Teorema limite fundamental

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Cálculo I-A-UFF – Notas de Aula Página 1 
Professora: Luciana P. M. Pena 
 
 
PROVA DO LIMITE FUNDAMENTAL 
0
sen( )lim =1
θ
θ
θ→
 
 
 
Fixado um sistema de coordenadas retangulares no plano, sejam A = (1, 0) e O = (0, 0). 
Considere P um ponto sobre o círculo de centro em O = (0, 0) e raio 1 tal que a medida, 
em radianos, do ângulo AÔP, indicado na figura, pertença ao intervalo (0, π/2). Sejam 
Q o ponto de interseção da reta x = 1 com a semi-reta OP, u a área do triângulo AOP, v 
a área do setor circular AOP (correspondente ao ângulo AÔP ) e w a área do triângulo 
AOQ. 
 
 
 
 
É fácil perceber graficamente que: 
Área OAP∆ < Área do setor OAP < Área OAQ∆ 
 
 
 
Cálculo I-A-UFF – Notas de Aula Página 2 
Professora: Luciana P. M. Pena 
 
 
Podemos expressar essas áreas em termos de θ da seguinte maneira: 
Área OAP∆ = 1 1 1base×altura= (1)×sen( )= sen( )
2 2 2
θ θ 
Área do setor OAP = 21 1r = (1)× =
2 2 2
θθ θ 
Área OAQ∆ = 1 1 1base×altura= (1)×tg( )= tg( )
2 2 2
θ θ 
Logo, 
1 1 1
sen( )< < tg( )
2 2 2
θ θ θ 
A desigualdade não se altera de dividirmos os três termos pelo número 
1
sen( )
2
θ (já 
que este valor é positivo, tendo em vista que 0
2
piθ< < ) 
11< <
sen( ) cos( )
θ
θ θ
 
A desigualdade invertida fica: 
sen( )1 > >cos( )θ θ
θ
 
Como: 
0 0
sen( )1 lim1 > > limcos( )=1
θ θ
θ θ
θ→ →
= 
 
Pelo Teorema do Confronto, podemos afirmar que: 
0
sen( )lim =1
θ
θ
θ→