03 Noção de Limite

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PARTE 3
LIMITE
3.1 Noc¸a˜o de Limite
Nosso objetivo, neste cap´ıtulo, e´ compreender o conceito de limite. Para isto, considere
as func¸o˜es abaixo.
f1(x) = x
2 − x− 2 f2(x) = x
3 − 2x2 − x+ 2
x− 1
f3(x) =
{
x2 − x− 2, x 6= 1
2, x = 1
f4(x) = −|x2 − x− 2|
Nossa intenc¸a˜o e´ tentar identificar alguma tendeˆncia dos valores das quatro func¸o˜es an-
teriores quando as avaliamos em pontos do domı´nio cada vez mais pro´ximos de x = 1,
sem contudo, chegar a x = 1. Para isto, montamos duas tabela, onde, do lado esquerdo,
colocamos os pontos do domı´nio e, do lado direito, colocamos a imagem destes pontos
para as func¸o˜es f1, f2, f3 e f4. Na primeira tabela, escolhemos valores de x que se
aproximam de x = 1 por valores menores do que 1 e, na segunda, escolhemos valores
de x que se aproximam de x = 1 por valores maiores do que 1.
x f1(x) f2(x) f3(x) f4(x)
0.5 −2.25000000 −2.25000000 −2.25000000 −2.25000000
0.9 −2.09000000 −2.09000000 −2.09000000 −2.09000000
0.99 −2.00990000 −2.00990000 −2.00990000 −2.00990000
0.999 −2.00099900 −2.00099900 −2.00099900 −2.00099900
0.9999 −2.00009999 −2.00009999 −2.00009999 −2.00009999
x f1(x) f2(x) f3(x) f4(x)
1.5 −1.25000000 −1.25000000 −1.25000000 −1.25000000
1.1 −1.89000000 −1.89000000 −1.89000000 −1.89000000
1.01 −1.98990000 −1.98990000 −1.98990000 −1.98990000
1.001 −1.99899900 −1.99899900 −1.99899900 −1.99899900
1.0001 −1.99989999 −1.99989999 −1.99989999 −1.99989999
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Observe que, apesar das quatro func¸o˜es anteriores serem diferentes entre si, ao avaliar-
mos os valores das func¸o˜es para pontos do domı´nio cada vez mais pro´ximos de x = 1,
excetuando no pro´prio ponto x = 1, elas possuem valores iguais de imagens para os
pontos selecionados. Isto acontece, pois as treˆs primeiras func¸o˜es so´ diferem no que diz
respeito ao ponto x = 1 e, apesar da func¸a˜o f4 ser diferentes das outras treˆs func¸o˜es
em mais pontos do domı´nio ale´m do pro´prio ponto x = 1, existe um intervalo aberto
contendo o ponto x = 1, onde a func¸a˜o f4 e´ igual as quatro outras func¸o˜es para valores
de x pertencentes a este intervalo. Mais precisamente,
f1(x) = f2(x) = f3(x) = f4(x), ∀ x ∈ (0, 2).
Lembrando que estamos interessados em tentar identificar algum comportamento es-
pecial das func¸o˜es quando as avaliamos em pontos do domı´nio pro´ximos de x = 1,
observando as tabelas anteriores, verificamos que, quando x se aproxima de x = 1,
tanto por valores maiores do que 1 como por valores menores, parece que os valores de
f1(x), f2(x), f3(x) e de f4(x) se aproximam de -2.
Isto e´ de fato verdade. Inclusive, se fizermos o esboc¸o do gra´fico destas func¸o˜es, e´ fa´cil
identificar este comportamento que todas as quatro func¸o˜es apresentam. Matematica-
mente, para dizermos que os valores de f1(x), f2(x), f3(x) e de f4(x) se aproximam de
−2 quando os valores de x va˜o ficando cada vez mais pro´ximos de x = 1 (lembrando
que na˜o verificamos o que acontece quando x = 1), escrevemos como a seguir.
lim
x→1
x2 − x− 2 = −2 lim
x→1
x3 − 2x2 − x+ 2
x− 1 = −2
lim
x→0
f3(x) = −2 lim
x→0
−|x2 − x− 2| = −2
Lemos lim
x→x0
f(x) = L como “o limite de f(x) quando x tende a x0 e´ igual a L ”.
A grosso modo, queremos dizer que os valores de f(x) va˜o ficando cada vez mais
pro´ximos de L, a medida que x vai se aproximando de x0, sem contudo se igualar a x0.
De fato, observe que em nenhuma tabela acima calculamos o valor de f(x0). Inclusive,
x = 1 na˜o pertence ao domı´nio da func¸a˜o f2(x) =
x3 − 2x2 − x+ 2
x− 1 . Vamos abaixo
definir limite desta forma mais intuitiva, antes de defini-lo formalmente.
DEFINIC¸A˜O 3.1.1: Escrevemos
lim
x→x0
f(x) = L
e lemos “o limite de f(x), quando x tende a x0, e´ igual a L”, se pudermos ter os
valores de f(x) arbitrariamente pro´ximos de L, bastando para isto tomar valores de x
suficientemente pro´ximos de x0 (maiores e menores do que x0 mas, diferente de x0).
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Exemplo 3.1.1: Esboce o gra´fico das func¸o˜es abaixo e use os mesmos para determinar
os limites pedidos.
a) g1(x) = x
2 − 5x+ 6, lim
x→1
g1(x) b) g2(x) = x− 1, lim
x→3
g2(x)
c) g3(x) =
x2 − 4x+ 3
x− 3 , limx→3 g3(x) d) g4(x) =
{
x− 1, x 6= 3
5, x = 3
, lim
x→3
g4(x)
3.2 Noc¸o˜es de Limites Laterais
Exemplo 3.2.1: Esboce o gra´fico da func¸a˜o h(x) =
|x2 − 4x+ 3|
x− 3 e verifique que
quando x toma valores pro´ximos de 3, os valores de h(x) na˜o se aproximam de nenhum
valor espec´ıfico.
Com a verificac¸a˜o, no exemplo acima, de que quando x toma valores pro´ximos de 3,
os valores de h(x) na˜o se aproximam de nenhum valor espec´ıfico, estamos concluindo
que na˜o existe limite de h quando x tende a 3. Quando queremos dizer que uma
func¸a˜o f na˜o possui limite quando x tende a x0, e´ usual escrevermos lim
x→x0
f(x) = 6 ∃.
Embora a func¸a˜o do Exemplo 3.2.1 na˜o possua limite quando x tende a 3, ela possui um
comportamento interessante quando x tende a 3. De fato, quando tomamos valores de
x pro´ximos de 3, mas maiores do que 3, h(x) se aproxima de 2, enquanto que, quando
tomamos valores de x pro´ximos de 3, mas menores do que 3, h(x) se aproxima de −2.
Esta situac¸a˜o descrita aqui, onde os valores de f(x) tendem a L1, quando x se aproxima
de x0, mas por valores apenas maiores do que x0 reflete a existeˆncia do que chamamos
de limite lateral a` direita. Da mesma forma, quando os os valores de f(x) tendem a
L2, quando x se aproxima de x0, mas por valores apenas menores do que x0 estamos
diante da existeˆncia do que chamamos de limite lateral a` esquerda. Matematicamente,
estas afirmac¸o˜es sa˜o escritas como
lim
x→x+0
f(x) = L1 e lim
x→x−0
f(x) = L2.
Os limites laterais escritos acima sa˜o lidos, respectivamente, da seguinte forma: “o
limite de f(x), quando x tende a x0 pela direita, ou por valores maiores do que x0,
e´ igual a L1”e “o limite de f(x), quando x tende a x0 pela esquerda, ou por valores
menores do que x0, e´ igual a L2”.
No caso da func¸a˜o h do Exemplo 3.2.1, temos que lim
x→x0
h(x) = 6 ∃, mas
lim
x→x+0
f(x) = 2 e lim
x→x−0
f(x) = −2.
A grosso modo, queremos dizer que os valores de f(x) va˜o ficando cada vez mais
pro´ximos de L1 a medida que x vai se aproximando de x0 apenas por valores apenas
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maiores do que x0 e os valores de f(x) va˜o ficando cada vez mais pro´ximos de L2
a medida que x vai se aproximando de x0 apenas por valores apenas menores do
que x0. Vamos tambe´m definir limites laterais desta forma mais intuitiva, antes de
defini-los formalmente.
DEFINIC¸A˜O 3.2.1: Escrevemos
lim
x→x+0
f(x) = L
e lemos “o limite de f(x), quando x tende a x0 pela direita, ou por valores maiores
do que x0, e´ igual a L, ”se pudermos ter os valores de f(x) arbitrariamente pro´ximos
de L, bastando para isto tomar valores de x suficientemente pro´ximos de x0, com x
maior do que x0.
DEFINIC¸A˜O 3.2.2: Escrevemos
lim
x→x−0
f(x) = L
e lemos “o limite de f(x), quando x tende a x0 pela esquerda, ou por valoresmenores
do que x0, e´ igual a L, ”se pudermos ter os valores de f(x) arbitrariamente pro´ximos
de L, bastando para isto tomar valores de x suficientemente pro´ximos de x0, com x
menor do que x).
Uma vez entendido os conceitos de limite e de limites laterais de uma func¸a˜o, vamos
defini-los formalmente.
3.3 Definic¸o˜es Formais de Limite e de Limites Late-
rais
DEFINIC¸A˜O 3.3.1: Seja f uma func¸a˜o definida em um intervalo aberto contendo o
ponto x0 (exceto possivelmente o pro´prio ponto x = x0) e seja L ∈ R. Dizemos que
lim
x→x0
f(x) = L
se dado ε > 0, existe δ > 0, tal que
0 < |x− x0| < δ =⇒ |f(x)− L| < ε.
DEFINIC¸A˜O 3.3.2: Seja f uma func¸a˜o definida em um intervalo daforma (x0, c) e
seja L ∈ R. Dizemos que
lim
x→x+0
f(x) = L
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se dado ε > 0, existe δ > 0, tal que
x0 < x < x0 + δ =⇒ |f(x)− L| < ε.
DEFINIC¸A˜O 3.3.3: Seja f uma func¸a˜o definida em um intervalo da forma (c, x0) e
seja L ∈ R. Dizemos que
lim
x→x−0
f(x) = L
se dado ε > 0, existe δ > 0, tal que
x0 − δ < x < x0 =⇒ |f(x)− L| < ε.
Agora que ja´ sabemos o que e´ limite, veremos na pro´xima sec¸a˜o algumas de suas pro-
priedades.
3.4 Propriedades de Limite
TEOREMA 3.4.1: O limite, quando existe, e´ u´nico. Isto e´ se limx→x0 f(x) = L1 e
limx→x0 f(x) = L2, enta˜o L1 = L2.
TEOREMA 3.4.2: Seja f uma func¸a˜o definida em um intervalo aberto contendo x0
(exceto possivelmente no pro´prio ponto x0). Enta˜o
lim
x→x0
f(x) = L⇔ lim
x→x0
f(x)− L = 0.
O Teorema 3.4.2 informa que se uma func¸a˜o f possui limite L quando x tende a x0,
enta˜o a func¸a˜o g = f − L possui limite 0 quando x tende a x0. Pensando em termos
gra´ficos, como o gra´fico de g e´ o gra´fico de f transladado de L unidade para cima ou
para baixo, dependendo do sinal de L, temos que L− L e´ o limite para a func¸a˜o g.
TEOREMA 3.4.3: Seja f uma func¸a˜o definida em um intervalo aberto contendo x0
(exceto possivelmente no pro´prio ponto x0). Enta˜o
lim
x→x0
f(x) = L⇔ lim
x¯→0
f(x¯+ x0) = L.
O teorema acima informa que para se calcular o limite { lim
x→x0
f(x)}, caso seja u´til,
e´ va´lido fazer uma mudanc¸a de varia´veis da forma x¯ = x − x0. Neste caso, observa-
mos que quando x→ x0, temos que x¯ = x−x0 → 0 e que o valor do limite na˜o se altera.
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Uma outra forma ainda de entender o Teorema 3.4.3 e´ pensar que ele informa que se
uma func¸a˜o f possui limite L quando x tende a x0, enta˜o a func¸a˜o g, definida como
g(x) = f(x−x0) tambe´m possui limite L, mas agora quando x tende a 0. Pensando em
termos gra´ficos, como o gra´fico de g e´ o gra´fico de f transladado de x0 unidade para
esquerda ou para direita, dependendo do sinal de x0, temos que o que acontece, para
a func¸a˜o f , para pontos pro´ximos a x0 (os valores de f(x) tendem a L), vai acontecer
para a func¸a˜o g, so´ que agora para pontos pro´ximos a 0.
Exemplo 3.4.1: Sabendo que lim
y→0
sen y
y
= 1, calcule lim
x→3
sen (x− 3)
x− 3 = 1.
TEOREMA 3.4.4: Seja f uma func¸a˜o definida em um intervalo aberto contendo x0
(exceto possivelmente no pro´prio ponto x0). Enta˜o
lim
x→x0
f(x) = 0⇔ lim
x→x0
|f(x)| = 0.
Observac¸a˜o 3.4.1: Note que e´ fundamental no Teorema 3.4.4 que o valor do limite
seja 0, pois caso contra´rio, e´ poss´ıvel ter limx→x0 |f(x)| = L 6= 0, sem que sequer exista
limx→x0 f(x). Por exemplo, para a func¸a˜o
f(x) =
{ −1, se x < 0
1, se x ≥ 0 ,
temos que limx→0 |f(x)| = 1 6= 0, enquanto que na˜o existe limx→0 f(x).
TEOREMA 3.4.5: Se limx→x0 f(x) = L e existe δ > 0 tal que h(x) = f(x) para todo
x ∈ (x0 − δ, x0) ∪ (x0, a+ δ), enta˜o existe limx→x0 h(x) e
lim
x→x0
h(x) = lim
x→x0
f(x) = L.
O Teorema 3.4.5 informa que, se existe um intervalo aberto contendo o ponto x0, ex-
cetuando possivelmente o pro´prio ponto x0, onde duas func¸o˜es sa˜o iguais, caso uma
delas tenha limite, enta˜o a outra tambe´m tera´ limite e eles sera˜o iguais. Casos deste
tipo aconteceram com as func¸o˜es f1, f2, f3 e f4 da sec¸a˜o anterior e com as func¸o˜es g2,
g3 e g4 do Exemplo 3.1.1 (b), (c) e (d).
TEOREMA 3.4.6: (Teorema do Confronto ou do Sandu´ıche) Se existe δ > 0
tal que g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) para todo x ∈ (x0 − δ, x0) ∪ (x0, x0 + δ), e limx→x0 g(x) =
limx→x0 h(x) = L, enta˜o existe limx→x0 f(x) e
lim
x→x0
f(x) = L.
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O Teorema 3.4.6 informa que se existe se existe um intervalo aberto contendo o ponto
x0, excetuando possivelmente o pro´prio ponto x0, onde uma func¸a˜o f e´ menor ou igual
a` func¸a˜o h e maior ou igual a` func¸a˜o g, enta˜o, existindo o limite das func¸o˜es que esta˜o
“ensanduichando”a func¸a˜o f e sendo estes limites iguais, como a func¸a˜o f esta´ ”apri-
sionada”pelas outras duas func¸o˜es, ela sera´ forc¸ada a ter o mesmo limite das func¸o˜es
que a “ensanduicham”.
Exemplo 3.4.2: Utilize o gra´fico das func¸o˜es g(x) = −|x| e h(x) = |x| para verificar
que limx→0 |x| = 0 e limx→0−|x| = 0. Agora utilize estes limites e o Teorema do Con-
fronto para mostrar que lim
x→0
x sen
(
1
x
)
= 0.
TEOREMA 3.4.7: (Teorema do Anulamento) Se limx→x0 f(x) = 0 e se existem
M > 0 e δ > 0 tal que |g(x)| ≤M para todo x ∈ (x0− δ, x0)∪ (x0, x0+ δ), enta˜o existe
limx→x0 f(x)g(x) e
lim
x→x0
f(x)g(x) = 0.
O Teorema do Anulamento afirma que o limite do produto de duas func¸o˜es, onde uma
delas vai a zero e a outra e´ limitada numa vizinhanc¸a do ponto x0, e´ zero. Observe
que, caso a func¸a˜o g seja limitada na˜o apenas em um intervalo aberto contendo x0, mas
em todo o seu domı´nio, trivialmente vale o Teorema do Anulamento. E´ essencial que a
func¸a˜o que na˜o tende a zero seja limitada (em todo o seu domı´nio ou apenas em um
intervalo aberto contendo x0) para que possamos aplicar o Teorema do Anulamento.
Exemplo 3.4.3: Calcule os limites abaixo.
a) lim
x→0
x sen
(
1
x
)
b) lim
x→0
x
(
1
x
)
TEOREMA 3.4.8: lim
x→x0
c = c, para todo x0 ∈ R e c ∈ R.
TEOREMA 3.4.9: lim
x→x0
mx = mx0, para todo x0 ∈ R e m ∈ R.
TEOREMA 3.4.10: lim
x→x0
xn = xn0 , para todo x0 ∈ R e n inteiro positivo.
TEOREMA 3.4.11: lim
x→x0
n
√
x = n
√
x0, para todo x0 ∈ R se n e´ inteiro positivo ı´mpar
e para todo x0 > 0 se n e´ inteiro positivo par. Ale´m disso, lim
x→0+
n
√
x = 0, se n e´ inteiro
positivo par.
TEOREMA 3.4.12: Se limx→x0 f(x) e limx→x0 g(x) existem, enta˜o
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a) lim
x→x0
(f + g)(x) = lim
x→x0
f(x) + lim
x→x0
g(x);
b) lim
x→x0
(kf)(x) = k lim
x→x0
f(x), onde k ∈ R;
c) lim
x→x0
(fg)(x) = lim
x→x0
f(x) lim
x→x0
g(x);
d) lim
x→x0
(
f
g
)
(x) =
lim
x→x0
f(x)
lim
x→x0
g(x)
se lim
x→x0
g(x) 6= 0.
Exemplo 3.4.4: Gustavo resolveu a questa˜o de limite da prova lim
x→0
x sen
(
1
x
)
da
forma abaixo. Ele acertou ou errou? Por queˆ? Se errou, onde esta´ o erro? Se acertou,
quais teoremas utilizou?
lim
x→0
x sen
(
1
x
)
= lim
x→0
x. lim
x→0
sen
(
1
x
)
= 0. lim
x→0
sen
(
1
x
)
= 0.
TEOREMA 3.4.13: Seja f uma func¸a˜o polinomial, enta˜o lim
x→x0
f(x) = f(x0), para
todo x0 ∈ R.
TEOREMA 3.4.14: Seja f =
p
q
uma func¸a˜o racional, enta˜o lim
x→x0
f(x) = f(x0), para
todo x0 ∈ Dom(f), isto e´ para todo x0 tal que q(x0) 6= 0.
TEOREMA 3.4.15: Se lim
x→x0
f(x) existe, enta˜o lim
x→x0
(f(x))n =
(
lim
x→x0
f(x)
)n
para
todo n e´ um inteiro positivo.
TEOREMA 3.4.16: Se lim
x→x0
f(x) existe, enta˜o lim
x→x0
n
√
f(x) = n
√
lim
x→x0
f(x) para todo
n inteiro positivo ı´mpar e se lim
x→x0
f(x) > 0, para todo n inteiro positivo par tambe´m.
TEOREMA 3.4.17: lim
x→x0
f(x) existe, enta˜o lim
x→x0
|f(x)| =
∣∣∣∣ limx→x0 f(x)
∣∣∣∣.
TEOREMA 3.4.18: lim
x→x0
f(x) = L se e somente se lim
x→x+0
f(x) = L = lim
x→x−0
f(x).
Exemplo 3.4.5: Calcule os limites abaixo, quando eles existirem.
a) lim
x→0
4x2 + 3x3 + 9x+ 5 b) lim
x→1
x2 + x+ 1
x+ 2
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c) lim
x→1
x2 + x− 2
x+ 2
d) lim
x→5
3
√
3x2 − 4x+ 9
e) lim
x→8
x1/3 + 3
√
x
4− 16
x
f) lim
x→1
x3 − 2x2 − x+ 2
x− 1
g) lim
x→0
√
x+ 3−√3
x
h) lim
x→9
x− 9√
x− 3
i) lim
x→0
(1 + x)3 − 1
x
j) lim
x→2
(x2 − 5x+ 6) cos(
1
x− 2
)
Sugesta˜o: Para resolver alguns dos exemplos acima, lembre-se das seguintes igualda-
des:
(a− b)(a+ b) = a2 − b2
(a− b)(a2 + ab+ b2) = a3 − b3
(a+ b)(a2 − ab+ b2) = a3 + b3
Abaixo fornecemos ainda alguns teoremas interessantes sobre limites, mas que apre-
sentam cara´ter menos pra´tico na soluc¸a˜o de exerc´ıcios.
TEOREMA 3.4.19: Se existe limx→x0 f(x), enta˜o f e´ limitado numa vizinhanc¸a
do ponto x0. Isto e´, existem M > 0 e δ > 0 tal que |f(x)| ≤ M para todo
x ∈ (x0 − δ, x0) ∪ (x0, x0 + δ).
TEOREMA 3.4.20: Se limx→x0 f(x) = L e limx→x0 g(x) = M , onde L < M , enta˜o
existe δ > 0 tal que f(x) < g(x) para todo x ∈ (x0 − δ, x0) ∪ (x0, x0 + δ).
COROLA´RIO 3.4.1: Se limx→x0 f(x) = L > 0, enta˜o existe δ > 0 tal que f(x) > 0
para todo x ∈ (x0 − δ, x0) ∪ (x0, x0 + δ).