106033817 PROVA 1 Comentada numeros complexos

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E.E.E.P. ADRIANO NOBRE 
Avaliação de Matemática – 3° ano 
Conteúdo: Números Complexos 
Prof. Clairto Rocha 
 
Alun@:____________________________________________________n°:______turma:______ 
 
1.A potência (1 - i )16 equivale a: 
 
a) 8 b) 16 - 4i c) 16 - 16i d) 256 - 16i e) 256 
SOLUÇÃO 
(i + 1)2 = 2i. (1 - i )16 = 𝟏 + 𝒊 𝟐 𝟖 = 
 𝟐𝒊 𝟖 
𝟐𝟖 = 𝟐𝟓𝟔 
 𝒊𝟖 = 1 
 
2.O produto (5 + 7i) (3 - 2i) vale: 
 
a) 1 + 11i b) 1 + 31i c) 29 + 11i 
d) 29 - 11i e) 29 + 31i 
 
SOLUÇÃO 
(5 + 7i) (3 - 2i) = 15 – 10i + 21i – 14i² = 15 + 14 
+ 11i = 29 + 11i. 
3.(FAAP) Calcular o quociente: 
1+𝑖
2−𝑖
 
a) 
𝟏+𝟑𝒊
𝟓
 b) 1 + 3i c) 5 d)
3+𝑖
3
 e) nda 
SOLUÇÃO 
 
: 
𝟏+𝒊 (𝟐+𝒊)
𝟐−𝒊 (𝟐+𝒊)
=
𝟐+𝒊+𝟐𝒊+𝒊²
𝟒−𝒊²
=
𝟐−𝟏+𝟑𝒊
𝟒+𝟏
=
𝟏+𝟑𝒊 
𝟓
 
4.O número complexo 2z, tal que 5z + 𝒛 = 12 + 6i é: 
a) 3 + 4i b) 4 + 3i c) 4 d) 3i e) nda 
SOLUÇÃO 
z = a + bi; 5(a + bi) + a – bi = 12 + 6i 
 𝒛 = a – bi 5a + 5bi + a – bi = 12 + 6i 
6a + 4bi = 12 + 6i 
 
6a = 12 
a = 2 
4b = 6 
b = 3/2 
z = 2 + 3/2 . i 2z = 4 + 3i 
 
5.(UFV-MG) Dadas as alternativas abaixo 
I. i2 = 1 II. (i + 1)2 = 2i III. 4 + 3i = 5 
IV. (1 + 2i).(1 – 2i) = 5 pode-se dizer que 
 
 
 
a) todas as alternativas acima estão corretas 
b) todas as alternativas acima estão erradas 
c) as alternativas I e III estão erradas 
d) as alternativas II, III e IV estão corretas. 
e) as alternativas I e III estão corretas 
 
SOLUÇÃO 
 
 
I) Errada. I² = -1 
II) Correta (1 + i)² = 1 + 2i + i² = 2i 
III) Correta. O módulo de 4 + 3i é 
 𝟒𝟐 + 𝟑𝟐 = 𝟏𝟔 + 𝟗 = 5 
IV) Correta. (1 +2i)(1 – 2i) = 1 – 4i² = 5 
6.( UEPG - PR ) A forma trigonométrica do complexo 
z = -1 + i é dada por: 
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
[CR1] Comentário: Observe que i² = -1 
.multiplicado por -14 torna o numerom 
positivo. 
[CR2] Comentário: Não esqueça que 
na divisão de dois complexos, 
multiplicamos ambos os termos pelo 
conjugado do denominador 
SOLUÇÃO 
 𝒛 = −𝟏𝟐 + 𝟏𝟐 ; 𝒛 = 𝟐 
𝒔𝒆𝒏𝜶 = 
𝟏
 𝟐
= 
 𝟐
𝟐
 
𝒄𝒐𝒔𝜶 = 
−𝟏
 𝟐
= 
− 𝟐
𝟐
 
𝜶 = 𝟏𝟑𝟓° = 
 𝟓𝝅
𝟒
 
7.( UEL - PR ) Na figura abaixo, o ponto P é a imagem de 
um número complexo z, representado no plano de Gauss 
 Nessas condições, 
o módulo de z é igual a: 
a. 
b. 2 
c. 3 
d. 10 
e. 5 
SOLUÇÃO 
 
 𝒛 = −𝟒𝟐 + 𝟑𝟐 ; 𝒛 = 𝟐𝟓 = 5 
 
8.( USP - SP ) Na figura abaixo, o ponto P é a imagem do 
número complexo Z, no plano de Argand-Gauss. Então, Z é 
igual a: 
a. 1 + i 
b. + i 
c. 
d. 
e. 
 
 
 
SOLUÇÃO 
𝒔𝒆𝒏𝟑𝟎° = 
𝒃
𝟐
 
 
𝟏
𝟐
= 
𝒃
𝟐
 ... b = 1 
𝒄𝒐𝒔𝟑𝟎° = 
𝒂
𝟐
 
 𝟑
𝟐
= 
𝒂
𝟐
 ... = 𝟑 
 
𝒛 = 𝟑 + 𝒊 
 
9.( VUNESP - SP ) A expressão 
, onde i é a unidade imaginária dos complexos, é igual a: 
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 1 
SOLUÇÃO 
 
 𝒛 = +𝟏𝟐 ; 𝒛 = 𝟏 
 
𝒔𝒆𝒏𝜶 = 
 𝟐
𝟐
 
𝒄𝒐𝒔𝜶 = 
 𝟐
𝟐
 
 
𝜶 = 𝟒𝟓° 
[CR3] Comentário: O módulo é a 
distância entre a origem (0;0) e o afixo 
(-4;3). TEOREMA DE PITÁGORAS. 
𝒛𝟏𝟎𝟗 = 𝟏𝟏𝟎𝟗 𝒄𝒐𝒔 𝟏𝟎𝟗. 𝟒𝟓 + 𝒊𝒔𝒆𝒏 (𝟏𝟎𝟗. 𝟒𝟓) 
𝒛𝟏𝟎𝟗 = 𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝟒𝟗𝟎𝟓° + 𝒊𝒔𝒆𝒏 𝟒𝟗𝟎𝟓° 
 
𝒛𝟏𝟎𝟗 = 𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝟐𝟓° + 𝒊𝒔𝒆𝒏 𝟐𝟐𝟓° 
𝒛𝟏𝟎𝟗 = 𝟏 
− 𝟐
𝟐
+ 𝒔𝒆𝒏 
− 𝟐
𝟐
 
 
OBS ; 4905° = 13 VOLTAS COMPLETAS NO 
CIRCULO MAIS 225°, PORTANTO TÊM O 
MESMO SENO E COSSENO. 
 
10.( SANTOS - SP ) As 5 raízes quintas de z = 16 – 16i tem 
o mesmo módulo e seus argumentos formam uma PA cuja 
razão é: 
a) 60º b)120º c)204º d) 216º e)72º 
 
SOLUÇÃO 
 
A P.A TEM RAZÃO IGUAL A 360 DIVIDIDO 
PELO ÍNDICE DA RAIZ 
𝟑𝟔𝟎
𝟓
= 𝟕𝟐 
[CR4] Comentário: 1{ Lei de MOIVRE) 
Potenciação de complexos.