AULA Ondas e Termodinâmica - Ondas Estacionárias , Modos Normais e Ressonância [ONDULATÓRIA E CALOR]

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15/04/2018 1
Ondas e Termodinâmica
Ondas Estacionárias e Ressonância
2018.1
Prof. Dr. Heleno Carlos
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- Objetivo de Aprendizagem:
• Determinar os modos normais de vibração de 
uma onda mecânica 
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Velocidade de uma onda numa corda tracionada
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Exemplo: Uma corda com 125 cm de
comprimento tem uma massa de 2,00 g e
uma tração de 7,00 N. Qual é a velocidade
de uma onda na corda?
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Ondas estacionárias
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O que é?
• São ondas que possuem um padrão de vibração
estacionário.
• Formam-se a partir de uma superposição de duas
ondas idênticas mas em sentidos opostos,
normalmente quando as ondas estão confinadas no
espaço como ondas sonoras em um tubo fechado e
ondas de uma corda com as extremidades fixas.
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• Esse tipo de onda é caracterizado por pontos
fixos de valor zero, chamados de nodos (nós),
e pontos de máximo também fixos, chamados
de antinodos (antinós).
• São ondas resultantes da superposição de
duas ondas de mesma frequência,
mesma amplitude, mesmo comprimento de
onda, mesma direção e sentidos opostos.
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*Se duas ondas senoidais de mesma amplitude e mesmo
comprimento de onda se propagam em sentidos opostos em
uma corda, a interferência mútua produz uma onda
estacionária.
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Ondas Estacionárias
�� �, � = �. sin(
� − ��)
e
�� �, � = �. sin(
� + ��)
Aplicando-se o princípio da superposição:
�� �, � = �� �, � + �� �, �
�� �, � = �. sin(
� − ��) + �. sin(
� + ��)
�� �, � = �. [sin 
� − �� + sin 
� + �� ]
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�� �, � = �. [sin 
� − �� + sin 
� + �� ]
Propriedade trigonométrica:
sin � ± sin � = 2. sin[
1
2
� ± � . cos
1
2
� ∓ �
�� �, � = �. {2. [sin (
1
2
� − �� + 
� + �� ]}. cos{
1
2
[ 
� − �� − 
� + �� ]}
�� �, � = �. {2. [sin (
1
2
� − �� + 
� + �� ]}. cos{
1
2
[
� − �� − 
� − ��]}
�� �, � = �. {2. [sin (
1
2
2
� ]}. cos{
1
2
[−2��]}
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�� �, � = �. 2. [sin ( 
�) . cos{[−��]}
�� �, � = �. 2. sin ( 
�) . cos(��)
!� ", # = [$. %. &'( ( )")] . *+, -#
�� = [2. �. sin ( 
�)]
A amplitude varia com a posição x.
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Quando A’=0 tem-se que 
� = 0
� = /0
20
1
� = /0
� =
/. 1
2
 , / = 0, 1, 2,3,…
Para as posições de amplitude zero (nós) a distância entre 
os nós vizinhos é 4
�
(interferência destrutiva)
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Valor máximo para a amplitude:
�� = [2. �. sin ( 
�)]
Acontece quando:
sin ( 
�)] = 1
�5á7
� = 2. �.
� =
0
2
=
30
2
=
50
2
=
70
2
= ⋯
� = (/ +
1
2
)0
20
1
� = (/ +
1
2
)0
 � = (/ +
�
�
)
4
�
, / = 0, 1, 2,3, …
� = (/ +
1
2
)
1
2
Ou
� =
2/ + 1
4
. 1
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Resumindo:
!� ", # = [$. %. &'( ( )")] . *+, -#
�� = [2. �. sin ( 
�)]
A amplitude varia com a posição x.
Para os pontos onde há nós:
� =
/. 1
2
 , / = 0, 1, 2,3,…
Para os pontos onde há
antinós: 
� = (/ +
�
�
)
4
�
,/ = 0, 1, 2,3, …
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Exemplo
• Uma corda fixa nas duas extremidades tem
8,40 m de comprimento, uma massa de 0,120
kg e uma tração de 96,0 N. (a) Qual é a
velocidade das ondas na corda? (b) Qual é o
maior comprimento de onda possível para
uma onda estacionária na corda? (c)
Determine a frequência dessa onda.
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Reflexões numa Interface
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Ondas Estacionárias e Ressonância
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< =
1
2
1 = 2<
1 =
2<
/
= = 1. >
= =
2<
/
>
? =
@
$A
B
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• as frequências de ressonância são múltiplos inteiros da
menor frequência de ressonância, f = v/2L, que
corresponde a n = 1. O modo de oscilação com a
menor frequência é
• chamado de modo fundamental ou primeiro
harmônico. O segundo harmônico é o modo de
oscilação com n = 2, o terceiro harmônico é o modo
com n = 3, e assim por diante.
• As frequências associadas a esses modos costumam ser
chamadas de f1, f2, f3, e assim por diante. O conjunto
de todos os modos de oscilação possíveis é chamado
de série harmônica, e n é chamado de número
harmônico do enésimo harmônico.
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Exercício 13 – Lista 2
• Uma corda que está esticada entre suportes 
fixos separados por uma distância de 75,0 cm 
apresenta frequências de ressonância de 420 
e 315 Hz, com nenhuma outra frequência de 
ressonância entre os dois
• valores. Determine (a) a menor frequência de 
ressonância e (b) a velocidade da onda.
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Obrigado!