EXERCÍCIOS RESOLVIDOS SOBRE FUNÇÃO QUADRÁTICA

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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS SOBRE FUNÇÃO QUADRÁTICA
Questão 1 (PC MG 2008 – Acadepol). O número de ocorrências registradas das 12 às 18 horas em um dia do mês de janeiro, em uma delegacia do interior de Minas Gerais, é dado por f(t) = – t² + 30t – 216, em que 12 ≤ t ≤ 18 é a hora desse dia. Pode-se afirmar que o número máximo de ocorrências nesse período do dia foi
A) 0
B) 9
C) 15
D) 18
 
Resolução:
Temos que a função quadrática f(t) = – t² + 30t – 216 tem como gráfico uma parábola com a concavidade para baixo (a é menor que 0).
Assim sendo, o t que faz a função ser máxima é justamente o t do vértice, que pode ser calculado utilizando a fórmula abaixo:
t(v) = -b/2a = -30/2(-1) = 15
Logo, t = 15 horas foi o momento de maior número de ocorrências.
 
Como já sabemos o momento de maior ocorrência, vamos agora calcular t(15):
t(15) = – 15² + 30.15 – 216 = -225 + 450 – 216 = 9 ocorrências.
 
Obs: Outra opção seria calcular o y do vértice pela fórmula yv = – Δ/4a.
Resposta: B
 
 
Questão 2 (CFO PM ES 2013 – Exatus). Uma agência de viagens vende pacote turísticos coletivos com destino a Fortaleza. Um pacote para 40 clientes custa R$ 2000,00 por pessoa e, em caso de desistência, cada pessoa que permanecer no grupo deve pagar mais R$ 100,00 por cada desistente do pacote de viagem. Dessa forma, para que essa agência obtenha lucro máximo na venda desse pacote de viagens, o número de pessoas que devem realizar a viagem é igual a:
 
Resolução:
Sendo x a quantidade de pessoas, o preço total é dado pela quantidade de pessoas vezes o preço por pessoa, que é 2000 mais 100 por desistente.
C(x) = x(2000 + 100(40 – x))
C(x) = x(2000 + 4000 – 100x)
C(x) = x(6000 – 100x)
C(x) = 6000x – 100x²
Temos uma função do segundo grau.
 
Vamos calcular as raízes:
6000x – 100x² = 0
60x – x² = 0
x(60 – x) = 0
Assim, x = 0 ou x = 60
 
Como em nossa função o valor de a = -100 < 0, o gráfico é uma parábola para baixo, portanto possui valor máximo, e é exatamente o valor entre as raízes 0 e 60, portanto o valor máximo ocorre quando x = 30.
Resposta: 30 pessoas
 
 
Questão 3 (PM ES 2013 – Exatus). Assinale a alternativa correta:
a) O gráfico da função y = x² + 2x não intercepta o eixo y.
b) O gráfico da função y = x² + 3x + 5 possui concavidade para baixo.
c) O gráfico da função y = 5x – 7 é decrescente.
d) A equação x² + 25 = 0 possui duas raízes reais e diferentes.
e) A soma das raízes da função y = x² – 3x – 10 é igual a 3.
 
 
Resolução
a) FALSA: Uma parábola sempre intercepta o eixo y.
b) FALSA: O valor de a = 1 >0. Concavidade para cima.
c) FALSA: O valor de a = 5 > 0. Crescente.
d) FALSA: Nenhum número Real elevado ao quadrado fica negativo.
e) VERDADEIRA
Lembrando da fórmula da soma das raízes:
Soma = -b/a = -(-3)/1 = 3
 
Resposta: E
 
 
Questão 4 (PM ES 2013 – Funcab). Dada a função quadrática f(x) = -2.x² + 4.x – 9, as coordenadas do vértice do gráfico da parábola definida por f(x), é:
A) V = (-7; 1)
B) V = (1; -7)
C) V = (0; 1)
D) V = (-7; 0)
E) V = (0; 0)
 
Resolução:
Considerando que trata-se de uma função quadrática, vamos utilizar a fórmula do x do vértice:
xv = -b/2a = -4/2(-2) = 4/4 = 1
Para calcular o y, basta utilizar x=1:
y = -2.1 + 4.1 – 9 = -2 + 4 – 9 = -7
Clique aqui para assistir a resolução
 
Resposta: B
 
 
Questão 5 (PM ES 2013 – Funcab). Uma festa no pátio de uma escola reuniu um público de 2.800 pessoas numa área retangular de dimensões x e x + 60 metros. O valor de , em metros, de modo que o público tenha sido de, aproximadamente, quatro pessoas por metro quadrado, é:
A) 5 m
B) 6 m
C) 8 m
D) 10 m
E) 12 m
 
Resolução:
A área de um retângulo é calculada multiplicando-se a base pela altura.
Temos:
Área = x.(x + 60)
Área = x² + 60x
Como existem 2800 pessoas e queremos 4 pessoas por m²:
 
 
4.(x² + 60x) = 2800
4x² + 240x = 2800
4x² + 240x – 2800 = 0
Dividindo todos os membros por 4:
x² + 60x – 700 = 0
 
Utilizando as fórmulas de soma e produto:
Soma das raízes = -b/a = -60
Produto das raízes: c/a = -700
É fácil observar que as raízes são 10 e -70. Como x representa medida, descartamos o -70, e a resposta será 10 m.
 
Resposta: D
 
 
Questão 6 (PM Acre Soldado 2012 – Funcab). Determine o valor de x que provoca o valor máximo da função real f(x) = -x² + 7x – 10.
A) 3,5
B) – 2
C) 0
D) 10
E) – 1,5
 
Resolução:
Como temos uma função quadrática, vamos achar as raízes pelo método de soma e produto:
a = -1, b = 7, c = -1
Soma = -b/a = -7/-1 = 7
Produto = -10/-1 = 10
Dois números cuja soma é 7 e o produto é 10. As raízes são 2 e 5.
O valor máximo (pois a é negativo) é a média das raízes:
(2 + 5)/2 = 7/2 = 3,5
 
Resposta: A
 
 
Questão 7 (PM Acre Músico 2012 – Funcab). Sabendo que uma função quadrática possui uma raiz igual a -2 e que obtém seu valor máximo quando x = 5, determine o valor da outra raiz dessa função.
A) 3
B) 7
C) 10
D) 12
E) 15
 
Resolução:
Basta sabermos o valor de x que faz a função quadrática ter um valor máximo é a média aritmética das raízes:
Considerando que as raízes são -2 e k, e que a média deles é 5, temos:
(-2 + k)/2 = 5
-2 + k = 10
k = 10 + 2
k = 12
 
Resposta: D
 
 
Questão 8 (PM Pará 2012). Uma empresa criou o modelo matemático L(x)=-100x²+1000×-1900 para representar o lucro diário obtido pela venda de certo produto, na qual x representa as unidades vendidas. O lucro máximo diário obtido por essa empresa é igual a:
a) R$600,00
b) R$700,00
c) R$800,00
d) R$900,00
e) R$1.000,00
 
Resolução:
Como temos uma função do segundo grau, onde a é negativo, basta calcularmos o y do vértice, pois este será o máximo da função:
Pela fórmula:
y do vértice = – Δ/4a
 
Vamos primeiro calcular o valor de Δ:
Δ = b² – 4.a.c = 1000² – 4.(-100).(-1900) = 1000000 – 760000 = 240000
yv = -Δ/4a = -240000/4.(-100) = 240000/400 = 600
 
Resposta: A
Funções: Custo, Receita e Lucro
A aplicabilidade das funções abrange diversas ciências, como é o caso da função custo, função receita e função lucro.
Os estudos das funções estão relacionados às questões que envolvem relações entre grandezas e sua aplicabilidade abrange inúmeras ciências. Enfatizaremos a função custo, função receita e a função lucro que estão relacionadas aos fundamentos administrativos de qualquer empresa.
Função Custo – C(x)
Está relacionada ao custo de produção de um produto, pois toda empresa realiza um investimento na fabricação de uma determinada mercadoria.
Função Receita – R(x)
A função receita está ligada ao dinheiro arrecadado pela venda de um determinado produto.
Função Lucro – L(x)
A função lucro é a diferença entre a função receita e a função custo. Caso o resultado seja positivo, houve lucro; se negativo, houve prejuízo.
L(x) = R(x) – C(x)
Exemplo 1 
Um fabricante pode produzir calçados ao custo de R$ 20,00 o par. Estima-se que, se cada par for vendido por x reais, o fabricante venderá por mês 80 – x (0 ≤ x ≤ 80) pares de sapatos. Assim, o lucro mensal do fabricante é uma função do preço de venda. Qual deve ser o preço de venda, de modo que o lucro mensal seja máximo?
Custo: valor de produção de cada par de sapatos vezes o número de sapatos fabricados.
C(x) = 20*(80 – x)
Receita: número de sapatos vendidos no mês multiplicado pelo valor de venda x.
R(x) = (80 – x) * x
Lucro: diferença entre a receita R(x) e o custo C(x)
L(x) = (80 – x) * x – 20*(80 – x)
L(x) = 80x – x² – 1600 + 20x
L(x) = – x² +100x – 1600
O lucro dado é representado por uma função do 2º grau decrescente, isto é, seu gráfico possui concavidade voltada para cima ou valor máximo. Para determinarmos o preço de venda do sapato, no intuito de obter o lucro máximo, bastacalcular o valor do vértice x da parábola, dado por Xv = – (b/2a).
L(x) = – x² +100x – 1600
a = – 1
b = 100
c = – 1600
Para que se obtenha lucro máximo, o preço de venda do par de sapatos deve ser R$ 50,00.
Exemplo 2
Um fabricante vende, mensalmente, x unidades de um determinado artigo por R(x) = x² – x, sendo o custo da produção dado por C(x) = 2x² – 7x + 8. Quantas unidades devem ser vendidas mensalmente, de modo que se obtenha o lucro máximo?
L(x) = R(x) – C(x)
L(x) = x² – x – (2x² – 7x + 8)
L(x) = x² – x – 2x² + 7x – 8
L(x) = – x² + 6x – 8
O número de unidades vendidas mensalmente para se obter o lucro máximo será determinado por Xv.
Para se obter o lucro máximo, basta que 3 unidades sejam vendidas.
questão 1 
(FAAP – SP) 
Uma indústria produz, por dia, x unidades de determinado produto, e pode vender tudo o que produzir a um preço de R$ 100,00 a unidade. Se x unidades são produzidas a cada dia, o custo total, em reais, da produção diária é igual a x² + 20x + 700. Portanto, para que a indústria tenha lucro diário de R$ 900,00, qual deve ser o número de unidades produzidas e vendidas por dia? 
Ver Resposta 
questão 2 
(Cesesp – PE) 
Um fabricante vende mensalmente c unidades de um determinado artigo por V(x) = x² – x, sendo o custo da produção dado por C(x) = 2x² – 7x + 8. Quantas unidades devem ser vendidas mensalmente, de modo que se obtenha o lucro máximo? 
Ver Resposta 
questão 3 
(PUC – SP)
Uma bola é largada do alto de um edifício e cai em direção ao solo. Sua altura h em relação ao solo, t segundos após o lançamento, é dada pela expressão h = –25t² + 625. Após quantos segundos do lançamento a bola atingirá o solo?
Ver Resposta 
questão 4 
(PUC – Campinas – SP)
A trajetória de um projétil foi representada no plano cartesiano por
 com uma unidade representando um quilômetro. Determine a altura máxima que o projétil atingiu.
Ver Resposta 
respostas 
Questão 1 
Função Receita
y = 100 * x
Função Custo
y = x² + 20x + 700
Função Lucro = Receita – Custo
y = 100x – (x² + 20x + 700)
y = 100x – x² – 20x – 700
y = –x² + 80x – 700
Lucro diário de R$ 900,00
–x² + 80x – 700 = 900
–x² + 80x –700 – 900 = 0
–x² + 80x – 1600 = 0
Vamos utilizar Xv na determinação da quantidade de produtos a serem produzidos e vendidos visando o lucro diário de R$ 900,00.
A empresa deverá produzir e vender a quantidade de 40 produtos. 
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Questão 2 
L(x) = V(x) – C(x)
L(x) = x² – x – (2x² – 7x + 8)
L(x) = x² – x – 2x² + 7x – 8
L(x) = –x² + 6x – 8 
Aplicando Xv
A empresa deverá vender mensalmente 3 unidades do produto.
 
Voltar a questão 
Questão 3 
Quando a bola atingir o solo, sua posição será igual a zero, então:
h = 0
0 = –25t² + 625
25t² = 625
t² = 625 / 25
t² = 25
√t² = √25
t = 5
A bola levará 5 segundos para atingir o solo.
Voltar a questão 
Questão 4 
Vamos calcular a altura máxima através da fórmula do yv.
A altura máxima atingida pelo projétil foi de 62,5 metros.
1. O número de ocorrências registradas das 12 às 18 horas em um dia do mês de janeiro, em uma delegacia do interior de Minas Gerais, é dado por f(t) = – t² + 30t – 216, em que 12 ≤ t ≤ 18 é a hora desse dia. Pode-se afirmar que o número máximo de ocorrências nesse período do dia foi?
Resolução:
Veja que a função quadrática f(t) = – t² + 30t – 216 representa uma parábola com a concavidade para baixo (a é menor que 0)
Assim sendo, o t que faz a função ser máxima é justamente o t do vértice, que pode ser calculado utilizando a fórmula abaixo:
t(v) = -b/2a = -30/2(-1) = 15
Logo, t = 15 horas foi o momento de maior número de ocorrências.
Como já sabemos o momento de maior ocorrência, vamos agora calcular t(15):
t(15) = – 15² + 30.15 – 216 = -225 + 450 – 216 = 9 ocorrências.
Obs: Outra opção seria calcular o y do vértice pela fórmula yv = – Δ/4a.
2. Uma agência de viagens vende pacote turísticos coletivos com destino a Fortaleza. Um pacote para 40 clientes custa R$ 2000,00 por pessoa e, em caso de desistência, cada pessoa que permanecer no grupo deve pagar mais R$ 100,00 por cada desistente do pacote de viagem. Dessa forma, para que essa agência obtenha lucro máximo na venda desse pacote de viagens, o número de pessoas que devem realizar a viagem é igual a:
Resolução:
Repare que o preço total é dado pela quantidade de pessoas vezes o preço por pessoa, que é 2000 mais 100 por desistente.
C(x) = x(2000 + 100(40 – x))
C(x) = x(2000 + 4000 – 100x)
C(x) = x(6000 – 100x)
C(x) = 6000x – 100x²
Temos uma função do segundo grau.
Vamos calcular as raízes:
6000x – 100x² = 0
60x – x² = 0
X(60 – x) = 0
Assim, x = 0 ou x = 60
Como em nossa função o valor de a = -100 < 0, o gráfico é uma parábola para baixo, portanto possui valor máximo, e é exatamente o valor entre as raízes 0 e 60, portanto o valor máximo ocorre quando x = 30.
3. Dada a função quadrática f(x) = -2.x² + 4.x – 9, as coordenadas do vértice do gráfico da parábola definida por f(x), é:
Resolução:
Considerando que trata-se de uma função quadrática, vamos utilizar a fórmula do x do vértice:
xv = -b/2a = -4/2(-2) = 4/4 = 1
Para calcular o y, basta utilizar x=1:
y = -2.1 + 4.1 – 9 = -2 + 4 – 9 = -7
4. Uma festa no pátio de uma escola reuniu um público de 2.800 pessoas numa área retangular de dimensões x e x + 60 metros. O valor de , em metros, de modo que o público tenha sido de, aproximadamente, quatro pessoas por metro quadrado, é:
Resolução:
A área de um retângulo é calculada multiplicando-se a base pela altura.
Temos:
Área = x.(x + 60)
Área = x² + 60x
Como existem 2800 pessoas e queremos 4 pessoas por m²:
2800 / (x²+60x) = 4
4.(x² + 60x) = 2800
4x² + 240x = 2800
4x² + 240x – 2800 = 0
Dividindo todos os membros por 4:
x² + 60x – 700 = 0
Utilizando as fórmulas de soma e produto:
Soma das raízes = -b/a = -60
Produto das raízes: c/a = -700
É fácil observar que as raízes são 10 e -60. Como x representa medida, descartamos o -60, e a resposta será 10 m.
5. Determine o valor de x que provoca o valor máximo da função real
f(x) = -x² + 7x – 10.
Resolução:
Como temos uma função quadrática, vamos achar as raízes pelo método de soma e produto:
a = -1, b = 7, c = -1
Soma = -b/a = -7/-1 = 7
Produto = -10/-1 = 10
Dois números cuja soma é 7 e o produto é 10. As raízes são 2 e 5.
O valor máximo (pois a é negativo) é a média das raízes:
(2 + 5)/2 = 7/2 = 3,5
6. Sabendo que uma função quadrática possui uma raiz igual a -2 e que obtém seu valor máximo quando x = 5, determine o valor da outra raiz dessa função.
Resolução:
Basta sabermos o valor de x que faz a função quadrática ter um valor máximo é a média aritmética das raízes:
Considerando que as raízes são -2 e k, e que a média deles é 5, temos:
(-2 + k)/2 = 5
-2 + k = 10
k = 10 + 2
k = 12
(SAERJ) O proprietário de uma fazenda adquiriu alguns pássaros, que se alimentam de lagartas, para acabar com a praga que infestou sua plantação. 
A equação L(t) = 4t2 - 80t + 400 representa o número de lagartas L(t), em milhares, após t dias da presença dos pássaros na plantação. Qual é o tempo gasto para acabar com a população de lagartas? 
(A) 10 dias
(B) 40 dias
(C) 200 dias
(D) 400 dias 
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Solução: O número de lagartas L(t) está em função (depende) do tempo t (número de dias) por meio da equação L(t) = 4t2- 80t + 400. Para resolver este problema temos que encontrar o valor de t quando L(t) = 0. 
Resolvendo a equação do segundo grau 4t2- 80t + 400 = 0, vem que o discriminante é 
DELTA = 802 - 4(4)(400) = 6400 - 6400 = 0 
Então, t = (80 + 0) / 8 , ou , t = (80 - 0) / 8. 
Logo, t = 10 dias (alternativa A). 
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Quais os valores de x que anulam a função definida por f(x) = x2 - 2 x - 3 ? 
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Solução: Os valores de x que anulam uma função são chamados de raízes ou zeros . 
Temos uma função do segundo grau y = ax2 + bx + c , onde a = 1, b = -2 e c = -3. 
Resolvendo a equação do segundograu x2 - 2x - 3 = 0 , encontramos estes valores. 
Esta equação pode ser resolvida com a fórmula quadrática: 
Calculando o discriminante, DELTA = (-2)2 - 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16. 
Como a raiz quadrada de 16 é 4, vem que: x = (2 + 4) / 2 = 3, ou, x = (2 - 4) / 2 = -1. 
Assim, os valores de x que anulam   f ( x ), são x = -1 , ou , x = 3. 
Este valores são chamados de raízes ou zeros da função, pois, são os valores onde o gráfico toca o eixo x (eixo das abscissas). Observe também o termo independente c = -3, mostra onde a parábola corta o eixo y (eixo das ordenadas). 
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Uma bala é atirada de um canhão. A trajetória da bala descreve uma parábola de equação:
y = -0,1x2 + 15x (onde x e y são medidos em metros). 
a) Determine, em metros,  a altura máxima atingida pela bala. 
b) Calcule , em metros, o alcance do disparo. 
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Solução: a) Seja a função do segundo grau y = ax2 + bx + c , onde a, b e c são números reais e a é diferente de zero. 
O valor máximo (ou mínimo) desta função é o y do vértice da parábola, ou seja, 
DELTA = b² - 4ac = 152 - 4(-0,1)(0) = 225 
Então, a altura máxima da bala é: 
y = -(225) / -4(-0,1) = -225 / -0,4 = 2250 / 4 = 562,5 m. 
b) O alcance do disparo é a diferença entre as raízes da equação -0,1x2 + 15x = 0. 
Vem que: -0,1x2 + 15x = x(-0,1x + 15) = 0. 
Então, x = 0 , ou , -0,1x + 15 = 0. 
Logo as raízes são: x = 0 , ou , x = 15 / 0,1 = 150. 
Assim, o alcance do disparo é de 150 - 0 = 150 m. 
Este procedimento é conhecido como lançamento de projetil. 
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Uma bala é atirada de um canhão. A trajetória da bala descreve uma parábola de equação:
y = -3x2 + 60x (onde x e y são medidos em metros). 
a) Calcule o alcance do disparo. 
b) Qual é a altura máxima atingida pela bala? 
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Solução: a) Temos que resolver a equação: -3x2 + 60x = 0 para encontrar o alcance do disparo (diferença entre as raízes da função). 
Calculando o valor do discriminante, DELTA = 602 - 4(-3)(0) = 3600. 
Como a raiz quadrada de 3600 é 60, segue que: 
x = (-60 + 60) / -6 = 0 
ou 
x = (-60 - 60) / -6 = -120 / -6 = 20 
Logo o alcance da bala é 20 - 0 = 20 m. 
b) Altura  é o y do vértice da parábola. 
y = -3600 / -12 = 300. 
Assim, a altura máxima da bala é 300 m. 
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O lucro de uma empresa pela venda diária de x peças, é dado pela função:
L(x) = -x2 + 14x - 40. 
Quantas peças devem ser vendidas diariamente para que o lucro seja máximo? 
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Solução: Observando o vértice da parábola, temos que o valor de uma função 
f(x) = ax2 + bx + c é máximo (ou mínimo) quando x é igual a média aritmética das raízes, ou seja , quando x = -b / 2a. 
Então, L(x) = -x2 + 14x - 40 tem valor máximo quando x = -14 / 2(-1) = 14 / 2 = 7.  
Assim, devem ser vendidas 7 peças para que o lucro seja máximo. 
De outro modo, observe que resolvendo a equação -x2 + 14x - 40 = 0 , encontramos: 
x = (-14 + 6) / (-2) = 4 , ou , x = (-14 - 6) / (-2) = 10. 
Pela simetria da parábola, o lucro tem valor máximo quando x é igual a média aritmética das raízes. 
Logo, para que o lucro seja máximo, devem ser vendidas (4 + 10) / 2 = 14 / 2 = 7 peças. 
OBS: Este problema também poderia ser resolvido com o uso do Cálculo Diferencial . 
Calculando a derivada da função encontramos y' = -2x + 14. 
A função tem valor máximo quando a derivada y' = 0 . 
Assim, resolvendo -2x + 14 = 0 encontramos x = 7 peças. 
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Dada a função quadrática y = -x2 + 6x - 1 , para todo x maior ou igual 3 e para todo y menor ou igual 8. Calcule a função inversa. 
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Solução: Como, na função do segundo grau (quadrática) do enunciado, para todo x maior ou igual 3 e para todo y menor ou igual 8, os elementos distintos do seu domínio restrito possuem imagens distintas e o conjunto imagem é igual ao contradomínio, então a função é bijetora (ou bijetiva), portanto, neste domínio, existe uma função inversa. 
Na equação y = -x2 + 6x - 1 , passando o y para o outro membro, segue que: 
Trocando x pelo y, encontramos a função inversa: 
Observe, no gráfico cartesiano, a simetria em relação a função do primeiro grau (linear) y = x (reta bissetriz do primeiro e do terceiro quadrantes).