eles. 


exemplo 2
Se 18 operários produzem 378 peças por dia de determinado produto, 
quantas peças seriam produzidas se essa linha de produção contasse 
com 25 operários?
⋅
Operários
Nº de Peças 
(Unidades)
18 378
25 x
�
Matemática a02
Solução:
�º. passo: Organize os dados por grandeza. Assim, teremos um quadro de 
comparação das grandezas. 
2º. passo: Analise a variação das grandezas, indicando o sentido dessa 
variação. 
Operários
Nº de Peças 
(Unidades)
18 378
25 x
(–)
(+)
(–)
(+)
Se o número de operários aumenta, o que ocorre com o número de peças a 
serem produzidas? Para um número maior de operários, temos um número 
de peças que também será maior, ou seja, quando uma grandeza varia a 
outra também varia no mesmo sentido.
Lembre-se: estamos utilizando as setas de indicação do valor menor para 
o valor maior de cada grandeza.
�º. passo: Escreva e resolva uma proporção com os dados. 
Nesse caso, a proporção formada será
Aplicando a propriedade fundamental das proporções, temos:
18 ⋅ x = 318 ⋅ 25 ⇒ 18 x = 9 450 ⇒ x = 9 450 ÷ 18 ⇒ x = 525
�º. passo: Elabore uma resposta, de acordo com o que se pede no enunciado 
do problema.
Resposta: Vinte e cinco operários produziriam 525 peças desse produto 
por dia.
(Eq. 02)
18
25
=
378
x
�
Responda aqui
Praticando...
�
Matemática a02
�. Um operário recebe R$ 920,00 por sua produção em 20 dias de trabalho. 
Sob as mesmas condições, quanto receberá pelo que produzir em 
45 dias?
2. Em uma fazenda, em 30 dias, são utilizadas 1,2 toneladas de ração para 
alimentar os animais. Qual é a quantidade necessária para alimentar os 
mesmos animais em 7 dias?
�. Em uma empresa, 20 funcionários produzem 5 000 peças por semana. 
Quantas peças seriam produzidas semanalmente, se para essa produção 
contassem com 36 funcionários?
a)
b)
c)
Regra de três simples inversa
Em uma regra de três simples inversa, uma das grandezas é inversamente proporcional 
à outra.
Lembre-se de que podemos classificar duas grandezas em inversamente 
proporcionais se as duas variam em sentido contrário, ou seja, quando 
uma aumenta, a outra diminui. Por exemplo, velocidade média e tempo são 
grandezas inversamente proporcionais, pois quanto maior for a velocidade 
média ao percorrer certa distância, menor será o tempo gasto nesse 
percurso.
�
Matemática a02
exemplo �
Se 3 operários fazem uma obra em 20 dias, em quantos dias 12 operários 
fariam a mesma obra?
�º. passo: Organizar os dados em um quadro de comparação das 
grandezas. 
2º. passo: Analisar a variação das grandezas, indicando o sentido dessa 
variação. 
Se o número de operários aumenta, o número de dias para realizar o mesmo 
trabalho diminui. Logo, as grandezas são inversamente proporcionais. 
�º. passo: Escrever e resolver uma proporção com os dados. 
Nesse caso, com duas grandezas inversamente proporcionais, precisamos 
escrever as razões de forma que as setas indicativas estejam apontando 
no mesmo sentido. Podemos inverter a primeira ou a segunda razão. Aqui, 
vamos inverter a segunda razão. Assim, a proporção formada será
Aplicando a propriedade fundamental das proporções, temos:
12 ⋅ x = 3 ⋅ 20 ⇒ 12 x = 60 ⇒ x = 60 ÷ 12 ⇒ x = 5
�º. passo: Elabore uma resposta, de acordo com o que se pede no 
problema.
Resposta: Doze operários fariam a mesma obra em 5 dias.
Operários tempo (dias)
3 20
12 x
(Eq. 03)
3
12
=
x
20
�
Matemática a02
exemplo �
Em uma pequena empresa, 18 funcionários trabalham durante 5 dias para 
produzir um lote de peças. Quantos dias serão necessários para produzir o 
outro lote de peças (idêntico ao primeiro) se para isso só tiverem disponíveis 
15 funcionários?
Solução
�º. passo: Organizar os dados em um quadro de comparação das 
grandezas. 
2º. passo: Analisar a variação das grandezas, indicando o sentido dessa 
variação. 
Se o número de funcionários diminui, o número de dias para produzir um 
lote idêntico ao anterior aumenta. Logo, as grandezas são inversamente 
proporcionais. 
�º. passo: Escreva e resolva uma proporção com os dados. 
Invertendo a segunda razão, para que as setas indicativas apontem no 
mesmo sentido, a proporção formada será
Aplicando a propriedade fundamental das proporções, temos:
15 ⋅ x = 18 ⋅ 5 ⇒ 15x = 90 ⇒ x = 90 ÷ 15 ⇒ x = 6
 �º. passo: Elabore uma resposta, de acordo com o que se pede no enunciado 
do problema.
Resposta: Quinze operários produziriam um lote de peças (idêntico ao 
anterior) em 6 dias.
Funcionários tempo (dias)
18 5
15 x
Funcionários tempo (dias)
18 5
15 x(–)
(+)
(+)
(–)
(Eq. 04)
18
15
=
x
5
 
tempo (dias) Operários
35 20
x 14
tempo (dias) Operários
35 20
x 14(–)
(+)
(+)
(–)
�0
Matemática a02
exemplo �
Um empreiteiro prevê que determinada obra poderá ser realizada em 35 dias, 
empregando 20 operários, porém só conseguiu contratar 14 homens para 
esse serviço. Com esse grupo reduzido de trabalhadores, qual será a nova 
previsão de dias necessários para a realização dessa mesma obra?
Solução
�º. passo: Organizar em um quadro de comparação das grandezas.
2º. passo: Analisar a variação das grandezas, indicando o sentido dessa 
variação. 
Se o número de operários diminui, o número de dias para realizar a mesma 
obra aumenta. Logo, as grandezas são inversamente proporcionais. 
�º. passo: Escrever e resolver uma proporção com os dados. 
Invertendo a segunda razão, a proporção formada será (Eq. 05)
35
x
=
14
20
Aplicando a propriedade fundamental das proporções, temos:
14 ⋅ x = 20 ⋅ 35 ⇒ 14x = 700 ⇒ x = 700 ÷ 14 ⇒ x = 500
�º. passo: Elaborar uma resposta para o que se pede no problema.
Resposta: Catorze operários fariam a mesma obra em 50 dias.
��
Matemática a02
exemplo �
No refeitório de uma empresa, foi previsto um estoque de alimentos para 
durar 30 dias para as refeições de seus 40 funcionários. Após quantos dias 
terão que fazer reposição de estoque se, em um determinado mês, foram 
contratados mais 8 novos funcionários?
Solução
Veja que a quantidade de funcionários passa de 40 para 48.
�º. passo: Organizar em um quadro de comparação das grandezas. 
2º. passo: Analisar a variação das grandezas, indicando o sentido dessa 
variação. 
Se o número de operários aumenta, o número de dias de duração do estoque 
diminui. Logo as grandezas são inversamente proporcionais. 
�º. passo: Escrever e resolver uma proporção com os dados. 
Invertendo a segunda razão, a proporção formada será (Eq. 06)
30
x
=
48
40
Aplicando a propriedade fundamental das proporções, temos:
48 ⋅ x = 30 ⋅ 40 ⇒ 48x = 1 200 ⇒ x = 1 200 ÷ 48 ⇒ x = 25
�º. passo: Elaborar uma resposta para o que se pede no problema.
Resposta: Com a contratação de 8 novos operários, o estoque de alimentos 
do refeitório só durará 25 dias.
tempo (dias) Funcionários
30 40
x 48
tempo (dias) Funcionários
30 40
x 48(–)
(+)
(+)
(–)
2Praticando...
Responda aqui
�2
Matemática a02
�. A uma velocidade média de 64 km/h, um automóvel fez, em 5 horas, o 
percurso entra as cidades A e B. Qual seria o tempo gasto se a velocidade 
média do veículo nesse percurso fosse igual a 80 km/h?
2. O estoque de ração de uma avicultura é sempre abastecido com a mesma 
quantidade de ração a cada 15 dias. Essa quantidade de alimento é 
suficiente para alimentar, por todo período, suas 600 aves. Se fossem 
adquiridas mais 300 aves, essa mesma quantidade de alimento duraria 
quantos dias?
�. Uma empreiteira contratou 24 homens para realizar uma obra que, 
segundo previsão da própria empresa, seria concluída em 15 dias. Antes 
do início da obra, 4 homens desistiram. A previsão do novo prazo de 
realização da obra passa a ser de quantos dias?
Horas/dia Dias Operários
Produção 
(unidades)
8 12 30 1 000
6 x 48 1 200
��
Matemática a02
E nos problemas com três ou mais grandezas, como é feita essa classificação?
Nesse caso, comparamos essas grandezas duas a duas, e esse é o assunto que 
veremos a seguir.
Regra de três composta
Como já foi dito antes, na regra de três composta ocorrem três ou mais grandezas 
relacionadas entre si. 
Nesse caso, em apenas uma grandeza é dado um valor conhecido e para as demais 
grandezas são dados dois valores. Na resolução desse tipo de situação-problema, vamos 
utilizar um método semelhante ao utilizado na resolução de regras de três simples.
exemplo �
Trabalhando 8 horas por dia, durante 12 dias, 30 operários produzem 1 000 
unidades de determinado eletrodoméstico. Quantos dias serão necessários 
para que 48 operários, trabalhando 6 horas por dia, produzam 1 200 unidades 
desse mesmo produto? 
Solução
�º. passo: Organizar os pares de valores de cada grandeza
2º. passo: Identificar as grandezas em inversamente ou diretamente 
proporcionais. A indicação das setas será feita comparando-se cada uma 
das grandezas com a que apresenta o termo desconhecido. Observamos a 
variação de cada par de grandezas, considerando que as demais grandezas 
permanecem inalteradas. 
� horas/dia 
� horas/dia
�2 dias 
x
Diminui Aumenta
��
Matemática a02
a) comparando horas por dia e dias: 
Se o número de horas por dia de trabalho diminui, devemos trabalhar um 
número maior de dias para realizar o mesmo trabalho. Ou seja, essas 
grandezas são inversamente proporcionais. Assim, as setas apontam para 
direções opostas.
b) comparando operários e dias:
Se o número de operários aumenta, podemos diminuir o número de dias 
para realizar um trabalho. Ou seja, essas duas grandezas são inversamente 
proporcionais. Assim, as setas apontam em direções opostas.
c) comparando produção e dias:
Quando o número de unidades a serem produzidas aumenta, precisamos 
de mais dias para essa produção. Por isso, as grandezas produção e dias 
são diretamente proporcionais. Assim, as setas apontam para a mesma 
direção.
�º. passo: Construir a esquematização geral dos dados e realizar a inversão 
dos pares identificados como inversamente proporcionais.
A partir da seta da grandeza que tem o valor desconhecido (neste caso, 
dias), colocaremos as setas das demais grandezas. Quando as grandezas 
comparadas são diretamente proporcionais, as setas indicam a mesma 
direção ou, caso as grandezas envolvidas sejam inversamente proporcionais, 
as setas apresentadas indicam direções opostas. Lembre-se de que, nesse 
exemplo, somente as grandezas ‘operários’ e ‘produção’ são grandezas 
diretamente proporcionais.
�0 operários 
�� operários
�2 dias 
x
Aumenta Diminui
� 000 unid. 
� 200 unid.
�2 dias 
x
Aumenta Aumenta
��
Matemática a02
Invertendo as razões das grandezas inversamente proporcionais à grandeza 
‘dias’, que são as grandezas ‘horas/dia’ e ‘operários’, obtemos:
�º. passo: Montar a proporção e calcular o valor desconhecido
A solução por esse processo é a proporção obtida da igualdade entre a razão 
que apresenta o valor desconhecido e o produto das demais razões (após 
a inversão das que apresentam grandezas inversamente proporcionais a 
que apresenta o x). Observe:
12
x
=
6
8
·
48
30
·
1 000
1 200
(Eq. 07)
ou
12
x
=
6 · 48 · 1 000
8 · 30 · 1 200
Invertendo as razões, temos:
x
12
=
8 · 30 · 1 200
6 · 48 · 1 000
Isolando o valor de x, temos:
x =
12 · 8 · 30 · 1 200
6 · 48 · 1 000
Resolvendo os produtos e simplificando-os por 1 000, obtemos:
x =
3 456 000
288 000
⇒ x =
3 456
288
⇒ x = 12
Resposta: Seriam necessários 12 dias, nessas condições, para realizar o 
mesmo trabalho.
Horas/dia Dias Operários
Produção 
(unidades)
8 12 30 1 000
6 x 48 1 200
Diminui Aumenta Diminui Aumenta
Horas/dia Dias Operários
Produção 
(unidades)
6 12 48 1 000
8 x 30 1 200
��
Matemática a02
Observe a aplicação desse processo de resolução, nos exemplos a seguir:
exemplo �
Na alimentação de 2 bois, durante 8 dias, são consumidos 2 420 kg de 
ração. Qual a quantidade de ração que seria necessária para alimentar 5 
bois, durante 12 dias?
Solução
�º. passo:
exemplo �
Se 20 homens, trabalhando durante 15 dias, constroem 500 m de uma 
estrada, quantos homens seriam necessários para construir 900 metros 
dessa estrada em 30 dias?
Solução
�º. passo: 2º. passo: 
Homens/dia Dias metros de uma estrada
20 15 500
x 30 900
Homens/dia Dias metros de uma estrada
20 15 500
x 30 900
�º. passo:
�º. passo:
20 30 500
x 15 900
(Eq. 08)20
x
=
30
15
·
500
900
20
x
=
30 · 500
15 · 900
⇒
20
x
=
15 000
13 500
⇒
x
20
=
13 500
15 000
⇒ x · (15 000) = 20 · (13 500)
⇒ 15 000x = 270 000 ⇒ x =
270 000
15 000
⇒ x = 18
Resposta: São necessários 18 homens para fazer esse trabalho.
Bois Dias kg de ração
2 8 2420
5 12 x
��
Matemática a02
2º. passo: 
�º. passo:
�º. passo:
Efetuando o produto entre as razões:
Bois Dias kg de ração
2 8 2 420
5 12 x
2 8 2 420
5 12 x
(Eq. 09)
2 420
x
=
8
12
·
2
5
2 420
x
=
16
60
2 420
x
=
8
12
·
2
5
2 420
x
=
16
60
Aplicando a propriedade fundamental das proporções, temos:
Resposta: São necessários 9 075 kg de ração.
16 · x = 60 · (2 420) ⇒ 16x = 145 200 ⇒ x =
145 200
16
⇒ x = 9 075
�
Responda aqui
Praticando...
�. Na perfuração de um poço de 160 m de profundidade, 40 operários de 
uma construtora levaram 21 dias. Para a perfuração de um poço de 200 
metros, a construtora contratou 30 operários. Em quantos dias essa 
segunda equipe terá concluído esse outro poço? 
2. Quinze pedreiros realizam uma obra em 10 dias, trabalhando 8 horas por 
dia. Quantos dias 20 pedreiros, trabalhando 4 horas por dia, levariam para 
realizar a mesma obra? 
�. Em 6 dias de trabalho, 12 confeiteiros fazem 90 tortas. Para fazer 40 
tortas, 4 confeiteiros levariam quantos dias?
�. Um trabalhador autônomo fabrica 50 objetos em 3 dias, trabalhando 2 
horas por dia. Quantas horas por dia deve trabalhar para fabricar 100 
objetos do mesmo tipo em 4 dias?
��
Matemática a02
Responda aqui
aplicações do estudo 
de regra de três
Porcentagem
Muitas vezes, ouvimos expressões como: “o índice de reajuste da categoria é de 12,5%”,
“desconto de até 50% na semana do Natal”, “a inflação de junho foi de 0,25%” e “os 
preços subiram em média 0,32%”.
��
Matemática a02
Todas essas expressões envolvem um conceito denominado porcentagem (ou 
percentagem).
Utilizar o conceito de porcentagem é comparar duas razões em uma proporção direta, 
em que uma das razões tem conseqüente igual a 100 e, entre os outros três termos, 
um é desconhecido. Na verdade, resolver um problema de porcentagem é partir da 
seguinte regra de três:
Sendo A e B valores absolutos de uma parte e do todo, respectivamente, a ser estudado, 
e C, o valor percentual correspondente à parte A. 
Como já foi dito anteriormente, a proporção é direta, ou seja, podemos formar diretamente 
a proporção A
B
=
C
100
, que podemos descrever como ‘a parte A está para o todo B 
assim como a porcentagem C está para 100%’.
Que tal alguns exemplos?
Valor 
absoluto
Valor 
percentual
A C
B 100
exemplo �0
a) Calcular 20% de 130.
Calcular 20% de 130 equivale a determinar o valor x que está para 130, 
assim como 20 está para 100. Ou seja, 
Assim, podemos formar a proporção:
Aplicando a propriedade fundamental das proporções, temos:
Resposta: O valor procurado é 26.
Valor 
absoluto
Valor 
percentual
x 20
130 100
(Eq. 10)
x
130
=
20
100
100 · x = 130 · 20 ⇒ 100x = 2 600 ⇒ x =
2 600
100
⇒ x = 26
20
Matemática a02
exemplo ��
O valor 28 representa qual porcentagem de 200?
Podemos formar a seguinte proporção:
Com a aplicação da propriedade fundamental das proporções, teremos:
Resposta: O valor procurado é 14.
28
200
=
x
100
(Eq. 11)
200 · x = 100 · 28 ⇒ 200x = 2 800 ⇒ x =
2 800
200
⇒ x = 14
exemplo �2
De qual quantia R$ 15,00 representa 8%?
Resposta: R$ 15,00 equivale a 8% de R$ 187,50.
15
x
=
8
100
(Eq. 12)
8 · x = 15 · 100 ⇒ 8x = 1 500 ⇒ x =
1 500
8
⇒ x = 187, 50
Lembre que o cálculo percentual não é resolvido apenas pelo processo da regra de três.
Se você já resolveu todas as atividades e já conferiu seus cálculos, resolva a lista de 
exercícios a seguir: 
20
Matemática a02
Valor 
absoluto
Valor 
percentual
28 x
200 100
exercícios
2�
Matemática a02
�) Um trem percorre 120 km em 3h. Para percorrer 200 km, mantendo a mesma 
velocidade média, esse trem levará:
a) 4 horas. b) 4 horas e 30 minutos. c) 5 horas. d) 5 horas e meia.
2) Se um automóvel faz 60 km com 5 litros de gasolina, a quantidade de litros de gasolina 
que esse automóvel gastaria para percorrer 180 km, nas mesmas condições, é de:
a) 9 litros. b) 12 litros. c) 14 litros. d) 15 litros.
�) Um ônibus com velocidade média de 60 km/h percorre a distância entre duas cidades 
em 4h. O tempo que esse veículo levará para percorrer a mesma distância, se 
aumentar a velocidade média para 80 km/h, será:
a) 1 hora e 30 minutos. b) 2 horas. c) 2 horas e 20 minutos. d) 3 horas.
�) Num livro de 270 páginas, há 40 linhas em cada página. O número de páginas que o 
livro teria, se houvesse 45 linhas por páginas, seria igual a:
a) 280. b) 240. c) 230. d) 210.
�) Se 10 pedreiros levam 60 dias para construir uma casa, o tempo que 6 pedreiros 
levariam para construir uma casa idêntica seria de:
a) 100 dias. c) 120 dias. d) 150 dias. e) 180 dias.
�) Trinta operários construíram 600 m de uma ponte, trabalhando 8 horas por dia, durante 
20 dias. O tempo com que, nas mesmas condições, 50 operários, trabalhando 6 horas 
por dia, construiriam 1 200 m de ponte, é de:
a) 32 dias. b) 31 dias. c) 29 dias. d) 27 dias.
�) Em uma locadora de automóveis, oito carros iguais consomem 100 litros de gasolina, 
em cinco dias. Quantos carros, idênticos aos primeiros, consomem 500 litros, em 
10 dias?
a) 19. b) 20. c) 22. d) 23.
�) Que quantia corresponde a 30% de R$ 180,00?
a) R$ 27,00. b) R$ 48,40. c) R$ 54,00. d) R$ 64,40.
22
Matemática a02
auto-avaliação
2�
Matemática a02
Leitura complementar
SÓ MATEMÁTICA. Disponível em: <www.somatematica.com.br>. Acesso em: 20 jun. 2008.
Entre os vários tópicos encontrados no site Só Matemática, você encontrará um resumo 
sobre regra de três simples e regra de três composta. Basta se cadastrar para ter livre 
acesso ao conteúdo. 
Nesta aula, perpassamos pelos conceitos de regra de três (simples e composta); 
identificamos regra de três simples; percebemos a diferença entre direta e 
inversa, bem como resolvemos cada um dos tipos, com estas envolvidas. Também 
verificamos possibilidades envolvendo regra de três composta, com três ou quatro 
grandezas. E introduzimos um breve estudo sobre porcentagem, aplicando àquilo 
que estudamos em regra de três.
�. Relacione os itens da primeira coluna com os da segunda:
a) Processo de resolução de problemas onde se tem pares de valores 
para cada uma das grandezas envolvidas e apenas um desses valores é 
desconhecido. 
b) Apenas duas grandezas estão envolvidas e uma é inversamente proporcional 
a outra.
c) Processo de resolução de problemas onde se têm três ou mais grandezas 
envolvidas.
d) Apenas duas grandezas estão envolvidas e uma é diretamente proporcional 
a que apresenta o valor desconhecido.
( ) é chamado de regra de três composta.
( ) é chamado de regra de três simples direta.
( ) é chamado de regra de três.
( ) é chamado de regra de três simples inversa.
2�
Matemática a02
2. Assinale verdadeiro (V) ou falso (F), nas afirmativas a seguir:
a. 20% de 1 900 é 38 . ( )
b. Se dois operários pintam uma sala em três dias, três operários fariam o 
mesmo serviço em quatro dias e meio. ( )
c. Três cavalos bebem 40 litros de água em dois dias. Nessas condições, em 
três dias, cinco cavalos beberiam 100 litros de água. ( )
Para consulta
Regra de três simples
Processo prático de resolução de problemas que envolvem três valores conhecidos 
e um desconhecido. Dois desses valores se referem a uma mesma grandeza. 
Através desse processo, determina-se um valor a partir dos outros três.
etapas desse processo de resolução:
�º. passo: organização dos dados e construção de um quadro de comparação 
das grandezas;
2º. passo: análise da variação de uma grandeza em relação à outra, indicando o 
sentido dessa variação;
�º. passo: escrever e resolver uma proporção com os dados; 
�º. passo: elaborar uma resposta, a partir do que se pede no problema.
Regra de três simples direta
Envolve duas grandezas diretamente proporcionais. As setas indicativas apontam 
para a mesma direção. A resolução é a partir da proporção formada diretamente 
das razões que formamos em cada grandeza, no quadro de comparação de 
grandezas.
Regra de três simples inversa
Envolve duas grandezas inversamente proporcionais. As setas indicativas apontam 
para direções opostas. A resolução é a partir da proporção formada após a 
inversão de uma das razões que formamos em cada grandeza, no quadro de 
comparação de grandezas.
2�
Matemática a02
Regra de três composta
Envolve três grandezas ou mais. Comparada àquela que apresenta o valor 
desconhecido, as demais grandezas podem ser diretamente ou inversamente 
proporcionais. 
etapas desse processo de resolução:
�º. passo: construir um quadro com os dados do problema, apresentando os 
valores de cada grandeza em colunas e, em cada linha, os elementos de 
grandezas diferentes que se correspondem;
2º. passo: identificar os tipos de variação de uma grandeza em relação à outra, 
comparando sempre a grandeza que apresenta o valor desconhecido com 
uma outra. Repetir essa comparação até que todas
as grandezas sejam 
identificadas como diretamente ou inversamente proporcionais em relação à 
grandeza que apresenta o valor desconhecido;
�º. passo: inverter as razões das grandezas inversamente proporcionais àquela 
que apresenta o valor desconhecido. Construir e resolver a proporção formada 
pela igualdade entre a razão que contém o valor desconhecido e a formada 
pelo produto das outras razões;
�º. passo: elaborar uma resposta, de acordo com o que se pede no problema.
Porcentagem:
A
B
=
C
100 , onde A, B e C são números diferentes de zero e um desses valores 
é desconhecido.
Respostas das atividades:
atividade �:
�. Por 45 dias de trabalho, o operário receberá R$ 2 070,00.
Valor absoluto Valor percentual
A C
B 100
2�
Matemática a02
2. São necessários 280 kg.
�. Nessas condições, seriam produzidas 9 000 peças.
atividade 2:
�. O mesmo percurso seria feito em 4h.
2. Durariam 30 dias.
�. O novo prazo seria de 18 dias.
atividade �:
�. A segunda equipe terá concluído em 35 dias.
2. Levariam 15 dias.
�. Levariam 8 dias.
�. Deve trabalhar 3 horas por dia.
Respostas dos exercícios
�) 5 horas.
2) 5 litros.
�) 3 horas.
�) 240.
�) 100 dias.
�) 32 dias.
�) 20.
�) R$ 54,00.
Respostas da auto-avaliação
�. A ordem da segunda coluna é c, d, a, b.
2. F, F, V
Observe que:
(a) 20% de 1 900 é 380. (É uma regra de três simples direta)
(b) A resposta correta seria 2 dias. (É uma regra de três simples inversa)
(c) Todas as grandezas são diretamente proporcionais entre si.
Referências
CRESPO, Antônio Arnot. matemática comercial e financeira fácil. 11. ed. São 
Paulo: Saraiva, 1996. 
MERCHEDE, Alberto. matemática financeira para concursos: mais de 1.500 
aplicações. São Paulo: Atlas, 2003.
2�
Matemática a02
anotações
2�
Matemática a02
anotações
Matematica/matematica_03.pdf
03
Elizabete Alves de Freitas
C U R S O T É C N I C O E M S E G U R A N Ç A D O T R A B A L H O
Conhecendo as unidades de medidas 
(parte I)
MATEMÁTICA
Coordenadora da Produção dos Materias 
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Revisão das Normas da ABNT 
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Adaptação para o Módulo Matemático 
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Revisão Técnica 
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equipe sedis | universidade do rio grande do norte – ufrn
Projeto Gráfico
Secretaria de Educação a Distância – SEDIS
Governo Federal
Ministério da Educação
Você ve
rá 
por aqu
i...
Objetivo
�
Matemática A03
...um breve estudo sobre a leitura, a correta representação e como efetuar algumas 
operações com as unidades de medidas de tempo, de comprimento e medidas de área. 
Esses conteúdos foram desenvolvidos através de uma teoria básica, ilustrada através 
de diversos exemplos, intercalada também com algumas atividades.
Essas atividades que se encontram em três blocos, ao longo desta aula, apresentam-se 
após cada parte do conteúdo, ou seja, temos uma atividade apenas sobre as unidades de 
tempo, uma segunda atividade somente sobre as unidades de medidas de comprimento 
e uma terceira e última atividade sobre as unidades de medidas de superfície.
Para fixar mais o conteúdo temos, ao final da aula, uma lista de exercícios envolvendo todo o 
conteúdo estudado nesta aula e, ocasionalmente, algum conteúdo de aulas anteriores. 
Reserve um tempo para seus estudos e boa aula.
Conhecer as medidas de tempo mais usuais e identificar os 
respectivos símbolos dessas medidas.
Utilizar corretamente o símbolo de determinada unidade de medida.
Saber identificar as unidades de medidas de tempo, de comprimento 
ou de superfície mais utilizadas.
Resolver, sempre que se fizer necessário, situações práticas que 
envolvam a conversão de uma dada medida expressa em certa 
unidade em uma medida equivalente, expressa em outra unidade 
de mesma espécie.




�
Matemática A03
Para começo 
de conversa... 
A necessidade de medir é muito antiga e surgiu com a origem das civilizações.
Antigamente, quando se tratava de medir alguma coisa (a extensão de um 
terreno ou o comprimento de um pedaço de tecido), cada um usava o que 
estava mais próximo, fosse o tamanho do próprio pé ou a extensão do seu 
braço ou de seus passos etc., ou seja, não existiam as medidas padronizadas 
que temos hoje. E como essas medidas mudam de pessoa para pessoa, 
isso sempre causava confusão. 
Com o passar do tempo, foram sendo criados padrões para essas medidas. 
Em cada comunidade, em cada região, foi sendo estabelecido um sistema de 
medidas próprio, tendo como base medidas de pouca ou nenhuma precisão, 
como as que têm como referência alguma parte do corpo humano, como, 
por exemplo, polegada, palmo, pé, braça e côvado.
 Não precisamos dizer que isso gerava uma grande confusão no comércio, pois 
as pessoas de uma comunidade ou região nem sempre conheciam o sistema 
de medidas de outras comunidades, ou não havia equivalência entre diferentes 
unidades de medidas.
Havia a necessidade de se ter um sistema de medidas que reduzisse as 
confusões geradas pelas diferenças de padrões sobre uma mesma medida e, 
em 1789, surgiu o Sistema Métrico Decimal, a pedido do Governo Republicano 
Francês à Academia de Ciências Francesa. 
O governo francês solicitou que fosse criado um sistema de medidas que 
tivesse uma “constante natural” como base. Assim, surgiu o Sistema Métrico 
Decimal, que foi adotado também por outros países posteriormente, inclusive 
pelo Brasil. Esse sistema adotou inicialmente três unidades básicas de medida: 
o metro, o litro e o quilograma.
Com o desenvolvimento científico e tecnológico que veio a seguir, era necessário 
criar as mais diversas medidas e estabelecer medidas cada vez mais precisas. 
Com esse propósito, em 1960, o Sistema Métrico Decimal foi substituído pelo 
Sistema Internacional de Unidades (SI), mais amplo, complexo e sofisticado. 
Esse sistema, o SI, foi adotado pelo Brasil em 1962 e, a partir de 1988, passou 
a ser obrigatório em todo o país.
3
Matemática A03
Estudando as 
unidades de medidas 
Unidades de tempo
O sol, por muito tempo, foi usado como referencial para medidas de tempo. O intervalo 
de tempo entre duas passagens sucessivas do sol por um mesmo meridiano é chamado 
de dia solar.
A unidade de tempo adotada como unidade padrão pelo Sistema Internacional (SI) é o 
segundo (s ), que é equivalente a 
1
86 400 de um dia solar médio.
Algumas situações apresentam medidas maiores que o segundo. Nelas podemos 
observar alguns múltiplos do segundo. Eis alguns:
o minuto (min), que é igual a 60 s;
a hora (h), que é igual a 60 min, ou ainda, a 60 . 60 s = 3 600 s;
o dia (d ), que é igual a 24 h, ou seja, 24 . 3 600 s = 86 400 s.
Algumas situações apresentam medidas menores que o segundo. São os submúltiplos 
do segundo. Entre eles, temos:
o décimo de segundo, que é igual a 0,1 s; 
o centésimo de segundo, que é igual a 0,01 s;
o milésimo de segundo, que é igual a 0,001 s.






�
Matemática A03
Uso correto das medidas de tempo
Ao escrevermos uma medida de tempo como 1,3 h, por exemplo, não devemos substituir 
por 1 h 30 min, pois o sistema de medidas de tempo não é decimal.
Observe:
1, 3h = 1h+
3
10
h = 1h+
3
10
· 60min = 1h+
180
10
min = 1h+ 18min
 
Ou seja, 1,3 h = 1 h 18 min.
Ao escrever as medidas de tempo, observe o uso correto dos símbolos para hora, 
minuto e segundo.
Ao representar medidas de tempo, também observe a escrita correta dos símbolos 
correspondentes de cada unidade de medida.
Correto 10 h 32 min 10 h 32 min 12s
Errado
10:32 h
10 hrs 32 mins
10 h 32’ 12” 
10 h 32 m 12 seg
Existem duas unidades de medidas angulares, a unidade minuto, representada pelo 
símbolo (‘), e a unidade segundo, representada pelo símbolo (“), medidas homônimas 
às unidades de tempo que vimos a pouco, porém somente devem ser utilizadas para 
medidas angulares e não para medidas de tempo.
Operações com medidas de tempo 
Em algumas situações precisamos realizar operações com medidas de tempo. 
Vejamos algumas dessas situações:
Exemplo � 
As duas músicas preferidas de Carol têm 5 min 32 s e 4 min 26 s. Qual 
é o tempo que ela leva para ouvir as duas músicas, uma após a outra, 
sem pausa entre elas?
5min 32 s
+ 4min 26 s
9min 58 s
Para resolver essa questão basta somarmos as medidas, colocando os 
termos de mesma unidade um abaixo do outro.
Assim, o tempo total que Carol leva para ouvir as duas músicas, sem pausa 
entre elas, é de 9 min 58 s.
�
Matemática A03
Exemplo � 
Qual é a soma das medidas 3 h 05 min 20 s, 2 h 03 min e 1 h 25 s?
3h 05min 20 s
2h 03min 00 s
+ 1h 00min 25 s
6h 08min 45 s
A soma das medidas é 6 h 08 min 45 s.
Nas duas situações acima, efetuamos uma adição de medidas de tempo. Como você 
pôde observar, nos dois exemplos anteriores, quando realizamos uma adição com esse 
tipo de medida, devemos somar as partes que têm as mesmas unidades entre si.
Vejamos outros exemplos:
Exemplo 3 
Em um CD-R podem ser gravados até 80 min de músicas. Se um CD-R já 
contém 50 min 12 s de música, quanto tempo de gravação tem disponível 
em seu espaço livre?
Para resolver essa questão, devemos “retirar” do tempo total de gravação 
do CD-R o tempo de gravação que já está ocupado. Assim, temos:
80min 00 s
− 50min 12 s
? s
Para poder realizar essa operação, devemos “pedir emprestado” 1 min 
e transformá-lo em 60 s, ou seja, substituímos 80 min por 79 min 60 s. 
Assim:
79min 60 s
− 50min 12 s
29min 48 s
O tempo de gravação disponível no CD-R é de 29 min 48 s.
�
Matemática A03
Exemplo � 
Em um treino de Fórmula 1, os tempos obtidos por dois pilotos foram (a) 1 min 
15 s 306 e (b) 1 min 15 s 978. Qual a diferença entre esses dois tempos?
Para resolver essa operação tomamos o tempo maior (b) e subtraímos o 
tempo menor (a). Assim, temos:
1min 15 s 978
− 1min 15 s 306
0min 00 s 672
A diferença entre os dois tempos é de 672 milésimos de segundos.
Nas duas situações anteriores, efetuamos a subtração de medidas de tempo. Também aqui 
efetuamos a operação entre termos que têm a mesma unidade. Sempre que necessário 
precisamos “pedir emprestado” de um termo que apresenta uma unidade maior.
Exemplo � 
Calcule 12 h 15 min 25 s – 5 h 23 min 45 s.
Temos:
12h 15min 25 s
− 05h 23min 45 s
? s ? s
Emprestando 1min e convertendo-o em 60s, que são adicionados aos 
segundos já existentes, temos: 12 h 14 min 85 s – 5 h 23 min 45 s. Ou:
12h 14min 85 s
− 05h 23min 45 s
? s 40 s
Entretanto, para efetuar a subtração entre os minutos, temos que pedir 
emprestado 1 h e convertê-la em 60 minutos, adicionando-os aos minutos 
já existentes. Assim:
11h 74min 85 s
− 05h 23min 45 s
06h 51min 40 s
A diferença entre os tempos é de 6 h 51 min 40 s.
�
Matemática A03
Às vezes, a operação a ser realizada com unidades de medidas é a multiplicação por 
um número real. Vejamos, agora, essa operação no exemplo a seguir:
Exemplo �
Se, em um determinado circuito, um ciclista consegue percorrer cada volta 
em 12 minutos, quanto tempo levaria para percorrer seis voltas, nesse 
mesmo circuito, se mantivesse essa velocidade média?
Nesse caso, basta multiplicarmos por 6 o tempo de percurso, ou seja, 
o tempo total para as 6 voltas, com a mesma velocidade média, é de 
6 . 12 min = 72 min. 
Lembrando que 72 min = 60 min + 12 min = 1 h 12 min, podemos afirmar 
que o ciclista levaria 1 h 12 min para percorrer seis voltas.
No exemplo anterior, efetuamos uma multiplicação com medidas de tempo. 
Após a multiplicação, em algumas situações, devemos “arrumar” a medida que 
apresentar “excessos”. 
Algumas vezes, em determinadas situações, precisamos dividir uma medida de tempo 
por um número. Vejamos uma dessas situações:
Exemplo �
Quando um medicamento é receitado pelo médico para ser tomado 
três vezes ao dia, fazemos a divisão de um dia (24 h) por três para 
saber com qual freqüência ele deverá ser tomado. Assim, fazemos: 
1 d ÷ 3 = 24 h ÷ 3 = 8 h.
Ou seja, esse medicamento deve ser administrado a cada 8 horas.
Às vezes, a divisão pede um pouco mais de cuidado. Vejamos um exemplo para 
essa situação.
�Praticando...
�
Matemática A03
Exemplo �
Efetuando a divisão 12 h ÷ 5, temos:
12 5
-10 2,4
020
-20
00
2, 4h = 2h+ 0, 4h = 2h+
4
10
· 60min = 2h+
240
10
min 2h+ 24min = 2h 24min
�. Leia as seguintes medidas de tempo e coloque-as em ordem 
crescente:
a. 11 h 03 s b. 1 min 55 s 387 c. 5 h 03 min 37 s
�. Em um torneio de bicicleta de certo bairro, um ciclista percorreu o 
circuito com os seguintes tempos: (1ª. volta) 12 min 05 s; (2ª. volta) 
11 min 55 s e (3ª. volta) 12 min 01 s. As três voltas foram feitas por esse 
atleta completando que tempo total?
3. Um piloto de Fórmula 1 fez com seu carro uma volta em 1 min 35 s 896, 
no primeiro treino livre de certo grande prêmio. Após alguns ajustes no 
motor, nesse mesmo treino, esse piloto conseguiu reduzir seu tempo para 
1 min 28 s 325. Em quanto tempo foi reduzido, por esse piloto, o tempo 
de percurso de uma volta?
�. Considerando que o ponteiro de minutos de um relógio defeituoso dê 
uma volta completa em 1 min 08 s, quanto tempo levará para que esse 
ponteiro dê 60 voltas completas?
�. Um torno produz, a cada minuto, um total de 600 rotações. Quantas 
rotações ele produz por segundo? Nessas condições, quanto tempo dura 
cada uma de suas rotações?
�
Matemática A03
Unidades de 
comprimento
O SI adota o metro (m) como medida fundamental de comprimento, cujo nome vem do 
grego métron e significa “medida”. 
Inicialmente, foi instituído que a medida do metro seria 
1
10 000 000 da distância do 
Pólo Norte ao Equador, no meridiano que passa pela cidade de Paris (França). 
No Brasil, essa medida (o metro) foi adotada oficialmente em 1928.
 Existem outras unidades, além do metro, que utilizamos para representar uma medida 
de comprimento. Algumas unidades são consideradas múltiplos do metro e outras, seus 
submúltiplos. As que fazem parte desses dois grupos têm como radical a palavra metro 
e um prefixo que indica sua relação de multiplicidade como metro. São elas:
Múltiplos
Unidade 
Fundamental
Submúltiplos
quilômetro hectômetro Decâmetro metro decímetro centímetro milímetro
km hm dam m dm cm mm
1.000 m 100 m 10 m 1 m 0,1 m 0,01 m 0,001 m
Quando escrevemos grandes medidas, utilizamos os múltiplos do metro. Quando 
escrevemos pequenas medidas, utilizamos seus submúltiplos. Para medidas 
extremamente pequenas,