Exemplo de Aplicacao de Algebra Linear nos cursos de Quimica

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O Porquê da Álgebra Linear nos Cursos de Química 
 
 Ao reorganizarmos as variáveis, reduzimos o nosso
problema à resolução de um sistema de equações lineares
, com 0=Ax
 










−−−−
−
−
−
−
=
1 2 3 4 8 0
0 1 0 0 2 0
0 0 2 0 1 0
1 0 0 0 0 6
0 0 0 3 0 1
A e , 












=
6
5
4
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
 
no qual tem uma infinidade de soluções, pois a matriz A é
do tipo 5×6. O conjunto solução determina-se facilmente
usando métodos onde intervêm operações l-elementares,
como por exemplo o método de eliminação de Gauss, na
matriz completa do sistema: 
 










−
−−
−−−
−
−
→
→










−−−−
−
−
−
−
044 45 0 0 0 0
011 18 117 0 0 0
01 2 13 4 0 0
00 0 2 0 1 0
00 0 0 3 0 1
 
01 2 3 4 8 0
00 1 0 0 2 0
00 0 2 0 1 0
01 0 0 0 0 6
00 0 0 3 0 1
L
L
 
Conjunto solução: 
 



 ∈

= IRxxxxxxxS 6666666 ,,45
44,
45
11,
18
1,
45
22,
6
1 . 
 
Apesar da infinidade de soluções, para que o acerto da
equação faça sentido do ponto de vista químico, temos que
procurar uma solução onde são inteiros
positivos. (Se possível os menores inteiros) 
621 ,...,, xxx
Essa solução pode ser encontrada utilizando um
programa matricial que forneça diversas representações
para a solução, ou substituindo no conjunto solução 6x
por o menor inteiro positivo 1, obtendo desta forma a
solução 

 1,
45
44,
45
11,
18
1,
45
22,
6
1 . De seguida divide-se a
solução obtida pela menor coordenada,


 18,
5
88,
5
22,1,
5
44,3 , e por fim multiplica-se por inteiros
positivos primos, por tentativas, de modo a encontrar-mos
a solução desejada. No nosso caso é fácil de ver que o
primo positivo desejado é o 5 e a solução pretendida( )90,88,22,5,44,15 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Uma grande parte da aplicação da matemática a
problemas científicos e práticos envolve modelos lineares;
por isso desde à algum tempo a esta parte se verifique a
importância de usar métodos de Álgebra Linear na
resolução de problemas de interesse dos cientistas e
engenheiros. Juntamente com o crescimento e avanço da
Álgebra Linear depara-se um crescimento proporcional por
parte do poder computacional. Isto deve-se à necessidade
de usar métodos de Álgebra Linear de uma maneira mais
eficaz e rápida. Tem-se verificado este paralelismo
principalmente desde 1949, ano em que o professor
catedrático de Harvard, Wassily Leontief, precisou de usar
um dos maiores computadores da época, Mark II, para
resolver um sistema de equações lineares de 49 equações
lineares e 49 incógnitas. 
Desde então pesquisadores de todo o mundo e de
diversas áreas têm usado o computador para analisar
métodos matemáticos. Dada a quantidade de dados que
intervêm nesses métodos, esses métodos são geralmente
lineares, isto é, são descritos por sistemas de equações
lineares. 
Hoje em dia, os cientistas e engenheiros trabalham em
problemas muito mais complexos do que no passado seria
possível, e de tal forma a Álgebra Linear tem destaque
fundamental. Além disso tem um valor bastante acentuado
para os alunos, em muitas áreas, como por exemplo na
área de Química. O exemplo seguinte tenciona mostrar
como a Álgebra Linear pode actuar como um instrumento
poderoso e necessário em cursos de Química, na aplicação
a problemas relacionados com tal. 
 
Todos os dias químicos de todo mundo, enfrentam o
problema do acerto de reacções químicas, tais como 
 
NOMnOOCrOPbOCrMnPbN +++→+ 23243826 . 
 
Podemos então, utilizar um método eficaz e seguro
para acertar esta equação. Associamos um vector em 
cujas coordenadas são o número de átomos de cad
5IR
a
molécula. Temos, então, os vectores ar( )0,0,0,6,1 p a
6PbN ; ara ; ar( 8,2,1,0, )0 p 3 p82OCrMn ( )4,0,0,0, a
43OPb
0,0,1,
; ara Cr ; ara e
ara . 
( )3,0,2,0,0 p
NO
32O ,0,0,( )20 p MnO,1 2( )0 p1,
Sendo os números de moléculas de cad621 ,...,, xxx a
tipo necessárias para equilibrar a equação dada, facilmente
se depreende que para encontrar tais valores, necessitamos
de resolver a equação vectorial 
 










+










+










+










=










+










1
0
0
1
0
2
1
0
0
0
3
0
2
0
0
4
0
0
0
3
8
2
1
0
0
0
0
0
6
1
654321 xxxxxx 
 
Assim como este exemplo existem muitos outros
problemas químicos, onde necessitamos de usar métodos
algébricos lineares, que com ou sem a ajuda
computacional, nos facilitam a sua resolução. 
 
 Francisco J. S. Miranda 
 Escola Superior de Tecnologia e Gestão 
 Instituto Politécnico de Viana do Castelo 
 fmiranda@estg.ipvc.pt