Lista de exercícios 4 - Física 3 - UVA

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4ª lista de exercícios de Física III: Equações de Maxwell 1º/2010 
“Para qualquer um que sinta motivação por algo além do estritamente prático, vale a pena 
entender as equações de Maxwell, simplesmente para o bem de sua alma.” (J.R. Pierce) 
 
1) Como são definidos os campos elétrico e magnético? 
2) Enuncie, formalize matematicamente e dê o significado 
físico das seguintes leis: (a) Lei de Gauss; (b) Lei de Gauss 
para o magnetismo; (c) Lei de Ampère; (d) Lei de Faraday. 
Que assimetrias podem ser identificadas nesse conjunto de 
leis? 
3) Obtenha a forma diferencial de cada uma das leis da 
questão anterior, usando: (a) as definições de divergência e 
de rotacional; (b) os teoremas de Stokes e de Gauss, a saber: 
∫∫∫ ⋅×∇=⋅
SC
AdFdF
rrr
l
rr
 e ∫∫∫∫∫ ⋅∇=⋅
VS
dVFAdF
rrrr 
4) Considere a equação da continuidade. (a) Enuncie, 
formalize matematicamente e dê o seu significado físico. 
(b) Obtenha sua forma diferencial. 
5) Mostre que a lei de Ampère é incompatível com a equação 
da continuidade e diga como Maxwell removeu essa 
incompatibilidade. 
6) Considere a lei de Ampère-Maxwell. (a) Enuncie, 
formalize matematicamente e dê o seu significado físico. 
(b) Obtenha sua forma diferencial. 
7) Defina corrente de deslocamento. A corrente de 
deslocamento representa algum fluxo de cargas? Então por 
que razão leva o nome “corrente”? 
8) Apresente uma situação real em que um campo magnético 
é produzido por um campo elétrico que varia com o tempo. 
9) Escreva as equações de Maxwell na forma integral e na 
forma diferencial. Que assimetria(s) ainda pode(m) ser 
observada(s) nessas equações? 
10) A partir das equações de Maxwell, deduza a equação da 
continuidade nas formas: (a) integral e (b) diferencial. 
11) É possível escolher um sistema de unidades no qual as 
constantes µo e εo são iguais a um. Escreva as equações de 
Maxwell neste sistema de unidades. 
12) Suponha que os monopolos magnéticos livres fossem 
detectados. Que alterações deveriam ser feitas nas equações 
de Maxwell, para incorporar essa descoberta? 
13) Numa região do espaço, o campo elétrico é dado, em 
unidades do SI, por E = 0,050 sen 2000 t. Calcule a amplitude 
da corrente de deslocamento através de uma superfície 
normal ao campo com 0,500 m2 de área. (443 pA) 
14) Um capacitor de placas paralelas, com capacitância C, 
está submetido a uma ddp variável V. (a) Mostre que a 
corrente de deslocamento é dada por id = CdV/dt. (b) A que 
taxa deve variar a ddp para que surja uma corrente de 
deslocamento de 1,0 A, em um capacitor de 1,0 µF? (1,0 MV/s) 
15) (Tipler) Um capacitor de placas planas e paralelas, vazio, 
possui placas circulares com 2,3 cm de raio, separadas por 
uma distância de 1,1 mm. Há um fluxo de carga elétrica de 
5,0 A, de uma das placas para a outra, através de um circuito 
externo. (a) Calcule dE/dt, a taxa de variação temporal do 
campo elétrico entre as placas. (b) Calcule a corrente de 
deslocamento entre as placas. (3,4·1014 V/m·s) 
16) Considere um capacitor de placas plano paralelas, de área 
A, sendo carregado. (a) Mostre que a corrente de 
deslocamento id é igual à corrente de condução i nos fios 
ligados ao capacitor. (b) Supondo a placa circular, com um raio 
de 5,0 cm, e o campo variando a uma taxa de 1,0 x 1012 V/m·s, 
calcule a corrente de deslocamento. (c) Qual o valor das 
correntes i e id quando o capacitor está carregado? (b: 70 mA) 
17) O campo elétrico entre as placas um capacitor de placas 
paralelas circulares de raio a varia a uma taxa dE/dt. O 
efeito bordas é insignificante. Determine o campo magnético 
induzido num ponto a uma distância r do centro do capacitor, 
nos casos: (a) r > a; (b) r > a. 
18) Suponha que um capacitor de placas paralelas circulares 
tenha um raio de 30 mm e que a separação entre as placas 
seja de 5,0 mm. Uma ddp senoidal com amplitude de 150 V e 
freqüência de 60 Hz é aplicada entre as placas. Despreze o 
efeito bordas e determine a amplitude do campo magnético 
induzido na periferia das placas. (1,9 pT) 
19) Um campo elétrico uniforme está variando a uma taxa de 
1,0 x 1010 V/m·s, exclusivamente em uma região cilíndrica, com 
2,0 cm de raio. Calcule o campo magnético em um ponto a uma 
distância r do eixo da região cilíndrica, nos casos em que r 
vale: (a) 1,0 cm; (b) 2,0 cm e (c) 3,0 cm. (556 pT, 1,11 nT, 742 pT) 
20) Por que é tão difícil mostrar que um campo elétrico 
variável com o tempo produz um campo magnético, sendo tão 
fácil mostrar que um campo magnético variável com o tempo 
produz um campo elétrico? 
21) Sabe-se que a equação da onda é 
2
2
2
2
t
Y
v
1Y
∂
∂
=∇ , sendo v 
a velocidade de propagação da onda. A exemplo do que fez 
James Clerk Maxwell, há pouco mais de cem anos, faça o que 
se pede: (a) Escreva as equações de Maxwell, na forma 
diferencial, para o vácuo (onde a densidade de carga e o vetor 
densidade de corrente são nulos). (b) Partindo da identidade 
F)F()F( 2
rrrrrrr
∇−⋅∇∇=×∇×∇ , mostre que os campos elétrico e 
magnético propagam-se, no vácuo, obedecendo às equações: 
2
2
oo
2
t
EE
∂
∂
εµ=∇
r
r
 e 
2
2
oo
2
t
BB
∂
∂
εµ=∇
r
r
. (c) Calcule o valor da 
velocidade de propagação dos campos elétrico e magnético, no 
vácuo, lembrando que µo = 4pi10-7 H/m e εo = 8,85 pF/m. 
Interprete o resultado obtido. 
OBS: Alguns anos após a predição teórica de Maxwell, 
Hertz produziu em laboratório as primeiras ondas 
eletromagnéticas. 
 
"Imagine o que ele sentiu quando verificou que as equações diferenciais por ele formuladas mostravam que 
as ondas eletromagnéticas propagavam-se com a velocidade da luz!" 
(Einstein, falando sobre Maxwell)