Cálculo avançado números complexos e equações diferenciais

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2019
1a Edição
CálCulo AvAnçAdo: 
números Complexos e 
equAções diferenCiAis
Profa. Jaqueline Luiza Horbach
Prof. Luiz Carlos Pitzer
Copyright © UNIASSELVI 2019
Elaboração:
Profa. Dra. Jaqueline Luiza Horbach
Prof. Me. Luiz Carlos Pitzer
Revisão, Diagramação e Produção:
Centro Universitário Leonardo da Vinci – UNIASSELVI
Ficha catalográfica elaborada na fonte pela Biblioteca Dante Alighieri 
UNIASSELVI – Indaial.
Impresso por:
H811c
 Horbach, Jaqueline Luiza
Cálculo avançado: números complexos e equações diferenciais. / Jaqueline 
Luiza Horbach; Luiz Carlos Pitzer. – Indaial: UNIASSELVI, 2019.
 217 p.; il.
 ISBN 978-85-515-0294-5
1. Cálculo avançado. – Brasil. 2. Números complexos. – Brasil. 
3. Equações diferenciais. – Brasil. I. Pitzer, Luiz Carlos II. Centro 
Universitário Leonardo Da Vinci.
CDD 515
III
ApresentAção
Prezado acadêmico! Bem-vindo à disciplina de Cálculo Avançado: 
Números Complexos e Equações Diferenciais. Neste livro iremos estender os 
assuntos que você já estudou nas disciplinas de Cálculo Diferencial e Integral 
e Equações Diferenciais. Este campo do conhecimento tem aplicabilidade em 
diversas áreas do conhecimento como em mecânica dos fluidos, eletrostática, 
entre outras. Você deve se sentir curioso e instigado a pesquisar outros 
materiais para relembrar e completar seu aprendizado. 
Este material está dividido em três unidades, que abordam situações 
envolvendo funções complexas e equações diferenciais. Na primeira unidade 
apresentaremos os conceitos introdutórios de funções complexas, iremos 
relembrar a definição de um número complexo e estudar as principais funções 
complexas e então desenvolveremos os conceitos de limites e continuidade 
de funções de uma varável complexa. 
Na Unidade 2 iremos continuar o estudo das funções complexas, 
entendendo o conceito de derivada e integral de funções complexas e com 
o auxílio desses conceitos definir funções analíticas, funções que possuem 
características e propriedades muito interessantes. 
Já na sequência, Unidade 3, iremos apresentar três métodos de 
resolução para equações diferenciais. 
 
Sabemos, acadêmico, que a disciplina de final de curso e você já 
deve saber que existem fatores importantes para o seu bom desempenho, 
mas sempre é bom relembrar alguns deles, como a disciplina, organização e 
um horário de estudos pré-definido, que são imprescindíveis para que você 
obtenha sucesso. Em sua caminhada acadêmica, você é quem faz a diferença. 
Como todo texto matemático, por vezes denso, você necessitará de papel, 
lápis, borracha, calculadora, muita concentração e dedicação. Aproveitando 
esta motivação vamos iniciar a leitura do livro. A melhoria constante deve 
ser o objetivo de todo acadêmico.
Esperamos, que ao final do estudo, você consiga notar a evolução do 
seu entendimento matemático, e consiga aplicar os conhecimentos na sua área 
de atuação. Desta forma, a disciplina pretende oportunizar a compreensão 
da construção dos conhecimentos aqui trabalhados e servir de subsídio para 
os conhecimentos subsequentes.
Bons estudos!
Profª. Dra. Jaqueline Luiza Horbach
Prof. Me. Luiz Carlos Pitzer
IV
Você já me conhece das outras disciplinas? Não? É calouro? Enfim, tanto 
para você que está chegando agora à UNIASSELVI quanto para você que já é veterano, há 
novidades em nosso material.
Na Educação a Distância, o livro impresso, entregue a todos os acadêmicos desde 2005, é 
o material base da disciplina. A partir de 2017, nossos livros estão de visual novo, com um 
formato mais prático, que cabe na bolsa e facilita a leitura. 
O conteúdo continua na íntegra, mas a estrutura interna foi aperfeiçoada com nova 
diagramação no texto, aproveitando ao máximo o espaço da página, o que também 
contribui para diminuir a extração de árvores para produção de folhas de papel, por exemplo.
Assim, a UNIASSELVI, preocupando-se com o impacto de nossas ações sobre o ambiente, 
apresenta também este livro no formato digital. Assim, você, acadêmico, tem a possibilidade 
de estudá-lo com versatilidade nas telas do celular, tablet ou computador. 
 
Eu mesmo, UNI, ganhei um novo layout, você me verá frequentemente e surgirei para 
apresentar dicas de vídeos e outras fontes de conhecimento que complementam o assunto 
em questão. 
Todos esses ajustes foram pensados a partir de relatos que recebemos nas pesquisas 
institucionais sobre os materiais impressos, para que você, nossa maior prioridade, possa 
continuar seus estudos com um material de qualidade.
Aproveito o momento para convidá-lo para um bate-papo sobre o Exame Nacional de 
Desempenho de Estudantes – ENADE. 
 
Bons estudos!
NOTA
V
VI
VII
UNIDADE 1 – FUNÇÕES DE VARIÁVEIS COMPLEXAS ............................................................. 1
TÓPICO 1 – NÚMEROS COMPLEXOS .............................................................................................. 3
1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................................................... 3
2 HISTÓRIA DOS NÚMEROS COMPLEXOS .................................................................................. 3
3 A UNIDADE IMAGINÁRIA .............................................................................................................. 6
4 FORMA ALGÉBRICA DOS NÚMEROS COMPLEXOS .............................................................. 8
5 OPERAÇÕES NA FORMA ALGÉBRICA ........................................................................................ 9
6 REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA ................................................................................................. 12
7 FORMA TRIGONOMÉTRICA OU POLAR DOS NÚMEROS COMPLEXOS ........................ 15
8 OPERAÇÕES NA FORMA TRIGONOMÉTRICA ........................................................................ 17
RESUMO DO TÓPICO 1........................................................................................................................ 24
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................. 26
TÓPICO 2 – FUNÇÕES ELEMENTARES COM VARIÁVEIS COMPLEXAS ............................. 27
1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................................................... 27
2 FUNÇÕES POLINOMIAIS E RACIONAIS .................................................................................... 27
3 FUNÇÕES EXPONENCIAIS E TRIGONOMÉTRICAS ............................................................... 32
3.1 FUNÇÃO EXPONENCIAL ........................................................................................................... 33
3.2 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS ............................................................................................... 36
4 FUNÇÕES HIPERBÓLICAS .............................................................................................................. 38
RESUMO DO TÓPICO 2........................................................................................................................ 46
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................. 47
TÓPICO 3 – LIMITE E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES COMPLEXAS ................................... 49
1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................................................... 49
2 LIMITE DE FUNÇÕES COMPLEXAS .............................................................................................. 49
3 CONTINUIDADE DE FUNÇÕES COMPLEXAS .......................................................................... 53
LEITURA COMPLEMENTAR ............................................................................................................... 55
RESUMO DO TÓPICO 3........................................................................................................................66
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................. 68
UNIDADE 2 – OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM ......................................................................... 69
TÓPICO 1 – DERIVADAS DE FUNÇÕES COMPLEXAS ............................................................... 71
1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................................................... 71
2 DERIVADA DE FUNÇÕES COMPLEXAS ...................................................................................... 71
3 EQUAÇÕES DE CAUCHY-RIEMANN ............................................................................................ 77
4 FUNÇÕES ANALÍTICAS ................................................................................................................... 83
RESUMO DO TÓPICO 1........................................................................................................................ 86
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................. 88
sumário
VIII
TÓPICO 2 – INTEGRAL DE FUNÇÕES ANALÍTICAS . ..............................................................91
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................91
2 PARAMETRIZAÇÃO DE CURVAS NO PLANO REAL .............................................................91
3 CURVAS NO PLANO COMPLEXO ................................................................................................95
4 INTEGRAÇÃO ....................................................................................................................................103
4.1 INTEGRAL DEFINIDA .................................................................................................................103
4.2 INTEGRAL DE CAMINHO .........................................................................................................105
5 TEOREMA DE CAUCHY-GOURSAT ............................................................................................112
RESUMO DO TÓPICO 2......................................................................................................................114
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................116
TÓPICO 3 – FUNÇÕES HARMÔNICAS ..........................................................................................119
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................119
2 FÓRMULAS INTEGRAIS DE CAUCHY .......................................................................................119
3 FUNÇÕES HARMÔNICAS .............................................................................................................122
LEITURA COMPLEMENTAR .............................................................................................................128
RESUMO DO TÓPICO 3......................................................................................................................137
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................138
UNIDADE 3 – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ...................................................................................139
TÓPICO 1 – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS – RESOLUÇÕES .......................................................141
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................141
2 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ...........................................................................................................142
3 SOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ...................................................................144
4 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM .............................................................147
5 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES DE SEGUNDA ORDEM .......................................150
RESUMO DO TÓPICO 1......................................................................................................................153
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................154
TÓPICO 2 – SÉRIE DE POTÊNCIA ...................................................................................................155
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................155
2 SÉRIE DE POTÊNCIA ......................................................................................................................155
3 SÉRIES DE TAYLOR E MACLAURIN ..........................................................................................161
4 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ..........................................................................................................162
RESUMO DO TÓPICO 2......................................................................................................................168
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................169
TÓPICO 3 – SÉRIE DE FOURIER.......................................................................................................171
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................171
2 SÉRIE DE FOURIER ...........................................................................................................................171
3 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ..........................................................................................................182
RESUMO DO TÓPICO 3......................................................................................................................189
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................190
TÓPICO 4 – TRANSFORMAÇÃO DE LAPLACE ..........................................................................193
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................193
2 TRANSFORMADA DE LAPLACE ..................................................................................................193
3 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ..........................................................................................................200
LEITURA COMPLEMENTAR .............................................................................................................203
RESUMO DO TÓPICO 4......................................................................................................................214
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................215
REFERÊNCIAS .......................................................................................................................................217
1
UNIDADE 1
FUNÇÕES DE VARIÁVEIS 
COMPLEXAS
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
PLANO DE ESTUDOS
A partir do estudo desta unidade, você será capaz de:
• definir números complexos;
• definir funções de variáveis complexas;
• relacionar números complexos com funções trigonométricas hiperbólicas;
• definir e calcular limite de funções complexas;
• verificar a continuidade de funções complexas.
Esta unidade está dividida em três tópicos. No final de cada um deles, você 
encontrará atividades com o objetivo de reforçar o conteúdo apresentado.TÓPICO 1 – NÚMEROS COMPLEXOS
TÓPICO 2 – FUNÇÕES ELEMENTARES COM VARIÁVEIS COMPLEXAS
TÓPICO 3 – LIMITE E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES COMPLEXAS
2
3
TÓPICO 1
UNIDADE 1
NÚMEROS COMPLEXOS
1 INTRODUÇÃO
Neste primeiro momento queremos recordar um assunto comumente 
estudado no ensino médio e que será importante para o desenvolvimento dos 
próximos tópicos, o estudo dos números complexos. Mesmo que a existência dos 
números complexos já tenha sido provada a muito tempo, eles continuam sendo 
estranhos para nós, já que eles não têm uma relação tão óbvia com o mundo real 
como os números reais.
Iniciaremos nossos estudos dos números complexos falando da parte 
histórica do seu surgimento e daremos continuidade com o desenvolvimento 
algébrico e sua representação gráfica. Veremos que os números complexos 
surgiram de uma aplicação indireta do nosso dia a dia e iremos perceber que os 
números complexos têm uma relação muito íntima com o plano cartesiano.
Caro acadêmico! Vamos, então, dar início aos estudos deste material, que 
trará uma contribuição significativa para você, nos estudos matemáticos.
2 HISTÓRIA DOS NÚMEROS COMPLEXOS
Algumas pessoas acreditam que o surgimento dos números complexos 
se deu nos estudos das equações algébricas de segundo grau. Todavia, esta 
afirmação, segundo historiadores, está equivocada. Quando resolvida a equação 
e não encontrada solução real, simplesmente admitiam que não havia solução, 
pois sempre buscavam uma solução possível para o problema real.
O surgimento dos números complexos está vinculado à resolução de 
problemas algébricos de terceiro grau. Tudo começa com um matemático italiano 
chamado Niccolo Fontana, que também é muito conhecido como Tartaglia.
UNIDADE 1 | FUNÇÕES DE VARIÁVEIS COMPLEXAS
4
FIGURA 1 – MATEMÁTICO ITALIANO NICCOLO FONTANA 
FONTE: <https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/0b/Niccol%C3%B2_Tartaglia.jpg>. 
Acesso em: 1 out. 2018
A demonstração pode ser vista em: 
<https://rrgoncalez.wordpress.com/2012/09/08/deducao-da-formula-de-tartaglia-ferro-
cardano/>.
NOTA
Tartaglia desenvolveu um método que resolvia equações do 3º grau do tipo:
x3 + px + q = 0, com p e q números reais.
A fórmula pode ser observada a seguir:
2 3 2 3
3 q q p q q px = - + + + - - +
2 4 27 2 4 27
3
TÓPICO 1 | NÚMEROS COMPLEXOS
5
FIGURA 2 – MATEMÁTICO GIROLAMO CARDANO E SEU LIVRO “ARS MAGNA”
FONTE: <https://en.wikipedia.org/wiki/Gerolamo_Cardano#/media/File:Jer%C3%B4me_Cardan.
jpg> e <https://en.wikipedia.org/wiki/Ars_Magna_(Gerolamo_Cardano)#/media/File:ArsMagna.
jpg>. Acesso em: 1 out. 2018.
O problema é que Cardano não obteve avanço nesse assunto, pois não 
conseguia dar significado à fórmula quando encontrava uma situação como a da 
equação a seguir:
x3 - 15x -4 = 0.
Pois ao colocar os dados da equação na fórmula, obtinha: 
3 3x = 2+ -121 + 2 - -121.
Isso não fazia sentido, pois mesmo sabendo que 4 era solução, a fórmula 
se mostrava ineficiente pelas raízes quadradas negativas. Entretanto, Rafael 
Bombelli, que foi um discípulo de Cardano, conseguiu resolver este problema, 
resolvendo a equação pelo caminho inverso. Apesar do sucesso de Bombelli, o 
método inverso não era simples, pois contava com vários artifícios algébricos. 
UNIDADE 1 | FUNÇÕES DE VARIÁVEIS COMPLEXAS
6
3 A UNIDADE IMAGINÁRIA
Cerca de 200 anos depois de Bombelli e Cardano, em 1777, o suíço Leonard 
Euler contribuiu com o tratamento dos números complexos, dando uma decisiva 
definição. Ele atribuiu a letra i para representar 1- , que tem por consequência:
i2 = - 1.
A esta representação, damos o nome de unidade imaginária.
FIGURA 3 – MATEMÁTICO LEONARDO EULER 
FONTE: <https://micro.magnet.fsu.edu/optics/timeline/people/euler.html>. Acesso em: 1 out. 2018.
Como consequência das demais potências da unidade imaginária, 
podemos perceber que estas são cíclicas. Veja alguns exemplos:
( )
( ) ( )
( )
( )
0
2
 i
 i
 i
 i i.i i i
 i i i
 i i i i i
 i i i
 i i i i i
1
2
3
4 2 2
5 4
6 4 2
7 6
1
1
1
1
1 1 1
1
1 1 1
1
=
=
= -
= = - = -
= = - - =
= = =
= = - = -
= = - = -








.
. .
. .
. .
. .
 
 1
 2
 3
i
i i
i
i i
0 1
1
=
=
= -
= -
 4
 5
 6
 7
i
i i
i
i i
1
1
=
=
= -
= -
TÓPICO 1 | NÚMEROS COMPLEXOS
7
Perceba que os valores possuem um ciclo que se repete de 4 em 4. Desta 
forma, podemos resolver as potências da unidade imaginária com números 
inteiros, utilizando as propriedades de potenciação para números reais e do fato 
que i 2 = -1 ou de que i 4 = 1. Vejamos um exemplo:
Exemplo: qual é o valor de i357.
Resolução: para resolver esse exemplo, vamos apresentar dois métodos. 
Método 1: utilizando do fato que i 2 = -1. Perceba que 357 pode ser escrito como:
357 = 2 . 178 + 1.
Logo
i 357 = i 2.178+1
= i 2.178 .i1
= (i2)178.i
= (-1)178.i
= (+1).i
= i.
Perceba que nesta ideia devemos representar a potência como sendo o 
produto do número dois com o seu consequente, pois, cairemos sempre em uma 
potência com (-1).
Método 2: utilizando do fato que i4 = 1. Perceba que 357 pode ser escrito como:
357 = 4 .89 + 1
Logo
i 357= i4.89+1
= i 4.89. i1
= (i4)89. i
= 189. i
= i.
De uma forma resumida, basta dividir a potência por 4 e utilizar o resto da 
divisão para expressar a potência da unidade imaginária, porém vale a observação 
de que podemos resolver o mesmo problema de outras formas, mas que ambas 
recaíram em potências com os números 1 ou -1.
Com a definição da unidade imaginária, podemos determinar agora a raiz 
quadrada de um número negativo, o que até então não fazia sentido. Além disso, 
qualquer raiz com índice par e radicando negativo possui resolução. Vejamos 
dois exemplos de resoluções de equações quadráticas, que até os estudos dos 
números reais, não havia solução.
Exemplo: resolva a equação x2 + 64 = 0.
Resolução: seguindo o passo a passo a seguir: 
UNIDADE 1 | FUNÇÕES DE VARIÁVEIS COMPLEXAS
8
x2 + 64 = 0.
x2 = - 64. 
x = ± √-64.
x = ± √64.(-1).
x = ± √64 . √-1.
x = ± 8i.
Portanto, a solução deste problema é s = {8i, - 8i}.
Exemplo: resolva a equação x2 - 6x +10 = 0
Resolução: utilizando da fórmula geral para equações quadráticas, 
teremos:
( ) ( )
b b ac x
a
x
 x
 x
i x
 x i
2
2
4
2
6 6 4 1 10
2 1
6 36 40
2
6 4
2
6 4
2
3 2
- ± -
=
- - ± - -
=
± -
=
± -
=
±
=
= ±
. .
.
Portanto, a solução deste problema é s = {3 + 2i,3 - 2i}.
4 FORMA ALGÉBRICA DOS NÚMEROS COMPLEXOS
Note que, no exemplo anterior, as raízes da equação quadrática apareceram 
em um formato curioso, composto de uma parte real e outra parte um número também 
real multiplicando a unidade imaginária. A esta forma de representar números, 
chamaremos de conjunto dos números complexos e denotaremos por  este conjunto.
Utilizando a letra z para representar um número complexo, denominamos 
de forma algébrica todo número com a seguinte característica, z = a + bi, em que a, 
b ∈  e i representa a unidade imaginária. O coeficiente a é denominado de parte 
real e que pode ser denotado por R e (z), enquanto e o coeficiente b é denominado 
de parte imaginária do número complexo e que pode ser denotado por Im(z).
Perceba que como a e b podem assumir qualquer número real, o conjunto 
dos números complexos contém o conjunto dos números reais: 
⊂  .
TÓPICO 1 | NÚMEROS COMPLEXOS
9
O conjunto dos números reais está contido no conjunto dos números 
complexos.
UNI
Veja alguns exemplos na tabela a seguir, de números complexos separados 
pela parte real e imaginária.
TABELA 1 – EXEMPLO DE NÚMEROS COMPLEXOS COM SUA PARTE REAL E IMAGINÁRIA
Número 
Complexo Parte Real
Parte 
Imaginária
z = 2 + 3i 2 3
w = -4 -4 0
m = -5i 0 -5
FONTE: Os autores
Para números cujo valor da parte real for zero, chamaremos de imaginário 
puro. Para que dois números complexos sejam considerados iguais, tanto a parte 
real quanto a parte imaginária devem ser iguais.
5 OPERAÇÕES NA FORMA ALGÉBRICA
O procedimento para operar comos números complexos na forma 
algébrica é igual às operações realizadas com números reais, apenas tendo o 
cuidado das potências da unidade imaginária. No caso da soma (ou subtração) 
de z = a + bi com w = c + di, o procedimento decorre da seguinte forma:
z + w = (a+c) + (b+d) i
Assim, para realizar a soma de dois números complexos, basta juntar as 
partes reais e as partes imaginárias. Todas as propriedades podem ser verificadas:
a) Comutatividade 
z + w = w + z
UNIDADE 1 | FUNÇÕES DE VARIÁVEIS COMPLEXAS
10
b) Associatividade
( z + w) + m = z + (w + m)
c) Existência de elemento neutro
z + (0 + 0i) = z
d) Existência do elemento simétrico
z + (-z) = (0 + 0i) = 0
A representação -z representa o oposto do número complexo, basta invertermos 
os seus sinais, da parte real e da parte imaginária.
NOTA
A subtração não precisa ser definida, pois basta realizar o oposto do 
número complexo para torná-la uma soma. Para a multiplicação, o procedimento 
acontece de forma análoga ao realizado em binômios multiplicados, onde 
realizamos a distributividade. Sendo z = a + bi e w = c + di, a multiplicação fica, 
então, assim definida:
z . w = (a + bi) (c + di) = ac + adi + bci + bdi 2
Como i2 = -1, então:
z . w = (ac - bd) + (ad + bc) i.
Propriedades válidas:
a) Comutatividade
z.w = w.z
b) Associatividade
(z . w) . m = z .(w. m)
c) Existência de elemento neutro
z . (1 + 0i) = z
TÓPICO 1 | NÚMEROS COMPLEXOS
11
d) Existência de elemento inverso ou inverso multiplicativo
( )z i
z
. = + =1 1 0 1
Exemplo: Seja z = 4 - i, w = 2i e m = - 2 - 3i, determine:
a) z + w - m
b) w + z . m
Resolução a): 
z + w - m = 4 - i + 2i - (-2 - 3i)
 = 4 - i + 2i + 2 + 3i
= 6 + 4i.
Resolução b):
w + z . m = 2i + (4 - i) . (-2 -3i)
 = 2i - 8 -12i + 2i +3i2
 = 2i - 8 - 12i + 2i - 3
= -11 -8i.
Para resolver divisões entre números complexos, utilizaremos de uma 
estratégia algébrica que possui o nome de conjugado. Seja um número complexo 
z = a + bi, chamaremos e representaremos o conjugado de z por z a bi= - .
Exemplo: seja z = 4 - 2i, w = 5i e m = -2, determine o conjugado de cada um:
Resolução:
z = 4 - 2i ⇒ z = 4 + 2i
w = 5i w = -5i
m = -2 m = - 2.
⇒
⇒
É intuitivo perceber que para determinar o conjugado de um número 
complexo, basta trocar o sinal da parte imaginária.
Nas operações com conjugados, são válidas as seguintes propriedades:
a) 
( ) ( )nn
z w z w
z z
z w z w
z z
. .=
=
+ = +
b) 
c) 
d) 
UNIDADE 1 | FUNÇÕES DE VARIÁVEIS COMPLEXAS
12
e) Se z é real, então z z=
Como já comentado, o conjugado de um número complexo tem um papel 
importante para resolver divisões. O fato decorre, pois, sempre que multiplicamos 
um número complexo pelo seu conjugado, obtemos um número real:
( ) ( ) 2 2z . z = a + bi . a - bi = a + b .
 
Deste modo, para resolver uma divisão que apresente a parte imaginária, 
basta multiplicar o numerador e denominador da divisão pelo conjugado do 
denominador.
Exemplo: seja z = 2 - 3i e w = 1 + 2i, determine a divisão de z por w:
Resolução:
z i 
w i
i i
i i
i i i 
i 
i 
2
2 2
2 3
1 2
2 3 1 2.
1 2 1 2
2 4 3 6
1 2
4 7
5
4 7 .
5 5
-
=
+
 -   - 
=    + -   
- - +
=
+
- -
=
= - -
Para a operação de potenciação, poderíamos aplicar na forma de 
multiplicações sucessivas, porém nem sempre será conveniente, logo, para estes 
casos não convenientes e para determinação de raízes de números complexos, 
veremos um método mais eficiente no decorrer deste tópico.
6 REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA
Os números complexos possuem uma representação geométrica semelhante 
ao plano cartesiano. A diferença é que em vez de termos os eixos ortogonais 
chamados de abscissa e ordenada, teremos respectivamente, um eixo real e outro 
imaginário. O nome dado ao plano complexo é Plano de Argand-Gauss.
Todo número complexo na forma z = a + bi, pode se associar a um ponto 
no Plano de Argand-Gauss pelas coordenadas z = (a,b). A este ponto chamamos 
de imagem ou afixo de z.
TÓPICO 1 | NÚMEROS COMPLEXOS
13
GRÁFICO 1 – PLANO DE ARGAND-GAUSS
FONTE: Os autores
Como base na representação geométrica, surgem dois importantes 
conceitos, que são o módulo e o argumento do número complexo. No caso do 
módulo, este tem uma interpretação bem simples, compreende a distância da 
origem do Plano de Argand-Gauss até o afixo do número complexo. Normalmente 
é denotado por z ou pela letra grega ρ (rô).
GRÁFICO 2 – PLANO DE ARGAND-GAUSS
FONTE: Os autores
Para determinar o módulo, basta perceber pela ilustração anterior, que 
surge um triângulo retângulo. Então, basta utilizar o Teorema de Pitágoras para 
determinar uma expressão para o módulo
a b2 2 .ρ = +
b
Re (z)
z = (a, b)
a
ρ
lm(z) 
b
Re (z)a
z = (a, b)
lm(z) 
UNIDADE 1 | FUNÇÕES DE VARIÁVEIS COMPLEXAS
14
Exemplo: determine o módulo do número complexo z = 4 - 6i.
Resolução: sendo a = 4 e b = -6
( )
 a b
 
 
 
2 2
224 6
16 36
52
2 13
ρ = +
= + -
= +
=
=
Com uma definição tão elementar quanto a do módulo, o argumento 
compreende o arco delimitado pelo eixo real positivo ao segmento que une o 
afixo à origem do plano no sentido anti-horário. Denotaremos o argumento pela 
letra grega θ (teta).
GRÁFICO 3 – PLANO DE ARGAND-GAUSS
b
θ
Re (z)
z = (a, b)
Im (z)
a
ρ
FONTE: Os autores 
Utilizando as razões trigonométricas seno, cosseno e tangente, podemos 
montar as seguintes expressões:
b a bsin cos tan 
a
.θ θ θ
ρ ρ
= = =
Normalmente, o argumento está representado em radiano ou em graus. 
Cabe ao leitor, por assuntos já estudados, ser capaz de operar com as duas 
unidades angulares.
Exemplo: determine o argumento do número complexo z = - 2 + 2i.
TÓPICO 1 | NÚMEROS COMPLEXOS
15
FONTE: Os autores 
Resolução: como a = - 2 e b = 2 é intuitivo perceber que a localização do 
afixo de z é no 2º quadrante.
GRÁFICO 4 – PLANO DE ARGAND-GAUSS
θ
Re (z)-2
z = (-2, 2)
Im (z)
2
ρ
Para não precisar determinar o módulo, utilizaremos a razão trigonométrica 
da tangente.
b
a
2tan 1.
2
θ = = = -
-
Quais são as menores determinações de arcos, cujo valor da tangente 
corresponde a -1?
Ou é o arco de 135° ou 315°, porém como o afixo apresenta-se no 2º 
quadrante, podemos concluir que o argumento é:
rad3135 .
4
πθ = ° =
7 FORMA TRIGONOMÉTRICA OU POLAR DOS NÚMEROS 
COMPLEXOS
Uma forma muito importante para representar os números complexos 
é a trigonométrica ou polar. Para compreendermos como esta representação 
está definida, recordaremos alguns pontos considerados no item estudado 
anteriormente:
UNIDADE 1 | FUNÇÕES DE VARIÁVEIS COMPLEXAS
16
b bsin .sinθ ρ θ
ρ
= ⇒ =
e
a acos .cos .θ ρ θ
ρ
= ⇒ =
Trocando as duas considerações na forma algébrica, temos:
( )
 z a bi
z i
z i
 z cis
.cos . .sin
. cos .sin
. .
ρ θ ρ θ
ρ θ θ
ρ θ
= +
= +
= +
=
Esta representação é o que chamamos de forma trigonométrica ou 
polar. Nesta representação, as operações de multiplicação, divisão, potenciação 
e radiciação ficam mais simples de realizar. Antes de começarmos a mostrar 
como realizar tais operações, vejamos um exemplo que transforma um número 
complexo na forma algébrica para a trigonométrica.
Exemplo: determine a forma trigonométrica do número complexo 
z i1 3= - .
Resolução: para determinar a forma trigonométrica, devemos determinar 
o módulo e o argumento do número complexo. Como a = 1 e b 3= - é intuitivo 
perceber que a localização do afixo de z é no 4º quadrante. Então, utilizaremos a 
razão trigonométrica da tangente.
b
a
3tan 3.
1
θ -= = = -
Para tangente ser 3- no quarto quadrante, o argumento deve ser:
rad5300 .
3
πθ = ° =
O módulo terá valor correspondendo a:
( )
 a b
 
 
2 2
2
21 3
1 3
2.
ρ = +
= + -
= +
=
TÓPICO 1 | NÚMEROS COMPLEXOS
17
Portanto, a representação trigonométrica será:
z i
 z cis
5 52. cos .sin
3 3
52. .
3
π π
π
 
= + 
 
 
=  
 
Em casos em que for necessário realizaro processo contrário 
(trigonométrico para algébrico), basta determinar os valores de seno e cosseno e 
realizar a distributiva do módulo.
8 OPERAÇÕES NA FORMA TRIGONOMÉTRICA
Para realizar as operações de multiplicação, divisão, potenciação e 
radiciação, a forma trigonométrica mostra-se bem útil. A simplicidade se dá 
nas operações que devem ser feitas, transformando multiplicações em somas, 
divisões em subtrações, potenciações em multiplicações e radiciações em divisões, 
semelhante ao que acontece com as funções logarítmicas.
Utilizaremos, para as considerações a seguir, dois números complexos:
( )
( )
z i
z i
1 1 1 1
2 2 2 2
. cos .sin
. cos .sin
ρ θ θ
ρ θ θ
= +
= +
• Multiplicação:
( ) ( )
( )
( )
( )
z z i i
 i i i
 i
 i
1 2 1 1 1 2 2 2
2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
. . cos .sin . . cos .sin
. . cos .cos cos . .sin .sin .cos .sin .sin
. . cos .cos sin .sin . sin .cos cos .sin
. . cos .s
ρ θ θ ρ θ θ
ρ ρ θ θ θ θ θ θ θ θ
ρ ρ θ θ θ θ θ θ θ θ
ρ ρ θ θ
= + +
= + + +
 = - + + 
= + + ( )1 2in .θ θ + 
Podemos generalizar a multiplicação para:
( ) ( )nz z n . n i n1 1 1 1... ... cos ... .sin ... .ρ ρ θ θ θ θ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ + + + + + 
cosseno da soma de dois arcos seno da soma de dois arcos
UNIDADE 1 | FUNÇÕES DE VARIÁVEIS COMPLEXAS
18
• Divisão:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
iz
z i
i i
 
i i
i i
 
i
 
1 1 11
2 2 2 2
1 1 2 21
2 2 2 2 2
2
1 1 2 1 1 2 1 2
2 2
2 2 2
1 2 11
2
. cos .sin
. cos .sin
cos .sin cos .sin
. .
cos .sin cos .sin
cos .cos .cos .sin .cos .sin .sin
.
cos sin
cos .cos .cos .s
.
ρ θ θ
ρ θ θ
θ θ θ θρ
ρ θ θ θ θ
ρ θ θ θ θ θ θ θ
ρ θ θ
θ θ θρ
ρ
+
=
+
+ -
=
+ -
- -
=
+
-
=
( )
( ) ( )
i i
 i
2
2 1 2 1 2
2 2 2
2
1
1 2 1 2
2
in . sin .cos .sin .sin
cos sin
. cos .sin .
θ θ θ θ θ
θ θ
ρ
θ θ θ θ
ρ
+ -
+
 = - + - 
Algumas considerações importantes que podemos perceber sobre as 
operações na forma trigonométrica é que no caso da multiplicação de números 
complexos, basta multiplicar os módulos e somar os argumentos e, de forma 
análoga, na divisão, dividir os módulos e subtrair os argumentos. Em uma visão 
geométrica, a multiplicação e divisão podem ser compreendidas como a rotação 
do número complexo que está sendo operado pelo outro e a ampliação ou a 
redução do seu módulo (homotetia). Veja, no exemplo a seguir, o vetor z sendo 
multiplicado pelo vetor w.
cosseno da diferença de dois arcos | seno da diferença de dois arcos
igual a 1
GRÁFICO 5 – REPRESENTAÇÃO DA MULTIPLICAÇÃO DE DOIS NÚMEROS COMPLEXOS 
w
θ
θ
Re (z)
z . w
z
Im (z)
FONTE: Os autores
TÓPICO 1 | NÚMEROS COMPLEXOS
19
Perceba que z rotacionou θ (o argumento de w) e alterou o seu módulo.
DICAS
• Potenciação:
A fórmula que será apresentada é atribuída ao matemático francês 
Abraham de Moivre (1667-1754), chamada de 1ª Fórmula de Moivre. Utilizando 
recursivamente da multiplicação:
( ) ( )nz z n . n i n1 1 1 1... ... cos ... .sin ... .ρ ρ θ θ θ θ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ + + + + + 
Caso todos os números complexos sejam os mesmos, teremos:
( ) ( )z z . i... ... cos ... .sin ...ρ ρ θ θ θ θ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ + + + + + 
 
( ) ( )n nz . n i ncos . .sin . .ρ θ θ = + 
A demonstração pode ser feita utilizando indução matemática.
• Raízes complexas
Antes de determinarmos uma fórmula para as raízes dos números 
complexos, vamos considerar a seguinte colocação:
“para todo z ∈ , existe um w ∈ tal que zn = w com n∈ , n > 1”.
Sendo:
( )
( )
z i
w r i
. cos .sin
. cos .sin
ρ θ θ
α α
= +
= +
n vezes n vezes n vezes n vezes
UNIDADE 1 | FUNÇÕES DE VARIÁVEIS COMPLEXAS
20
Perceba que zn = w está implicando 
nz= w .
NOTA
Então:
( ) ( ) ( ). cos .sin . cos .sin .
n
n
z w
n i n r iρ θ θ α α
=
 + = + 
O que implica:
2 .2 . , .
n rr r
kn k k
n
ρ ρ
α πθ α π θ
= ⇒ =
+
= + ∈ ⇒ =
Quando atribuímos a expressão 2 .kπ , estamos considerando todos os 
arcos possíveis.
DICAS
Assim:
2 . 2 .. cos .sin .
n n
n
k
z w z w
k kz r i
n n
α π α π
= ⇒ =
  +   + 
= +    
    
Perceba que cada zk proporcionará uma raiz, porém haverá apenas n 
raízes, como pode ser notado a seguir.
Para k = 0
0
2 .0 2 .0. cos .sinnz r i
n n
α π α π  +   + 
= +    
    
TÓPICO 1 | NÚMEROS COMPLEXOS
21
0 . cos .sin .
nz r i
n n
α α    
= +    
    
Para k = 1
1
1
2 .1 2 .1. cos .sin
2 2. cos .sin .
n
n
z r i
n n
z r i
n n
α π α π
α π α π
  +   + 
= +    
    
  +   + 
= +    
    
Repetindo o processo n vezes. 
Para k = n
n
n
n
n
n nz r i
n n
z r i
n n
2 . 2 .. cos .sin
. cos 2 .sin 2 .
α π α π
α απ π
  +   + 
= +    
    
    
= + + +    
    
Note que em k = n, o argumento é congruente ao k = 0. Portanto, de 0 até n - 1, 
haverá n raízes. Fica então estabelecido que para um certo ( ). cos .sinz iρ θ θ= + , 
a n z fica determinado por:
{ }2 . 2 .. cos .sin , 0,1,..., 1 .n nk
k kz z i k n
n n
θ π θ πρ
  +   + 
= = + ∈ -    
    
Esta fórmula é conhecida como a 2ª Fórmula de Moivre.
Exemplo: determine a raiz quarta do número complexo:
z i16. cos .sin .
3 3
π π 
= + 
 
Resolução: utilizando da 2ª Fórmula de Moivre, temos que
{ }4 4
2 . 2 .
3 316. cos .sin , 0,1,2,3 .
4 4k
k k
z z i k
π ππ π
    
+ +    
= = + ∈    
            
UNIDADE 1 | FUNÇÕES DE VARIÁVEIS COMPLEXAS
22
Para k = 0
0
0
2 .0 2 .0
3 32. cos .sin
4 4
2 cos .sin .
12 12
z i
z i
π ππ π
π π
    
+ +    
= +    
            
    
= +    
    
Para k = 1
1
1
1
2 .1 2 .1
3 32. cos .sin
4 4
7 72 cos .sin
3 3
4 4
7 72 cos .sin .
12 12
z i
z i
z i
π ππ π
π π
π π
    
+ +    
= +    
            
    
    
= +    
            
    
= +    
    
Para k = 2
2
2
2
2 .2 2 .2
3 32. cos .sin
4 4
13 132 cos .sin
3 3
4 4
13 132 cos .sin .
12 12
z i
z i
z i
π ππ π
π π
π π
    
+ +    
= +    
            
    
    
= +    
            
    
= +    
    
TÓPICO 1 | NÚMEROS COMPLEXOS
23
Para k = 3
3
3
3
2 .3 2 .3
3 32. cos .sin
4 4
19 192 cos .sin
3 3
4 4
19 192 cos .sin .
12 12
z i
z i
z i
π ππ π
π π
π π
    
+ +    
= +    
            
    
    
= +    
            
    
= +    
    
Portanto, o conjunto solução na forma trigonométrica será:
2. cos .sin ,
12 12
7 72. cos .sin ,
12 12
13 132. cos .sin ,
12 12
19 192. cos .sin
12 12
i
i
s
i
i
π π
π π
π π
π π
     
+     
     
      +         =  
     +          
     
+     
     
24
Neste tópico, você estudou que:
• A unidade imaginária é definida por 1i = - e i2 = -1.
• As potências sobre a unidade imaginária acontecem de forma cíclica, variando 
entre 1, i, -1 e -i. 
• Os números complexos na forma algébrica possuem a seguinte característica, z 
= a + bi, em que a, b ∈  e i representam a unidade imaginária. O coeficiente a é 
denominado de parte real e denotado por Re(z), e o coeficiente b é denominado 
de parte imaginária e será denotado por Im(z).
• Valem as seguintes igualdades:
i0 = 1 i4 = 1
i1 = i i5 = i
i2 = -1 i6 = -1
i3 = -i i7 = -i
• As operações de soma, subtração, multiplicação e potenciação na forma 
algébrica procedem da mesma forma que a das operações entre binômios, 
cuidando apenas da potência da unidade imaginária.
• O Plano de Argand-Gauss é o plano em que representamos os números 
complexos com um eixo horizontal dos reais e vertical da parte imaginária.• Com a representação no Plano de Argand-Gauss:
o Os afixos (pontos) representam a posição do número complexo neste espaço.
o A distância do afixo até a origem chamamos de módulo. ( )z ou ρ .
2 2a bρ = +
o O arco delimitado pelo eixo real positivo ao segmento que une o afixo à 
origem do plano no sentido anti-horário chamamos de argumento. (θ)
sin cos tanb a b 
a
θ θ θ
ρ ρ
= = =
RESUMO DO TÓPICO 1
25
• A representação trigonométrica ou polar é determinada por:
( ). cos .sin
.
z i
 z cis
ρ θ θ
ρ θ
= +
=
• As operações na forma trigonométricas ficaram assim definidas:
 o Multiplicação
( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2. . . cos .sin .z z iρ ρ θ θ θ θ = + + + 
 o Divisão
( ) ( )1 1 1 2 1 2
2 2
. cos .sin .
z
i
z
ρ
θ θ θ θ
ρ
 = - + - 
 o Potenciação
( ) ( ). cos . .sin . .n nz n i nρ θ θ = + 
 o Radiciação
{ }2 . 2 .. cos .sin , 0,1,..., 1 .n nn
k kz z i k n
n n
θ π θ πρ
  +   + 
= = + ∈ -    
    
26
Acadêmico! O processo de entendimento total do conteúdo finaliza 
aqui. Utilize estas questões para realmente absorver os conteúdos explorados 
neste tópico. Bom estudo!
1 Determine as raízes da função f:  ∈  definida por f (x) = x2 + 4x + 5.
2 A forma algébrica do complexo: z = 3 




 +
6
7.
6
7cos ππ seni é? 
3 O inverso do número complexo z = 2 + i é?
4 Determine o número complexo z tal que: z = 3i97 + 2i75 + 9i18.
5 A forma trigonométrica (ou polar) do número complexo ( )2
1
1
i
i
-
+
 
tem 
argumento (em graus e radinhos) igual a?
6 Se m(cos θ + i sen θ) = 1 + i, e 0 πθ 2≤≤ , então os valores respectivos de m e 
θ (em radianos) são?
7 Calcule o número complexo: i126 + i-126 + i31 - i180 .
8 Considere, z1 = – 3 + 3i e z2=4 + 2i A representação polar de 1 2z z+ é?
9 A forma algébrica do complexo, z = 2 ⋅ 




 +
6
7.
6
7cos ππ seni , é?
10 Da questão 2, determine na forma trigonométrica z20.
11 Determine a raiz cúbica do número complexo:
3 327. cos .sin .
4 4
z iπ π = + 
 
AUTOATIVIDADE
27
TÓPICO 2
FUNÇÕES ELEMENTARES COM VARIÁVEIS 
COMPLEXAS
UNIDADE 1
1 INTRODUÇÃO
Caro acadêmico, agora que já relembramos o que são números complexos e 
suas principais propriedades, vamos estender nosso conhecimento apresentando 
algumas funções complexas. As funções que estudaremos são funções conhecidas, 
porém o domínio dessas funções serão os números complexos e não os números 
reais, como estamos acostumados. No final desse tópico iremos introduzir 
funções novas e que só fazem sentido no contexto dos números complexos, são as 
funções trigonométricas hiperbólicas. No Tópico 3 vamos trabalhar com limites 
e continuidades de funções complexas, por isso é importante que você entenda 
muito bem todas as funções trabalhadas neste tópico, elas serão a base para o 
estudo do Tópico 3.
2 FUNÇÕES POLINOMIAIS E RACIONAIS
Neste primeiro subtópico iremos abordar funções elementares mais 
simples, funções a que já estamos acostumados, mas agora com domínio de 
definição os números complexos.
Sempre que estivermos falando de funções complexas, iremos usar a 
seguinte notação
 
f: 

 → 
z  f (z)
mesmo que a função tenha como imagem um número real. 
Como no tópico anterior aprendemos a somar, subtrair, multiplicar 
e dividir números complexos, então faz sentido operarmos com os números 
complexos, mesmo que um deles seja variável, assim temos algumas funções 
preliminares, com z ∈  a variável complexa:
 
UNIDADE 1 | FUNÇÕES DE VARIÁVEIS COMPLEXAS
28
1) Função constante: f (z) = a, a ∈  .
2) Função translação: f(z) = z + a, a ∈  .
3) Função rotação: f (z) = az, a ∈ 

.
4) Função n-ésima potência: f(z) = zn, n ∈ 

.
5) Função inversão: ( ) 1f z
z
= , com z ≠ 0.
Neste subtópico vamos estudar funções complexas que são combinações 
das anteriores.
Lembre-se de que quando começamos a estudar funções, primeiro 
aprendemos o que são funções constantes, funções afim, funções quadráticas e 
polinômios de grau n. Aqui nosso primeiro passo é entender o que é uma função 
constante no contexto dos números complexos. 
Seja a0 ∈  , dizemos que f (z) = a0 é uma função constante.
São exemplos de funções constantes:
a) f (z) = 2i 
b) f (z) = 3 - i 
Você pode observar que, independentemente do valor de z que 
considerarmos, o valor da função continua o mesmo. 
Vamos agora definir uma função polinomial de primeiro grau, dados a0 e 
a1 números complexos, dizemos que uma função polinomial complexa é da forma 
f (z) = a1z + a0
Um exemplo de função polinomial complexa do primeiro grau é f (z) =(2 
+ i)z - 7 - i . 
Vamos calcular o valor numérico da função f (z) =(2 + i)z + 7 - i em alguns 
pontos. No ponto z = 1 + i, temos que 
f (1 + i) = (2 + i)(1 + i) -7 -i
= 2 + 2i + i + i2 - 7 - i
= - 5 + 2 i + i2
= - 5 + 2i - 1 = - 6 + 2i.
No ponto z = 3 - i
f (3 - i) = (2 + i)(3 - i) - 7 - i
= 6 - 2i + 3i - i2 - 7 - i
= - 1 - i2
= - 1 + 1 = 0.
Como o valor numérico de f no ponto z = 3 - i é igual a zero, dizemos que 
z = 3 - i é raiz da função f.
TÓPICO 2 | FUNÇÕES ELEMENTARES COM VARIÁVEIS COMPLEXAS
29
Também podemos definir a parte real e parte imaginária de função 
complexa, da mesma maneira que de números complexos, no caso da função f(z) 
= (2 + i)z - 7 - i como z = x + iy podemos reescrever 
f (z) = (2 + i)(x + iy) - 7 - i
= 2x + 2yi + xi + i2y - 7 - i
= (2x - y - 7) + (2y + x - 1) i.
Portanto, a parte real da função f (z) é Re f (z) = 2x - y - 7 e a parte imaginária 
da função f(z) é Im f (z) = 2y + x -1.
Análogo ao que foi feito para polinômios reais, considere os números 
complexos a0, a1,..., an definimos o polinômio f:  de grau n da seguinte 
forma f (z) = anzn + an-1zn-1 + ... + a1z + a0 com z ∈  , ou seja, z = x + iy e x, y ∈ . Os 
números complexos a0,a1,...,an são chamados de coeficientes do polinômio f.
Quando estudamos funções, queremos e precisamos operar essas 
funções, usando as ideias de funções reais e as propriedades de adição, subtração, 
multiplicação e divisão de números complexos, podemos somar, subtrair, 
multiplicar e dividir funções complexas. 
Exemplo: considere os polinômios f (z) = z2 + 3iz + 4 - 3i e g(z) = 4z3 + (4 + i)
z2 + 2iz , calcule f + g, f - g e f . g.
Resolução: vamos calcular f + g
f(x) + g(x) = (z2 + 3iz + 4 - 3i) + (4z3 + (4 + i) z2 + 2iz)
= 4z3 + (1 + (4 + i)) z2 + (3i + 2i) z + 4 -3i
= 4z3 + (5 + i)z2 + 5iz + 4 -3i.
Agora, vamos calcular f - g
f(x) - g(x) = (z2 + 3iz + 4 - 3i) - (4z3 + (4 + i) z2 + 2iz)
= -4z3 + (1 - (4 + i)) z2 + (3i - 2i) z + 4 -3i
= 4z3 + (-3 + i)z2 + iz + 4 -3i.
E por último calcular f . g
f(x) . g(x) = (z2 + 3iz + 4 - 3i) . (4z3 + (4 + i) z2 + 2iz)
= z2 . 4z3 + z2.(4 + i) z2 + z2.2iz + 3iz . 4z3 + 3iz . (4 + i)z2 + 3iz . 2iz
+ 4 . 4z3 + 4 . (4 + i)z2 + 4 . 2iz - 3i . 4z3 - 3i . (4 + i)z2 - 3i . 2iz
=4z5 + (4 + i)z4 + 2iz3 + 12iz4 + (12i - 3) z3 - 6z2
+16z3 + (16 + 4i)z2 + 8iz - 12iz3 - (12i - 3) z2 + 6z 
=4z5 + (4 + i + 12i) z4 + (2i + 12i - 3 + 16 -12i)z3 + (- 6 + 16 + 4i - 12i + 3)z2 + (8i + 6)z 
=4z5 + (4 + 13i) z4 + (13 + 2i)z3 + (13 - 8i)z2 + (6 + 8i) z.
UNIDADE 1 | FUNÇÕES DE VARIÁVEIS COMPLEXAS
30
Para calcular a divisão de polinômios complexos, vamos usar o método 
da chave. 
Exemplo: considere os polinômios f(z) = 4z3 + (4 - 1) z2 + 2iz e g(x) = z2 + 2i, 
calcule f ÷ g.
Resolução: usando o método da chave, temos 
( )
( )
( ) ( )
z i z iz 
 z z 
 i z iz
 i z + i 
 iz i
3 2
3 3
2
2
4 4 2
4 4
4 8
4 2 8
6 2 8
+ - +
- -
- -
- - +
- + +
 
Com o auxílio dos polinômios complexos definidos no subtópico anterior, 
podemos agora definir o que são funções racionais complexas. Dados dois 
polinômios complexos g(z) e h(z), uma função é racional complexa é dada por 
( ) ( )( ) ,
g z
f z
h z
= desde que h (z) ≠ 0.
Exemplo: calcule o valor numérico, quando z = 2 - i, da função racional
( ) .
1
z if z
z
-
=
+
Resolução: substituindo z = 2- i na função, temos ( ) 2 2 22 .2 1 3
i i if i
i i
- - -
- = =
- + - 
Multiplicando no denominador e numerador pelo conjugado de 3 - i, 
temos que ( ) 2 2 3 6 2 6 2 8 4 42 . .
3 3 9 1 10 5
i i i i i if i
i i
- + + + + - -
- = = = =
- + +
Outra operação que podemos fazer com funções é compor duas funções. 
A mesma definição para funções reais vale para funções complexas. Dadas as 
funções complexas f: 

 → 

 e g: 

 → 

, definimos a composição de f com g 
da seguinte maneira:
f ° g (z) = f (g(z))
aqui é imprescindível que o domínio da função g seja igual à imagem de f 
para a definição ser verdadeira.
Exemplo: Calcule a f ° g e g ° f se f (z) = z2 + 3 - i e g (z) = z - i.
( )
2 2
4 4
z i
z i
+
+ -
TÓPICO 2 | FUNÇÕES ELEMENTARES COM VARIÁVEIS COMPLEXAS
31
Resolução: Note que 
f ° g (z) = f (g(z)) = f(z - i)
= (z - i)2 + 3 - i
= z2 - 2zi + 1 + 3 - i
= z2 - 2iz + 4 - i
e 
g ° f (z) = g (f(z)) = g(z2 + 3 - i)
= (z2 + 3 - i) - i
= z2 + 3 - 2i.
Você já deve ter percebido que fazer operações com funções complexas 
é igual a operar funções reais, o único cuidado que precisamos ter é com os 
números complexos que compõem a função complexa. Para as próximas funções 
complexas, podemos usar as operações de soma, subtração, multiplicação, 
divisão e composição, como já conhecemos das funções reais, quando não for 
igual, iremos apresentar a maneira de fazer.
Em relação às raízes de polinômios complexos, podemos afirmar que todo 
polinômio complexo de grau n tem no máximo n raízes complexas. E ainda mais, 
todo polinômio complexo de grau maior ou igual a 1 tem pelo menos uma raiz 
complexa, essa última afirmação é conhecida como o Teorema Fundamental da 
Álgebra, porém mostrar que essa afirmação é verdadeira não é tão simples, ela 
utiliza propriedades de funções complexas que ainda não estudamos. Você também 
irá perceber que encontrar as raízes de polinômios complexos pode ser trabalhoso.
Entendemos agora que o conjunto dos números complexos é um conjunto maior 
que os números reais e que contém todos números reais ( ⊂  ), com isso concluímos 
que os números complexos podem ser de três formas 
z = a + bi, z = bi e z = a 
 
com a e b números reais diferentes de zero.
ATENCAO
UNIDADE 1 | FUNÇÕES DE VARIÁVEIS COMPLEXAS
32
3 FUNÇÕES EXPONENCIAIS E TRIGONOMÉTRICAS
Pode parecer estranho colocarmos, como título deste subtópico, funções 
exponenciais e trigonométricas, já que quando falamos de funções exponenciais 
e trigonométricas reais não encontramos relação alguma entre elas, porém 
quando trabalhamos com números reais, essas duas funções estão intimamente 
interligadas. Essa relação é chamada de Fórmula de Euler.
Leonhard Paul Euler foi um matemático e físico suíço do século XVIII, que 
contribuiu com várias áreas da matemática, como o cálculo e a teoria dos grafos.
NOTA
Iremos apresentar aqui a dedução da Fórmula de Euler, porém 
precisaremos de definições que usam séries de potência que iremos estudar 
melhor na Unidade 3. Existem definições diferentes para funções exponencial, 
seno e cosseno, uma delas é através de série de potência. Note que a série de 
potência que define a função exponencial tem todas as potências para x
2 3 4
1 ...
2! 3! 4!
x x x xe x= + + + + +
já a função cosseno só tem as potências pares
( )
2 4 6
cos 1 ...
2! 4! 6!
x x xx = - + + +
e a função seno só tem as potências ímpares
( )
3 5 7
...
3! 5! 7 !
x x xsen x x= - + + +
 
Observe que se calcularmos o valor de eix para x ∈  teremos a seguinte 
série de potência 
TÓPICO 2 | FUNÇÕES ELEMENTARES COM VARIÁVEIS COMPLEXAS
33
( ) ( ) ( )2 3 4
2 3 4 5
2 4 3 5
1 ...
2! 3! 4!
1 ...
2! 3! 4! 5!
1 ... ... .
2! 4! 3! 5!
ix
ix
ix
ix ix ix
 e ix
x x x x e ix i i
x x x xe i x
= + + + + +
= + - - + + -
   
= - + - + - + -   
   
Assim, podemos concluir a Fórmula de Euler eix = cos(x) + i sen(x).
Note que se x = π, temos cos(π) = 1 e sen (π) = 0 e a fórmula de Euler se reduz 
a eiπ = 1 + i . 0 ou eiπ = 1 ou eiπ - 1 = 0.
A última identidade é a identidade de Euler, mais conhecida, já que em uma mesma igualdade 
temos alguns dos números mais importantes da matemática 0, 1, e, π e i.
ATENCAO
Agora que já encontramos uma relação entre as funções exponencial, seno 
e cosseno, vamos estudar como elas se comportam quando trocamos a variável 
real por uma variável complexa.
3.1 FUNÇÃO EXPONENCIAL 
Considere a variável z = x + iy, tal que x e y são reais. Então ez = ex eiy usando 
a Fórmula de Euler, temos que ez = ex(cos(y) + isen (y)).
Portanto a função exponencial complexa é definida por ez = ex(cos(y) + 
isen (y)) com x = Real(z) e y = Im(z).
Propriedade: o módulo de ez ez é ex com z = x + iy.
Demonstração: vamos calcular o módulo de ez
( ) ( )( ) ( ) ( )cos . cos .z x xe e y isen y e y isen y= + = +
Como ex > 0 para todo x ∈ , temos que 
x xe e= e ainda, 
( ) ( ) ( ) ( )2 2cos cos 1 1.y isen y y sen y+ = + = =
UNIDADE 1 | FUNÇÕES DE VARIÁVEIS COMPLEXAS
34
Portanto, .z xe e=
Propriedade: para todo número complexo z, temos que .z ze e=
Demonstração: para provar essa propriedade basta usar a definição 
( ) ( )( ) ( ) ( )( )cos cosz x xe e y isen y e y isen y= + = -
e 
( ) ( )( ) ( ) ( )( )cos cosx iyz x xe e e y isen y e y isen y-= = - + - = -
pois, ( ) ( )cos cosy y- = e ( ) ( ) .sen y sen y- = -
As relações cos(y) e sen(-y) = -sen(y) seguem diretamente do fato de a função 
cosseno ser par e a função seno ser ímpar. Caso você não se lembre destas propriedades, 
reveja os livros de Cálculo Diferencial e Integral.
IMPORTANT
E
As propriedades de potenciação no caso real continuam valendo para 
variáveis complexas. 
Propriedade: Para todo z e w números complexos e n um número inteiro, 
temos que 
a) ez+w = ez ew.
b) (ez)n = enz.
c) 1z ze e
- = .
d) 
z
z w
w
e e
e
-= .
Lembre-se de que no subtópico anterior escrevemos um número complexo 
na forma trigonométrica, ou seja, se z = a + ib na forma algébrica, a forma 
trigonométrica de z é ( ) ( )( )z isencos ,ρ θ θ= + com a b2 2ρ = + o módulo de z 
e barctg
a
θ  =  
 
 o argumento de z. Podemos verificar que a forma trigonométrica 
de um número complexo é muito similar à fórmula de Euler, ainda mais observe 
que como θ ∈ ℝ, temos que eiθ = cis(θ) = cos(θ) + isen(θ).
TÓPICO 2 | FUNÇÕES ELEMENTARES COM VARIÁVEIS COMPLEXAS
35
E, portanto, podemos reescrever o número complexo z numa terceira 
forma, a forma exponencial iz e θρ= .
Exemplo: escreva o número complexo z = 2 - 2i na forma exponencial.
Resolução: como a = 2 e b = -2, temos que ( )222 2 8 2 2ρ = + - = =
e ( )arctg arctg ou2 3 71
2 4 4
π πθ  - = = - = 
 
como o número z está no quarto 
quadrante, concluímos que 
7 .
4
πθ =
 Portanto, a forma exponencial do número complexo z = 2 - 2i é 
i piz e 72 2 .
4
=
Agora que temos o número complexo escrito na forma exponencial, 
podemos definir a função logaritmo com variáveis complexas da seguinte maneira: 
( ) ( )ln z ln iρ θ= + desde que 0 2θ π≤ < . 
Os logaritmos com base e podem ser representados simplesmente por ln, 
chamados de logaritmos naturais ou logaritmos neperianos. No caso do logaritmo complexo 
ln(z), este pode ser definido como a função inversa de f(z) = exp(z).
NOTA
E valem as seguintes propriedades: 
a) eln(z) = z
b) ln (z . w) = ln(z) + ln(w)
c) ln(z÷w) = ln(z) - ln(w)
d) ln(zn) = nln(z)
Exemplo: dados z = 2 - 2i e w = 2i, verifique que valem as igualdades da 
propriedade acima. 
Resolução: verificaremos aqui apenas que o item b) é válido, deixamos a 
cargo do leitor verificar as demais seguindo o modelo apresentado. 
UNIDADE 1 | FUNÇÕES DE VARIÁVEIS COMPLEXAS
36
Sabemos que o modulo e o argumento de z são: 
 e 1 1
72 2
4
πρ θ= =
e o modulo e o argumento de w são: 
 e 1 22 2
πρ θ= =
e ainda que 
z w i sen
 z w i sen
 z w i sen
7 7. 2 2.2 cos
4 2 4 2
9 9. 4 2 cos
4 4
. 4 2 cos
4 4
π π π π
π π
π π
    
= + + +    
    
    = +    
    
    
= +    
    
já que 9 2 .
4 2
π ππ= + Então vale a igualdade ln(z.w) = ln(z) + ln(w)
( ) ( ) ( )i i i7ln 4 2 ln 2 2 ln 24 4 2
π π π
+ = + + + usando as propriedades 
de logaritmos vale a igualdade, já que ( ) ( ) ( )ln 2 2 ln 2 ln 4 2+ = e 
7 9 2 .
4 2 4 2
π π π ππ+ = = +
3.2 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
Usando a Fórmula de Euler, podemos também definir as funções cosseno 
e seno e como consequência definimos as demais funções trigonométricas. 
A Fórmula de Euler nos garante que, para todo x ∈  temos que 
eix = cos(x) + isen(x) (1) 
e usando o fato de que a função cosseno é par e a função seno é ímpar, 
concluímos que 
e-ix = cos(x) - isen(x) (2)
TÓPICO 2 | FUNÇÕES ELEMENTARES COM VARIÁVEIS COMPLEXAS
37
Perceba que se somarmos a igualdade (1) com a (2) encontramos 
2 cos(x) = eix + e-ix
Portanto, podemos definir a função cosseno com variável real usando a 
função exponencial complexa da seguinte forma: 
( )
ix ixe excos
2
-+
=
Agora se subtrairmos a igualdade (2) da (1), temos 
2isen(x) = eix - e-ix
Portanto, podemos definir a função seno com variáveis reais usando a 
função exponencial complexa da seguinte forma: 
( )
ix ixe esen x
i2
--
=
Como a função exponencial está definida para todo z ∈ 

, podemos 
estender a definição das funções seno e cosseno acima para todo z ∈ 

. 
Definição: dado z ∈ ℂ definimos as funções seno e cosseno como abaixo 
( ) ( )
iz iz iz ize e e ez e sen z
i
cos
2 2
- -+ -
= =
Sabemos que as funções reais seno e cosseno têm período igual a 2π, o mesmo 
acontece com as funções complexas, como podemos ver no exemplo a seguir.
Exemplo: verifique que as funções cosseno e seno complexas têm período 
igual a 2π.
Resolução: para verificarmos que seno tem período igual a 2π, temos que 
mostrar que sen(z + 2π) = sen(z).
 
Note que 
( )
( ) ( )i z i z
iz i iz i
e esen z
i
e e 
i
2 2
2 2
2
2
2
π π
π π
π
+ - +
+ - -
-
+ =
-
=
UNIDADE 1 | FUNÇÕES DE VARIÁVEIS COMPLEXAS
38
Como z = x + iy, temos que 
( )
( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )( )
y i x y i x
y y
e esen z
i
e x isen x e x isen x
i
2 2
2
2
cos 2 2 cos 2 2
2
π π
π
π π π π
- + + - - +
- -
-
+ =
+ + - + - +
=
usando a propriedade de que o cosseno e o seno têm período de 2π, ou 
seja, cos (x + 2π) = cos(x) e sen (x + 2π ) = sen(x), concluímos que:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )
( )
y y
y ix y ix
iz iz
e x isen x e x isen x
sen z
i
e e 
i
e e sen z
i
cos cos
2
2
2
2
π
- -
- + - -
-
- -
+ =
-
=
-
= =
Deixamos a cargo do leitor verificar que cosseno complexo tem período igual 
a 2π, você deve proceder igual ao exemplo anterior e mostrar que 
cos (z + 2π) = cos(z).
DICAS
4 FUNÇÕES HIPERBÓLICAS 
Para definir as funções hiperbólicas, recordaremos como as funções 
trigonométricas estão representadas na circunferência. No caso do seno e cosseno, 
o valor correspondente a eles pode ser determinado, respectivamente, pela 
projeção ortogonal de um ponto na circunferência nos eixos vertical e horizontal.
Como a circunferência é definida com raio igual a um, o comprimento dos 
segmentos com origem no plano até o ponto da projeção ortogonal determina os 
valores das razões trigonométricas: seno e cosseno, para um determinado ângulo. 
Além disso, é possível determinar a principal identidade trigonométrica com 
senos e cossenos e perceber a igualdade das razões em certos arcos.
TÓPICO 2 | FUNÇÕES ELEMENTARES COM VARIÁVEIS COMPLEXAS
39
GRÁFICO 6 – REPRESENTAÇÃO DO CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO
α
cos α
sin α
FONTE: Os autores
FONTE: Os autores
Desta forma, como apresentamos, devemos determinar um certo ângulo 
α para conseguir definir os senos e cossenos. Há outra forma de abordar este 
valor α. Observando a mesma ilustração feita anteriormente, podemos perceber 
que há um setor circular, delimitado pelo eixo positivo do cosseno com a reta 
que proporciona o ângulo α, como podemos observar na ilustração a seguir. Se 
calcularmos a área delimitada por este setor, teríamos:
rA
2
.
2
α= em radianos.
Trocando r = 1, A .
2
α
=
GRÁFICO 7 – REPRESENTAÇÃO DO CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO COM ÁREA
α = 2A
Área
α
cos α
sin α
UNIDADE 1 | FUNÇÕES DE VARIÁVEIS COMPLEXAS
40
Então, é como se estivéssemos determinando os senos e cossenos pelo 
dobro da área delimitada mencionada. Diante desta perspectiva geométrica, 
iniciaremos o estudo das funções hiperbólicas. O pensamento nas hiperbólicas é 
análogo, contudo, no lugar na circunferência unitária, teremos uma hipérbole na 
forma de:
x2 - y2 = 1.
Na visão geométrica, seguindo a analogia realizada na circunferência 
que utiliza o princípio da área para ser estabelecida, analisaremos apenas o 
ramo direito, pois nele é possível ter todos os números reais (áreas positivas e 
negativas). Observe a ilustração a seguir:
GRÁFICO 8 – REPRESENTAÇÃO HIPERBÓLICA DO COSSENO E SENO HIPERBÓLICO
cosh α
1O
P
sinh α
α/2
Seno Hiperbólico 
senh α
Cosseno Hiperbólico
cosh α
FONTE: Os autores
O segmento OP , juntamente com a hipérbole, delimita uma área que 
está pintada na ilustração anterior. Esta área tem o mesmo princípio idealizado 
na circunferência que, ao dobrar este valor, estamos determinando os senos e 
cossenos hiperbólicos. Para o eixo horizontal, a distância do ponto O até a projeção 
do ponto P determina os cossenos hiperbólicos e analogamente temos no eixo 
vertical o seno hiperbólico.
Ainda sobre a ilustração anterior, caso o ponto P se desloque para baixo do 
eixo horizontal, teremos áreas negativas, o que implica existirem valores de senos e 
cossenos hiperbólicos para todos os números reais. Caso P estiver acima do eixo, os 
valores para seno e cosseno hiperbólicos serão positivos e quando abaixo do eixo, 
o cosseno se manterá positivo enquanto que o seno será negativo. Este fato mostra 
que o cosseno hiperbólico é uma função par e o seno, uma função ímpar. 
TÓPICO 2 | FUNÇÕES ELEMENTARES COM VARIÁVEIS COMPLEXAS
41
FONTE: Os autores
De forma algébrica, as funções hiperbólicas são obtidas pela combinação das 
funções ex e e-x. 
Definição: no caso da função seno hiperbólico, é uma função definida 
f: 

 → 

 dada por:
( ) ( )
x xe ef x senh x
2
--
= =
A representação gráfica da função seno hiperbólico pode ser obtida pela 
combinação das funções que a compõem, apresentando a seguinte característica:
GRÁFICO 9 – GRÁFICO DA FUNÇÃO SENO HIPERBÓLICO 
Definição: a função cosseno hiperbólico está definida g: 

 → [1,+∞) dada 
por:
( ) ( )
x xe ef x xcosh .
2
-+
= =
A sua representação gráfica é desenvolvida de forma análoga à do seno 
hiperbólico, pela combinação das duas funções que a compõem:
f (x) = senh (x)
1
2
21-1
-1
-2
-2
( )
xeg x
2
=
( )
xeh x
2
-
= -
0
UNIDADE 1 | FUNÇÕES DE VARIÁVEIS COMPLEXAS
42
GRÁFICO 10 – REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DA FUNÇÃO COSSENO HIPERBÓLICO
f (x) = cosh (x)
2
2
3
3
1
1
-1
-1
-2-3
( )
xeg x
2
= ( )
xeh x
2
-
= -
0
FONTE: Os autores
A partir da definição destas duas funções hiperbólicas, podemos definir 
todas as outras.
Definição: Função Tangente Hiperbólica, f: 

 →,(-1,1) dada por:
( ) ( )( )
x x
x x
senh x e ex
x e e
tanh
cosh
-
-
-
= =
+
Definição: Função Cossecante Hiperbólica, g: 

 - {0} → 

 - {0} , dada por:
( ) ( ) x xx senh x e e
1 2cossech .
-
= =
-
Definição: Função Secante Hiperbólica, f: 

 →,(0,1], dada por:
( ) ( ) x xx x e e
1 2sech .
cosh -
= =
+
Definição: Função Cotangente Hiperbólica, g: 

 - {0} →(-∞,1) u (1, + ∞), 
dada por:
( ) ( )( )
x x
x x
x e eco x
senh x e e
cosh
tanh .
-
-
+
= =
-
TÓPICO 2 | FUNÇÕES ELEMENTARES COM VARIÁVEIS COMPLEXAS
43
Exemplo: determine o valor de:
a) cosh(0)
b) senh(ln2)
Resolução: para responder aos dois itens, basta aplicar o valor na definição 
de cada função.
Item a)
( )
( )
( )
( )
x xe ex
e e
 
 
0 0
cosh
2
cosh 0
2
1 1cosh 0
2
cosh 0 1.
-
-
+
=+
=
+
=
=
Item b)
( )
( )
( )
( )
( )
x xe e senh x
e e senh
e
e senh
 senh
 senh
ln 2 ln 2
ln 2
ln 2
2
ln 2
2
1
ln 2
2
12
2ln 2
2
3ln 2 .
4
-
-
-
=
-
=
-
=
-
=
=
Lembre-se das propriedades dos logaritmos a^(log_a(b)) = b.
ATENCAO
UNIDADE 1 | FUNÇÕES DE VARIÁVEIS COMPLEXAS
44
A seguir, exibiremos algumas identidades envolvendo as funções 
hiperbólicas:
(I) - cosh (-x) = cosh(x).
(II) - senh(-x) = - senh(x).
(III) - cosh2(x) - senh2(x) = 1.
(IV) - cosh(x) + senh(x) = ex.
(V) - cosh (x) - senh(x) = e-x.
(VI) - 1-tanh2(x) = sech2(x).
(VII) - 1 - cotanh2(x) = - cossech2(x).
(VIII) - senh(x+y) = senh(x) . cosh(y) + cosh(x) . senh(y).
(IX) - cosh(x + y) = cosh(x) . cosh(y) + senh(x) . senh(y).
A demonstração destas identidades é bem elementar, basta nas primeiras 
substituir pela definição da função e nas demais, trocar por sua correspondência 
trigonométrica ou algébrica. Veja uma destas demonstrações:
Iremos apenas mostrar o item (VI) que:
1 - tanh2(x) = sech2(x).
Como:
( ) ( )( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
x x x
x x
x x x
2 2 2
2 2
2 2 2
sinh cosh sinh 11 tanh 1 sech .
cosh cosh cosh
-
- = - = = =
Logo, a propriedade é válida.
Uma aplicação muito importante das funções hiperbólicas aparece nos 
movimentos vibratórios dentro de sólidos elásticos e em problemas nos quais 
a energia mecânica é gradualmente absorvida pelo ambiente. Um exemplo 
interessante é aplicado em um cabo (flexível e homogêneo) suspenso por dois 
pontos, como os fios elétricos ligados aos postes.
FIGURA 4 – CABO (FLEXÍVEL E HOMOGÊNEO) SUSPENSO POR DOIS PONTOS
FONTE: Os autores
TÓPICO 2 | FUNÇÕES ELEMENTARES COM VARIÁVEIS COMPLEXAS
45
Galileu Galilei propôs a conjectura de que a curva fosse uma parábola, 
porém, hoje sabemos que esta curva possui o nome de catenária e que com os 
estudos de Johann Bernoulli, em 1691, mostrou que a equação da catenária á dada 
pela função hiperbólica
xy a
a
.cosh . =  
 
De forma similar ao que foi desenvolvido com funções seno e cosseno 
reais, podemos definir o que são funções seno e cosseno hiperbólicas com 
variáveis complexas. 
 
Definição: no caso da função Seno Hiperbólico complexo, é uma função 
definida f : 

 → 

 dada por:
( ) ( )
z ze ef z senh z .
2
--
= =
Definição: a função Cosseno Hiperbólico complexas está definida f : 

 → 

dada por:
( ) ( )
z ze ef z zcosh .
2
-+
= =
As demais funções hiperbólicas podem ser definidas para uma variável 
complexa de forma similar ao que foi feito acima. 
46
RESUMO DO TÓPICO 2
Neste tópico, você aprendeu que:
• Podemos definir funções com variáveis complexas: 
o Função polinomial complexa e suas propriedades.
o Função racional complexa.
o Função exponencial complexa.
o Função logaritmos complexas.
o Funções trigonométricas complexas. 
• Para definir a função exponencial complexa, usamos a Fórmula de Euler 
 eix = cos(x) + i sen(x).
• Podemos relacionar as funções seno, cosseno com a área do setor formado pelo 
ângulo dentro do círculo trigonométrico e, seguindo essa lógica, definir o que 
são funções hiperbólicas reais e complexas.
• A definição de funções hiperbólica complexa é
 
( )
( )
( ) ( )( )
z z
z z
z z
z z
e esenh z
e ecosh z
senh z e ez
z e e
2
2
tanh
cosh
-
-
-
-
-
=
+
=
-
= =
+
• Existem várias identidades envolvendo as funções hiperbólicas:
(I) - cosh (-x) = cosh(x).
(II) - senh(-x) = - senh(x).
(III) - cosh2(x) - senh2(x) = 1.
(IV) - cosh(x) + senh(x) = ex.
(V) - cosh (x) - senh(x) = e-x.
(VI) - 1-tanh2(x) = sech2(x).
(VII) - 1 - cotanh2(x) = - cossech2(x).
(VIII) - senh(x+y) = senh(x) . cosh(y) + cosh(x) . senh(y).
(IX) - cosh(x + y) = cosh(x) . cosh(y) + senh(x) . senh(y).
47
Acadêmico! O processo de entendimento total do conteúdo finaliza 
aqui. Utilize estas questões para realmente absorver os conteúdos explorados 
neste tópico. Bom estudo!
1 Calcule o valor da função f(z) = x2 + x2y2 - i(y2x + y3) nos pontos dados: 
a) z = (x, y) = (2,3) 
b) z = 2 + 4i 
c) z = 5i 
d) z = 3 
2 Determine a parte real e a parte imaginária das funções complexas: 
a) f(z) = 2iz + 6z
 
b) f(z) = z
2 
 
c) zf(z) = e i2+
 
d) zf(z) = 
z
 
3 Para quais valores de z a função racional complexa 
( )
( )
z i
f(z) = 
z i
2
2
2
2
+ -
- +
 não 
está definida.
4 Determine o conjunto dos números complexos que satisfazem a igualdade:
a) ( )Re z 1 4+ =
 
b) z z1 1 4+ - + = 
5 Prove que cosh(x + y) = cosh(x). cosh(y) + senh(x) . senh(y)
6 Determine o valor de cada um dos itens a seguir:
a) senh (1) = 
b) tanh(ln 2) = 
c) cosh(ln 3) = 
d) sech(0) = 
e) cossech(ln(-5)) = 
f) cotanh(ln2) - sech(ln -2) = 
AUTOATIVIDADE
48
49
TÓPICO 3
LIMITE E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES COMPLEXAS
UNIDADE 1
1 INTRODUÇÃO
Como você já deve ter percebido, as definições de funções com 
variáveis complexas estudadas anteriormente são similares ao caso de funções 
complexas. Quando estudamos funções reais, o próximo passo é estudar alguns 
comportamentos dessas funções, como limite, continuidade, derivada e integral. 
Esse também será nosso próximo passo para as funções de várias variáveis 
complexas, inicialmente iremos começar os estudos do limite de funções complexas 
e, finalizando essa unidade, estudar a continuidade de funções complexas, você 
também irá perceber aqui que as definições de limite e continuidade são similares 
às definições que já conhecemos. 
2 LIMITE DE FUNÇÕES COMPLEXAS
A definição de limite para uma função de variável complexa é análoga à 
definição de uma função com variáveis reais. 
Definição: Dado f : D ⊂  →  uma função complexa com D um 
subconjunto de ℂ. Dizemos que o limite da função f quando z tende para z0 se 
existe um número complexo L (L ∈ 

), tal que para cada ε > 0 existe uma δ > 0, 
tal que z z00 δ< - < implica que ( )f z L ε- < para todo z ∈ D.
Da mesma maneira que para funções reais, vamos denotar o limite L de 
uma função f quando z tende para z0 como ( )z zL f z0
lim .→=
A primeira propriedade de limite é garantir que o limite é único.
Propriedade: o limite de uma função complexa é único. 
Demonstração: devemos mostrar que quando z →z0 , se tivermos que lim 
f(z) = L e lim f (z) = T então L = T.
50
UNIDADE 1 | FUNÇÕES DE VARIÁVEIS COMPLEXAS
Pela definição de limite, dado ε > 0, devemos obter δ > 0, tal que se
z z0 δ- < ,então ( ) ( )f z L e f z T2 2
ε ε
- < - < .
Assim 
( ) ( ) ( ) ( )L T L f z f z T L f z f z T / 2ε ε- = - + - < - + - < = .
Isto significa que L T- é menor que qualquer número positivo ε 
suficientemente pequeno, logo deve ser zero. Segue que A = B.
Exemplo: mostre que z i z
lim 2 4 3→ + = quando z tende para i, usando a 
definição de limite.
Resolução: dado ε > 0, vamos escolher δ > 0tal que se 0 < | z - i | <δ implica 
que | z2 + 4 - 3 | < ε ou seja, | z2 + 1 | < ε.
Sabemos que i2 = -1 logo 1 = -i2 então, usando produtos notáveis, temos que 
| z2 + 1 | = | z2 - i2 | = |(z - i)(z + i) agora usando a propriedade de modulo podemos 
estimar | z2 + 1 | ≤ | z - i | . | z + i |.
Como z está próximo de i, temos que | z + i | ≤ | 2i | = 2 e supondo que | z - i 
| ≤ δ, temos que | z2 + 1 | ≤ 2δ.
Portanto, dado ε > 0 escolhendo ,2
εδ = concluímos que | f(z) - 3 | = |z2 + 1| 
≤ 2 δ = ε se 0 < | z - i | < δ.
Caro acadêmico, lembre-se de produtos notáveis 
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a + b)(a - b) = a2 - b2.
ATENCAO
TÓPICO 3 | LIMITE E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES COMPLEXAS
51
Usando a definição acima e o fato de que o limite é único, vamos mostrar 
algumas propriedades de limites para as funções complexas. Essas propriedades 
são similares às que provamos para funções com variáveis reais. 
Propriedade: são validas as afirmações a seguir: 
a) z z0
lim α α→ = para α uma constante complexa, α ∈  ;
b) 
z z z z0
lim
0→ = ;
c) z z z z0
lim
0→ = ;
d) z z z z0
lim
0 .→ =
Propriedade: dadas as funções f e g complexas, tais que 
( ) ( )f z g z
z z z zL e L0 0
lim lim
1 2→ →= = para L1 e L2 constantes complexas. Entãopara 
quaisquer constantes α e β complexas, temos que ( ) ( ) f z g z L L
z z
1 2
0
lim .α β α β+ = +→
Exemplo: calcule o limite 
z i z iz
lim
1 2 4 .→- + -
Resolução: usando as propriedades acima temos que 
 
( ) ( ) z i z iz i i i
i i i
i i
lim
1 2
2
4 4 1 2 1 2
4 8 2
4 9 2 2 9 .
→- + - = - + - - +
= - + + -
= - + + = - +
Propriedade: Dadas as funções f e g complexas, tais que 
( ) ( ) z z z zL f z e L g z0 0
lim lim
1 2→ →= = para L1 e L2 constantes complexas. 
 Então temos que ( ) ( ) z z f z g z L L0
lim
1 2. . .→ =
Exemplo: considere a função complexa
( )
3z , se z ¹i
f z = .
0, se z = i



Determine o limite de f (z) quando tende para i. 
Resolução: usando a propriedade acima, temos que 
( )z i z if z z i ilim lim 3 3 .→ →= = = -
52
UNIDADE 1 | FUNÇÕES DE VARIÁVEIS COMPLEXAS
Propriedade : dadas as funções f e g complexas, tais que ( ) ( )f z g zz z z zL e L0 0
lim lim
1 2→ →= = 
para L1 e L2 constantes complexas, com L2 ≠ 0. Então temos que 
( )
( )z z
f z L
Lg z0
lim 1
2
.→ =
Exemplo: calcule o seguinte limite z i
z
iz
2
lim
1
5 .→ +
-
Resolução: recorrendo à propriedade operacional que acabamos de ver
( )
( )
z i
z i
z i
zz
iz iz
i
 
i i
i 
i
 i
lim 22
lim 1
1 lim
1
2
55
1 5
. 1
5 2
1
7 3 .
2 2
→ +
→ +
→ +
--
=
+ -
=
+
- +
=
- +
= +
Lembre-se, acadêmico, de que para qualquer função complexa f: D ⊂  
→  , podemos escrever a função como f(z) = Re(f(z)) + i Im (f(z))
Lembre-se também de que podemos representar um número complexo z 
como um ponto do plano cartesiano z = (x, y) então podemos reescrever a função 
complexa da seguinte forma f (z) = u(x,y) + iv(x,y) onde as funções u e v são 
funções reais de duas variáveis dadas por u(x,y) = Re(f(x,y)) e v(x,y) = Im (f(x,y)).
Com essa caracterização de z, temos que se z → z0 então (x,y) → (x0,y0) se z0 = 
(x0, y0) e, portanto, calcular o limite de f quando z tende para z0 é equivalente a calcular 
o limite da sua decomposição quando (x, y) tende para (x0, y0), ou seja, vale a igualdade: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) z z x y x y x y x yf z u x y i u x y0 0 0 0 0
lim lim lim
, , , ,, , .→ → →= +
Exemplo: mostre que z z
lim 2
1 1→ = , usando da ideia anterior.
Resolução: sabemos que se z = x + iy, temos z2 = x2 - y2 + i2xy e, portanto, 
neste caso u (x,y) = x2 - y2 e v(x,y) = 2xy. Quando z → 1 = 1 + i0 temos que (x,y) → 
(1,0), consequentemente
( ) ( ) ( ) ( )
 
z x y x yz x y i xy
lim 2 lim 2 2 lim
1 , 1,0 , 1,0 2 1 0 1.→ → →= - + = + =
TÓPICO 3 | LIMITE E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES COMPLEXAS
53
3 CONTINUIDADE DE FUNÇÕES COMPLEXAS
Uma função real é dita contínua se satisfaz três condições, motivadas 
pela definição de função com variáveis reais contínua, vamos definir função 
complexa contínua.
Definição: dado f: D ⊂  →  uma função complexa e z0 ∈  uma 
constante complexa. Dizemos que a função complexa f é contínua se valem as 
condições a seguir: 
I- f está definida em z0, f z0 existe;
II- ( )z z f z0
lim
→ exista;
III- ( ) ( )z z f z f z0
lim
0 .→ =
Se uma função complexa é contínua em todos os pontos z ∈  , então 
dizemos que a função complexa é contínua. 
Se f e g são funções contínuas, as propriedades do subtópico anterior 
podem ser reescritas da seguinte maneira: 
( ) ( ) ( ) ( )z z f z g z af z g z0
lim
0 0α β β→ + = +
( ) ( ) ( ) ( )z z f z g z f z g z0
lim
0 0. .→ = e se g(z0) ≠ 0, temos que 
( )
( )
( )
( )z z
f z f z
g z g z0
0lim
0
.→ =
Ainda mais, como podemos escrever uma função complexa como soma 
da sua parte real com a sua parte imaginária f(z) = u (x,y) + iv(x,y) onde as funções 
u e v são funções reais de duas variáveis dadas por u(x,y) = Re (f(x,y)) e v(x,y) = 
Im(f(x,y)) podemos concluir que a função f é contínua se, e somente se, u e v são 
duas funções de duas variáveis reais contínuas. 
Exemplo: verifique que a função f (z) = z2 é contínua em z0 = 1. 
Resolução: sabemos que z z
lim 2
1→ existe e que z0 = 1 está no domínio de f(z) 
= z2. Ainda, já mostramos que z z
lim 2
1 1→ = , o que mostra que z2 é contínua em z0 = 1.
Toda função polinomial complexa é contínua e toda função racional 
( ) ( )( )
p z
f z
q z
= é contínua em todos os números complexos onde a função polinomial 
q (z) é diferente de zero.
54
UNIDADE 1 | FUNÇÕES DE VARIÁVEIS COMPLEXAS
Propriedade: Dadas as funções f e g complexas contínuas. Então temos 
que g°f também é contínua. 
Exemplo: Dadas duas funções complexas f(z) = iz2 + z e g (z) = z + 2, calcule 
g°f e f °g e determine se as composições são contínuas.
Resolução: Como as funções f e g são funções polinomiais complexas, 
sabemos que elas são contínuas. Vamos calcular a composição
g°f (z) = g(f(z)) = g(iz2+z) = iz2 + z + 2
e
f °g(z) = f(g(z)) = f(z + 2) = i(z + 2)2+ z 
= i(z2 + 4z + 4) + z
=iz2 + (4i + 1)z + 4i.
Como g°f e f °g são funções polinomiais complexas, temos que elas são 
contínuas.
Como no caso de funções reais, nem todas as funções complexas são 
contínuas. Por exemplo, considere a função complexa
( ) z se z if z
 se z i
3 ,
.
0,
 ≠= 
=
No subtópico anterior, descobrimos que ( )z f z ilim1 .→ = -
 
Portanto, f não é contínua em i, pois não satisfaz a condição iii) da definição 
( ) ( )z if i i f zlim0 .→= ≠ - =
TÓPICO 3 | LIMITE E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES COMPLEXAS
55
LEITURA COMPLEMENTAR
O NÚMERO COMPLEXO E SEU USO NA ENGENHARIA ESTRUTURAL
INTRODUÇÃO
Este artigo é uma proposta aos professores dos cursos de engenharia 
civil e mecânica para apresentarem os números complexos aos seus alunos por 
meio de uma abordagem pedagógica, envolvendo deduções, apresentações em 
coordenadas cartesianas e polares, ângulos de fase, transformada de Fourier 
contínua e discreta e aplicações práticas de engenharia.
Com a qualidade do aço e do concreto melhorando cada vez mais, torna-
se vantajoso utilizar elementos estruturais mais esbeltos, vencendo vãos maiores, 
deixando as estruturas suscetíveis a vibrações oriundas da ação do vento e 
do movimento humano (o andar, o pular, o dançar). O cálculo da resposta ao 
carregamento dinâmico torna-se obrigatório devido ao conforto humano e à 
segurança, no caso de haver ressonância. 
O número complexo é abordado extensivamente no curso de engenharia 
elétrica ao longo dos seus cinco anos, deixando os egressos com sólido 
conhecimento dos conceitos envolvidos e de sua aplicação na engenharia. Por 
outro lado, nos cursos de engenharia mecânica e civil o número complexo é 
apresentado rapidamente no curso de circuitos elétricos por um professor do 
curso de engenharia elétrica, portanto não familiarizado com aplicações práticas 
em estruturas. Para os estudantes desses cursos os conceitos fundamentais e 
definições de números complexos apresentam-se como algo extremamente difícil. 
Tais conceitos não despertam a sua atenção para a importância e uso em outros 
campos da engenharia. Mesmo no curso de engenharia mecânica, no âmbito 
das vibrações mecânicas, as equações de movimento são preferencialmente 
resolvidas no domínio do tempo. Utilizando-se o domínio da frequência, há uma 
simplificação e melhor entendimento dos resultados, já que a equação diferencial 
é facilmente transformada em equação algébrica. Quando há vários graus de 
liberdade, o conjunto de equações diferenciais passa a ser um sistema de equações 
lineares complexas.
Os autores sugerem a apresentação do conteúdo deste artigo na disciplina 
de vibrações do curso de engenharia mecânica e na disciplina de análise 
estrutural do curso de engenharia civil, tendo em vista a forma pedagógica como 
foi apresentado o tema, com histórico, com formulação didática e aplicação na 
solução de um real problema de engenharia.
56
UNIDADE 1 | FUNÇÕES DE VARIÁVEIS COMPLEXAS
HISTÓRICO
A referência mais antiga a raízes quadradas de números negativos talvez 
tenha ocorrido no trabalho do matemático grego e inventor Heron de Alexandria, 
no século 1 d.C., quando ele considerou